5.2_平行线的性质

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平行线的性质及推导方法

平行线的性质及推导方法平行线，是指在同一个平面内，永不相交的两条直线。

平行线的性质与推导方法是几何学中的重要内容，下面我们将详细介绍平行线的性质及推导方法。

一、平行线的性质1. 平行线定理：如果一条直线与两条平行线相交，那么这条直线将被两条平行线所截成的锐角和钝角互补。

证明：设直线l与平行线m和n相交于A点，BC与m、n平行。

由平行线的性质可知∠ABC=∠ACD，又∠ABC+∠ACD=180°（线l与m、n相交，∠ABC和∠ACD互补），所以∠ABC和∠ACD互补。

2. 平行线的性质之间的关系：如果两条平行线被一条交线所截，那么它们与这条交线所构成的内错角、内外错角、对顶角以及同位角是相等的。

证明：设直线l与平行线m和n相交于点O，AB与m平行，CD与n平行。

先证明内错角相等，连接AC、BD。

由三角形的内角和为180°可知∠ACB+∠BCA+∠CDA+∠DAB=180°，∠ACB+∠BCA+∠ADB=180°（∠CDA和∠DAB互补），所以∠ACB+∠BCA+∠CDA+∠DAB=∠ACB+∠BCA+∠ADB，化简得∠CDA=∠ADB。

同理可证∠ACD=∠ABC，∠BAC=∠DCB，∠ADC=∠BCD。

二、平行线的推导方法1. 利用平行线的性质证明线段比例关系。

证明：设AB与CD分别是平行线m和n上的两个点，交线AC与BD相交于E点。

若已知AE:EC=BD:DE，要证明AB:BC=BD:DC（即证明∆ABD∽∆CBD）。

由已知的比例关系可得：AE/EC=BD/DE，即AE/BD=EC/DE。

又因为∠AEB和∠CDE为同位角，根据同位角定理可知∠AEB=∠CDE。

由此可得∆ABE∽∆CDE，进一步得出AB:BE=CD:DE。

同理可证∆CBD∽∆ADE，从而得出BC:BD=DE:DA。

综合上述比例关系，可以得出AB:BC=BD:DC，证明了平行线性质下的线段比例关系。

平行线的性质

平行线的性质平行线是几何学中一个重要的概念，它具有一系列独特的性质和规律。

本文将从定义、性质以及常见应用几个方面来探讨平行线的特点。

一、定义平行线指在同一个平面上，永远不会相交的两条直线。

两条平行线之间的距离是不变的，无论它们延伸多远。

二、性质1. 平行线具有相同的斜率：对于两条平行线，它们的斜率相等。

可以通过直线的斜率公式来证明这个性质。

2. 平行线没有交点：平行线不会相交，因此在它们之间不存在交点。

这一性质是平行线的基本特征。

3. 平行线的内角和性质：当一条直线与两条平行线相交时，相应的内角和是补角。

也就是说，这些内角的和等于180度。

4. 平行线的外角性质：当一条直线与两条平行线相交时，相应的外角是等于对应内角的。

5. 平行线的转角性质：当有两条平行线与一条交线相交时，它们所对应的转角相等。

三、应用平行线的性质在几何学中有广泛的应用。

下面列举几个常见的应用场景。

1. 建筑与设计：在建筑和设计过程中，平行线的概念经常被用来处理墙壁、地板、屋顶等元素的布局。

通过确保平行线之间的距离一致，可以营造出整齐、协调的空间效果。

2. 路面交通：在道路设计和交通规划中，平行线的性质被用于绘制车行道、人行道和停车位等交通设施。

通过确保平行线的平直性和正确的间距，可以提高交通流畅度和安全性。

3. 数学证明：平行线的性质在数学证明中扮演重要的角色。

通过运用平行线的相关性质和定理，可以推导出更复杂的几何定理，解决各种几何问题。

总结：平行线是几何学中一个基础而重要的概念，它具有独特的性质和规律。

通过理解和应用平行线的性质，我们可以更好地解决几何问题，同时在建筑、设计和交通规划等领域中发挥重要作用。

掌握平行线的性质对于理解几何学和应用几何学都是至关重要的。

5.2平行线的性质和判定

G 2 34AB CD1567 89EFH5.2平行线的性质和判定1．如图所示：（1）∠1与∠9是直线被所截而得的．（2）∠7与∠5是直线被所截而得的．（3）∠3与∠DCB是直线被所截而得的．选做：图中的同位角有对，内错角有对，同旁内角有对．2．两条直线被第三条直线所截，∠1和∠2是同旁内角，∠3和∠2是内错角(其中∠1＞90°).（1）根据条件，画出符合题意的示意图；（2）∠1与∠3是怎样位置关系的角；（3）若∠1= 3∠2，∠2= 3∠3，求∠2的度数．3．在同一平面内，直线AB与CD没有交点，那么AB与CD的位置关系是.4．已知直线l及l外一点P，若过点P画直线与l平行，那么这样的直线有条.5．在同一平面内两条直线的位置关系是（）A．相交B．平行C．相交或平行D．垂直或平行6．在同一平面内有三条直线a、b、c，有a∥b，a与c相交，则b与c的关系是（）A．平行B．相交C．平行或相交D．不能确定7．如图，AB∥CD，过点E画EF∥AB，则EF与CD的位置关系是，理由是.8．下列说法正确的是（）①同一平面内，不重合的两条不相交的直线是平行线；②过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行．A．①B．②C．①②D．都不正确9．平面内四条直线最少有a个交点，最多有b个交点，则a+b=( )A．6 B．4 C．2 D．010．如图，按要求画图．（1）经过BC上一点P画AB的平行线，交AC于T；（2）过C画MN∥AB；（3）直线PT、MN有什么关系，试证明.11．在同一平面内，直线，的同侧有A、B、C三点，如果AB∥l，BC∥l，那么A、B、C 三点是否在同一直线上？为什么？HABCDG MN FE12．如图，△ABC 中，∠ABC =∠ACB ，BD 平分∠ABC ，CE 平分∠ACB ，BD 、CE 交于点O ，F 、G 分别是AC 、BC 延长线上一点，且∠EOD +∠OBF =180°，∠DBC =∠G . 指出图中所有的平行线并说明理由.13．如图，AB 与MN 交于F ，FG 平分∠MFB ，FH 平分∠AFG ，CD 与MN 交于E ，若∠HFM = 60°，∠CEN = 40°．证明AB ∥CD ．14．如图，已知∠1+∠2 = 180°，∠3 =∠B ，且∠AFE = 50°. 求∠ACB 的度数．15．已知：如图, CD ⊥AB , DE //BC , DF //AC , FG ⊥AB , ∠1＝∠2, 求证：FG 平分∠BFD .ABDEF12345ABOCDE FFHGED CB AFHGED CB A16、如图，已知，AC∥DE，DC∥FE，CD平分∠ACB，求证：EF平分∠BED17、如图，DE⊥AO于E，BO⊥AO于O，FC⊥AB于C，∠CFB＝∠EDO．求证：DO⊥AB18、已知：如图，AB∥CD，EF分别交于AB、CD于E、F.若EG平分∠AEF，FH平分∠EFD，求证：EG∥FH.19、已知：如图，AB∥CD，EF分别交于AB、CD于E、F.若∠AEG=∠DFH，求证：EG∥FH.20．如图，已知AB ∥CD ，写出下列四个图形中∠P 与∠A ，∠C 的关系，请你-从所得的四个关系中任选一个加以说明．(1) (2) (3)21．(6分) 如图，已知AB ∥CD ，∠1 =∠2，求证：∠3 =∠4． \22．如图, 已知∠B ＝25°, ∠BCD ＝45°, ∠CDE ＝30°, ∠E ＝10°, 试说明：AB //EF .23．如图，已知AB ∥CD ，试写出∠1，∠2，∠3，∠4之间的数量关系，PD C B A PD C B A P D C B A 13244323211123图④图③图②图①ABCDA B C D A B CD D C BA24．已知，AB ∥CD ，AM 、CM 分别平分∠BAP 、∠DCP ．试探索∠M 与∠P 的数量关系．25．如图，点E 与△ABC 在同一平面内，请你过点．．E ．添加适当的平行线．．．来说明∠A +∠B +∠C 的度数不变.26．如图：（1）△ABC ，点D 在BC 的延长线上，试说明∠（2）利用图①的结构特点，请探究以下各图：AB ∥CD 时，∠A、∠C、∠P的关系式为：图 ①A BAC D PM 图 ② A BA C D P M 图 ③A B C DM P27．如图：AB∥CD，∠1=180°－∠2，试探究：∠F与∠M的大小关系？28．如图，AB∥CD，MN⊥AB于M交CD于N、P为射线MB上一动点，连接NP、NE平分∠CNP，NF⊥NE. 当点P运动时，请探究MPNMNE∠∠的值是否变化？。

平行线的性质知识点

平行线的性质知识点平行线是几何学中常见的概念，其性质和特点对于理解和解决几何问题非常重要。

本文将介绍平行线的定义、性质以及与平行线相关的定理。

一、平行线的定义平行线是指在同一个平面内永远不会相交的直线。

简单来说，如果两条直线在同一个平面内，并且它们永远不会相交，那么它们就是平行线。

二、平行线的判定方法1. 同位角判定法：当一条直线与另外两条直线相交时，如果同位角对应相等（即两条直线被切分的同位角互相相等），则这两条直线是平行线。

2. 内错角判定法：当一条直线与另一条直线相交时，如果内错角互相补角相等（即两条直线被切分的内错角互为补角），则这两条直线是平行线。

3. 平行线判定定理：如果两条直线的斜率相等且不相交，则这两条直线是平行线。

三、平行线的性质1. 平行线具有等倾斜角性质：对于两条平行线上的任意一对相对应的同位角，它们的角度相等。

2. 平行线具有同旁内错角性质：对于两条平行线上的任意一对相对应的内错角，它们是互补角。

3. 平行线具有同旁外错角性质：对于两条平行线上的任意一对相对应的外错角，它们是对应角或互补角。

4. 平行线具有同旁错角成比例性质：对于两条平行线上的任意一对相对应的错角，它们成比例关系。

5. 平行线之间的距离始终相等：如果从两条平行线上任意取一对相对应的点，连接这两条点所在直线上的线段，得到的线段与两条平行线之间的距离是相等的。

四、平行线的相关定理1. 平行线定理：如果一条直线与两条平行线相交，那么这条直线的同位角对应相等。

2. 平行线外角定理：如果一条直线与两条平行线相交，那么这条直线的外错角互补。

3. 平行线内角定理：如果一条直线与两条平行线相交，那么这条直线的内错角互补。

4. 平行线内外角定理：如果一条直线与两条平行线相交，那么这条直线的内错角与外错角是对应角或互补角。

总结：平行线是几何学中的重要概念，具有许多重要性质和特点。

通过掌握平行线的定义、判定方法、性质以及相关定理，可以在解决几何问题时更加灵活运用平行线的知识，加深对几何学的理解和掌握。

平行线的知识点归纳(两篇)

引言概述：平行线是几何学中一个重要的概念，它在数学和物理学等领域具有广泛的应用。

在本文中，我们将进一步归纳平行线的一些重要知识点，包括平行线的定义、性质以及平行线与其他几何元素的关系。

通过深入理解这些知识点，我们将能够更好地应用平行线的概念解决实际问题。

正文内容：1. 平行线的定义1.1 平行线的定义平行线是指在同一个平面内不相交且不重合的两条直线。

平行线可以永远延伸而不会相交。

1.2 平行线的表示方法平行线可以用符号“∥”来表示。

例如，若AB∥CD，我们可以写成AB∥CD来表示线段AB与线段CD平行。

1.3 平行线的判定方法判定两条直线是否平行有多种方法，常用的方法包括使用同位角、平行线定理以及垂线的性质等。

2. 平行线的性质2.1 平行线的夹角关系当两条平行线被一条横截线相交时，它们所成的对应角、内错角、同位角具有一些特定的关系。

例如，对应角相等、内错角互补、同位角互等等。

2.2 平行线的影子定理若一条横截线与两条平行线分别相交，那么这两条平行线上的对应线段与其所分割的横截线上的线段成比例。

2.3 平行线的平行四边形定理若一条对角线把平行四边形分成两个三角形，那么这两个三角形中的对角线之间的向量是相等的。

3. 平行线与其他几何元素的关系3.1 平行线与角度的关系平行线与角度之间有密切的关系。

例如，当平行线被一条横截线相交时，不同角对应的角度关系等。

3.2 平行线与多边形的关系平行线与多边形的性质也有一定的关系。

例如，对于平行四边形来说，两组对边是平行的。

3.3 平行线与圆的关系平行线与圆的关系也是几何学中一个重要的知识点。

例如，在圆内部的任意两条平行线都会与圆的弦垂直。

4. 平行线的应用4.1 平行线的测量在实际应用中，我们经常需要测量平行线间的距离。

通过使用测量仪器和几何定理，我们可以准确地测量平行线的距离。

4.2 平行线与平行线的相交当两组平行线相交时，我们可以利用平行线的性质推导出一些重要的结论。

平行线的性质及应用

平行线的性质及应用平行线是几何学中的重要概念，具有许多特殊的性质和应用。

在本文中，我将为您详细介绍平行线的性质以及其在实际生活中的应用。

一、平行线的定义在欧几里得几何中，平行线是指在同一个平面内永远不会相交的直线。

简而言之，两条平行线之间不存在任何交点。

二、平行线的性质1. 互换性质：如果有一条直线和另外一条直线平行，那么可以互换它们位置，结果仍然是平行的。

2. 对偶性质：如果有两个直角相互垂直，那么它们与一条平行线的交线也是相互垂直的。

3. 唯一性质：通过一个给定点可以作一条且仅一条直线与已知的直线平行。

4. 平行线之间的距离是恒定的，在同一平面内，两条平行线的距离始终相等。

三、平行线的应用1. 地理测量：在地理测量中，平行线的概念被广泛应用。

例如，在制图和测绘中，通过绘制平行线可以准确地表示不同地区的经纬度。

2. 建筑设计：平行线在建筑设计中起着重要作用。

建筑师使用平行线概念来确定建筑物的平面布局和立面设计。

平行线的使用可以使结构更加稳定和美观。

3. 交通规划：在交通规划中，平行线可以用于道路设计、车道划分和交叉口设计。

通过保持道路与车道之间的平行关系，交通流动更加顺畅。

4. 电路设计：在电路设计中，平行线被用于电缆的布线。

通过保持电缆之间的平行关系，可以减少信号干扰和电流的损失。

5. 数学推理：平行线的性质在数学推理中被广泛应用。

例如，在证明中，我们可以利用平行线的性质来推导出新的定理和结论。

四、平行线的相关定理除了前文提到的平行线性质外，还有一些相关定理需要了解：1. 同位角定理：当两条直线被一条截线切割时，同位角相等。

2. 内错角定理：当两条平行线被一条截线切割时，内错角相等。

3. 别错角定理：当两条平行线被一条截线切割时，别错角之和为180度。

综上所述，平行线是几何学中的重要概念，具有许多特殊的性质和应用。

我们可以利用平行线的性质来解决实际问题，同时也可以通过平行线的性质进行数学推理。

5.2.3平行线的性质1

解∵a∥b(已知),
∴∠1=∠2(两直线平行,
a
同位角相等). b
又∵ ∠1=∠3(对顶角相等),
∴ ∠2=∠3(等量代换).
1 3
2
c
平行线的性质2
a
1
3
b
2
两条平行线被第三条直线所截，内错角相等.
c
简写为：两直线平行，内错角相等.
符号语言: ∵a∥b,
∴∠2=∠3.
探索3
如图,已知a//b, 那么2与4有什么关系呢？为什么?
练习178页4题
P178
3、如图，两条平行线a、b被第三条直线c所截，若∠ 1=52 ° ，那么∠ 2= ▁ 5∠2°3= ▁ ∠1248=°▁. 52°
c
1
a
2
34 b
p178
5、如图，已知直线a∥b, ∠3=131°求∠1、∠2 的度数。
抄写下面的解答过程，并填空（理由或数学式）
解∶∵∠3=131°﹙ 已知﹚ 又∵∠3=∠1﹙ 对顶角相等﹚ ∴∠1=﹙ 131﹚°﹙ 等量代换 ﹚ ∵a∥b﹙ 已知﹚
c
a
1
b
2
图5.2.10
探索1 65° c
1
a
2
b
65°
任意一条直线c去截平行线a、b 所得的同位角都相等吗？
c a
b
平行线的性质1
a
1
b
2
同位两角条相平等行. 线被第三条直线所截，c
简写为：两直线平行，同位角相等.
符号语言: ∵a∥b,
∴∠1=∠2.
探索2
如图：已知a//b,那么2与3相等吗？为什么?
解: ① ∵ ∴ ∠B +

平行线的性质与判定方法

平行线的性质与判定方法平行线是几何学中的重要概念，它们具有一些独特的性质和判定方法。

本文将详细介绍平行线的性质和判定方法。

1. 性质一：不相交的平行线在任意平面上不会相交。

两条平行线永远保持相同的距离，无论它们延长到多远。

2. 性质二：平行线具有相同的斜率。

两条平行线的斜率都相等，这是判定平行线的一个重要性质。

3. 性质三：互补角相等。

如果两条平行线被一条横截线切割，那么同位角是互补角，即它们的和等于180度。

4. 性质四：内错角相等。

当两条平行线被一条横截线所穿过时，内错角是相等的。

根据以上性质，我们可以推导出一些平行线的判定方法。

下面我们将重点介绍三种常见的判定方法。

1. 通过线段的平行判定：如果两个线段的对应边平行且长度相等，那么这两个线段所在直线就是平行线。

这个方法利用了平行线的性质一。

2. 通过角的平行判定：如果两个角的对应边平行且对应角相等，那么这两个角所在的直线就是平行线。

这个方法利用了平行线的性质二和性质三。

3. 通过垂直判定：如果两条线段互相垂直，并且其中一条线段与第三条线段平行，那么第三条线段也与另一条垂直线段平行。

这个方法利用了平行线的性质二和性质四。

除了这些常见的判定方法，还有其他一些特殊情况下的判定方法。

例如，当两条直线被一条平行于它们的直线所切割时，如果同位角相等，那么这两条直线就是平行线。

在实际应用中，平行线的性质和判定方法在解决几何问题和证明几何定理时起着重要的作用。

它们帮助我们确定直线的相对位置，并应用于建筑、工程、地理测量等领域。

总结起来，平行线具有不相交、斜率相同、互补角相等和内错角相等等性质。

通过线段的平行判定、角的平行判定和垂直判定等方法可以确定平行线的存在。

这些性质和判定方法在几何学中具有重要的应用价值。

平行线的性质

平行线的性质平行线是几何学中重要的概念之一，它们有着独特的性质和特点。

本文将介绍平行线的性质，包括定义、判定方法以及与其他几何对象的关系。

一、定义及判定方法平行线是指在同一平面上永不相交的直线。

根据平行线的定义可以得出以下性质：1. 平行线具有相同的斜率：如果两条直线的斜率相等，那么这两条直线是平行线。

反之，如果两条直线平行，那么它们的斜率一定相等。

2. 平行线具有相同的夹角：如果两条直线分别与一条横穿它们的直线相交，且交角相等，那么这两条直线是平行线。

反之，如果两条直线平行，那么它们与同一条横穿它们的直线的交角一定相等。

3. 平行线具有相同的倾斜角：倾斜角指直线与水平线之间的夹角。

如果两条直线的倾斜角相等，那么这两条直线是平行线。

反之，如果两条直线平行，它们与水平线的倾斜角一定相等。

二、平行线与其他几何对象的关系1. 平行线与角的关系：当一条直线与两条平行线相交时，所对应的内角或外角具有特定的关系。

如果同时给定两条直线为平行线，以及一条与它们相交的第三条直线，那么我们可以根据角的性质计算出交角的大小。

2. 平行线与三角形的关系：如果一条直线与一个三角形的两条边分别平行，那么这条直线将会将这两条边分成对应的等分线段，从而形成一组相似三角形。

3. 平行线与平行四边形的关系：平行四边形是指具有两对平行边的四边形。

在平行四边形中，对角线相交于一点，并且相交点将对角线等分。

同时，两对相对边及相对角也具有相等关系。

三、应用举例平行线的性质在实际应用中有着广泛的应用。

以下是一些例子：1. 建筑工程：在建造房屋或桥梁等结构时，工程师需要利用平行线的性质来确保构件的平行度和垂直度。

2. 地理测量：地理测量中使用的经纬线是地球表面上的平行线，它们能够提供位置和方向信息。

3. 电路布局：在电路设计中，平行线的性质被应用于布线和电路板设计，以确保信号传输的稳定性和减少电磁干扰。

4. 图形学：在计算机图形学中，平行线的性质被用于3D渲染和投影算法，以模拟真实世界中的透视效果。

5.2.2平行线的性质

平行线的性质 2 (定理)
（2）已知：如图 2-64，直线 AB，CD 被直线 EF 所截，AB∥CD．求证：∠1+∠2=180°．（要求写出过程）
平行线的性质 3 (定理) 3．请写出平行线判定与性质的区别与联系
三、随堂练习课本 P20 练习 1、2 四、小结。
本节课你有哪些收获？以总结小报告的形式写下来。
）B
3、如图，AB∥CD,∠1=45°,∠D=∠C,求∠D、∠C、∠B 的度数.
B C
1 A D
二、新课探究 1．实验观察，发现平行线第一个性质
请画出下图进行实验观察．
设 l1∥l2，l3 与它们相交，请度量∠1 和∠2 的大小，你能发现什么关系？请同学们再作出直线 l4，再度量一下∠3 和∠4 的大小，你还能发现它们有什么关系？
平行线性质 1(公理)：
2．演绎推理，发现平行线的其它性质（1）已知：如图，直线 AB，CD 被直线 EF 所截，AB∥CD．求证：∠1= ∠2．（要求写出过程）
五、课后巩固
1. 根据右图将下列几何语言补充完整 (1)∵AD∥ (已知) )
∴∠A+∠ABC=180°( (2) ∵AB∥ ∴∠4=∠ ∠ABC=∠ (已知) ( (
) )
A D E C
2. 如右图所示，BE 平分∠ABC，DE∥ BC，图中相等的角共有（ A. 3 对 B. 4 对 C. 5 对 D. 6 对
科
目
数学 HW
课题课型
时间姓名
2013-3-11
设计人学习目标学法指导一、自主先学
（一）独学
1、掌握平行线的三个性质，并能应用它们进行简单的推理论证； 2、通过条件和结论的对比，理解平行线的性质和判定的区别和联系.

人教版七年级数学教案：5.2平行线及其判定

五、教学反思
在今天的课堂中，我尝试了多种教学方法，希望让学生更好地理解和掌握平行线及其判定的知识。首先，通过日常生活中的实例导入新课，我发现同学们对此产生了浓厚的兴趣，这为后续的学习奠定了良好的基础。但在讲授过程中，我也发角、内错角等概念上存在一定的困惑。
此外，在学生小组讨论环节，我注意到有些小组在讨论主题上稍显偏离，没有完全聚焦在平行线的实际应用上。在今后的教学中，我应更加注重引导学生围绕主题展开讨论，提高讨论的针对性和实效性。
在总结回顾环节，我发现同学们对本节课的知识点有了较为全面的掌握，但仍有个别同学存在疑问。为此，我计划在课后进行个别辅导，帮助他们消除困惑，确保每个人都能跟上教学进度。
2.教学难点
a.平行线判定方法的推理过程；
-对于同位角相等、内错角相等、同旁内角互补等判定方法，学生可能难以理解其中的逻辑关系，需要教师通过具体实例和图示进行详细讲解。
b.画平行线的实际操作；
-在实际操作过程中，学生可能会出现画线不准确、方法不熟练等问题，需要教师耐心指导，反复练习，帮助学生掌握正确的方法。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了平行线的基本概念、判定方法和在实际中的应用。通过实践活动和小组讨论，我们加深了对平行线的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调平行线的判定方法和画法这两个重点。对于难点部分，如同位角、内错角等概念，我会通过图示和实际操作来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与平行线相关的实际问题。

5.2.1平行线的性质(课时2)课件(新人教版七年级数学下)

5. 如图，A.B.C三点在一条直线上．如果∠3 =∠6，那么 ∥ ．（如果∠6 =∠9，那么 ∥ ．（如果∠1 +∠2 +∠3 =180°，那么 ∥ ．（如果∠ =∠ ，那么BE∥CD．（）
））
）
6.如图，已知CD是∠ACB的平分线，DE∥BC， ∠B= 70o ，∠ACB= 50o，求∠ADE，∠DEC， ∠EDC的度数．
【课中探究】
数学活动一活动一：探索平行线判定的应用 1.如图，看图填空： ∵∠1 =∠2（已知） ∴ ∥ ．（）又∵∠2 =∠3（已知） ∴___∥____．（）
活动二：探索平行线性质的应用
2. 已知：BE是AB的延长线，AD//BC，AB//CD，若 D 100 ， C, A, EBC 的度求行
活动三：探索方位角的应用
3.在A.B两地之间要修一条公路(如图)．从A地测得公路的走向是北偏东60°．如果A.B两地同时开工，那么在 B地公路按∠α= 度施工，能使公路准确接通．
活动四：探索平行线判定和性质的综合应用
4. 已知，如图中，AC⊥AB，EF⊥BC，AD⊥BC， ∠1=∠2，试问：AC⊥DG吗？请写出推理过程
5.2.1平行线的性质（2）
【学习目标】
1.学生了解平行线的性质和判定的区别．掌握平行线的性质和判定，并且会运用它们进行简单推理和计算． 2.能区分平行线的性质和判定,平行线的性质与判定的混合应用.
【重点难点】
重点：平行线性质和判定的综合应用难点：平行线性质和判定的灵活运用
创设情景
1.平行线的判定方法有哪些? 2.平行线的性质有哪些. 本节课我们利用平行线的性质和判定解决一些问题？
• 【学习体会】 • 1.本节课你有哪些收获？还有那些疑惑？ • 2.在课上你参与了多少问题的讨论，哪些问

5.2.3平行线的性质

c
4
(2)∵ a ∥ b (已知) ∴ ∠2____∠3 ( 两直线平行，内错角相等 ) = (3)∵ a ∥ b (已知) ∴ ∠2＋∠4=____°两直线平行，同旁内角互补) 180 (
平行线的性质：
性质１：两直线平行，同位角相等．性质２：两直线平行，内错角相等．性质３：两直线平行，同旁内角互补．
3
1
a b
2
得出结论平行线性质2:
两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．
1 3 2 a b
简单地说：两直线平行，内错角相等．几何语言表述:
∵a∥b(已知) ∴∠2＝∠3（两直线平行，内错角相等）
我们能否依据“两直线平行，同位角相等” 来推理同旁内角的关系呢？ c 如图：已知a//b，那么2与 3有什么关系呢？解： ∵ a//b （已知） ∴ 1= 2（两直线平行，同位角相等） ∵ 1+ 3=180°（邻补角定义） ∴ 2+ 3=180°（等量代换）
2
C
E
3
∠4=70 ∵两直线行， ∵两直线平行, ∵两直线平行, 内错角相等同位角相等同旁内角互补
oo ∠2=110 ∠3=110 o
B
D
一、快速抢答 2、如图，一条公路两次拐弯前后两条路互相平行。第一次拐的角∠B是142゜，
第二次拐的角∠C是多少度？为什么？
ＣＢ
∠C=142
o
∵两直线平行,内错角相等
3
b
2、已知
A
∠ADE=60 ° ∠B=60 °∠AED=40°
证：（１）DE∥BC（２） ∠C的度数
（1）∵∠ADE=60 ° ∠B=60 ° （已知） ∴∠ADE=∠B （等量代换）

5.2平行线的性质及判定(非常经典)

5.2平行线及其判定
平行线的判定
（1）同位角相等，两直线平行
（2）内错角相等，两直线平行
（3）同旁内角互补，两直线平行
（4）平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线互相平行，那么这两条直线也互相平行。
【课前小测】
一．判断题：
1．两条直线被第三条直线所截，只要同旁内角相等，则两条直线一定平行。（）
2．如图②，∵∠GMB=∠HND（已知）∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行）（）
6．如图，下列条件能判定AD∥BC的是（）
A．∠C=∠CBEB．∠C+∠ABC=180°
B．C．∠FDC=∠CD．∠FDC=∠A
7．如图5，∠AOB的两边OA，OB均为平面反光镜，∠AOB=40°．在射线OB上有一点P，从P点射出一束光线经OA上的Q点反射后，反射光线QR恰好与OB平行，则∠QPB的度数是（）
A．60°B．80°C．100°D．120°
图7图8图9图10
8．如图7，下列能判定AB∥EF的条件有（）
①∠B+∠BFE=180°②∠1=∠2③∠3=∠4④∠B=∠5．
A．1个B．2个C．3个D．4个
9．如图8，直线a与直线b交于点A，与直线c交于点B，∠1=120°，∠2=40°，若使直线b与直线c平行，则可将直线b绕点A逆时针旋转（）
二．填空题：
1．∵a∥b，b∥c（已知）∴______∥______（）
2．如图：
（1）∵______=∠3，∴a∥b（）
（2）∵∠2=∠4，∴______∥________（）
（3）∵∠2+∠3=180°，∴______∥________（）
3．如图③ ∵∠1=∠2，∴______∥________（）

华师大版七年级数学上册课件：5.2平行线的性质

∴ ∠A =∠E
(等量代换)
两类定理的比较
两条直线被第三条直线所截
平行线的判定
角的数量关系
同位角相等
内错角相等同旁内角互补
平行线的性质
条件直线位置关系
两直线平行
两直线平行两直线平行
条件
结论直线位置关系
两直线平行
两直线平行两直线平行
结论
角的数量关系
同位角相等
内错角相等同旁内角互补
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2012.12.14
在三线八角的图形中, 两条直线平行的条件是什么?
a b 1
5
3 2 8 4
c 6
7
同位角相等内错角相等
两直线平行
两直线平行
两直线平行
同旁内角互补
如图：直线 a 与直线b 平行。（1）测量同位角∠1和∠5的大小，它们有什么关系？
Z.x.x. K
c
5
6
3 4 1 8
例4.如图：一束平行光线AB和DE射向一个水平镜面后被反射，此时∠1=∠2 ， ∠3=∠4 。（1 ）∠1与∠3的大小有什么关系？∠2与∠4呢？
A 结论:∠1=∠3； D 1 B C F 4。 ∠2 =∠ 4 E
∵AB∥DE 理由: ∴∠1=∠3
2 3
又∵ ∠1=∠2 ，∠3=∠4 ∴ ∠2=∠4 等量代换（2 ）反射光线BC与EF也平行吗？
a b
c
90
180
a
2
90
0
G R E A T 。PROTRACTOR
180
b
1
0
G R E A T 。PROTRACTOR
如图：直线 a 与直线b 平行。（1）测量同位角∠1和∠5的大小，它们有什么关系？

平行线的性质

平行线的性质平行线是几何学中的重要概念，具有许多特殊的性质和规律。

本文将详细介绍平行线的性质，并探讨其在几何学中的应用。

一、平行线的定义平行线是指在同一个平面上，永不相交的两条直线。

根据几何学的定义，平行线具有以下重要性质。

1. 平行线的方向相同当两条直线平行时，它们的方向相同，即它们在同一平面上以相同的方向延伸。

2. 平行线的距离相等平行线之间的距离是恒定的，无论延长多长，始终保持相等的间隔。

3. 平行线不会相交平行线永远不会相交，无论两条线延长多长，它们始终保持相互平行的关系。

二、1. 夹角性质当一条直线与另外两条平行线相交时，形成的对应角、内错角、同旁内角等具有特殊的关系。

- 对应角：对应角相等，即对应的内角或外角大小相等。

- 内错角：内错角互补，即内接平行线上的内错角之和等于180度。

- 同旁内角：同旁内角互补，即相邻的内错角之和等于180度。

2. 平行线与垂直线的关系当一条直线与另外两条平行线相交时，形成的垂直线与平行线之间也有特殊的关系。

- 垂直线性质：垂直线与平行线形成的内角互补，即内接垂直线与平行线上的内角之和为180度。

- 垂直角：当两条垂直线相交时，形成的角称为垂直角，垂直角的大小为90度。

3. 平行线的延长性平行线可以无限延长，延长后的平行线与原线具有相同的性质。

这意味着无论平行线延长多长，它们仍然保持着互相平行的关系。

三、平行线的应用平行线的性质和规律在几何学中有着广泛的应用。

1. 三角形的判定平行线可以用来判定三角形是否相似。

当一条直线与两条平行线相交时，对应的对角线之间的比例相等，表明两个三角形相似。

2. 平行四边形的性质平行线的性质还可以用来研究平行四边形。

平行四边形的对角线相互平分，且对角线之间的比例相等。

3. 镜像对称平行线的延长线可以用于镜像对称的构造。

通过平行线的延长，可以找到与原线对称的另一条线，从而构造出完美的镜像对称。

四、总结平行线是几何学中的重要概念，具有许多独特的性质和规律。

平行线的性质

平行线的性质平行线是几何学中的重要概念，它是指在同一个平面上永远不会相交的两条直线。

平行线具有一些独特的性质，这些性质在几何学中起着重要的作用。

本文将讨论平行线的性质及其应用。

一、平行线的定义平行线的定义是：在同一个平面上，如果两条直线所成的内角相等或者其中一条直线与另一条直线的一条斜面垂直，则这两条直线是平行线。

二、平行线的性质1. 平行线的夹角性质(1) 同位角性质：同位角是指两条平行线被一条截线切割所形成的对应角，这些对应角相等。

(2) 内错角性质：内错角是指两条平行线被一条截线切割所形成的相邻的内部角，这些内错角相等。

(3) 同旁内角性质：同旁内角是指两条平行线被一条截线切割所形成的同旁的内角，这些同旁内角互补。

(4) 顶角性质：当两条平行线被一条截线切割时，形成的顶角是相等的。

2. 平行线的平移性质平移是指将一个图形在平面上沿着一定方向和距离进行移动，平行线具有平移性质，即平行线的平移仍然是平行线。

3. 平行线的比例性质如果两条平行线被一条截线切割，截线上的任意一点与两条平行线所成的线段的比相等。

4. 平行线的垂直性质平行线具有垂直性质，即与平行线垂直的直线亦为平行线。

5. 平行线与平行线的交点两条平行线在平面上没有交点，如果两条平行线存在交点，那么它们将会重合，即为同一条直线。

三、平行线的应用平行线的性质在几何学和实际生活中有着广泛的应用，以下是其中的几个例子：1. 三角形的判定平行线的性质可用于三角形的判定，例如当一条直线平行于三角形的一边时，可以推断出其他的角和边是否相等。

2. 平面图形的构建在平面建筑和制图中，平行线的性质被广泛应用。

例如可以通过平行线的性质绘制等角线、平行线的切割以及平行线的延长线等。

3. 几何证明平行线性质常常在几何证明中发挥作用，通过利用平行线的性质可以得出证明中所需的结论。

4. 电子通信的编码在电子通信的编码中，平行线的性质被用来表示不同的信息，利用平行线的编码方式可以进行高效的数据传输。

平行线的性质

平行线的性质在几何学中，平行线是指永远不会相交的直线。

平行线具备以下几个性质：1. 平行线的定义：如果两条直线在平面上没有交点，那么它们是平行线。

2. 平行线的判定定理一：对于一条直线上的一点和一条不与该直线重合的直线，如果点到直线的距离与直线上每个点到另一条直线的距离相等，那么这两条直线是平行线。

3. 平行线的判定定理二：如果两条直线与第三条直线交叉，而且两个内角对与第三条直线的两个内角对互补，那么这两条直线是平行线。

4. 平行线的判定定理三：如果两条直线与第三条直线相交，而且其中一对同位角是内错角，另一对同位角是内对顶角，那么这两条直线是平行线。

5. 平行线的性质一：平行线之间的距离是恒定的。

根据两点间距离公式，我们可以计算出平行线上任意点到另一条平行线的距离，这个距离在整条平行线上是相等的。

6. 平行线的性质二：两条平行线被一条横切线所穿过时，对应角相等，内错角相等，内对顶角相等。

7. 平行线的性质三：两条平行线被一条横切线所穿过时，同位角之和为180度，即互补角。

总结起来，平行线有着独特的性质，它们永远不会相交，具有相等的内错角、内对顶角以及同位角之和为180度的互补角。

这些性质在几何学的证明和问题解答中发挥着重要的作用。

通过了解平行线的性质，我们可以更好地理解几何学中的相关概念和定理，运用这些性质来解决问题。

在数学和工程学等领域，平行线的性质也有广泛的应用，比如在建筑设计中确定直角、测量距离等。

因此，深入学习和掌握平行线的性质对于建立几何学的基础知识和解决实际问题都具有重要的意义。

通过实际操作和练习，我们可以更好地理解和应用平行线的性质，从而提升自己在几何学领域的能力和素养。

平行线的三个性质

平行线的三个性质
平行线为几何学中极具普遍意义的一种概念，可以采用不同的几何角度和定义来描述，其中有三个重要的性质：
第一，平行线的距离相等。

在平行线的几何定义中，“平行”意味着任何时候，两条平行线之间的距离都是一样的。

平行线的距离在每一点上都是相等的。

这一定义也被称为中线定义，即便在两条平行线之间存在障碍物，也不会影响它们之间的距离。

第二，平行线之间无交点。

这也是一条显而易见的性质。

既然两条平行线之间的距离是固定的，那么就不可能有交点。

大多数数学家将此性质定义为平行性，即任何两条直线无法重合。

第三，平行线之间夹角为零度。

当两条平行线在多边形中相邻排列时，他们之间存在的夹角为零度。

这也是一条显而易见的性质，因为这里的“平行”性就意味着两条直线之间不存在夹角。

在平行线的几何定义中，这三条性质是不可缺少的。

它们被广泛用于几何计算和形状分析中，用于判断多边形的性质，确定夹角的大小，以及计算连接平行线的线段的长度及其他几何参数等。

此外，平行线也有一些其他性质，比如梯形定理和半平面定理等，可以用来解决复杂几何问题。

例如，可以用梯形定理来求出平行四边形的实际面积，或者用半平面定理来确定给定的多边形的某一边是否是平行等。

最后，需要强调的是，平行线是几何学中最重要的性质之一，由它们构成的多边形具有独特的几何特点，可以为几何分析和计算提供
极大的帮助。

因此，这三条性质是不可忽视的，而应该作为几何学家的基本素养和几何思维必备知识进行学习与掌握。