高考数学压轴专题(易错题)备战高考《平面解析几何》知识点总复习附答案解析

高中数学《平面解析几何》期末考知识点

一、选择题

1．已知椭圆22

1259

x y +=上一点M 到椭圆的一个焦点的距离等于4，那么点M 到另一个

焦点的距离等于（ ） A ．1 B ．3 C ．6 D ．10 【答案】C 【解析】

由椭圆方程可得225210a a =∴= ，由椭圆定义可得点M 到另一焦点的距离等于6.故选C ．

2．已知椭圆2

2

:12

y C x +=，直线:l y x m =+，若椭圆C 上存在两点关于直线l 对称，

则m 的取值范围是( )

A ．⎛ ⎝⎭

B ．⎛ ⎝⎭

C ．⎛ ⎝⎭

D ．⎛ ⎝⎭

【答案】C 【解析】 【分析】

设()11,A x y ，()22,B x y 是椭圆C 上关于l 对称的两点，AB 的中点为()00,M x y ，根据椭圆C 上存在两点关于直线:l y x m =+对称，将A ，B 两点代入椭圆方程，两式作差可得

002y x =，点M 在椭圆C 内部，可得2221m m +<，解不等式即可.

【详解】

设()11,A x y ，()22,B x y 是椭圆C 上关于l 对称的两点，AB 的中点为()00,M x y ， 则1202x x x +=，1202y y y +=，1AB k =-.

又因为A ，B 在椭圆C 上，所以2211

12y x +=，2

2

2212

y x +=，

两式相减可得

1212

1212

2y y y y x x x x -+⋅=--+，即002y x =. 又点M 在l 上，故00y x m =+，解得0x m =，02y m =.

因为点M 在椭圆C 内部，所以2221m m +<，解得m ⎛∈ ⎝⎭

. 故选：C 【点睛】

本题考查了直线与椭圆的位置关系以及在圆锥曲线中“设而不求”的思想，属于基础题.

3．已知一条抛物线恰好经过等腰梯形ABCD 的四个顶点，其中4AB =，

2BC CD AD ===，则该抛物线的焦点到其准线的距离是（ ）

A

．

4

B

．

2

C

D

．【答案】B 【解析】 【分析】

不妨设抛物线标准方程22(0)x py p =>，将条件转化为坐标，代入解出p ，即得结果. 【详解】

不妨设抛物线标准方程22(0)x py p =>

，可设(1,),(2,C m B m ，

则123242(pm p p m =⎧⎪∴==⎨=+⎪⎩

2，选

B. 【点睛】

本题考查抛物线方程及其性质，考查基本分析求解能力，属基本题.

4．已知双曲线22

22:1x y C a b

-=(0,0)a b >>的两个焦点分别为1F ,2F ，以12F F 为直径的

圆交双曲线C 于P ,Q ,M ,N 四点，且四边形PQMN 为正方形，则双曲线C 的离心率为

（ ） A

．2B

C

．2D

【答案】D 【解析】 【分析】

设P 、Q 、M 、N

分别为第一、二、三、四象限内的点，根据对称性可得出

,22P c c ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭

，将点P 的坐标代入双曲线C 的方程，即可求出双曲线C 的离心率. 【详解】

设双曲线C 的焦距为()20c c >，设P 、Q 、M 、N 分别为第一、二、三、四象限内的点，

由双曲线的对称性可知，点P 、Q 关于y 轴对称，P 、M 关于原点对称，P 、N 关于x 轴对称，由于四边形PQMN 为正方形，则直线PM 的倾斜角为

4

π

，可得,22P c c ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭

，

将点P 的坐标代入双曲线C 的方程得22

22122c c a b -=，即()22222

122c c a c a -=-， 设该双曲线的离心率为()1e e >，则()

22

2

1221e e e -=-，整理得42420e e -+=，

解得22e =，因此，双曲线C 故选：D. 【点睛】

本题考查双曲线离心率的计算，解题的关键就是求出双曲线上关键点的坐标，考查计算能力，属于中等题.

5．若双曲线上存在四点，使得以这四点为顶点的四边形是菱形，则该双曲线的离心率的取值范围是( )

A ．

B ．

C ．)+∞

D ．)+∞

【答案】C 【解析】 【分析】

根据题意，双曲线与直线y x =±相交且有四个交点，由此得

1b

a

>．结合双曲线的基本量的平方关系和离心率的定义，化简整理即得该双曲线的离心率的取值范围． 【详解】

解：不妨设该双曲线方程为22

221(0,0)x y a b a b

-=>>，

由双曲线的对称性质可知，该四边形为正方形， 所以直线y x =与双曲线有交点， 所以其渐近线与x 轴的夹角大于45︒，即1b

a

>．

离心率e =

所以该双曲线的离心率的取值范围是)+∞． 故选：C ． 【点睛】

本题考查双曲线的离心率取值范围以及双曲线的标准方程和简单几何性质等知识，属于基础题．

6．如图所示，已知双曲线C ：()22

2210,0x y a b a b

-=>>的右焦点为F ，双曲线的右支上

一点A ，它关于原点O 的对称点为B ，满足120AFB ∠=︒，且3BF AF =，则双曲线