随机变量及其分布PPT课件
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“随机变量及其分布”简介PPT优秀课件
6. 教材内容的变化与特点
a. 知识的引入的变化: • 注重利用学生熟悉的实例和具体情景，以 引发学生的学习兴趣； • 通过思考或探究栏目提出问题，以调动学 生解决问题的积极性。 b. 具体内容的变化： • 以取有限值的离散型随机变量为载体； • 增加了超几何分布。 c. 知识的应用 • 体现概率统计的应用价值； • 利用思考、探究等栏目提高学生解决实际 问题能力。
发展要求
了解两点分布、二项分布的方差的计算公式。
§2.4正态分布
基本要求
1、初步了解正态分布的意义。 2、初步了解正态曲线的性质。 3、初步了解参数 、 对正态曲线的影响。
3. 课时分配与知识框图
随机变量及其分布 （16学时）
离 散 型 ︵随 3 机 变 课量 时及 ︶其 分 布 列
独立性的应用
例2.3 某商场推出二次开奖活动，凡购买一定价值 的商品可以获得一张奖券．奖券上有一个兑 奖号码，可以分别参加两次抽奖方式相同的 兑奖活动．如果两次兑奖活动的中奖概率都 是0．05，求 （1）两次抽奖都抽到某一指定号码的概率； （ 2 ）两次抽奖恰有一次抽到某一指定号码 的概率； （ 3 ）两次抽奖至少有一次抽到某一指定号 码的概率． 思考：二次开奖至少中一次奖的概率是不是一次 开奖中奖概率的两倍？为什么？
4．对教学安排的说明
(4)为了使学生更容易理解二项分布的产生背景,教 材通过简单实例的讨论,向学生展示从独立重复 试验到二项分布的推导过程. (5)对于离散型随机变量的均值与方差的含义及其 计算公式,重点是概念的理解,这也是难点.因此 教材中借助于很简单的离散型随机变量来介绍 均值与方差的概念，以避免复杂的计算冲淡概 念的理解. (6)关于正态分布模型，仅需学生了解正态分布密 度曲线的特征，密度曲线与相应的随机变量落 在某个区间的概率之间的关系,参数 和 的 含义,以及3 准则.
随机变量及分布PPT课件
P( y X y ) FX ( y ) FX ( y )
fY
(
y
)
dFY ( dy
y
)
1
2
y
0,
fX
(
y ) fX(
y ) , y 0 y0
y 1
fX (
y
)
2
0
y 1
0
y 1
fX (
y
)
2
1 y 0
其它
0
其它
则 Y=X2 的概率密度为：
1
fY
(
y)
2
( y
0
y 1 2
U 的概率密度
P{ X
u 1} 3
FX
{
u
3
1)
fU (u)
dFU (u) du
f
X
(
u
3
1
)
(
u
3
1
)u
fU
(u)
2.
u
3
1
.
1 3
0
即
fU
(u)
2 9
(u
1)
0
0 u1 1 3
其它
1 u 2 其它
例4(P62-例3) 设随机变量X的概率密度为fX(x)(x R),求:
z0
0
z0
（3）备用方式： 系统L的寿命 Z=X+Y
fZ (z) fX ( x) fY (z x)dx
积分区域
z
x
x
0
0
即0 x z
fZ (z)
z e x e (zx)dx e z
0
z e( ) xdx
概率论与数理统计-第二章-随机变量及其分布函数ppt课件
表格: X
x1 x2
pk
p1 p2
概率分布图：
1P
xn
pn
0.5
x4 x3
x1
x2
X
.
由概率的性质易知离散型随机变量的分布列
pk
满足下列特征性质:
k 1
① pk 0(k 1,2,) [非负性]
②
pk 1 [规范性]用于确定待定参数
k 1
③ F( x) P( X x) P(X xi ). xi x
1. 2
.
【例2】设随机变量X的分布函数为
aex b, x 0
F(x)
0,
x0
解： 因为 F(x) 在 x=0 点右连续
求: 常数 a 和 b。
所以 lim F ( x) lim (ae x b) a b 0
x0
x0
又因为 F () lim (ae x b) b 1 x
1、两点分布 或（0 - 1）分布
two-point distribution
定义1 设离散型随机变量X的分布列为
X0 1 pk 1 p p
其中 0<p<1
则称 X 服从（0 - 1）分布，记作 X ～（0 - 1）分布
F(x)
（0 - 1）分布的分布函数
0 , x0 F ( x) 1 p, 0 x 1
X = “三次试验中 A 发生的次数”，
{ X 2} A1A2 A3 A1A2 A3 A1A2 A3 P{X 2} P(A1A2 A3 A1A2 A3 A1A2 A3 )
P(A1A2 A3 ) P(A1A2 A3 ) P(A1A2A3 ) P(A1)P(A2)P(A3) P(A1)P(A2)P(A3) P(A1)P(A2 )P(A3 ) C32 p2(1 p)32
随机变量及其分布PPT课件
35
例8. 某类灯泡使用时数在1000小时以上 的概率是0.2，求三个灯泡在使用1000 小时以后最多只有一个坏了的概率.
解: 设X为三个灯泡在使用1000小时已坏的灯
泡数 . X ~ B (3, 0.8)，
P(X k)C3k (0.8)k (0.把2)观3察k ,一个k 灯泡0,的1,2使,3用
随后单调减少.
..
0
n=13,p=0.5
..n
当(n+1)p为整数时，二项概率P(X=k) 在k=(n +1)p和k =(n+1)p-1处达到最大 值.
课下请自行证明上述结论.
31
例6. 将一枚均匀骰子抛掷3次， 令X 表示3次中出现“4”点的次数
不难求得，
X的概率分布列是：
P{
X
k}C3k
(
依题意x可取值0第i个路口遇红灯i123路口3路口2路口118x表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口的个数路口3路口2路口1路口3路口2路口1第i个路口遇红灯i123路口3路口2路口1第i个路口遇红灯i123某加油站替公共汽车站代营出租汽车业务每出租一辆汽车可从出租公司得到3因代营业务每天加油站要多付给职工服务费60元
一般地，我们给出如下定义:
定义1 ：Байду номын сангаасxk(k=1,2, …)是离散型随 机变量X所取的一切可能值，称
P(X xk ) pk, k=1,2,… …
为离散型随机变量X的概率分布列
简称分布列, 又称分布律.
其中 pk (k=1,2, …) 满足：
（1） pk 0,
用这两条性质判断
k=1,2, … 一个函数是否是
P( X k) a k , k =0,1,2, …, 0
例8. 某类灯泡使用时数在1000小时以上 的概率是0.2，求三个灯泡在使用1000 小时以后最多只有一个坏了的概率.
解: 设X为三个灯泡在使用1000小时已坏的灯
泡数 . X ~ B (3, 0.8)，
P(X k)C3k (0.8)k (0.把2)观3察k ,一个k 灯泡0,的1,2使,3用
随后单调减少.
..
0
n=13,p=0.5
..n
当(n+1)p为整数时，二项概率P(X=k) 在k=(n +1)p和k =(n+1)p-1处达到最大 值.
课下请自行证明上述结论.
31
例6. 将一枚均匀骰子抛掷3次， 令X 表示3次中出现“4”点的次数
不难求得，
X的概率分布列是：
P{
X
k}C3k
(
依题意x可取值0第i个路口遇红灯i123路口3路口2路口118x表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口的个数路口3路口2路口1路口3路口2路口1第i个路口遇红灯i123路口3路口2路口1第i个路口遇红灯i123某加油站替公共汽车站代营出租汽车业务每出租一辆汽车可从出租公司得到3因代营业务每天加油站要多付给职工服务费60元
一般地，我们给出如下定义:
定义1 ：Байду номын сангаасxk(k=1,2, …)是离散型随 机变量X所取的一切可能值，称
P(X xk ) pk, k=1,2,… …
为离散型随机变量X的概率分布列
简称分布列, 又称分布律.
其中 pk (k=1,2, …) 满足：
（1） pk 0,
用这两条性质判断
k=1,2, … 一个函数是否是
P( X k) a k , k =0,1,2, …, 0
概率论第2章ppt课件
(5) P{恰好2.5分钟}
.
11
第2章 随机变量及其分布
解：
习题19
(1) P{至多3分钟} P { X 3 } F X (3 ) 1 e 0 .4 3 0 .69 (2) P{至少4分钟}
P { X 4 } 1 P { X 4 } 1 F X ( 4 ) e 0 .4 4 0 .20
同理 P{X2}5219 P{X3}4217
36 36
36 36
P{X4}3215 P{X5}2213
36 36
36 36
P{X 6} 1 36
.
3
第2章 随机变量及其分布
习题8
8. 甲乙两人投篮，投中的概率分别为0.6和0.7。今各投三次。求(1)两人投中次数 相等的概率；(2)甲比乙投中次数多的概率.
.
9
第2章 随机变量及其分布
习题16
16. 有一繁忙的汽车站，每天有大量汽车通过，设一辆汽车在一天的某段时间内 出事故的概率为0.0001. 在某天的该时间段内有1000量汽车通过。问出事故的车辆 数不小于2的概率是多少？(利用泊松定理计算)
解：令在该段时间内发生事故的车辆数目为X, 根据题意知：
0
20
22 4
令 y x2
AI1A1 4
I b3/2
.
15
第2章 随机变量及其分布
习题22(2)
22(2) 研究了英格兰在1875年~1951年期间，在矿山
发生导致不少于10人死亡的事故的频繁程度，得知
相继两次事故之间的时间T(日)服从指数分布，其
概率密度为
fT
(t)
1
et
241
, /241
(1) 解：从8杯酒中随机地挑选4杯，共有
随机变量及其分布复习课件.ppt
有
F(x) x f(t)dt，
则称X为连续型随机变量，其中f(x)称为X的概率 密度函数，简称概率密度。
（II）概率密度的性质
( 1 ) 非 负 性 ： f( x ) 0 ， x R .
(2)规 范 性 ：f(x)dx1. 4
( 3 )对 于 任 意 实 数 a b, 有
P{aXb}abf(x)dx . F(b)F(a)
求这个区间的端点,分二种情形讨论之：
17
（1）区间的一个端点是无穷大，即已知P(X < x) = p1 或P(X > x) = p2，求x .
利用 或
然后反查标准正态分布表，即可求出x （2）区间关于μ对称，不妨设为(μ−a,μ+a)，而 P(μ−a<X<μ+a) = p，求a
18
四.随机变量的函数的分布 1.离散型随机变量函数的分布
几种重要的 离散型分布
均指 正 匀数 态 分分 分 布布 布
二项分布的 正态近似
二项分布的 泊松近似
二项 分布
泊几
松何
分分 布 布 21
例题选讲
例1 甲、乙、丙3人进行独立射击 每人的命中率依 次为03 04 06 设每人射击一次 试求3人命中总 数之概率分布律 分析 求离散型随机变量的概率分布的步骤为:(1) 写
23
例2 投掷一个均匀骰子n 次，求(1)恰好得到一个6点的概 率；(2)至少得到一个6点的概率；(3)为了以0.5的概率保 证至少得到一个6点，则至少要投掷几次？
所以至少要投掷4次.
24
例3 设 X 的分布律为 X 1012 1111 p 4444
求 Y X 2 的分布律 .
解 Y 的可能值为 (1)2, 02,12, 22; 即 0, 1, 4.
F(x) x f(t)dt，
则称X为连续型随机变量，其中f(x)称为X的概率 密度函数，简称概率密度。
（II）概率密度的性质
( 1 ) 非 负 性 ： f( x ) 0 ， x R .
(2)规 范 性 ：f(x)dx1. 4
( 3 )对 于 任 意 实 数 a b, 有
P{aXb}abf(x)dx . F(b)F(a)
求这个区间的端点,分二种情形讨论之：
17
（1）区间的一个端点是无穷大，即已知P(X < x) = p1 或P(X > x) = p2，求x .
利用 或
然后反查标准正态分布表，即可求出x （2）区间关于μ对称，不妨设为(μ−a,μ+a)，而 P(μ−a<X<μ+a) = p，求a
18
四.随机变量的函数的分布 1.离散型随机变量函数的分布
几种重要的 离散型分布
均指 正 匀数 态 分分 分 布布 布
二项分布的 正态近似
二项分布的 泊松近似
二项 分布
泊几
松何
分分 布 布 21
例题选讲
例1 甲、乙、丙3人进行独立射击 每人的命中率依 次为03 04 06 设每人射击一次 试求3人命中总 数之概率分布律 分析 求离散型随机变量的概率分布的步骤为:(1) 写
23
例2 投掷一个均匀骰子n 次，求(1)恰好得到一个6点的概 率；(2)至少得到一个6点的概率；(3)为了以0.5的概率保 证至少得到一个6点，则至少要投掷几次？
所以至少要投掷4次.
24
例3 设 X 的分布律为 X 1012 1111 p 4444
求 Y X 2 的分布律 .
解 Y 的可能值为 (1)2, 02,12, 22; 即 0, 1, 4.
《随机变量 》课件
正态分布
广泛应用于自然和社会科学中， 形态对称且集中在均值附近的分 布。
随机变量的应用
统计学中的应用
随机变量在统计学中广泛应 用于推断、模型估计和假设 检验等领域。
金融学中的应用
随机变量在金融学中用于模 拟风险、计算期权定价和构 建投资组合等。
工程学中的应用
随机变量在工程学中有助于 分析不确定性、预测可靠性 和设计优化。
式，用于估计随机变量与其期望之间的
3
关系。
期望、方差和标准差
解释了随机变量的期望、方差和标准差， 并讨论了它们的重要性。
大数定理和中心极限定理
讲解了大数定理和中心极限定理，揭示 了随机变量的稳定性和分布规律。
一些常见的随机变量
二项分布
描述了具有两个互补结果的随机 试验的分布。
泊松分布
用于描述单位时间内独立随机事 件发生次数的分布。
频率函数用于描述离散随机变 量的分布，概率密度函数用于 描述连续随机变量的分布。
离散随机变的分布
介绍了常见的离散随机变量分 布，如二项分布和泊松分布。
连续随机变量的分布
介绍了常见的连续随机变量分 布，如正态分布和指数分布。
随机变量的数字特征1Fra bibliotek切比雪夫不等式和马尔科夫不等
2
式
介绍了切比雪夫不等式和马尔科夫不等
总结
随机变量是概率论和数理统计中的重要概念，掌握随机变量的定义、分布和 数字特征对于深入理解概率与统计学至关重要。
《随机变量 》PPT课件
本课件介绍了随机变量的基本概念、分布以及数字特征，还探讨了随机变量 在统计学、金融学和工程学中的应用。
什么是随机变量
定义
随机变量是表示随机实验结果的数值的变量。
相关主题
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3
2、在有些试验中，试验结果看来与数值无 关，但我们可以引进一个变量来表示它的各 种结果.也就是说，把试验结果数值化.
例如：掷一个质地均匀的硬币，用X表示试验结果
X
1，当正面出现 0，当反面出现
任意事件A都可由随机变量X表示，如
XBiblioteka 1，若A出现 0， 若A不出现
4
这种对应关系在数学上理解为定义了一种 实值函数.
（2） pk 1
分布列
15
k
分布列的表示方法
（1）公式法：
P(X xk ) pk, k=1,2,… …
（2）列表法： X x1 x2 … xk … P p1 p2 … pk …
或
X~
x1 p1
x2 p2
xk pk
16
例1
从中任取3 个球
取到的白球数X是一个随机变量
9
可见，随机事件这个概念实际上是包 容在随机变量这个更广的概念内. 也可以 说，随机事件是从静态的观点来研究随机 现象，而随机变量则是一种动态的观点， 就象数学分析中常量与变量的区别那样.
10
随机变量概念的产生是概率论发展 史上的重大事件. 引入随机变量后，对 随机现象统计规律的研究，就由对事件 及事件概率的研究扩大为对随机变量及 其取值规律的研究.
简记为 r.v.
6
随机变量定义：设E是随机试验，它的样本 空间是S，如果对S中的每个基本事件e，都有唯
一的实数值X（e）与之对应，则称X（e）为随
机变量，简记为X。
特点：1．随机变量X是基本事件e的函数，其定 义域为S，值域为某个实数集合。
2．随机变量X取某个值或某些值表示事 件。
7
随机变量通常用大写字母 X,Y,Z或希腊字母ζ,η等表示
e k
k0 k!
18
例3. 一汽车沿一街道行驶，需要通过三个均设 有红绿信号灯的路口，每个信号灯为红或绿与 其它信号灯为红或绿相互独立，且红绿两种信 号灯显示的时间相等. 以X表示该汽车首次遇到 红灯前已通过的路口的个数，求X的概率分布.
解: 依题意, X可取值0, 1, 2, 3.
设 Ai={第i个路口遇红灯}, i=1,2,3
路口1
路口2
路口3
P(X=0)=P(A1)=1/2, 19
X表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口的个数
设 Ai={第i个路口遇红灯}, i=1,2,3
路口1
路口2
路口3
P(X=1)=P(
A1 A2
)
1 2
1 2
= 1/4
路口1
路口2
路口3
P(X=2)=P(
A1 A2
A3
)
1 2
1 2
1 2
=1/8
20
X表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口的个数
设 Ai={第i个路口遇红灯}, i=1,2,3
路口1 路口2
路口3
P(X=3)=
P(
A1
A2
A3 )
1 2
1 2
1 2
=1/8
即
X
P
不难看到
01 2
11 1
24 8
12
例1 一报童卖报，每份0.15元，其成本为 0.10元. 报馆每天给报童1000份报，并规定 他不得把卖不出的报纸退回. 设X为报童每 天卖出的报纸份数，试将报童赔钱这一事件 用随机变量的表达式表示.
解： 分析
{报童赔钱} {卖出的报纸钱不够成本}
当 0.15 X<1000× 0.1时，报童赔钱
一般地，我们给出如下定义:
定义1 ：设xk(k=1,2, …)是离散型随 机变量X所取的一切可能值，称
P(X xk ) pk, k=1,2,… …
为离散型随机变量X的概率分布列
简称分布列, 又称分布律.
其中 pk (k=1,2, …) 满足：
（1） pk 0,
用这两条性质判断
k=1,2, … 一个函数是否是
P( X k) a k , k =0,1,2, …, 0
k! 试确定常数a .
解: 依据概率分布列的性质:
P(X =k)≥0,
欲使上述函数为分布列
P(X k) 1
k
从中解得 a e
应有 a≥0
a k ae 1
k0 k!
这里用到了常见的 幂级数展开式
事件及 事件概率
随机变量及其 取值规律
11
三、随机变量的分类
通常分为两类：
离散型随机变量
所有取值可以逐个
随 机 变
一一列举
如“取到次品的个数”， “收到的呼叫数”等. 全部可能取值不仅
量 连续型随机变量
无穷多，而且还不能 一一列举，而是充满
一个区间.
例如，“电视机的寿命”，实 际中常遇到的“测量误差”等.
X可能取的值是0,1,2
取每个值的概率为 P(X 0)C33 1
且
3
P(X i) 1
i 1
C53 10
P(
X
1)CC32C53 21
6 10
这样，我们就掌握了X这个 随机变量取值的概率规律.
P(
X
2)CC31C53 22
3 10
17
例2. 设随机变量X的概率分布列为：
e.
s
X(e) R
这种实值函数与在高等数学中大家接触到 的函数一样吗？
5
（1）它随试验结果的不同而取不同的值， 因而在试验之前只知道它可能取值的范围， 而不能预先肯定它将取哪个值. （2）由于试验结果的出现具有一定的概 率，于是这种实值函数取每个值和每个确 定范围内的值也有一定的概率. 称这种定义在样本空间上的实值函数为
而表示随机变量所取的值 时,一般采用小写字母x,y,z等.
8
二、引入随机变量的意义 有了随机变量,随机试验中的各种事件， 就可以通过随机变量的关系式表达出来. 如：单位时间内某电话交换台收到的呼 叫次数用X表示，它是一个随机变量.
事件{收到不少于1次呼叫} { X 1}
{没有收到呼叫} {X= 0}
故{报童赔钱} {X 666}
13
第二讲 离散型随机变量
若随机变量X只能取有限个值或可列无穷 多个值，则称X为离散型随机变量。设X的所
有可能取值为 x1, x2,, xk ,
为了描述随机变量 X ，我们不仅需要知 道随机变量X的取值，而且还应知道X取每个 值的概率.
14
一、离散型随机变量概率分布列的定义
第三章
随机变量及其分布
1
第一讲 随机变量的概念
一、随机变量概念的产生
在实际问题中，随机试验的结果可以用数 量来表示，由此就产生了随机变量的概念.
2
1、有些试验结果本身与数值有关（本身 就是一个数）.
例如，掷一颗骰子面上出现的点数； 每天从哈尔滨下火车的人数；
昆虫的产卵数；
七月份哈尔滨的最高温度；