2020届重庆市高三“二诊”考试数学(理)试卷参考答案
重庆2020级高三下5月调研测试卷(二诊康德)理数答案
（2）由题知 170， = 4.6 115 2.14 ， ……5 分 5
（ⅰ） P(167.86 X 174.28) P( X 2) 0.6826 0.9544 0.6826 0.8185 ， 2
……8 分
（ⅱ） P( X 174.28) 1 0.9544 0.0228 ，故 10 人中至少有 1 人的身高在174.28 cm 以上的概率 2
故 [2x1 (1)x2]2 [2y1 (1)y2]2 1，
3
2
即 42( x12 y12 ) (1 )2( x22 y22 ) 4(1 )( x1x2 y1y2 ) 1，
32
32
32
42 (1 )2 4(1 )( x1x2 y1 y2 ) 1， ……8 分 32
由题知直线
MN
:
故 f (x) 在[k ，k 5 ] 上单增，在[k 5 ，k 11 ] 上单减， k Z ；……6 分
12
12
12
12
（2） f ( A) 2sin(A ) 3 ，则 sin(A ) 3 ， A(0， ) ，A ，即 A 2 ，……8 分
2
3
32
33
3
由正弦定理得 1 3 ， sin C 1 ，C ，故 B ，
则 A(2，0，0)，D(2，0，0)，B(2，3， 0)， C(2，6，0)，P(0，0，2 2) ， 故 F(1，3， 2)，DB (4，3，0)，DF (1，3， 2) ，
设平面
DBF
的法向量为
m
(x，y，z)
，则
4x 3y x 3y
0 2z
0
，
令
x
3
得
m
(3，
重庆市2020届高三5月调研(二诊)数学(理)试题 含解析
2020年普通高等学校招生全国统一考试5月调研测试卷理科数学注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}2,3,5,7A =，{}2|log (2)1B x x =-<，则A B =（ ）A. {}2B. {}3C. {}2,3D. {}3,5【答案】B 【解析】 【分析】由对数函数的性质可得{}|24B x x =<<，再由集合交集的概念即可得解. 【详解】由题意{}{}{}2|log (2)1|022|24B x x x x x x =-<=<-<=<<， 所以{}{}{}2,3,5,7|243x Ax B <<==.故选：B.【点睛】本题考查了对数不等式的求解及集合的运算，属于基础题. 2.若复数z 满足()2z i i i +=-，则z =（ ） 2 B. 210D. 10【答案】C 【解析】 【分析】由题意13z i =--，再由复数模的概念即可得解.【详解】由题意()22213i i iz i i i i i --=-=-=--，所以z ==故选：C.【点睛】本题考查了复数的运算与模的求解，属于基础题. 3.下列说法正确的是（ ）A. “若2a >，则24a >”的否命题为“若2a >，则24a ≤”B. 命题p q ∨与()p q ⌝∨至少有一个为真命题C. “0x ∀>，2220x x -+≥”的否定为“0x ∀>，2220x x -+<”D. “这次数学考试的题目真难”是一个命题 【答案】B 【解析】 【分析】由否命题的概念即可判断A ，由命题及其否定的关系可判断B ，由全称命题的否定方法可判断C ，由命题的概念可判断D ，即可得解.【详解】对于A ，“若2a >，则24a >”的否命题为“若2a ≤，则24a ≤”，故A 错误； 对于B ，命题p q ∨的否定为()p q ⌝∨，故命题p q ∨与()p q ⌝∨有一个命题为真，故B 正确； 对于C ，“0x ∀>，2220x x -+≥”的否定为“0x ∃≤，2220x x -+<”，故C 错误； 对于D ，“这次数学考试的题目真难”不能判断真假，故“这次数学考试的题目真难”不是一个命题，故D 错误. 故选：B.【点睛】本题考查了命题、命题的否定及否命题的概念，属于基础题.4.为了判断英语词汇量与阅读水平是否相互独立，某语言培训机构随机抽取了100位英语学习者进行调查，经过计算2K 的观测值为7，根据这一数据分析，下列说法正确的是（ ） 附：A. 有99%以上的把握认为英语词汇量与阅读水平无关B. 有99.5%以上的把握认为英语词汇量与阅读水平有关C. 有99.9%以上的把握认为英语词汇量与阅读水平有关D. 在犯错误的概率不超过1%的前提下，可以认为英语词汇量与阅读水平有关 【答案】D 【解析】 【分析】由题意()26.6350.01P K ≥=，由独立性检验的原理即可得解.【详解】由题意27K =，()26.6350.01P K ≥=，所以在犯错误的概率不超过1%的前提下，可以认为英语词汇量与阅读水平有关，有99%的把握认为英语词汇量与阅读水平有关. 故选：D.【点睛】本题考查了独立性检验的应用，属于基础题.5.斐波那契数列，指的是这样一个数列：1，1，2，3，5，8，13，21，…，在数学上，斐波那契数列{}n a 定义如下：121a a ==，()123,n n n a a a n n Z --=+≥∈.随着n 的增大，1nn a a +越来越逼近黄金分割10.6182≈，故此数列也称黄金分割数列，而以1n a +、n a 为长和宽的长方形称为“最美长方形”，已知某“最美长方形”的面积约为336平方分米，则该长方形的长应该是（ ） A. 144厘米 B. 233厘米C. 250厘米D. 377厘米【答案】B 【解析】 【分析】由题意可得10.618nn a a +≈且133600n n a a +=，即可得解. 【详解】由题意可得10.618nn a a +≈且133600n n a a +=，解得1233n a +≈. 故选：B.【点睛】本题考查了数学文化及数列新定义的应用，属于基础题.6.在103x 的展开式中，常数项为（ ）A. -252B. -45C. 45D. 252【答案】C 【解析】 【分析】由题意写出10的展开式的通项公式，令8r =即可得解.【详解】由题意，10的展开式的通项公式为：()105110101rrr rr rr T C C x --+⎛=⋅=-⋅⋅ ⎝， 令53r -=-即8r =，()()8583310101145rr r C x C x x ----⋅⋅=-⋅⋅=，所以103x 的展开式中，常数项为45.故选：C.【点睛】本题考查了二项式定理的应用，属于基础题. 7.已知,0a b >，22a b +=，则1b a b+取值范围是（ ）A. ()0,∞+B. [)2,+∞C. )1,+∞D.)⎡+∞⎣【答案】C 【解析】【分析】 由题意112b b aa b a b+=++，利用基本不等式即可得解. 【详解】由题意得，1212121222b b a b b a b a a b a b a b a b++=+=++≥⋅+=+， 当且仅当2b aa b=，即222a =-，22b =-时等号成立. 故选：C.【点睛】本题考查了基本不等式的应用，关键是对于条件做适当的变形，属于基础题. 8.函数x xy e=的部分图象是（ ） A. B.C. D.【答案】A 【解析】 【分析】对比函数的性质与图象的特征，逐项排除即可得解. 【详解】令()x x f x e =，则()()x xf x f x e ---==-，所以()f x 为奇函数，可排除C 选项； 当0x >时，()1x xf x e-'=，故()f x 在()0,1上单调递增，()1,+∞上单调递减，故排除B 、D. 故选：A.【点睛】本题考查了函数图象的识别及利用导数判断函数单调性的应用，属于基础题.9.定义在R 上的奇函数()f x 满足：3344f x f x ⎛⎫⎛⎫+=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且当30,4x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()2log (1)f x x m =++，若()2100log 3f =，则实数m 的值为（ ）A. 2B. 1C. 0D. -1【答案】B 【解析】 【分析】由题意结合奇函数的性质可得()32f x f x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，结合函数周期的概念可得()f x 是周期为3的周期函数，进而可得()()110012f f f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，即可得解. 【详解】由()f x 为奇函数知3344f x f x ⎛⎫⎛⎫-=--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴3344f x f x ⎛⎫⎛⎫+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即()32f x f x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，∴()()332f x f x f x ⎛⎫+=-+= ⎪⎝⎭，∴()f x 是周期为3的周期函数， 故()()2131001log 22f f f m ⎛⎫===+ ⎪⎝⎭，即223log log 32m +=，∴1m =. 故选：B.【点睛】本题考查了函数周期性、奇偶性的综合应用，考查了对数运算及运算求解能力，属于中档题.10.已知抛物线2:2(0)E y px p =>的焦点为F ，以F 为圆心、3p 为半径的圆交抛物线E 于P ，Q 两点，以线段PF 为直径的圆经过点()0,1-，则点F 到直线PQ 的距离为（ ）B.3C.5D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意结合抛物线的性质得52p x p =，p y =，由以线段PF 为直径的圆经过点()0,1A -可得115212p p+⋅=-，求得5p =即可得解. 【详解】由题意点,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，设点()(),0P P P P x y y >，()0,1A -，32p p FP x p =+=，∴52p x p =，p y =， 以线段PF 为直径的圆经过点()0,1A -，∴AP AF ⊥，即1212p =-，∴p =由//PQ y轴可得所求距离为522p p -=. 故选：C.【点睛】本题考查了直线与抛物线的综合应用，考查了运算求解能力和转化化归思想，属于基础题.11.已知ABC 的面积为1，角,,A B C 的对边分别为,,a b c，若sin sin sin sin a A b B B c C -=+，cos cos 5B C =，则a =（ ）B.2【答案】D 【解析】 【分析】由题意结合正弦定理得222a b c -=+，由余弦定理得cos A =即34A π=，再由cos sin sin cos cos A B C B C =-可得sin sin B C =sin b B =，sin c C =，则212sin sin 2ABC S a B C =⋅△即可得解.【详解】由sin sin sin sin a A b B B c C -=+得222a b c -=+，则222cos 2b c a A bc +-==()0,A π∈可得34A π=，由cos cos()sin sin cos cos A B C B C B C =-+=-得sin sin 10B C =，由正弦定理知sin sin b cB C==，即sin b B =，sin c C =，∴22111sin 2sin sin 222101ABC S bc A a B C a ==⋅⋅==△，所以a =故选：D.【点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理与三角形面积公式的综合应用，考查了运算能力与转化化归思想，属于中档题.12.已知,,,A B C D 四点均在球O 的球面上，ABC 是边长为6的等边三角形，点D 在平面ABC 上的射影为ABC 的中心，E 为线段AD 的中点，若BD CE ⊥，则球O 的表面积为（ ）A. 36πB. 42πC. 54πD.【答案】C 【解析】 【分析】设ABC 的中心为G ，连接BG 并延长BG 交AC 于F ，则F 为AC 中点，连接DF 、DG ，由题意可得AC BD ⊥，进而可得BD ⊥平面ACD ，即可得DA ，DB ，DC 两两垂直，可把原三棱锥的外接球转化为以DA ，DB ，DC 为棱的正方体的外接球，即可得解.【详解】设ABC 的中心为G ，连接BG 并延长BG 交AC 于F ，则F 为AC 中点，连接DF 、DG ，由题知DG ⊥平面ABC ，所以DG AC ⊥，又AC GB ⊥，DG GB G =，所以AC ⊥平面DGB ，所以AC BD ⊥， 又BD CE ⊥，CEAC C =，∴BD ⊥平面ACD ，∴BD CD ⊥，BD AD ⊥，又D ABC -为正三棱锥，∴DA ，DB ，DC 两两垂直，故三棱锥D ABC -可看作以DA ，DB ，DC 为棱的正方体的一部分，二者有共同的外接球， 由6AB =得32DA =，故正方体外接球直径232336R ==所以球O 的表面积为223644542R πππ⎛== ⎝⎭.故选：C.【点睛】本题考查了棱锥的几何特征与外接球半径的求解，考查了线面垂直的性质与判定和空间思维能力，属于中档题.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知向量()2,a m =，()1,2a b +=，若()//3a a b +，则实数m =______________. 【答案】4 【解析】 【分析】由题意可得()1,2b m =--，进而可得()31,62a b m +=--，再由平面向量共线的特征即可得解. 【详解】()2,a m =，()1,2a b +=，∴()1,2b m =--，∴()31,62a b m +=--，又()//3a a b +，∴()262m m -=-，解得4m =. 故答案为：4.【点睛】本题考查了平面向量线性运算的坐标表示及共线的特征，属于基础题.14.已知某几何体的三视图如图所示，网格中的每个小方格是边长为1的正方形，则该几何体的体积为_______________.【答案】9452π- 【解析】 【分析】由三视图还原该几何体为一个长方体中挖去一个18球，利用体积公式即可得解. 【详解】由三视图可知该几何体是一个长方体中挖去一个18球，如图所示，∴3149335345832V ππ=⨯⨯-⋅⋅=-. 故答案为：9452π-.【点睛】本题考查了三视图识别与立体图形体积的求解，属于基础题.15.已知公差不为0的等差数列{}n a 中，2a ，4a ，8a 依次成等比数列，若3a ，6a ，1b a ，2b a ，…，n b a ，…成等比数列，则n b =_____________.【答案】132n +⋅ 【解析】 【分析】由题意结合等比数列、等差数列的性质可得n a nd =，进而可得132n n b a d +=⋅，即可得解.【详解】设数列{}n a 公差为d ，由题知()()24284424a a a a d a d ==-+，即44a d =，故413d d a a =-=， ∴n a nd =，33a d =，66a d =， 故新等比数列首项为3d 、公比为2， 因此132n n b a d +=⋅，故132n n b +=⋅.故答案为：132n +⋅.【点睛】本题考查了等差数列、等比数列的综合应用，考查了运算求解能力，属于基础题. 16.若曲线2cos y ax x =+上存在两条切线相互垂直，则实数a 的取值范围是__________.【答案】⎡⎣【解析】 【分析】求导得[]2sin 2,2y a x a a '=-∈-+，转化条件得存在[]12,2,2k k a a ∈-+使得121k k =-，进而可得()()221a a -+≤-，即可得解. 【详解】求导得[]2sin 2,2y a x a a '=-∈-+， 曲线2cos y ax x =+上存在两条切线相互垂直，∴存在[]12,2,2k k a a ∈-+使得121k k =-，不妨设120k k <<，()()()121222k k k a a a ≥+≥-+，∴()()221a a -+≤-，即a ≤≤故答案为：⎡⎣.【点睛】本题考查了导数几何意义的应用及导数的计算，考查了转化化归思想，属于中档题. 三、解答题：共70分.解答应写岀文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17.已知函数()2cos 22f x x x π⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭（1）求函数()f x 的单调性；（2）在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且2A f ⎛⎫=⎪⎝⎭a =1c =，求ABC 的面积.【答案】（1）在5,1212k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦上单调递增，在511,1212k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦上单调递减，k Z ∈；（2【解析】 【分析】 （1）由三角恒等变换得()2sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，分别令()222232k x k k Z πππππ-≤-≤+∈、()3222232k x k k Z πππππ+≤-≤+∈即可得解； （2）由题意可得23A π=，由正弦定理得1sin 2C =，进而可得6B π=，再利用1sin 2ABC S ac B =△即可得解.【详解】（1）由题意()2cos 22f x x x π⎛⎫=--+⎪⎝⎭1cos 2sin 22sin 223x x x π+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭， 由()222232k x k k Z πππππ-≤-≤+∈得()51212k x k k Z ππππ-≤≤+∈，由()3222232k x k k Z πππππ+≤-≤+∈得()1212k x k k Z 5π11ππ+≤≤π+∈， 故()f x 在()5,1212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦上单调递增，在()511,1212k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦上单调递减； （2）由题意2sin 323A f A π⎛⎫⎛⎫=-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则3sin 32A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭， ∵()0,A π∈，∴33A ππ-=，即23A π=， 由正弦定理得sin sin c a C A=即13sin 32C =，1sin 2C =， 由0,3C π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭可得6C π=，∴ππ6B A C， ∴1113sin 31222ABC S ac B ==⨯⨯⨯=△. 【点睛】本题考查了三角函数的性质、三角恒等变换及解三角形的综合应用，属于中档题. 18.国庆70周年阅兵式上的女兵们是一道靓丽的风景线，每一名女兵都是经过层层筛选才最终入选受阅方队，筛选标准非常严格，例如要求女兵身高（单位：cm ）在区间[]165,175内.现从全体受阅女兵中随机抽取200人，对她们的身高进行统计，将所得数据分为[)165,167，[)167,169，[)169,171，[)171,173，[]173,175五组，得到如图所示的频率分布直方图，其中第三组的频数为75，最后三组的频率之和为0.7.（1）请根据频率分布直方图估计样本的平均数x 和方差2s （同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；（2）根据样本数据，可认为受阅女兵的身高X （cm ）近似服从正态分布()2,N μσ，其中μ近似为样本平均数x ，2σ近似为样本方差2s . （i ）求()167.86174.28P X <<；（ii ）若从全体受阅女兵中随机抽取10人，求这10人中至少有1人的身高在174.28cm 以上的概率.参考数据：若()2~,X Nμσ，则()0.6826P X μσμσ-<<+=，()220.9544P X μσμσ-<<+=10.7≈，100.95440.63≈，90.97720.81≈，100.97720.79≈.【答案】（1）170x =，2 4.6s =；（2）（i ）0.8185；（ii ）0.21 【解析】 【分析】（1）由题意求出各组频率，由平均数公式及方差公式即可得解； （2）（i ）由题意结合正态分布的性质即可得解；（ii ）由题意结合正态分布的性质可得()174.280.0228P X >=，再由()10110.0228P =--即可得解.【详解】（1）由题知第三组的频率为750.375200=， 则第五组的频率为0.70.3750.12520.075--⨯=， 第二组的频率为10.70.0520.2--⨯=，所以五组频率依次为0.1，0.2，0.375，0.25，0.075，故0.11660.21680.3751700.251720.075174170x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，22222(170166)0.1(170168)0.2(170172)0.25(170174)0.075s =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯4.6=；（2）由题知170μ=， 2.14σ==≈， （i ）()()167.86174.282P X P X μσμσ<<=-<<+()()()222P X P X P X μσμσμσμσμσμσ-<<+--<<+=-<<++0.95440.68260.68260.81852-=+=；（ii ）()()10.9544174.2820.02282P X P X μσ->=>+==， 故10人中至少有1人的身高在174.28cm 以上的概率：()1010110.022810.977210.790.21P =--=-≈-=.【点睛】本题考查了频率分布直方图的应用，考查了正态分布的应用，属于中档题. 19.如图，在四棱锥P ABCD -中，//AB CD ，AB AP ⊥，3AB =，4=AD ，5BC =，6CD =.过直线AB 的平面分别交棱PD ，PC 于E ，F 两点.（1）求证：PD EF ⊥；（2）若直线PC 与平面PAD 所成角为3π，且PA PD =，EF AB =，求二面角A BD F --的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）131131-【解析】 【分析】（1）由线面平行的性质可得//AB EF ，取DC 中点G ，连接BG ，则ABGD 为平行四边形，由平面几何知识90BGC ∠=︒即AB AD ⊥，由线面平行的判定可得AB ⊥平面PAD ，再由线面垂直的性质即可得证；（2）由题意3PD =E 、F 分别为PD 、PC 的中点，建立空间直角坐标系，求出各点坐标后，进而可得平面DBF 的一个法向量为m 、平面ABD 的一个法向量n ，由cos ,m nm n m n⋅=⋅即可得解. 【详解】（1）证明：∵//AB DC ，AB ⊄平面PDC ，∴//AB 平面PDC ，又面ABFE 面PDC EF =，∴//AB EF ，取DC 中点G ，连接BG ，如图：则ABGD 为平行四边形，∴4BG =，又3GC =，5BC =，故90BGC ∠=︒， ∴AD DC ⊥，∴AB AD ⊥，又AB AP ⊥，AP AD A ⋂=，∴AB ⊥平面PAD ， ∴EF ⊥平面PAD ，又PD ⊂平面PAD ，∴PD EF ⊥；（2）由（1）知CD ⊥平面PAD ，∴CPD ∠即为直线PC 与平面PAD 所成角， ∴3CPD π∠=，∴tan 3CPD DCDP ∠==，解得23PD =， 又12EF AB DC ==，∴E ，F 分别为PD ，PC 的中点， 取AD 中点O ，连接PO ，则PO AD ⊥，2222PO PD OD =-=，由CD ⊥平面PAD 可得CD PO ⊥，CDAD D =，故PO ⊥平面ABCD ，以O 为原点，OA ，AB ，OP 分别为,,x y z 轴的正方向建立空间直角坐标系，如图：则()2,0,0A ，()2,0,0D -，()2,3,0B ，()2,6,0C -，(0,0,22P ，故(F -，()4,3,0DB =，(DF =， 设平面DBF 的一个法向量为(),,m x y z =，则43030m DB x y m DF x y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=++=⎪⎩，令3x =得3,4,2m ⎛=- ⎝⎭， 显然()0,0,1n =是平面ABD 的一个法向量，∴922c 13os ,1311m n m n m n ⋅===⋅， 由题知二面角A BD F --的余弦值为131-. 【点睛】本题考查了线面平行、垂直的判定及利用空间向量求二面角，考查了空间思维能力与运算求解能力，属于中档题.20.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>1,3⎛ ⎝⎭在椭圆C 上. （1）求椭圆C 的方程；（2）过椭圆C 的右焦点F 作斜率为1的直线与椭圆C 交于M ，N 两点，点P 满足2OP OM =（O 为坐标原点），直线NP 与椭圆C 的另一个交点为Q ，若NQ NP λ=，求λ的值.【答案】（1）22132x y +=；（2）2237λ= 【解析】 【分析】 （1）由题意可得3c a =、221413a b +=，解出23a =，22b =后即可得解； （2）设()11,M x y ，()22,N x y ，转化条件得2212124(1)4(1)132x x y y λλλλ⎛⎫+-+-+= ⎪⎝⎭，联立方程可得1265x x +=，1235x x =-，即可得解.【详解】（1）由题知c a =，故2223b a =，又221413a b+=，∴23a =，22b =， 所以椭圆C 的方程为22132x y +=；（2）设()11,M x y ，()22,N x y ，由2OP OM =得()112,2P x y ， 由NQ NP λ=得()()221212,2,2Q Q x x y y x x y y λ--=--， ∴122(1)Q x x x λλ=+-，122(1)Q y y y λλ=+-，又点Q椭圆C 上，故[][]2212122(1)2(1)132x x y y λλλλ+-+-+=，即222222112212124(1)4(1)1323232x y x y x x y y λλλλ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++-++-+=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ∴2212124(1)4(1)132x x y y λλλλ⎛⎫+-+-+=⎪⎝⎭，由题知直线:1MN y x =-，与椭圆C 的方程联立得25630x x --=，>0∆， 则1265x x +=，1235x x =-， ∴()()()121212123641111555y y x x x x x x =--=-++=--+=-， ∴212524(1)055λλλλ⎛⎫-+---= ⎪⎝⎭，解得2237λ=或0， 又N ，Q 不重合，∴0λ≠，故2237λ=. 【点睛】本题考查了椭圆方程的确定及直线、平面向量与椭圆的综合应用，考查了运算求解能力，属于中档题. 21.已知函数()21ln 2f x x ax =+，a R ∈.（1）讨论()f x 的单调性； （2）若不等式()12xf x e e a <-+对()1,x ∀∈+∞恒成立，求a 的取值范围.【答案】（1）当0a ≥时，在()0,∞+上单调递增，当0a <时，在⎛ ⎝上单调递增，在⎫+∞⎪⎭上单调递减；（2）1a e -≤ 【解析】 【分析】（1）求导后，按照0a ≥、0a <分类讨论，求出()0f x '>、()0f x '<的解集即可得解； （2）转换条件得211ln 022xe ax x e a ---+>在()1,+∞上恒成立，令()211ln 22x g x e ax x e a =---+，求导后结合()10g =，按照1a e >-、1a e -≤分类讨论，即可得解.【详解】（1）求导得()211(0)ax f x ax x x x+'=+=>，当0a ≥时，()0f x '>，()f x 在()0,∞+上单调递增； 当0a <时，()00f x x'>⇔<<，所以()f x 在⎛⎝上单调递增，在⎫+∞⎪⎭上单调递减； （2）()2111ln 0222xx f x e e a e ax x e a <-+⇔---+>， 令()211ln 22xg x e ax x e a =---+，()10g =，则()1xg x e ax x'=--，若()10g '<，即1a e >-，则存在01x >，使得当(]01,x x ∈时()0g x '<，()g x 单调递减， ∴()()010g x g <=，与题意矛盾；当1a e -≤时，令()1xh x e ax x=--，()1,x ∈+∞， ∴()()221110xh x e a e e x x'=-+>--+>，∴()h x 即()g x '单调递增，∴()()110g x g e a ''>=--≥，∴()g x 单调递增，∴()()10g x g >=，符合题意； 综上所述，1a e -≤.【点睛】本题考查了导数的综合应用，考查了运算求解能力与推理能力，属于中档题. （二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22.在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为22cos 32sin x y θθ=+⎧⎨=+⎩（θ为参数），以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为(4sin 3cos )a ρθθ+=，且直线l 与曲线C 有两个不同的交点.（1）求实数a 的取值范围；（2）已知M 为曲线C 上一点，且曲线C 在点M 处的切线与直线l 垂直，求点M 的直角坐标. 【答案】（1）828a <<；（2）221,55⎛⎫ ⎪⎝⎭或189,55⎛⎫⎪⎝⎭【解析】 【分析】（1）分别求出曲线C 与直线l 的直角坐标方程，由点到直线的距离公式即可得解；（2）设点()0022cos ,32sin M θθ++，由题意可得1//O M l 即002sin 32co 4s θθ=-，结合同角三角函数的平方关系求得004cos 53sin 5θθ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或004cos 53sin 5θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩后即可得解.【详解】（1）消参可得曲线C 的普通方程为()()22234x y -+-=，可得曲线C 是圆心为()2,3，半径为2的圆，直线l 的直角坐标方程为43y x a +=，由直线l 与圆C 有两个交点知61225a+-<，解得828a <<； （2）设圆C 的圆心为()12,3O ，由圆C 的参数方程可设点()0022cos ,32sin M θθ++，由题知1//O M l ，∴002sin 32co 4s θθ=-， 又2200s cos in 1θθ+=，解得004cos 53sin 5θθ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，或004cos 53sin 5θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩， 故点M 的直角坐标为221,55⎛⎫ ⎪⎝⎭或189,55⎛⎫ ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查了参数方程、极坐标方程、直角坐标方程之间的互相转化，考查了参数方程的应用，属于中档题.23.已知函数()22f x x x =+-的最小值为m .（1）求m 的值；（2）若实数a ，b 满足22a b m +=，求221112a b +++的最小值. 【答案】（1）2m =；（2）45【解析】【分析】（1）由绝对值三角不等式可得()()222f x x x x x ≥+--=+≥，即可得解； （2）由柯西不等式可得()222221112(11)12a b ab ⎛⎫++++≥+⎪++⎝⎭，结合222a b +=即可得解. 【详解】（1）由题意()()2222f x x x x x x x x =++-≥+--=+≥，当且仅当0x =时等号成立，故2m =；（2）由题意222a b +=， 由柯西不等式得()222221112(11124)a b a b ⎛⎫++++≥+⎪++⎭=⎝， 当且仅当232a =，212b =时，等号成立，∴222211441235a b a b +≥=++++，故221112a b +++的最小值为45. 【点睛】本题考查了绝对值三角不等式与柯西不等式的应用，属于中档题.。
重庆2020届高三调研测试数学(理)试题Word版含答案及解析
重庆2020届高三调研测试数学（理）试题满分150分。
考试时间120分钟★祝考试顺利★注意事项：1．答题前，请考生认真阅读答题卡上的注意事项。
务必将自己的姓名、考号填写在答题卡上指定位置，贴好考号条形码或将考号对应数字涂黑。
用2B铅笔将试卷类型A填涂在答题卡相应位置上。
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
答在试题卷、草稿纸上无效。
3．非选择答题用0.5毫米黑色墨水签字笔直接答在答题卡上每题对应的答题区域内，答在试题卷、草稿纸上无效。
4．考生必须保持答题卡的清洁。
考试结束后，监考人员将答题卡和试卷一并收回。
第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知为虚数单位，复数满足，则（）A. B. C. 1 D.2.已知集合，，则（）A. B.C. D.3.设，，，则的大小关系为（）A. B.C. D.4.设等比数列的前项和为，已知，且与的等差中项为20，则（）A. 127B. 64C. 63D. 325.已知为两条不同的直线，为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（）A. 若，，则B. 若，，且，则C. 若，，且，，则D. 若直线与平面所成角相等，则6.函数的图像大致为（）A. B.C. D.7.运行如图所示的程序框图，则输出的值为（）A. 9B. 10C. 11D. 128.设函数的一条对称轴为直线，将曲线向右平移个单位后得到曲线，则在下列区间中，函数为增函数的是（）A. B.C. D.9.某班组织由甲、乙、丙等5名同学参加的演讲比赛，现采用抽签法决定演讲顺序，在“学生甲不是第一个出场，学生乙不是最后一个出场”的前提下，学生丙第一个出场的概率为（）A. B. C. D.10.已知双曲线的一条渐近线方程为，左焦点为，当点在双曲线右支上，点在圆上运动时，则的最小值为（ ）A. 9B. 7C. 6D. 5 11.已知三棱锥各顶点均在球上，为球的直径，若，，三棱锥的体积为4，则球的表面积为（ ）A.B.C.D.12.已知是函数（其中常数）图像上的两个动点，点，若的最小值为0，则函数的最小值为（ ） A.B.C.D.第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4个小题,每小题5分,共20分.13.若实数x ，y 满足00320x y x y x y -≥⎧⎪+≥⎨⎪+-≤⎩，则2z x y =-+的最小值为______.14.住在狗熊岭的7只动物，它们分别是熊大，熊二，吉吉，毛毛，蹦蹦，萝卜头，图图.为了更好的保护森林，它们要选出2只动物作为组长，则熊大，熊二至少一只被选为组长的概率为______.15.记n S 为数列{}n a 的前n 项和，若23S =，()*11n n a S n N +=+∈，则通项公式n a =______.16.已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b -=>>的左、右焦点为1F 、2F ，过1F的直线l 与C 的一条渐近线在第一象限相交于A 点，若21AF AF ⊥，则该双曲线的离心率为______.三、解答题：共70分。
重庆市名校联盟高2020届“二诊”模拟理数(含解析)
试卷类型：B重庆市名校联盟高2020级“二诊”模拟考试理科数学（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的） 1．设集合{|{|19}A x y B x x ===<≤，则=A ．(1,3)B ．(3,9)C ．[3,9]D ．∅2．设43z i =-，则在复平面内1z对应的点位于 A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．若x ，y 满足约束条件40,20,20,x y x x y -+≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≥⎩且z ax y =+的最大值为26a +，则a 的取值范围是A ．[1,)-+∞B ．(,1]-∞-C ．(1,)-+∞D ．(,1)-∞-4．小方，小明，小马，小红四人参加完某项比赛，当问到四人谁得第一时，小方：“我得第一名”；小明：“小红没得第一名”；小马：“小明没得第一名”；小红：“我得第一名”．已知他们四人中只有一人说真话，且只有一人得第一名．根据以上信息可以判断出得第一名的人是A ．小明B ．小马C ．小红D ．小方()B A C R I5．设点O 在ABC ∆的内部,且有()32AB OB OC =+u u u v u u u v u u u v,则ABC ∆的面积与BOC ∆的面积之比为A ．3B ．13C ．2D ．126．《算法统宗》全称《新编直指算法统宗》，是屮国古代数学名著，程大位著.书中有如下问题：“今有五人均银四十两，甲得十两四钱，戊得五两六钱.问：次第均之，乙丙丁各该若干？”意思是：有5人分40两银子，甲分10两4钱，戊分5两6钱，且相邻两项差相等，则乙丙丁各分几两几钱？（注：1两等于10钱） A ．乙分8两，丙分8两，丁分8两B ．乙分8两2钱，丙分8两，丁分7两8钱C ．乙分9两2钱，丙分8两，丁分6两8钱D ．乙分9两，丙分8两，丁分7两7．设实数1a -=⎰，则6212ax x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中的常数项为 A ．352π-B ．320π-C ．41516πD ．415π8．在直角坐标系xOy 中，角α的顶点在原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边与圆22:4O x y +=交于第一象限内的点P ，点P 的纵坐标为23，把射线OP 顺时针旋转3π，到达射线OQ ，Q 点在圆O 上，则Q 的横坐标是A ．6B ．6C ．3D ．39．下图是一个算法的程序框图，如果输入0i =，0S =，那么输出的结果为A ．23B ．34C ．45D ．5610．设函数()f x 是定义在(1,)-+∞上的连续函数，且在0x =处存在导数，若函数()f x 及其导函数()f x '满足()f x '()()ln(1)1f x fx x x x +-¢=+，则函数()f x ( ) A ．既有极大值又有极小值 B ．有极大值 ，无极小值 C ．有极小值，无极大值D ．既无极大值也无极小值11．过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点F 作渐近线的垂线，设垂足为P （P 为第一象限的点），延长FP 交抛物线22(0)y px p =>于点Q ，其中该双曲线与抛物线有一个共同的焦点，若1()2OP OF OQ =+u u u r u u u r u u u r，则双曲线的离心率的平方为A ．5B ．5 C ．51+ D ．51+ 12．奔驰定理：已知O 是ABC ∆内的一点，BOC ∆，AOC ∆，AOB ∆的面积分别为A S ，B S ，C S ，则0A B C S OA S OB S OC ⋅+⋅+⋅=ru u u v u u u v u u u v ．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车（Mercedes benz ）的logo 很相似，故形象地称其为“奔驰定理”若O 是锐角ABC ∆内的一点，A ，B ，C 是ABC ∆的三个内角，且点O 满足OA OB OB OC OC OA ⋅=⋅=⋅u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v，则必有A ．sin sin sin 0A OAB OBC OC ⋅+⋅+⋅=ru u u v u u u v u u u vB ．cos cos cos 0A OA B OBC OC ⋅+⋅+⋅=u u u v u u u v u u u v vC ．tan tan tan 0A OA B OB C OC ⋅+⋅+⋅=ru u u v u u u v u u u vD ．sin 2sin 2sin 20A OA B OB C OC ⋅+⋅+⋅=ru u u v u u u v u u u v二、填空题微博橙子辅导（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知实数x ，y 满足22020220x y x y x y --≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≥⎩，则3z x y =-的最小值为________．14．已知等差数列{}n a 和等差数列{}n b 的前n 项和分别为,n n S T ，且()*3221nn S n n N T n +=∈-，则33a b =______. 15．长沙市为了支援边远山区的教育事业，组织了一支由13名教师组成的队伍下乡支教，记者采访队长时询问这个团队的构成情况，队长回答：“（1）有中学高级教师；（2）中学教师不多于小学教师；（3）小学高级教师少于中学中级教师；（4）小学中级教师少于小学高级教师；（5）支教队伍的职称只有小学中级、小学高级、中学中级、中学高级；（6）无论是否把我计算在内，以上条件都成立．”由队长的叙述可以推测出他的学段及职称分别是____． 16．定义函数{}12()min (),()f x f x f x =，表示函数1()f x 与2()f x 较小的函数．设函数1()2x f x =，2()32x pf x -=⋅，p 为正实数，若关于x 的方程()3f x =恰有三个不同的解，则这三个解分别是________．三、解答题微博橙子辅导（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．(本小题满分12分)在中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且()222(2)2cos a c a b c abc C --+=.（1）求角B 的大小；（2）若3sin 13cos 02A C ⎛⎫+-+= ⎪ ⎪⎭，求ba 的值.18．(本小题满分12分)如图1所示，在等腰梯形ABCD 中， ,3,15,33BE AD BC AD BE ⊥===.把ABE ∆沿BE 折起，使得62AC =，得到四棱锥A BCDE -.如图2所示.（1）求证：面ACE ⊥面ABD ；（2）求平面ABE 与平面ACD 所成锐二面角的余弦值.19．(本小题满分12分)已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>，1F 、2F 为椭圆的左、右焦点，21,2P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭为椭圆上一点，且132||2PF =. （1）求椭圆的标准方程；ABC ∆（2）设直线:2l x =-，过点2F 的直线交椭圆于A 、B 两点，线段AB 的垂直平分线分别交直线l 、直线AB 于M 、N 两点，当MAN ∠最小时，求直线AB 的方程.20．(本小题满分12分) 已知函数()ln 1x f x x+=. （1）求函数()f x 的单调区间和极值；（2）证明：()()2*222ln 2ln 3ln 21,22341n n n n N n n n --++⋅⋅⋅+<∈≥+. 21．(本小题满分12分)手工艺是一种生活态度和对传统的坚持，在我国有很多手工艺品制作村落，村民的手工技艺世代相传，有些村落制造出的手工艺品不仅全国闻名，还大量远销海外.近年来某手工艺品村制作的手工艺品在国外备受欢迎，该村村民成立了手工艺品外销合作社，为严把质量关，合作社对村民制作的每件手工艺品都请3位行家进行质量把关，质量把关程序如下：（i ）若一件手工艺品3位行家都认为质量过关，则该手工艺品质量为A 级；（ii ）若仅有1位行家认为质量不过关，再由另外2位行家进行第二次质量把关，若第二次质量把关这2位行家都认为质量过关，则该手工艺品质量为B 级，若第二次质量把关这2位行家中有1位或2位认为质量不过关，则该手工艺品质量为C 级；（iii ）若有2位或3位行家认为质量不过关，则该手工艺品质量为D 级.已知每一次质量把关中一件手工艺品被1位行家认为质量不过关的概率为13，且各手工艺品质量是否过关相互独立. （1）求一件手工艺品质量为B 级的概率；（2）若一件手工艺品质量为A ,B ,C 级均可外销，且利润分别为900元，600元，300元，质量为D 级不能外销，利润记为100元.①求10件手工艺品中不能外销的手工艺品最有可能是多少件； ①记1件手工艺品的利润为X 元，求X 的分布列与期望.请考生在第22、23两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所微博橙子辅导做的第一个题目计分． 22．(本小题满分10分)在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2221121t x t t y t ⎧-=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩（t 为参数）.点()00,p x y 在曲线C 上，点(,)Q m n满足002m x n =⎧⎪⎨=⎪⎩. （1）以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求动点Q 的轨迹1C 的极坐标方程；（2）点A ，B 分别是曲线1C 上第一象限，第二象限上两点，且满足2AOB π∠=，求2211||||OA OB +的值.23．(本小题满分10分) 设函数()211f x x x =-++. （1）求不等式()4f x ≥的解集；（2）记函数()f x 的最小值为t ，若,,a b c 为正实数，且a b c t ++=，求222a b c ++的最小值.理科数学参考答案（B卷）17．（1）①角,,A B C的对边分别为,,a b c，且()()22222cosa c abc abc C--+=①()()2222cos2a c a c bb Cac-+-=，①()2cos cosa c Bb C-=①cos2cosb Ba c C=-，①由正弦定理得：2sin sin sina b cRA B C===，①2sina R A=，2sinb R B=，2sinc R C=，①2sin cos4sin2sin cosR B BR A R C C=-，①2sin cos sin cos sin cosA B C B B C-=，①2sin cos sin cos cos sinA B C B C B=+()sin sinC B A=+=，①sin0A≠，①1cos2B=①()000,180B∈，①060B=.（2）①sin1cos0A C+=⎭，①3sin102A C+-=，①1sin2A C-=，①060B=，①0018060C A=--，①0120C A=-，①()1sin1202A A-=，①)001sin cos120cos sin120sin2A A A+=①131sin cos sin222A A A⎛⎫--=⎪⎝⎭p p=11sin 22A A -=①()1cos 302A +=①000120A <<，①0003030150A <+<①030A =①由正弦定理得：sin sin a bA B=，060B =，030A =，①0sin sin6021sin sin302b B a A ==== 18．（1）证明：在等腰梯形ABCD 中3,15,BC AD BE AD ==⊥，可知6,9AE DE ==.因为3,BC BE BE AD ==⊥，可得6CE =.又因为6,AE AC ==222AC CE AE =+，则AE EC ⊥.又,BE AE BE EC E ⊥⋂=，可得AE ⊥面BCDE ，故AE BD ⊥.又因为tan DE DBE BE ∠===，则060DBE ∠=，tan 3BC BEC BE ∠===，则030BEC ∠=，所以CE BD ⊥， 又AE EC E ⋂=，所以BD ⊥面ACE ，又BD ⊂面ABD ，所以面ABD ⊥面ACE ； （2）设EC BD O ⋂=，过点O 作//OF AE 交AC 于点F ，以点O 为原点，以,,OB OC OF 所在直线分别为,,x y z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系O BCF -.在BCE ∆中，①030BEO ∠=， BO EO ⊥，①93,,22EO CO BO ===，则39,0,,0,0,,0222B C E ⎛⎫⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ①1//,,62FO AE FO AE AE ==， ①3FO =，则()90,0,3,0,,62F A ⎛⎫-⎪⎝⎭， ①//,9DE BC DE =，①3ED BC =u u u r u u u r ，①D ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，①()()93,0,0,0,6,0,6,6,,02222BE AE CA CD ⎛⎫⎛⎫===-=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r ，设平面ABE 的法向量为()1111,,n x y z =u r，由11·0{·0n AE n BE ==u r u u u r u r u u u r，得11160902z x y =+=，取1x ABE的法向量为)11,0n =-u r，设平面ACD 的一个法向量为()2222,,n x y z =u u r，由22·0{·0n CA n CD ==u u r u u u r u u r u u u r，得1111660{302y z x y -+=-=，取11x =，可得平面ABE的一个法向量为(21,n =--u u r . 设平面ABE 与平面ACD 所成锐二面角为θ，则1212·cos n n n n θ===u r u u r u r u u r 所以平面ABE 与平面ACD. 19．（1）设椭圆的左焦点1(,0)(0)F c c ->，则1PF ==，解得1c =，所以2||PF =，则由椭圆定义122PF PF a +==①2a =，1b = 故椭圆的标准方程为2212x y +=. （2）由题意直线AB 的斜率必定不为零，于是可设直线:1AB x ty =+， 联立方程22112x ty x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()222210t y ty ++-=， ①直线AB 交椭圆于()11,A x y ，()22,B x y ，①()()222442810t t t ∆=++=+> 由韦达定理12222t y y t -+=+，12212y y t =-+ 则22N t y t =-+，①22221122N N t x ty t t =+=-+=++①MN AB ⊥，①MN k t =-，①222226||222t MN t t +=--=++又121||||2AN AB y y ==-=①23||tan 4||t MN MAN AN +⎫∠===≥==即1t =±时取等号.此时直线AB 的方程为10x y +-=或10x y --=.20． （1）①函数()ln 1x f x x+=，①0x >，则()2ln 'x f x x =-， 由()'0f x =，得1x =，列表如下：因此增区间为()0,1，减区间为()1,+∞，极大值为()11f =，无极小值.（2）证明：由（1）可得()()()max ln 111x f x f x f x+=≤==， ①ln 11x x x≤-，当且仅当1x =时取等号. 令()2*,2x nn N n =∈≥，①222ln 11n n n<-，①()()22ln 1111111111222121n n n n n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫<-<-=-+≥⎢⎥ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎣⎦， ①222ln 2ln 3ln 23n n ++⋅⋅⋅+11111111111122323421n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<-++-+++-+ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭L ()()2*111211,221241n n n n N n n n --⎛⎫-+-=∈≥ ⎪++⎝⎭=. 21．（1）一件手工艺品质量为B 级的概率为122311116C (1)(1)33381⨯⨯-⨯-=. （2）①由题意可得一件手工艺品质量为D 级的概率为2233331117C ()(1)C ()33327⨯⨯-+⨯=， 设10件手工艺品中不能外销的手工艺品可能是ξ件，则7~(10,)27B ξ， 则1010720()C ()()2727k k k P k ξ-==,119101010720C ()()(1)7072727720()2020C ()()2727k k k k k k P k k P k k ξξ++--=+-===+. 由70712020k k ->+得5027k <，所以当1k =时，(2)1(1)P P ξξ=>=，即(2)(1)P P ξξ=>=， 由70712020k k -<+得5027k >，所以当2k ≥时，(1)()P k P k ξξ=+<=， 所以当2k =时，()P k ξ=最大，即10件手工艺品中不能外销的手工艺品最有可能是2件.①由上可得一件手工艺品质量为A 级的概率为318(1)327-=，一件手工艺品质量为B 级的概率为1681， 一件手工艺品质量为C 级的概率为1212321111120C (1)[C (1)()]3333381⨯⨯-⨯⨯⨯-+=， 一件手工艺品质量为D 级的概率为727， 所以X 的分布列为则期望为81620713100()9006003001002781812727E X =⨯+⨯+⨯+⨯=. 22． （1）222222212111t t x y t t ⎛⎫-⎛⎫+=+=⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭， ①(]2211,11t t-∈-+，①1x ≠-，①221(1)x y x +=≠-， 由题可知：002m x n =⎧⎪⎨=⎪⎩022021(2)43m x m n m y ⎧=⎪⎪⇒⇒+=≠-⎨⎪=⎪⎩， 1C ：22223cos 4sin 12ρθρθ+=（πθπ-<<）.（2）因为222123cos 4sin ρθθ=+， 设()11,A ρθ，21,2B πρθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭， 则2211213cos 4sin 112θθρ+=， 2211223cos 4sin 12212ππθθρ⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=22113sin 4cos 12θθ+=， 22221211117||||12OA OB ρρ+=+=.23．（1）原不等式等价于：1314x x ≤-⎧⎨-+≥⎩或1134x x -<<⎧⎨-+≥⎩或1314x x ≥⎧⎨-≥⎩， 解得1x ≤-或53x ≥， 所以不等式()4f x ≥的解集是5(,1][,)3-∞-⋃+∞.（2）由（1）函数()f x 的最小值为2，所以2t =，所以2a b c t ++==，所以()()222234a b c a b c ++⨯≥++=， 所以22243a b c ++≥，当且仅当23a b c ===时，取等号. 所以222a b c ++的最小值是43.。
2020-2021学年度重庆市高三第二次质量调研抽测数学理试题及答案
高三学业质量调研抽测（第二次）理科数学试题卷理科数学试题卷共6页，考试时间120分钟，满分150分。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知i 是虚数单位，则复数2(1)1i z i-=+的虚部是A ．1-B ．1C ．i -D ．i 2．已知集合2{|23},{1,0,1,2,3}A x y x x B ==--=-，则()R A B =I ðA ．{0,1}B ．{0,1,2}C ．{1,0,1}-D ．{1,3}-3．已知131()2a =，2log 3b =，4log 7c =，则a ，b ，c 的大小关系为A ．a b c <<B ．b a c <<C ．c a b <<D ．a c b <<4．一个几何体的三视图如图所示，且其侧（左）视图是一个等边三角形，则这个几何体的体积为A ．3(8)6π+B ．533π+ C ．3(4)3π+ D ．3(43)3π+5．在ABC ∆中，角,,A B C 所对应的边分别是,,a b c ，若()(sin sin )a b A B -+(sin 3sin )c C B =+，则角A 等于A ．6πB ．3π C ．23πD ．56π6．利用我国古代数学名著《九章算法》中的“更相减损术”的思路,设计的程序框图如图所示．执行该程序框图，若输入,,a b i 的值分别为6,9,0，则输出的i =A ．2B ．3C ．4D ．57．已知实数,x y 满足220,1,0x y y x y m --≥⎧⎪≥⎨⎪+-≤⎩，如果目标函数2z x y =+的最大值为6，则实数m = A ．3B ．4 C ．5D ．68．为培养学生分组合作能力，现将某班分成A B C 、、三个小组，甲、乙、丙三人分到不同组．某次数学建模考试中三人成绩情况如下：在B 组中的那位的成绩与甲不一样，在A 组中的那位的成绩比丙低，在B 组中的那位的成绩比乙低．若甲、乙、丙三人按数学建模考试成绩由高到低排序，则排序正确的是A ．甲、丙、乙B ．乙、甲、丙C ．乙、丙、甲D ．丙、乙、甲9．已知圆22:22330C x y x y +--+=，点()0,(0)A m m >，A B 、两点关于x 轴对称．若圆C 上存在点M ，使得0AM BM ⋅=u u u u r u u u u r，则当m 取得最大值时，点M 的坐标是A ．332(,)22B ．323(,)22 C ．333(,)22D ．333(,)2210．将函数()2sin(2)6f x x π=-的图象向左平移6π个单位，再向上平移1个单位，得到()g x 图象．若12()()6g x g x +=，且[]12,2,2x x ππ∈-，则12x x -的最大值为 A.πB.2π C.3πD.4π11．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为12F F 、，以2F 为圆心的圆与双曲线C 在第一象限交于点P ，直线1PF 恰与圆2F 相切于点P ，与双曲线左支交于点Q ，且12PQ FQ =，则双曲线的离心率为 A.3 B.5 C.13 D.15 12．已知函数21()ln 2f x a x x =+，在其定义域内任取两个不等实数1x 、2x ，不等式()()12123f x a f x a x x +-+>-恒成立，则实数a 的取值范围为A.[)2,+∞B.(],2-∞ C.9,)4⎡+∞⎢⎣ D.90,4⎛⎤ ⎥⎝⎦二、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分。
2020届高三数学第二次调研考试试题理(含解析)
2020届高三数学第二次调研考试试题理（含解析）注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座位号、学校、班级等考生信息填写在答题卡上。
2.作答选择题时，选出每个小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案信息点涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，写在本试卷上无效。
3.非选择题必须用黑色字迹签字笔作答，答案必须写在答题卡各题指定的位置上，写在本试卷上无效。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.集合，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】化简集合，进而求交集即可.【详解】，，所以，故选C.【点睛】本题考查交集的概念及运算，考查对数函数的单调性与二次不等式的解法，属于基础题.2.设复数满足（其中为虚数单位），则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用复数的除法运算得到，进而得到其共轭复数即可.【详解】，，的共轭复数为，故选B.【点睛】本题考查复数代数形式的乘除法运算，考查共轭复数的概念，考查计算能力，属于基础题.3.已知为数列前项和，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据得到，从而为等比数列，利用等比数列前n项和公式可得结果.【详解】时，，两式相减，整理得，∵，∴，所以是首项为，公比为的等比数列，∴，故选D.【点睛】已知求的一般步骤：（1）当时，由求的值；（2）当时，由，求得的表达式；（3）检验的值是否满足（2）中的表达式，若不满足则分段表示；（4）写出的完整表达式.4.已知，为互相垂直单位向量，若，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用向量夹角公式即可得到结果.【详解】代数法：，故选A.【点睛】本题考查向量夹角公式，考查向量的运算法则及几何意义，考查学生的运算能力与数形结合能力，属于基础题.5.下列说法正确的是（）①从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样.②某地气象局预报：5月9日本地降水概率为，结果这天没下雨，这表明天气预报并不科学.③在回归分析模型中，残差平方和越小，说明模型的拟合效果越好.④在回归直线方程中，当解释变量每增加1个单位时，预报变量增加0.1个单位.A. ①②B. ③④C. ①③D. ②④【答案】B【解析】【分析】①由于间隔相同，这样的抽样是系统抽样；②降水概率为90%的含义是指降水的可能性为90%，但不一定降水；③在回归分析模型中，残差平方和越小，说明模型的拟合效果越好，正确；④在回归直线方程0.1x+10中，回归系数为0.1，利用回归系数的意义可得结论．【详解】解：①从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每10分钟从某处抽取一件产品进行某项指标检测，由于间隔相同，这样的抽样是系统抽样，故①不正确；②降水概率为90%的含义是指降水的可能性为90%，但不一定降水，故②不正确；③在回归分析模型中，残差平方和越小，说明模型的拟合效果越好，正确；④在回归直线方程0.1x+10中，回归系数为0.1，当解释变量x每增加一个单位时，预报变量增加0.1个单位，故④正确．故选：B．【点睛】本题考查命题真假判断，考查学生分析问题解决问题的能力，属于基础题．6.若,且，则的值为( ）A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意，根据诱导公式得，又因为，所以，所以所以，故选A．7.设p：实数x，y满足(x－1)2＋(y－1)2≤2，q：实数x，y满足则p是q的( )A. 必要不充分条件B. 充分不必要条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】试题分析：画圆：(x–1)2+(y–1)2=2，如图所示，则(x–1)2+(y–1)2≤2表示圆及其内部，设该区域为M.画出表示的可行域，如图中阴影部分所示，设该区域为N.可知N在M内，则p是q的必要不充分条件.故选A.【考点】充要条件的判断，线性规划【名师点睛】本题考查充分性与必要性的判断问题，首先是分清条件和结论，然后考察条件推结论，结论推条件是否成立.这类问题往往与函数、三角、不等式等数学知识相结合．本题的条件与结论可以转化为平面区域的关系，利用充分性、必要性和集合的包含关系得出结论．8.我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果。
重庆市渝中区、九龙坡区等主城区2020届高三学业质量调研抽测(第二次)数学(理科)试题 (解析版)
2020年高考数学二诊试卷（理科）（5月份）一、选择题（共12个小题）1．已知集合A ＝{x |x 2﹣2x ﹣3≤0}，B ＝{x |log 2x ＞1}，则A ∪B ＝（ ） A ．（2，+∞）B ．（2，3]C ．[﹣1，3]D ．[﹣1，+∞）2．已知复数z 在复平面内对应点的坐标是（﹣3，4），i 为虚数单位，则z1−i =（ ）A ．−12+12i B ．−12+72i C ．−72+12i D ．72+12i3．某公司生产了一批新产品，这种产品的综合质量指标值x 服从正态分布N （100，σ2）且P （x ＜80）＝0.2．现从中随机抽取该产品1000件，估计其综合质量指标值在[100，120]内的产品件数为（ ） A ．200B ．300C ．400D ．6004．已知sin(α2−π4)=√33，则cos2α＝（ ）A ．79B ．−79C ．2√23D ．−2√235．已知p ：﹣2≤x ﹣y ≤2且﹣2≤x +y ≤2，q ：x 2+y 2≤2，则p 是q 的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6．已知函数f （x ）的定义域为R 且满足f （﹣x ）＝﹣f （x ），f （x ）＝f （2﹣x ），若f （1）＝4，则f （6）+f （7）＝（ ） A ．﹣8B ．﹣4C ．0D ．47．已知函数f(x)=√3sinωx −cosωx(ω＞0)，f （x 1）＝2，f （x 2）＝﹣2，且|x 1﹣x 2|最小值为π2，若将y ＝f （x ）的图象沿x 轴向左平移φ（φ＞0）个单位，所得图象关于原点对称，则实数φ的最小值为（ ）A ．π12B ．π6C ．π3D ．7π128．2020年2月，在新型冠状病毒感染的肺炎疫情防控工作期间，某单位有4名党员报名参加该地四个社区的疫情防控服务工作，假设每名党员均从这四个社区中任意选取一个社区参加疫情防控服务工作，则恰有一个社区未被这4名党员选取的概率为（ ）A ．81256B ．2764C ．964D ．9169．已知f(x)={(3a −4)x −2a ，x ＜1log a x ，x ≥1对任意x 1，x 2∈（﹣∞，+∞）且x 1≠x 2，都有f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2＞0，那么实数a 的取值范围是（ ）A ．（1，+∞）B ．（0，1）C ．(43，2] D ．(43，4]10．在三棱锥P ﹣ABC 中，∠BAC ＝60°，∠PBA ＝∠PCA ＝90°，PB ＝PC =√6，点P 到底面ABC 的距离为2，则三棱锥P ﹣ABC 的外接球的体积为（ ） A ．4πB ．3√3πC ．4√3πD ．36π11．已知双曲线C ：x 2a −y 2b =1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，一条渐近线为l ，过点F 2且与l 平行的直线交双曲线C 于点M ，若|MF 1|＝2|MF 2|，则双曲线C 的离心率为（ ） A ．√2B ．√3C ．√5D ．√612．已知函数f （x ）＝（lnx +1﹣ax ）（e x ﹣2m ﹣ax ），若存在实数a 使得f （x ）＜0恒成立，则实数m 的取值范围是（ ）A ．(12，+∞) B ．(−∞，12)C ．(12，1)D ．(−1，12)二、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分．把答案填写在答题卡相应的位置上．13．设非零向量a →，b →满足a →⊥(a →−b →)，且|b →|=2|a →|，则向量a →与b →的夹角为 ．14．过抛物线y 2＝8x 焦点的直线PC 与该抛物线相交于A ，B 两点，点P （4，y 0）是AB 的中点，则|AB |的值为 ．15．设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知△ABC 的外接圆面积为16π，且cos 2C ﹣cos 2B ＝sin 2A +sin A sin C ，则a +c 的最大值为 ．16．如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AC ∩BD ＝O ，E 是B 1C （不含端点）上一动点，则下列正确结论的序号是 ． ①D 1O ⊥平面A 1C 1D ； ②OE ∥平面A 1C 1D ；③三棱锥A 1﹣BDE 体积为定值； ④二面角B 1﹣AC ﹣B 的平面角的正弦值为√66．三、解答题：共70分．解答时应写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程．并答在答题卡相应的位置上．第17题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22题～第23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分 17．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a n +1＝2S n +1． （Ⅰ）求{a n }的通项公式；（Ⅱ）设b n ＝log 3（a n •a n +1），数列{b n }的前n 项和为T n ，求证：1T 1+1T 2+⋯+1T n＜2．18．某工厂通过改进生产工艺来提高产品的合格率，现从改进工艺前和改进工艺后所生产的产品中用随机抽样的方法各抽取了容量为100的样本，得到如表的2×2列联表：改进工艺前改进工艺后合计合格品8595180次品15520合计100100200（Ⅰ）是否有99%的把握认为“提高产品的合格率与改进生产工艺有关”？（Ⅱ）该工厂有甲、乙两名工人均使用改进工艺后的新技术进行生产，每天各生产50件产品，如果每生产1件合格品可获利30元，生产1件次品损失50元．甲、乙两名工人30天中每天出现次品的件数和对应的天数统计如表：甲一天生产的次品数（件）01234对应的天数（天）281073乙一天生产的次品数（件）01234对应的天数（天）369102将统计的30天中产生不同次品数的天数的频率作为概率，记X表示甲、乙两名工人一天中各自日利润不少于1340元的人数之和，求随机变量X的分布列和数学期望．附：P（K2≥k0）0.150.100.050.0250.0100.0050.001 k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，n＝a+b+c+d．19．如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点M，N分别是AB，CC1的中点，D为AB1与A1B的交点．（Ⅰ）求证：CM∥平面AB1N；（Ⅱ）已知AB＝2，AA1＝4，求A1B1与平面AB1N所成角的正弦值．20．已知圆C：（x+2）2+y2＝24与定点M（2，0），动圆I过M点且与圆C相切，记动圆圆心I的轨迹为曲线E．（Ⅰ）求曲线E的方程；（Ⅱ）斜率为k的直线l过点M，且与曲线E交于A，B两点，P为直线x＝3上的一点，若△ABP为等边三角形，求直线l的方程．21．设函数f（x）=e xx，g（x）＝lnx+1x．（Ⅰ）若直线x＝m（m＞0）与曲线f（x）和g（x）分别交于点P和Q，求|PQ|的最小值；（Ⅱ）设函数F（x）＝xf（x）[a+g（x）]，当a∈（0，ln2）时，证明：F（x）存在极小值点x0，且e x0（a+lnx0）＜0．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为{x=2+√22ty=√22t（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρsin2θ＝8cosθ．（Ⅰ）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）已知点M的直角坐标为（2，0），直线l和曲线C交于A、B两点，求1|MA|+1 |MB|的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知f（x）＝|2x+a2|．（Ⅰ）当a＝2时，求不等式f（x）+|x﹣1|≥5的解集；（Ⅱ）若对于任意实数x，不等式|2x+3|﹣f（x）＜2a成立，求实数a的取值范围．参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请将正确答案的代号填涂在答题卡上.1．已知集合A＝{x|x2﹣2x﹣3≤0}，B＝{x|log2x＞1}，则A∪B＝（）A．（2，+∞）B．（2，3]C．[﹣1，3]D．[﹣1，+∞）【分析】求出A，B中不等式的解集确定出A，B，找出A与B的并集即可．解：由A中不等式变形得：（x﹣3）（x+1）≤0，解得：﹣1≤x≤3，即A＝[﹣1，3]，∵B＝{x|log2x＞1}＝[2，+∞），∴A∪B＝[﹣1，+∞），故选：D．【点评】此题考查了并集及其运算，熟练掌握并集的定义是解本题的关键．2．已知复数z在复平面内对应点的坐标是（﹣3，4），i为虚数单位，则z1−i=（）A．−12+12i B．−12+72i C．−72+12i D．72+12i【分析】复数z在复平面内对应点的坐标是（﹣3，4），可得z＝﹣3+4i，代入再利用复数运算法则即可得出．解：复数z在复平面内对应点的坐标是（﹣3，4），∴z＝﹣3+4i，则z1−i =−3+4i1−i=(−3+4i)(1+i)(1−i)(1+i)=−72+12i，故选：C．【点评】本题考查了复数运算法则、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3．某公司生产了一批新产品，这种产品的综合质量指标值x服从正态分布N（100，σ2）且P（x＜80）＝0.2．现从中随机抽取该产品1000件，估计其综合质量指标值在[100，120]内的产品件数为（）A．200B．300C．400D．600【分析】先根据正态曲线的对称性性质，算出P（100≤x≤120），然后用该值乘以1000即可．解：因为综合质量指标值x服从正态分布N（100，σ2）且P（x＜80）＝0.2．∴P（x＜80）＝P（x＞120）＝0.2，P（x≤100）＝P（x≥100）＝0.5．∴P（100≤x≤120）＝P（x≥100）﹣P（x＞120）＝0.3．故综合质量指标值在[100，120]内的产品件数为1000×0.3＝300．故选：B．【点评】本题考查正态分布密度函数的性质及应用，要注意利用正态曲线的对称性求解概率，同时考查学生利用转化思想解决问题的能力，属于中档题．4．已知sin(α2−π4)=√33，则cos2α＝（）A．79B．−79C．2√23D．−2√23【分析】由已知利用二倍角的余弦函数公式可求cos（α−π2），利用诱导公式可求sinα，再根据二倍角的余弦函数公式即可计算得解．解：∵sin(α2−π4)=√33，∴cos（α−π2）＝1﹣2sin2（α2−π4）＝1﹣2×（√33）2=13，即sinα=13，∴cos2α＝1﹣2sin2α＝1﹣2×（13）2=79．故选：A．【点评】本题主要考查了二倍角的余弦函数公式，诱导公式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．5．已知p：﹣2≤x﹣y≤2且﹣2≤x+y≤2，q：x2+y2≤2，则p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】p：﹣2≤x﹣y≤2且﹣2≤x+y≤2，可得：﹣2≤x≤2，﹣2≤y≤2．q：x2+y2≤2，可得：−√2≤x≤√2，−√2≤y≤√2．即可判断出关系．解：p：﹣2≤x﹣y≤2且﹣2≤x+y≤2，可得：﹣2≤x≤2，﹣2≤y≤2．q：x2+y2≤2，可得：−√2≤x≤√2，−√2≤y≤√2．∴由q⇒p，由p无法得出q．∴p是q的必要不充分条件．故选：B．【点评】本题考查了不等式的应用、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．6．已知函数f（x）的定义域为R且满足f（﹣x）＝﹣f（x），f（x）＝f（2﹣x），若f（1）＝4，则f（6）+f（7）＝（）A．﹣8B．﹣4C．0D．4【分析】推导出f（x+4）＝f（2﹣x﹣4）＝﹣f（x+2）＝﹣f（2﹣x﹣2）＝f（x），f（0）＝0，由此根据f（1）＝4，能求出f（6）+f（7）的值．解：∵函数f（x）的定义域为R且满足f（﹣x）＝﹣f（x），f（x）＝f（2﹣x），∴f（x+4）＝f（2﹣x﹣4）＝﹣f（x+2）＝﹣f（2﹣x﹣2）＝f（x），f（0）＝0，∵f （1）＝4，∴f （6）＝f （2）＝f （0）＝0，f （7）＝f （3）＝f （﹣1）＝﹣f （1）＝﹣4， 则f （6）+f （7）＝0﹣4＝﹣4． 故选：B ．【点评】本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．7．已知函数f(x)=√3sinωx −cosωx(ω＞0)，f （x 1）＝2，f （x 2）＝﹣2，且|x 1﹣x 2|最小值为π2，若将y ＝f （x ）的图象沿x 轴向左平移φ（φ＞0）个单位，所得图象关于原点对称，则实数φ的最小值为（ ）A ．π12B ．π6C ．π3D ．7π12【分析】直接利用三角函数关系式的恒等变换把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步利用函数的性质的应用求出结果．解：函数f(x)=√3sinωx −cosωx(ω＞0)=2sin （ωx −π6），由于函数满足f （x 1）＝2，f （x 2）＝﹣2，且|x 1﹣x 2|最小值为π2，所以T ＝π，解得ω＝2．故f （x ）＝2sin （2x −π6）．将y ＝f （x ）的图象沿x 轴向左平移φ（φ＞0）个单位，所得函数g （x ）＝2sin （2x +2φ−π6）图象，由于函数g （x ）关于原点对称，所以2φ−π6=k π（k ∈Z ），解得φ=kπ2+π12（k ∈Z ），当k ＝0时，φ=π12， 即实数φ的最小值为π12．故选：A ．【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，函数的图象的平移变换的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．8．2020年2月，在新型冠状病毒感染的肺炎疫情防控工作期间，某单位有4名党员报名参加该地四个社区的疫情防控服务工作，假设每名党员均从这四个社区中任意选取一个社区参加疫情防控服务工作，则恰有一个社区未被这4名党员选取的概率为（ ）A ．81256B ．2764C ．964D ．916【分析】基本事件总数n ＝44，恰有一个社区未被这4名党员选取包含的基本事件个数m =C 41C 42A 33，由此能求出恰有一个社区未被这4名党员选取的概率．解：某单位有4名党员报名参加该地四个社区的疫情防控服务工作， 假设每名党员均从这四个社区中任意选取一个社区参加疫情防控服务工作， 基本事件总数n ＝44，恰有一个社区未被这4名党员选取包含的基本事件个数m =C 41C 42A 33，则恰有一个社区未被这4名党员选取的概率为P =m n =C 41C 42A 3344=916．故选：D ．【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．9．已知f(x)={(3a −4)x −2a ，x ＜1log a x ，x ≥1对任意x 1，x 2∈（﹣∞，+∞）且x 1≠x 2，都有f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2＞0，那么实数a 的取值范围是（ ）A ．（1，+∞）B ．（0，1）C ．(43，2] D ．(43，4]【分析】根据题意，由函数单调性的定义分析可得函数f （x ）在R 上是增函数，结合函数的解析式可得{3a −4＞0a ＞1(3a −4)−2a ≤log a 1，解可得a 的取值范围，即可得答案．解：根据题意，f （x ）满足对任意x 1，x 2∈（﹣∞，+∞）且x 1≠x 2，都有f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2＞0，则函数f （x ）在R 上是增函数，又由f(x)={(3a −4)x −2a ，x ＜1log a x ，x ≥1，则有{3a −4＞0a ＞1(3a −4)−2a ≤log a 1，解可得：43＜a ＜4，即a 的取值范围为（43，4）．故选：D ．【点评】本题考查分段函数的单调性，注意函数单调性的定义，属于基础题． 10．在三棱锥P ﹣ABC 中，∠BAC ＝60°，∠PBA ＝∠PCA ＝90°，PB ＝PC =√6，点P 到底面ABC 的距离为2，则三棱锥P ﹣ABC 的外接球的体积为（ ） A ．4πB ．3√3πC ．4√3πD ．36π【分析】先由题设条件找到球心的位置，再利用∠BAC ＝60°，∠PBA ＝∠PCA ＝90°，PB ＝PC =√6⇒△ABC 为等边三角形，进一步找出球的半径，计算出体积． 解：如图，记PA 的中点为O ，连OB ，OC ．∵∠PBA ＝∠PCA ＝90°， ∴OA ＝OP ＝OB ＝OC ，因此O 为三棱锥P ﹣ABC 的外接球的球心． 又∵PB ＝PC =√6，∴△PAB ≌△PAC ，∴AB ＝AC ．又∠BAC ＝60°， ∴△ABC 为等边三角形．记点O 在底面ABC 内的射影为O 1，则O 1为△ABC 的中心．连接OO 1，O 1A ，点P 到底面ABC 的距离为2，∴OO 1＝1．设AB ＝a ，则O 1A =√33a ．在直角三角形PBA 中，PA =√6+a 2．在直角三角形OO 1A 中，OA 2＝1+（√3a 3）2＝1+a 23=|PA|24=6+a 24，解得：a =√6， ∴三棱锥P ﹣ABC 的外接球的半径R ＝OA =√3．所以三棱锥P ﹣ABC 的外接球的体积V =43π（√3）3＝4√3π． 故选：C ．【点评】本题主要考查多面体的外接球问题，属于基础题．11．已知双曲线C ：x 2a −y 2b =1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，一条渐近线为l ，过点F 2且与l 平行的直线交双曲线C 于点M ，若|MF 1|＝2|MF 2|，则双曲线C 的离心率为（ ） A ．√2B ．√3C ．√5D ．√6【分析】利用已知条件，结合双曲线定义，通过余弦定理以及渐近线的斜率，列出关系式求解双曲线的离心率即可． 解：由题意可知|MF 1|﹣|MF 2|＝2a ，所以|MF 2|＝2a ，|MF 1|＝4a ，所以16a 2＝4a 2+4c 2﹣2×2a ×2c cos ∠MF 2F 1，tan∠MF2F1=ba，所以cos∠MF2F1=ac，所以：16a2＝4a2+4c2﹣2×2a×2c×ac，可得5a2＝4c2．所以双曲线的离心率为：e=√5．故选：C．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．12．已知函数f（x）＝（lnx+1﹣ax）（e x﹣2m﹣ax），若存在实数a使得f（x）＜0恒成立，则实数m的取值范围是（）A．(12，+∞)B．(−∞，12)C．(12，1)D．(−1，12)【分析】分析题意可知，存在实数a，使得直线y＝ax始终在函数g（x）＝lnx+1与函数h（x）＝e x﹣2m之间，作出函数g（x）与函数h（x）的图象，只需分析出极限情况即可得解．解：依题意，存在实数a，使得直线y＝ax始终在函数g（x）＝lnx+1与函数h（x）＝e x﹣2m之间，考虑直线y＝ax与函数g（x），函数h（x）均相切于同一点的情况，设切点为（x0，y0），由g′(x)=1x，h′(x)=ex−2m可知，{1x0=e x0−2my0=e x0−2my0=lnx0+1，解得{x0=1y0=1m=12，作出图象如下，由图象观察可知，当m ＜12时，函数h （x ）越偏离函数g （x ），符合题意，即实数m 的取值范围为(−∞，12)． 故选：B ．【点评】本题考查利用导数研究不等式的恒成立问题，涉及了导数的几何意义的运用，考查等价转化思想，推理能力与计算能力，理解题意是关键，属于较难难题．二、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分．把答案填写在答题卡相应的位置上．13．设非零向量a →，b →满足a →⊥(a →−b →)，且|b →|=2|a →|，则向量a →与b →的夹角为 π3 ．【分析】根据题意，设向量a →与b →的夹角为θ，设|a →|＝t ，则|b →|＝2t ，由向量垂直与数量积的关系可得a →•（a →−b →）=a →2−a →•b →=t 2﹣2t 2cos θ＝0，变形可得cos θ的值，结合θ的范围分析可得答案．解：根据题意，设向量a →与b →的夹角为θ，又由|b →|=2|a →|，设|a →|＝t ≠0，则|b →|＝2t ，又由a →⊥(a →−b →)，则a →•（a →−b →）=a →2−a →•b →=t 2﹣2t 2cos θ＝0，变形可得：cos θ=12；又由0≤θ≤π，则θ=π3； 故答案为：π3．【点评】本题考查向量数量积的计算，涉及向量垂直的性质以及应用，属于基础题． 14．过抛物线y 2＝8x 焦点的直线PC 与该抛物线相交于A ，B 两点，点P （4，y 0）是AB 的中点，则|AB |的值为 12 ．【分析】通过抛物线的方程可知p ＝4，利用中点坐标公式可知x A +x B ＝2×4＝8，最后结合抛物线的定义即可求得焦点弦|AB|的长度．解：∵抛物线y2＝8x，∴p＝4，又点P（4，y0）是AB的中点，∴x A+x B＝2×4＝8，由抛物线的定义可知，|AB|＝x A+x B+p＝x A+x B+4＝8+4＝12．故答案为：12．【点评】本题考查抛物线的定义及其焦点弦的应用，考查学生的分析能力和运算能力，属于基础题．15．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的外接圆面积为16π，且cos2C﹣cos2B＝sin2A+sin A sin C，则a+c的最大值为8．【分析】设△ABC的外接圆的半径为R．根据△ABC的外接圆面积为16π，利用正弦定理可得R．由cos2C﹣cos2B＝sin2A+sin A sin C，化为：1﹣sin2C﹣（1﹣sin2B）＝sin2A+sin A sin C，利用正弦定理及其余弦定理可得B，进而得出b．利用基本不等式的性质即可得出．解：设△ABC的外接圆的半径为R．∵△ABC的外接圆面积为16π，∴16π＝πR2，解得R＝4．∵cos2C﹣cos2B＝sin2A+sin A sin C，∴1﹣sin2C﹣（1﹣sin2B）＝sin2A+sin A sin C，∴b2﹣c2＝a2+ac，即c2+a2﹣b2＝﹣ac，∴cos B=a2+c2−b 22ac =−ac2ac=−12，B∈（0，π），解得B=2π3．∴b＝2R sin B＝8×√32=4√3．∴（c+a）2＝ac+(4√3)2≤(a+c)24+48，∴c+a≤8．当且仅当a＝c＝4时取等号．故答案为：8．【点评】本题考查了正弦定理余弦定理、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．16．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AC∩BD＝O，E是B1C（不含端点）上一动点，则下列正确结论的序号是②③．①D1O⊥平面A1C1D；②OE∥平面A1C1D；③三棱锥A1﹣BDE体积为定值；④二面角B1﹣AC﹣B的平面角的正弦值为√6．6【分析】根据正方体的几何特征，即可判断各命题的真假．解：如图所示，取AD中点F，连接OF，D1F，因为OF⊥平面ADD1A1，所以D1F为OD1在平面ADD1A1的射影，显然，D1F不垂直于A1D，故OD1不垂直于A1D，D1O不垂直于平面A1C1D，①错误；因为AC∥A1C1，B1C∥A1D，所以平面ACB1∥平面A1C1D，而OE⊂平面ACB1，根据线面平行的定义可知，OE∥平面A1C1D，所以②正确；因为B1C∥A1D，所以B1C∥平面A1BD，故点E到平面A1BD等于点C到平面A1BD的距离，所以三棱锥A1﹣BDE体积为定值，③正确；因为B 1B ⊥平面ABC ，AC ⊥BD ，所以∠B 1OB 为二面角B 1﹣AC ﹣B 的平面角的平面角，在△B 1BO 中，tan ∠B 1OB =22=√2，sin ∠B 1OB =√23=√63，④错误．故答案为：②③．【点评】本题主要考查利用面面平行的判定定理，线面平行的定义，线面垂直的判定定理判断命题真假，以及三棱锥体积的求法，二面角的求法的应用， 考查学生的直观想象能力和逻辑推理能力，属于中档题．三、解答题：共70分．解答时应写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程．并答在答题卡相应的位置上．第17题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22题～第23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分 17．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a n +1＝2S n +1． （Ⅰ）求{a n }的通项公式；（Ⅱ）设b n ＝log 3（a n •a n +1），数列{b n }的前n 项和为T n ，求证：1T 1+1T 2+⋯+1T n＜2．【分析】本题第（Ⅰ）题根据题干a n +1＝2S n +1，可得当n ≥2时有a n ＝2S n ﹣1+1成立，两式相减后再运用公式a n ＝S n ﹣S n ﹣1（n ≥2），进一步转化计算可判断出数列{a n }是以1为首项，以3为公比的等比数列，即可得到数列{a n }的通项公式；第（Ⅱ）题先由第（Ⅰ）题的结果计算出数列{b n }的通项公式并判别出数列{b n }是以1为首项，2为公差的等差数列，再通过等差数列的求和公式可计算出T n的表达式，再代入1 T1+1T2+⋯+1T n进行计算时运用1n2＜1n−1−1n（n≥2）进行放缩即可证明不等式成立．【解答】（Ⅰ）解：依题意，由a n+1＝2S n+1，可得当n≥2时，a n＝2S n﹣1+1，两式相减，得a n+1﹣a n＝2S n+1﹣2S n﹣1﹣1＝3a n（n≥2），又∵a1＝1，a2＝2S1+1＝2×1+1＝3，∴a2＝3a1符合上式，∴数列{a n}是以1为首项，以3为公比的等比数列，故a n=3n−1，n∈N*．（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知，b n＝log3（a n•a n+1）＝log3（3n﹣1•3n）＝log332n﹣1＝2n﹣1，则b n＝2n﹣1＝1+（n﹣1）•2，故数列{b n}是以1为首项，2为公差的等差数列，∴T n=n(1+2n−1)2=n2，∴1T1+1T2+⋯+1T n=1 12+122+⋯+1n2＜1+11⋅2+12⋅3+⋯+1(n−1)n＝1+1−12+12−13+⋯+1n−1−1n＝2−1 n＜2，∴不等式1T1+1T2+⋯+1T n＜2成立．【点评】本题主要考查数列求通项公式，数列求和与不等式的综合问题．考查了转化与化归思想，放缩法，定义法，指、对数的运算，以及逻辑思维能力和数学运算能力．本题属中档题．18．某工厂通过改进生产工艺来提高产品的合格率，现从改进工艺前和改进工艺后所生产的产品中用随机抽样的方法各抽取了容量为100的样本，得到如表的2×2列联表：改进工艺前改进工艺后合计合格品8595180次品15520合计100100200（Ⅰ）是否有99%的把握认为“提高产品的合格率与改进生产工艺有关”？（Ⅱ）该工厂有甲、乙两名工人均使用改进工艺后的新技术进行生产，每天各生产50件产品，如果每生产1件合格品可获利30元，生产1件次品损失50元．甲、乙两名工人30天中每天出现次品的件数和对应的天数统计如表：甲一天生产的次品数（件）01234对应的天数（天）281073乙一天生产的次品数（件）01234对应的天数（天）369102将统计的30天中产生不同次品数的天数的频率作为概率，记X表示甲、乙两名工人一天中各自日利润不少于1340元的人数之和，求随机变量X的分布列和数学期望．附：P （K 2≥k 0）0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 02.0722.7063.841 5.0246.6357.87910.828K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，n ＝a +b +c +d ．【分析】（Ⅰ）求出K 2，即可判断是否有99%的把握认为“提高产品的合格率与改进生产工艺有关”．（Ⅱ）每天生产的次品数为x ，X 的可能值为0，1，2，求出概率，得到分布列，然后求解期望即可．解：（Ⅰ）K 2=200×(85×5−95×15)2100×100×20×180=509≈5.556＜6.635．∴没有99%的把握认为“提高产品的合格率与改进生产工艺有关”． （Ⅱ）∵每天生产的次品数为x ，日利润y ＝30（50﹣x ）﹣50x ＝1500﹣80x ，其中0≤x ≤4，x ∈N ． 由1500﹣80x ≥1340得0≤x ≤2．∵X 是甲、乙1天中生产的次品数不超过2件的人数之和， ∴X 的可能值为0，1，2，又甲1天中生产的次品数不超过2件的概率为2+8+1030=23，乙1天中生产的次品数不超过2件的概率为3+6+930=35，∴P(X =0)=13×25=215，P(X =1)=23×25+13×35=715，P(X =2)=23×35=615， ∴随机变量X 的分布列为：X12P215715615∴E(X)=0×215+1×715+2×615=1915．【点评】本题考查离散型随机变量的分布列以及期望的求法，考查转化思想以及计算能力，是中档题．19．如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点M，N分别是AB，CC1的中点，D为AB1与A1B的交点．（Ⅰ）求证：CM∥平面AB1N；（Ⅱ）已知AB＝2，AA1＝4，求A1B1与平面AB1N所成角的正弦值．【分析】（Ⅰ）连接DM，DN．由已知可得BB1∥CC1，BB1＝CC1，且四边形AA1B1B 是矩形，结合D为AB1的中点．即可证明四边形CMDN是平行四边形，得CM∥DN，再由直线与平面平行的判定可得CM∥平面AB1N；（Ⅱ）取BC的中点为O，B1C1的中点为E，连接AO，OE，证得AO⊥平面BB1C1C．以OB，OE，OA所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，求出A1B1→的坐标与平面AB1N 的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得A1B1与平面AB1N所成角的正弦值．【解答】（Ⅰ）证明：连接DM，DN．在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BB1∥CC1，BB1＝CC1，且四边形AA1B1B是矩形，∴D为AB1的中点．又∵M为AB的中点，∴DM∥BB1，且DM=12BB1．∵N 为CC 1 的中点，∴CN =12CC 1， ∴DM ＝CN ，且DM ∥CN ，∴四边形CMDN 是平行四边形，得CM ∥DN ， 又DN ⊂平面AB 1N ，CM ⊄平面AB 1N ， ∴CM ∥平面AB 1N ；（Ⅱ）解：取BC 的中点为O ，B 1C 1 的中点为E ，连接AO ，OE ， ∵△ABC 为正三角形，∴AO ⊥BC ，又平面BB 1C 1C ⊥平面ABC ，∴AO ⊥平面BB 1C 1C ．以OB ，OE ，OA 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，如图所示． 则A （0，0，√3），A 1（0，4，√3），B 1（1，4，0），N （﹣1，2，0）， A 1B 1→=(1，0，−√3)，AB 1→=(1，4，−√3)，B 1N →=(−2，−2，0)． 设平面AB 1N 的法向量为n →=(x ，y ，z)，则{n →⋅AB 1→=x +4y −√3z =0n →⋅B 1N →=−2x −2y =0，令x ＝1，得n →=(1，−1，−√3)． 设A 1B 1与平面AB 1N 所成角为θ，则sin θ＝|cos ＜A 1B 1→，n →＞|＝|A 1B 1→⋅n→|A 1B 1→|⋅|n →||=25=2√55． ∴A 1B 1与平面AB 1N 所成角的正弦值为2√55．【点评】本题考查直线与平面平行的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解空间角，是中档题．20．已知圆C ：（x +2）2+y 2＝24与定点M （2，0），动圆I 过M 点且与圆C 相切， 记动圆圆心I 的轨迹为曲线E ． （Ⅰ）求曲线E 的方程；（Ⅱ）斜率为k 的直线l 过点M ，且与曲线E 交于A ，B 两点，P 为直线x ＝3上的一点，若△ABP 为等边三角形，求直线l 的方程．【分析】（Ⅰ）设圆I 的半径为r ，由题意可得|IC |+|IM |＝2√6＞4为定值，由椭圆的定义可得E 的轨迹为椭圆，且可知a ，c 的值，再由a ，b ，c 之间的关系求出椭圆的方程； （Ⅱ）设直线l 的方程，与椭圆联立求出两根之和及两根之积，求出AB 的中点D 的坐标，进而求出弦长|AB |，可得直线PQ 的斜率，再由P 在直线x ＝3上，可得|PQ |的长，由△ABP 为等边三角形时，|PQ |=√32|AB |，进而求出k 的值．解：（Ⅰ）设圆I 的半径为r ，题意可知，点I 满足： |IC |＝2√6−r ，|IM |＝r ， 所以，|IC |+|IM |＝2√6，由椭圆定义知点I 的轨迹是以C ，M 为焦点的椭圆， 所以a =√6，c ＝2，b =√2， 故轨迹E 方程为：x 26+y 22=1；（Ⅱ）直线l 的方程为y ＝k （x ﹣2），联{x 26+y 22=1y =k(x −2)消去y 得（1+3k 2）x 2﹣12k 2x +12k 2﹣6＝0．直线y ＝k （x ﹣2）恒过定点（2，0），在椭圆内部，所以△＞0恒成立，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）， 则有x 1+x 2=12k21+3k2，x 1x 2=12k 2−61+3k2，所以|AB |=√1+k 2|x 1﹣x 2|=√1+k 2√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=2√6(1+k 2)1+3k2，设AB 的中点为Q （x 0，y 0），则x 0=6k21+3k2，y 0=−2k 1+3k2，直线PQ 的斜率为−1k（由题意知k ≠0），又P 为直线x ＝3上的一点，所以x P ＝3，|PQ |=√1+1k2|x 0﹣x P |=√1+k2k2−3(1+k 2)1+3k2， 当△ABP 为等边三角形时，|PQ |=√32|AB |，即√1+k 2k 2−3(1+k 2)1+3k2=√32−2√6(1+k 2)1+3k2，解得k ＝±1，即直线l 的方程为x ﹣y ﹣2＝0，或x +y ﹣2＝0．【点评】本题考查求轨迹方程和直线与椭圆的综合，及等边三角形的性质，属于中档题．21．设函数f （x ）=e xx，g （x ）＝lnx +1x ．（Ⅰ）若直线x ＝m （m ＞0）与曲线f （x ）和g （x ）分别交于点P 和Q ，求|PQ |的最小值；（Ⅱ）设函数F （x ）＝xf （x ）[a +g （x ）]，当a ∈（0，ln 2）时，证明：F （x ）存在极小值点x 0，且e x 0（a +lnx 0）＜0．【分析】（Ⅰ）设函数h(x)=f(x)−g(x)=e xx−lnx−1x(x＞0)，利用导数求出函数h（x）在定义域上的最小值，即为|PQ|的最小值；（Ⅱ）对函数F(x)=e x(a+1x+lnx)求导得F′(x)=e x(a+2x−1x2+lnx)，分析可知当x∈(12，x0)，F（x）单调递减；当x∈（x0，1），F（x）单调递增，进而得证x0是F（x）的极小值点，且x0∈(12，1)，a+lnx0=1x02−2x=1−2x0x02，由此可证ex0（a+lnx0）＜0．解：（Ⅰ）设函数h(x)=f(x)−g(x)=e xx−lnx−1x(x＞0)，则h′(x)=xex−e xx2−1x+1x2=(x−1)(e x−1)x2，当x∈（0，+∞）时，e x﹣1＞0，故当x∈（0，1）时，h′（x）＜0，h（x）单调递减，当x∈（1，+∞）时，h′（x）＞0，h（x）单调递增，∴h（x）在（0，+∞）上有最小值h（1）＝e﹣1，∴当m＝1时，|PQ|的最小值为e﹣1；（Ⅱ）证明：F(x)=e x(a+1x+lnx)，则F′(x)=e x(a+2x−1x2+lnx)，因为e x＞0，所以F′（x）与a+2x−1x2+lnx同号．设t(x)=a+2x−1x2+lnx，则t′(x)=x2−2x+2x3=(x−1)2+1x3＞0，故t（x）在（0，+∞）单调递增，因a∈（0，ln2），t（1）＝a+1＞0，t(12)=a+ln12＜0，所以存在x0∈(12，1)，使得t（x0）＝0，当x∈(12，x0)，F′（x）＜0，F（x）单调递减；当x ∈（x 0，1），F ′（x ）＞0，F （x ）单调递增；所以若a ∈（0，ln 2），存在x 0∈(12，1)，使得x 0是F （x ）的极小值点，由t （x 0）＝0得a +2x 0−1x 02+lnx 0=0，即a +lnx 0=1x 02−2x 0=1−2xx 02， 所以e x 0(a +lnx 0)=e x 0⋅1−2x 0x 02＜0． 【点评】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，极值及最值，考查转化思想及推理论证能力，属于中档题． 一、选择题22．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为{x =2+√22ty =√22t（t 为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρsin 2θ＝8cos θ． （Ⅰ）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；（Ⅱ）已知点M 的直角坐标为（2，0），直线l 和曲线C 交于A 、B 两点，求1|MA|+1|MB|的值．【分析】（Ⅰ）直接将直线的参数方程中的参数t 消去，可得直线的普通方程，利用极坐标方程与直角坐标方程的互化公式可得曲线C 的直角坐标方程；（Ⅱ）将直线的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程，化为关于t 的一元二次方程，由根与系数的关系结合此时t 的几何意义求解．解：（Ⅰ）将{x =2+√22ty =√22t 中参数t 消去得x ﹣y ﹣2＝0， 将{x =ρcosθy =ρsinθ代入ρsin 2θ＝8cos θ，得y 2＝8x ， ∴直线l 和曲线C 的直角坐标方程分别为x ﹣y ﹣2＝0和y 2＝8x ；（Ⅱ）将直线l 的参数方程代入曲线C 的普通方程，得t 2−8√2t −32=0，设A 、B 两点对应的参数为t 1，t 2，则|MA |＝|t 1|，|MB |＝|t 2|，且t 1+t 2=8√2，t 1t 2＝﹣32，∴|t 1|+|t 2|=|t 1−t 2|=√(t 1+t 2)2−4t 1t 2=16， ∴1|MA|+1|MB|=1|t 1|+1|t 2|=|t 1|+|t 2||t 1t 2|=|t 1−t 2||t 1t 2|=12．【点评】本题考查简单曲线的极坐标方程，考查参数方程化普通方程，关键是直线参数方程中此时t 的几何意义的应用，是中档题． [选修4-5：不等式选讲] 23．已知f （x ）＝|2x +a 2|．（Ⅰ）当a ＝2时，求不等式f （x ）+|x ﹣1|≥5的解集；（Ⅱ）若对于任意实数x ，不等式|2x +3|﹣f （x ）＜2a 成立，求实数a 的取值范围． 【分析】（Ⅰ）由题意可得|2x +4|+|x ﹣1|≥5，由零点分区间法，绝对值的定义，去绝对值，解不等式，求并集，即可得到所求解集；（Ⅱ）由题意可得|2x +3|﹣|2x +a 2|＜2a 恒成立，运用绝对值不等式的性质可得该不等式左边的最大值，再由绝对值的解法和二次不等式的解法可得所求范围． 解：（Ⅰ）当a ＝2时，f （x ）+|x ﹣1|＝|2x +4|+|x ﹣1|≥5，则{x ＜−2−2x −4−x +1≥5或{−2≤x ≤12x +4−x +1≥5或{x ＞12x +4+x −1≥5， 解得x ≤−83或0≤x ≤1或x ＞1，所以原不等式的解集为（﹣∞，−83]∪[0，+∞）； （Ⅱ）对于任意实数x ，不等式|2x +3|﹣f （x ）＜2a 成立， 即|2x +3|﹣|2x +a 2|＜2a 恒成立，又因为|2x +3|﹣|2x +a 2|≤|2x +3﹣2x ﹣a 2|＝|a 2﹣3|，要使原不等式恒成立，则只需|a 2﹣3|＜2a ， 由﹣2a ＜a 2﹣3＜2a ，即{a 2+2a −3＞0a 2−2a −3＜0，即为{a ＞1或a ＜−3−1＜a ＜3， 可得1＜a ＜3，所以实数a 的取值范围是（1，3）．【点评】本题考查绝对值不等式的解法，注意运用分类讨论思想，考查不等式恒成立问题解法，注意运用绝对值不等式的性质，考查化简运算能力和推理能力，属于中档题．。
重庆市名校联盟2020届高三“二诊”模拟数学(理)试题(B卷) 含答案
试卷类型：B重庆市名校联盟高2020级“二诊”模拟考试理科数学（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的） 1．设集合{|{|19}A x y B x x ===<≤，则=A ．(1,3)B ．(3,9)C ．[3,9]D ．∅2．设43z i =-，则在复平面内1z对应的点位于 A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．若x ，y 满足约束条件40,20,20,x y x x y -+≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≥⎩且z ax y =+的最大值为26a +，则a 的取值范围是A ．[1,)-+∞B ．(,1]-∞-C ．(1,)-+∞D ．(,1)-∞-4．小方，小明，小马，小红四人参加完某项比赛，当问到四人谁得第一时，小方：“我得第一名”；小明：“小红没得第一名”；小马：“小明没得第一名”；小红：“我得第一名”．已知他们四人中只有一人说真话，且只有一人得第一名．根据以上信息可以判断出得第一名的人是A ．小明B ．小马C ．小红D ．小方()B A C R I5．设点O 在ABC ∆的内部,且有()32AB OB OC =+u u u v u u u v u u u v,则ABC ∆的面积与BOC ∆的面积之比为A ．3B ．13C ．2D ．126．《算法统宗》全称《新编直指算法统宗》，是屮国古代数学名著，程大位著.书中有如下问题：“今有五人均银四十两，甲得十两四钱，戊得五两六钱.问：次第均之，乙丙丁各该若干？”意思是：有5人分40两银子，甲分10两4钱，戊分5两6钱，且相邻两项差相等，则乙丙丁各分几两几钱？（注：1两等于10钱） A ．乙分8两，丙分8两，丁分8两B ．乙分8两2钱，丙分8两，丁分7两8钱C ．乙分9两2钱，丙分8两，丁分6两8钱D ．乙分9两，丙分8两，丁分7两7．设实数1a -=⎰，则6212ax x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中的常数项为 A ．352π-B ．320π-C ．41516πD ．415π8．在直角坐标系xOy 中，角α的顶点在原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边与圆22:4O x y +=交于第一象限内的点P ，点P 的纵坐标为23，把射线OP 顺时针旋转3π，到达射线OQ ，Q 点在圆O 上，则Q 的横坐标是A ．6B C D 9．下图是一个算法的程序框图，如果输入0i =，0S =，那么输出的结果为A ．23B ．34C ．45D ．5610．设函数()f x 是定义在(1,)-+∞上的连续函数，且在0x =处存在导数，若函数()f x 及其导函数()f x '满足()f x '()()ln(1)1f x f x x x x +-¢=+，则函数()f x ( ) A ．既有极大值又有极小值 B ．有极大值 ，无极小值 C ．有极小值，无极大值D ．既无极大值也无极小值11．过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点F 作渐近线的垂线，设垂足为P （P 为第一象限的点），延长FP 交抛物线22(0)y px p =>于点Q ，其中该双曲线与抛物线有一个共同的焦点，若1()2OP OF OQ =+u u u r u u u r u u u r，则双曲线的离心率的平方为A ．5B ．5 C ．51+ D ．51+ 12．奔驰定理：已知O 是ABC ∆内的一点，BOC ∆，AOC ∆，AOB ∆的面积分别为A S ，B S ，C S ，则0A B C S OA S OB S OC ⋅+⋅+⋅=ru u u v u u u v u u u v ．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车（Mercedes benz ）的logo 很相似，故形象地称其为“奔驰定理”若O 是锐角ABC ∆内的一点，A ，B ，C 是ABC ∆的三个内角，且点O 满足OA OB OB OC OC OA ⋅=⋅=⋅u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v，则必有A ．sin sin sin 0A OAB OBC OC ⋅+⋅+⋅=ru u u v u u u v u u u vB ．cos cos cos 0A OA B OBC OC ⋅+⋅+⋅=u u u v u u u v u u u v vC ．tan tan tan 0A OA B OB C OC ⋅+⋅+⋅=ru u u v u u u v u u u vD ．sin 2sin 2sin 20A OA B OB C OC ⋅+⋅+⋅=ru u u v u u u v u u u v二、填空题微博橙子辅导（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知实数x ，y 满足22020220x y x y x y --≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≥⎩，则3z x y =-的最小值为________．14．已知等差数列{}n a 和等差数列{}n b 的前n 项和分别为,n n S T ，且()*3221n n S n n N T n +=∈-，则33a b =______. 15．长沙市为了支援边远山区的教育事业，组织了一支由13名教师组成的队伍下乡支教，记者采访队长时询问这个团队的构成情况，队长回答：“（1）有中学高级教师；（2）中学教师不多于小学教师；（3）小学高级教师少于中学中级教师；（4）小学中级教师少于小学高级教师；（5）支教队伍的职称只有小学中级、小学高级、中学中级、中学高级；（6）无论是否把我计算在内，以上条件都成立．”由队长的叙述可以推测出他的学段及职称分别是____． 16．定义函数{}12()min (),()f x f x f x =，表示函数1()f x 与2()f x 较小的函数．设函数1()2x f x =，2()32x pf x -=⋅，p 为正实数，若关于x 的方程()3f x =恰有三个不同的解，则这三个解分别是________．三、解答题微博橙子辅导（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．(本小题满分12分)在中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且()222(2)2cos a c a b c abc C --+=.（1）求角B 的大小；（2）若3sin 13cos 02A C ⎛⎫+-+= ⎪ ⎪⎭，求ba 的值.18．(本小题满分12分)如图1所示，在等腰梯形ABCD 中， ,3,15,33BE AD BC AD BE ⊥===.把ABE ∆沿BE 折起，使得62AC =，得到四棱锥A BCDE -.如图2所示.（1）求证：面ACE ⊥面ABD ；（2）求平面ABE 与平面ACD 所成锐二面角的余弦值.19．(本小题满分12分)已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>，1F 、2F 为椭圆的左、右焦点，21,2P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭为椭圆上一点，且132||2PF =. （1）求椭圆的标准方程；ABC ∆（2）设直线:2l x =-，过点2F 的直线交椭圆于A 、B 两点，线段AB 的垂直平分线分别交直线l 、直线AB 于M 、N 两点，当MAN ∠最小时，求直线AB 的方程.20．(本小题满分12分) 已知函数()ln 1x f x x+=. （1）求函数()f x 的单调区间和极值；（2）证明：()()2*222ln 2ln 3ln 21,22341n n n n N n n n --++⋅⋅⋅+<∈≥+. 21．(本小题满分12分)手工艺是一种生活态度和对传统的坚持，在我国有很多手工艺品制作村落，村民的手工技艺世代相传，有些村落制造出的手工艺品不仅全国闻名，还大量远销海外.近年来某手工艺品村制作的手工艺品在国外备受欢迎，该村村民成立了手工艺品外销合作社，为严把质量关，合作社对村民制作的每件手工艺品都请3位行家进行质量把关，质量把关程序如下：（i ）若一件手工艺品3位行家都认为质量过关，则该手工艺品质量为A 级；（ii ）若仅有1位行家认为质量不过关，再由另外2位行家进行第二次质量把关，若第二次质量把关这2位行家都认为质量过关，则该手工艺品质量为B 级，若第二次质量把关这2位行家中有1位或2位认为质量不过关，则该手工艺品质量为C 级；（iii ）若有2位或3位行家认为质量不过关，则该手工艺品质量为D 级.已知每一次质量把关中一件手工艺品被1位行家认为质量不过关的概率为13，且各手工艺品质量是否过关相互独立. （1）求一件手工艺品质量为B 级的概率；（2）若一件手工艺品质量为A ,B ,C 级均可外销，且利润分别为900元，600元，300元，质量为D 级不能外销，利润记为100元.①求10件手工艺品中不能外销的手工艺品最有可能是多少件； ②记1件手工艺品的利润为X 元，求X 的分布列与期望.请考生在第22、23两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所微博橙子辅导做的第一个题目计分． 22．(本小题满分10分)在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2221121t x t t y t ⎧-=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩（t 为参数）.点()00,p x y 在曲线C 上，点(,)Q m n满足002m x n =⎧⎪⎨=⎪⎩. （1）以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求动点Q 的轨迹1C 的极坐标方程；（2）点A ，B 分别是曲线1C 上第一象限，第二象限上两点，且满足2AOB π∠=，求2211||||OA OB +的值.23．(本小题满分10分) 设函数()211f x x x =-++. （1）求不等式()4f x ≥的解集；（2）记函数()f x 的最小值为t ，若,,a b c 为正实数，且a b c t ++=，求222a b c ++的最小值.理科数学参考答案（B卷）17．（1）∵角,,A B C的对边分别为,,a b c，且()()22222cosa c abc abc C--+=∴()()2222cos2a c a c bb Cac-+-=，∴()2cos cosa c Bb C-=∴cos2cosb Ba c C=-，∵由正弦定理得：2sin sin sina b cRA B C===，∴2sina R A=，2sinb R B=，2sinc R C=，∴2sin cos4sin2sin cosR B BR A R C C=-，∴2sin cos sin cos sin cosA B C B B C-=，∴2sin cos sin cos cos sinA B C B C B=+()sin sinC B A=+=，∵sin0A≠，∴1cos2B=∵()000,180B∈，∴060B=.（2）∵sin1cos0A C++=⎭，∴3sin102A C+-=，∴1sin2A C=，∵060B=，∴0018060C A=--，∴0120C A=-，∴()1sin1202A A-=，∴)001sin cos120cos sin120sin2A A A+=∴131sin cos sin222A A A⎛⎫--=⎪⎝⎭p p+=11sin 22A A -=∴()1cos 302A +=∵000120A <<，∴0003030150A <+<∴030A =∵由正弦定理得：sin sin a bA B=，060B =，030A =，∴0sin sin6021sin sin302b B a A ====18．（1）证明：在等腰梯形ABCD 中3,15,BC AD BE AD ==⊥，可知6,9AE DE ==.因为3,BC BE BE AD ==⊥，可得6CE =.又因为6,AE AC ==222AC CE AE =+，则AE EC ⊥.又,BE AE BE EC E ⊥⋂=，可得AE ⊥面BCDE ，故AE BD ⊥.又因为tan DE DBE BE ∠===，则060DBE ∠=，tan BC BEC BE ∠===，则030BEC ∠=，所以CE BD ⊥， 又AE EC E ⋂=，所以BD ⊥面ACE ，又BD ⊂面ABD ，所以面ABD ⊥面ACE ； （2）设EC BD O ⋂=，过点O 作//OF AE 交AC 于点F ，以点O 为原点，以,,OB OC OF 所在直线分别为,,x y z轴，建立如图所示的空间直角坐标系O BCF -.在BCE ∆中，∵030BEO ∠=， BO EO ⊥，∴93,,222EO CO BO ===，则39,0,,0,0,,022B C E ⎫⎛⎫⎛⎫-⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ∵1//,,62FO AE FO AE AE ==， ∴3FO =，则()90,0,3,0,,62F A ⎛⎫-⎪⎝⎭， ∵//,9DE BC DE =，∴3ED BC =u u u r u u u r ，∴D ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，∴()()93,0,0,0,6,0,6,6,,022BE AE CA CD ⎫⎛⎫===-=-⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r ，设平面ABE 的法向量为()1111,,n x y z =u r，由11·0{·0n AE n BE ==u r u u u r u r u u u r，得11160902z x y =+=，取1x =ABE的法向量为)11,0n =-u r，设平面ACD 的一个法向量为()2222,,n x y z =u u r，由22·0{·0n CA n CD ==u u r u u u r u u r u u u r，得1111660{302y z x y -+=-=，取11x =，可得平面ABE的一个法向量为(21,n =--u u r . 设平面ABE 与平面ACD 所成锐二面角为θ，则1212·cos n n n n θ===u r u u r u r u u r 所以平面ABE 与平面ACD. 19．（1）设椭圆的左焦点1(,0)(0)F c c ->，则1PF ==，解得1c =，所以2||PF =，则由椭圆定义122PF PF a +==∴2a =，1b = 故椭圆的标准方程为2212x y +=. （2）由题意直线AB 的斜率必定不为零，于是可设直线:1AB x ty =+， 联立方程22112x ty x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()222210t y ty ++-=， ∵直线AB 交椭圆于()11,A x y ，()22,B x y ，∴()()222442810t t t ∆=++=+> 由韦达定理12222t y y t -+=+，12212y y t =-+ 则22N t y t =-+，∴22221122N N t x ty t t =+=-+=++∵MN AB ⊥，∴MN k t =-，∴222226||222t MN t t +=--=++又121||||2AN AB y y ==-=∴23||tan 4||t MN MAN AN +⎫∠===≥==即1t =±时取等号.此时直线AB 的方程为10x y +-=或10x y --=.20． （1）∵函数()ln 1x f x x+=，∴0x >，则()2ln 'x f x x =-， 由()'0f x =，得1x =，列表如下：因此增区间为()0,1，减区间为()1,+∞，极大值为()11f =，无极小值.（2）证明：由（1）可得()()()max ln 111x f x f x f x+=≤==， ∴ln 11x x x≤-，当且仅当1x =时取等号. 令()2*,2x nn N n =∈≥，∴222ln 11n n n<-，∴()()22ln 1111111111222121n n n n n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫<-<-=-+≥⎢⎥ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎣⎦， ∴222ln 2ln 3ln 23n n ++⋅⋅⋅+11111111111122323421n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<-++-+++-+ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭L ()()2*111211,221241n n n n N n n n --⎛⎫-+-=∈≥ ⎪++⎝⎭=. 21．（1）一件手工艺品质量为B 级的概率为122311116C (1)(1)33381⨯⨯-⨯-=. （2）①由题意可得一件手工艺品质量为D 级的概率为2233331117C ()(1)C ()33327⨯⨯-+⨯=， 设10件手工艺品中不能外销的手工艺品可能是ξ件，则7~(10,)27B ξ， 则1010720()C ()()2727k k k P k ξ-==,119101010720C ()()(1)7072727720()2020C ()()2727k k k k k k P k k P k k ξξ++--=+-===+. 由70712020k k ->+得5027k <，所以当1k =时，(2)1(1)P P ξξ=>=，即(2)(1)P P ξξ=>=， 由70712020k k -<+得5027k >，所以当2k ≥时，(1)()P k P k ξξ=+<=， 所以当2k =时，()P k ξ=最大，即10件手工艺品中不能外销的手工艺品最有可能是2件.②由上可得一件手工艺品质量为A 级的概率为318(1)327-=，一件手工艺品质量为B 级的概率为1681， 一件手工艺品质量为C 级的概率为1212321111120C (1)[C (1)()]3333381⨯⨯-⨯⨯⨯-+=， 一件手工艺品质量为D 级的概率为727， 所以X 的分布列为则期望为81620713100()9006003001002781812727E X =⨯+⨯+⨯+⨯=. 22． （1）222222212111t t x y t t ⎛⎫-⎛⎫+=+=⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭， ∵(]2211,11t t -∈-+，∴1x ≠-，∴221(1)x y x +=≠-， 由题可知：002m x n =⎧⎪⎨=⎪⎩022021(2)43m x m n m y ⎧=⎪⎪⇒⇒+=≠-⎨⎪=⎪⎩， 1C ：22223cos 4sin 12ρθρθ+=（πθπ-<<）.（2）因为222123cos 4sin ρθθ=+， 设()11,A ρθ，21,2B πρθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭， 则2211213cos 4sin 112θθρ+=， 2211223cos 4sin 12212ππθθρ⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=22113sin 4cos 12θθ+=， 22221211117||||12OA OB ρρ+=+=.23．（1）原不等式等价于：1314x x ≤-⎧⎨-+≥⎩或1134x x -<<⎧⎨-+≥⎩或1314x x ≥⎧⎨-≥⎩， 解得1x ≤-或53x ≥， 所以不等式()4f x ≥的解集是5(,1][,)3-∞-⋃+∞.（2）由（1）函数()f x 的最小值为2，所以2t =，所以2a b c t ++==，所以()()222234a b c a b c ++⨯≥++=， 所以22243a b c ++≥，当且仅当23a b c ===时，取等号. 所以222a b c ++的最小值是43.。
重庆市2020届高三数学学业质量调研抽测4月二诊试题 理(含解析)
重庆市2020届高三数学学业质量调研抽测4月二诊试题理（含解析）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知为虚数单位，复数满足，则（）A. B. C. 1 D.【答案】C【解析】【分析】根据已知求解出，再计算出模长.【详解】则本题正确选项：【点睛】本题考查复数模长的求解，关键是利用复数的运算求得，属于基础题.2.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】分别求解出两个集合，根据交集定义求得结果.【详解】则本题正确选项：【点睛】本题考查集合运算中的交集运算，关键在于能够利用指数函数单调性和对数函数的定义域求解出两个集合，属于基础题.3.设，，，则的大小关系为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据指数函数单调性可得，再利用作为临界值可得，，从而得到三者之间的关系.【详解】可知：本题正确选项：【点睛】本题考查指对数混合的大小比较问题，关键是能够利用函数的单调性进行判断，属于基础题.4.设等比数列的前项和为，已知，且与的等差中项为20，则（）A. 127B. 64C. 63D. 32【答案】C【解析】【分析】先求出等比数列的首项和公比，然后计算即可.【详解】解：因为，所以因为与的等差中项为，，所以，即，所以故选：C.【点睛】本题考查了等比数列基本量的计算，属于基础题.5.已知为两条不同的直线，为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（）A. 若，，则B. 若，，且，则C. 若，，且，，则D. 若直线与平面所成角相等，则【答案】B【解析】【分析】结合空间中平行于垂直的判定与性质定理，逐个选项分析排除即可.【详解】解：选项A中可能，A错误；选项C中没有说是相交直线，C错误；选项D 中若相交，且都与平面平行，则直线与平面所成角相等，但不平行，D错误. 故选：B.【点睛】本题考查了空间中点线面的位置关系，属于基础题.6.函数的图像大致为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根据奇偶性可排除和两个选项，再根据时，的符号，可排除选项，从而得到正确结果.【详解】定义域为为定义在上的奇函数，可排除和又，当时，，可排除本题正确选项：【点睛】本题考查函数图像的判断，解决此类问题的主要方法是利用奇偶性、特殊值、单调性来进行排除，通过排除法得到正确结果.7.运行如图所示的程序框图，则输出的值为（）A. 9B. 10C. 11D. 12【答案】C【解析】【分析】将的变化规律整理为数列的形式，求解出数列的通项，根据求解出输出时的取值. 【详解】将每次不同的取值看做一个数列则，，，…，则，则当时，；当时，即时，，输出结果本题正确选项：【点睛】本题考查利用循环结构的程序框图计算输出结果，由于循环次数较多，可以根据变化规律，利用数列的知识来进行求解.8.设函数的一条对称轴为直线，将曲线向右平移个单位后得到曲线，则在下列区间中，函数为增函数的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】将化简为，根据对称轴可求得；通过平移得到；依次代入各个选项，判断其单调性，从而得到结果.【详解】将代入可得：又，可得：当时，，不单调，可知错误；当时，，单调递增，可知正确；当时，，单调递减，可知错误；当时，，不单调，可知错误.本题正确选项：【点睛】本题考查的单调性问题，主要采用整体对应的方式来进行判断.关键是能够通过辅助角公式、对称轴方程、三角函数平移等知识准确求解出的解析式.9.某班组织由甲、乙、丙等5名同学参加的演讲比赛，现采用抽签法决定演讲顺序，在“学生甲不是第一个出场，学生乙不是最后一个出场”的前提下，学生丙第一个出场的概率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据条件概率的计算公式，分别求解公式各个部分的概率，从而求得结果.【详解】设事件为“学生甲不是第一个出场，学生乙不是最后一个出场”；事件为“学生丙第一个出场”则，则本题正确选项：【点睛】本题考查条件概率的求解，关键是能够利用排列组合的知识求解出公式各个构成部分的概率.10.已知双曲线的一条渐近线方程为，左焦点为，当点在双曲线右支上，点在圆上运动时，则的最小值为（）A. 9B. 7C. 6D. 5【答案】B【解析】【分析】根据渐近线方程求出双曲线方程，根据定义可将问题转化为求解的最小值，由位置关系可知当与圆心共线时取最小值.【详解】由渐近线方程可知设双曲线右焦点为由双曲线定义可知：则则只需求的最小值即可得到的最小值设圆的圆心为，半径则本题正确选项：【点睛】本题考查双曲线中的最值问题，关键是能够利用双曲线的定义将问题进行转化，再根据圆外点到圆上点的距离的最值的求解方法得到所求最值.11.已知三棱锥各顶点均在球上，为球的直径，若，，三棱锥的体积为4，则球的表面积为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】求解出面积后，利用三棱锥的体积，构造方程，求解出点到底面的距离，从而可知的长度；利用正弦定理得到，勾股定理得到球的半径，从而求得球的表面积. 【详解】原题如下图所示：由，得：则设外接圆圆心为，则由正弦定理可知，外接圆半径：设到面距离由为球直径可知：则球的半径球的表面积本题正确选项：【点睛】本题考查三棱锥外接球表面积问题的求解，关键是能够利用球心与底面外接圆圆心的连线与底面垂直的关系构造直角三角形.12.已知是函数（其中常数）图像上的两个动点，点，若的最小值为0，则函数的最小值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】通过函数解析式可判断出关于对称，可知取最小值时，与相切且；利用导数求解切线斜率，求解出，从而可得函数最小值.【详解】当时，，则由此可知，关于对称又最小值为，即，此时则此时函数图象如下图所示：此时与相切于当时，设，则又，可得则本题正确选项：【点睛】本题考查函数最值的求解问题，关键是能够通过解析式判断出函数的对称性，从而借助导数的几何意义求得参数的值，进而得到函数最值.二、填空题（将答案填在答题纸上）13.为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验，得到5组数据：，，，，，根据收集到的数据可知，由最小二乘法求得回归直线方程为，则______．【答案】375【解析】【分析】求解出，利用求解出，进而求得结果.【详解】由题意：则：本题正确结果：【点睛】本题考查回归直线方程问题，关键是明确回归直线必过，利用此点可求解得到结果.14.若实数满足不等式组，则的最大值为_____．【答案】16【解析】【分析】先由简单线性规划问题求出的最大值，然后得出的最大值.【详解】解：由不等式组画出可行域如图中阴影部分然后画出目标函数如图中过原点虚线，平移目标函数在点A处取得最大值解得点所以最大为4所以的最大值为16故答案为：16.【点睛】本题考查了简单线性规划问题，指数复合型函数的最值，属于基础题.15.已知点是抛物线上不同的两点，且两点到抛物线的焦点的距离之和为6，线段的中点为，则焦点到直线的距离为______．【答案】【解析】【分析】通过抛物线焦半径公式和点差法可求得抛物线和直线的方程，再利用点到直线距离求得结果. 【详解】设，由抛物线定义可知：，则又为中点，则抛物线方程为则：，两式作差得：则直线的方程为：，即点到直线的距离本题正确结果：【点睛】本题考查抛物线的几何性质，关键是在处理弦的中点的问题时，要熟练应用点差法来建立中点和斜率之间的关系.16.已知数列，对任意，总有成立，设，则数列的前项的和为______．【答案】【解析】【分析】利用求得，从而可得，则每两项作和，通过裂项相消的方式求得结果.【详解】当且时，由……①得：……②①②得：当时，综上所述：则：则的前项和为：本题正确结果：【点睛】本题考查数列裂项相消法求和，关键是能够通过的前项和求得数列的通项公式，从而得到的通项公式，根据的形式确定每两项作和可得裂项相消法的形式.三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.在中，角的对边分别为，已知，.（1）求的面积；（2）若，求的值. 【答案】(1)4(2) 【解析】【分析】（1）利用正弦定理求得的正余弦的值；利用向量数量积求得，从而可求面积；（2）利用余弦定理求得的正余弦值，利用两角和差公式求得结果.【详解】（1）由正弦定理得：，的面积为（2），，即【点睛】本题考查正余弦定理解三角形、三角形面积公式的应用、两角和差公式的应用问题，关键是能够熟练应用正余弦定理处理边角关系式.18.有两种理财产品和，投资这两种理财产品一年后盈亏的情况如下（每种理财产品的不同投资结果之间相互独立）：产品：投资结果获利不赔不赚亏损概率产品：投资结果获利不赔不赚亏损概率注：（1）若甲、乙两人分别选择了产品投资，一年后他们中至少有一人获利的概率大于，求实数的取值范围；（2）若丙要将20万元人民币投资其中一种产品，以一年后的投资收益的期望值为决策依据，则丙选择哪种产品投资较为理想.【答案】(1) (2) 当时，丙可在产品和产品中任选一个投资；当时，丙应选产品投资；当时，丙应选产品投资.【解析】【分析】（1）“一年后甲、乙两人至少有一人投资获利”的概率，可求得；又可得，由此可得的范围；（2）分别求出投资，两种产品的数学期望，通过数学期望的大小比较可知应选哪种产品.【详解】（1）记事件为“甲选择产品投资且获利”，记事件为“乙选择产品投资且获利”，记事件为“一年后甲、乙两人至少有一人投资获利”则，，，又，且，（2）假设丙选择产品投资，且记为获利金额（单位：万元），则的分布列为投资结果概率假设丙选择产品投资，且记为获利金额（单位：万元），则的分布列为投资结果概率当时，，丙可在产品和产品中任选一个投资；当时，，丙应选产品投资；当时，，丙应选产品投资.【点睛】本题考查概率统计中的独立事件的概率、数学期望的应用问题.在以期望值作决策依据进行选择时，关键是分别求解出数学期望，依据大小关系来确定结果.19.如图，在四棱锥中，底面是菱形，为的中点，已知，，.（1）证明：平面平面；（2）求二面角的平面角的正弦值.【答案】(1)见证明；(2)【解析】【分析】（1）分别证得，，从而证得平面，进而证得面面垂直；（2）建立空间直角坐标系，分别求得平面和平面的法向量，利用法向量夹角求得结果.【详解】（1）证明：连接，取的中点为，连接在菱形中，，为正三角形在中，，，由勾股定理知为等腰直角三角形，即平面 又平面平面平面（2）解：如图，以为原点，以所在直线为轴建立空间直角坐标系则，，，， ，，设平面的法向量为，则，且即，令，则，设平面的法向量为，则，即，令，则，则二面角的平面角的正弦值为【点睛】本题考查立体几何中面面垂直的证明、空间向量法求解二面角的问题，关键是能够建立起空间直角坐标系，通过法向量夹角的余弦值求得二面角平面角的正弦值，属于常规题型.20.已知离心率为的椭圆：的右焦点为，点到直线的距离为1.（1）求椭圆的方程；（2）若过点的直线与椭圆相交于不同的两点，设为椭圆上一点，且满足（为坐标原点），当时，求实数的取值范围.【答案】(1) (2) 或【解析】【分析】（1）通过点到直线的距离、离心率和的关系，求得标准方程；（2）直线与椭圆方程联立，利用可得；再利用，根据弦长公式可求得，得到；利用表示出点坐标，代入椭圆可得，从而可求得的范围.【详解】（1）由题意得：，即又，，即，椭圆的方程为（2）由题意可知直线的斜率存在，设，，，由得：由，得：（*），，结合（*）得：从而，点在椭圆上整理得：即或【点睛】本题考查椭圆标准方程求解、椭圆中参数取值范围的求解问题，关键是能够利用直线与椭圆相交于不同两点且弦长得到的取值范围；再通过向量的坐标运算，可得到关于与的关系，进而可求得结果.21.已知函数，.（1）若函数与的图像上存在关于原点对称的点，求实数的取值范围；（2）设，已知在上存在两个极值点，且，求证：（其中为自然对数的底数）.【答案】(1) (2)见证明【解析】【分析】（1）将问题转化为在有解，即在上有解，通过求解的最小值得到；（2）通过极值点为可求得，通过构造函数的方式可得：；通过求证可证得，进而可证得结论.【详解】（1）函数与的图像上存在关于原点对称的点即的图像与函数的图像有交点即在有解，即在上有解设，，则当时，为减函数；当时，为增函数，即（2），在上存在两个极值点，且且，即设，则要证，即证只需证明，即证明设，则则在上单调递增，即【点睛】本题考查利用导数来解决函数中的交点问题、恒成立问题，解决问题的关键是能将交点问题转变为能成立问题、不等式的证明问题转化为恒成立的问题，从而通过构造函数的方式，找到合适的函数模型来通过最值解决问题.22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；（2）若直线与曲线相交于两点，设点，已知，求实数的值. 【答案】（1）直线: ，曲线:（2）【解析】【分析】（1）在直线的参数方程中消去参数t得直线的一般方程，在曲线的极坐标方程为中先两边同乘，得曲线的直角坐标方程；（2）将直线的参数方程直接代入曲线的直角坐标方程中，得到韦达定理，由，，列方程求出答案. 【详解】解：（1）因为直线的参数方程为消去t化简得直线的普通方程：由得，因为，所以，所以曲线的直角坐标方程为（2）将代入得即，则，，∴，∴∴∵，∴，满足∴【点睛】本题考查了直线的参数方程，曲线极坐标方程与直角坐标方程得转化，直线与圆的位置关系，属于中档题.23.选修4-5：不等式选讲 已知函数，. （1）当时，求不等式的解集；（2）若，且当时，不等式有解，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】 试题分析：(1)将不等式零点分段可得不等式的解集为.(2)将不等式转化为，可得实数的取值范围是.试题解析：解：（1）当时，， ∴等价于或或，解得或或，即.∴不等式的解集为.（2）∵，∴， 不等式，∴，∴实数的取值范围是.点睛：绝对值不等式的解法法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．。
2020年重庆市高考数学二诊试卷(理科) (含答案解析)
2020年重庆市高考数学二诊试卷(理科)一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 若集合A ={x|3−2x <1}，B ={x|3x −2x 2≥0}，则A ∩B =( )A. (1,2]B. (1,94]C. (1,32]D. (1,+∞) 2. 设复数z 满足1−z 1+z =i ，则|z|=( )A. 1B. √2C. √3D. 23. 下列说法正确的是( )A. 命题“若 cos x =cos y ，则 x =y ”的逆否命题为真命题B. 命题“若 xy =0，则 x =0”的否命题为“若 xy =0，则 x ≠0”C. 命题“∃x ∈R ，使得 2x 2−1<0”的否定是“∀x ∈R ，都有 2x 2−1<0”D. 若 a ∈R ，则“a >2”是“|a|>2”的充分不必要条件4. 为了判断英语词汇量与阅读水平是否相互独立，某语言培训机构随机抽取了100位英语学习者进行调查，经过计算K 2的观测值为7，根据这一数据分析，下列说法正确的是( )附：A. 有99%以上的把握认为英语词汇量与阅读水平无关B. 有99.5%以上的把握认为英语词汇量与阅读水平有关C. 有99.9%以上的把握认为英语词汇量与阅读水平有关D. 在犯错误的概率不超过1%的前提下，可以认为英语词汇量与阅读水平有关 5. 对于数列{a n }，定义数列{a n+1−a n }为数列{a n }的“差数列”，若a 1=3，{a n }的“差数列”的通项为3n ，则数列{a n }的通项a n =( )A. 3nB. 3n −32C. 3n +32D. 3n−1+2 6. (x 3−1)(√x +2x )6的展开式中的常数项为( )A. −60B. 240C. −80D. 180 7. 已知a >0,b >0,a +b =2，则y =1a +4b 的最小值是( )A. 92B. 72C. 5D. 48.函数y=e|x|4x的图象可能是()A. B.C. D.9.设函数f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意x∈R都有f(x)=f(x+4)，当x∈[−2,0)时，f(x)=2x，则f(2015)−f(2014)的值为()A. 34B. −34C. 14D. 1210.已知点P(6,y)在抛物线y2=2px(p>0)上，若点P到抛物线的焦点F的距离等于8，则焦点F到抛物线准线的距离等于()A. 2B. 1C. 4D. 811.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若(sinA+sinB)(a−b)=(sinC−sinB)c，则A=()A. π6B. π3C. 2π3D. 5π612.已知三棱锥P−ABC的四个顶点在球O的球面上，PA=PB=PC，△ABC是边长为2的正三角形，E，F分别是PA，AB的中点，∠CEF=90°，则球O的体积为()A. 8√6πB. 4√6πC. 2√6πD. √6π二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.设向量a⃗=(2,1+m),b⃗ =(3,m)，且a⃗//b⃗ ，则m=______ ．14.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为______．15.公差不为0的等差数列{a n}的部分项a k1，a k2，a k3…构成等比数列{a kn}，且k1=1，k2=2，k3=6，则k5=______ ．16.若曲线y=ax+2cos x上存在两条切线相互垂直，则实数a的取值范围是________．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cosBcosC =b2a−c．(1)求角B的大小；(2)若b=√13，a+c=5，求△ABC的面积．18.为调查某校学生每周体育锻炼落实的情况，采用分层抽样的方法，收集100位学生每周平均锻炼时间的样本数据(单位：ℎ)根据这100个样本数据，制作出学生每周平均锻炼时间的频率分布直方图(如图所示)．(Ⅰ)估计这100名学生每周平均锻炼时间的平均数x¯和样本方差s2(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；(Ⅱ)由频率分布直方图知，该校学生每周平均锻炼时间Z近似服从正态分布N(μ,σ2)，其中μ近似为样本平均数x¯，σ2近似为样本方差s2．①求P(0.8<Z<8.3)②若该校共有5000名学生，记每周平均锻炼时间在区间(0.8,8.3)的人数为ε，试求E(ε).附：√6.16≈2.5，若Z−N(μ,σ2)，则P(μ−σ<Z<μ+σ)=0.6827，P(μ−2σ<Z<μ+2σ)=0.954519.如图四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是正方形，PB⊥BC，PD⊥CD，且PA=AB，E为PD中点．(1)求证：PA⊥平面ABCD；(2)求二面角A−BE−C的余弦值．20. 已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)过点A(2,0)，且离心率为√32． (Ⅰ)求椭圆C 的方程；(Ⅱ)设直线y =kx +√3与椭圆C 交于M ，N 两点，若直线x =3上存在点P ，使得四边形PAMN 是平行四边形，求k 的值．21. 已知函数f(x)=ax−1x 2+1，a ∈R ．(1)讨论f(x)的单调性；(2)若a =1，证明：当x ∈[1,+∞)时，f(x)≤lnx 2．22. 已知在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为{x =1+t 21−t 2y =t 1−t 2(t 为参数).以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρcos (θ+π3)=√54. (1)求曲线和直线的直角坐标方程；(2)若直线l 交曲线C 于A ，B 两点，交x 轴于点P ，求1|PA|+1|PB|的值．23.已知函数f(x)=2|x|+|x−2|的最小值为m．(1)求m的值；(2)若实数a，b满足a2+b2=m，求11+a2+12+b2的最小值．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：本题考查交集的求法，一元一次、一元二次不等式的解法，考查运算求解能力，属于基础题． 分别求出集合A 和B ，由此能求出A ∩B ．解：因为集合A ={x|3−2x <1}，B ={x|3x −2x 2≥0}，所以A ={x|x >1},B ={x|0≤x ≤32}，所以A ∩B ={x|1<x ≤32}，即A ∩B =(1,32],故选C ． 2.答案：A解析：本题考查复数的运算，复数的模，属于基础题．先求出复数z ，再求复数z 的模即可．解：∵复数z 满足1−z 1+z =i ，∴1−z =i +zi ，∴z(1+i)=1−i∴z =1−i 1+i =(1−i)(1−i)(1+i)(1−i)=−i ，∴|z|=1，故选A ．3.答案：D解析：本题考查四种命题间的关系、命题的否定与否命题、特称命题与全称命题、充要条件等知识，比较容易．按照相关知识，逐个判断即可．解：A.易知原命题是假命题，根据原命题与逆否命题等价可知，其逆否命题为假命题，故A错误；B.命题“若xy=0，则x=0”的否命题应为“若xy≠0，则x≠0”，故B错误；C.命题“∃x∈R，使得2x2−1<0”的否定是“∀x∈R，都有2x2−1≥0”，故C错误；D.由|a|>2⇒a>2或a<−2，所以若a∈R，则“a>2”是“|a|>2”的充分不必要条件，故D 正确．故选D．4.答案：D解析：本题考查了独立性检验，属于基础题．根据K2的值，结合临界值表可得．解：K2=7>6.635，故有99%以上的把握认为英语词汇量与阅读水平有关系或者说在犯错误的概率不超过1%的前提下，可以认为英语词汇量与阅读水平有关．故选D．5.答案：C解析：本题考查数列的新定义，考查累加法，是中档题．利用已知条件及累加法可直接求解出答案．由已知得a n+1−a n=3n，a1=3，则a2−a1=3，当n≥2时，a3−a2=32，…，a n−a n−1=3n−1．．由累加法得a n=3+3+32+⋯+3n−1=3n+32∵a1=3符合上式．。
重庆市2020届5月份高三“二诊”考试理科数学试题(含答案)
故只需 (a 2)(a 2) ≤ 1 ，即 - 3 ≤ a ≤ 3 ．
三、解答题
17．（12 分）
解：（1） f (x) sin 2x
3(1 cos 2x)
3
2 sin(2 x
)
，……2
分
3
由 2k ≤ 2x ≤2k 得 k ≤ x ≤ k 5 ，……4 分
2
3
2
12
12
4
4
4
4
2
f (x 3) f (x 3) f (x) ， f (x) 是周期为 3 的周期函数， 2
故
f
(100)
f
(1)
f
( 1) 2
log 2
3m 2
，即 log2
3 2
m
log2 3 ， m
1 ，故选 B．
第Leabharlann 10题提示：由题知 |FP |
xP
p 2
3p
， xP
5 2
p ，设点
15． 3 2n1
16．[ 3， 3]
5 月调研测试卷（理科数学）参考答案 第 1页 共 4 页
1
第 14 题提示：由三视图可知该几何体是一个长方体中挖去一个 球，
8
如图所示，V 3 3 5 1 4 33 45 9 ．
83
2
第 15 题提示：设公差为 d ，由题知 a42 (a4 2d )(a4 4d ) ，
cos 0
4 5
，sin
0
3 5
，或 cos0
4 5
，sin
0
3 5
，故点
M
( 2，21) 55
，或
(18 ，9 ) 55
【精准解析】重庆市2020届高三5月调研(二诊)数学(理)试题
-8-
由题知 DG 平面 ABC ，所以 DG AC ，又 AC GB ， DG GB G ， 所以 AC 平面 DGB ，所以 AC BD ， 又 BD CE ， CE AC C ，∴ BD 平面 ACD ，∴ BD CD ， BD AD ， 又 D ABC 为正三棱锥，∴ DA ， DB ， DC 两两垂直， 故三棱锥 D ABC 可看作以 DA ，DB ，DC 为棱的正方体的一部分，二者有共同的外接球，
3i
，
所以 z 12 32 10 .
故选：C.
【点睛】本题考查了复数的运算与模的求解，属于基础题.
3.下列说法正确的是（ ）
A. “若 a 2 ，则 2a 4 ”的否命题为“若 a 2 ，则 2a 4 ”
B. 命题 p q 与 p q 至少有一个为真命题
C. “ x 0 ， x2 2x 2 0 ”的否定为“ x 0 ， x2 2x 2 0 ”
上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个备选项中，只有
一项是符合题目要求的.
1.已知集合 A 2,3,5, 7 ， B x | log2 (x 2) 1 ，则 A B （ ）
A. 2
B. 3
C. 2,3
c
2a sin C
，则 S△ABC
1 2
2a 2
sin B sin C
2 即可得解. 2
【详解】由 a sin A b sin B 2c sin B c sin C 得 a2 b2 2cb c2 ，
则 cos A b2 c2 a2 2bc
2 ，由 A 0, 可得 A 3 ，
1 ，求得
2020届重庆市高三5月调研(二诊)数学(理)试题(解析版)
2020年普通高等学校招生全国统一考试5月调研测试卷理科数学注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}2,3,5,7A =，{}2|log (2)1B x x =-<，则A B =I （ ） A. {}2 B. {}3 C. {}2,3D. {}3,5 【答案】B【分析】由对数函数的性质可得{}|24B x x =<<，再由集合交集的概念即可得解. 【详解】由题意{}{}{}2|log (2)1|022|24B x x x x x x =-<=<-<=<<， 所以{}{}{}2,3,5,7|243x A x B <<==II . 故选：B.【点睛】本题考查了对数不等式的求解及集合的运算，属于基础题.2.若复数z 满足()2z i i i +=-，则z =（ ）A. B. 2 C. D. 10【答案】C【分析】由题意13z i =--，再由复数模的概念即可得解. 【详解】由题意()22213i i i z i i i i i --=-=-=--，所以z ==故选：C. 【点睛】本题考查了复数的运算与模的求解，属于基础题.3.下列说法正确的是（ ）A. “若2a >，则24a>”的否命题为“若2a >，则24a ≤” B. 命题p q ∨与()p q ⌝∨至少有一个为真命题C. “0x ∀>，2220x x -+≥”的否定为“0x ∀>，2220x x -+<”D. “这次数学考试的题目真难”是一个命题【答案】B【分析】由否命题的概念即可判断A ，由命题及其否定的关系可判断B ，由全称命题的否定方法可判断C ，由命题的概念可判断D ，即可得解.【详解】对于A ，“若2a >，则24a>”的否命题为“若2a ≤，则24a ≤”，故A 错误； 对于B ，命题p q ∨的否定为()p q ⌝∨，故命题p q ∨与()p q ⌝∨有一个命题为真，故B 正确；对于C ，“0x ∀>，2220x x -+≥”的否定为“0x ∃≤，2220x x -+<”，故C 错误；对于D ，“这次数学考试的题目真难”不能判断真假，故“这次数学考试的题目真难”不是一个命题，故D 错误. 故选：B.【点睛】本题考查了命题、命题的否定及否命题的概念，属于基础题.4.为了判断英语词汇量与阅读水平是否相互独立，某语言培训机构随机抽取了100位英语学习者进行调查，经过计算2K 的观测值为7，根据这一数据分析，下列说法正确的是（ ）附：A. 有99%以上的把握认为英语词汇量与阅读水平无关B. 有99.5%以上的把握认为英语词汇量与阅读水平有关C. 有99.9%以上的把握认为英语词汇量与阅读水平有关D. 在犯错误的概率不超过1%的前提下，可以认为英语词汇量与阅读水平有关【答案】D【分析】由题意()2 6.6350.01P K ≥=，由独立性检验的原理即可得解. 【详解】由题意27K =，()2 6.6350.01P K ≥=， 所以在犯错误的概率不超过1%的前提下，可以认为英语词汇量与阅读水平有关，有99%的把握认为英语词汇量与阅读水平有关.故选：D.【点睛】本题考查了独立性检验的应用，属于基础题.5.斐波那契数列，指的是这样一个数列：1，1，2，3，5，8，13，21，…，在数学上，斐波那契数列{}n a 定义如下：121a a ==，()123,n n n a a a n n Z --=+≥∈.随着n 的增大，1n n a a +0.618≈，故此数列也称黄金分割数列，而以1n a +、n a 为长和宽的长方形称为“最美长方形”，已知某“最美长方形”的面积约为336平方分米，则该长方形的长应该是（ ）A. 144厘米B. 233厘米C. 250厘米D. 377厘米【答案】B【分析】 由题意可得10.618n n a a +≈且133600n n a a +=，即可得解. 【详解】由题意可得10.618n n a a +≈且133600n n a a +=，解得1233n a +≈. 故选：B.【点睛】本题考查了数学文化及数列新定义的应用，属于基础题.6.在103x 的展开式中，常数项为（ ） A. -252B. -45C. 45D. 252 【答案】C【分析】由题意写出10的展开式的通项公式，令8r =即可得解.【详解】由题意，10的展开式的通项公式为：()()105110101r r r r r r r T C x C x x --+⎛=⋅-=-⋅⋅ ⎪⎝⎭， 令53r -=-即8r =，()()8583310101145r r r C x C x x ----⋅⋅=-⋅⋅=， 所以103x x x ⎛- ⎪⎭的展开式中，常数项为45. 故选：C.【点睛】本题考查了二项式定理的应用，属于基础题.7.已知,0a b >，22a b +=，则1b a b +的取值范围是（ ）A. ()0,∞+B. [)2,+∞C. )21,⎡++∞⎣D. )22,⎡+∞⎣ 【答案】C【分析】由题意112b b a a b a b+=++，利用基本不等式即可得解. 【详解】由题意得，1212121222b b a b b a b a a b a b a b a b++=+=++≥⋅+=+， 当且仅当2b a a b=，即222a =-，22b =-时等号成立. 故选：C. 【点睛】本题考查了基本不等式的应用，关键是对于条件做适当的变形，属于基础题.8.函数x x y e =的部分图象是（ ） A. B.C.D.【答案】A【分析】对比函数的性质与图象的特征，逐项排除即可得解.【详解】令()x x f x e =，则()()x x f x f x e---==-，所以()f x 为奇函数，可排除C 选项； 当0x >时，()1x x f x e -'=，故()f x 在()0,1上单调递增，()1,+∞上单调递减，故排除B 、D. 故选：A.【点睛】本题考查了函数图象的识别及利用导数判断函数单调性的应用，属于基础题.9.定义在R 上的奇函数()f x 满足：3344f x f x ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且当30,4x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()2log (1)f x x m =++，若()2100log 3f =，则实数m 的值为（ ）A. 2B. 1C. 0D. -1 【答案】B【分析】 由题意结合奇函数的性质可得()32f x f x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，结合函数周期的概念可得()f x 是周期为3的周期函数，进而可得()()110012f f f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，即可得解. 【详解】由()f x 为奇函数知3344f x f x ⎛⎫⎛⎫-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴3344f x f x ⎛⎫⎛⎫+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即()32f x f x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭， ∴()()332f x f x f x ⎛⎫+=-+= ⎪⎝⎭，∴()f x 是周期为3的周期函数， 故()()2131001log 22f f f m ⎛⎫===+⎪⎝⎭，即223log log 32m +=，∴1m =. 故选：B. 【点睛】本题考查了函数周期性、奇偶性的综合应用，考查了对数运算及运算求解能力，属于中档题. 10.已知抛物线2:2(0)E y px p =>的焦点为F ，以F 为圆心、3p 为半径的圆交抛物线E 于P ，Q 两点，以线段PF 为直径的圆经过点()0,1-，则点F 到直线PQ 的距离为（ ）A.B.C.D. 【答案】C【分析】由题意结合抛物线的性质得52p x p =，p y =，由以线段PF 为直径的圆经过点()0,1A -可得1212p =-，求得p =. 【详解】由题意点,02p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，设点()(),0P P P P x y y >，()0,1A -， Q 32p p FP x p =+=，∴52p x p =，p y =， Q 以线段PF 为直径的圆经过点()0,1A -，∴AP AF ⊥，即115212p p+⋅=-，∴5p =， 由//PQ y轴可得所求距离为5225p p -=. 故选：C.【点睛】本题考查了直线与抛物线的综合应用，考查了运算求解能力和转化化归思想，属于基础题.11.已知ABC V 的面积为1，角,,A B C 的对边分别为,,a b c，若sin sin sin sin a A b B B c C -=+，cos cos 5B C =，则a =（ ）A.B.C.D.【答案】D【分析】由题意结合正弦定理得222a b c -=+，由余弦定理得cos 2A =-即34A π=，再由cos sin sin cos cos A B C B C =-可得sin sin 10B C =，根据正弦定理得sin b B =，sin c C =，则212sin sin 22ABC S a B C =⋅⋅△即可得解.【详解】由sin sin sin sin a A b B B c C -=+得222a b c -=+，则222cos 22b c a A bc +-==-，由()0,A π∈可得34A π=，由cos cos()sin sin cos cos A B C B C B C =-+=-得sin sin 10B C =，由正弦定理知sin sin b c B C==，即sin b B =，sin c C =，∴22111sin 2sin sin 222101ABC S bc A a B C a ==⋅⋅==△，所以a =故选：D. 【点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理与三角形面积公式的综合应用，考查了运算能力与转化化归思想，属于中档题.12.已知,,,A B C D 四点均在球O 的球面上，ABC V 是边长为6的等边三角形，点D 在平面ABC 上的射影为ABC V 的中心，E 为线段AD 的中点，若BD CE ⊥，则球O 的表面积为（ ）A. 36πB. 42πC. 54πD.【答案】C【分析】设ABC V 的中心为G ，连接BG 并延长BG 交AC 于F ，则F 为AC 中点，连接DF 、DG ，由题意可得AC BD ⊥，进而可得BD ⊥平面ACD ，即可得DA ，DB ，DC 两两垂直，可把原三棱锥的外接球转化为以DA ，DB ，DC 为棱的正方体的外接球，即可得解.【详解】设ABC V 的中心为G ，连接BG 并延长BG 交AC 于F ，则F 为AC 中点，连接DF 、DG ，由题知DG ⊥平面ABC ，所以DG AC ⊥，又AC GB ⊥，DG GB G =I ， 所以AC ⊥平面DGB ，所以ACBD ⊥， 又BD CE ⊥，CE AC C =I ，∴BD ⊥平面ACD ，∴BD CD ⊥，BD AD ⊥，又D ABC -为正三棱锥，∴DA ，DB ，DC 两两垂直，故三棱锥D ABC -可看作以DA ，DB ，DC 为棱的正方体的一部分，二者有共同的外接球，由6AB =得32DA = 故正方体外接球直径232336R ==，所以球O 的表面积为223644542R πππ⎛== ⎝⎭. 故选：C.【点睛】本题考查了棱锥的几何特征与外接球半径的求解，考查了线面垂直的性质与判定和空间思维能力，属于中档题.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13.已知向量()2,a m =r ，()1,2a b +=r r ，若()//3a a b +r r r ，则实数m =______________. 【答案】4【分析】由题意可得()1,2b m =--r ，进而可得()31,62a b m +=--r r ，再由平面向量共线的特征即可得解.【详解】Q ()2,a m =r ，()1,2a b +=r r ，∴()1,2b m =--r ，∴()31,62a b m +=--r r ，又()//3a a b +r r r，∴()262m m -=-，解得4m =. 故答案为：4.【点睛】本题考查了平面向量线性运算的坐标表示及共线的特征，属于基础题.14.已知某几何体的三视图如图所示，网格中的每个小方格是边长为1的正方形，则该几何体的体积为_______________.【答案】9 452π-【分析】由三视图还原该几何体为一个长方体中挖去一个18球，利用体积公式即可得解.【详解】由三视图可知该几何体是一个长方体中挖去一个18球，如图所示，∴3149335345832Vππ=⨯⨯-⋅⋅=-.故答案为：9452π-.【点睛】本题考查了三视图识别与立体图形体积的求解，属于基础题.15.已知公差不为0的等差数列{}n a中，2a，4a，8a依次成等比数列，若3a，6a，1b a，2b a，…，n b a，…成等比数列，则nb=_____________.【答案】132n+⋅【分析】由题意结合等比数列、等差数列的性质可得n a nd=，进而可得132nnba d+=⋅，即可得解.【详解】设数列{}n a公差为d，由题知()()24284424a a a a d a d==-+，即44a d=，故413dda a=-=，∴n a nd =，33a d =，66a d =，故新等比数列首项为3d 、公比为2，因此132n n b a d +=⋅，故132n n b +=⋅.故答案为：132n +⋅.【点睛】本题考查了等差数列、等比数列的综合应用，考查了运算求解能力，属于基础题.16.若曲线2cos y ax x =+上存在两条切线相互垂直，则实数a 的取值范围是__________.【答案】⎡⎣【分析】求导得[]2sin 2,2y a x a a '=-∈-+，转化条件得存在[]12,2,2k k a a ∈-+使得121k k =-，进而可得()()221a a -+≤-，即可得解.【详解】求导得[]2sin 2,2y a x a a '=-∈-+，Q 曲线2cos y ax x =+上存在两条切线相互垂直，∴存在[]12,2,2k k a a ∈-+使得121k k =-，不妨设120k k <<，Q ()()()121222k k k a a a ≥+≥-+，∴()()221a a -+≤-，即a ≤≤故答案为：⎡⎣.【点睛】本题考查了导数几何意义的应用及导数的计算，考查了转化化归思想，属于中档题.三、解答题：共70分.解答应写岀文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.已知函数()2cos 22f x x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭. （1）求函数()f x 的单调性；（2）在ABC V 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且2A f ⎛⎫=⎪⎝⎭，a =1c =，求ABC V 的面积.【答案】（1）在5,1212k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦上单调递增，在511,1212k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦上单调递减，k Z ∈；（2）4【分析】（1）由三角恒等变换得()2sin 23f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，分别令()222232k x k k Z πππππ-≤-≤+∈、()3222232k x k k Z πππππ+≤-≤+∈即可得解；（2）由题意可得23A π=，由正弦定理得1sin 2C =，进而可得6B π=，再利用1sin 2ABC S ac B =△即可得解.【详解】（1）由题意()2cos 22f x x x π⎛⎫=--⎪⎝⎭1cos 2sin 22sin 223x x x π+⎛⎫=-+=- ⎪⎝⎭， 由()222232k x k k Z πππππ-≤-≤+∈得()51212k x k k Z ππππ-≤≤+∈，由()3222232k x k k Z πππππ+≤-≤+∈得()1212k x k k Z 5π11ππ+≤≤π+∈，故()f x 在()5,1212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦上单调递增，在()511,1212k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦上单调递减；（2）由题意2sin 23A f A π⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭sin 32A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭， ∵()0,A π∈，∴33A ππ-=，即23A π=，由正弦定理得sin sin c a C A=即1sin C =1sin 2C =， 由0,3C π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭可得6C π=，∴ππ6B A C =--=，∴111sin 12224ABC S ac B ==⨯=△. 【点睛】本题考查了三角函数性质、三角恒等变换及解三角形的综合应用，属于中档题.18.国庆70周年阅兵式上的女兵们是一道靓丽的风景线，每一名女兵都是经过层层筛选才最终入选受阅方队，筛选标准非常严格，例如要求女兵身高（单位：cm ）在区间[]165,175内.现从全体受阅女兵中随机抽取200人，对她们的身高进行统计，将所得数据分为[)165,167，[)167,169，[)169,171，[)171,173，[]173,175五组，得到如图所示的频率分布直方图，其中第三组的频数为75，最后三组的频率之和为0.7.（1）请根据频率分布直方图估计样本的平均数x 和方差2s （同一组中的数据用该组区间的中点值代表）； （2）根据样本数据，可认为受阅女兵的身高X （cm ）近似服从正态分布()2,Nμσ，其中μ近似为样本平均数x ，2σ近似为样本方差2s .（i ）求()167.86174.28PX <<；（ii ）若从全体受阅女兵中随机抽取10人，求这10人中至少有1人的身高在174.28cm 以上的概率. 参考数据：若()2~,XN μσ，则()0.6826P X μσμσ-<<+=，()220.9544P X μσμσ-<<+=，11510.7≈，100.95440.63≈，90.97720.81≈，100.97720.79≈.【答案】（1）170x =，2 4.6s =；（2）（i ）0.8185；（ii ）0.21 【分析】（1）由题意求出各组频率，由平均数公式及方差公式即可得解； （2）（i ）由题意结合正态分布的性质即可得解； （ii ）由题意结合正态分布的性质可得()174.280.0228P X >=，再由()10110.0228P =--即可得解.【详解】（1）由题知第三组的频率为750.375200=， 则第五组的频率为0.70.3750.12520.075--⨯=， 第二组的频率为10.70.0520.2--⨯=，所以五组频率依次为0.1，0.2，0.375，0.25，0.075， 故0.11660.21680.3751700.251720.075174170x=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，22222(170166)0.1(170168)0.2(170172)0.25(170174)0.075s =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯4.6=；（2）由题知170μ=，1154.6 2.145σ==≈， （i ）()()167.86174.282PX P X μσμσ<<=-<<+()()()222P X P X P X μσμσμσμσμσμσ-<<+--<<+=-<<++0.95440.68260.68260.81852-=+=；（ii ）()()10.9544174.2820.02282P XP X μσ->=>+==，故10人中至少有1人的身高在174.28cm 以上的概率：()1010110.022810.977210.790.21P =--=-≈-=.【点睛】本题考查了频率分布直方图的应用，考查了正态分布的应用，属于中档题.19.如图，在四棱锥P ABCD -中，//AB CD ，AB AP ⊥，3AB =，4=AD ，5BC =，6CD =.过直线AB 的平面分别交棱PD ，PC 于E ，F 两点.（1）求证：PD EF ⊥；（2）若直线PC 与平面PAD 所成角为3π，且PA PD =，EF AB =，求二面角A BD F --的余弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2）9131131-【分析】（1）由线面平行的性质可得//AB EF ，取DC 中点G ，连接BG ，则ABGD 为平行四边形，由平面几何知识90BGC ∠=︒即AB AD ⊥，由线面平行的判定可得AB ⊥平面PAD ，再由线面垂直的性质即可得证；（2）由题意3PD =E 、F 分别为PD 、PC 的中点，建立空间直角坐标系，求出各点坐标后，进而可得平面DBF 的一个法向量为m u r 、平面ABD 的一个法向量n r，由cos ,m n m n m n⋅=⋅r r r r r r 即可得解.【详解】（1）证明：∵//AB DC ，AB ⊄平面PDC ，∴//AB 平面PDC ， 又面ABFE I 面PDC EF =，∴//AB EF ， 取DC 中点G ，连接BG ，如图：则ABGD 为平行四边形，∴4BG =，又3GC =，5BC =，故90BGC ∠=︒， ∴AD DC ⊥，∴AB AD ⊥， 又AB AP ⊥，AP AD A ⋂=，∴AB ⊥平面PAD ，∴EF ⊥平面PAD ，又PD ⊂平面PAD ，∴PD EF ⊥；（2）由（1）知CD ⊥平面PAD ，∴CPD ∠即为直线PC 与平面PAD 所成角， ∴3CPD π∠=，∴tan 3CPD DCDP ∠==，解得23PD =， 又12EFAB DC ==，∴E ，F 分别为PD ，PC 的中点， 取AD 中点O ，连接PO ，则PO AD ⊥，2222PO PD OD =-=，由CD ⊥平面PAD 可得CD PO ⊥，CD AD D =I，故PO ⊥平面ABCD ，以O 为原点，OA u u u r ，AB u u u r ，OP uuur 分别为,,x y z 轴的正方向建立空间直角坐标系，如图：则()2,0,0A，()2,0,0D -，()2,3,0B ，()2,6,0C -，(0,0,22P ，故(2F -，()4,3,0DB =u u u r，(2DF =u u u r ，设平面DBF 的一个法向量为(),,m x y z =u r，则43030m DB x y m DF x y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩u u u v v u u u v v ，令3x =得3,4,2m ⎛=- ⎝⎭u r ， 显然()0,0,1n =r是平面ABD 的一个法向量，∴c os ,m n m n m n ⋅===⋅r r r r r r ， 由题知二面角A BD F --的余弦值为131-. 【点睛】本题考查了线面平行、垂直的判定及利用空间向量求二面角，考查了空间思维能力与运算求解能力，属于中档题.20.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>⎛ ⎝⎭在椭圆C 上. （1）求椭圆C 的方程；（2）过椭圆C 的右焦点F 作斜率为1的直线与椭圆C 交于M ，N 两点，点P 满足2OP OM =u u u r u u u u r（O 为坐标原点），直线NP 与椭圆C 的另一个交点为Q ，若NQ NP λ=u u u r u u u r，求λ的值.【答案】（1）22132x y +=；（2）2237λ= 【分析】 （1）由题意可得c a =、221413a b +=，解出23a =，22b =后即可得解； （2）设()11,Mx y ，()22,N x y ，转化条件得2212124(1)4(1)132x x y y λλλλ⎛⎫+-+-+=⎪⎝⎭，联立方程可得1265x x +=，1235x x =-，即可得解. 【详解】（1）由题知c a =2223b a =，又221413a b+=，∴23a =，22b =， 所以椭圆C 的方程为22132x y +=；（2）设()11,M x y ，()22,N x y ，由2OP OM =u u u r u u u u r得()112,2P x y ，由NQ NP λ=u u u r u u u r得()()221212,2,2QQ xx y y x x y y λ--=--，∴122(1)Q x x x λλ=+-，122(1)Q y y y λλ=+-，又点Q椭圆C 上，故[][]2212122(1)2(1)132x x y y λλλλ+-+-+=，即222222112212124(1)4(1)1323232x y x y x x y y λλλλ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++-++-+=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ∴2212124(1)4(1)132x x y y λλλλ⎛⎫+-+-+=⎪⎝⎭， 由题知直线:1MN y x =-，与椭圆C 的方程联立得25630x x --=，>0∆， 则1265x x +=，1235x x =-， ∴()()()121212123641111555y y x x x x x x =--=-++=--+=-，∴212524(1)055λλλλ⎛⎫-+---= ⎪⎝⎭，解得2237λ=或0， 又N ，Q 不重合，∴0λ≠，故2237λ=. 【点睛】本题考查了椭圆方程的确定及直线、平面向量与椭圆的综合应用，考查了运算求解能力，属于中档题. 21.已知函数()21ln 2f x x ax =+，a R ∈.（1）讨论()f x 的单调性；（2）若不等式()12x f x e e a <-+对()1,x ∀∈+∞恒成立，求a 的取值范围.【答案】（1）当0a ≥时，在()0,∞+上单调递增，当0a <时，在⎛⎝上单调递增，在⎫+∞⎪⎭上单调递减；（2）1a e -≤ 【分析】（1）求导后，按照0a ≥、0a <分类讨论，求出()0f x '>、()0f x '<的解集即可得解；（2）转换条件得211ln 022xe ax x e a ---+>在()1,+∞上恒成立，令()211ln 22x g x e ax x e a =---+，求导后结合()10g=，按照1a e >-、1a e -≤分类讨论，即可得解.【详解】（1）求导得()211(0)ax f x ax x x x+'=+=>，当0a ≥时，()0f x '>，()f x 在()0,∞+上单调递增；当0a <时，()00f x x'>⇔<<，所以()f x 在⎛ ⎝上单调递增，在⎫+∞⎪⎭上单调递减；（2）()2111ln 0222x x f x e e a e ax x e a <-+⇔---+>，令()211ln 22xg x e ax x e a =---+，()10g =，则()1xg x e ax x'=--，若()10g '<，即1a e >-，则存在01x >，使得当(]01,x x ∈时()0g x '<，()g x 单调递减，∴()()010g x g <=，与题意矛盾；当1a e -≤时，令()1xh x eax x=--，()1,x ∈+∞，∴()()221110xh x e a e e x x'=-+>--+>，∴()h x 即()g x '单调递增，∴()()110g x g e a ''>=--≥，∴()g x 单调递增，∴()()10g x g >=，符合题意；综上所述，1a e -≤.【点睛】本题考查了导数的综合应用，考查了运算求解能力与推理能力，属于中档题.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分. 22.在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为22cos 32sin x y θθ=+⎧⎨=+⎩（θ为参数），以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为(4sin 3cos )a ρθθ+=，且直线l 与曲线C 有两个不同的交点. （1）求实数a 的取值范围；（2）已知M 为曲线C 上一点，且曲线C 在点M 处的切线与直线l 垂直，求点M 的直角坐标. 【答案】（1）828a <<；（2）221,55⎛⎫ ⎪⎝⎭或189,55⎛⎫⎪⎝⎭ 【分析】（1）分别求出曲线C 与直线l 的直角坐标方程，由点到直线的距离公式即可得解；（2）设点()0022cos ,32sin M θθ++，由题意可得1//O M l 即002sin 32co 4s θθ=-，结合同角三角函数的平方关系求得004cos 53sin 5θθ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或004cos 53sin 5θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩后即可得解.【详解】（1）消参可得曲线C 的普通方程为()()22234x y -+-=，可得曲线C 是圆心为()2,3，半径为2的圆，直线l 的直角坐标方程为43y x a +=，由直线l 与圆C 有两个交点知61225a+-<，解得828a <<；（2）设圆C 的圆心为()12,3O ，由圆C 的参数方程可设点()0022cos ,32sin M θθ++，由题知1//O M l ，∴002sin 32co 4s θθ=-，又2200s cos in 1θθ+=，解得004cos 53sin 5θθ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，或004cos 53sin 5θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，故点M 的直角坐标为221,55⎛⎫⎪⎝⎭或189,55⎛⎫ ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查了参数方程、极坐标方程、直角坐标方程之间的互相转化，考查了参数方程的应用，属于中档题. 23.已知函数()22f x x x =+-的最小值为m .（1）求m 的值； （2）若实数a ，b 满足22a b m +=，求221112a b+++的最小值. 【答案】（1）2m =；（2）45【分析】（1）由绝对值三角不等式可得()()222f x x x x x ≥+--=+≥，即可得解；（2）由柯西不等式可得()222221112(11)12a b ab ⎛⎫++++≥+⎪++⎝⎭，结合222a b +=即可得解.【详解】（1）由题意()()2222f x x x x x x x x =++-≥+--=+≥，当且仅当0x =时等号成立， 故2m =； （2）由题意222a b +=，由柯西不等式得()222221112(11124)a b ab ⎛⎫++++≥+ ⎪++⎭=⎝， 当且仅当232a =，212b =时，等号成立， ∴222211441235a b a b +≥=++++，故221112a b +++的最小值为45. 【点睛】本题考查了绝对值三角不等式与柯西不等式的应用，属于中档题.。
2020年重庆市高三学业检测(第二次)-理科数学(含答案、评分细则)
所以 CM / /DN ,又 DN 平面 AB1N ， CM 平面 AB1N ，
（二）选考题：共 10 分.请考生在第 22、23 题中任选一题作答.如多做，则按所做的第一题计分.
·5·
22.【选修 4-4：坐标系与参数方程】(本小题满分 10 分）
在平面直角坐标系
xOy
中，直线
l
的参数方程为
x
2
2t 2
（ t 为参数），以坐标原点 O
y
2t 2
为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 sin2 8cos ．
值为 π ,若将 y f (x) 的图象沿 x 轴向左平移 ( 0) 个单位，所得图象关于原点对称， 2
则实数 的最小值为
·1·
A. 12
B.
6
C.
3
7
D.
12
8.2020 年 2 月，在新型冠状病毒感染的肺炎疫情防控工作期间，某单位有 4 名员工报名参加
该地四个社区的疫情防控服务工作，假设每名员工均从这四个社区中任意选取一个社区参加疫情
所以 D 为 AB1 的中点．又因为 M 为 AB 的中点，
所以 DM
/
/BB1 ，且 DM
1 2
BB1 .
……………………………………………2 分
因为
N
为 CC1
的中点，所以 CN
1 2
CC1
，
所以 DM CN ，且 DM / /CN ，
所以四边形 CMDN 是平行四边形，………………………………………………4 分
223
n 1 n
n
18.解：（Ⅰ） K 2 200 (85 5 9515)2 50 5.556 6.635 100100 20180 9
2020届重庆市南开中学高三上学期第二次教学质量检测数学(理)试题(解析版)
2020届重庆市南开中学高三上学期第二次教学质量检测数学（理）试题一、单选题1．sin 240︒的值为（ ）A.2-B.2C. 【答案】C【解析】利用诱导公式计算得到答案. 【详解】sin 240=sin(180+60)sin 60︒︒︒=-︒=故选：C 【点睛】本题考查了三角函数的计算，属于基础题型.2．复数z 满足23i i z +=（其中i 是虚数单位），则z 的虚部为（ ） A.2 B.2- C.3 D.3-【答案】B【解析】利用复数计算公式化简得到答案. 【详解】23i23i i 32z z i i++=∴==-，虚部为2- 故选：B 【点睛】本题考查了复数的计算，属于简单题型.3．“命题p q ∨为假”是“命题p q ∧为假”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】根据条件判断每个命题的真假，再确定充分性和必要性得到答案. 【详解】命题p q ∨为假，则命题,p q 均为假命题，可以推出命题p q ∧为假， 命题p q ∧为假，则命题,p q 不全为真命题，不能得到命题p q ∨为假. “命题p q ∨为假”是“命题p q ∧为假”的充分不必要条件 故选：A 【点睛】本题考查了充分非必要条件，意在考查学生的推理能力. 4．111d ex x ⎛⎫- ⎪⎝⎭⎰的值为（ ） A.e 2- B.eC.e 1+D.e 1-【答案】A【解析】直接利用定积分公式计算得到答案. 【详解】11111111d 1d d ln 1102e e ee ex x x x x e e x x ⎛⎫-=-=-=--+=- ⎪⎝⎭⎰⎰⎰ 故选：A 【点睛】本题考查了定积分的计算，意在考查学生的计算能力.5．如图是定义在(),a b 上的函数()f x 的导函数的图象，则函数()f x 的极值点的个数为（ ）A.2B.3C.4D.5【答案】B【解析】根据图像得到函数的单调区间，判断极值点. 【详解】如图所示：设导数的零点分别为1234,,,x x x x则函数()f x 在1(,)a x 单调递增，12(,)x x 单调递减，23(,)x x 单调递增，34(,)x x 单调递增，4(,)x b 单调递减.故函数()f x 在1x 取极大值，在2x 取极小值，在4x 取极大值. 故选：B【点睛】本题考查了根据函数图像判断函数的极值点，混淆导函数图像和原函数图像是容易发生的错误.6．在许多实际问题中，一个因变量往往与几个自变量有关，即因变量的值依赖于几个自变量，这样的函数称为多元函数.例如，某种商品的市场需求量不仅仅与其市场价格有关，而且与消费者的收入以及这种商品的其它代用品的价格等因素有关，即决定该商品需求量的因素不止一个而是多个.我们常常用偏导数来研究多元函数.以下是计算二元函数22(,)23z f x y x y xy ==++在()1,2处偏导数的全过程：2(,)43x x y x y f '=+,(,)16y f x y xy =+'，所以2(1,2)413216x f =⨯+⨯=',(1,2)161213y f =+⨯⨯='，由上述过程，二元函数()22(,)ln z f x y x y ==+，则(1,2)(1,2)x y f f ''+=（ ）A.29B.65 C.25D.15【答案】B【解析】根据题目给出的运算法则，计算得到答案. 【详解】()22(,)ln z f x y x y ==+则2222(,)(1,2)5x x x f x y f x y ''=∴=+；2224(,)(1,2)5y y y f x y f x y ''=∴=+ 6(1,2)(1,2)5x y f f ''+=故选：B 【点睛】本题考查了函数的新定义问题，意在考查学生的应用能力和计算能力. 7．下列命题中，是假命题的是 A.0,4x π⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭，cos sin x x > B.x ∀∈R ，sin cos 2x x +≠C.函数()|sin cos |f x x x =+的最小正周期为2πD.42log 323= 【答案】C【解析】根据三角函数性质和对数运算，依次判断每个选项的正误，判断得到答案. 【详解】 A. 0,4x π⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭，cos sin x x >420,,4x x πππ⎛⎫⎛⎫∈∴∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，cos sin )04x x x π-=+>，即cos sin x x >，正确B. x ∀∈R ，sin cos 2x x +≠，sin cos )4x x x π+=+≤，故sin cos 2x x +≠，正确C. 函数()|sin cos |f x x x =+的最小正周期为2π()|sin cos |)4f x x x x =+=+p，最小正周期为π，错误D. 42log 323=，根据对数运算法则知：24222log32log 3log 32223===，正确故选：C 【点睛】本题考查了三角函数的大小比较，周期，对数计算，意在考查学生的综合应用能力.8．若函数π()3sin()0,||2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的最小正周期为π且其图象关于直线2π3x =对称，则 A.函数()f x 的图象过点10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B.函数()f x 在π2π,123⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是单调递减函数 C.将函数()f x 的图象向右平移ϕ个单位得到函数3sin y x ω=的图象D.函数()f x 的一个对称中心是5π,012⎛⎫⎪⎝⎭【答案】D【解析】先计算得到()3sin(2)6f x x π=+，再依次判断每个选项的正误得到答案.【详解】π()3sin()0,||2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭，最小正周期为22ππωω=∴=图象关于直线2π3x =对称，所以252,1326k k k ππϕπϕππ⨯+=+∴=-=，6π=ϕ 所以()3sin(2)6f x x π=+3(0)3sin62f π==，A 错误；π2π,123x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则32,632x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦函数先增后减，B错误；函数()f x 的图象向右平移6π个单位得到：3sin(2)6x π-，C 错误；5()3sin 012f ππ==，D 正确. 故选：D 【点睛】本题考查了三角函数表达式，单调性，平移，对称，意在考查学生对于三角函数性质的综合应用能力. 9．函数1()e axf x x x-=-在()0,∞+上有两个零点，则实数a 的取值范围是 A.2,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ B.20,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭C.()1,eD.12,e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】B【解析】取1()e 0axf x x x -=-=化简得到2ln x a x =，设2ln ()x g x x=，求导确定函数图像得到答案. 【详解】取212ln (0)11()e0e e axax ax f x x x x x x a x x x---=-=∴=∴=>∴= 设2ln ()x g x x =，21ln '()2xg x x -=，()g x 在(0,)e 上单调递增，(,)e +∞上单调递减max 2()()g x g e e==画出函数图像：根据图像知：20,e a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭故选：B 【点睛】本题考查了函数的零点问题，参数分离转化为图像的交点问题是解题的关键.10．函数π()sin 212f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在区间π,,4t t t ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦R 上的最大值与最小值之差的取值范围是A.1⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B.C.,12⎤⎥⎣⎦D.12⎡-⎢⎣【答案】D【解析】将题目等价于sin y x =在,2πϕϕ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦的最大值和最小值之差的取值范围，讨论ϕ的范围计算最大最小值，综合得到答案. 【详解】π()sin 212f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，ππ5ππ,22,24121122x t t x t t ⎡⎤⎡⎤∈-∴+∈-+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，π5π2212122t t π⎛⎫⎛⎫+--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭原题等价于sin y x =在,2πϕϕ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦的最大值和最小值之差的取值范围不失一般性：设0ϕπ≤≤当04πϕ≤≤时：最大值最小值差为sin 1ϕ-，满足：1sin 11ϕ-≤-≤当0ϕ=是取最大值1，当4πϕ=时取最小值1 当42ππϕ<<时：最大值最小值差为sin()12πϕ+-，满足：1sin()1122πϕ-<+-< 当2πϕπ≤≤时：最大值最小值差为sin sin()2πϕϕ-+，满足：sin sin()sin cos )24ππϕϕϕϕϕ-+=-=-当34πϕ=)14πϕ-≥综上所述：最大值与最小值之差的取值范围是12⎡-⎢⎣【点睛】本题考查了三角函数的最值问题，分类讨论是一个常用的方法，需要熟练掌握，意在考查学生的计算能力.11．已知ABC △内角,,A B C 对应的边长分别是,,a b c ，且2a =，1b =，2C A =，则c 的值为D.【答案】C【解析】如图所示，作ACB ∠的角平分线与AB 交于点D ，根据余弦定理得到22222154024m m m m --+=，计算得到答案. 【详解】如图所示：作ACB ∠的角平分线与AB 交于点D 则12AD AC BD BC == ，设,2AD m BD m ==，则CD m =，分别利用余弦定理得到： 22222154cos ,cos 24m m ADC BDC m m --∠=∠=，ADC BDC π∠+∠=故22222154024m m m m m --+=∴=3c AB m ===故选：C【点睛】本题考查了余弦定理解三角形，意在考查学生解决问题的能力和计算能力.12．函数()4ln 3f x x ax =-+存在两个不同零点1x ，2x ，函数2()2g x x ax =-+存在两个不同零点3x ，4x ，且满足3124x x x x <<<，则实数a 的取值范围是A.143,4e -⎛⎫ ⎪⎝⎭B.14-⎛⎫ ⎪⎝⎭C. D.(,3)-∞【答案】A【解析】求导根据有两个零点得到144e 0a -<<；再根据二次函数有两个解得到144e a -<<，根据零点的大小关系得到333()4ln 30f x x ax =-+<，消元得到2334ln 10x x -+<，构造函数计算得到答案.【详解】4()4ln 3(0)'()f x x ax x f x a x=-+>∴=-， 当0a ≤时，4'()0f x a x =->恒成立，()f x 单调递增，最多有一个零点，不满足 当0a >时，()f x 在4(0,)a 上单调递增，4(,)a+∞上单调递减满足444()4ln 30f a a a a=-+>，解得144e a -<综上所述：144e 0a -<<函数2()2g x x ax =-+存在两个不同零点，则280a a ∆=->∴<-或a > 故144e a -<零点满足3124x x x x <<<，则333()4ln 30f x x ax =-+<且444()4ln 30f x x ax =-+<又因为23320x ax -+=，代换得到2334ln 10x x -+<考虑函数2()4ln 1F x x x =-+，验证知，(1)0F =，2442'()2x F x x x x-=-=()F x 在上单调递增，)+∞上单调递减故31x =<，解得3a >此时42x =>，2(2)4ln 2210F =-+<，满足4()0f x <综上所述：143,4e a -⎛⎫∈ ⎪⎝⎭【点睛】本题考查了函数的零点问题，综合性强，计算量大，通过消元得到函数2()4ln 1F x x x =-+是解题的关键，意在考查学生的综合应用能力.二、填空题13．函数()ln f x x ax =-在()1,+∞上单调递减，则实数a 的取值范围是______. 【答案】[1,)+∞ 【解析】求导得到1'()0f x a x =-≤恒成立，化简得到1a x ≤，计算得到答案. 【详解】1()ln '()0f x x ax f x a x=-∴=-≤在()1,+∞恒成立 即1a x≤恒成立，故1a ≥ 故答案为：[1,)+∞【点睛】本题考查了利用导数计算函数的单调性，意在考查学生的计算能力. 14．已知tan()2αβ+=，1tan 3β=，则锐角α=______. 【答案】π4【解析】tan()tan()ααββ=+-，利用和差公式展开得到答案. 【详解】12tan()tan 3tan()tan()121tan()tan 134αββπααββαββα-+-=+-==∴++==+ 故答案为：π4【点睛】本题考查了三角函数的计算，意在考查学生的计算能力.15．过点11,e ⎛⎫-- ⎪⎝⎭且和函数()ln f x x =的图象相切的直线的斜率为______. 【答案】1e【解析】设切点00(,ln )x x ，求导得到0001ln 11x e k x x +==+，验证知0x e =是方程的解，再确定11()ln 1(0)g x x x x e=-+->单调递增，得到答案.【详解】设切点为00(,ln )x x ，1()ln '()f x x f x x=∴=故0001ln 11x e k x x +==+ 即0011ln 10x x e-+-=，验证知0x e =是方程的解. 21111()ln 1(0)'()0g x x x g x x e x x=-+->∴=+>函数单调递增，故0x e =是唯一解.此时011k x e== 故答案为：1e【点睛】本题考查了函数的切线问题，验证解方程再判断唯一解是常用的方法，需要同学们熟练掌握.16．已知函数()cos 2sin f x x x =+，若1x ，2x 分别为()f x 的最小值点和最大值点，则()12cos x x -=______. 【答案】14-【解析】设sin (11)x t t =-≤≤，函数化简为219()2()48f t t =--+，得到21sin 4x =，1sin 1x =-，再利用和差公式展开得到答案.【详解】2()cos 2sin 12sin sin f x x x x x =+=-+，设sin (11)x t t =-≤≤2219()122()48f t t t t =-+=--+max 19()()48f t f ==，此时211sin 44t x =∴=min ()(1)2f t f =-=-，此时11sin 1t x =-∴=-()1212121cos cos cos sin sin 4x x x x x x -=+=-故答案为：14- 【点睛】本题考查了函数的最值，三角恒等变换，意在考查学生的计算能力.三、解答题17．在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c，且cos2A =，6b c +=，2ABC S ∆=.（1）求sin A 的值； （2）求a 的值. 【答案】（1）45；（2）【解析】（1）直接利用二倍角公式得到3cos 5A =，再计算sin A 得到答案. （2）根据面积公式得到5bc =，代入余弦定理计算得到答案. 【详解】（1）2243cos 2cos 12121255A A =-=⨯-=⨯-=⎝⎭，()0,πA ∈4sin 5A ∴==. （2）1142sin 22255ABCS bc A bc bc ∆=⋅=⋅==5bc ∴= 由余弦定理得：2222232cos ()22cos 62525205a b c bc A b c bc bc A =+-=+--=-⨯-⨯⨯=a ∴=【点睛】本题考查了余弦定理和面积公式的应用，意在考查学生解决问题的能力.18．某团购网站为拓展业务，与某品牌新产品签订代销合同，以拟定的价格进行试销，试销半年后，营销部门得到一组1～9月份的销售量x 与利润y 的统计数据如表：附：721716ii x==∑，711448i i i x y ==∑，()()()1122211ˆn niii ii i nniii i x x y y x y nxybx x xnx====---==--∑∑∑∑.（1）根据1～7月份的统计数据，求出y 关于x 的回归直线方程ˆˆˆybx a =+. （2）若由回归直线方程得到的估计数据与剩下的．．．检验数据的误差均不超过2万元，则认为得到的回归直线方程是理想的，试问由（1）所得回归直线方程是否理想？【答案】（1）ˆ310y x =-；（2）回归直线的方程是理想的.【解析】（1）直接利用公式计算得到3b =，10a =-，得到答案. （2）根据公式计算剩余两个数据，计算误差得到答案. 【详解】（1）由已知条件得：10,20x y ==，772111448,716i ii i i x yx ====∑∑71722217144871020483716710167i ii ii x y xyb xx ==--⨯⨯∴====-⨯-∑∑，ˆˆ2031010a y bx =-=-⨯=- y ∴关于x 的回归直线方程为ˆ310y x =-.（2）当8x =时，ˆ381014y=⨯-=，此时|1413|12-=< 当12x =时，ˆ3121026y=⨯-=，此时|2627|12-=<∴所得回归直线的方程是理想的. 【点睛】本题考查了线性回归方程，意在考查学生的计算能力和解决问题的能力.19．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，左顶点为A ，下顶点为B 12BF F △. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知点P在椭圆C 上，且以AP 为直径的圆过B 点，求直线AP 的斜率.【答案】（1）2214x y +=；（2）310 【解析】（1）根据条件得到12BF F c S bc a ∆===，计算得到答案. （2）根据条件得到直线BP 方程为21y x =-，联立方程组解得1615,1717P ⎛⎫⎪⎝⎭，计算得到到答案. 【详解】（1）122BF F c S bc a ∆=== 计算得到：1b =，c =，2a = 所以椭圆标准方程为2214x y +=（2）以AP 为直径的圆过B 点，即AB BP ⊥，12AB k =-，2BP k ∴=. 则直线BP 方程为21y x =-，与椭圆联立2221440y x x y =-⎧⎨+-=⎩ 解得P 点坐标为1615,1717P ⎛⎫⎪⎝⎭,所以1503171610217AP k -==+. 【点睛】本题考查了椭圆方程，直线和椭圆的位置关系，其中将以AP 为直径的圆过B 点转化为垂直关系是解题的关键.20．已知函数2π1()coscos (0)22262xxxf x x ωωωωω⎛⎫=+++-> ⎪⎝⎭的图象的两相邻对称轴间的距离为π2. （1）求函数()y f x =的解析式： （2）已知角,,αβθ满足：223f f αβ⎛⎫⎛⎫⋅=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭且3π4αβ+=，tan 2θ=，求sin()sin()cos 2θαθβθ++的值.【答案】（1）()2cos2f x x =；（2）18【解析】（1）化简函数得到()2cos f x x ω=，根据周期为πT =，计算得到答案.（2）代入数据得到cos cos 3αβ⋅=-，计算cos()αβ+得到sin sin 6αβ⋅=，最后利用齐次式计算得到答案. 【详解】 （1）1cos 1()262x f x x x ωπωω+⎛⎫=+++- ⎪⎝⎭1cos 226x x x πωωω⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭sin 2sin 2cos 662x x x x πππωωωω⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭由条件可得πT =，所以2ω=，则()2cos2f x x = （2）2cos 2cos 22f f αβαβ⎛⎫⎛⎫⋅=⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭cos cos αβ∴⋅=又3cos()cos cos sin sin sin sin cos 4παβαβαβαβ+=⋅-⋅=-⋅== sin sin 6αβ∴⋅=∴原式22(sin cos cos sin )(sin cos cos sin )cos sin αθαθβθβθθθ++=-2222sin sin cos cos cos sin sin()sincos cos sin αβθαβθαβθθθθ+++=- 2222cos 632cos sin θθθθθθ=-222tan tan 632631tan 1218θθθ===--【点睛】本题考查了函数三角函数的解析式，三角恒等变换.其中齐次式方法是解题的关键，需要熟练掌握.21．已知函数1211()(2)e 22x f x x x x -=--++，2()4cos ln(1)g x ax x a x x =-+++，其中a ∈R .（1）求函数()f x 在()0,2x ∈的值域；（2）用max{,}m n 表示实数m ，n 的最大值，记函数()max{(),()}F x f x g x =，讨论函数()F x 的零点个数.【答案】（1）(1,)-+∞；（2）见解析. 【解析】（1）求导得到()1()(1)e1x f x x -'=--，讨论1x >和1x ≤得到函数()f x 在(0,2)x ∈单调递增，计算得到答案.（2）1x >时，()0F x >恒成立，当11x -<<时，()0f x <恒成立，故()F x 的零点即为函数()g x 的零点，讨论()g x 在11x -<<的零点个数得到答案. 【详解】（1）()11()(1)e1(1)e 1x x f x x x x --'=--+=--当1x >时，10x ->，1e 10x -->，所以()0f x '> 当1x ≤时，10x -≤，1e 10x --≤，所以()0f x '≥所以：当x ∈R 时，()0f x '≥成立，即函数()f x 在(0,2)x ∈单调递增 所以函数()f x 在(0,2)x ∈的值域为((0),(2))f f ，即值域为121,2e 2⎛⎫- ⎪⎝⎭. （2）函数()F x 的定义域为(1,)-+∞由（1）得，函数()f x 在x ∈R 单调递增，()10f = 当1x >时，()0f x >，又()max{(),()}F x f x g x =，所以1x >时，()0F x >恒成立，即1x >时，()0F x =无零点.当11x -<<时，()0f x <恒成立，所以()F x 的零点即为函数()g x 的零点 下面讨论函数()g x 在11x -<<的零点个数1()214sin 1g x ax a x x '=--++，所以21()24cos (11)(1)g x a a x x x ''=---<<+ Ⅰ、当0a >时，因为11x -<<，cos (cos1,1)x ∈又函数cos y x =在区间π0,2⎛⎫⎪⎝⎭递减，所以π1cos1cos 32>=即当11x -<<时，12cos 0x -<，21()2(12cos )0(1)g x a x x ''=--<+所以()g x '单调递减，由()00g '=得：当10x -<<时()0g x '>，()g x 递增 当01x <<时()0g x '<，()g x 递减当1x →-时ln(1)x +→-∞，()g x ∴→-∞，当0x =时(0)40g a => 又(1)14cos1ln 2g a a =-++，()10f = 当1ln 2(1)014cos1g a ->⇒>+时，函数()F x 有1个零点；当1ln 2(1)014cos1g a -=⇒=+时，函数()F x 有2个零点；当1ln 2(1)0014cos1g a -<⇒<<+时，函数()F x 有3个零点；Ⅱ、当0a =时，()ln(1)g x x x =+-，由Ⅰ得：当10x -<<时，()0g x '>，()g x 递增，当01x <<时，()0g x '<，()g x 递减，所以max ()(0)0g x g ==，(1)ln 210g =-<， 所以当0a =时函数()F x 有2个零点Ⅲ、当0a <时，()2()4cos ln(1)g x a x x x x =+-++()24cos 0a x x +<，ln(1)0x x -++…，即()0g x <成立，由()10f =，所以当0a <时函数()F x 有1个零点 综上所述：当1ln 214cos1a ->+或0a <时，函数()F x 有1个零点；当1ln 214cos1a -=+或0a =时，函数()F x 有2个零点；当1ln 2014cos1a -<<+时，函数()F x 有3个零点.【点睛】本题考查了函数的单调性，值域，零点个数，综合性强，分类讨论是函数问题的常用方法，需要熟练掌握.22．在直角坐标系xOy 中，曲线1cos :1sin x C y αα=⎧⎨=+⎩（α为参数），在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2:()C ρθρ=∈R .（1）求1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；（2）若过原点的直线l 与曲线1C ，2C 分别相交于异于原点的点A ，B ，求AB 的最大值.【答案】（1）22(1)1y x +-=，22(3x y -+=；（2）4 【解析】（1）直接利用参数方程公式和极坐标公式计算得到答案. （2）得到曲线1C 的极坐标方程，得到||4sin 3AB πθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，计算得到答案. 【详解】（1）1cos :1sin x C y αα=⎧⎨=+⎩消去α得到221:(1)1C x y +-=2:C ρθ=，等式两边同乘ρ可得2cos ρθ=，222x y ρ=+且cos x ρθ=代入化简得222:(3C x y +=（2）由曲线1C ，2C 的极坐标方程为1:2sin C ρθ=，2:C ρθ=.12|||2sin |4sin 43AB πρρθθθ⎛⎫∴=-=-=- ⎪⎝⎭…，当56πθ=时取得等号.故最大值为4 【点睛】本题考查了参数方程，极坐标方程，意在考查学生的计算能力和转化能力. 23．设函数()|||2|f x x a x a =+--. （1）当1a =时，求不等式()1f x …的解集；（2）对,x y ∀，都有不等式()|1||2|f x y y a ++-…恒成立，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）1,[1,)3⎛⎤-∞⋃+∞ ⎥⎝⎦；（2）2a -…或27a -…. 【解析】（1）将函数表示为分段函数，分别解不等式综合得到答案. （2）求函数()f x 最大值为32a ，|1||2||21|y y a a ++-≥+得到不等式3|21|2a a +…，计算得到答案. 【详解】（1）当1a =时，2,11()1213,1212,2x x f x x x x x x x ⎧⎪-≤-⎪⎪=+--=-<<⎨⎪⎪-+≥⎪⎩121x x ≤-⎧∴⎨-≤⎩或11231x x ⎧-<<⎪⎨⎪≤⎩或1221x x ⎧≥⎪⎨⎪-≤⎩解得1x ≤-或113x -<≤或1x ≥综上所述：原不等式的解集为1,[1,)3⎛⎤-∞⋃+∞ ⎥⎝⎦.（2）取数轴上点A 表示a -，点B 表示2a，动点P 表示x 则()|||2|f x x a x a =+--表示2PA PB -322a PA PB PA PB AB -≤-≤=，当2ax =时等号成立. ()f x 最大值为32a |1||2||(1)(2)||21|y y a y y a a ++-≥+--=+（当且仅当(1)(2)0y y a +-≤时等号成立）要使()|1||2|f x y y a ≤++-恒成立，只需3|21|2a a ≤+ 平方解得：2a ≤-或27a ≥-. 【点睛】本题考查了解不等式，不等式恒成立问题，将恒成立问题转化为最大值最小值问题是解题的关键.。
【2020精品高考提分卷】重庆市2020届高三4月调研测试二诊数学试题含答案解析
2020年普通高等学校招生全国统一考试4月调研测试卷 理科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合{1,0,1,2,3}A =-，2{|30}B x x x =->，则()R AC B =（ ）A ． {1}-B ．{0,1,2}C ．{1,2,3}D ．{0,1,2,3}2．若复数z 满足2(1)1z i i +=-，其中i 为虚数单位，则z 在复平面内所对应的点位于（ ） A ． 第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 3．已知向量(,1)a x =-，(1,3)b =，若a b ⊥，则||a =（ ）A B ．2 D ． 44．《张丘建算经》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女不善织，日减功迟，初日织五尺，末日织一尺，今共织九十尺，问织几日？”，已知“日减功迟”的具体含义是每天比前一天少织同样多的布，则此问题的答案是（ ） A ．10日 B ． 20日 C ． 30日 D ．40日5．设直线0x y a --=与圆224x y +=相交于,A B 两点，O 为坐标原点，若AOB ∆为等边三角形，则实数a 的值为（ ）A ．． C ． 3± D ．9±6．方程22123x y m m +=-+表示双曲线的一个充分不必要条件是（ ） A ．30m -<< B ．32m -<< C ． 34m -<< D ．13m -<< 7．执行如图所示的程序框图，若输出的结果为3，则输入的数不可能是（ ）A ．15B ．18C ． 19D ．208．如图1所示，是一个棱长为2的正方体被削去一个角后所得到的几何体的直观图，其中11DD =，12AB BC AA ===，若此几何体的俯视图如图2所示，则可以作为其正视图的是（ ）A ．B ．C ．D ．9．已知函数2sin()y x ωϕ=+(0,0)ωϕπ><<的部分图象如图所示，则ϕ=（ ）A ．6π B ．4π C ． 3π D ．2π 10．设F 为双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点，过坐标原点的直线依次与双曲线C 的左、右支交于点,P Q ，若||2||PQ QF =，60PQF ∠=，则该双曲线的离心率为（ ）A 3．13+． 23+ D ．423+11．已知函数2()(3)xf x x e =-，设关于x 的方程2212()()0()f x mf x m R e --=∈有n 个不同的实数解，则n 的所有可能的值为（ ）A ． 3B ． 1或3C ． 4或6D ．3或4或612．已知棱长为3的正方体1111ABCD A B C D -内部有一圆柱，此圆柱恰好以直线1AC 为轴，则该圆柱侧面积的最大值为（ ） A ．92π B ．92π C ． 23π D ．32π 第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．在52(2)a x x+的展开式中4x -的系数为320，则实数a = ． 14．甲、乙两组数据的茎叶图如图所示，其中m 为小于10的自然数，已知甲组数据的中位数大于乙组数据的中位数，则甲组数据的平均数也大于乙组数据的平均数的概率为 ．15．设函数22log (),12()142,1333x x f x x x x ⎧-≤-⎪⎪=⎨⎪-++>-⎪⎩，若()f x 在区间[,4]m 上的值域为[1,2]-，则实数m 的取值范围为 ．16．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11a =，2n n a n a =-，211n n a a +=+，则100S = ．（用数字作答）三、解答题 （本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17． 在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知2sin()2sin ()24C A B π-=-． （1）求sin cos A B 的值； （2）若23a b =B ．18． 如图，矩形ABCD 中，22AB =，2AD =，M 为DC 的中点，将DAM ∆沿AM折到'D AM ∆的位置，'AD BM ⊥．（1）求证：平面'D AM ⊥平面ABCM ；（2）若E 为'D B 的中点，求二面角'E AM D --的余弦值．19． “微信运动”已成为当下热门的健身方式，小王的微信朋友圈内也有大量好友参与了“微信运动”，他随机选取了其中的40人（男、女各20人），记录了他们某一天的走路步数，并将数据整理如下：（1）已知某人一天的走路步数超过8000步被系统评定“积极型”，否则为“懈怠型”，根据题意完成下面的22⨯列联表，并据此判断能否有95%以上的把握认为“评定类型”与“性别”有关？附：22()()()()()n ad bc k a b c d a c b d -=++++，20()P K k ≥ 0．100．05 0．025 0．010 0k2．7063．8415．0246．635（2）若小王以这40位好友该日走路步数的频率分布来估计其所有微信好友每日走路步数的概率分布，现从小王的所有微信好友中任选2人，其中每日走路不超过5000步的有X 人，超过10000步的有Y 人，设||X Y ξ=-，求ξ的分布列及数学期望．20．已知,A B分别为椭圆C：22142x y+=的左、右顶点，P为椭圆C上异于,A B两点的任意一点，直线,PA PB的斜率分别记为12,k k．（1）求12,k k；（2）过坐标原点O作与直线,PA PB平行的两条射线分别交椭圆C于点,M N，问：MON∆的面积是否为定值？请说明理由．21．已知曲线2ln ln()x a x af xx++=在点(,())e f e处的切线与直线220x e y+=平行，a R∈．（1）求a的值；（2）求证：()xf x ax e>．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为1cos1sin2x ty tαα=-+⎧⎪⎨=+⎪⎩（t为参数），以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为22244sin cosρθθ=+．（1）写出曲线C的直角坐标方程；（2）已知点P的直角坐标为1(1,)2-，直线l与曲线C相交于不同的两点,A B，求||||PA PB的取值范围．23．选修4-5：不等式选讲已知函数()|||3|f x x a x a=-+-．（1）若()f x的最小值为2，求a的值；（2）若对x R ∀∈，[1,1]a ∃∈-，使得不等式2||()0m m f x --<成立，求实数m 的取值范围．试卷答案2020年普通高等学校招生全国统一考试4月调研测试卷 理科数学一、选择题 1～6 DCCCCD7～12 DABCAD第（11）题解析：xx x x f +-='e )3)(1()(，)(x f ∴在)3,(--∞和),1(+∞上单增，)1,3(-上单减又当-∞→x 时0)(→x f ，+∞→x 时+∞→)(x f ， 故)(x f 的图象大致为： 令t x f =)(，则方程0e 1222=--mt t 必有两根21,t t )(21t t <且221e 12-=t t ， 当e 21-=t 时恰有32e 6-=t ，此时1)(t x f =有1个根，2)(t x f =有2个根； 当e 21-<t 时必有32e 60-<<t ，此时1)(t x f =无根，2)(t x f =有3个根； 当0e 21<<-t 时必有32e 6->t ，此时1)(t x f =有2个根，2)(t x f =有1个根； 综上，对任意R m ∈，方程均有3个根.第（12）题解析：由题知，只需考虑圆柱的底面与正方体的表面相切的情况，由图形的对称性可知，圆柱的上底面必与过A点的三个面相切，且切点分别在线段11,,ADACAB上，设线段1AB上的切点为E，1AC面21OBDA=，圆柱上底面的圆心为1O，半径即为EO1记为r，则2262331312=⨯⨯==DFFO，13112==ACAO，由FOEO21//知EOAOAOEO11112122=⇒=，则圆柱的高为rAO223231-=-，232329242(322)42()42()428r rS r r r rππππ+-=-=-⋅==侧≤.二、填空题（13）2（14）53（15）]1,8[--（16）1306第（15）题解析：函数)(xf的图象如图所示，结合图象易得，当]1,8[--∈m时，]2,1[)(-∈xf.第（16）题解析：1122+=++naann，则12745032999832=+++=++++aaaa，31302932262550136122550100=+=+=-=+=+=-=a a a a a a a ，则1306100=S .三、解答题 （17）解：（Ⅰ）1cos sin 2)sin(1sin 1)2cos(1)sin(=⇒+-=-=--=-B A B A C C B A π，21cos sin =∴B A ； （Ⅱ）332sin sin ==b a B A ，由（Ⅰ）知212sin 33cos sin 332cos sin ===B B B B A ，232sin =∴B ， 32π=∴B 或32π，6π=∴B 或3π. （18）解：（Ⅰ）由题知，在矩形ABCD 中，︒=∠=∠45BMC AMD ，︒=∠∴90AMB ，又BM A D ⊥'，⊥∴BM 面AM D '，∴面⊥ABCM 面AM D '；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，在平面AM D '内过M 作直线MA NM ⊥，则⊥NM 平面ABCM ， 故以M 为原点，MN MB MA ,,分别为z y x ,,轴的正方向建立空间直角坐标系，则)0,0,0(M ，)0,0,2(A ，)0,2,0(B ，)1,0,1(D '，于是)21,1,21(E ，)0,0,2(=MA ，)21,1,21(=，设平面EAM 的法向量为),,(z y x =，则⎪⎩⎪⎨⎧=++=0212102z y x x 令1=y ，得平面EAM 的一个法向量)2,1,0(-=，显然平面AM D '的一个法向量为)0,1,0(=，故51,cos >=<，即二面角D AM E '--的余弦值为55.（19） 解：（Ⅰ）841.3114018222020)861214(4022<=⨯⨯⨯⨯-⨯⨯=K ，故没有95%以上的把握认为二者有关；（Ⅱ）由题知，小王的微信好友中任选一人，其每日走路步数不超过5000步的概率为81，超过10000步的概率为41，且当0==Y X 或1==Y X 时，0=ξ，12551129888464P C =⨯+⋅=；当0,1==Y X 或 1,0==Y X 时，1=ξ，6430854185811212=⋅+⋅=C C P ；当0,2==Y X 或2,0==Y X 时，2=ξ，645)81()41(22=+=P ，即ξ的分布列为：85=ξE .（20）解：（Ⅰ）设),(00y x P ，则21242220202020000021-=-=-=-⋅+=y y x y x y x y k k ； （Ⅱ）由题知，直线x k y OM 1:=，直线x k y ON 2:=，设),(),,(2211y x N y x M ， 则|)(|21||21||2121211122211221x x k k x k x x k x y x y x S -=⋅-⋅=-=，由212112221442k x xk y y x +=⇒⎩⎨⎧==+， 同理可得2222214k x +=，故有1)(24)2(16214214)(42221222121222122212212+++-+=+⋅+⋅-=k k k k k k k k k k k k S ，又2121-=k k ，故8)(22)1(164222122212=++++=k k k k S ，2=∴S . （21）解：（Ⅰ）22ln (2)ln ()x a x f x x -+-'=，由题22122(e)3e e a f a -+-'==-⇒=；（Ⅱ）2ln 3ln 3()x x f x x ++=，2ln (ln 1)()x x f x x -+'=，1()01ef x x '>⇒<<， 故()f x 在1(0,)e和(1,)+∞上递减，在1(,1)e上递增， ①当(0,1)x ∈时，1()()e e ≥f x f =，而33(1)()e e x x x x -'=，故3ex x 在(0,1)上递增， 33e e e x x ∴<<，3()e x x f x ∴>即()3ex f x x >；2 / 2②当[1,)x ∈+∞时，2ln 3ln 30033≥x x ++++=，令23()e x x g x =，则23(2)()e x x x g x -'=故()g x在[1,2)上递增，(2,)+∞上递减，212()(2)3e≤g x g ∴=<，223ln 3ln 3e x x x x ∴++>即()3ex f x x >； 综上，对任意0x >，均有()3ex f x x >. （22）解：（Ⅰ）14444cos sin 422222222=+⇒=+⇒=+y x x y θρθρ； （Ⅱ）因为点P 在椭圆C 的内部，故l 与C 恒有两个交点，即R ∈α，将直线l 的参数方程与椭圆C 的直角坐标方程联立，得4)sin 21(4)cos 1(22=+++-ααt t ，整理得 02)cos 2sin 4()sin 31(22=--++t t ααα，则]2,21[sin 312||||2∈+=⋅αPB PA . （23）解：（Ⅰ）|||3||()(3)||2|x a x a x a x a a -+----=≥，当且仅当x 取介于a 和a 3之间的数时，等号成立，故)(x f 的最小值为||2a ，1±=∴a ；（Ⅱ）由（Ⅰ）知)(x f 的最小值为||2a ，故]1,1[-∈∃a ，使||2||2a m m <-成立，即 2||2<-m m ，0)2|)(|1|(|<-+∴m m ，22<<-∴m .。
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cos 0
4 5
，sin
0
3 5
，或 cos0
4 5
，sin
0
3 5
，故点
M
( 2，21) 55
，或
(18 ，9 ) 55
.
……10 分
23．（10 分）
解：（1） f (x) | x | | x | | x 2 |≥| x | | x (x 2) || x | 2 ≥2 ，当且仅当 x 0 时等号成立，
2
，
2bc
2
故 A 3 ，由 cos A cos(B C) sin B sin C cos B cos C 得 sin B sin C
2
，
4
10
由正弦定理知 b c 2a ，即b 2asin B，c 2asin C ， sin B sin C
S 1 bc sin A 1 2a2 sin B sin C 2 1 a2 ，
故 [2x1 (1)x2]2 [2y1 (1)y2]2 1，
3
2
即 42( x12 y12 ) (1 )2( x22 y22 ) 4(1 )( x1x2 y1y2 ) 1，
32
32
32
42 (1 )2 4(1 )( x1x2 y1 y2 ) 1， ……8 分 32
由题知直线
MN
:
15． 3 2n1
16．[ 3， 3]
5 月调研测试卷（理科数学）参考答案 第 1页 共 4 页
1
第 14 题提示：由三视图可知该几何体是一个长方体中挖去一个 球，
8
如图所示，V 3 3 5 1 4 33 45 9 ．
83
2
第 15 题提示：设公差为 d ，由题知 a42 (a4 2d )(a4 4d ) ，
y
x
1
，与椭圆 C
的方程联立得 5x2
6x
3
0
，则
x1
x2
6 5
，x1
x2
3 5
，
y1 y2
(x1
1)(x2
1)
x1x2
(x1
x2 )
1
3 5
6 5
1
4 5
，……10
分
52 2 4(1 )( 1 2) 0 ，解得 22 或 0 ，
55
37
又 N，Q 不重合， 0 ，故 22 . …12 分 37
g(x)
0，
g(x) 单减， g(x0 ) g(1) 0 ，与题意矛盾，故 a ≤ e 1， ……7 分
当a
≤
e
1 时，
x (1，
)
， g(x)
ex
a
1 x2
e 1
a
≥2
， g(x)
单增，
g(x) g(1) ≥ 0 ， g(x) 单增， g(x) g(1) 0 ，符合题意， a ≤ e 1. ……12 分
故只需 (a 2)(a 2) ≤ 1 ，即 - 3 ≤ a ≤ 3 ．
三、解答题
17．（12 分）
解：（1） f (x) sin 2x
3(1 cos 2x)
3
2 sin(2 x
)
，……2
分
3
由 2k ≤ 2x ≤2k 得 k ≤ x ≤ k 5 ，……4 分
2
3
2
12
12
P 1 (1 0.0228)10 1 0.977210 1 0.79 0.21 . ……12 分
19．（12 分）
z
解：（1）AB / /DC ， AB 平面 PDC ，AB/ / 平面 PDC ，
又面 ABFE 面 PDC EF ， AB / / EF ，
取 DC 中点 G ，连接 BG ，则 ABGD 为平行四边形，
（2）由（1）知 CD 平面 PAD ，CPD 即为直线 PC 与平面 PAD 所成角，
CPD ， 6 3 ，即 PD 2 3 ，又 EF AB 1 DC ，
3 PD
2
E，F 分别为 PD，PC 的中点，取 AD 中点 O ，连接 PO ，则 PO AD ，
由 CD 平面 PAD可得CD PO ，故 PO 平面 ABCD ， ……7 分 以 O 为原点， OA，AB，OP 分别为 x，y，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，
BG 4 ，又 GC 3，BC 5 ，故 BGC 90 ，
AD DC ， AB AD ，又 AB AP ， AB 平面 PAD ， EF 平面 PAD ， EF PD ； ……6 分
O x
G y
5 月调研测试卷（理科数学）参考答案 第 2页 共 4 页
2020届重庆市高三“二诊”考试数学（理）试卷
第
8
题提示：由
y
x e|x|
为奇函数可排除
C
选项，当
x
0
时， y
1 x ex
，故
y
x ex
在 (0，1)
上单增，(1， )
上单减，故选 A．
第 9 题提示：由 f (x) 为奇函数知 f ( 3 x) f (x 3) ， f (x 3) f (x 3) ，即 f (x 3) f (x) ，
3 ，b2
2，
所以椭圆 C 的方程为 x2 y2 1； ……4 分 3 2
（2）设 M(x1，y1)， N (x2，y2 ) ，由 OP 2OM 得 P(2x1，2 y1) ， 由 NQ NP 得 (xQ x2，yQ y2) (2x1 x2，2 y1 y2 ) ，
xQ 2x1 (1 )x2，yQ 2 y1 (1 ) y2 ，又点 Q 在椭圆 C 上，
故 m 2 ；……5 分
（2）a2
b2
2
，由柯西不等式得
( 1
1 a
2
2
1 b2
)(1
a2
2
b2)
≥(1 1) 2
，当且仅当
a2
3 ，b2 2
1 2
时
等号成立， 1 1 a2
1 2 b2
≥
a2
4 b2
3
4 5
1
，故
1 a2
1 2 b2
的最小值为
4 5
.
……10 分
5 月调研测试卷（理科数学）参考答案 第 4页 共 4 页 2020届重庆市高三“二诊”考试数学（理）试卷
a
a
a
（2） ln x 1 ax2 e x e 1 a e x 1 ax2 ln x e 1 a 0 ，令 g(x) ex 1 ax 2 ln x e 1 a ，
2
2
2
2
2
2
g (1)
0 ，g(x)
ex
ax
1 x
，若
g(1)
0
即a
e 1 ，则存在
x0
1使得当
x (1，x0 ] 时
22．（10 分）
解：（1）曲线 C 的普通方程为 (x 2)2 ( y 3)2 4 ，直线 l 的直角坐标方程为 4 y 3x a ，由直线 l 与圆 C 有
两个交点知 | 6 12 a | 2 ，解得 8 a 28 ； ……5 分 5
（2）设圆 C 的圆心为 O1 ，由圆 C 的参数方程可设点 M (2 2 cos0，3 2 sin 0) ，由题知 O1M / /l ，
sin C 3
2
6
6
2
SABC
1 ac sin B 2
3
.
4
……12 分
18．（12 分）
解：（1）由题知五组频率依次为 0.1，0.2，0.375，0.25，0.075 ，
故 x 0.1166 0.2168 0.375170 0.25172 0.075174 170 ， ……2 分
s2 (170 166)2 0.1 (170 168)2 0.2 (170 172)2 0.25 (170 17 4)2 0.075 4.6 ；…4 分
2
2
2 10
所以 a 10 ，故选 D．
第 12 题提示：设 ABC 的中心为 G ，延长 BG 交 AC 于 F ，则 F 为 AC 中点，连接 DF ．
由题知 DG 平面 ABC ， AC GB ，由三垂线定理得 AC BD ，
又 BD CE ， BD 平面 ACD ，又 D ABC 为正三棱锥，
2020 年普通高等学校招生全国统一考试 5 月调研测试卷 理科数学 参考答案
一、选择题
1～6 BCBDBC
7～12 CABCDC
第 7 题提示：由题知， b a 2b b a 1≥ 2 b a 1 2 1 ，当且仅当 b a
a 2b a 2b
a 2b
a 2b
即 a 2 2 2，b 2 2 时等号成立，故选 C．
4
4
4
4
2
f (x 3) f (x 3) f (x) ， f (x) 是周期为 3 的周期函数， 2
故
f
(100)
f
(1)
f
( 1) 2
log 2
3m 2
，即 log2
3 2
m
log2 3 ， m
1 ，故选 B．
第
10
题提示：由题知 |
FP |
xP
p 2
3p
， xP
5 2
p ，设点
（2）由题知 170， = 4.6 115 2.14 ， ……5 分 5
（ⅰ） P(167.86 X 174.28) P( X 2) 0.6826 0.9544 0.6826 0.8185 ， 2
……8 分
（ⅱ） P( X 174.28) 1 0.9544 0.0228 ，故 10 人中至少有 1 人的身高在174.28 cm 以上的概率 2