原子物理学 原子的量子态：玻尔模型 (2.2.2)--施特恩-盖拉赫实验

第四章习题解答

4-l 一束电子进入1.2 T 的均匀磁场时，试问电子自旋平行于和反平

行于磁场的电子的能量差为多大?

解：已知电子自旋磁矩在磁场方向的投影

(注意做题时，它是磁场方向的投影，不要取真实值) 依磁

矩与磁场的作用能量

B

B μμμ±=±=s s z g

m B

μ3

自旋与磁场平行时 自旋与磁场反平行时

则

θμμcos B B E =⋅= B B B E B s s μμμ==⋅= 0cos 1

B B B E B s s μμμ-==⋅= 180cos 1eV 101.389eV 105788.02.122Δ44B 12--⨯=⨯⨯⨯==-=B E E E μ

4-2 试计算原子处于 状态的磁矩及投影的可能值.

解法一：已知：j =3/2, 2s +1=2 s =1/2, l =2

则

依据磁矩计算公式:

依据磁矩投影公式:

∴ 232D μ z μ544156432123=⎪⎪⎪⎪⎫ ⎝⎛-+=j g ()B B 15521μμμ-=+-=j j g j j B

μμj j z g m -=5

6,52±±=j j g m B B 56,52μμμ±±=z

解法二：因为电子具有自旋，则存在与自旋相联系的磁矩，他在磁场作用下的能量为电子自旋方向与磁场平行和反平行，则有μB U

s ⋅-=μ

（其中，）

所以电子自旋平行于和反平行于磁场的电子的能量为

则电子自旋平行于和反平行于磁场的电子的能量差为B

m g B B U

B s s sz s μμμ=-=⋅-=2=s g 21±=s m B

U B μ±=eV 104.1T 2.1T eV 10

5788.022Δ414---⨯=⨯⋅⨯⨯==B U B μ

4-3 试证实：原子在状态的磁矩等于零，并根据原子矢量模型对这一事实作出解释.解：依题意有

236G

所以

综上得出，多电子耦合系统中，相互作用产生的总效果为零，说明多电子作用有相抵消的情况。

25=s 23=J 612=+s 4=l 21;23±±=j m 0)123(23)14(4)125(252123)(2123ˆˆˆ222=〉++-+〈+=-+=J L s j g 0=m g j j

4-4 在史特恩-盖拉赫实验中，处于基态的窄的银原子束通过极不均匀的横向磁场，并射到屏上，磁极的纵向范围d =10cm ，磁极中心到屏的距离D =25 cm.如果银原子的速率为400m/s ，线束在屏上的分裂间距为2.0mm ，试问磁场强度的梯度值应为多大?银原子的基态为，质量为107.87u.

212S

2

解：银原子的基态为其角动量量子数分别为,

S21

21,21;21;212;0±====+=j m j s s l ()()()212121201212123121123=⎪⎭

⎫ ⎝⎛+⨯-⎪⎭⎫ ⎝⎛++=++-++=j j l l s s g x

在施特恩-盖拉赫实验中，银原子束打到屏上，偏离轴的距离为

则线束在屏上的分裂间距为

磁场强度的梯度值为

23mv dD Z B g m kT dD Z B z Z B j j Z z ∂∂-=∂∂=μμ22zmv dD B z Z B ∂∂=∆μ()m

T 102.1cm 25cm 10T J 10927.02s m 400kg 10

66.187.107mm 0.222232272

⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=∆=∂∂--dD zmv z B B Z μ

4-5 在施特恩-盖拉赫实验中(图19.1)，处于基态的窄的银原子束通过极不均匀横向磁场梯度为，磁极的纵向范围d =10cm ，磁极中心到屏的距离D =30cm ，使用的原子束是处于基态的钒原子，原子的动能E k =50MeV .试求屏上线束边缘成分之间的距离.

cm T z B /.05=∂∂324F

解：对于多个电子，，，

则 412=+S 23=

S 3=L J 52415124152123ˆˆˆ2123222=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=j l s g j 23,21,21,23--=j m

依公式: 又 kT D z B g m Z j j 3d B 2⋅∂∂-=μmeV mV 502

12=eV 1

.032==mV

kT

和

cm 52092.0cm 5030100.552233d B 2±=⨯⨯⨯⨯±=⋅∂∂-=kT D z B g m Z j j μ1736.0cm 50

30100.55213d B ±=⨯⨯⨯⨯⋅∂∂kT

D z B g j j μ

4-6 在史特恩-盖拉赫实验中，原子态的氢从温度为400K 的炉中射出，在屏上接受到两条氢束线，间距为0.60cm.若把氢原子换成氯原子(基态为)，其它实验条件不变，那么，在屏上可以接受到几条氯束线?其相邻两束的间距为多少?解：已知，

232P cm 30.02 Z

，

，由K

400=T 0.103eV

eV 40010617.8335

=⨯⨯⨯=-kT 1

,2,21±===j j j g m g J kT D z B g m Z j j 3d B 2⋅∂∂-=μ

3.03d B =⋅∂∂kT

D z B μ

当换为氯原子时，因其基态为，

,，232P 23=j 1=l 1s