第6章 湍流
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湍流模型
第六章湍流模型湍流模型湍流运动中动量与能量交换主要受大尺度涡的影响湍流的基本方程无论湍流运动多么复杂，非稳态的连续方程和Navier-stokes 方程对于瞬时运动仍然是使用的。
对不可压流动：=01+=-+(grad )1+=-+(grad )1+=-+(grad )u p u v u t x v p v v t y w p w v w t zρρρ∇∂∂∇∇∂∂∂∂∇∇∂∂∂∂∇∇∂∂u u u u ()(v )()一、“雷诺平均”模式（RANS)根据湍流统计平均理论，湍流的速度、压强都可以分解为平均量和脉动量'i i iu u u=+p p p '=+其中，,i u p 为系综统计平均量，任意变量ф的时间平均值定义为:1()t ttt dt t φφ+∆=∆⎰,i u p ''为脉动量一、“雷诺平均”模式（RANS)对N-S 方程做系综平均()0i iu x ∂=∂遵循求导和系综平均可交换的原则，上式的线性项可直接写出:i iu u t t∂∂=∂∂21()i i i j i j i j ju u pu u f t x x x x νρ∂∂∂∂+=-++∂∂∂∂∂一、“雷诺平均”模式（RANS)对非线性对流项()()(()())()()i j i j j i i j i j i j i j i j j j j j i j i j ju u u u u u u u u u u u u u u u x x x x u u u u x ∂∂∂∂''''''==++=+++∂∂∂∂∂''=+∂将以上方程代入N-S 方程的系综平均中:'2'''''''2'''''''2=01+=-+(grad )+[---]1+=-+(grad )[---]1+=-+(grad )[---]u p u u v u w u v u t x x y z v p u v v v w v v v t y x y z w p u w v w w w v w t zx y z ρρρ∇∂∂∂∂∂∇∇∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∇∇+∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∇∇+∂∂∂∂∂u u u u ()()()()0i iu x ∂=∂21()()i i i j i j iji j j i u p u u u v u u f t x x x x x ρ∂∂∂∂∂''+=-+-+∂∂∂∂∂∂()ij i j R u u ρ''=-为雷诺应力项一、“雷诺平均”模式（RANS)()0i iu t x ρρ∂∂+=∂∂()1()[()]i i i j i j i ji j j u p u u u u u s t x x x x ρρμρρ∂∂∂∂∂''+=-+-+∂∂∂∂∂()()[()]j i j j i ju u s t x x x φρφρφρφ∂∂∂∂''+=Γ-+∂∂∂∂RANS方程和原N-S方程在形式上很相似，只是多了雷诺应力项（6个）。
工程流体力学课件 第06章 流体流动微分方程 - 4
② μ和ρ随温度变化不大时，温度对流场(速度和压力)的影响很小，这
时 可以不考虑温度的影响，因此也不需要考虑能量方程。
③ 能量方程的微分形式，其推导过程与连续性方程和动量方程的推导 微分相方似程，方方法程：的结构也相似，数学上并没有太多的特殊性。 流体力学中，微分方法和积分方法都是为了研究流体的质量守恒、动量 守恒和能量守恒。积分法研究系统整体，揭示总体性能；微分法研究空 间任一点和包含该点的流体微元，揭示三维流场的空间分布细节。两种 分析方法相辅相成，都必须要学、必须学好。 微元体分析方法的核心：将雷诺输运定理应用于流体微元控制体。
t
z方向：vz dxdydz
t
6.2.3 以应力表示的运动方程
分别将微元控制体中x-,y-和z-方向的动量各对应项代入雷诺 输运定理，可得三个方向的运动微分方程。
X－：
vx t
vx
vx x
vy
vx y
vz
vx z
fx
xx
x
yx
y
zx
z
Y－：
vy t
vx
vy x
vy
vy y
、vz z
)和体变形率(
vx x
vy y
vz z
)
正应力包含两部分：
v
①流体静压产生的正应力(压应力-p);
②流体运动变形产生的附加黏性正应力。与三个方向的线变形率
以及体变形率有关。这种关系类似于固体中的虎克定律。
xx
p
2
vx x
2 3
vx x
vy y
vz z
xx p xx
xx 附加黏性正应力(或附加正应力)
连续性方程变为：
t
(vx )
时 可以不考虑温度的影响，因此也不需要考虑能量方程。
③ 能量方程的微分形式，其推导过程与连续性方程和动量方程的推导 微分相方似程，方方法程：的结构也相似，数学上并没有太多的特殊性。 流体力学中，微分方法和积分方法都是为了研究流体的质量守恒、动量 守恒和能量守恒。积分法研究系统整体，揭示总体性能；微分法研究空 间任一点和包含该点的流体微元，揭示三维流场的空间分布细节。两种 分析方法相辅相成，都必须要学、必须学好。 微元体分析方法的核心：将雷诺输运定理应用于流体微元控制体。
t
z方向：vz dxdydz
t
6.2.3 以应力表示的运动方程
分别将微元控制体中x-,y-和z-方向的动量各对应项代入雷诺 输运定理，可得三个方向的运动微分方程。
X－：
vx t
vx
vx x
vy
vx y
vz
vx z
fx
xx
x
yx
y
zx
z
Y－：
vy t
vx
vy x
vy
vy y
、vz z
)和体变形率(
vx x
vy y
vz z
)
正应力包含两部分：
v
①流体静压产生的正应力(压应力-p);
②流体运动变形产生的附加黏性正应力。与三个方向的线变形率
以及体变形率有关。这种关系类似于固体中的虎克定律。
xx
p
2
vx x
2 3
vx x
vy y
vz z
xx p xx
xx 附加黏性正应力(或附加正应力)
连续性方程变为：
t
(vx )
湍流流动
6. 湍流流动
6.2 湍流流动的雷诺方程
传 输 原 理 － － 2 物 0 0 理 6 量 湍流依然受到宏观物理规律的制约，满足连续性方程与 纳维－斯托克斯方程及相应的定解条件。 湍流运动是一种极不规则的随机运动，脉动频率很高， 从一般给定时间的条件去求解瞬时运动是不可能的。 从实际应用角度看，某种统计平均值比瞬来自值更重要。v′ = z
v z = v z + v′ z
时均化与偏微分相互独立，表现在数学上，可交换运算次序。
物
vz = 1
τ
∫
τ
0
vz dτ
∂ v z ∂v z = ∂x ∂x
∂v′ z =0 ∂x
∂ 2vz ∂ 2vz = 2 2 ∂x ∂x
∂ 2 v′ z =0 2 ∂x
′ v x v y = (v x + v′ )(v y +vvv y = v x v y + v′ v y + v x v′ + v′ v′y x xy) x y x v x v y = v x v y + v′ v′y x
vx
vx
∂v y ∂x
+ vy
∂v y ∂y
+ vz
∂v y ∂z
=
µ ∂ v y ∂ v y ∂ v y 1 ∂p − + + ρ ∂x 2 ∂y 2 ∂z 2 ρ ∂y
2 2 2
µ ∂ 2v ∂ 2 v ∂ 2 v ∂vz ∂v ∂v + v y z + v z z = 2z + 2z + 2z ∂x ∂y ∂z ρ ∂x ∂y ∂z
∂ v′2 ∂ v′y v′ ∂ v′ v′ ∂ 2vx ∂ 2vx ∂ 2vx ∂v x ∂v x ∂v x x = µ 2 + 2 + 2 − ρ x + ρ vx + vy + vz + z x ∂x ∂x ∂x ∂y ∂z ∂y ∂z ∂y ∂z
第六章——不可压缩粘性流体的内部流动
Du Dt
fx
1
p x
2u x2
2u y2
2u z 2
1
3
( V ) x
利用已知条件：
(1) =常数；=常数
(2)定常流动： 0
t
(3)充分发展流动:
u x
2u x2
0
,
u u( y )
(4)质量力沿x分量: fx 0
化简后得：
dp dx
d2u dy2
17
6.3 平板间的层流
压强p与y无关，速度u与x无关，积分得：
单位宽度上的流量为：
Q
h
udy
h g sin ( y2 2hy)dy gh3 sin
0
0 2
3
25
6.4 管内湍流 1. 湍流脉动现象与值 湍流（紊流） ：流动雷诺数Re> 2300的流动 湍流脉动现象：湍流流动参数随时间和空间作随机变化的现象。
26
6.4 管内湍流
图6-10 某热线仪测得的管内轴向瞬时速度
6
6.1 流动阻力
【解】油的平均流速为 V G 0.329(m / s)
A
流动沿程阻力损失为：
hf
l
d
V2 2g
9.94(m)
建立入口和出口间的伯努利方程
V12 2g
z1
p1
g
V22 2g
z2
p2
g
hw
出口端的油压
p0 p2 (V12 V22 ) g(z1 z2 ) p1 ghw 305090(Pa)
u U (1 y ) 2h
6-26
此时，平板间的速度随y呈线性分布，这种由上平板运动带
动流体产生的流动称为库艾特剪切流
流体力学第六章 流动阻力及能量损失
第六章流动阻力及能量损失本章主要研究恒定流动时，流动阻力和水头损失的规律。
对于粘性流体的两种流态——层流与紊流，通常可用下临界雷诺数来判别，它在管道与渠道内流动的阻力规律和水头损失的计算方法是不同的。
对于流速，圆管层流为旋转抛物面分布，而圆管紊流的粘性底层为线性分布，紊流核心区为对数规律分布或指数规律分布。
对于水头损失的计算，层流不用分区，而紊流通常需分为水力光滑管区、水力粗糙管区及过渡区来考虑。
本章最后还阐述了有关的边界层、绕流阻力及紊流扩散等概念。
第一节流态判别一、两种流态的运动特征1883年英国物理学家雷诺（Reynolds O.）通过试验观察到液体中存在层流和紊流两种流态。
1.层流观看录像1-层流层流（laminar flow），亦称片流：是指流体质点不相互混杂，流体作有序的成层流动。
特点：（1）有序性。
水流呈层状流动，各层的质点互不混掺，质点作有序的直线运动。
（2）粘性占主要作用，遵循牛顿内摩擦定律。
（3）能量损失与流速的一次方成正比。
（4）在流速较小且雷诺数Re较小时发生。
2.紊流观看录像2－紊流紊流（turbulent flow），亦称湍流：是指局部速度、压力等力学量在时间和空间中发生不规则脉动的流体运动。
特点：（1）无序性、随机性、有旋性、混掺性。
流体质点不再成层流动，而是呈现不规则紊动，流层间质点相互混掺，为无序的随机运动。
（2）紊流受粘性和紊动的共同作用。
（3）水头损失与流速的1.75~2次方成正比。
（4）在流速较大且雷诺数较大时发生。
二、雷诺实验如图6-1所示，实验曲线分为三部分：（1）ab段：当υ<υc时，流动为稳定的层流。
（2）ef段：当υ>υ''时，流动只能是紊流。
（3）be段：当υc<υ<υ''时，流动可能是层流（bc段），也可能是紊流（bde段），取决于水流的原来状态。
图6-1图6-2观看录像3观看录像4观看录像5实验结果（图6-2）的数学表达式层流：m1=1.0, h f=k1v , 即沿程水头损失与流线的一次方成正比。
高等大气物理：第六章 湍流的发生与描述
8
8
湍流运动的发生机制和运动结构
？
湍流运动的形成首先与流体运动的 稳定性密切相关
9
9
二、流体运动的稳定性
1、Re数：1883年， O.Reynolds在圆管水流试验中系统地 研究了湍流现象，引进了Re数
Re
> <
Rec
湍流 层流
不可压缩流体的稳定性可以用Re这样的无因次特征量 来表达
10
10
2、线性小扰动方法
• 奇怪吸引子的出现是由于高维相空间中的耗散系统，在演 化过程中要耗损掉快弛豫参量，剩下决定系统长时间行为 的慢弛豫参量； • 在这过程中，系统的相体积要不断地收缩,并趋向一个维 数比原来相空间维数低的有限区域——吸引子上；方程的 非线性，使得某些方向上的运动是不稳定的，局部看来呈 指数分离。为了在有限的区域里进行指数分离，空间运动 轨道只能采取无穷次折迭起来的办法
讨论基本流场的稳定条件 平均场＋扰动场 求解流体扰动衰减条件
11
不可压缩流体的navier-stokes方程
1 ∂p ∂ui ∂ui + uj =− + ν∆ui ∂x j ρ ∂x i ∂t ∂u j ∂x j =0
（3）
（2）
描述液体力学和等离子体的基本方程是纳维尔-期斯托克 斯方程，在2000年5月14日被巴黎国际数学大会列为21世纪世 界数学的七大难题之一
第六章 湍流的发生与描述
提出问题
湍流是怎样产生的？
利用实验方法来研究：动力扰动、热力扰动 利用数学方法来研究：Lorenz非周期
寻找解决 方法和思 路
得出结论
湍流形成过程流体运动的特征 混沌运动的特征
湍流的混沌特征
2
2
8
湍流运动的发生机制和运动结构
？
湍流运动的形成首先与流体运动的 稳定性密切相关
9
9
二、流体运动的稳定性
1、Re数：1883年， O.Reynolds在圆管水流试验中系统地 研究了湍流现象，引进了Re数
Re
> <
Rec
湍流 层流
不可压缩流体的稳定性可以用Re这样的无因次特征量 来表达
10
10
2、线性小扰动方法
• 奇怪吸引子的出现是由于高维相空间中的耗散系统，在演 化过程中要耗损掉快弛豫参量，剩下决定系统长时间行为 的慢弛豫参量； • 在这过程中，系统的相体积要不断地收缩,并趋向一个维 数比原来相空间维数低的有限区域——吸引子上；方程的 非线性，使得某些方向上的运动是不稳定的，局部看来呈 指数分离。为了在有限的区域里进行指数分离，空间运动 轨道只能采取无穷次折迭起来的办法
讨论基本流场的稳定条件 平均场＋扰动场 求解流体扰动衰减条件
11
不可压缩流体的navier-stokes方程
1 ∂p ∂ui ∂ui + uj =− + ν∆ui ∂x j ρ ∂x i ∂t ∂u j ∂x j =0
（3）
（2）
描述液体力学和等离子体的基本方程是纳维尔-期斯托克 斯方程，在2000年5月14日被巴黎国际数学大会列为21世纪世 界数学的七大难题之一
第六章 湍流的发生与描述
提出问题
湍流是怎样产生的？
利用实验方法来研究：动力扰动、热力扰动 利用数学方法来研究：Lorenz非周期
寻找解决 方法和思 路
得出结论
湍流形成过程流体运动的特征 混沌运动的特征
湍流的混沌特征
2
2
传热学第六章
流动全部为紊流
局部传热系数关联式 Nuxm 0.0296Rex4m/5Prm1/3
平均传热系数关联式 Num 0.037Rem4/5Prm1/3
Rex=0≥108 0.6 Prm 60
混合边界层
h
1 l
xc
0
hcx
dx
1
l
xc
hcx
2 dx
Rem
u d o
层流 Rem 1.4 105
层流、紊流的转变
特征速度 来流速度 u∞ 特征尺寸 管外径 d0
Rem＞1.4 105
定性温度 热边界层的平均温度 tm=1/2(t∞+tw)
1.流动的特征
圆柱前半部，沿流动方向流体处于加速减压状态，沿流向压 力逐渐减小。圆柱后半部，沿流向压力逐渐增加。最大粘滞 摩擦力处于圆柱表面处，因而圆柱表面附近的流体受到的阻 力最大。
小结：利用关联式获取表面换热系数的关键步骤
1，熟悉对象：如流过平板、圆柱、球或管束； 2，确定特征温度，查表获取特征温度下流体的热物理参数； 3，确定特征长度，计算Re数； 4，确定要获取局部、还是平均表面换热系数； 5，选择合适的关联式计算无量纲表面换热系数，即Nu数； 6，计算换热系数。
2017/10/23
第六章 单相对流换热的实验关联式
Convection Heat Transfer
§6-1 管内强制对流传热
6.1.1管内强制对流流动和换热的特征
入口段 充分发展段
1. 层流和湍流判别
层流： Re 2300 过渡区： 2300 Re 10000 旺盛湍流： Re 10000
Nu f
大学物理第6章 流体的运动
将在管中流动的甘油分成许多同轴
圆筒状的薄层，由于任意两相邻层存在 相对运动，流动较快的流层作用于流动 较慢的邻层一向前拉力，而流动较慢的 流层作用于流动较快的邻层一向后的阻 力，这一对力与接触面平行，大小相等 而方向相反，称为内摩擦力或黏滞力， 如图6-11所示。
图6-10 流体的黏滞性
r r+dr
实际流体都有黏滞性。
实际流体都是可压缩的。
为了使问题简化，只考虑流体的流动性 而忽略流体的可压缩性和黏滞性，引入一个 理想模型，称为理想流体（ideal fluid），它 是绝对不可压缩和完全没有黏滞性的流体。
6.1.2 稳定流动
一般来说，流体流动时，不但在同一时 刻，流体粒子通过空间各点的流速不同，而 且在不同时刻，流体粒子通过空间同一点时 的流速也不同，即流体粒子的流速是空间坐 标与时间坐标的函数。
由于流体不可压缩，根据质量守恒定律， 可知流入S1和流出S2的流体体积应相等，则
S1v1Δt=S2v2Δt 即
S1v1 =S2v2
这一关系式对于同一流管中任意两 个垂直于流管的截面都是适用的，即
Sv=恒量
上式表明，不可压缩的流体做稳定 流动时，通过同一流管各横截面的体积 流量相等，且等于恒量。
流速与横截面积成反比，截面面积 大处流速小，截面小处流速大。
在图6-3所示的流体中取一截面S， 则通过截面周边上各点的流线围成的管 状区域称为流管（tube of flow）。当流 体做稳定流动时，流线和流管的形状不 随时间而改变。
由于每一时刻空间一点上的流体质
点只能有一个速度，所以流线不可能相 交，流管内的流体不能穿越界面流出管 外，流管外的流体也不能穿越流管界面 流入管内，只能从流管的一端流进，从 另一端流出。流管的作用与管道相同。
f第六章 湍流2012
0
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第六章
湍流
u j u i u i u i p ( uj ) [ ( )] ( u iu j ) t x j xi x j xi x j x j u j u i p [ ( ) ( u iu j )] xi x j xi x j u j u i u i u i p ( uj ) [ ( )] t x j xi x j xi x j
y-动量方程
p v 2 ( x) , ( 1) . y y R( x )
2
p( x, y) / x dp1 ( x) / dx v ( x, y) / x
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第六章
边界层外（主流）有欧拉方程：
湍流
dp1 / dx U1 dU1 / dx
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第六章
湍流
§6.3 湍流边界层
本小节，在时均化意义下，以不可压、“二维”、 “定常” 湍流边界层为例，介绍下列内容: （一）湍流边界层方程； （二）最简单的湍流模型(模式)；
（三）壁面剪切湍流的一些特点和层次结构；
（四）影响湍流边界层的因素。
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第六章
对平均流动（时均流）而言，湍流应力的 六个分量和湍流热通量的三个分量，都是未知 的，必须补充九个关系式而同时又不引入别的 未知量，才能使平均流动问题在数学上得以封
闭。这就是所谓的湍流的封闭性问题。
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第六章
湍流
只要沿将湍流分解成多个部分或层次的思路， 就注定绕不开封闭性问题。针对湍流封闭性问题, 主要是凭借对具体湍流流动的一些实验研究成果和 取得的有关经验，做出一定程度上合理的假设，提 出一些补充关系和方程,这属于半经验和半理论的 方法，即所谓的“湍流模式理论”。这种模式理论， 对理解湍流机理可能会有助益，但真正重要的是其 实际工程应用价值。
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第六章
湍流
u j u i u i u i p ( uj ) [ ( )] ( u iu j ) t x j xi x j xi x j x j u j u i p [ ( ) ( u iu j )] xi x j xi x j u j u i u i u i p ( uj ) [ ( )] t x j xi x j xi x j
y-动量方程
p v 2 ( x) , ( 1) . y y R( x )
2
p( x, y) / x dp1 ( x) / dx v ( x, y) / x
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第六章
边界层外（主流）有欧拉方程：
湍流
dp1 / dx U1 dU1 / dx
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第六章
湍流
§6.3 湍流边界层
本小节，在时均化意义下，以不可压、“二维”、 “定常” 湍流边界层为例，介绍下列内容: （一）湍流边界层方程； （二）最简单的湍流模型(模式)；
（三）壁面剪切湍流的一些特点和层次结构；
（四）影响湍流边界层的因素。
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第六章
对平均流动（时均流）而言，湍流应力的 六个分量和湍流热通量的三个分量，都是未知 的，必须补充九个关系式而同时又不引入别的 未知量，才能使平均流动问题在数学上得以封
闭。这就是所谓的湍流的封闭性问题。
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第六章
湍流
只要沿将湍流分解成多个部分或层次的思路， 就注定绕不开封闭性问题。针对湍流封闭性问题, 主要是凭借对具体湍流流动的一些实验研究成果和 取得的有关经验，做出一定程度上合理的假设，提 出一些补充关系和方程,这属于半经验和半理论的 方法，即所谓的“湍流模式理论”。这种模式理论， 对理解湍流机理可能会有助益，但真正重要的是其 实际工程应用价值。
传热学-第六章3-4
Re f = 2300 − 106 Pr f = 0.6 − 105
非圆形截面槽道 用当量直径作为特征尺度应用到上述准 则方程中去。 则方程中去。 4
de = A c P
式中： 式中：
为槽道的流动截面积； 为湿周长。 A 为槽道的流动截面积；P 为湿周长。 c
对截面上出现尖角的流动区域， 注 ： 对截面上出现尖角的流动区域 ， 采用当 量直径的方法会导致较大的误差。 量直径的方法会导致较大的误差。
3、影响管内强制对流换热的几个主要因素 1）入口段的影响：对紊流，当L/d <60，h受入口段影 ）入口段的影响：对紊流， ， 响较大； 不再随管长变化。 响较大；当L/d>60，平均h不再随管长变化。由实验 得出h的经验公式 的经验公式， 的长管， 得出 的经验公式，一般是对L/d>60的长管，若对短 管，需乘上修正系数CL。进口的断面形状对换热系数
4）管壁粗糙度的影响：粗糙度越大，换热越强。工程 ）管壁粗糙度的影响：粗糙度越大，换热越强。
上常采用内壁做成沙砾状的螺旋管加强换热。 上常采用内壁做成沙砾状的螺旋管加强换热。
4、强化换热措施
由
N uf =
h=
0 . 0 2 3 R e0.8 P r
f
0 . 4 0 . 6
n f
0 . 0 2 3
Cp 0 . λ 0 . 2 ρ u 4 µ d
2、紊流换热关联式的修正
（1）短管修正
入口段的传热系数较高。 入口段的传热系数较高。对于通常的工业设备 中的尖角入口，有以下入口效应修正系数： 中的尖角入口，有以下入口效应修正系数：
cL =
1
0 . 7
+
d L
（2）弯管修正
非圆形截面槽道 用当量直径作为特征尺度应用到上述准 则方程中去。 则方程中去。 4
de = A c P
式中： 式中：
为槽道的流动截面积； 为湿周长。 A 为槽道的流动截面积；P 为湿周长。 c
对截面上出现尖角的流动区域， 注 ： 对截面上出现尖角的流动区域 ， 采用当 量直径的方法会导致较大的误差。 量直径的方法会导致较大的误差。
3、影响管内强制对流换热的几个主要因素 1）入口段的影响：对紊流，当L/d <60，h受入口段影 ）入口段的影响：对紊流， ， 响较大； 不再随管长变化。 响较大；当L/d>60，平均h不再随管长变化。由实验 得出h的经验公式 的经验公式， 的长管， 得出 的经验公式，一般是对L/d>60的长管，若对短 管，需乘上修正系数CL。进口的断面形状对换热系数
4）管壁粗糙度的影响：粗糙度越大，换热越强。工程 ）管壁粗糙度的影响：粗糙度越大，换热越强。
上常采用内壁做成沙砾状的螺旋管加强换热。 上常采用内壁做成沙砾状的螺旋管加强换热。
4、强化换热措施
由
N uf =
h=
0 . 0 2 3 R e0.8 P r
f
0 . 4 0 . 6
n f
0 . 0 2 3
Cp 0 . λ 0 . 2 ρ u 4 µ d
2、紊流换热关联式的修正
（1）短管修正
入口段的传热系数较高。 入口段的传热系数较高。对于通常的工业设备 中的尖角入口，有以下入口效应修正系数： 中的尖角入口，有以下入口效应修正系数：
cL =
1
0 . 7
+
d L
（2）弯管修正
第六章 湍流
u
' y
对其他物理量如、p均可如此表示
uz
uz
uz'
时均速度与瞬时速度之间的关系为：
u x
1
0
u
x
d
ux
ux’
ux
dθ
θ
θ
脉动量是指距时均量的偏差值。
湍动强度与湍动标度
从统计学的观点看，某一点的脉动速
度随时间的变化可作为湍动程度的一种衡
量，脉动速度与平均速度的比值可视为该
点流体质点的湍动强度。考虑到
湍流的另一特点是在与流动方向垂直的方向上， 流体的速度分布较层流均匀，而在管壁附近， 其速度梯度又较层流时陡峭。
湍流的起因 由层流变为湍流必须具备两个条件：
（1） 旋涡的形成 （2） 形成后的旋涡脱离原来的流层或流束进
入附近的流层或流束。
只有符合上述两条，才能说流动已变为湍流了。
旋涡的形成又取决于一些基本因素：
u x y
l'
普兰德提出三点假设：
（1） 定义了一个混合长的概念，流体微 团保持原有的时均速度而在y轴方向上脉 动的最长距离。相当于气体分子平均自由 程的概念。
（2） 在某一瞬间，ux’与uy’数量级相等， 符号相反。
在一般情况下：
u
' y
c1u
'或
x
u
' y
c1
u
' x
（ 3 ） 认 为 ux’ 的 大 小 应 该 正 比 于 y 流 层 和 y+l’流层在x方向上的时均速度梯度，即：
u
' x
c2l '
u x y
根据上述三点假设可导出普兰徳动量 传递理论表达式，如下：
第6章-湍流教学内容
运算法则
P100
❖1）瞬时值之和(差)的平均值等于各平均值之和(差)
ABAB
❖2）时均值的平均值等与原来的时均值
A A
❖3）脉动值的时均值等于零
A 0
证明见讲义P135
运算法则
❖4）两个瞬时值之积的时均值，等于两个时均值之积
与两个脉动值之积的时均值之和
A B A B A B
❖5）瞬时值导数的时均值等于时均值的导数值
➢ 于是这一流层受到了一对力偶的作用。
流层
力偶的产生
1）旋涡的形成
② 流层的波动
波动（或扰动）
❖ 当这对力偶受到来自横向干扰时就有可能产生旋涡。
❖ 某一偶然的初始扰动，使得流线呈微波状（见图a）。
❖ 波动使波峰上方流道截面变小，流速加大，压力降低“-”， 波峰下方流道截面变大，流速加大，压力加大“+”
1．流型转变—雷诺实验
❖ 湍流流动现象，最早是由雷诺观察得到的。 ❖ 1883年，他通过著名的雷诺实验，观察到当
Re>12000时，管内流动从层流转变为湍流流动。
❖ 此时，流线不再呈现有规律的层状流动，而
是在各个方向上呈现出杂乱无章地，以大小不 同的流速运动，同时发生强烈的混合，总的流 动方向还是指向下游。
A A （对空间坐标求导） x x
A A （对时间求导） t t
6. 湍流强度 I（intensity of turbulence）
在湍流研究中，常常需要比较两种流动中湍流脉动 的强弱，湍流脉动的激烈程度可以用脉动速度和时均
速度之比来衡量，称为湍动强度，即
大于阻力，即当产生的惯性力大于粘性力，涡团产生 跳跃，脱离原处进入新的流层。
当惯性力大于粘性力
流体力学第6章流体运动微分方程
代入式(5)可得
b p C1 2 x
C2 0
38
于是得速度分布
1 p 2 vx (by y ) 2 x
(2)上板以匀速U沿x方向运动 这时的边界条件为
vx | y 0 0, vx | y b U
39
代入式(5)可得
U b p C1 b 2 x
若此流场满足连续性方程和无旋条件，试求
A，B，C，D所满足的条件。不计重力影响。
13
解：由连续方程可知
u=Ax+By, v=Cx+Dy, w=0
u v 0 x y
则有
A D 0
又由于流动无旋，则有
则有
u v y x B C 0
14
练习： 有一个三维不可压流场，已知其x向和y向的分 速度为
yy
x
dx
17
对流体微团应用牛顿第二定律，则沿x轴 方向的运动微分方程为
xx f x dxdydz xx dydz ( xx dx)dydz x yx yx dzdx ( yx dy)dzdx zx dxdy y zx Dv x ( zx dz)dxdy dxdydz z Dt
代入上式的第一式并整理得：
20
Dv x vx vx vx 1 p fx ( 2 2 2 ) Dt x x y z
2 2 2
同 理 Dv z 1 p 2vz 2vz 2vz 得 fz ( 2 2 2 ) Dt z x y z
v x v y 0 x y
9
例题：不可压缩流体的二维平面流动，y方向 的速度分量为 2 y
v y yx
试求x方向的速度分量，假定x=0时，vx=0。
b p C1 2 x
C2 0
38
于是得速度分布
1 p 2 vx (by y ) 2 x
(2)上板以匀速U沿x方向运动 这时的边界条件为
vx | y 0 0, vx | y b U
39
代入式(5)可得
U b p C1 b 2 x
若此流场满足连续性方程和无旋条件，试求
A，B，C，D所满足的条件。不计重力影响。
13
解：由连续方程可知
u=Ax+By, v=Cx+Dy, w=0
u v 0 x y
则有
A D 0
又由于流动无旋，则有
则有
u v y x B C 0
14
练习： 有一个三维不可压流场，已知其x向和y向的分 速度为
yy
x
dx
17
对流体微团应用牛顿第二定律，则沿x轴 方向的运动微分方程为
xx f x dxdydz xx dydz ( xx dx)dydz x yx yx dzdx ( yx dy)dzdx zx dxdy y zx Dv x ( zx dz)dxdy dxdydz z Dt
代入上式的第一式并整理得：
20
Dv x vx vx vx 1 p fx ( 2 2 2 ) Dt x x y z
2 2 2
同 理 Dv z 1 p 2vz 2vz 2vz 得 fz ( 2 2 2 ) Dt z x y z
v x v y 0 x y
9
例题：不可压缩流体的二维平面流动，y方向 的速度分量为 2 y
v y yx
试求x方向的速度分量，假定x=0时，vx=0。
第六章 湍流的统计
这符合湍流的物理性质湍流可看作是复杂的非线性动力系统产生不规则运动的非线性动力系统在相隔很长的时间以后初始状态的特征几乎完全消失也就是说相隔很长时间以后随机变量和它的初始值几乎是独立的因而是不相关的
第6章 湍流的统计理论 章
6.1 对湍流的总体认识
近代湍流研究认为，湍流是一群不同尺度和强度、彼此嵌套、不断变化的涡 结构，显示了湍流的一种随机面貌。这其中，有两个变量扮演着重要作用：涡度 的特征直径 d 和它们的特征轨道速度 u 。由于湍流由许多尺度和速度不断变化的 涡组成，d 和 u 也是在一定范围变化的。但是，在时间上不变的均匀各项同性湍 流中，即一种统计的意义上时间不变和空间均匀、没有优势方向的湍流，所有具 有相同尺度 d 的涡或多或少以相同的方式行为， 并且可以认为具有相同的特征速 度 u 。也就是说，我们可以假设， u 是 d 的函数（图 6-2） 。
6.2.5 空间自相关和空间平稳过程
~ 如果随机函数和空间变量有关，则称它们为空间上的随机过程，一般可写作 u(ω, x) 。
不同空间位置 x1 ， x2 上随机变量的自相关称为空间自相关，空间自相关函数可写作，
~ ~ Ruu (x1, x2 ) = u′(ω, x1)u′(ω, x2 ) 。
令 x2 = x1 + ξ ，则
o o o o
按照 Kolmogorov 的观点，湍流运动跨越一个广泛的尺度，从供给能量的宏观尺度到能量被 粘性耗散的微观尺度。 各种尺度的涡的作用结果是能量逐渐从较大尺度的涡传递到较小尺度 的涡（图 6-3） 。这个过程称为湍流的能量级串。
另一方面， 要想给湍流一个普遍的定义还是有困难的， 这还是一个没有达成一致的问题。 湍流的每一个方面都是自相矛盾的。但是，大家都承认下列描述的某些基本元素： 1) 2) 3) 湍流要求有涡度的存在，无旋流动在边界条件允许的范围是稳定和光滑的。 湍流又非常复杂的结构，涉及广泛的时间和空间尺度。 湍流场表现出高强度的明显随机性和无序。 但是仔细观察揭示有镶嵌其中的有序流 动结构（有时称为相干结构） 。 4) 5) 6) 湍流是三维的（除非被强烈的旋转和分层限制为二维的） ，并有高速粘性耗散。 对流失踪剂可有湍流迅速混合。 湍流场往往表现出高水平的间歇性。 粗略地说， 它的变化由偶有发生的大事件主导。
第6章 湍流的统计理论 章
6.1 对湍流的总体认识
近代湍流研究认为，湍流是一群不同尺度和强度、彼此嵌套、不断变化的涡 结构，显示了湍流的一种随机面貌。这其中，有两个变量扮演着重要作用：涡度 的特征直径 d 和它们的特征轨道速度 u 。由于湍流由许多尺度和速度不断变化的 涡组成，d 和 u 也是在一定范围变化的。但是，在时间上不变的均匀各项同性湍 流中，即一种统计的意义上时间不变和空间均匀、没有优势方向的湍流，所有具 有相同尺度 d 的涡或多或少以相同的方式行为， 并且可以认为具有相同的特征速 度 u 。也就是说，我们可以假设， u 是 d 的函数（图 6-2） 。
6.2.5 空间自相关和空间平稳过程
~ 如果随机函数和空间变量有关，则称它们为空间上的随机过程，一般可写作 u(ω, x) 。
不同空间位置 x1 ， x2 上随机变量的自相关称为空间自相关，空间自相关函数可写作，
~ ~ Ruu (x1, x2 ) = u′(ω, x1)u′(ω, x2 ) 。
令 x2 = x1 + ξ ，则
o o o o
按照 Kolmogorov 的观点，湍流运动跨越一个广泛的尺度，从供给能量的宏观尺度到能量被 粘性耗散的微观尺度。 各种尺度的涡的作用结果是能量逐渐从较大尺度的涡传递到较小尺度 的涡（图 6-3） 。这个过程称为湍流的能量级串。
另一方面， 要想给湍流一个普遍的定义还是有困难的， 这还是一个没有达成一致的问题。 湍流的每一个方面都是自相矛盾的。但是，大家都承认下列描述的某些基本元素： 1) 2) 3) 湍流要求有涡度的存在，无旋流动在边界条件允许的范围是稳定和光滑的。 湍流又非常复杂的结构，涉及广泛的时间和空间尺度。 湍流场表现出高强度的明显随机性和无序。 但是仔细观察揭示有镶嵌其中的有序流 动结构（有时称为相干结构） 。 4) 5) 6) 湍流是三维的（除非被强烈的旋转和分层限制为二维的） ，并有高速粘性耗散。 对流失踪剂可有湍流迅速混合。 湍流场往往表现出高水平的间歇性。 粗略地说， 它的变化由偶有发生的大事件主导。
第6章1湍流基本理论2010
湍流的基本理论
空间平均法(spacial average)
t0 时刻，流场中一点（x0, y0, z0 ）流速的体积平均值为
lim
u (x0 , y0 , z0 , t0 )
1
u(
x,
y,
z,
t0
)d
积分体积 应包含（ x0, y0, z0 ）点，且应足够大
体积平均法在满足以下条件时也可推广到非均匀湍流场
空间相关系数 Rij x, x r
Rij x, x r
ui2 x uj2 x r
显然，若 r 0 ，Rii 1 ；若 r ，Rij 0
《粘性流体力学》电子教案
R
Ue
湍流的基本理论
a
x1
u2'
x1+r
u2'
y/
x1
u2'
u2'
r1
x1+r
y/
R22 x1, x1 r1 R
基于相关函数 及谱分析等方 法，研究湍流 的结构
增进了对湍流（特 别是湍流的小尺度 部分）机理的了解
未能解决工程技术方 面的实际问题
泰勒 柯尔莫戈罗夫
《粘性流体力学》电子教案
湍流的基本理论
1.1 湍流平均量的半经验分析
做法：主要研究各个参数的平均量以及它们之间的相互关 系，如平均速度、压力、边界层厚度等。
定义：一个随机变量在多个相同试验中或一个试验重复多次时 出现的所有可能状态，能够在一次试验的相当长时间或相当大 空间范围内，以相同概率出现，称为各态遍历。
N次试验中，u出现在u0至u0 +Δu的次数为ΔN； 一次试验中，在T时间内， u出现在u0至u0 +Δu的时间间隔为ΔT 一次试验中，在 范围内， u出现在u0至u0 +Δu范围为
第六章 流体力学课后答案
第六章 液体力学6-1 有一个长方体形的水库，长200 m ，宽150 m ，水深10 m ，求水对水库底面和侧面的压力。
解：水对水库底面的压力为：()()391 1.0109.810150200 2.910F ghS N ρ==⨯⨯⨯⨯⨯=⨯侧面的压力应如下求得：在侧面上建立如图所示的坐标系，在y 处取侧面窄条dy ，此侧面窄条所受的压力为：dF glydy ρ=整个侧面所受的压力可以表示为：2012hF glydy glh ρρ==⎰对于10h m =、200l m =的侧面：()2721'9.8102F glh N ρ==⨯ 对于10h m =、150l m =的侧面：()2721''7.4102F glh N ρ==⨯侧面的总压力为：()82222'2'' 3.410F F F N =+=⨯6-2 有三个底面积相同但形状各异的容器，分别盛上高度相同的水，如题图所示，根据静止流体压强的概念，三个容器底面的压强是相同的，所以每个容器底面所受的水的压力也是相同的，水对底面压力是由水的重量引起的，但是三个容器中所盛的水的重量显然不等，请对这个似乎矛盾的结果作出解释。
答：三个容器底面的压强是相同的，但流体对容器内壁的压强并不是容器对其支撑面的压强，容器对其支撑面的压力等于水与容器本身重量之和。
因此，容器对其支撑面的压强是不同的。
如蓝球内壁的压强要比蓝球对支撑面的压强要大得多。
6-3 在35.010s ⨯的时间内通过管子截面的二氧化碳气体(看作为理想流体)的质量为0.51 kg 。
已知该气体的密度为37.5kg m -⋅ ，管子的直径为2.0 cm ，求二氧化碳气体在管子里的平均流速。
解： 单位时间内流过管子截面的二氧化碳气体的体积，即流量为：53130.511.36107.5 5.010V m Q m s t ρ--===⨯⋅⨯⨯平均流速为：()521221.3610 4.3103.14 1.010V Q v m s S ----⨯===⨯⋅⨯⨯ 6-4 当水从水笼头缓慢流出而自由下落时，水流随位置的下降而变细，何故？如果水笼头管口的内直径为d ，水流出的速率为0v ，求在水笼头出口以下h 处水流的直径。
工程流体力学 第6章 粘性流体管道内流动
de 2ab ab
第6章 粘性流体管道内流动
6.4 管内流动的两种损失
不可压粘性流体的总流伯努利方程：
V12 p1 V22 p2 1 gz1 2 gz2 hw 2 2
hw——单位重量流体损失的能量。
1.沿程（水头）损失
渐变流中由于流体微团、层间、流体与管壁间粘性摩擦引
教学内容
第0章 绪论 第1章 流体的主要物理性质 第2章 流体静力学 第3章 流体流动的基本方程 第4章 旋涡理论和势流理论 第5章 相似理论与量纲分析 第6章 粘性流体管内流动 第7章 粘性流体绕物体的流动
第6章 粘性流体管内流动
6.1 粘性流体中的应力分析
理想流体—无粘性，无切向应力； 实际流体—有粘性，存在切向应力，表现为阻碍流体运动的 摩擦力，消耗机械能。
是t时刻的脉动速度但脉动速度的时均量为零即u010tuudtt?在横向也存在横向脉动且第6章粘性流体管道内流动在横向yz也存在横向脉动且0vw依上法湍流中有瞬时压强p时均压强脉动压强p且pppp01tppdtt?010tppdtt?若湍流中各物理量的时均值如不随时间而变仅是空间点的函数即uvwp?第6章粘性流体管道内流动随时间而变仅是间点的函数即uuxyzppxyz?则被称为恒定的湍流运动但湍流的瞬时运动总是非恒定的
时，随着 当逐渐加大玻璃管内流速到达某一上临界值 Vcr 玻璃管内流速的再增大，颜色水与周围清水混合，使整个圆管 都带有颜色，表明此时质点的运动轨迹极不规则，各层质点相 互掺混，称这种流动状态为湍流。
从层流到湍
流的转捩阶段称
为过渡流，一般 将它作为湍流的 初级阶段。
第6章 粘性流体管道内流动
6.3.2 层流和湍流
6.2 不可压缩粘性流体的运动微分方程
第6章 粘性流体管道内流动
6.4 管内流动的两种损失
不可压粘性流体的总流伯努利方程：
V12 p1 V22 p2 1 gz1 2 gz2 hw 2 2
hw——单位重量流体损失的能量。
1.沿程（水头）损失
渐变流中由于流体微团、层间、流体与管壁间粘性摩擦引
教学内容
第0章 绪论 第1章 流体的主要物理性质 第2章 流体静力学 第3章 流体流动的基本方程 第4章 旋涡理论和势流理论 第5章 相似理论与量纲分析 第6章 粘性流体管内流动 第7章 粘性流体绕物体的流动
第6章 粘性流体管内流动
6.1 粘性流体中的应力分析
理想流体—无粘性，无切向应力； 实际流体—有粘性，存在切向应力，表现为阻碍流体运动的 摩擦力，消耗机械能。
是t时刻的脉动速度但脉动速度的时均量为零即u010tuudtt?在横向也存在横向脉动且第6章粘性流体管道内流动在横向yz也存在横向脉动且0vw依上法湍流中有瞬时压强p时均压强脉动压强p且pppp01tppdtt?010tppdtt?若湍流中各物理量的时均值如不随时间而变仅是空间点的函数即uvwp?第6章粘性流体管道内流动随时间而变仅是间点的函数即uuxyzppxyz?则被称为恒定的湍流运动但湍流的瞬时运动总是非恒定的
时，随着 当逐渐加大玻璃管内流速到达某一上临界值 Vcr 玻璃管内流速的再增大，颜色水与周围清水混合，使整个圆管 都带有颜色，表明此时质点的运动轨迹极不规则，各层质点相 互掺混，称这种流动状态为湍流。
从层流到湍
流的转捩阶段称
为过渡流，一般 将它作为湍流的 初级阶段。
第6章 粘性流体管道内流动
6.3.2 层流和湍流
6.2 不可压缩粘性流体的运动微分方程
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瞬时速度
ux ux u x
可用毕托管测得
(5-1a) 可用热线仪、 激光仪测得
时均速度 脉动速度
时均速度讨论Βιβλιοθήκη 均法式中，时均速度的定义为：
1 ux t
t
0
u x dt
其中 t 为平均周期，它比湍流周期大得多，以便得到
稳定的平均值，它又比非稳定的特征时间小得多，以便 把 t 视为一个瞬间值。 由于脉动速度的脉动频率极大，故一般只需要取几秒左 右即可满足平均周期的要求。 从微观上讲，湍流根本无所谓稳态，但是从统计的观点 来看，湍流又有稳定状态，但这是指均量而言。 全部湍流理论就是研究脉动值和平均值之间的相互关系。
度可高达I 40%
二、湍流的基本方程
雷诺等人认为：湍流的真实速度场仍满足C.E.方程和 在此前提下，第三章导出的方程在运用于湍流时，各
N-S方程。
强度量等均应视为瞬时值，经时均化后，对原方程进 行处理。
方程中的均时值仍保持层流方程的形式，而脉动值 处理后反映了湍流因素。
本章仅讨论不可压缩粘性流体的湍流流动。
5. 时均值的运算法则
设：
A、B 为湍流中,物理量的瞬时值
A 、 B 为湍流中物理量的均时值
A、B 为湍流中物理量的脉动值
运算法则
P100
1）瞬时值之和(差)的平均值等于各平均值之和(差)
A B A B
2）时均值的平均值等与原来的时均值
A A
3）脉动值的时均值等于零
A 0
2）模型表述
e yx
u xuy
根据混合长概念，将时均值与脉动值联系起来，
l
d ux u x l dy
（5-18）
脉动值与时均值关系，推导见 P103。
uy C u x
（5-19）
两脉动速度成正比，推导见 P104
模型表述
综上所述可知
d ux u x l dy
图a
② 流层的波动
高压向低压运动的结果，使得起伏进一步加剧。 最终在横向压力和剪应力的综合作用下，促使旋涡形
成。
图b
实际流动中，初始干扰可由各种意想不到的因素所引起，
所以涡团的产生带有极大的随机性。
2)漩涡的脱离
产生涡团后，若只是在原地旋转，还不能形成湍流。 只有当涡团脱离原流层进入新流层，流动内部扰动加
Du x
Dt
e e e xx yy yy xx yx g x zx x y z x y z
经过时均化处理后多出 3项； 这些附加的应力项是由于流体质点涡团脉动所产生的
湍流应力(或称雷诺应力)，是湍流运动的特征。
湍流应力可用脉动速度与之相关联。 得到湍流应力表达式，如下：
（2-27a）
上述方程中
u x u x u x
ux ux
均时化处理后，得
t e ij ij ij
ij
t ij
e ij
总粘性 分子 湍流应力 应力 粘性应力
将上述关系代入（2-27a），得到雷诺方程
雷诺方程
上述关系代入（2-27a），得到雷诺方程
证明见讲义P135
运算法则
4）两个瞬时值之积的时均值，等于两个时均值之积
与两个脉动值之积的时均值之和
AB A B AB
5）瞬时值导数的时均值等于时均值的导数值
A A x x
（对空间坐标求导）
A A t t
（对时间求导）
6. 湍流强度 I（intensity of turbulence）
2)漩涡的脱离
涡团上下的速度差，造成了涡团下方压力大于上方
压力，产生了“茹可夫斯基”升力，有了上升的趋势。
涡团要能脱离原处，必须克服两个阻力：
一是，涡团启动和加速过程所需的惯性力，
二是，涡团在运动过程中的摩擦阻力。 在涡团脱离前，惯性阻力为主， 在涡团上升时，增加了摩擦阻力。
2)漩涡的脱离
本章主要内容
一、湍流的基本概念
二、湍流的基本方程 三、光滑管内的湍流 四、粗糙管中的湍流（自学） 五、沿平板湍流边界层的近似解 六、沿平板混合边界层的近似解
一、湍流的基本概念 1. 流型转变 2. 湍流原因 3. 湍流特点 4. 速度的表示方法 5. 时均值的运算法则 6. 湍流强度
所以，均时化处理后的连续性方程为
ux u y uz 0 x y z
（5-8）
时均化处理后的连续性方程与层流方程形式上相同。
2. 运动方程的时均化 —— 雷诺方程
下面来推导湍流的动量方程 首先考虑 N-S方程 在直角坐标系中 x 向 的表达式
t zx Dux g x Dt x y z t xx t yx
本节主要内容
1. 连续性方程的均时化
2. 运动方程的时均化
3. 普朗特混合长理论
1. 连续性方程的均时化
已知，对于不可压缩流体，不论运动是否稳态，连续
性方程都是
ux u y uz 0 x y z
（2-12）
将上述瞬时速度拆成均时速度和脉动速度两项，
然后进行时均化处理：
1．流型转变—雷诺实验
湍流流动现象，最早是由雷诺观察得到的。
1883年，他通过著名的雷诺实验，观察到当
Re>12000时，管内流动从层流转变为湍流流动。
此时，流线不再呈现有规律的层状流动，而
是在各个方向上呈现出杂乱无章地，以大小不 同的流速运动，同时发生强烈的混合，总的流 动方向还是指向下游。
剧。根据连续性原则，各流层间必然会有涡团的交换， 这种交换不断进行，就形成了湍流。 那么在什么条件下，才能使涡团脱离原流层呢？
当流线由左向右流动时，涡团顺时针
旋转，此时涡团上方与外流流向一致， 由于粘性力的作用使涡团上方的流体 进一步加速，压力变小。
而涡团下方则与外流流向相反，使得
团涡下部进一步减速，压力增大，形 成由下往上的压差。
yx
e yx
d ux d ux u x u y l dy dy
2
模仿层流时的牛顿粘性定律（分子粘性应力）
dux dy
湍流脉动造成的应力，写成
式中
e yx
d ux e dy
2
(5-23)
涡流粘度
d ux e l dy
(5-24)
说明
值得注意的是粘性系数
这样统计平均处理的方法就成为描述湍流流动的主要
工具。
4. 瞬时速度表示方法 — 时均法
在湍流理论中，对变量有多种统计平均方法 如时均法、体均法、质均法、概率平均法。 这里以变量速度为例，介绍时间平均法。
时均法的基本思想是：将湍流时的瞬时速度看作是由 时间统计平均速度和脉动速度组合而成，其表达式为：
(2)外界干扰，是形成涡团的重要外部条件。
3. 湍流特点
从以上的讨论中得到，随机性是湍流的主要 特点。
它具有如下特点：
（1）即使保持在相同的实验条件下重复试验，
每次试验得到的结果也不可能相同。
有人实测了管内湍流流动时轴向速度分量和时
间的实验。
湍流中时均速度表示图（图5-5）
脉动速度
是分子的运动特性，与物体
性质、温度、压力等有关而与流体是否运动无关，是 物性常数；
（5-6）
湍流强度 I
2 2 2 u u u x y z
I
1 2 2 2 ( u x u y uz ) 3 ux
若 x, y, z 三个方向上的湍动同性，则有
上式可简化为：
I
2 u x
ux
(5-7)
针对不同的湍流状况，湍动强度的数值有很大差别。 例如，管流时，湍流强度 I 110% 对于自由喷射和尾流这样的高度湍动流动，其湍流强
uy C u x
e yx
2 d ux u x u y C l dy
2
d ux l dy
2
2
式中 l 为混合长，相关系数 C 是接近 1 的值。 进一步写成
e yx
d ux d ux u x u y l dy dy
2
模型表述
时均速度
瞬时速度
由图可见，对宏观上是稳定的流动，其流线也不再是
一条水平流线，而是在水平流线上叠加了有众多的小 尖峰（涡团造成的脉动）。
湍流特点
（2）在相同的实验条件下，对
任何一次实验所测试的物理量 进行足够多次的算术平均处理， 其平均值趋于一确定值。
lim 1 N
N
B( x , y , z , t ) B ( x , y , z , t )
于是这一流层受到了一对力偶的作用。
流层
力偶的产生
1）旋涡的形成
② 流层的波动
波动（或扰动）
当这对力偶受到来自横向干扰时就有可能产生旋涡。 某一偶然的初始扰动，使得流线呈微波状（见图a）。 波动使波峰上方流道截面变小，流速加大，压力降低“-”，
波峰下方流道截面变大，流速加大，压力加大“+” 显然这样的压力分布是不平衡的，高压区的流体将向邻近 的低压区运动（见图a）。
湍流应力表达式
e xx
e yx
ux
2
u xuy
（5-12）
ux u z
e zx
e 以 yx u x u y 为例说明其含义，见图
下面用时均速度来表达脉动值以减少方程变量。
3．普朗特混合长理论