高中函数值域求法小结

函数值域求法小结

一、观察法（根据函数图象、性质能较容易得出值域(最值)的简单函数） 1、求242-+-=x y 的值域。

由绝对值函数知识及二次函数值域的求法易得：

)[)[∞+-∈∞+∈-+-=,2,,024)(2y x x g 所以

2、求函数1

11

y x =

++的值域。

分析：首先由1x +≥0，得1x ++1≥1，然后在求其倒数即得答案。 解：

1x +≥0∴1x ++1≥1，∴０＜

1

11

x ++≤１，∴函数的值域为（０，１]．

二、配方法（当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时，可利用配方法求值域） 1、求函数][)4,0(422∈+--=x x x y 的值域。

设：)0)((4)(2

≥+-=x f x x x f 配方得：][)4,0(4)2()(2

∈+--=x x x f 利用二次函数的

相关知识得][4,0)(∈x f ，从而得出：][2,2-∈y 。

说明：在求解值域(最值)时，遇到分式、根式、对数式等类型时要注意函数本身定义域的限制，本题为：0)(≥x f 。 2、求函数3

42-+-=x x e

y 的值域。

解答：此题可以看作是u

e y =和342-+-=x x u 两个函数复合而成的函数，对u 配方可得：

1)2(2+--=x u ，得到函数u 的最大值1=u ，再根据u e y =得到y 为增函数且0>y 故

函数3

42-+-=x x e

y 的值域为：],0(e y ∈。

3、若,42=+y x 0,0>>y x ，试求y x lg lg +的最大值。

本题可看成一象限动点),(y x p 在直线42=+y x 上滑动时函数xy y x lg lg lg =+的最大值。利用两点(4，0)，(0，2)确定一条直线，作出图象易得：

2

)1(2lg[)]24(lg[lg lg lg ),2,0(),4,0(2+--=-==+∈∈y y y xy y x y x 而，y=1时，y x lg lg +取最大值2lg 。

三、反函数法（分子、分母只含有一次项的函数，也可用于其它易

反解出自变量的函数类型）

对于存在反函数且易于求得其反函数的函数，可以利用“原函数的定义域和值域分别为其反函数的值域和定义域”这一性质，先求出其反函数，进而通过求其反函数的定义域的方法求原函数的值域。 1、求函数1

2+=

x x

y 的值域。 由于本题中分子、分母均只含有自变量的一次型，易反解出x ，从而便于求出反函数。

12+=

x x y 反解得y y x -=2即x

x

y -=2

故函数的值域为：),2()2,(+∞-∞∈ y 。（反函数的定义域即是原函数的值域）

2、求函数1

1

+-=x x e e y 的值域。

解答：先证明11

x x e e y -+=

有反函数，为此，设21x x <且R x x ∈21,，

0)

1)(1(211112

12

1221121<++-=+--+-=-x x x x x x x x e e e e e e e e y y 。 所以y 为减函数，存在反函数。可以求得其反函数为：x x

y

-+-=111

ln 。此函数的定义域为

)1,1(-∈x ，故原函数的值域为)1,1(-∈y 。

四、判别式法（分子、分母中含有二次项的函数类型，此函数经过变形后可以化为

0)()()(2=++y C x y B x y A 的形式，再利用判别式加以判断）

1、求函数3

27

4222++-+=x x x x y 的值域。

由于本题的分子、分母均为关于x 的二次形式，因此可以考虑使用判别式法，将原函数变形为：742322

2

-+=++x x y xy y x 整理得：073)2(2)2(2

=++-+-y x y x y 当2≠y 时，上式可以看成关于x 的二次方程，该方程的x 范围应该满足032)(2

≠++=x x x f 即

R x ∈此时方程有实根即△0≥，△[].2,2

9

[0)73)(2(4)]2(22-∈⇒≥+---=y y y y

注意：判别式法解出值域后一定要将端点值（本题是2

9

,2-==y y ）代回方程检验。

将29,2-==y y 分别代入检验得2=y 不符合方程，所以)2,2

9

[-∈y 。

2、求函数2

212

+++=

x x x y 的值域。

解答：先将此函数化成隐函数的形式得：012)12(2

=-+-+y x y yx ，(1)

这是一个关于x 的一元二次方程，原函数有定义，等价于此方程有解，即方程(1)的判别式

0)12(4)12(2≥---=∆y y y ，

解得：212

1≤≤-

y 。

故原函数的值域为：],[21

21-∈y 。

五、换元法（通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是无理函数、三角函数（用三角代换）等）

1、求函数x x y 41332-+-=的值域。

由于题中含有x 413-不便于计算，但如果令：x t 413-=注意0≥t 从而得：

)0(32

1341322≥+--=∴-=t t t y t x 变形得)0(8)1(22≥++-=t t y 即：]4,(-∞∈y

注意：在使用换元法换元时一定要注意新变量的范围，否则将会发生错误。 2、已知),(y x p 是圆42

2

=+y x 上的点，试求xy y x t 32

2

-+=的值域。 在三角函数章节中我们学过：1cos sin 22=∂+∂注意到42

2

=+y x 可变形为：

1)2()2(22=+y x 令,0[,sin 2

,cos 2∈∂∂=∂=y

x 2π)则∂-=∂⨯∂⨯-=2sin 64sin 2cos 234t 4,0[2∈∂又π)即]1,1[2sin -∈∂故]10,2[-∈t

3、试求函数x x x x y cos sin cos sin ++=的值域。

题中出现x x sin cos +，而x x x x x x cos sin 21)cos (sin ,1cos sin 2

2

2

+=+=+由此联想到将x x sin cos 视为一整体，令]2,2[cos sin -∈+=x x t 由上面的关系式易得

2

1cos sin cos sin 2122

-=⇒+=t x x x x t 故原函数可变形为：

]2,2[1)1(21,2)1(2])2,2[(21222-∈-+=-+=-∈-+=t t y t y t t t y 即

]22

1

,1[+-∈∴y

六、数形结合法（对于一些能够准确画出函数图像的函数来说，可以先画出其函数图像，然后利用函数图像求其值域） 1、求函数x

x

y cos 2sin 3--=

的值域。

分析与解：看到该函数的形式，我们可联想到直线中已知两点求直线的斜率的公式