等差数列求和公式的.doc
等差数列的计算方法
等差数列的计算方法
1、等差数列基本公式：末项=首项+（项数-1）*公差项数=（末项-首项）÷公差+1首项=末项-（项数-1）*公差和=（首项+末项）*项数÷2末项：最后一位数首项：第一位数项数：一共有几位数和：求一共数的总和。
2、Sn=na(n+1)/2n为奇数
sn=n/2(An/2+An/2+1)n为偶数
3、等差数列如果有奇数项，那么和就等于中间一项乘以项数，如果有偶数项，和就等于中间两项和乘以项数的一半，这就是中项求和。
4、公差为d的等差数列｛an｝，当n为奇数是时，等差中项为一项，即等差中项等于首尾两项和的二分之一，也等于总和Sn除以项数n。
将求和公式代入即可。
当n为偶数时，等差中项为中间两项，这两项的和等于首尾两项和，也等于二倍的总和除以项数n。
等差求和的两个公式
等差求和的两个公式
等差数列是数学中的一种基本数列，它的每一项与前一项之差相等，这个差值称为公差。
等差数列的求和公式是数学中的一个重要公式，它可以用来计算等差数列的前n项和。
等差数列的求和公式有两种，一种是通项公式，另一种是差分公式。
通项公式是指等差数列的第n项公式，它可以用来求出等差数列中任意一项的值。
通项公式的表达式为：an=a1+(n-1)d，其中an表示等差数列的第n项，a1表示等差数列的首项，d表示等差数列的公差，n表示等差数列的项数。
差分公式是指等差数列的前n项和公式，它可以用来计算等差数列的前n项和。
差分公式的表达式为：Sn=n/2[2a1+(n-1)d]，其中Sn 表示等差数列的前n项和，a1表示等差数列的首项，d表示等差数列的公差，n表示等差数列的项数。
例如，对于等差数列1，3，5，7，9，11，13，15，17，19，其中首项a1=1，公差d=2，项数n=10，可以使用通项公式计算出第10项的值为an=1+(10-1)2=19，也可以使用差分公式计算出前10项的和为Sn=10/2[2×1+(10-1)2]=100。
在实际应用中，等差数列的求和公式经常被用来计算数列的总和，例如在计算等额本息贷款的还款总额时，就可以使用等差数列的求和公式来计算每期还款的本金和利息之和。
等差数列的求和公式是数学中的一个重要公式，它可以用来计算等差数列的前n项和，对于实际应用中的问题求解具有重要的意义。
等差数列求和公式
等差数列求和公式等差数列求和公式是数学中的一种常用公式，用于计算由等差数列所组成的数列的和。
在数列中，每个数都与前一个数之间的差相等，这个差值被称为公差。
等差数列的求和公式可以用来计算数列中所有项的和，从而快速求解相关问题。
Sn=(n/2)*(2a1+(n-1)d)其中，Sn表示等差数列的和。
这个公式的推导过程如下：首先，等差数列的每一项可以表示为：a1,a1+d,a1+2d,a1+3d,...,a1+(n-1)d其次，等差数列的和可以表示为：Sn=a1+(a1+d)+(a1+2d)+...+(a1+(n-1)d)为了方便计算，我们可以将数列反向排列，然后将每一项与对应的项相加：Sn=(a1+(n-1)d)+(a1+(n-2)d)+...+(a1+d)+a1根据等差数列的性质，相邻两项之间的差值恒等于公差d，所以上述等式可以进一步简化为：Sn=n(a1+a1+(n-1)d)/2计算公式中的括号内的两项相加可以得到：Sn=n(2a1+(n-1)d)/2Sn=(n/2)*(2a1+(n-1)d)这个等差数列求和公式可以方便地用来计算数列的和，节省了大量手工计算的时间和精力。
需要注意的是，等差数列的公差必须是固定的，即每个数与前一个数之间的差值相等。
如果公差不相等，或者数列不是等差数列，那么上述求和公式就不适用了。
经典示例：假设要计算等差数列1,4,7,10,...,100的和。
首先确定数列的首项a1=1，公差d=3，项数n=34、代入求和公式，即可得到数列的和：Sn=(34/2)*(2*1+(34-1)*3)=17*(2+99)=17*101=1717所以，等差数列1,4,7,10,...,100的和为1717在实际问题中，等差数列的求和公式常常被用来计算一段连续数据的总和，如统计支付连续n天的总金额、计算项指标连续n天的累计值等等。
这个公式的重要性不可小觑，它在数学和实际应用中都具有广泛的适用性。
等差求和的计算公式
等差求和的计算公式
等差数列是数学中的一种基本数列，它的每一项与前一项之差相等，这个差值称为公差。
等差数列的求和公式是数学中的一个重要公式，它可以用来计算等差数列的和。
等差数列的求和公式为：Sn = n(a1 + an) / 2，其中Sn表示等差数列的前n项和，a1表示等差数列的首项，an表示等差数列的第n 项，n表示等差数列的项数。
这个公式的推导过程比较简单，我们可以通过数学归纳法来证明它的正确性。
首先，当n=1时，Sn=a1，显然成立。
接着，假设当n=k时公式成立，即Sk = k(a1 + ak) / 2，那么当n=k+1时，我们可以将等差数列的前k+1项分成两部分，前k项的和为Sk，第k+1项为ak+1，那么前k+1项的和为Sk+ak+1，根据等差数列的性质，ak+1 = a1 + k*d，其中d为等差数列的公差，代入公式得到Sk+ak+1 = k(a1 + ak) / 2 + (a1 + k*d)，化简得到Sk+ak+1 = (k+1)(a1 + ak+1) / 2，即公式在n=k+1时也成立。
通过这个公式，我们可以很方便地计算等差数列的和。
例如，对于等差数列1, 3, 5, 7, 9，它的首项a1=1，公差d=2，项数n=5，那么它的和为S5 = 5(1+9) / 2 = 25。
这个公式在数学中有着广泛的应用，例如在物理学中，可以用它来计算匀加速直线运动的位移；在经济学中，可以用它来计算等比数列的复利和等等。
等差数列的求和公式是数学中的一个重要公式，它可以用来计算等差数列的和，具有广泛的应用价值。
我们可以通过数学归纳法来证明它的正确性，掌握这个公式可以帮助我们更好地理解和应用等差数列的知识。
等差数列求和公式
例2. 在小于100的正整数中共有多少个被3 除余2，这些数的和是多少？
2 3 解:由 n + 2 <100, 得n < 32 , 3
∴n = 0,1,2,31,32
即有33个被 整除余 的数，这些数为 即有 个被3整除余 的数，这些数为: 个被 整除余2的数 2，5，8，…98 ， ， ，
(2 + 98) ×33 ∴Sn = = 1650 2
根据下列各题中的条件，求相应的等差数列｛ 根据下列各题中的条件，求相应的等差数列｛an｝的Sn
（1）a1=5,an=95,n=10 ） （2）a1=100,d=－2,n=50 ） － （3）a1=14.5,d=0.7,an=32 ）
S10=500 S50=2550 S26=604.5
等差数列－ ，－ ，－6， 例1. 等差数列－10，－ ， －2，2，…前 ， ， 前 多少项和是54? 多少项和是 解：∵a1=-10, d=-6－(-10)=4 d=∴-10n+[n(n-1) ／2] ×4=54 10n+[n(n解得: 解得: n=9，n=-3(舍 n=9，n=- 设等差数列｛an｝的前n项和为Sn，即 Sn=a1+a2+…+an =a1+(a1+d)+…+[a1+(n-1)d]此种求 +(n和法称 (n又Sn=an+(an-d)+…+[an-(n-1)d] 为倒序 ∴2Sn=(a1+an)+(a1+an)+…+(a1+an) )+… =n(a1+an)
n个 相加法
n(a1 + an ) (1) ∴Sn = 2
等差数列的求和与通项
等差数列的求和与通项等差数列是指一个数列中相邻两项之间的差值是一个常数。
在数学中，我们可以通过等差数列的求和公式和通项公式来求解相关问题。
一、等差数列的求和公式对于一个等差数列，我们常常需要求解前n项的和。
这时我们可以使用等差数列的求和公式来计算。
假设等差数列的首项为a，公差为d，前n项的和为Sn。
等差数列求和公式如下：Sn = n/2 * (2a + (n-1)d)其中，n表示前n项的和，a表示首项，d表示公差。
二、等差数列的通项公式除了求解等差数列的和外，我们还常常需要找出等差数列中的某一项。
这时我们可以使用等差数列的通项公式来计算。
假设等差数列的首项为a，公差为d，第n项为An。
等差数列通项公式如下：An = a + (n-1)d三、实例分析下面我们通过一个实例来说明等差数列的求和和通项公式的应用。
假设有一个等差数列，首项a为2，公差d为3，我们需要计算前10项的和。
首先，我们可以使用等差数列的通项公式求出第10项的值：A10 = 2 + (10-1) * 3= 2 + 27= 29接下来，我们可以使用等差数列的求和公式求出前10项的和：S10 = 10/2 * (2*2 + (10-1)*3)= 5 * (4 + 27)= 5 * 31= 155所以，该等差数列前10项的和为155。
四、总结等差数列的求和与通项是数学中非常重要的概念，通过求和公式和通项公式，我们可以快速计算出等差数列中的相关数值。
在实际应用中，我们常常需要对大量的数据进行求和或者找出某一项，在这时等差数列的求和与通项公式将会大大简化我们的计算工作，提高计算效率。
通过学习与应用等差数列的求和与通项公式，我们可以更好地理解数学中的模式与规律，并且在解决实际问题时能够运用数学的思维方法。
所以，熟练掌握等差数列的求和与通项公式对于提高数学能力和解决实际问题都具有重要意义。
综上所述，等差数列的求和与通项公式是数学中的基础知识，具有广泛的应用价值。
等差数列的求和公式总结
等差数列的求和公式总结什么是等差数列等差数列是指数列中相邻两项之差为常数的数列。
数列为：a₁，a₂，a₃，...，an，...若存在常数d，使得对于任意的正整数n，都有aₙ - aₙ₋₁ = d 其中，aₙ表示数列的第n项，d为公差。
等差数列的公式1. 第n项公式数列的第n项公式表示为：aₙ = a₁ + (n - 1)d其中，aₙ表示数列的第n项，a₁为数列的首项，d为公差。
2. 前n项和公式数列的前n项和公式表示为：Sₙ = n/2(a₁ + aₙ)其中，Sₙ表示数列的前n项和，n为正整数，a₁为数列的首项，aₙ为数列的第n项。
3. 公差公式数列的公差公式表示为：d = aₙ - aₙ₋₁其中，d为公差，aₙ表示数列的第n项，aₙ₋₁表示数列的第n-1项。
求和公式的应用等差数列的求和公式可以方便地计算数列的前n项和，加快计算速度，提高效率。
在数学和物理等领域，等差数列的求和公式被广泛应用。
例如，某次实验中测量了一系列温度值，温度值与时间的关系是等差数列。
为了得到整个实验过程中的温度变化趋势，可以利用等差数列的求和公式计算出温度的平均值或总和，从而更好地分析实验结果。
除了应用在实验数据分析中，等差数列的求和公式还用于算术和几何等数学领域的问题求解。
总结等差数列的求和公式是数学中的基本工具之一，掌握等差数列的概念和求和公式能够帮助我们更好地理解数学和应用数学于实际问题中。
通过本文档的介绍，我们了解了等差数列的定义、第n项公式、前n项和公式以及公差公式，并总结了求和公式的应用领域。
希望本文档能对读者理解和应用等差数列的求和公式提供帮助。
等差数列求和变形公式
等差数列求和变形公式
等差数列求和是数学中常见的一种求和问题，常用的公式是
Sn=n(a1+an)/2，其中Sn表示前n项和，a1和an分别表示首项和末项，n表示项数。
然而在实际应用中，有时候需要对该公式进行一定的变形来求得所需的结果。
以下是一些常见的等差数列求和变形公式：
1. 求等差数列前n项的平均值：Sn/n=a1+(an-a1)/2
2. 求等差数列前n项的和的平方：(a1+an)n/4
3. 求等差数列前n项的平方和：n(a1+an)/2+(n-n)a1an/n
4. 求等差数列前n项的立方和：n(a1+an)/4+n(an-a1)/6
以上公式可以通过代入等差数列的首项和末项进行推导。
在实际应用中，根据需要选择合适的公式可以节省计算时间和精力，提高计算效率和准确度。
- 1 -。
等差数列求和公式的性质
等差数列求和公式的性质
1 等差数列求和公式
等差数列求和公式是解决等差数列的和问题的重要工具。
本文主要针对等差数列求和公式的性质展开讨论。
1.1 公式形式
等差数列求和公式的形式是：
Sn=n/2[a1+an]
其中，S是求和的结果，n是数列的项数，a1是数列的首项，an 是数列的末项。
1.2 性质
等差数列求和公式有以下几个特性：
（1）当a1和an都是正数时，Sn一定大于0；
（2）当a1和an都是负数时，Sn一定小于0；
（3）当an-a1能够被n整除时，Sn一定能得出整数的结果；
（4）当an-a1不能够被n整除时，Sn一定能得出小数的结果。
1.3 应用
等差数列求和公式广泛应用于数学中，可以从中心位置判断等差数列的全部项与等差数列的和，可以有效地把等差数列减少为两个数
字相加。
它对于求数列的前n项和和后n项和十分有用。
此外，它也可以被用来解决其他数学问题。
2 结论
等差数列求和公式是解决等差数列和问题的重要工具，具有特定的性质，并且在数学的解决问题中有广泛的应用。
等差数列求和公式及应用学生版
等差数列求和公式及应用知识大集合1、如果一个数列，从第2项起，每一项与前一项的差是一个固定数，这样的数列叫做等差数列。
这个差叫做这个数列的公差。
例如：1 ，3 ，5 ，7 ，9 ， (99)2 ，4 ，6 ，8 ，10 ， (100)1 ，4 ，7 ，10 ，13 ， (100)都是等差数列。
公差分别是2 ,2 ,3。
2、数列的第一项叫首项，最后一项叫末项。
由于等差数列中，从第二项起，每一项等于前一项加上公差，所以：等差数列求和公式：和 = （首项 +末项）×项数÷2；末项 = 首项 + （项数– 1）×公差；项数 = （末项–首项）÷公差 + 1。
例题、练习相结合例1 计算：1＋2＋3＋4＋…＋78＋79＋80练习1 计算：3＋5＋7＋9＋…＋97＋98＋99例2 有一个数列4，10，16，22，…，58，这个数列一共有多少项？练习2 有一个数列5，10，15，20，…，105，这个数列一共有多少项？例3 写出数列1，3，5，7，9，…中的第40个数。
练习3 写出数列1，5，9，13，17，…中的第60个数。
例4 某影视城的一个放映厅设置了20排座位，第一排有30个座位，往后每排都比前一排多2个座位。
问这个放映厅一共有多少个座位？练习4 在一个室外运动场看台上共有18排座位，第一排有29个座位，往后每排都比前一排多3个座位。
问这个看台上一共有多少个座位？例5 求从1到1990的自然数中，所有偶数之和与所有奇数之和的差。
练习5 求从2到2012的自然数中，所有偶数之和与奇数之和的差。
例6 四（2）班共有45名同学举行一次联欢晚会，同学们在一起一一握手，且每两个人只握一次，问同学们一共握了多少次手？练习6 某学校举行乒乓球比赛，一共有56名选手，每个选手都要与其他选手各赛一场，且每两个人只赛一场，问这次比赛共进行了多少场？作业一1、计算：3＋6＋9＋…＋20012、求（1＋3＋5＋7＋...＋2003）－（2＋4＋6＋8＋ (2002)3、计算：8×2＋8×5＋8×8＋…＋8×20034、下面一列数是按一定规律排列的：3，12，21，30，39，48，57，66，…求：（1）第12个数是多少？（2）912是第几个数？5、在等差数列9,19,29,39，…中，109是第几项？前10项的和是多少？6、求和：1＋2＋3＋4＋…＋2001＋2002＋2001＋…＋4＋3＋2＋17、前25个自然数的和是325，即1＋2＋3＋4＋…＋25＝325。
等差数列的和的公式
等差数列的和的公式
《等差数列的和的公式》
等差数列是数学中常见的概念，它指的是一系列等差的数字。
它们之间的关系可以用一个公式来表示：求等差数列的和公式为：Sn=n(a1+an)/2，其中，n表示数列中项的个数，a1表示数列的第一项，an表示数列的最后一项。
以1、2、3、4、5为例，项数n=5，a1=1，an=5，则等差数列的和为：
Sn=5(1+5)/2=15
可以看出，求出等差数列的和只需要知道数列的项数和第一项和最后一项的值，就可以用公式来计算出来。
此外，如果数列中的项数较多，可以用求和公式来快速求出等差数列的和。
例如，1、2、3、4、……、100，项数n=100，a1=1，an=100，则等差数列的和为：
Sn=100(1+100)/2=5050
求等差数列的和的公式十分简单，只要知道数列的项数和第一项和最后一项的值，就可以用公式来计算出来，这对于解决数学问题是非常有用的。
等差数列所有公式大全
等差数列所有公式大全
等差数列的所有公式包括：
1.通项公式：an=a1+(n-1)d。
这表示在等差数列中，第n项的值等于首项加上(n-1)乘以公差d。
2.项数公式：n=(an-a1)/d+1。
这给出了等差数列的项数的计算方法。
3.求和公式：Sn=(a1+an)n/2或Sn=n/2*(a1+an-d)。
这用于计算等差数列的前n 项和。
4.项与项数关系公式：an=a1+(n-1)d。
这表示在等差数列中，第n项的值等于首项加上(n-1)乘以公差d。
5.求和公式推导：an-a(n-1)=d，a(n-1)-a(n-2)=d…a2-a1=d,将上述式子左右分别相加，得出an-a1=(n-1)*d→an=a1+(n-1)*d。
这些公式可以用于求解等差数列的各种问题，包括求某一项或几项的和，判断一个数列是否为等差数列，等等。
在使用这些公式时，需要记住一些重要的参数，如首项、公差和项数。
等差公式求和公式
等差公式求和公式
等差数列是常见的一类数列，它的特点是每一项与它的前一项的差值是相等的。
其常见的求和公式可以用来计算这类数列的总和，它可以大大提高我们算数的效率，使我们线性计算的操作减少。
等差数列的总和的求和公式是比较有用的数学公式，它可以用来求出任何等差数列的总和。
它又称为等差求和公式，其公式如下：
Sn=n/2(a1+an)
其中，n是数列中数字的个数，a1数列中第一项，an数列中最
后一项。
用数学公式可以将一些繁琐的运算变得简单明了，比如求解等差数列总和。
比如，若要求解数列1,3,5,7,9的和，用等差求和公式可先求出a1和an，即a1=1，an=9，然后将它们代入等差求和公式中，由于数列中共有5个数字，因此n=5，最终可以求出数列的总和 Sn=25。
等差求和公式在数学学习和实际计算中都有很大的用处，它们可以大大减少线性计算的操作，节省时间和精力。
在实际计算中，它们同样是数学基本公式中的重要部分，是不可缺少的元素。
等差求和公式不仅仅可以用于等差数列，而且也可以用于各类等比数列中，其公式是：
Sn=a1(1-rn^(n-1))/1-r
其中，a1是等比数列的第一项，r是数列的公比，n是数列的项数。
相比较等差数列，等比数列的总和计算更加复杂，但是使用等比求和公式也可以轻松求出总和，同样是维护着我们大量线性计算的操
作，也是不可或缺的数学公式。
综上所述，等差公式求和公式是简单明了的数学公式，它可以用来求出等差数列和等比数列的总和，节省了许多线性计算的时间和精力，使我们的操作流畅有效，因此它是必不可少的数学公式。
等差数列n项求和公式
等差数列n项求和公式等差数列是指数列中任意两个相邻项之间的差都相等的数列。
要求给出等差数列的n项求和公式。
设等差数列的首项为a1，公差为d，第n项为an。
首先，需要知道等差数列的通项公式。
通项公式可以表达为：an = a1 + (n-1)d其中an表示第n项，a1是首项，d是公差。
接下来，我们将n项求和的公式推导如下：设等差数列的首项为a1，末项为an，共有n项。
根据等差数列的性质可知，首项与末项的和等于二者的平均数乘以项数：(a1 + an) = (a1 + a1 + (n-1)d) = 2a1 + (n-1)d因此，等差数列的n项求和公式可表示为：S = (n/2)(a1 + an) = (n/2)(2a1 + (n-1)d)简化之后得到：S=(n/2)(a1+a1+(n-1)d)=(n/2)(2a1+(n-1)d)这就是等差数列n项求和的公式。
下面我们可以通过示例来进一步理解和应用这个公式。
例题1：已知等差数列的首项a1=3，公差d=4，求前10项的和。
根据公式S=(n/2)(2a1+(n-1)d)，带入数据：S=(10/2)(2*3+(10-1)*4)=5(6+9*4)=5(6+36)=5*42=210所以前10项的和为210。
例题2：已知等差数列的首项a1=-2，公差d=3，求前50项的和。
同样根据公式S=(n/2)(2a1+(n-1)d)，带入数据：S=(50/2)(2*(-2)+(50-1)*3)=25*(-4+49*3)=25*(-4+147)=25*143=3575所以前50项的和为3575通过以上例题，我们可以看出等差数列n项求和的公式是非常有效且易于应用的。
只要给出等差数列的首项、公差和项数，就能轻松求出其和。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
等差数列求和公式的问题1：著名数学家高斯10岁时，曾解过一道题：1+2+3+…+100=?你们知道怎么解吗？问题2：1+2+3+…+n=?在探求中有学生问：n是偶数还是奇数？教师反问：能否避免奇偶讨论呢？并引导学生从问题1感悟问题的实质：大小搭配，以求平衡设=1+2+3+…+n ,又有= + + +…+1= + + +…+ ，得 =问题3：等差数列 = ？学生容易从问题2中获得方法（倒序相加法）。
但遇到= = =…=呢？利用等差数列的定义容易理解这层等量关系，进一步的推广可得重要结论：m+n=p+q问题4：还有新的方法吗？（引导学生利用问题2的结论），经过讨论有学生有解法：设等差数列的公差为d，则 = +（）+（）+…+[ ]= = （这里应用了问题2的结论）问题5： = = ？学生容易从问题4中得到联想： = = 。
显然，这又是一个等差数列的求和公式。
等差数列的求和对初学数列求和的离学生的现有发展水平较远，教师通过“弱化”的问题1和问题2将问题转化到学生的最近发展区内，由于学生的最近发展区是不断变化的，学生解决了问题2，就说明学生的潜在的发展水平已经转化为其新的现有发展水平，在新的现有发展水平基础上教师提出了问题3，学生解决了问题3，他们潜在的发展水平已经转化为其新的现有发展水平，在此基础上教师提出了问题4，这个案例的设计体现教师搭“脚手架”的作用不可低估,教师自始至终都应坚持“道而弗牵,强而弗抑,开而弗达”(《礼记·学记》),诱导学生自己探究数学结论, 处理好“放”与“扶”的关系。
问题1：著名数学家高斯10岁时，曾解过一道题：1+2+3+…+100=?你们知道怎么解吗？问题2：1+2+3+…+n=?在探求中有学生问：n是偶数还是奇数？教师反问：能否避免奇偶讨论呢？并引导学生从问题1感悟问题的实质：大小搭配，以求平衡设=1+2+3+…+n ,又有= + + +…+1= + + +…+ ，得 =问题3：等差数列 = ？学生容易从问题2中获得方法（倒序相加法）。
但遇到= = =…=呢？利用等差数列的定义容易理解这层等量关系，进一步的推广可得重要结论：m+n=p+q问题4：还有新的方法吗？（引导学生利用问题2的结论），经过讨论有学生有解法：设等差数列的公差为d，则 = +（）+（）+…+[ ]= = （这里应用了问题2的结论）问题5： = = ？学生容易从问题4中得到联想： = = 。
显然，这又是一个等差数列的求和公式。
等差数列的求和对初学数列求和的离学生的现有发展水平较远，教师通过“弱化”的问题1和问题2将问题转化到学生的最近发展区内，由于学生的最近发展区是不断变化的，学生解决了问题2，就说明学生的潜在的发展水平已经转化为其新的现有发展水平，在新的现有发展水平基础上教师提出了问题3，学生解决了问题3，他们潜在的发展水平已经转化为其新的现有发展水平，在此基础上教师提出了问题4，这个案例的设计体现教师搭“脚手架”的作用不可低估,教师自始至终都应坚持“道而弗牵,强而弗抑,开而弗达”(《礼记·学记》),诱导学生自己探究数学结论, 处理好“放”与“扶”的关系。
问题1：著名数学家高斯10岁时，曾解过一道题：1+2+3+…+100=?你们知道怎么解吗？问题2：1+2+3+…+n=?在探求中有学生问：n是偶数还是奇数？教师反问：能否避免奇偶讨论呢？并引导学生从问题1感悟问题的实质：大小搭配，以求平衡设=1+2+3+…+n ,又有= + + +…+1= + + +…+ ，得 =问题3：等差数列 = ？学生容易从问题2中获得方法（倒序相加法）。
但遇到= = =…=呢？利用等差数列的定义容易理解这层等量关系，进一步的推广可得重要结论：m+n=p+q问题4：还有新的方法吗？（引导学生利用问题2的结论），经过讨论有学生有解法：设等差数列的公差为d，则 = +（）+（）+…+[ ]= = （这里应用了问题2的结论）问题5： = = ？学生容易从问题4中得到联想： = = 。
显然，这又是一个等差数列的求和公式。
等差数列的求和对初学数列求和的离学生的现有发展水平较远，教师通过“弱化”的问题1和问题2将问题转化到学生的最近发展区内，由于学生的最近发展区是不断变化的，学生解决了问题2，就说明学生的潜在的发展水平已经转化为其新的现有发展水平，在新的现有发展水平基础上教师提出了问题3，学生解决了问题3，他们潜在的发展水平已经转化为其新的现有发展水平，在此基础上教师提出了问题4，这个案例的设计体现教师搭“脚手架”的作用不可低估,教师自始至终都应坚持“道而弗牵,强而弗抑,开而弗达”(《礼记·学记》),诱导学生自己探究数学结论, 处理好“放”与“扶”的关系。
问题1：著名数学家高斯10岁时，曾解过一道题：1+2+3+…+100=?你们知道怎么解吗？问题2：1+2+3+…+n=?在探求中有学生问：n是偶数还是奇数？教师反问：能否避免奇偶讨论呢？并引导学生从问题1感悟问题的实质：大小搭配，以求平衡设=1+2+3+…+n ,又有= + + +…+1= + + +…+ ，得 =问题3：等差数列 = ？学生容易从问题2中获得方法（倒序相加法）。
但遇到= = =…=呢？利用等差数列的定义容易理解这层等量关系，进一步的推广可得重要结论：m+n=p+q问题4：还有新的方法吗？（引导学生利用问题2的结论），经过讨论有学生有解法：设等差数列的公差为d，则 = +（）+（）+…+[ ]= = （这里应用了问题2的结论）问题5： = = ？学生容易从问题4中得到联想： = = 。
显然，这又是一个等差数列的求和公式。
等差数列的求和对初学数列求和的离学生的现有发展水平较远，教师通过“弱化”的问题1和问题2将问题转化到学生的最近发展区内，由于学生的最近发展区是不断变化的，学生解决了问题2，就说明学生的潜在的发展水平已经转化为其新的现有发展水平，在新的现有发展水平基础上教师提出了问题3，学生解决了问题3，他们潜在的发展水平已经转化为其新的现有发展水平，在此基础上教师提出了问题4，这个案例的设计体现教师搭“脚手架”的作用不可低估,教师自始至终都应坚持“道而弗牵,强而弗抑,开而弗达”(《礼记·学记》),诱导学生自己探究数学结论, 处理好“放”与“扶”的关系。
问题1：著名数学家高斯10岁时，曾解过一道题：1+2+3+…+100=?你们知道怎么解吗？问题2：1+2+3+…+n=?在探求中有学生问：n是偶数还是奇数？教师反问：能否避免奇偶讨论呢？并引导学生从问题1感悟问题的实质：大小搭配，以求平衡设=1+2+3+…+n ,又有= + + +…+1= + + +…+ ，得 =问题3：等差数列 = ？学生容易从问题2中获得方法（倒序相加法）。
但遇到= = =…=呢？利用等差数列的定义容易理解这层等量关系，进一步的推广可得重要结论：m+n=p+q问题4：还有新的方法吗？（引导学生利用问题2的结论），经过讨论有学生有解法：设等差数列的公差为d，则 = +（）+（）+…+[ ]= = （这里应用了问题2的结论）问题5： = = ？学生容易从问题4中得到联想： = = 。
显然，这又是一个等差数列的求和公式。
等差数列的求和对初学数列求和的离学生的现有发展水平较远，教师通过“弱化”的问题1和问题2将问题转化到学生的最近发展区内，由于学生的最近发展区是不断变化的，学生解决了问题2，就说明学生的潜在的发展水平已经转化为其新的现有发展水平，在新的现有发展水平基础上教师提出了问题3，学生解决了问题3，他们潜在的发展水平已经转化为其新的现有发展水平，在此基础上教师提出了问题4，这个案例的设计体现教师搭“脚手架”的作用不可低估,教师自始至终都应坚持“道而弗牵,强而弗抑,开而弗达”(《礼记·学记》),诱导学生自己探究数学结论, 处理好“放”与“扶”的关系。
问题1：著名数学家高斯10岁时，曾解过一道题：1+2+3+…+100=?你们知道怎么解吗？问题2：1+2+3+…+n=?在探求中有学生问：n是偶数还是奇数？教师反问：能否避免奇偶讨论呢？并引导学生从问题1感悟问题的实质：大小搭配，以求平衡设=1+2+3+…+n ,又有= + + +…+1= + + +…+ ，得 =问题3：等差数列 = ？学生容易从问题2中获得方法（倒序相加法）。
但遇到= = =…=呢？利用等差数列的定义容易理解这层等量关系，进一步的推广可得重要结论：m+n=p+q问题4：还有新的方法吗？（引导学生利用问题2的结论），经过讨论有学生有解法：设等差数列的公差为d，则 = +（）+（）+…+[ ]= = （这里应用了问题2的结论）问题5： = = ？学生容易从问题4中得到联想： = = 。
显然，这又是一个等差数列的求和公式。
等差数列的求和对初学数列求和的离学生的现有发展水平较远，教师通过“弱化”的问题1和问题2将问题转化到学生的最近发展区内，由于学生的最近发展区是不断变化的，学生解决了问题2，就说明学生的潜在的发展水平已经转化为其新的现有发展水平，在新的现有发展水平基础上教师提出了问题3，学生解决了问题3，他们潜在的发展水平已经转化为其新的现有发展水平，在此基础上教师提出了问题4，这个案例的设计体现教师搭“脚手架”的作用不可低估,教师自始至终都应坚持“道而弗牵,强而弗抑,开而弗达”(《礼记·学记》),诱导学生自己探究数学结论, 处理好“放”与“扶”的关系。
问题1：著名数学家高斯10岁时，曾解过一道题：1+2+3+…+100=?你们知道怎么解吗？问题2：1+2+3+…+n=?在探求中有学生问：n是偶数还是奇数？教师反问：能否避免奇偶讨论呢？并引导学生从问题1感悟问题的实质：大小搭配，以求平衡设=1+2+3+…+n ,又有= + + +…+1= + + +…+ ，得 =问题3：等差数列 = ？学生容易从问题2中获得方法（倒序相加法）。
但遇到= = =…=呢？利用等差数列的定义容易理解这层等量关系，进一步的推广可得重要结论：m+n=p+q问题4：还有新的方法吗？（引导学生利用问题2的结论），经过讨论有学生有解法：设等差数列的公差为d，则 = +（）+（）+…+[ ]= = （这里应用了问题2的结论）问题5： = = ？学生容易从问题4中得到联想： = = 。
显然，这又是一个等差数列的求和公式。
等差数列的求和对初学数列求和的离学生的现有发展水平较远，教师通过“弱化”的问题1和问题2将问题转化到学生的最近发展区内，由于学生的最近发展区是不断变化的，学生解决了问题2，就说明学生的潜在的发展水平已经转化为其新的现有发展水平，在新的现有发展水平基础上教师提出了问题3，学生解决了问题3，他们潜在的发展水平已经转化为其新的现有发展水平，在此基础上教师提出了问题4，这个案例的设计体现教师搭“脚手架”的作用不可低估,教师自始至终都应坚持“道而弗牵,强而弗抑,开而弗达”(《礼记·学记》),诱导学生自己探究数学结论, 处理好“放”与“扶”的关系。