2020届金考卷5期文科数学试卷 共4套(答案解析)
2020届高考文科数学模拟黄金卷(全国卷)(五)+答案详解+评分标准
2020届高考文科数学模拟黄金卷（全国卷）（五）1、已知集合{|11},{|20}P x x Q x x =-<<=-<≤,则R P Q ⋂=ð( ) A.(2,1)-B.(1,0]-C.(0,1)D.(2,1)--2、复平面内表示复数()2z i i =-+的点位于（ ） A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3、若π43tan 23α⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，π0,3a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则πtan 6α⎛⎫-= ⎪⎝⎭( )A.3-B.3-C.3 D.3 4、若()2xf x x =⋅，()3log 5a f =，31log 2b f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()ln 3c f =则a b c ,,的大小关系为( )A.c b a >>B.b c a >>C.a b c >>D.c a b >>5、函数3ln ()2e xx f x =的大致图象是( )A. B.C. D.6、四边形ABCD 和ADPQ 均为正方形，它们所在的平面互相垂直，则异面直线AP 与BD 所成的角为（ ）A ．π6B ．π4C ．π3D ．2π37、已知向量(1,),(3,2)a mb ==-r r,且()a b b +⊥r r r,则m =( )A.-8B.-6C.6D.88、我国高铁近几年发展迅速,根据《中长期铁路网规划(2008年调整)》,为满足快速增长的旅客运箱需求,建立省会城市及大中城市间的快速客运通道,我国将规划“四纵四横”铁路快速客运通道以及环渤海地区、长江三角洲地区、珠江三角洲地区三个城际快速客运系统.某高铁客运部门规定甲、乙两城市之间旅客托运行李的费用:不超过50 kg 按53元/kg,收费,超过50 kg 的部分按85 元/kg 收费.相应收费系统的流程图,如图所示,则①处应填( )A.0.85y x =B.500.53(50)0.85y x =⨯+-⨯C.500.530.85y x =⨯+D.0.53y x =9、已知直线()200kx y k k -+=>与抛物线2:8C y x =相交于A 、B 两点，F 为C 的焦点，若2FA FB =,则k =（ ）A ．13 B 2C ．23D 2210、设ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,若cos cos a a B b A =+,则ABC △的形状为( ) A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.等腰三角形11、已知直三棱柱111ABC A B C -的体积等于63,它的所有顶点都在球O 的表面上,且其三个侧面以及两个底面所在的平面截球O 所得圆的面积相等,则球O 的表面积为( ) A.5πB.10πC.20πD.100π12、已知()22,0,0x x x f x e x -⎧≤⎪=⎨>⎪⎩，若存在实数m 使得方程()0f x m -=恰有两个根12,x x ，则12x x +的取值范围是（ ） A.(],0-∞B.[)0,+∞C.(],2ln 2-∞D.[)2ln 2,+∞13、下图是根据某中学为地震灾区捐款的情况而制作的统计图,已知该校共有学生3 000人,由统计图可得该校共捐款__________元14、如图，圆锥的底面圆直径AB 为2，母线长SA 为4，若小虫P 从点A 开始绕着圆锥表面爬行一圈到SA 的中点C ，则小虫爬行的最短距离为________．15、已知22cos sin 2sin()(0)x x A x b A ωϕ+=++>,则A = ______,b =______. 16、已知双曲线()222:10y C x b b-=>的左、右焦点分别为12F F ，，过点1F 的直线与C 的两条渐近线分别交于A B , (B 在第一象限)两点.若1F A AB =uuu r uu u r，1290F BF ∠=︒，点(),P x y 在双曲线的右支上，则2PB PF +的最小值为 .17、2018年，教育部发文确定新高考改革正式启动，湖南、广东、湖北等8省市开始实行新高考制度，从2018年下学期的高一年级学生开始实行.为了适应新高考改革，某校组织了一次新高考质量测评，在成绩统计分析中，高二某班的数学成绩的茎叶图和频率分布直方图因故都受到不同程度的损坏，但可见部分如下，据此解答如下问题：（1）求该班数学成绩在[)50,60的频率及全班人数；（2）根据频率分布直方图估计该班这次测评的数学平均分；（3）若规定90分及其以上为优秀，现从该班分数在80分及其以上的试卷中任取2份分析学生得分情况，求在抽取的2份试卷中至少有1份优秀的概率.18、已知数列{}n a的前项和为,239n n nS S a=-．（1）求数列{}n a的通项公式；（2）若()31lognn nb a=-，求数列{}n b的前n项和n T19、如图,直三棱柱ADF BCE-中,点M为CD的中点, 22AB AD==,且ABCD ABEF⊥平面平面,连接,,AM ED BD.(1)求证: AM DE⊥.(2)求点F到平面BDE的距离.20、设()321252f x x x x=--+（1）求函数()f x的单调递增，递减区间；（2）当[]1,2x∈-时，()f x m<恒成立，求实数的取值范围．21、已知圆221:4320C x y x++-=,圆222:40C x y x+-=,点A为俩圆的公共点,点P(异于点A)在过点A且垂直于x轴的直线l上,直线1PM与圆1C切与点1M(异于点A),直线2PM与圆2C切与点2M(异于点A),直线11C M交直线22C M与点M.(1) 交点M的轨迹Ω的方程(2)直线1MC与轨迹Ω的另一个交点N,在x轴上是否存在定点Q,使得11MQC NQC∠=∠?若存在,求出定点的坐标;若不存在,请说明理由.22、在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为33x ty t⎧=⎪⎨⎪=⎩，(t为参数).以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为2sin2cosρθθ=+(1)求l 的普通方程和C 的直角坐标方程.(2)已知P 是C 上的点，点()10M -,，求线段MP 的中点到l 的距离的最小值. 23、已知函数()2145f x x x =++-的最小值为M.（1）求M ；（2）若正实数a ，b ，c 满足a b c M ++=，求证：2222227a b a c b c c b a+++++≥答案以及解析1答案及解析： 答案：C解析：因为{|20}Q x x =-<≤,所以{|20}R Q x x x =≤->或ð,又{|11}P x x =-<< 所以{|01}R P Q x x ⋂=<<ð2答案及解析：答案：C解析：()22212z i i i i i =-+=-+=--，故复平面内表示复数()2z i i =-+ 的点(12)--,位于第三象限.3答案及解析： 答案：D解析：πtan 23α+⎛⎫ ⎪⎝⎭πtan 26α⎛⎫ ⎪⎝+⎭=2π2tan 6π1tan 6αα⎛⎫+ ⎪⎝⎭==⎛⎫-+ ⎪⎝⎭得πtan 6α⎛⎫ ⎪⎝=⎭+或πtan 6α⎛⎫⎪⎝=⎭+. π0,3α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭Q ，πππ,662α⎛⎫∴+∈ ⎪⎝⎭，πtan 6α⎛⎫∴+= ⎪⎝⎭，πtan 6α⎛⎫∴- ⎪⎝⎭ππtan 63α⎛⎫=+- ⎪⎝⎭ππtan tan63ππ1tan tan63αα⎛⎫+- ⎪⎝⎭=⎛⎫++ ⎪⎝⎭==故选D.4答案及解析： 答案：D解析：易知函数()f x 为奇函数且在)0,+∞［上单调递增，根据奇函数的性质可得()f x 在()-∞+∞,上单调递增.因为31log 0log 1ln32<<<，所以c a b >>.5答案及解析： 答案：A解析：由题意知,()f x 的定义域为{|0}x x ≠3ln ||3e ln ||()2e 2x xx x f x ---==,()(),()()f x f x f x f x ≠--≠-,所以函数()f x 既不是奇函数,也不是偶函数,排除B,D;又当1x <-时,()0f x >,所以排除选项C,故选A.6答案及解析： 答案：C解析：画出图像如图所示，将AP 平移到BE 的位置，连接DE ，则角DBE 即是两条异面直线所成的角.由于三角形BDE 为等边三角形，故两条异面直线所成的角为π3.故选C.7答案及解析： 答案：D解析：∵向量(1,),(3,2)a m b ==-rr, ∴(4,2)a b m +=-rr.又∵()a b b +⊥r r r.∴122(2)0m --=, 解得8m =.8答案及解析： 答案：B解析：由题意,行李托运费y (元)关于行李重量(kg)x 的函数解析式为0.53,500.5350(50)0.85,50x x y x x ≤⎧=⎨⨯+-⨯>⎩由框图可知50x >时,执行①,故选B.9答案及解析： 答案：D解析：由题意，联立()282y xy k x ⎧=⎪⎨=+⎪⎩，得()22224840k x k x k +-+=设()()11221212,,,,0,0,0,0Ax y B x y x x y y >>>>∴124x x = ○1 由抛物线的定义，122,2FA x FB x =+=+∵2FA FB =∴1222x x =+ ○2 由○1○2解得21x =∴(1,B ，代入()2y k x =+，得k =10答案及解析： 答案：D解析：∵cos cos a a B b A =+,由余弦定理得22222222a c b b c a a a b ac bc+-+-=⨯+⨯, 整理得222ac c =, ∴a c =,即ABC △为等腰三角形.11答案及解析： 答案：C解析：因为该三棱柱的三个侧面以及两个底面所在的平面截球O 所得圆的面积相等,所以该三棱柱的底面是等边三角形,设其底面边长为a,高为h,球O 的半径为R,则有222()()22a h +=,2h =所以2a h ==,又222()2h R +=所以R =故球O的表面积224π4π20πS R ===,故选C12答案及解析： 答案：C解析：不妨设120x x <<由()()12f x f x m ==，得222111x x e x e -⎛⎫ ⎪⎝=<⎭-.化简得()212ln 2x x =-+，所以()121122ln x x x x +=++-. 令()()122ln g x x x x e⎛⎫=++-<- ⎪⎝⎭，则()21g x x'=+， 当2()x ∈-∞-，时，()0g x '>，函数()g x 单调递增； 当12,x e⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭时，()0g x '<，函数()g x 单调递减. 所以()g x 的最大值为()22ln 2g -=，所以12x x +的取值范围为,2n 2(l -∞］.故选C.13答案及解析： 答案：37770 解析：由扇形统计图可知,该中学高一、高二、高三分别有学生960人、990人、1 050人,由条形统计图知,该中学高一、高二、高三人均捐款分别为15元、13元、10元,所以共捐款1596013990101?050? 37?770⨯+⨯+⨯= (元).14答案及解析： 答案：25解析：由题意知底面圆的直径AB =2， 故底面周长等于2π.设圆锥的侧面展开后的扇形圆心角为n ∘， 根据底面周长等于展开后扇形的弧长得4π2π180n =， 解得n =90，所以展开图中∠PSC =90∘，根据勾股定理求得25PC = 所以小虫爬行的最短距离为515答案及解析： 2;1解析：22cos sin 21cos 2sin 22)14x x x x x π+=++=++,所以2;1A b ==.16答案及解析： 答案：2解析：由1F A AB =uuu r uu u r知A 是1BF 的中点，又O (O 为坐标原点)是12F F 的中点，所以OA 为12F F B △的中位线.因为1290F BF ∠=︒，所以1OA BF ⊥，1OB OF =，所以1FOA BOA ∠=∠. 根据双曲线的两条渐近线关于y 轴对称，可知12FOA F OB ∠=∠，所以260F OB ∠=︒， 所以渐近线的倾斜角为60°或120°，即b所以双曲线C 的方程为2213y x -=，所以22OF c ==. 易知2BOF △为等边三角形，所以222BF OF ==.故当2,,B P F 三点共线时2PB PF +取得最小值，()22min2PB PF BF +==17答案及解析：答案：（1）频率为0.08，频数2，所以全班人数为2250.08=. （2）估计平均分为：550.08650.28750.4850.16950.0873.8⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= （3）由已知得[)80,100的人数为：0.160.0825426+⨯=+=（）. 设分数在[)80,90的试卷为,,,A B C D 分数在[]90,100的试卷为,a b . 则从6份卷中任取2份，共有15个基本事件，分别是,,,,,,,,,,,,,,AB AC AD Aa Ab BC BD Ba Bb CD Ca Cb Da Db ab ,其中至少有一份优秀的事件共有9个，分别是,,,,,,,,Aa Ab Ba Bb Ca Cb Da Db ab ∴在抽取的2份试卷中至少有1份优秀的概率为93155P ==. 解析：18答案及解析：答案：（1）当1n =时，11239S a =-. 因为11S a =，所以11239aa =-，所以19a =.因为239n n S a =-，所以11239n n S a ++=-. 两式相减，得11233n n n a a a ++=-，即13n n a a += 又因为19a =，所以0n a >.所以数列{}n a 是以9为首项，3为公比的等比数列.所以11933n n na -+=⨯=.（2）由（1）可知()()()31log 11nnn n b a n =-=-+故当为偶数时，()()()2345 (12)n n T n n =-++-+++-++=⎡⎤⎣⎦ 当为奇数时，()()()()()132345 (11122)n n n T n n n n -+=-++-+++--+-+=-+=-⎡⎤⎣⎦ 所以,23,2n nn T n n ⎧⎪⎪=⎨+⎪-⎪⎩为偶数为奇数解析：19答案及解析：答案：(1)记AM 与BD 的交点为O . 由题意，知BE AB ⊥.∵ABCD ABEF ⊥平面平面，且ABCD ABEF AB =I 平面平面， ∴BE ABCD ⊥平面.∵AM ABCD ⊂平面，∴BE AM ⊥.又M 为CD 的中点，222AB CD AD BC ==， ∴1,2DM AD BC ===， ∴22tan tan 2DM BC DAM BDC DA CD ∠==∠== ∴DAM BDC ∠=∠.∵90DAM AMD ∠+∠=︒,∴90BDC AMD ∠+∠=︒， ∴90AOD ∠=︒，∴AM BD ⊥. 又BD BE B =I ，∴AM BDE ⊥平面，∴AM DE ⊥. (2)设点F 到平面DBE 的距离为d.∵//,,AF BE BE BDE AF BDE ⊂⊄平面平面， ∴//AF BDE 平面.∴点F 到平面BDE 的距离等于点A 到平面BDE 的距离. 由上题知()2222,213AO BDE AM AD DM ⊥=+=+=平面，∴26cos 3ADDAM AM∠===， ∴623cos 2d AO AD DAM ==⋅∠=⨯=， ∴点F 到平面BDE 的距离为23. 解析：20答案及解析： 答案：（1）()232f x x x '=--，令()0f x '=，解得1x =或23-， 令()0f x '>，解得2,3x ⎛⎫∈-∞- ⎪⎝⎭，()1,+∞，令()0f x '<，解得2,13x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，()f x 的单调递增为2,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭，()1,+∞，递减区间为2,13⎛⎫- ⎪⎝⎭（2））∵()()()1222115,5,13,2723272f f f f ⎛⎫-=-=== ⎪⎝⎭；即()max7fx =，要使[]1,2x ∈-时，()f x m <恒成立，即()max f x m <，∴7m >，故实数m 的取值范围为()7,+∞ 解析：21答案及解析：答案：(1)已知圆221:(2)36C x y ++=,圆222:(2)4C x y -+=,两圆的圆心距为俩圆半径之差的绝对值,故两圆相切,切点为(4,0)A ,直线l 为两圆的公切线,12PA PM PM == 如图,连接PM ,在1PMM △和2PMM △,1290PM M PM M ∠=∠=o ,12,PM PM PM PM == 所以12R R t M PM t M PM ≅△△,所以12MM MM =所以12121112226284MC MC MC MM MC MM C C +=++=++=+=>=根据椭圆的定义知,点M 的轨迹是以12,C C 为焦点的椭圆(不含x 轴的交点),且28,24a c == 所以4,2a c ==,所以212b =故点M 的轨迹Ω的方程为221(0)1612x y y +=≠(2)当直线1MC 的斜率不存在时,易知,M N 两点关于x 轴对称,所以当点Q 为x 轴上的任意点时,均为11MQC NQC ∠=∠当直线1MC 的斜率存在时,由(1)知,直线1MC 的斜率不为零.设直线1MC 的方程为2(0)x ty t =-≠,代入轨迹Ω的方程,得22(34)12360t y ty +--=设1122(,),(,)M x y N x y ,则1212221236,3434t y y y y t t +==-++ 设(,0)Q m ,若11MQC NQC ∠=∠,则0MQNQ K k +=,即12120y y x m x m+=--,即1221()()0y x m y x m -+-=,即1221(2)(2)0y ty m y ty m --+--=,即12122(2)()0ty y m y y -++=即227212(2)03434t tm t t --+⋅=++,得8m =-, 综上可得,在x 轴上存在定点(8,0)Q -,使得11MQC NQC ∠=∠ 解析：22答案及解析：答案：(1)消去参数t ，得直线l的普通方程为230y --=.由222cos sin x y x yρθρθρ⎧=⎪=⎨⎪=+⎩，得曲线C 的直角坐标方程为()()22112x y -+-=. (2)设()1,1P ϕϕ，则线段MP的中点坐标为⎝⎭. 由点到直线的距离公式得，线段MP 的中点到l 的距离dπ13ϕ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，所以线段MP 的中点到l的距离的最小值为1解析：23答案及解析：答案：（1）()146,21562,24564,4x x f x x x x x ⎧-<-⎪⎪⎪=--≤<⎨⎪⎪-≥⎪⎩， 由于函数146,2x y x -<-=,是减函数，1562,24x y x --≤<=,是减函数，564,4x y x -≥=，是增函数，故当54x =时，()f x 取得最小值72M =.（2）222222222a b a c b c ab ac bccb ac b a +++++≥++b c a c a b a b c c b c a b a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()27a b c ≥++=.解析：。
2020年金太阳大联考数学试卷(文科)答案
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2020届武汉5月质检文科数学参考答案
③ ……10 分
文科数学参考答案第 5 页 （共 5 页）
，则 an
14 5
(n
1) (
3) 5
17 5
3n 5
故 an 的通项公式为：
an
17 5
3 5
n, (n
N)
.
……6 分
（2）由 Sn
na1
n(n 1) d 2
得
Sn n
a1
(n 1) d 2
14 5
(n 1) 1 ( 3) 25
0
所以 3 (n 1) 14 ，即 n 31 ，由 n N ，故 n 10
2
6t
1 ty0 3
3t 2
9
4
y0
2
1 ( 2t ty0 3 3
y0
2)
2 3
3t 2 4
所以 1 1 2 为定值. xM 1 xN 1 3
……12 分
21．（本小题满分 12 分）
证明：（1） f (x) ex cos x ，设 h(x) ex cos x ，而 h(x) ex sin x 在- 1 < x < 0 上为增函数 又 h(1) e1 sin(1) 0, h(0) 1 0 ， ∴存在唯一 x0 (1, 0) ，使得 h(x0 ) 0 ， ∴在 1 x x0 时， h(x) 0 ， f (x) 为减， f (x) f (1) e1 cos1 0 在 (x0, 0) 时， h(x) 0 ， f (x) 为增， f (x) f (0) 0 因此 1 x 0 时，总有 f (x) 0 ， f (x) 为减函数. ∴ f (x) f (0) 0. 从而原不等式得证. ……6 分
（2） g(x) ex 1 x x sin x, 则g(x) ex sin x x cos x 1 在 0 x 时,令m(x) g(x) ex sin x x cos x 1 2
2020届河北省衡水金卷高三第五次联考数学(文)试卷
2020届河北省衡水金卷高三第五次联考数学（文史类）★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。
4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
8、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A＝{0，1}，B＝{0，1，2}，则满足A∪C＝B的集合C的个数为（）A. 4B. 3C. 2D. 12.已知i为虚数单位，复数7iz1i-=+，则|z|＝（）A. 72B. 4C. 5D. 253.已知平面向量a b，的夹角为π3，且a1b2==，，则()2a b b+⋅=（）A. 64B. 36C. 8D. 64.△ABC中，（a﹣b）（sinA+sinB）＝（c﹣b）sinC．其中a，b，c分别为内角A，B，C的对边，则A＝（）A. π6B.π3C.2π3D.5π65.空气质量指数AQI是一种反映和评价空气质量的方法，AQI指数与空气质量对应如下表所示：如图是某城市2018年12月全月的指AQI 数变化统计图.根据统计图判断，下列结论正确的是（ ） A. 整体上看，这个月的空气质量越来越差B. 整体上看，前半月的空气质量好于后半月的空气质量 C. 从AQI 数据看，前半月的方差大于后半月的方差 D. 从AQI 数据看，前半月的平均值小于后半月的平均值 6.设函数()()221log 1,02,0x x x f x x -⎧-<=⎨≥⎩，则()()23log 3f f -+=（ ）A.112B.132C.152D. 107.已知f （x ）是定义在R 上的奇函数，若x 1，x 2∈R，则“x 1+x 2＝0”是“f（x 1）+f （x 2）＝0”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件8.已知函数()()πsin 002f x A x A ωϕωϕ⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝＞，＞，＜的部分图象如图所示，点3π0023⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，7π03⎛⎫ ⎪⎝⎭，在图象上，若12π7π33x x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，，12x x ≠，且()()12f x f x ＝，则()12f x x +=A. 3B.32 C. 0D. 32-9.若直线x ﹣my+m ＝0与圆（x ﹣1）2+y 2＝1相交，且两个交点位于坐标平面上不同的象限，则m 的取值范围是（ ） A. （0，1） B. （0，2）C. （﹣1，0）D. （﹣2，0）10.在四面体ABCD 中，已知AB ＝AC ＝CD ＝2，BC =CD⊥平面ABC ，则该四面体外接球的体积（ ）A. 16πB. 12πC.D. 6π11.设点P 是抛物线2:4C y x =上的动点，Q 是C 的准线上的动点，直线l 过Q 且与OQ （O为坐标原点）垂直，则点P 到l 的距离的最小值的取值范围是（ ） A. ()0,1B. (]0,1C. []0,1D. (]0,212.若函数y ＝e x ﹣e ﹣x （x ＞0）的图象始终在射线y ＝ax （x ＞0）的上方，则a 的取值范围是（ ） A. （﹣∞，e]B. （﹣∞，2]C. （0，2]D. （0，e]二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.若3tan α4=，则cos2α＝_____． 14.根据下列算法语句，当输入x ，y∈R 时，输出s 最大值为_____．15.已知f （x ）是R 上的偶函数，且当x≥0时，f （x ）＝x 3+2x ，则不等式f （x ﹣2）＜3的解集_____．16.设,m n 为平面α外两条直线，其在平面α内的射影分别为两条直线1m 和1n .给出下列4个命题：①11////m n m n ⇒； ②1//m n m ⇒与1n 平行或重合； ③11m n m n ⊥⇒⊥；④ 11m n m n ⊥⇒⊥.其中所有假命题的序号是__________．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.若数列{a n }的前n 项和为S n ，且()()()212n n 2n 1a 1a 2S 1S 1S 1++==++=+，，． （1）求S n ； （2）记数列n 1a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为T n ，证明：1≤T n ＜2． 18.某花圃为提高某品种花苗质量，开展技术创新活动，在,A B 实验地分别用甲、乙方法培训该品种花苗.为观测其生长情况，分别在实验地随机抽取各50株，对每株进行综合评分，将每株所得的综合评分制成如图所示的频率分布直方图.记综合评分为80及以上的花苗为优质花苗.()1求图中a值，并求综合评分的中位数.()2用样本估计总体，以频率作为概率，若在,A B 两块试验地随机抽取3棵花苗，求所抽取的花苗中的优质花苗数的分布列和数学期望；()3填写下面的列联表，并判断是否有90%的把握认为优质花苗与培育方法有关.附：下面的临界值表仅供参考.（参考公式：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.）19.如图，在边长为4的正方形ABCD 中，点E,F 分别是AB,BC 的中点，点M 在AD 上，且14AM AD =，将AED,DCF 分别沿DE,DF 折叠，使A,C 点重合于点P ，如图所示2.()1试判断PB 与平面MEF 的位置关系，并给出证明； ()2求二面角M EF D --的余弦值.20.已知椭圆()2222x y C 1a b 0a b+=：＞＞的右焦点为)F，过点F 且垂直于x 轴的直线与椭圆相交所得的弦长为2． （1）求椭圆C 方程；（2）设A ，B 为椭圆C 上的两动点，M 为线段AB 的中点，直线AB ，OM （O 为坐标原点）的斜率都存在且分别记为k 1，k 2，试问k 1k 2的值是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．21.已知函数f （x ）＝e x 12-（x ﹣a ）2+4． （1）若f （x ）在（﹣∞，+∞）上单调递增，求a 的取值范围；（2）若x≥0，不等式f （x ）≥0恒成立，求a 的取值范围．（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极坐标建立极坐标系，圆M 的极坐标方程为4cos ρθ=.()1求M 的普通方程；()2将圆M 平移，使其圆心为1,02N ⎛⎫- ⎪⎝⎭，设P 是圆N 上的动点，点A 与N 关于原点O对称，线段PA 的垂直平分线与PN 相交于点Q ，求Q 的轨迹的参数方程. 23.设a ＞0，b ＞0，且a+b ＝ab ．（1）若不等式|x|+|x ﹣2|≤a+b 恒成立，求实数x 的取值范围． （2）是否存在实数a ，b ，使得4a+b ＝8？并说明理由．。
2020年吉林省示范高中高考数学五模试卷(文科)
2020年吉林省示范高中高考数学五模试卷（文科）一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知集合A ={−2,−1,0，1，2，3}，B ={x|log 2x <2}，则A ∩B =( )A. {2,3}B. {1,2，3}C. {0,1，2，3}D. {−2,−1,0，1，2，3}2. 已知i 为虚数单位，则2−2i1+i =( )A. −2B. −2iC. 2D. 2i3. 已知函数f(x)={2x −1,x ∈[0,1](x −b)2,x ∈(1,3)，f(52)=f(0)，则实数b =( ) A. 1B. 52C. 3D. 44. 2020年西部某县一个生态果园公司根据当地的特产开发生产了A ，B 两种不同口味的果汁饮料．现随机抽取了两种果汁饮料各10瓶(均是500mL)组成的一个样本进行了检测，得到某种添加剂指标(毫克/升)的茎叶图如图，则对这种添加剂指标的分析正确的是( )A. A 种果汁饮料添加剂指标的平均值高于B 种果汁饮料添加剂指标的平均值B. A 种果汁饮料添加剂指标的中位数高于B 种果汁饮料添加剂指标的中位数C. A 种果汁饮料添加剂指标的方差高于B 种果汁饮料添加剂指标的方差D. A 种果汁饮料添加剂指标的最小值高于B 种果汁饮料添加剂指标的最小值5. 下面是由一个实体的半圆柱从上底面向下挖去一部分后而得到的几何体的三视图，则该几何体的体积为( )A. π6 B. π3 C. 2π3 D. 5π66.公元四世纪的古希腊数学家佩波斯提出：蜂巢的优美形状，是自然界最有效劳动的代表．他猜想人们所见到的截面呈六边形的蜂巢，是蜜蛑采用最少量的蝉蜡建造而成的．如图是蜂巢结构图的一部分，正六边形的顶点称为“晶格点”，重复的算作一个“晶格点”，已知第一行有1个六边形，第二行有2个六边形，每行比上一行多一个六边形(六边形均相同)，设图中前n行晶格点数b n满足b n+1−b n=2n+5，n∈N∗，则b10=()A. 101B. 123C. 141D. 1507.已知函数y=[x]称为高斯函数，其中不超过实数x的最大整数称为x的整数部分，记作[x]，如图，则输出的S值为()A. 42B. 43C. 44D. 458.定义在R上的偶函数f(x)，满足f(x)=f(4−x)，当x∈[0,2]时，f(x)=x2+x，则不等式f(x)>2的解集为()A. (2k+1,2k+3)，k∈ZB. (2k−1,2k+1)，k∈RC. (4k+1,4k+3)，k∈ZD. (4k−1,4k+1)，k∈Z9.已知F(−√3,0)是双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左焦点，P为双曲线C右支上一点，圆x2+y2=a2与y轴的正半轴交点为A，|PA|+|PF|的最小值4，则双曲线C的实轴长为()A. √2B. 2C. 2√2D. 2√310.已知函数f(x)=msinx+ncosx(m,n为常数，m⋅n≠0，x∈R)在x=π4处取得最大值2√2，将f(x)的图象向左平移ℎ(ℎ>0)个单位长度以后得到的图象与函数y=ksinx(k>0)的图象重合，则k+ℎ的最小值为()A. 3π4+2√2 B. 5π4+2√2 C. 7π4+√2 D. 7π4+2√211.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点F2(1,0)，P(1,32)为椭圆上一点，过左顶点A作直线l⊥x轴，Q为直线l上一点，AP⊥F2Q，则直线PQ在x轴上的截距为()A. 2B. 3C. 4D. 512.已知函数f(x)=2x+ax2(a>0)在(0,+∞)上的最小值为3，直线l在y轴上的截距为−1，则下列结论正确个数是()①实数a=1；②直线l的斜率为1时，l是曲线y=f(x)的切线；③曲线y=f(x)与直线l有且仅有一个交点．A. 0B. 1C. 2D. 3二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知向量a⃗=(1,x)，b⃗ =(1,x−1)，(a⃗−2b⃗ )⊥a⃗，则|a⃗+b⃗ |=______．14.任意写出一个自然数n，并且按照以下的规律进行变换：如果n是个奇数，则下一步变成3n+1，如果n是个偶数，则下一步变成n2，依照上述规律，将5作为首项，构造一个数列{a n}，则{a n}的前20项和为______．15.2019年末至2020年初，某在线教育公司为了适应线上教学的快速发展，近5个月加大了对该公司的网上教学使用软件的研发投入，过去5个月资金投入量x(单位：百万元)和收益y(单位：百万元)的数据如下表：若y与x的线性回归方程为ŷ=3x+a，则资金投入量为16百万元时，该月收益的预报值为______百万元．16.如图，已知直三棱柱ADF−BCE，AD⊥DF，AD=DF=CD=2，M为AB上一点，四棱锥F−AMCD的体积与该直三棱柱的体积之比为512，则异面直线AF与CM所成角的余弦值为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知△ABC的内角A，B，C满足(sinA+sinB)(sinA−sinB)=(sinC−sinB)sinC，△ABC的面积为10√3．(1)求sin2A；(2)sinB+sinC=13√3，求△ABC的周长．1418.如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为等腰梯形，AD//BC，平面PAD⊥底面ABCD，PA=PD=AD=2BC=2CD=2，M为PC上一点，PA//平面BDM．(1)求PM：MC的值；(2)求四棱锥P−ABCD外接球的半径．19.搪瓷是在金属坯体表面涂搪瓷釉而得到的制品．曾经是人们不可或缺的生活必备品，厨房用具中的锅碗瓢盆；喝茶用到的杯子；洗脸用到的脸盆；婚嫁礼品等，它浓缩了上世纪整整一个时代的记忆．某搪瓷设计公司新开发了一种新型复古搪瓷水杯，将其细分成6个等级，等级系数X依次3，4，5，6，7，8，该公司交给生产水平不同的A和B两个广生产，从B厂生产的搪瓷水杯中随机抽取30件，相应的等级系数组成一个样本，数据如图所示：(1)依据上表，若从上述等级系数为7和8的搪瓷水杯中抽取2件，求这2件全部来自等级系数为8的搪瓷水杯的概率；(2)如图是5位网友对两厂生产的搪瓷水杯对比评分图，根据图表，利用评分均值和标准差比较两种搪瓷水杯的评分情况，并说明理由．20.已知抛物线E：y2=2px(p>0)恰好经过等腰梯形ABCD的四个顶点，AB//CD，AD的延长线与抛物,0)．线E的准线的交点M(−12(1)求抛物线E的方程；(2)证明：BD经过抛物线E的焦点．21. 已知函数f(x)=x(lnx −a)，F(x)=x 3−x +m ，若f(x)在(e,f(e))处的切线斜率为1．(1)若f(x)<F(x)在(1,+∞)上恒成立，求m 的最小值M ； (2)当m =M ，x ∈(0,1]时，求证：f(x)>e x ⋅F(x)．22. 在平面直角坐标系xOy 中，直线l 1的参数方程为{x =12+tcosαy =12+tsinα，(t 为参数)，以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 1的极坐标方程为ρ=4cosθ，直线l 2的极坐标方程为θ=θ0(ρ∈R)．(1)设直线l 2与曲线C 1相交于不同的两点A ，B ，求AB 中点的轨迹C 2的方程； (2)设直线l 1与C 2相交于E ，F 两点，求弦长EF 的最小值．23. 已知函数f(x)=|x −3|+|2x −1|的最小值为M ；(1)求函数f(x)<4的解集；(2)若a >0，b >0，a +b =1，求证：4a +14b ≥M 2．答案和解析1.【答案】B【解析】解：∵A ={−2,−1,0，1，2，3}，B ={x|0<x <4}， ∴A ∩B ={1,2，3}． 故选：B ．可以求出集合B ，然后进行交集的运算即可．本题考查了列举法、描述法的定义，对数函数的单调性，交集的运算，考查了计算能力，属于基础题．2.【答案】B【解析】解：2−2i1+i =2(1−i)(1−i)(1+i)(1−i)=2(12−2i +i 2)12−i2 =2×(−2i)2=−2i ． 故选：B ．利用复数代数形式的运算法则，计算即可． 本题考查了复数代数形式的运算问题，是基础题．3.【答案】B【解析】解：根据题意，函数f(x)={2x −1,x ∈[0,1](x −b)2,x ∈(1,3)，则f(0)=20−1=0，f(52)=(52−b)2， 若f(52)=f(0)，则(52−b)2=0，解得b =52． 故选：B ．由函数的解析式，可得f(0)与f(52)的值，从而得到(52−b)2=0，然后求出b 的值． 本题考查分段函数的求值，关键是求出f(0)与f(52)的值，属于基础题．4.【答案】D【解析】解：A、B种果汁饮料添加剂指标集中在以4为茎的茎上，A种果汁饮料添加剂指标集中在以2为茎的茎上，A错误；B、A种果汁饮料添加剂指标的中位数为23.5，B种果汁饮料添加剂指标的中位数为31.5，B错误；C、A种果汁饮料添加剂指标数据比较集中，而B种果汁饮料添加剂指标数据比较分散，所以B种果汁饮料添加剂指标的方差要大一些，C错误：故D正确．故选：D．根据茎叶图中提供的数据，结合平均数，中位数，方差的计算方法进行判断．本题考查了茎叶图的应用问题，也考查了中位数与平均数的应用问题，是基础性题目．5.【答案】C【解析】解：根据题意，半圆柱挖去一个半圆锥，半圆柱的体积为12×2π=π，半圆锥的体积为13×π2×2=π3，所以该几何体的体积为π−π3=2π3．故选：C．判断几何体的形状，利用三视图的数据求解几何体的体积即可．本题考查三视图求解几何体的体积，判断几何体的形状是解题的关键，是中档题．6.【答案】C【解析】C【解析】∵b n+1−b n=2n+5，n∈N∗，则(b n+2−b n+1)−(b n+1−b n)=2，所以数列{b n+1−b n}是以7为首项，2为公差的等差数列，当n≥2时，b n=b1+(b2−b1)+(b3−b2)+⋯+(b n−b n−1)=6+7+9+⋯+(2n+3)=6+(7+2n+3)(n−1)2=n2+4n+1，所以b10=141．故选：C．由题中已知易发现{b n+1−b n}是一个等差数列，并且b n可以用新数列的前n项和进行表示，进而求解．本题考查新数列的构造及前n项和的应用，属于中档题．7.【答案】D【解析】解：当0<i<3时，log3i=0；3≤i<9时，log3i=1；9≤i<27时，log3i=2；i=27时，log3i=3，所以S=6×1+18×2+3=45．故选：D．模拟执行程序的运行过程，得出输出的结果是累加计算s的值．本题考查了程序框图的运行过程与累加求和问题，是基础题．8.【答案】C【解析】解：根据题意，函数f(x)为偶函数且满足f(x)=f(4−x)，则f(x+4)=f(4−x−4)=f(−x)= f(x)，则函数f(x)是周期为4的周期函数，当x∈[0,2]时，f(x)=x2+x，此时若f(x)>2，则有x2+x>2，解可得x>1或x<−2，则有1<x≤2，又由f(x)满足f(x)=f(4−x)，则函数f(x)的图象关于直线x=2对称，则区间[2,4]上，f(x)>2⇒2<x< 3，则在区间[0,4]上，f(x)>2⇒1<x<3，又由f(x)的周期为4，不等式f(x)>2的解集为(4k+1,4k+3)，k∈Z；故选：C．根据题意，分析可得f(x)是周期为4的周期函数，结合函数的解析式分析不等式f(x)>2的解集，结合函数的周期性，分析可得答案．本题考查函数的奇偶性与周期性的综合应用，注意分析函数的周期，属于基础题．9.【答案】B【解析】解：由题意，A(0,a)，设F′为双曲线的右焦点，则|PF|=2a+|PF′|，F(−√3,0)，F′(√3,0)．∴|PA|+|PF|=|PA|+2a+|PF′|=2a+(|PA|+|PF′|)≥2a+|AF′|=2a+√3+a2，三点P，A，F′共线时取等号．所以2a+√3+a2=4，解得a=1，故实轴长为2．故选：B．设F′为双曲线的右焦点，得到|PF|=2a+|PF′|，通过|PA|+|PF′|≥|AF′|=√3+a2，三点P，A，F′共线时取等号．求出a，即可．本题考查双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力．10.【答案】D【解析】解：由函数f(x)=msinx +ncosx =√m 2+n 2 sin(x +φ)，其中，tanφ=nm ， 在x =π4处取得最大值2√2， ∴√22(m +n)=√m 2+n 2，解得m =n =2，∴函数f(x)=2sinx +2cosx =2√2sin(x +π4).故把f(x)的图象向左平移ℎ(ℎ>0)个单位长度以后， 得到函数解析式为f(x)=2sinx +2cosx =2√2sin(x +ℎ+π4). 根据得到的图象与函数y =ksinx(k >0)的图象重合， ∴k =2√2，且ℎ+π4=2tπ，t ∈Z ， 求得k =2√2，ℎ=7π4，故k +ℎ的最小值为2√2+7π4，故选：D ．由题意利用正弦函数的图象和性质，求出m 、n 的值，可得f(x)的解析式，再利用函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律，求得k 和h 的值，可得k +ℎ的最小值．本题主要考查函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律，正弦函数的图象和性质，属于中档题．11.【答案】A【解析】解：由题意，得{1a +94b =1a 2−b 2=1，解得{a 2=4b 2=3，∴A(−2,0)，F 2(1,0)， ∴直线AP 的斜率k AP =321+2=12． 又AP ⊥F 2Q ，∴k AP ⋅k F 2Q =−1，即k F 2Q =−1k AP=−2，∴直线F 2Q 的方程y =−2(x −1)， 联立{y =−2(x −1)x =−2，得交点Q(−2,6)，∴P 、Q 两点连线的斜率k PQ =−32． ∴PQ 的直线方程为y −32=−32(x −1)， 令y =0，得x =2．故直线PQ 在x 轴上的截距为2， 故选：A ．由已知列关于a ，b 的方程组，求得a ，b 的值，得到A ，F 2的坐标，求得直线F 2Q 的方程，进一步求解Q 的坐标，得到PQ 的方程，则答案可求．本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查运算求解能力，是中档题．12.【答案】B【解析】解：因为f(x)=2x +ax 2的导数为f′(x)=2−2a x3=2(x3−a)x 3，当0<x <√a 3，f′(x)<0，f(x)递减；x >√a 3时，f′(x)>0，f(x)递增．可得f(√a 3)为最小值，且为3，即2√a 3+√a3=3，解得a =1，故①正确； 设切点A 为(m,2m +1m 2)，又因为f′(x)=2−2x 3，所以2−2m 3=1，解得m =√23，由切线方程y =x −1可得切点为(√23,√23−1)，代入f(x)=2x +1x 2不成立，所以直线l 不是曲线y =f(x)的切线，故②错误；又设直线l ：y =kx −1，则曲线y =f(x)与直线l 的交点个数等价为方程2x +1x 2=kx −1的根的个数． 由2x +1x 2=kx −1可得k =2+1x +1x 3， 令t =1x ，可得k =t 3+t +2，t ∈R ，t ≠0，设ℎ(t)=t 3+t +2，t ∈R ，ℎ′(t)=3t 2+1>0，所以ℎ(t)在R 上递增，且ℎ(t)∈R ， 而方程k =t 3+t +2，t ∈R ，t ≠0，所以当k =ℎ(0)=2时，k =t 3+t +2无实数根；当k ≠2时，k =t 3+t +2有且只有一个根． 故k =2时，曲线y =f(x)与直线l 没有交点；而当k ≠2时，曲线y =f(x)与直线l 有且只有一个交点．故③错误． 故选：B ．求得f(x)的导数，以及单调区间，可得最小值，解方程可得a ，可判断①；设切点A 为(m,2m +1m 2)，可得切线的斜率，解方程可得切点，可判断②；设直线l ：y =kx −1，运用函数与方程的关系，以及构造函数法，求得导数和单调性、值域，讨论可判断③．本题考查导数的运用：求切线的方程和单调性、最值，以及函数方程的关系，考查方程思想和运算能力，以及推理能力，属于中档题．13.【答案】√5【解析】解：根据题意，向量a ⃗ =(1,x)，b ⃗ =(1,x −1)，若(a ⃗ −2b ⃗ )⊥a ⃗ ，则(a ⃗ −2b ⃗ )⋅a ⃗ =a ⃗ 2−2a ⃗ ⋅b ⃗ =1+x 2−2(1+x 2−x)=0，解可得x =1，则(a ⃗ +b ⃗ )=(2,−1)，则|a ⃗ +b ⃗ |=√5； 故答案为：√5．根据题意，由向量垂直与数量积的关系可得(a ⃗ −2b ⃗ )⋅a ⃗ =a ⃗ 2−2a ⃗ ⋅b ⃗ =1+x 2−2(1+x 2−x)=0，解可得x 的值，即可得(a ⃗ +b ⃗ )的坐标，进而计算可得答案．本题考查向量数量积的坐标计算，涉及向量模的分析计算，属于基础题．14.【答案】70【解析】解：因为a 1=5，a 2=16，a 3=8，a 4=4，a 5=2，a 6=1，a 7=4， 所以从第4项开始，数列{a n }是周期为3的数列， 所以前20项和为5+16+8+7×5+4+2=70． 故答案为：70．按照规律，写出首项为5的数列{a n }的前几项，通过观察找出规律，即可求解．本题主要考查归纳推理的应用，找出数列的规律是解决本题的关键，考查学生的推理能力．15.【答案】56.04【解析】解：由题意得，x −=2+4+8+10+125=7.2，14.21+20.31+31.18+37.83+44.675=29.64，所以a =y −−b ̂x −=29.64−3×7.2=8.04．所以y 关于x 的回归方程为y ̂=3x +8.04．把x =16代入回归方程得y ̂=3×16+8.04=56.04，故预报值为56.04百万元． 故答案为：56.04．求出样本中心，代入回归直线方程，求出a ，代入x =16，得到预报值即可． 本题考查回归直线方程的求法与应用，考查转化思想以及计算能力，是基础题．16.【答案】2√25【解析】【分析】本题考查了棱柱和棱锥的体积公式，异面直线所成角的定义及求法，余弦定理，考查了计算能力，属于中档题．可设AM=x，根据题意即可得出2(x+2)34=512，解出x=12，然后过点M作MN//BE，交EF于点N，并连接CN，从而得出∠CMN为异面直线AF与CM所成角，然后在△CMN中，根据余弦定理即可求出cos∠CMN的值．【解答】解：设AM=x，因为V F−AMCD=13×12×(x+2)×2×2=2(x+2)3，V ADF−BCE=4，所以2(x+2)34=512，解得x=12，如图，过M作MN//BE，交EF于点N，连接CN，则∠CMN为异面直线AF与CM所成角，因为CM=CN=52，MN=2√2，解三角形可得：cos∠CMN=254+8−2542×52×2√2=2√25．故答案为：2√25．17.【答案】解：(1)设内角A，B，C的对边分别为a，b，c，∵(sinA+sinB)(sinA−sinB)=(sinC−sinB)sinC，可得(a+b)(a−b)=(c−b)c，化简可得，b2+c2−bc=a2，由余弦定理可得，cosA=b2+c2−a22bc =12，∵0<A<π，∴A=π3，∴sin2A =√32． (2)因为sinB +sinC =13√314，b sinB =c sinC =asinA =2R ，所以b +c =13√314⋅2R =13a 7．由10√3=12bcsinA ， ∴bc =40，因为b 2+c 2−bc =a 2， ∴(b +c)2−3bc =a 2， ∴(13a 7)2−120=a 2，∴a =7，所以△ABC 的周长为7+13=20．【解析】(1)利用正弦定理化简已知等式可得b 2+c 2−bc =a 2，由余弦定理可得cos A 的值，结合范围0<A <π，可求A ，进而可求sin2A 的值． (2)利用正弦定理化简已知等式可得b +c =13a 7，利用三角形的面积公式可求bc =40，结合余弦定理可求a 的值，即可得解三角形的周长．本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．18.【答案】解：(1)如图，连接AC 交BD 于点N ，连接MN ，因为平面PAC ∩平面BDM =MN ，PA//平BDM ，所以PA//MN ，所以PMMC =ANNC ． 又因为△BCN∽△DAN ， 所以ADBC =ANNC =2，故PM MC =2．(2)根据题意，取AD 的中点O ，连接PO ，因为△PAD 为等边三角形，所以PO ⊥AD ，PO =√3． 因为平面PAD ⊥底面ABCD ，且平面PAD ∩底面ABCD =AD ， 所以PO ⊥平面ABCD ．设△PAD 的重心为G ，则GO 平面ABCD ， AG =DG =PG =2√33．解等腰梯形ABCD，可得O为梯形ABCD外接圆的圆心，所以OD=OA=OB=OC=1，所以GD=GA=GB=GC=2√33，故G为四棱锥P−ABCD外接球球心，半径为2√33．【解析】(1)连接AC交BD于点N，连接MN，由已知线面平行转化线线平行，然后结合平行线分线段成比例即可求解；(2)根据题意，取AD的中点O，连接PO，由已知平面几何知识及线线垂直与线面垂直的相互转化关系可确定球心的位置，进而可求．本题主要考查了平行关系的相互转化，垂直的判断及性质的应用及三棱锥外接球半径的求解，属于中档试题．19.【答案】解：(1)设等级系数为7的搪瓷水杯为A，B，C，等级系数为8的搪瓷水杯为a，b，c，则从中抽取2件的基本事件为(A,B)，(A,C)，(A,a)，(A,b)，(A,c)，(B,C)，(B,a)，(B,b)，(B,c)，(C,a)，(C,b)，(C,c)，(a,b)，(a,c)，(b,c)，共15种；其中2件全部来自等级系数为8的搪瓷水杯的基本事件为(a,b)，(a,c)，(b,c)，共3种，所以P=315=15，(2)因为x B−=(4+6+7+8+9)÷5=6.8，所以B厂生产的搪瓷水杯的评分平均分为6.8，标准差为S=1.72，所以B厂生产的搪瓷水杯的评分标准差为1.72，因为x A−=(5+6+6.5+7+8)÷5=6.5，所以A厂生产的搪瓷水杯的评分平均分为6.5，S=1，所以A厂生产的搪瓷水杯的评分标准差为S=1，综上，B 厂生产的糖瓷水杯的评分的均值较高； A 厂生产的搪瓷水杯的评分的标准差较小，比较稳定．【解析】(1)设等级系数为7的搪瓷水杯为A ，B ，C ，等级系数为8的搪瓷水杯为a ，b ，c ，列出所有的基本事件以及满足条件的事件，求出概率即可； (2)分别求出A ，B 的平均数和标准差，判断即可．本题考查了列举法求概率问题，考查平均数以及标准差问题，是一道常规题．20.【答案】(1)解：根据题意，M(−12,0)为抛物线E 的准线与对称轴的交点，∴p 2=12，则p =1，∴抛物线E 的方程为y 2=2x ；(2)证明：设A(x 1,y 1)，B(x 1,−y 1)，D(x 2,y 2)， 设直线AD 的方程为y =k(x +12)，联立方程组{y =k(x +12)y 2=2x ，得k 2x 2+(k 2−2)x +k 24=0，∴x 1x 2=14且0<x 1<x 2，∴x 1<12<x 2．设BD 与x 轴的交点坐标为(n,0)(n >0)，直线BD 的方程为y =−y 1x 1−n(x −n)，与方程y 2=2x 联立，得y 12(x1−n)2x 2−(2y 12n (x 1−n)2+2)x +y 12n 2(x 1−n)2=0． 解得x 1x 2=n 2，∴n 2=14，即n =12． 故BD 经过抛物线E 的焦点．【解析】(1)由已知可得M 为抛物线E 的准线与对称轴的交点，从而求得p ，则抛物线方程可求； (2)分别设出A ，B ，D 的坐标，再设出AD 的方程，由抛物线方程联立，利用根与系数的关系可得A ，D 横坐标的乘积，设BD 的方程，与抛物线方程联立，再由根与系数的关系可得BD 与x 轴的交点的横坐标，则结论得证．本题考查抛物线方程的求法，考查抛物线的简单性质，考查直线与抛物线位置关系的应用，考查运算求解能力，是中档题．21.【答案】解：(1)由题意，f′(x)=lnx −a +1，∴f′(e)=lne −a +1=1，∴a =1，.………(1分)所以f(x)=x(lnx −1)，又f(x)<x 3−x +m ⇔m >xlnx −x 3， 令g(x)=xlnx −x 3，则ℎ(x)=g′(x)=1+lnx −3x 2，所以ℎ′(x)=1x−6x =1−6x 2x，.…………………………(3分)∵当x ∈(1,+∞)时，ℎ′(x)<0，∴ℎ(x)在(1,+∞)上是减函数， ∴ℎ(x)<ℎ(1)=−2<0，即g′(x)<0，∴g(x)在(1,+∞)上是减函数， ∴g(x)<g(1)=−1，∴m 的最小值M =−1.………………………………(5分) (2)由(1)知，函数f(x)=x(lnx −1)，x ∈(0,1)，则f′(x)=lnx ， 当x ∈(0,1)时，f′(x)<0.故函数f(x)在(0,1)上单调递减． 所以f(x)>f(1)=−1.……………………………………(6分) 设函数G(x)=e x ⋅F(x)=(x 3−x −1)e x ， 则G′(x)=(x 3+3x 2−x −2)e x ．设函数p(x)=x 3+3x 2−x −2，则p′(x)=3x 2+6x −1，p′(x)在(0,1)上单调递增．当x ∈(0,1)时，p′(0)⋅p′(1)=−8<0，故存在x 0∈(0,1)，使得p′(x 0)=0，.………………(8分) 从而函数p(x)在(0,x 0)上单调递减；在(x 0,1)上单调递增． 当x ∈(0,x 0)时，p(x 0)<p(0)=−2． 当x ∈(x 0,1)时，p(x 0)<0，p(1)>0，故存在x 1∈(0,1)，使得G′(x 1)=0，.………………………………(10分) 即当x ∈(0,x 1)时，G′(x)<0，当x ∈(x 1,1)时，G′(x)>0， 从而函数G(x)在(0,x 1)上单调递减；在(x 1,1)上单调递增． 因为G(0)=−1，G(1)=−e ， 故当x ∈(0,1)时，G(x)<G(0)=−1，所以f(x)>e x ⋅F(x).…………………………(12分)【解析】(1)根据切线斜率求出a 的值，问题转化为m >xlnx −x 3，令g(x)=xlnx −x 3，根据函数的单调性求出M 即可；(2)代入M 的值，根据函数的单调性分别求出f(x)的最小值和G(x)=e x ⋅F(x)的最大值，证明结论即可． 本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道综合题．22.【答案】解：(1)将{x =ρcosθy =ρsinθ代入方程ρ=4cosθ，得x 2+y 2−4x =0．设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，中点M(x 0,y 0)， 则直线l 2普通方程为y =kx(k =tanθ0)， ∴(1+k 2)x 2−4x =0， ∴x 1+x 2=11+k 2，∴x 0=x 1+x 22=21+k 2，y 0=2k1+k 2．消去k ，得C 2的方程为(x −1)2+y 2=1(x ≠0)． (2)根据题意，直线l 1过定点(12,12)，且在C 2的内部． (12+tsinα−1)2+(12+tsinα)2=1， 整理可得t 2+(sinα−cosα)t −12=0，所以|EF|=|t 1−t 2|=√(t 1+t 2)2−4t 1t 2=√3−sin2α≥√2． 当α=π4时等号成立， 故弦长|EF|的最小值为√2．【解析】(1)直接利用转换关系，把参数方程与普通方程，极坐标方程与直角坐标方程之间进行转换，再根据条件求出C 2的方程．(2)利用直线和曲线的位置关系，将问题转换为一元二次方程根和系数关系式，再求出结果．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．23.【答案】(1)解：①当x ≥3时，解x −3+2x −1<4，得x <83(无解)，②当12<x <3时，解3−x +2x −1<4，得12<x <2； ③当x ≤12时，解3−x +1−2x <4，得0<x ≤12； 综合①②③得：不等式f(x)<4的解集为(0,2)． (2)证明：由(1)知，当x =12，f(x)min =52=M ， 因为a >0，b >0，a +b =1， 则4a +14b =(a +b)(4a +14b )=4+14+4b a +a 4b ≥174+2√4b a ⋅a 4b =254=M 2，故4a +14b ≥M 2，当且仅当a =45，b =15时，等号成立．【解析】(1)去绝对值，分类讨论可求f(x)<4的解集．(2)由(1)可得f(x)min =52=M ，由a +b =1，可得4a +14b =(a +b)(4a +14b )，利用基本不等式可证得结论． 本题主要考查了绝对值不等式的解法，考查了分类讨论思想的应用，属于中档题．。
全国名校2020年高三5月大联考文科数学试题(新课标Ⅰ卷)(含答案解析)
C．[0，2]
2．已知复数
z
1 3
2i 4i
，
i
为虚数单位，则
|
z
|
A．
1 5
C．
1 2
3．已知 a ln 3.14,b log1 5, c 23.2 ，则
2
A． b a c
D．（0，2）
B． 5 5
D． 2 2
B． c a b
C． b c a
D． a b c
4．已知正项递增等比数列
A．
f
(x)
的最小正周期为
2
C．
f
(x)
的图象关于
x
7 24
对称
B．
f
(x)
的图象关于
( 2 9
, 0)
中心对称
D．
f
(x)
在
(0,
)
6
上单调递增
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
13．在平面直角坐标系 xOy 中，角 与角 均以 Ox 为始边，它们的终边关于 y 轴对称．若
20．（12 分）
已知椭圆
x2 a2
y2 b2
1(a
b 0) 的焦距为
4，离心率为
2． 2
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若椭圆的上顶点为
M
，过点
N
(
1 2
,
2)
作一直线
l
，交椭圆于异于点
M
的
A，B
两
点，设直线 MA ，MB 的斜率均存在，分别为 kMA , kMB ，试判断 kMA kMB 是否为定值？若是，
且 PB BC ．
（1）求证： BC PA ；
2020届山东新高考质量测评联盟5月联考试题数学试题及答案解析
13.函数 f(x)=asinx+2（a∈R）在点（0，f（0））处的切线方程为 y=-x+2,则 a=
.
11
14. 已知 a>1,b>0,且 + =1 ,则 a+b 的最小值是 .
1
2
15. 已知抛物线 y =4x 焦点为 F，过点 F 斜率为 3的直线 l 交该抛物线于点 A,B（点 A 在第
||
2
1
k
*
B.对于一切 x∈ − , +∞ ,都有 f（x）=2 f(x+2k)（k∈N ）
2
1
C.函数 y=f(x)-ln(x- )有 3 个零点
2
1
D.对任意 x>0,不等式 f(x)≤ 恒成立，则实数 A 的取值范围是［ , +∞）
2
三、 填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分，共 20 分.
.（本题第一空 2 分， 第二空 3 分）
四、 解答题:本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明 过程或演算步骤. 17. （10 分）已知数列{an}是等比数列，且 a1=1，其中 a1,a2,a3+1 成等差数列. (1) 数列{an}的通项公式；
多项符合题目要求.全部选对得 5 分,部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分・
9. 2019 年以来，世界经济和贸易增长放缓,中 美经贸摩擦影响持续显现，我国对外贸易仍然表现 出很强的韧性。今年以来，商务部会同各省市全面 贯彻落实稳外贸决策部署，出台了一系列政策举 措，全力营造法治化、国际化、便利化的营商环境， 不断提高贸易便利化水平，外贸稳规模、提质量、 转动力取得阶段性成效，进出口保持稳中提质的发 展势头，右图是某省近五年进出口情况统计图，下 列描述正确的是
2020年普通高等学校招生全国统一考试 数学(文)冲刺卷(五)(解析版)
得 PF1 (2a m, 3m 3a), PF2 (2a m, 3m 3a) ，
所以
PF1
PF2
4m2
6ma
a2
4(m
3 4
a)2
13 4
a2
．由于
m [a
，
0]
，
可知当
m
3 4
a
时，
PF1 PF2
取得最小值，此时
yP
3a 4，
当 m 0 时， PF1 PF2 取得最大值，此时 yP
（1）证明: BE / / 平面 PAD ； （2）平面 BDE 将四棱锥 P ABCD 分成多面体 PE ABD 和多面体 E BCD 两部分，求上述两个多面 体的体积比VPE ABD :VEBCD ．
1
EF / / CD/ /AB
【解析】（1）取 PD 中点 F ，连接 EF 、 AF ，依题意
.
【答案】①③④
【解析】∵ y ' 3x2 ，∴曲线 y x3 在点
an , an3
处的切线方程为
y
an3
3an2
x
an
，
则 an3 3an2
an1 an
.∵ an
0 ，∴ an1
2 3
an
，则
an
是首项为
1，公比为
2 3
的等比数列，从而
a2
2 3
，
a3
4 9
，
4 i 1
ai
B．8
C． 2 3
D． 4 3
【解析】由
e
c a
2
，得
c
2a,
b
3a ，故线段 MN 所在直线的方程为 y
金考卷5期数学试卷(文科)答案前4套
文科数学答案解析
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2020年高考文科数学检测卷含解析
黄金卷 备战2020高考全真模拟卷数学（文）（本试卷满分150分，考试用时120分钟）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。
用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡的相应位置上。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案。
答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷（选择题)一、单选题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．i 为虚数单位，复数(1)(3)i i -+=（ ） A ．3i -B ．42i -C ．2D ．42i +2．设全集{1,2,3,4,5,6}U =，集合{2,3,4}A =，{3,4,5}B =，则()U A B ⋂=ð（ ）． A ．{1,2}B ．{3,4}C ．{1,2,3,4}D ．{1,2,5,6}3．已知5log 2x =，2log y =123z -=，则下列关系正确的是（ ）A ．x z y <<B ．x y z <<C ．z x y <<D ．z y x <<4．2019年国庆黄金周影市火爆依旧，《我和我的祖国》、《中国机长》、《攀登者》票房不断刷新，为了解我校高三2300名学生的观影情况，随机调查了100名在校学生，其中看过《我和我的祖国》或《中国机长》的学生共有80位，看过《中国机长》的学生共有60位，看过《中国机长》且看过《我和我的祖国》的学生共有50位，则该校高三年级看过《我和我的祖国》的学生人数的估计值为( ) A ．1150B ．1380C ．1610D ．18605．下列曲线中离心率为2的是（ ）A ．22124x y -=B ．22142-=x yC ．22146x y -=D ．221410x y -=6．函数2sin 2xy x =-的图象大致是 A ． B ．C ．D ．7．记0cos(80)k -=，那么0tan100=（ ）A ．21k k- B ．21k k-- C ．21k-D ．21k --8．已知a r ， b r 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c r 满足()()0a c b c -⋅-=r r r r，则c r 的最大值是( )A ．1B ．2C ．D ．9．秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法.如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入n ，x 的值分别为3，2，则输出v 的值为A ．9B ．18C ．20D ．3510．双曲线221x y -=的顶点到其渐近线的距离等于（ ）A ．12B ．22C ．1D 211．已知ABC ∆的内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，且2222,b b c a bc =+-=，若BC 边上的中线7AD =ABC ∆的外接圆面积为（ ）A ．4πB ．7πC ．12πD ．16π12．已知1F ，2F 为椭圆2222:1,(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点，过原点O 且倾斜角为30︒的直线l 与椭圆C 的一个交点为A ，若12AF AF ⊥，122F AF S ∆=，则椭圆C 的方程是（ ）A ．22184x y +=B ．22182x y +=C ．22162x y +=D ．22164x y +=第Ⅱ卷（非选择题)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
开卷教育联盟全国2020届高三五模考试数学(文)试卷及解析
开卷教育联盟全国2020届高三五模考试数学（文）试卷★祝考试顺利★(解析版)时量：120分钟满分：150分1.答题前,考生务必将自己的姓名、考号等填写在答题卡相应的位置上.2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动用橡皮擦干净后,再涂选其他答案标号.回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效.3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}2|log (4)A x y x ==-,{}2|230B x x x =--≥,则()A B ⋂=R （ ）.A. (3,4)B. (,1)-∞-C. (,1)(3,4)-∞-⋃D. (1,3)[4,)-⋃+∞【答案】D【解析】 求解对数型函数定义域和一元二次不等式,解得,A B ,再通过交运算和补运算求得结果.【详解】由40x ->得4x <,所以{|4}A x x =<；由2230x x --≥得1x ≤-或3x ≥,所以{|1B x x =≤-或3}x ≥.所以{|1A B x x ⋂=≤-或34}x ≤<,则(){|13A B x x ⋂=-<<R 或4}(1,3)[4,)x ≥=-⋃+∞.故选：D.2.已知复数11i z =+,222z i =-,则12z z =（ ）.A. 12i B. 12i - C. 1122i + D. i【答案】A【解析】 利用复数的运算法则,整理化简即可求得结果. 【详解】因为121(1)(22)422(22)(22)82z i i i i i z i i i +++====--+, 故选：A.3.下列说法正确的是（ ）.A. 命题“若21x =,则1x =”的否命题是“若21x =,则1x ≠”B. “1x =-”是“2560x x --=”的必要不充分条件C. 命题“00x ∃<,20010x x ++<”的否定是“0x ∀≥,210x x ++≥”D. 命题“若x y =,则sin sin x y =”的逆否命题是真命题【答案】D【解析】根据否定题和逆否命题的定义,结合命题的否定以及命题充分性和必要性的判断,结合选项,进行逐一判断即可.【详解】命题“若21x =,则1x =”的否命题是“若21x ≠,则1x ≠”,故A 错误；方程2560x x --=的解是1x =-或6,所以“1x =-”是“2560x x --=”的充分不必要条件,故B 错误；命题“00x ∃<,20010x x ++<”的否定是“0x ∀<,210x x ++≥”,故C 错误；命题“若x y =,则sin sin x y =”是真命题,所以它的逆否命题是真命题,故D 正确.故选：D.4.函数3()e 1=+x x f x 的图象大致是（ ）。