2017西城高三期末数学理

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北京西城区高三上期末数学理科

北京西城区2018年高三(上)期末数学理科北京市西城区2017 — 2018学年度第一学期期末高三数学（理科）参考答案及评分标准2018.1一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 1．A 2．D 3．C4．D 5．D 6．C 7．B8．C二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9．(1,1)- 10．32n -，314 111312．813．3614．1[,)4-+∞；1[,1]2 注：第10，14题第一空2分，第二空3分.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 15．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为2π()2sin cos(2)3f x x x =-+ππ1cos2(cos2cos sin 2sin )33x x x =--⋅-⋅ [ 4分]332cos2122x x =-+[5分]π3sin(2)13x =-+，[ 7分]所以()f x 的最小正周期2ππ2T ==． [ 8分]（Ⅱ）因为 π02x ≤≤，所以ππ2π2333x --≤≤．[10分]当ππ232x -=，即5π12x =时，[11分]()f x 取得最大值为31．[13分]16．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）记事件A 为“从表1的日期中随机选出一天，这一天的升旗时刻早于7:00”，1分]在表1的20个日期中，有15个日期的升旗时刻早于7:00，所以153(A)204P ==．[ 3分]（Ⅱ）X可能的取值为0,1,2．[ 4分]记事件B 为“从表2的日期中随机选出一天，这一天的升旗时刻早于7:00”，则 51(B)153P ==，2(B)1(B)3P P =-=．[ 5分]4(0)(B)(B)9P X P P ==⋅=； 12114(1)C ()(1)339P X ==-=； 1(2)(B)(B)9P X P P ==⋅=．[ 8分] 所以 X 的分布列为： X 0 1 2P 49 49 194412()0129993E X =⨯+⨯+⨯=．[10分]注：学生得到X ~1(2,)3B ，所以12()233E X =⨯=，同样给分．（Ⅲ）22*ss <．[13分] 17．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）因为AB ⊥平面11AA C C，所以1A C AB⊥． [ 1分]因为三棱柱111ABC A B C -中，1AA AC =，所以四边形11AA C C为菱形，所以11A C AC ⊥．[ 3分] 所以1A C ⊥平面1ABC ．[ 4分]（Ⅱ）因为 11//A A B B ，1A A ⊄平面11BB C C ，所以 1//A A 平面11BB C C． [ 5分]因为平面1AA EF平面11BB C C EF=，所以1//A A EF． [ 6分]因为平面//ABC 平面111A B C ，平面1AA EF 平面ABC AF =，平面1AA EF 平面1111A B C A E =，所以1//A E AF．[ 7分]所以四边形1AA EF为平行四边形． [ 8分]（Ⅲ）在平面11AA C C 内，过A 作Az AC ⊥．因为 AB ⊥平面11AA C C ，如图建立空间直角坐标系A xyz-． [ 9分]由题意得，(0,0,0)A ，(2,0,0)B ，(0,2,0)C ，1(0,1,3)A ，1(0,3,3)C ．因为23BF BC =，所以244(,,0)333BF BC −−→−−→==-，所以 24(,,0)33F ．由（Ⅰ）得平面1ABC 的法向量为1(0,1,3)A C −−→=-．设平面1AC F 的法向量为(,,)x y z =n ，则10,0,AC AF −−→−−→⎧⋅=⎪⎨⎪⋅=⎩n n即330,240.33y z x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩ 令1y =，则2x =-，3z =-，所以(2,1,3)=--n ． [11分] 所以111||2|cos ,|||||A C A C A C −−→−−→−−→⋅〈〉==n n n ．[13分]由图知二面角1B AC F --的平面角是锐角，所以二面角1B AC F--的大小为45︒． [14分]18．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）当1a =时，()esin 1xf x x =⋅-，所以()e (sin cos )x f x x x '=+．[ 2分] 因为(0)1f '=，(0)1f =-，[ 4分]所以曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为1y x =-． [ 5分]（Ⅱ）()e (sin cos )ax f x a x x '=+．[ 6分]由()0f x '=，得sin cos 0a x x +=． [ 7分]因为 0a >，所以π()02f '≠． [ 8分]当 ππ(0,)(,π)22x ∈时，由 sin cos 0a x x +=，得 1tan x a=-．所以存在唯一的0π(,π)2x ∈，使得01tan x a=-． [ 9分]()f x 与()f x '在区间(0,π)上的情况如下：x0(0,)xx 0(,π)x()f x ' +-()f x↗极大值↘所以 ()f x 在区间0(0,)x 上单调递增，在区间0(,π)x 上单调递减． [11分] 因为π020π()()e 1e 102a f x f >=->-=，[12分]且 (0)(π)10f f ==-<，所以()f x 在区间[0,π]上恰有2个零点． [13分] 19．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由题意得2a =，3c e a ==，所以3c =． [ 2分]因为222a b c =+，[ 3分] 所以 1b =， [ 4分]所以椭圆C 的方程为2214x y +=． [ 5分]（Ⅱ）若四边形PAMN 是平行四边形，则 //PA MN ，且 ||||PA MN =.[ 6分]所以直线PA 的方程为(2)y k x =-，所以 (3,)P k ，2||1PA k + [ 7分]设11(,)M x y ，22(,)N x y ．由 223,44,y kx x y ⎧=⎪⎨+=⎪⎩ 得22(41)8380kx kx +++=，[ 8分]由0∆>，得 212k >．且1283k x x+=122841x x k =+． [ 9分] 所以 221212||(1)[()4]MN k x x x x ++-22226432(1)(41)k k k -=++．[10分]因为 ||||PA MN =，所以222226432(1)1(41)k k k k -+++整理得 421656330kk -+=，[12分]解得 3k =112k =． [13分]经检验均符合0∆>，但32k =时不满足PAMN 是平行四边形，舍去．所以3k ，或112k =． [14分]20．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）②③．[ 3分]注：只得到 ② 或只得到 ③ 给[ 1分]，有错解不给分．（Ⅱ）当3m =时，设数列nA 中1,2,3出现频数依次为123,,q q q ，由题意1(1,2,3)iq i =≥．① 假设14q <，则有12s ta aa a +<+（对任意2s t >>），与已知矛盾，所以 14q ≥．同理可证：34q ≥．[ 5分]② 假设21q =，则存在唯一的{1,2,,}k n ∈，使得2ka=．那么，对,s t ∀，有 112ks ta aa a +=+≠+（,,k s t 两两不相等），与已知矛盾，所以22q ≥． [ 7分]综上：1324,4,2q q q ≥≥≥，所以3120i i S iq ==∑≥．[ 8分]（Ⅲ）设1,2,,2018出现频数依次为122018,,...,q q q ．同（Ⅱ）的证明，可得120184,4q q≥≥，220172,2q q≥≥，则2026n ≥．取12018220174,2q q q q ====，1,3,4,5,,2016iq i == ，得到的数列为：:1,1,1,1,2,2,3,4,,2015,2016,2017,2017,2018,2018,2018,2018n B ． [10分]下面证明nB 满足题目要求．对,{1,2,,2026}i j ∀∈，不妨令ija a ≤，① 如果1ija a==或2018ija a==，由于120184,4q q==，所以符合条件；② 如果1,2ija a==或2017,2018ija a==，由于120184,4q q==，220172,2q q ==，所以也成立； ③ 如果1,2ija a=>，则可选取2,1st j aa a ==-；同样的，如果2017,2018ija a<=，则可选取1,2017si t aa a =+=，使得ijs ta aa a +=+，且,,,i j s t两两不相等； ④ 如果12018ija a<<≤，则可选取1,1si t j aa a a =-=+，注意到这种情况每个数最多被选取了一次，因此也成立．综上，对任意,i j ，总存在,s t ，使得ijs ta aa a +=+，其中,,,{1,2,,}i j s t n ∈且两两不相等．因此nB 满足题目要求，所以n 的最小值为2026． [13分]。

2017年北京市西城区高三二模数学（理）试题及答案

2017年北京市西城区⾼三⼆模数学（理）试题及答案西城区⾼三模拟测试⾼三数学（理科） 2017.5第Ⅰ卷（选择题共40分）⼀、选择题：本⼤题共8⼩题，每⼩题5分，共40分．在每⼩题列出的四个选项中，选出符合题⽬要求的⼀项．1．在复平⾯内，复数z 对应的点是(1,2)Z -，则复数z 的共轭复数z = （A ）12i + （B ）12i - （C ）2i + （D ）2i - 2．下列函数中，值域为[0,1]的是（A ）2y x =（B ）sin y x =（C ）211y x =+（D）y =3．在极坐标系中，圆sin ρθ=的圆⼼的极坐标．．．是（A ）(1,)2π（B ）(1,0)（C ）1(,)22π（D ）1(,0)24．在平⾯直⾓坐标系中，不等式组320,330,0x y x y y -??--≤≥≥表⽰的平⾯区域的⾯积是（A ）1（B ）32（C ）2（D ）525．设双曲线22221(0,0)y x a b a b-=>>的离⼼率是3，则其渐近线的⽅程为（A）0x ±= （B）0y ±= （C ）80x y ±= （D ）80x y ±=6．设a ，b 是平⾯上的两个单位向量，35=a b ．若m ∈R ，则||m +a b 的最⼩值是（A ）34（B ）43（C ）45（D ）547．函数()||f x x x =．若存在[1,)x ∈+∞，使得(2)0f x k k --<，则k 的取值范围是（A ）(2,)+∞ （B ）(1,)+∞ （C ）1(,)2+∞（D ）1(,)4+∞8．有三⽀股票A ，B ，C ，28位股民的持有情况如下：每位股民⾄少持有其中⼀⽀股票．在不持有A 股票的⼈中，持有B 股票的⼈数是持有C 股票的⼈数的2倍．在持有A 股票的⼈中，只持有A 股票的⼈数⽐除了持有A 股票外，同时还持有其它股票的⼈数多1．在只持有⼀⽀股票的⼈中，有⼀半持有A 股票．则只持有B 股票的股民⼈数是（A ）7 （B ）6 （C ）5 （D ）4第Ⅱ卷（⾮选择题共110分）⼆、填空题：本⼤题共6⼩题，每⼩题5分，共30分． 9．执⾏如图所⽰的程序框图,输出的S 值为____．10．已知等差数列{}n a 的公差为2，且124, , a a a 成等⽐数列，则1a =____；数列{}n a 的前n 项和n S =____．11．在ABC △中，⾓A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ．若π3A =，a =，1b =，则c = ____12．函数22, 0,()log , 0.x x f x x x ?=?>?≤ 则1()4f =____；⽅程1()2f x -=的解是____．13．⼤厦⼀层有A ，B ，C ，D 四部电梯，3⼈在⼀层乘坐电梯上楼，其中2⼈恰好乘坐同⼀部电梯，则不同的乘坐⽅式有____种．（⽤数字作答）14．在空间直⾓坐标系O xyz -中，四⾯体A BCD -在,,xOy yOz zOx 坐标平⾯上的⼀组正投影图形如图所⽰（坐标轴⽤细三、解答题：本⼤题共6⼩题，共80分．解答应写出必要的⽂字说明、证明过程或演算步骤．15．（本⼩题满分13分）已知函数π()tan()4f x x =+．（Ⅰ）求()f x 的定义域；（Ⅱ）设(0,π)β∈，且π()2cos()4f ββ=-，求β的值． 16．（本⼩题满分14分）如图，在⼏何体ABCDEF 中，底⾯ABCD 为矩形，//EF CD ， AD FC ⊥．点M 在棱FC 上，平⾯ADM 与棱FB 交于点N ．（Ⅰ）求证：//AD MN ；（Ⅱ）求证：平⾯ADMN ⊥平⾯CDEF ；（Ⅲ）若CD EA ⊥，EF ED =，2CD EF =，平⾯AD E 平⾯BCF l =，求⼆⾯⾓A l B --的⼤⼩．17．（本⼩题满分13分）某⼤学为调研学⽣在A ，B 两家餐厅⽤餐的满意度，从在A ，B 两家餐厅都⽤过餐的学⽣中随机抽取了100⼈，每⼈分别对这两家餐厅进⾏评分，满分均为60分．整理评分数据，将分数以10为组距分成6组：[0,10)，[10,20)，[20,30)，[30,40)，[40,50)，[50,60]，得到A 餐厅分数的频率分布直⽅图，和B 餐厅分数的频数分布表：0的⼈数；（Ⅱ）从该校在A ，B 两家餐厅都⽤过餐的学⽣中随机抽取1⼈进⾏调查，试估计其对A 餐厅评价的“满意度指数”⽐对B 餐厅评价的“满意度指数”⾼的概率；（Ⅲ）如果从A ，B 两家餐厅中选择⼀家⽤餐，你会选择哪⼀家？说明理由． 18．（本⼩题满分14分）在平⾯直⾓坐标系xOy 中，抛物线C 的顶点是原点，以x 轴为对称轴，且经过点(1,2)P ．（Ⅰ）求抛物线C 的⽅程；（Ⅱ）设点,A B 在抛物线C 上，直线,PA PB 分别与y 轴交于点,M N ，||||PM PN =．求直线AB 的斜率．19．（本⼩题满分13分）已知函数21()()e x f x x ax a -=+-?，其中a ∈R ．（Ⅰ）求函数()f x '的零点个数；（Ⅱ）证明：0a ≥是函数()f x 存在最⼩值的充分⽽不必要条件．20．（本⼩题满分13分）设集合*2{1,2,3,,2}(,2)n A n n n =∈N ≥．如果对于2n A 的每⼀个含有(4)m m ≥个元素的⼦集P ，P 中必有4个元素的和等于41n +，称正整数m 为集合2n A 的⼀个“相关数”．（Ⅰ）当3n =时，判断5和6是否为集合6A 的“相关数”，说明理由；（Ⅱ）若m 为集合2n A 的“相关数”，证明：30m n --≥；（Ⅲ）给定正整数n ．求集合2n A 的“相关数”m 的最⼩值．西城区⾼三模拟测试⾼三数学（理科）参考答案及评分标准2017.5⼀、选择题：本⼤题共8⼩题，每⼩题5分，共40分. 1．A 2．D 3．C 4．B 5．A 6．C 7．D 8．A ⼆、填空题：本⼤题共6⼩题，每⼩题5分，共30分. 注：第10，12题第⼀空2分，第⼆空3分.9．7 10．2，2n n + 11．2 12．2-；1 13．36 14．43三、解答题：本⼤题共6⼩题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 15．（本⼩题满分13分）解：（Ⅰ）由πππ42x k +≠+，得ππ4x k ≠+，k ∈Z ． [ 3分] 所以函数()f x 的定义域是π{|π,}4x x k k ≠+∈Z ． [ 4分]（Ⅱ）依题意，得ππtan()2cos()44ββ+=-． [ 5分] 所以πsin()π42sin()π4cos()4βββ+=++， [ 7分] 整理得ππsin()[2cos()1]044ββ+?+-=， [ 8分] 所以πsin()04β+=，或π1cos()42β+=． [10分]因为 (0,π)β∈，所以ππ5π(,)444β+∈， [11分] 由πsin()04β+=，得ππ4β+=，3π4β=； [12分]由π1cos()42β+=，得ππ43β+=，π12β=．所以π12β=，或3π4β=． [13分]16．（本⼩题满分14分）解：（Ⅰ）因为ABCD 为矩形，所以//AD BC ，[ 1分] 所以//AD 平⾯FBC ．[ 3分] ⼜因为平⾯ADMN 平⾯FBC MN =，所以 //AD MN ． [ 4分]（Ⅱ）因为ABCD 为矩形，所以AD CD ⊥．[ 5分] 因为AD FC ⊥，[ 6分] 所以AD ⊥平⾯CDEF ．[ 7分] 所以平⾯ADMN ⊥平⾯CDEF ． [ 8分]（Ⅲ）因为 EA CD ⊥，AD CD ⊥，所以CD ⊥平⾯ADE ，所以CD DE ⊥．由（Ⅱ）得AD ⊥平⾯CDEF ，所以AD DE ⊥．所以DA ，DC ，DE 两两互相垂直．[ 9分]建⽴空间直⾓坐标系D xyz -． [10分]不妨设 1EF ED ==，则2CD =，设(0)A D a a =>．由题意得，(,0,0)A a ，(,2,0)B a ，(0,2,0)C ，(0,0,0)D ，(0,0,1)E ，(0,1,1)F ．所以 (,0,0)CB a ??→=，(0,1,1)CF ??→=-．设平⾯FBC 的法向量为 (,,)x y z =n ，则0,0,CB CF ??→??→=?=?n n即0,0.ax y z =??-+=?令1z =，则1y =．所以 (0,1,1)=n ．[12分] ⼜平⾯ADE 的法向量为 (0,2,0)DC ??→=，所以||cos ,|2||||DC DC DC ??→→→==|n n n A l B --的平⾯⾓是锐⾓，所以⼆⾯⾓A l B --的⼤⼩45 ． [14分] 17．（本⼩题满分13分）解：（Ⅰ）由对A 餐厅评分的频率分布直⽅图，得对A 餐厅“满意度指数”为0的频率为 (0.0030.0050.012)100.2++?=， [ 2分] 所以，对A 餐厅评价“满意度指数”为0的⼈数为 1000.220?=．[ 3分] （Ⅱ）设“对A 餐厅评价‘满意度指数’⽐对B 餐厅评价‘满意度指数’⾼”为事件C ．记“对A 餐厅评价‘满意度指数’为 1”为事件1A ；“对A 餐厅评价‘满意度指数’为2”为事件2A ；“对B 餐厅评价‘满意度指数’为0”为事件0B；“对B 餐厅评价‘满意度指数’为1”为事件1B ．所以 1(A )(0.020.02)100.4P =+?=，2(A )0.4P =，[ 5分] 由⽤频率估计概率得：0235(B )0.1100P ++==，11540(B )0.55100P +==．[ 7分]因为事件 A i 与B j 相互独⽴，其中1,2i =，0,1j =．所以102021102021(C)(A B A B A B )(A )(B )(A )(B )(A )(B )0.40.10.40.10.40.550.3P P P P P P P P =++=++=?+?+?=．[10分] 所以该学⽣对A 餐厅评价的“满意度指数”⽐对B 餐厅评价的“满意度指数”⾼的概率为0.3．（Ⅲ）如果从学⽣对A ，B 两家餐厅评价的“满意度指数”的期望⾓度看：AB因为()00.210.420.4 1.2E X =?+?+?=；()00.110.5520.35 1.25E Y =?+?+?=，所以()()E X E Y <，会选择B 餐厅⽤餐． [13分]注：本题答案不唯⼀．只要考⽣⾔之合理即可． 18．（本⼩题满分14分）解：（Ⅰ）依题意，设抛物线C 的⽅程为2(0)y ax a =≠．[ 1分] 由抛物线C 且经过点(1,2)P ，得4a =，[ 3分] 所以抛物线C 的⽅程为24y x =． [ 4分]（Ⅱ）因为||||PM PN =，所以PMN PNM ∠=∠，所以12∠=∠，所以直线PA 与PB 的倾斜⾓互补，所以0k k +=.[6分] 依题意，直线AP 的斜率存在，设直线AP 的⽅程为：2(1)(0)y k x k -=-≠，将其代⼊抛物线C 的⽅程，整理得22222(22)440k x k k x k k --++-+=．[8分] 设11(,)A x y ，则212441k k x k-+?=， 114(1)22y k x k =-+=-，[10分] 所以 22(2)4(,2)k A k k--． [11分]以k -替换点A 坐标中的k ，得 22(2)4(,2)k B k k+--．[12分]所以222244()1(2)(2)AB k k k k k k k --==--+-．所以直线AB 的斜率为1-． [14分] 19．（本⼩题满分13分）解：（Ⅰ）由 21()()e x f x x ax a -=+-?，得121()(2)e ()e x x f x x a x ax a --'=+?-+-?21[(2)2]e x x a x a -=-+--?1()(2)e x x a x -=-+-?． [ 2分] 令 ()0f x '=，得2x =，或x a =-．所以当2a =-时，函数()f x '有且只有⼀个零点：2x =；当2a ≠-时，函数()f x ' 有两个相异的零点：2x =，x a =-． [ 4分]（Ⅱ）①当2a =-时，()0f x '≤恒成⽴，此时函数()f x 在(,)-∞+∞上单调递减，所以，函数()f x ⽆极值． [ 5分] ②当2a >-时，()f x '，()f x 的变化情况如下表：所以，0a ≥时，()f x 的极⼩值为1()e a f a a +-=-?≤0． [ 7分] ⼜ 2x >时，222240x ax a a a a +->+-=+>，所以，当2x >时，21()()e 0x f x x ax a -=+-?>恒成⽴．[ 8分] 所以，1()e a f a a +-=-?为()f x 的最⼩值．[ 9分] 故0a ≥是函数()f x 存在最⼩值的充分条件．[10分] ③当5a =-时，()f x '，()f x 的变化情况如下表：因为当5x >时，21()(55)e 0x f x x x -=-+?>，⼜ 1(2)e 0f -=-<，所以，当5a =-时，函数()f x 也存在最⼩值．[12分] 所以，0a ≥不是函数()f x 存在最⼩值的必要条件．综上，0a ≥是函数()f x 存在最⼩值的充分⽽不必要条件． [13分] 20．（本⼩题满分13分）解：（Ⅰ）当3n =时，6{1,2,3,4,5,6}A =，4113n +=． [ 1分] ①对于6A 的含有5个元素的⼦集{2,3,4,5,6}，因为234513+++>，所以 5不是集合6A 的“相关数”．[ 2分] ② 6A 的含有6个元素的⼦集只有{1,2,3,4,5,6}，因为 134513+++=，所以6是集合6A 的“相关数”． [ 3分] （Ⅱ）考察集合2n A 的含有2n +个元素的⼦集{1,,1,,2}B n n n n =-+ ．[4分]B 中任意4个元素之和⼀定不⼩于 (1)(1)(2)42n n n n n -+++++=+．所以2n +⼀定不是集合2n A 的“相关数”．[6分] 所以当2m n +≤时，m ⼀定不是集合2n A 的“相关数”．[7分] 因此若m 为集合2n A 的“相关数”，必有3m n +≥．即若m 为集合2n A 的“相关数”，必有 30m n --≥．[ 8分]（Ⅲ）由（Ⅱ）得 3m n +≥．先将集合2n A 的元素分成如下n 组：(,21)(1)i i n C i n i =+-≤≤．对2n A 的任意⼀个含有3n +个元素的⼦集P ，必有三组123,,i i i C C C 同属于集合P ． [10分] 再将集合2n A 的元素剔除n 和2n 后，分成如下1n -组：1(,2)(1)j j n D j n j -=-≤≤．对于2n A 的任意⼀个含有3n +个元素的⼦集P ，必有⼀组4j D 属于集合P ．[11分]这⼀组4j D 与上述三组123,,i i i C C C 中⾄少⼀组⽆相同元素，不妨设4j D 与1i C ⽆相同元素．此时这4个元素之和为1144[(21)[(2)]41i n i j n j n ++-++-=+．[12分] 所以集合2n A 的“相关数”m 的最⼩值为3n +． [13分]。

[精品]2017年北京市西城区高考数学二模试卷及解析答案word版(理科)

2017年北京市西城区高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）在复平面内，复数z对应的点是Z（1，﹣2），则复数z的共轭复数=（）A．1+2i B．1﹣2i C．2+i D．2﹣i2．（5分）下列函数中，值域为[0，1]的是（）A．y=x2 B．y=sinx C．D．3．（5分）在极坐标系中，圆ρ=sinθ的圆心的极坐标是（）A．B．（1，0） C．D．4．（5分）在平面直角坐标系中，不等式组表示的平面区域的面积是（）A．1 B．C．2 D．5．（5分）设双曲线=1（a＞0，b＞0）的离心率是3，则其渐近线的方程为（）A．B．C．x±8y=0 D．8x±y=06．（5分）设，是平面上的两个单位向量，•=．若m∈R，则|+m|的最小值是（）A．B．C．D．7．（5分）函数f（x）=x|x|．若存在x∈[1，+∞），使得f（x﹣2k）﹣k＜0，则k的取值范围是（）A．（2，+∞）B．（1，+∞）C．（，+∞）D．（，+∞）8．（5分）有三支股票A，B，C，28位股民的持有情况如下：每位股民至少持有其中一支股票．在不持有A股票的人中，持有B股票的人数是持有C股票的人数的2倍．在持有A股票的人中，只持有A股票的人数比除了持有A股票外，同时还持有其它股票的人数多1．在只持有一支股票的人中，有一半持有A股票．则只持有B股票的股民人数是（）A．7 B．6 C．5 D．4二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的S值为．10．（5分）已知等差数列{a n}的公差为2，且a1，a2，a4成等比数列，则a1=；数列{a n}的前n项和S n=．11．（5分）在△ABC中，角A、B、C的对边边长分别是a、b、c，若，，b=1，则c的值为．12．（5分）函数f（x）=则=；方程f（﹣x）=的解是．13．（5分）大厦一层有A，B，C，D四部电梯，3人在一层乘坐电梯上楼，其中2人恰好乘坐同一部电梯，则不同的乘坐方式有种．（用数字作答）14．（5分）在空间直角坐标系O﹣xyz中，四面体A﹣BCD在xOy，yOz，zOx坐标平面上的一组正投影图形如图所示（坐标轴用细虚线表示）．该四面体的体积是．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）已知函数．（Ⅰ）求f（x）的定义域；（Ⅱ）设β∈（0，π），且，求β的值．16．（14分）如图，在几何体ABCDEF中，底面ABCD为矩形，EF∥CD，AD⊥FC．点M在棱FC上，平面ADM与棱FB交于点N．（Ⅰ）求证：AD∥MN；（Ⅱ）求证：平面ADMN⊥平面CDEF；（Ⅲ）若CD⊥EA，EF=ED，CD=2EF，平面ADE∩平面BCF=l，求二面角A﹣l﹣B 的大小．17．（13分）某大学为调研学生在A，B两家餐厅用餐的满意度，从在A，B两家餐厅都用过餐的学生中随机抽取了100人，每人分别对这两家餐厅进行评分，满分均为60分．整理评分数据，将分数以10为组距分成6组：[0，10），[10，20），[20，30），[30，40），[40，50），[50，60]，得到A餐厅分数的频率分布直方图，和B餐厅分数的频数分布表：定义学生对餐厅评价的“满意度指数”如下：（Ⅰ）在抽样的100人中，求对A餐厅评价“满意度指数”为0的人数；（Ⅱ）从该校在A，B两家餐厅都用过餐的学生中随机抽取1人进行调查，试估计其对A餐厅评价的“满意度指数”比对B餐厅评价的“满意度指数”高的概率；（Ⅲ）如果从A，B两家餐厅中选择一家用餐，你会选择哪一家？说明理由．18．（14分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线C的顶点是原点，以x轴为对称轴，且经过点P（1，2）．（Ⅰ）求抛物线C的方程；（Ⅱ）设点A，B在抛物线C上，直线PA，PB分别与y轴交于点M，N，|PM|=|PN|．求直线AB的斜率．19．（13分）已知函数f（x）=（x2+ax﹣a）•e1﹣x，其中a∈R．（Ⅰ）求函数f'（x）的零点个数；（Ⅱ）证明：a≥0是函数f（x）存在最小值的充分而不必要条件．20．（13分）设集合A2n={1，2，3，…，2n}（n∈N*，n≥2）．如果对于A2n的每一个含有m（m≥4）个元素的子集P，P中必有4个元素的和等于4n+1，称正整数m为集合A 2n的一个“相关数”．（Ⅰ）当n=3时，判断5和6是否为集合A6的“相关数”，说明理由；（Ⅱ）若m为集合A2n的“相关数”，证明：m﹣n﹣3≥0；（Ⅲ）给定正整数n．求集合A2n的“相关数”m的最小值．2017年北京市西城区高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）在复平面内，复数z对应的点是Z（1，﹣2），则复数z的共轭复数=（）A．1+2i B．1﹣2i C．2+i D．2﹣i【解答】解：由复数z对应的点是Z（1，﹣2），得z=1﹣2i．则复数z的共轭复数=1+2i．故选：A．2．（5分）下列函数中，值域为[0，1]的是（）A．y=x2 B．y=sinx C．D．【解答】解：y=x2的值域为[0，+∞），y=sinx的值域为[﹣1，1]，y=值域为[（0，1]，y=的值域为[0，1]，故选：D．3．（5分）在极坐标系中，圆ρ=sinθ的圆心的极坐标是（）A．B．（1，0） C．D．【解答】解：圆ρ=sinθ即ρ2=ρsinθ，化为直角坐标方程：x2+y2=y，配方为：x2+=．可得圆心C，可得圆心的极坐标是．故选：C．4．（5分）在平面直角坐标系中，不等式组表示的平面区域的面积是（）A．1 B．C．2 D．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得B（2，3），∴平面区域的面积S=．故选：B．5．（5分）设双曲线=1（a＞0，b＞0）的离心率是3，则其渐近线的方程为（）A．B．C．x±8y=0 D．8x±y=0【解答】解：双曲线=1（a＞0，b＞0）的离心率是3，可得，则=．双曲线=1（a＞0，b＞0）的离心率是3，则其渐近线的方程为：x．故选：A．6．（5分）设，是平面上的两个单位向量，•=．若m∈R，则|+m|的最小值是（）A．B．C．D．【解答】解：设，是平面上的两个单位向量，则||=1，||=1，∵•=，∴|+m|2=||2+m2||2+2m•=1+m2+m=（m+）2+，当m=﹣时，|+m|2有最小值，∴|+m|的最小值是，故选：C．7．（5分）函数f（x）=x|x|．若存在x∈[1，+∞），使得f（x﹣2k）﹣k＜0，则k的取值范围是（）A．（2，+∞）B．（1，+∞）C．（，+∞）D．（，+∞）【解答】解：根据题意，x∈[1，+∞）时，x﹣2k∈[1﹣2k，+∞）；①当1﹣2k≤0时，解得k≥；存在x∈[1，+∞），使得f（x﹣2k）﹣k＜0，即只要f（1﹣2k）﹣k＜0即可；∵1﹣2k≤0，∴f（1﹣2k）=﹣（1﹣2k）2，∴﹣（1﹣2k）2﹣k＜0，整理得﹣1+4k﹣4k2﹣k＜0，即4k2﹣3k+1＞0；∵△=（﹣3）2﹣16=﹣7＜0，∴不等式对一切实数都成立，∴k≥；②当1﹣2k＞0时，解得k＜；存在x∈[1，+∞），使得f（x﹣2k）﹣k＜0，即只要f（1﹣2k）﹣k＜0即可；∵1﹣2k＞0，∴f（1﹣2k）=（1﹣2k）2，∴（1﹣2k）2﹣k＜0，整理得4k2﹣5k+1＜0，解得＜k＜1；又∵k＜，∴＜k＜；综上，k∈（，）∪[，+∞）=（+∞）；∴k的取值范围是k∈（，+∞）．故选：D．8．（5分）有三支股票A，B，C，28位股民的持有情况如下：每位股民至少持有其中一支股票．在不持有A股票的人中，持有B股票的人数是持有C股票的人数的2倍．在持有A股票的人中，只持有A股票的人数比除了持有A股票外，同时还持有其它股票的人数多1．在只持有一支股票的人中，有一半持有A股票．则只持有B股票的股民人数是（）A．7 B．6 C．5 D．4【解答】解：由题意作出文氏图，如下：其中m+n+p=7．∴只持有B股票的股民人数是7人．故选：A．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的S值为10．【解答】解：由已知可得该程序的功能是计算并输出S=﹣12+22﹣32+42的值∵S=﹣12+22﹣32+42=10故答案为：1010．（5分）已知等差数列{a n}的公差为2，且a1，a2，a4成等比数列，则a1=2；数列{a n}的前n项和S n=n2+n．【解答】解：∵数列{a n}是公差为2的等差数列，且a1，a2，a4成等比数列，∴a1，a1+2，a1+6成等比数列，∴（a1+2）2=a1（a1+6），解得a1=2，数列{a n}的前n项和S n=2n+=n2+n．故答案为：2；n2+n．11．（5分）在△ABC中，角A、B、C的对边边长分别是a、b、c，若，，b=1，则c的值为2．【解答】解：∵，∴，∴，∵a＞b，所以A＞B．角A、B、C是△ABC中的内角．∴，∴，∴．故答案为：2．12．（5分）函数f（x）=则=﹣2；方程f（﹣x）=的解是﹣或1．【解答】解：f（）=log2=﹣2，由方程f（﹣x）=，得或，解得：x=1或x=﹣，故答案为：﹣2；﹣或1．13．（5分）大厦一层有A，B，C，D四部电梯，3人在一层乘坐电梯上楼，其中2人恰好乘坐同一部电梯，则不同的乘坐方式有36种．（用数字作答）【解答】解：根据题意，分2步进行分析：先将3人分成2组，有C32=3种分组方法，再在A，B，C，D四部电梯中任选2部，安排2组人乘坐，有C42A22=12种情况，则3人不同的乘坐方式有3×12=36种；故答案为：36．14．（5分）在空间直角坐标系O﹣xyz中，四面体A﹣BCD在xOy，yOz，zOx坐标平面上的一组正投影图形如图所示（坐标轴用细虚线表示）．该四面体的体积是．【解答】解：由三视图可知几何体为三棱锥，==2，高h=2，该三棱锥的底面积S底∴V==．故答案为：．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）已知函数．（Ⅰ）求f（x）的定义域；（Ⅱ）设β∈（0，π），且，求β的值．【解答】解：（Ⅰ）由，得，k∈Z．[（3分）]所以函数f（x）的定义域是．[（4分）]（Ⅱ）依题意，得．[（5分）]所以，[（7分）]整理得，[（8分）]所以，或．[（10分）]因为β∈（0，π），所以，[（11分）]由，得，；[（12分）]由，得，．所以，或．[（13分）]16．（14分）如图，在几何体ABCDEF中，底面ABCD为矩形，EF∥CD，AD⊥FC．点M在棱FC上，平面ADM与棱FB交于点N．（Ⅰ）求证：AD∥MN；（Ⅱ）求证：平面ADMN⊥平面CDEF；（Ⅲ）若CD⊥EA，EF=ED，CD=2EF，平面ADE∩平面BCF=l，求二面角A﹣l﹣B 的大小．【解答】（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：因为ABCD为矩形，所以AD∥BC，[（1分）]所以AD∥平面FBC．[（3分）]又因为平面ADMN∩平面FBC=MN，所以AD∥MN．[（4分）]（Ⅱ）证明：因为ABCD为矩形，所以AD⊥CD．[（5分）]因为AD⊥FC，[（6分）]所以AD⊥平面CDEF．[（7分）]所以平面ADMN⊥平面CDEF．[（8分）]（Ⅲ）解：因为EA⊥CD，AD⊥CD，所以CD⊥平面ADE，所以CD⊥DE．由（Ⅱ）得AD⊥平面CDEF，所以AD⊥DE．所以DA，DC，DE两两互相垂直．[（9分）]建立空间直角坐标系D﹣xyz．[（10分）]不妨设EF=ED=1，则CD=2，设AD=a（a＞0）．由题意得，A（a，0，0），B（a，2，0），C（0，2，0），D（0，0，0），E（0，0，1），F（0，1，1）．所以=（a，0，0），=（0，﹣1，1）．设平面FBC的法向量为=（x，y，z），则即令z=1，则y=1．所以=（0，1，1）．[（12分）]又平面ADE的法向量为=（0，2，0），所以==．因为二面角A﹣l﹣B的平面角是锐角，所以二面角A﹣l﹣B的大小45°．[（14分）]17．（13分）某大学为调研学生在A，B两家餐厅用餐的满意度，从在A，B两家餐厅都用过餐的学生中随机抽取了100人，每人分别对这两家餐厅进行评分，满分均为60分．整理评分数据，将分数以10为组距分成6组：[0，10），[10，20），[20，30），[30，40），[40，50），[50，60]，得到A餐厅分数的频率分布直方图，和B餐厅分数的频数分布表：定义学生对餐厅评价的“满意度指数”如下：（Ⅰ）在抽样的100人中，求对A餐厅评价“满意度指数”为0的人数；（Ⅱ）从该校在A，B两家餐厅都用过餐的学生中随机抽取1人进行调查，试估计其对A餐厅评价的“满意度指数”比对B餐厅评价的“满意度指数”高的概率；（Ⅲ）如果从A，B两家餐厅中选择一家用餐，你会选择哪一家？说明理由．【解答】（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由对A餐厅评分的频率分布直方图，得对A餐厅“满意度指数”为0的频率为（0.003+0.005+0.012）×10=0.2，[（2分）]所以，对A餐厅评价“满意度指数”为0的人数为100×0.2=20．[（3分）]（Ⅱ）设“对A餐厅评价‘满意度指数’比对B餐厅评价‘满意度指数’高”为事件C．记“对A餐厅评价‘满意度指数’为1”为事件A1；“对A餐厅评价‘满意度指数’为2”为事件A2；“对B餐厅评价‘满意度指数’为0”为事件B0；“对B餐厅评价‘满意度指数’为1”为事件B1．所以P（A1）=（0.02+0.02）×10=0.4，P（A2）=0.4，[（5分）]由用频率估计概率得：，．[（7分）]因为事件A i与B j相互独立，其中i=1，2，j=0，1．所以P（C）=P（A1B0+A2B0+A2B1）=0.4×0.1+0.4×0.1+0.4×0.55=0.3．[（10分）]所以该学生对A餐厅评价的“满意度指数”比对B餐厅评价的“满意度指数”高的概率为0.3．（Ⅲ）如果从学生对A，B两家餐厅评价的“满意度指数”的期望角度看：A餐厅“满意度指数”X的分布列为：B餐厅“满意度指数”Y的分布列为：因为EX=0×0.2+1×0.4+2×0.4=1.2；EY=0×0.1+1×0.55+2×0.35=1.25，所以EX＜EY，会选择B餐厅用餐．[（13分）]注：本题答案不唯一．只要考生言之合理即可．18．（14分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线C的顶点是原点，以x轴为对称轴，且经过点P（1，2）．（Ⅰ）求抛物线C的方程；（Ⅱ）设点A，B在抛物线C上，直线PA，PB分别与y轴交于点M，N，|PM|=|PN|．求直线AB的斜率．【解答】解：（Ⅰ）依题意，设抛物线C的方程为y2=ax（a≠0）．[（1分）]由抛物线C经过点P（1，2），得a=4，[（3分）]所以抛物线C的方程为y2=4x．[（4分）]（Ⅱ）因为|PM|=|PN|，所以∠PMN=∠PNM，所以∠1=∠2，所以直线PA与PB的倾斜角互补，所以k PA+k PB=0．[（6分）]依题意，直线AP的斜率存在，设直线AP的方程为：y﹣2=k（x﹣1）（k≠0），将其代入抛物线C的方程，整理得k2x2﹣2（k2﹣2k+2）x+k2﹣4k+4=0．[（8分）]设A（x1，y1），则x1=，y1=﹣2，[（10分）]所以A（，﹣2）．[（11分）]以﹣k替换点A坐标中的k，得B（，﹣﹣2．[（12分）]所以k AB==﹣1，所以直线AB的斜率为﹣1．[（14分）]19．（13分）已知函数f（x）=（x2+ax﹣a）•e1﹣x，其中a∈R．（Ⅰ）求函数f'（x）的零点个数；（Ⅱ）证明：a≥0是函数f（x）存在最小值的充分而不必要条件．【解答】解：（Ⅰ）由f（x）=（x2+ax﹣a）•e1﹣x，得f′（x）=（2x+a）e1﹣x﹣（x2+ax﹣a）•e1﹣x=﹣[x2+（a﹣2）x﹣2a]•e1﹣x=﹣（x+a）（x﹣2）•e1﹣x，令f′（x）=0，得x=2，或x=﹣a．所以当a=﹣2时，函数f′（x）有且只有一个零点：x=2；当a≠﹣2时，函数f′（x）有两个相异的零点：x=2，x=﹣a．（Ⅱ）证明：①当a=﹣2时，f′（x）≤0恒成立，此时函数f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递减，所以，函数f（x）无极值．②当a＞﹣2时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：所以，a≥0时，f（x）的极小值为f（﹣a）=﹣ae1+a≤0．又x＞2时，x2+ax﹣a＞22+2a﹣a=a+4＞0，所以，当x＞2时，f（x）=）=（x2+ax﹣a）•e1﹣x＞0恒成立．所以，f（﹣a）=﹣ae1+a为f（x）的最小值．故a≥0是函数f（x）存在最小值的充分条件．③当a=﹣5时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：因为当x＞5时，f（x）=（x2﹣5x+5）e1﹣x＞0，又f（2）=﹣e﹣1＜0，所以，当a=﹣5时，函数f（x）也存在最小值．所以，a≥0不是函数f（x）存在最小值的必要条件．综上，a≥0是函数f（x）存在最小值的充分而不必要条件．20．（13分）设集合A2n={1，2，3，…，2n}（n∈N*，n≥2）．如果对于A2n的每一个含有m（m≥4）个元素的子集P，P中必有4个元素的和等于4n+1，称正整数m为集合A2n的一个“相关数”．（Ⅰ）当n=3时，判断5和6是否为集合A6的“相关数”，说明理由；（Ⅱ）若m为集合A2n的“相关数”，证明：m﹣n﹣3≥0；（Ⅲ）给定正整数n．求集合A2n的“相关数”m的最小值．【解答】解：（Ⅰ）当n=3时，A6={1，2，3，4，5，6}，4n+1=13，①对于A6的含有5个元素的子集{2，3，4，5，6}，因为2+3+4+5＞13，所以5不是集合A6的“相关数”；②A6的含有6个元素的子集只有{1，2，3，4，5，6}，因为1+3+4+5=13，所以6是集合A6的“相关数”．（Ⅱ）考察集合A2n的含有n+2个元素的子集B={n﹣1，n，n+1，…，2n}，B中任意4个元素之和一定不小于（n﹣1）+n+（n+1）+（n+2）=4n+2．所以n+2一定不是集合A2n的“相关数”；所以当m≤n+2时，m一定不是集合A2n的“相关数”，因此若m为集合A2n的“相关数”，必有m≥n+3，即若m为集合A 2n的“相关数”，必有m﹣n﹣3≥0；（Ⅲ）由（Ⅱ）得m≥n+3，先将集合A2n的元素分成如下n组：C i=（i，2n+1﹣i），（1≤n），对A2n的任意一个含有n+3个元素的子集p，必有三组，，同属于集合P，再将集合A2n的元素剔除n和2n后，分成如下n﹣1组：D j=（j，2n﹣j），（1≤j≤n﹣1），对于A 2n的任意一个含有n+3个元素的子集P，必有一组属于集合P，这一组与上述三组，，中至少一组无相同元素，不妨设与无相同元素．此时这4个元素之和为[i1+（2n+1﹣i1）+（2n﹣j4）]=4n+1，所以集合A2n的“相关数”m的最小值为n+3．赠送初中数学几何模型【模型一】“一线三等角”模型：图形特征：运用举例：1.如图，若点B 在x 轴正半轴上，点A (4，4)、C (1，－1)，且AB ＝BC ，AB ⊥BC ，求点B 的坐标；2.如图，在直线l 上依次摆放着七个正方形（如图所示），已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是1S 、2S 、3S 、4S ，则14S S += ．ls 4s 3s 2s 13213. 如图，Rt △ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC =2，点D 在BC 上运动（不与点B ，C 重合），过D 作∠ADE =45°，DE 交AC 于E ．（1）求证：△ABD ∽△DCE ；（2）设BD =x ，AE =y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；（3）当△ADE 是等腰三角形时，求AE 的长．B4.如图，已知直线112y x =+与y 轴交于点A ，与x 轴交于点D ，抛物线212y x bx c =++与直线交于A 、E 两点，与x 轴交于B 、C 两点，且B 点坐标为 (1，0)。

2017西城高三物理期末试题及答案汇总

北京市西城区2016 — 2017学年度第一学期期末试卷高三物理 2017.1试卷满分:100分考试时间:120分钟第一卷（共48分）一、单项选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。

）1．功的单位是焦耳（J ），焦耳与基本单位米（m ）、千克（kg ）、秒（s ）之间的关系正确的是A ．1J=1kg •m/sB ．1J=1kg •m/s 2C ．1J=1kg •m 2/sD ．1J=1kg •m 2/s 22．下列情景中，物体M 所受摩擦力f 的示意图正确的是3．用一个水平拉力F 拉着一物体在水平面上绕着O 点做匀速圆周运动。

关于物体受到的拉力F 和摩擦力f 的受力示意图，下列四个图中可能正确的是4．一个带电导体周围的电场线和等势面的分布情况如图所示，关于图中各点的场强和电势的关系，下列描述正确的是 A ．1、2两点的场强相等 B ．2、3两点的场强相等 C ．1、2两点的电势相等 D ．2、3两点的电势相等213 C AO fFOfFDO fFOfFA ．物体静止在粗糙的水平面上M fB ．汽车停在斜坡上MfC ．物体贴着竖直墙面自由下落fvMD ．瓶子被握在手中处于静止状态M5．一列横波某时刻的波形图如图甲所示，图乙表示介质中某质点此后一段时间内的振动图象。

下列说法正确的是A ．若波沿x 轴正方向传播，则图乙表示的是质点N 的振动图象B ．若波沿x 轴负方向传播，则图乙表示的是质点K 的振动图象C ．若图乙表示的是质点L 的振动图象，则波沿x 轴正方向传播D ．若图乙表示的是质点M 的振动图象，则波沿x 轴负方向传播6．如图所示，地球绕着太阳公转，而月球又绕着地球转动，他们的运动均可近似看成匀速圆周运动。

如果要通过观测求得地球的质量，需要测量下列哪些量 A ．地球绕太阳公转的半径和周期 B ．月球绕地球转动的半径和周期 C ．地球的半径和地球绕太阳公转的周期 D ．地球的半径和月球绕地球转动的周期7．有质量相同的三个小物体a 、b 、c 。

北京市西城区2017届高三二模数学(理)试题【含答案】

北京市西城区2016-2017学年度高三第二次统练理科数学2017．5一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．在复平面内，复数z 对应的点是()12Z -，，则复数z 的共轭复数z =（） A ．12i +B ．12i -C ．2i +D ．2i -2．下列函数中，值域为[]01，的是（） A ．2y x =B ．sin y x =C ．211y x =+D．y =3．在极坐标系中，圆sin r q =的圆心的极坐标是（）A ．12π⎛⎫ ⎪⎝⎭，B ．()10，C ．122π⎛⎫ ⎪⎝⎭，D ．102⎛⎫⎪⎝⎭，4．在平面直角坐标系中，不等式组3203300x y x y y -≥⎧⎪--≤⎨⎪>⎩表示的平面区域的面积是（）A ．1B ．32C ．2D ．525．设双曲线()2222=100y x a b a b->>，的离心率是3，则其渐近线的方程为（）A．0x ±=B．0y ±=C ．80x y ±=D ．80x y ±=6．设a ，b 是平面上的两个单位向量，35a b ⋅=．若m R ∈，则|a mb +的最小值是（） A ．34B ．43C ．45D ．547．函数()f x x x =．若存在[)1x ∈+∞，，使得()20f x k k --<，则k 的取值范围是（） A ．()2+∞，B ．()1+∞，C ．12⎛⎫+∞⎪⎝⎭，D ．14⎛⎫+∞⎪⎝⎭， 8．有三支股票A B C ，，，28位股民的持有情况如下：每位股民至少持有其中一支股票．在不持有A 股票的人中，持有B 股票的人数是持有C 股票的人数的2倍．在持有A 股票的人中，只持有A 股票的人数比除了持有A 股票外，同时还持有其它股票的人数多1．在只持有一支股票的人中，有一半持有A 股票．则只持有B 股票的股民人数是（） A ．7B ．6C ．5D ．4二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9．执行如图所示的程序框图，输出的S 值为__________．10．已知等差数列{}n a 的公差为2，且124a a a ，，成等比数列，则1a =__________；数列{}n a 的前n 项和nS =__________．11．在ABC ∆中，角A B C ，，的对边边长分别是a b c ，，，若13A a b π===，，则c 的值为__________．12．函数()220log 0x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，，，则14f ⎛⎫= ⎪⎝⎭__________；方程()12f x -=的解是__________．13．大厦一层有A B C D ，，，四部电梯，3人在一层乘坐电梯上楼，其中2人恰好乘坐同一部电梯，则不同的乘坐方式有__________种．（用数字作答）14．在空间直角坐标系O xyz -中，四面体A BCD -在xOy ，yOz ，zOx 坐标平面上的一组正投影图形如图所示（坐标轴用细虚线表示）．该四面体的体积是__________．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）已知函数()tan 4f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．（Ⅰ）求()f x 的定义域；（Ⅱ）设()0βπ∈，，且()2cos 4f πββ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，求β的值．如图，在几何体ABCDEF 中，底面ABCD 为矩形，//EF CD AD FC ⊥，．点M 在棱FC 上，平面ADM 与棱FB 交于点N ．（Ⅰ）求证：//AD MN ；（Ⅱ）求证：平面ADMN ⊥平面CDEF ；（Ⅲ）若2CD EA EF ED CD EF ⊥==，，，平面ADE 平面BCF l =，求二面角A l B --的大小．某大学为调研学生在A B ，两家餐厅用餐的满意度，从在A B ，两家餐厅都用过餐的学生中随机抽取了100人，每人分别对这两家餐厅进行评分，满分均为60分．整理评分数据，将分数以10为组距分成6组：[)010，，[)1020，，[)2030，，[)3040，，[)4050，，[]5060，，得到A 餐厅分数的频率分布直方图，和B 餐厅分数的频数分布表：定义学生对餐厅评价的“满意度指数”如下：（Ⅰ）在抽样的100人中，求对A 餐厅评价“满意度指数”为0的人数；（Ⅱ）从该校在A B ，两家餐厅都用过餐的学生中随机抽取1人进行调查，试估计其对A 餐厅评价的“满意度指数”比对B 餐厅评价的“满意度指数”高的概率；（Ⅲ）如果从A B ，两家餐厅中选择一家用餐，你会选择哪一家？说明理由．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线C 的顶点是原点，以x 轴为对称轴，且经过点()12P ，．（Ⅰ）求抛物线C 的方程；（Ⅱ）设点A B ，在抛物线C 上，直线PA PB ，分别与y 轴交于点M N 、，PM PN =．求直线AB 的斜率．已知函数()()21xf x x ax a e -=+-，其中a R ∈．（Ⅰ）求函数()'f x 的零点个数；（Ⅱ）证明：0a ≥是函数()f x 存在最小值的充分而不必要条件．设集合{}()212322n A n n N n *=∈≥，，，，，．如果对于2n A 的每一个含有()4m m ≥个元素的子集P P ，中必有4个元素的和等于41n +，称正m 为集合2n A 的一个“相关数”．（Ⅰ）当3n =时，判断5和6是否为集合6A 的“相关数”，说明理由；（Ⅱ）若m 为集合2n A 的“相关数”，证明：30m n --≥；（Ⅲ）给定正整数n ．求集合2n A 的“相关数”m 的最小值．2017年北京市西城区高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）在复平面内，复数z对应的点是Z（1，﹣2），则复数z的共轭复数=（）A．1+2i B．1﹣2i C．2+i D．2﹣i【解答】解：由复数z对应的点是Z（1，﹣2），得z=1﹣2i．则复数z的共轭复数=1+2i．故选：A．2．（5分）下列函数中，值域为[0，1]的是（）A．y=x2B．y=sinx C．D．【解答】解：y=x2的值域为[0，+∞），y=sinx的值域为[﹣1，1]，y=值域为[（0，1]，y=的值域为[0，1]，故选：D．3．（5分）在极坐标系中，圆ρ=sinθ的圆心的极坐标是（）A．，B．（1，0）C．，D．，【解答】解：圆ρ=sinθ即ρ2=ρsinθ，化为直角坐标方程：x2+y2=y，配方为：x2+=．可得圆心C，，可得圆心的极坐标是，．故选：C．4．（5分）在平面直角坐标系中，不等式组表示的平面区域的面积是（）A．1 B．C．2 D．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得B（2，3），∴平面区域的面积S=．故选：B．5．（5分）设双曲线=1（a＞0，b＞0）的离心率是3，则其渐近线的方程为（）A．B．C．x±8y=0 D．8x±y=0【解答】解：双曲线=1（a＞0，b＞0）的离心率是3，可得，则=．双曲线=1（a＞0，b＞0）的离心率是3，则其渐近线的方程为：x．故选：A．6．（5分）设，是平面上的两个单位向量，•=．若m∈R，则|+m|的最小值是（）A．B．C．D．【解答】解：设，是平面上的两个单位向量，则||=1，||=1，∵•=，∴|+m|2=||2+m2||2+2m•=1+m2+m=（m+）2+，当m=﹣时，|+m|2有最小值，∴|+m|的最小值是，故选：C7．（5分）函数f（x）=x|x|．若存在x∈[1，+∞），使得f（x﹣2k）﹣k＜0，则k的取值范围是（）A．（2，+∞）B．（1，+∞）C．（，+∞）D．（，+∞）【解答】解：根据题意，x∈[1，+∞）时，x﹣2k∈[1﹣2k，+∞）；①当1﹣2k≤0时，解得k≥；存在x∈[1，+∞），使得f（x﹣2k）﹣k＜0，即只要f（1﹣2k）﹣k＜0即可；∵1﹣2k≤0，∴f（1﹣2k）=﹣（1﹣2k）2，∴﹣（1﹣2k）2﹣k＜0，整理得﹣1+4k﹣4k2﹣k＜0，即4k2﹣3k+1＞0；∵△=（﹣3）2﹣16=﹣7＜0，∴不等式对一切实数都成立，∴k≥；②当1﹣2k＞0时，解得k＜；存在x∈[1，+∞），使得f（x﹣2k）﹣k＜0，即只要f（1﹣2k）﹣k＜0即可；∵1﹣2k＞0，∴f（1﹣2k）=（1﹣2k）2，∴（1﹣2k）2﹣k＜0，整理得4k2﹣5k+1＜0，解得＜k＜1；又∵k＜，∴＜k＜；综上，k∈（，）∪[，+∞）=（+∞）；∴k的取值范围是k∈（，+∞）．故选：D．8．（5分）有三支股票A，B，C，28位股民的持有情况如下：每位股民至少持有其中一支股票．在不持有A股票的人中，持有B股票的人数是持有C股票的人数的2倍．在持有A股票的人中，只持有A股票的人数比除了持有A股票外，同时还持有其它股票的人数多1．在只持有一支股票的人中，有一半持有A股票．则只持有B股票的股民人数是（）A．7 B．6 C．5 D．4【解答】解：由题意作出文氏图，如下：其中m+n+p=7．∴只持有B股票的股民人数是7人．故选：A．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的S值为10．【解答】解：由已知可得该程序的功能是计算并输出S=﹣12+22﹣32+42的值∵S=﹣12+22﹣32+42=10故答案为：1010．（5分）已知等差数列{a n}的公差为2，且a1，a2，a4成等比数列，则a1=2；数列{a n}的前n项和S n=n2+n．【解答】解：∵数列{a n}是公差为2的等差数列，且a1，a2，a4成等比数列，∴a1，a1+2，a1+6成等比数列，∴（a1+2）2=a1（a1+6），解得a1=2，数列{a n}的前n项和S n=2n+=n2+n．故答案为：2；n2+n．11．（5分）在△ABC中，角A、B、C的对边边长分别是a、b、c，若，，b=1，则c的值为2．【解答】解：∵，∴，∴，∵a＞b，所以A＞B．角A、B、C是△ABC中的内角．∴，∴，∴．故答案为：2．12．（5分）函数f（x）=，，＞则=﹣2；方程f（﹣x）=的解是﹣或1．【解答】解：f（）=log2=﹣2，由方程f（﹣x）=，得或＞，解得：x=1或x=﹣，故答案为：﹣2；﹣或1．13．（5分）大厦一层有A，B，C，D四部电梯，3人在一层乘坐电梯上楼，其中2人恰好乘坐同一部电梯，则不同的乘坐方式有36种．（用数字作答）【解答】解：根据题意，分2步进行分析：先将3人分成2组，有C32=3种分组方法，再在A，B，C，D四部电梯中任选2部，安排2组人乘坐，有C42A22=12种情况，则3人不同的乘坐方式有3×12=36种；故答案为：36．14．（5分）在空间直角坐标系O﹣xyz中，四面体A﹣BCD在xOy，yOz，zOx坐标平面上的一组正投影图形如图所示（坐标轴用细虚线表示）．该四面体的体积是．【解答】解：由三视图可知几何体为三棱锥，该三棱锥的底面积S底==4，高h=2，∴V==．故答案为．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）已知函数．（Ⅰ）求f（x）的定义域；（Ⅱ）设β∈（0，π），且，求β的值．【解答】解：（Ⅰ）由，得，k∈Z．[（3分）]所以函数f（x）的定义域是，．[（4分）]（Ⅱ）依题意，得．[（5分）]所以，[（7分）]整理得，[（8分）]所以，或．[（10分）]因为β∈（0，π），所以，，[（11分）]由，得，；[（12分）]由，得，．所以，或．[（13分）]16．（14分）如图，在几何体ABCDEF中，底面ABCD为矩形，EF∥CD，AD⊥FC．点M在棱FC上，平面ADM与棱FB交于点N．（Ⅰ）求证：AD∥MN；（Ⅱ）求证：平面ADMN⊥平面CDEF；（Ⅲ）若CD⊥EA，EF=ED，CD=2EF，平面ADE∩平面BCF=l，求二面角A﹣l﹣B的大小．【解答】（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：因为ABCD为矩形，所以AD∥BC，[（1分）]所以AD∥平面FBC．[（3分）]又因为平面ADMN∩平面FBC=MN，所以AD∥MN．[（4分）]（Ⅱ）证明：因为ABCD为矩形，所以AD⊥CD．[（5分）]因为AD⊥FC，[（6分）]所以AD⊥平面CDEF．[（7分）]所以平面ADMN⊥平面CDEF．[（8分）]（Ⅲ）解：因为EA⊥CD，AD⊥CD，所以CD⊥平面ADE，所以CD⊥DE．由（Ⅱ）得AD⊥平面CDEF，所以AD⊥DE．所以DA，DC，DE两两互相垂直．[（9分）]建立空间直角坐标系D﹣xyz．[（10分）]不妨设EF=ED=1，则CD=2，设AD=a（a＞0）．由题意得，A（a，0，0），B（a，2，0），C（0，2，0），D（0，0，0），E（0，0，1），F（0，1，1）．所以=（a，0，0），=（0，﹣1，1）．设平面FBC的法向量为=（x，y，z），则即令z=1，则y=1．所以=（0，1，1）．[（12分）]又平面ADE的法向量为=（0，2，0），所以＜，＞==．因为二面角A﹣l﹣B的平面角是锐角，所以二面角A﹣l﹣B的大小45°．[（14分）]17．（13分）某大学为调研学生在A，B两家餐厅用餐的满意度，从在A，B两家餐厅都用过餐的学生中随机抽取了100人，每人分别对这两家餐厅进行评分，满分均为60分．整理评分数据，将分数以10为组距分成6组：[0，10），[10，20），[20，30），[30，40），[40，50），[50，60]，得到A餐厅分数的频率分布直方图，和B餐厅分数的频数分布表：定义学生对餐厅评价的“满意度指数”如下：（Ⅰ）在抽样的100人中，求对A餐厅评价“满意度指数”为0的人数；（Ⅱ）从该校在A，B两家餐厅都用过餐的学生中随机抽取1人进行调查，试估计其对A餐厅评价的“满意度指数”比对B餐厅评价的“满意度指数”高的概率；（Ⅲ）如果从A，B两家餐厅中选择一家用餐，你会选择哪一家？说明理由．【解答】（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由对A餐厅评分的频率分布直方图，得对A餐厅“满意度指数”为0的频率为（0.003+0.005+0.012）×10=0.2，[（2分）]所以，对A餐厅评价“满意度指数”为0的人数为100×0.2=20．[（3分）]（Ⅱ）设“对A餐厅评价‘满意度指数’比对B餐厅评价‘满意度指数’高”为事件C．记“对A餐厅评价‘满意度指数’为1”为事件A1；“对A餐厅评价‘满意度指数’为2”为事件A2；“对B餐厅评价‘满意度指数’为0”为事件B0；“对B餐厅评价‘满意度指数’为1”为事件B1．所以P（A1）=（0.02+0.02）×10=0.4，P（A2）=0.4，[（5分）]由用频率估计概率得：，．[（7分）]因为事件A i与B j相互独立，其中i=1，2，j=0，1．所以P（C）=P（A1B0+A2B0+A2B1）=0.4×0.1+0.4×0.1+0.4×0.55=0.3．[（10分）]所以该学生对A餐厅评价的“满意度指数”比对B餐厅评价的“满意度指数”高的概率为0.3．（Ⅲ）如果从学生对A，B两家餐厅评价的“满意度指数”的期望角度看：A餐厅“满意度指数”X的分布列为：B餐厅“满意度指数”Y的分布列为：因为EX=0×0.2+1×0.4+2×0.4=1.2；EY=0×0.1+1×0.55+2×0.35=1.25，所以EX＜EY，会选择B餐厅用餐．[（13分）]注：本题答案不唯一．只要考生言之合理即可．18．（14分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线C的顶点是原点，以x轴为对称轴，且经过点P（1，2）．（Ⅰ）求抛物线C的方程；（Ⅱ）设点A，B在抛物线C上，直线P A，PB分别与y轴交于点M，N，|PM|=|PN|．求直线AB的斜率．【解答】解：（Ⅰ）依题意，设抛物线C的方程为y2=ax（a≠0）．[（1分）]由抛物线C经过点P（1，2），得a=4，[（3分）]所以抛物线C的方程为y2=4x．[（4分）]（Ⅱ）因为|PM|=|PN|，所以∠PMN=∠PNM，所以∠1=∠2，所以直线P A与PB的倾斜角互补，所以k P A+k PB=0．[（6分）]依题意，直线AP的斜率存在，设直线AP的方程为：y﹣2=k（x﹣1）（k≠0），将其代入抛物线C的方程，整理得k2x2﹣2（k2﹣2k+2）x+k2﹣4k+4=0．[（8分）]设A（x1，y1），则x1=，y1=﹣2，[（10分）]所以A（，﹣2）．[（11分）]以﹣k替换点A坐标中的k，得B（，﹣﹣2．[（12分）]所以k AB==﹣1，所以直线AB的斜率为﹣1．[（14分）]19．（13分）已知函数f（x）=（x2+ax﹣a）•e1﹣x，其中a∈R．（Ⅰ）求函数f'（x）的零点个数；（Ⅱ）证明：a≥0是函数f（x）存在最小值的充分而不必要条件．【解答】解：（Ⅰ）由f（x）=（x2+ax﹣a）•e1﹣x，得f′（x）=（2x+a）e1﹣x﹣（x2+ax﹣a）•e1﹣x=﹣[x2+（a﹣2）x﹣2a]•e1﹣x=﹣（x+a）（x﹣2）•e1﹣x，令f′（x）=0，得x=2，或x=﹣a．所以当a=﹣2时，函数f′（x）有且只有一个零点：x=2；当a≠﹣2时，函数f′（x）有两个相异的零点：x=2，x=﹣a．（Ⅱ）证明：①当a=﹣2时，f′（x）≤0恒成立，此时函数f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递减，所以，函数f（x）无极值．②当a＞﹣2时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：所以，a≥0时，f（x）的极小值为f（﹣a）=﹣ae1+a≤0．又x＞2时，x2+ax﹣a＞22+2a﹣a=a+4＞0，所以，当x＞2时，f（x）=）=（x2+ax﹣a）•e1﹣x＞0恒成立．所以，f（﹣a）=﹣ae1+a为f（x）的最小值．故a≥0是函数f（x）存在最小值的充分条件．③当a=﹣5时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：因为当x＞5时，f（x）=（x2﹣5x+5）e1﹣x＞0，又f（2）=﹣e﹣1＜0，所以，当a=﹣5时，函数f（x）也存在最小值．所以，a≥0不是函数f（x）存在最小值的必要条件．综上，a≥0是函数f（x）存在最小值的充分而不必要条件．20．（13分）设集合A2n={1，2，3，…，2n}（n∈N*，n≥2）．如果对于A2n的每一个含有m（m≥4）个元素的子集P，P中必有4个元素的和等于4n+1，称正整数m为集合A2n的一个“相关数”．（Ⅰ）当n=3时，判断5和6是否为集合A6的“相关数”，说明理由；（Ⅱ）若m为集合A2n的“相关数”，证明：m﹣n﹣3≥0；（Ⅲ）给定正整数n．求集合A2n的“相关数”m的最小值．【解答】解：（Ⅰ）当n=3时，A6={1，2，3，4，5，6}，4n+1=13，①对于A6的含有5个元素的子集{2，3，4，5，6}，因为2+3+4+5＞13，所以5不是集合A6的“相关数”；②A6的含有6个元素的子集只有{1，2，3，4，5，6}，因为1+3+4+5=13，所以6是集合A6的“相关数”．（Ⅱ）考察集合A2n的含有n+2个元素的子集B={n﹣1，n，n+1，…，2n}，B中任意4个元素之和一定不小于（n﹣1）+n+（n+1）+（n+2）=4n+2．所以n+2一定不是集合A2n的“相关数”；所以当m≤n+2时，m一定不是集合A2n的“相关数”，因此若m为集合A2n的“相关数”，必有m≥n+3，即若m为集合A2n的“相关数”，必有m﹣n﹣3≥0；（Ⅲ）由（Ⅱ）得m≥n+3，先将集合A2n的元素分成如下n组：C i=（i，2n+1﹣i），（1≤n），对A2n的任意一个含有n+3个元素的子集p，必有三组，，同属于集合P，再将集合A2n的元素剔除n和2n后，分成如下n﹣1组：D j=（j，2n﹣j），（1≤j≤n﹣1），对于A2n的任意一个含有n+3个元素的子集P，必有一组属于集合P，这一组与上述三组，，中至少一组无相同元素，不妨设与无相同元素．此时这4个元素之和为[i1+（2n+1﹣i1）+（2n﹣j4）]=4n+1，所以集合A2n的“相关数”m的最小值为n+3．第21页（共21页）。

2017高考题数学理真题汇编-答案

7．解析：当x>0时，f(x)＝2x>1恒成立，当x－>0，即x>时，f＝2x－>1，当x－≤0，即0<x≤时，
f＝x＋>，则不等式f(x)＋f>1恒成立．当x≤0时，f(x)＋f＝x＋1＋x＋＝2x＋>1，所以－<x≤0.综上所述，x的取值范围是.
答案：
8．解析：由于f(x)∈[0，1)，因此只需考虑1≤x<10的情况，
6．解析：选A.根据题意，作出f(x)的大致图象，如图所示．
当x≤1时，若要f(x)≥恒成立，结合图象，只需x2－x＋3≥
－，即x2－＋3＋a≥0，故对于方程x2－＋3＋a＝0，Δ＝－4(3＋a)≤0，解得a≥－；当x＞1时，若要f(x)≥恒成立，结合图象，只需x＋≥＋a，即＋≥a.又＋≥2，当且仅当＝，即x＝2时等号成立，所以a≤2.综上，a的取值范围是.
3．解析：选B.A表示圆x2＋y2＝1上的点的集合，B表示直线y＝x上的点的集合，直线y＝x与圆x2＋y2＝1有两个交点，所以A∩B中元素的个数为2.
4．解析：选A.因为m，n是非零向量，所以m·n＝|m|·|n|cos〈m，n〉<0的充要条件是cos〈m，n〉<0.因为λ<0，则由m＝λn可知m，n的方向相反，〈m，n〉＝180°，所以cos〈m，n〉<0，所以“存在负数λ，使得m＝λn”可推得“m·n<0”；而由“m·n<0”，可推得“cos〈m，n〉<0”，但不一定推得“m，n的方向相反”，从而不一定推得“存在负数λ，使得m＝λn”．综上所述，“存在负数λ，使得m＝λn”是“m·n<0”的充分而不必要条件，故选A.
法二：＜⇒0＜θ＜⇒sinθ＜，而当sinθ＜时，取θ＝－，＝＞.故选A.

高三数学考点-二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题

7．3二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题1．二元一次不等式表示的平面区域(1)一般地，二元一次不等式Ax＋By＋C＞0在平面直角坐标系中表示直线Ax＋By＋C＝0某一侧所有点组成的________．我们把直线画成虚线以表示区域________边界直线．当我们在坐标系中画不等式Ax＋By＋C≥0所表示的平面区域时，此区域应________边界直线，则把边界直线画成________．(2)由于对直线Ax＋By＋C＝0同一侧的所有点(x，y)，把它的坐标(x，y)代入Ax＋By＋C，所得的符号都________，所以只需在此直线的同一侧取一个特殊点(x0，y0)(如原点)作为测试点，由Ax0＋By0＋C的________即可判断Ax ＋By＋C＞0表示的是直线Ax＋By＋C＝0哪一侧的平面区域．2．线性规划(1)不等式组是一组对变量x，y的约束条件，由于这组约束条件都是关于x，y的一次不等式，所以又可称其为线性约束条件．Z＝Ax＋By是要求最大值或最小值的函数，我们把它称为________．由于Z＝Ax＋By是关于x，y的一次解析式，所以又可叫做________．另外注意：线性约束条件除了用一次不等式表示外，也可用一次方程表示．(2)一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的________的问题，统称为线性规划问题．(3)满足线性约束条件的解(x，y)叫做________，由所有可行解组成的集合叫做________．其中，使目标函数取得最大值或最小值的可行解都叫做这个问题的________．线性目标函数的最值常在可行域的边界上，且通常在可行域的顶点处取得；而求最优整数解首先要看它是否在可行域内．(4)用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤：①首先，要根据_________________ (即画出不等式组所表示的公共区域)．②设__________，画出直线l0.③观察、分析、平移直线l0，从而找到最优解．④最后求得目标函数的__________．(5)利用线性规划研究实际问题的解题思路：首先，应准确建立数学模型，即根据题意找出__________条件，确定__________函数．然后，用图解法求得数学模型的解，即__________，在可行域内求得使目标函数__________．自查自纠1．(1)平面区域不包括包括实线(2)相同符号2．(1)目标函数线性目标函数(2)最大值或最小值(3)可行解可行域最优解(4)①线性约束条件画出可行域②z＝0④最大值或最小值(5)约束线性目标画出可行域取得最值的解(2016·济南模拟)已知点(－3，－1)和点(4，－6)在直线3x －2y －a ＝0的两侧，则a 的取值范围为( ) A ．(－24，7) B ．(－7，24)C ．(－∞，－7)∪(24，＋∞)D ．(－∞，－24)∪(7，＋∞)解：根据题意知(－9＋2－a )(12＋12－a )＜0，即(a ＋7)(a －24)＜0，解得－7＜a ＜24.故选B .(2017·全国卷Ⅲ)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y －6≤0，x ≥0，y ≥0，则z ＝x －y 的取值范围是( )A ．[－3，0]B ．[－3，2]C ．[0，2]D ．[0，3]解：绘制不等式组表示的可行域，结合目标函数的几何意义可得函数在点A (0，3) 处取得最小值z ＝0－3＝－3. 在点B (2，0) 处取得最大值z ＝2－0＝2.故选B .(2016·北京)若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ≤0，x ＋y ≤3，x ≥0，则2x ＋y 的最大值为( )A ．0B ．3C ．4D ．5解：作出可行域如图中阴影部分所示，则当z ＝2x ＋y 经过点P (1，2)时，取最大值，z max ＝2×1＋2＝4.故选C .(2017·全国卷Ⅲ)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y －2≤0，y ≥0，则z ＝3x －4y 的最小值为________．解：由题意，画出可行域如图，目标函数为z ＝3x －4y ，则直线y ＝34x －z4纵截距越大，z 值越小．由图可知，在A (1，1)处取最小值，故z min ＝3×1－4×1＝－1.故填－1.(2017届云南四川贵州百校大联考)设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －2≥0，2x ＋y －4≤0，4x －y ＋1≥0，则目标函数z ＝y －3x 的最大值是________．解：作可行域如图所示，由目标函数z＝y－3x得直线y＝3x＋z，当直线y＝3x＋z平移经过点A⎝⎛⎭⎫12，3时，目标函数z＝y－3x取得最大值为32.故填32.类型一二元一次不等式(组)表示的平面区域(2016·郑州模拟)在平面直角坐标系xOy中，满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧|x|≤|y|，|x|＜1的点(x，y)的集合用阴影表示为下列图中的()解：|x|＝|y|把平面分成四部分，|x|≤|y|表示含y轴的两个区域；|x|＜1表示x＝±1所夹含y轴的区域．故选C.【点拨】关于不等式组所表示的平面区域(可行域)的确定，可先由“直线定界”，再由“不等式定域”，定域的常用方法是“特殊点法”，且一般取坐标原点O(0，0)为特殊点．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x＋y－2≥0，x＋2y－4≤0，x＋3y－2≥0表示的平面区域的面积为________．解：不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，易求得|BD|＝2，C点坐标(8，－2)，所以S△ABC＝S△ABD＋S△BCD＝12×2×(2＋2)＝4.故填4.类型二利用线性规划求线性目标函数的最优解(2017·天津)设变量x，y满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x＋y≥0，x＋2y－2≥0，x≤0，y≤3，则目标函数z＝x＋y的最大值为()A.23 B ．1 C.32D ．3解：可行域为四边形ABCD 及其内部，所以直线z ＝x ＋y 过点B (0，3)时取最大值3.故选D .【点拨】线性规划问题有三类：(1)简单线性规划，包括画出可行域和考查截距型目标函数的最值，有时考查斜率型或距离型目标函数；(2)线性规划逆向思维问题，给出最值或最优解个数求参数取值范围；(3)线性规划的实际应用. 一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得．(2017·北京)若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≤3，x ＋y ≥2，y ≤x ，则x ＋ 2y 的最大值为( )A ．1B ．3C ．5D ．9解：如图，画出可行域，z ＝x ＋2y 表示斜率为－12的一组平行线，当过点C (3，3)时，目标函数取得最大值z max＝3＋2×3＝9.故选D .类型三含参数的线性规划问题(1)(北京西城区2017届期末)实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≤3，x ＋y ≥0，x －y ＋6≥0. 若z ＝ax ＋y 的最大值为3a ＋9，最小值为3a－3，则a 的取值范围是( ) A ．[－1，0] B ．[0，1]C ．[－1，1]D ．(－∞，－1]∪[1，＋∞)解：作出不等式组对应的平面区域如图，由z ＝ax ＋y 得y ＝－ax ＋z .因为z ＝ax ＋y 的最大值为3a ＋9，最小值为3a －3，所以当直线y ＝－ax ＋z 经过点B (3，9)时直线截距最大，当经过点A (3，－3)时，直线截距最小．则直线y ＝－ax ＋z 的斜率－a 满足，－1≤－a ≤1，即－1≤a ≤1.故选C .(2)在平面直角坐标系中，若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≥0，x －1≤0，ax －y ＋1≥0 (a 为常数)所表示的平面区域的面积等于2，则a 的值为( )A ．－5B ．1C ．2D ．3解：如图可得阴影部分即为满足x －1≤0与x ＋y －1≥0的可行域，而直线ax －y ＋1＝0恒过点(0，1)，故看作直线绕点(0，1)旋转，若不等式组所表示的平面区域内的面积等于2，则它是三角形，设该三角形为△ABC ，因为△ABC 的点A 和B的坐标分别为A (0，1)和B (1，0)，且S △ABC ＝2，设点C 的坐标为C (1，y )，则12×1×y ＝2⇒y ＝4，将点C (1，4)代入ax －y ＋1＝0得a ＝3.故选D .【点拨】例3(1)考查了简单的线性规划中的斜率问题，通过y ＝－ax ＋z 得到参数－a 是动直线y ＝－ax ＋z 的斜率，z ＝ax ＋y 的最大值为3a ＋9，则动直线y ＝－ax ＋z 纵截距的最大值为3a ＋9，最优解在三个端点处取得；例3(2)中的ax －y ＋1＝0，即为y ＝ax ＋1，其中a 为动直线的斜率，利用数形结合的方法求解．注意把握两点：①参数的几何意义；②条件的合理转化．(1)已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y ≤2，y ≥0. 若z ＝ax ＋y 的最大值为4，则a ＝( )A ．3B ．2C ．－2D ．－3解：画出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，因为目标函数z ＝ax ＋y 的最大值为4，即目标函数对应直线与可行域有公共点时，在y 轴上的截距的最大值为4，所以作出过点D (0，4)的直线，由图可知，目标函数在点B (2，0)处取得最大值，有a ×2＋0＝4，得a ＝2.故选B .(2)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ，x ＋y ≤4，y ≥k ，且z ＝2x ＋y 的最小值为－6，则k ＝________.解：易得出约束条件中三条直线两两所成的交点(k ，k )，(4－k ，k )，(2，2)，且可行域如图，则k ≤2.最小值在点(k ，k )处取得，3k ＝－6，得k ＝－2.故填－2.类型四非线性目标函数的最优解问题(2016·江苏)已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋4≥0，2x ＋y －2≥0，3x －y －3≤0，则x 2＋y 2的取值范围是________．解：可行域如图中阴影部分所示，x 2＋y 2为可行域中任一点(x ，y )到原点(0，0)的距离的平方．由图可知，x 2＋y 2的最小值为原点到直线AC 的距离的平方，即⎝ ⎛⎭⎪⎫|－2|52＝45.易求得B (2，3)，最大值为OB 2＝22＋32＝13.故填⎣⎡⎦⎤45，13. 【点拨】线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域，分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值或范围．即：一画，二移，三求．其关键是准确作出可行域，理解目标函数的意义．常见的目标函数有：(1)截距型：形如z ＝ax ＋by .求这类目标函数的最值常将函数z ＝ax ＋by 转化为直线的斜截式：y ＝－a b x ＋zb ，通过求直线的截距的最值间接求出z 的最值．(2)距离型：形如z ＝(x －a )2＋(y －b )2 .(3)斜率型：形如z ＝y －bx －a ，本题属于距离形式．(2015·全国卷Ⅰ)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥0，x －y ≤0，x ＋y －4≤0，则yx的最大值为________．解：作出可行域如图中阴影部分所示，由斜率的意义知，yx是可行域内一点与原点连线的斜率，由图可知，点A (1，3)与原点连线的斜率最大，故yx的最大值为3.故填3.类型五线性规划与整点问题设实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －5＞0，2x ＋y －7＞0，x ≥0，y ≥0，若x ，y 为整数，则3x ＋4y 的最小值为( )A ．14B ．16C ．17D ．19解：画出可行域如图，令3x ＋4y ＝z ，y ＝－34x ＋z4，过x 轴上的整点(1，0)，(2，0)，(3，0)，(4，0)，(5，0)处作格子线，可知当y ＝－34x ＋z4过(4，1)时有最小值(对可疑点(3，2)，(2，4)，(4，1)逐个试验)，此时z min ＝3×4＋4＝16.故选B .【点拨】求解整点问题，对作图精度要求较高，可行域内的整点要找准，最好使用“网点法”先作出可行域中的各整点．设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，y ＞0，y ≤－nx ＋3n （n ∈N *）所表示的平面区域为D n ，记D n 内的整点(即横坐标和纵坐标均为整数的点)个数为a n (a n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式为a n ＝______.解：直线y ＝－nx ＋3n ＝－n (x －3)，过定点(3，0)，由y ＝－nx ＋3n ＞0得x ＜3，又x ＞0，所以x ＝1或x ＝2.直线x ＝2交直线y ＝－nx ＋3n 于点(2，n )，直线x ＝1交直线y ＝－nx ＋3n 于点(1，2n )，所以整点个数a n ＝n ＋2n ＝3n .故填3n.类型六线性规划在实际问题中的应用(2015·陕西)某企业生产甲、乙两种产品均需用A ，B 两种原料．已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示．如果生产1吨甲、乙产品可获得利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为( )甲乙原料限额 A (吨) 3 2 12 B (吨)128A.12万元 B ．16万元 C ．17万元 D ．18万元解：设每天生产甲、乙两种产品分别为x 、y 吨，利润为z 元，则⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y ≤12，x ＋2y ≤8，x ≥0，y ≥0，目标函数为z ＝3x ＋4y .作出二元一次不等式组所表示的平面区域(阴影部分)，即可行域．由z ＝3x ＋4y 得y ＝－34x ＋z 4，平移直线y ＝－34x 至经过点B 时，直线y ＝－34x ＋z4的纵截距最大，此时z 最大，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y ＝12，x ＋2y ＝8，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝3，即B (2，3)．所以z max ＝3x ＋4y ＝6＋12＝18.即每天生产甲、乙两种产品分别为2吨、3吨，能够获得最大利润，最大的利润是18万元．故选D . 【点拨】对于此类有实际背景的线性规划问题，可行域通常是位于第一象限的一个凸多边形区域，此时变动直线的最佳位置一般通过这个凸多边形在第一象限的某个顶点．(2016·全国卷Ⅰ)某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A 需要甲材料1.5 kg ，乙材料1 kg ，用5个工时；生产一件产品B 需要甲材料0.5 kg ，乙材料0.3 kg ，用3个工时．生产一件产品A 的利润为2 100元，生产一件产品B 的利润为900元．该企业现有甲材料150 kg ，乙材料90 kg ，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为________元．解：设某高科技企业生产产品A 和产品B 分别为x 件，y 件，生产产品A 、产品B 的利润之和为z 元，依题意得⎩⎪⎨⎪⎧1.5x ＋0.5y ≤150，x ＋0.3y ≤90，5x ＋3y ≤600，x ∈N ，y ∈N ，即⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y ≤300，10x ＋3y ≤900，5x ＋3y ≤600，x ∈N ，y ∈N ，目标函数z ＝2 100x ＋900y .作出可行域如图所示．当直线z ＝2 100x ＋900y经过点M (60，100)时，z 取得最大值．z max ＝2 100×60＋900×100＝216 000.故生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为216 000元．故填216 000.1．解客观题可利用特殊点判断二元一次不等式(组)表示的平面区域所在位置，如果直线Ax ＋By ＋C ＝0不经过原点，则把原点代入Ax ＋By ＋C ，通过Ax ＋By ＋C 的正负和不等号的方向，来判断二元一次不等式(组)表示的平面区域所在的位置．2．求目标函数z ＝ax ＋by (ab ≠0)的最值，将函数z ＝ax ＋by 转化为直线的斜截式：y ＝－a b x ＋zb，通过求直线的截距z b 的最值间接求出z 的最值．最优解一般在顶点或边界取得．但要注意：①当b ＞0时，截距zb取最大值，z 也取最大值；截距z b 取最小值，z 也取最小值；②当b ＜0时，截距z b 取最大值，z 取最小值；截距zb 取最小值时，z 取最大值．3．如果可行域是一个多边形，那么一般在其顶点处目标函数取得最大值或最小值．最优解一般是多边形的某个顶点，到底是哪个顶点为最优解，有三种解决方法：第一种方法：将目标函数的直线平行移动，最先通过或最后通过可行域的一个便是．第二种方法：利用围成可行域的直线斜率来判断．特别地，当线性目标函数的直线与可行域某条边重合时，其最优解可能有无数组．第三种方法：将可行域所在多边形的每一个顶点P i 逐一代入目标函数Z P i ＝mx ＋ny ，比较各个ZP i ，得最大值或最小值．1．(2015·烟台模拟)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≤－x ＋2，y ≤x －1，y ≥0所表示的平面区域的面积为( )A ．1 B.12 C.13 D.14解：作出不等式组对应的区域为如图△BCD ，由题意知x B ＝1，x C ＝2.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ＋2，y ＝x －1，得y D ＝12，所以S △BCD ＝12×(x C －x B )×12＝14.故选D . 2．(湖北孝感市2017届期中)已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ，x ＋y ≤1，y ≥－1，则目标函数z ＝2x －y 的最大值为( )A ．－3 B.12 C ．5 D ．6解：作出不等式组表示的平面区域，得到如图的△ABC 及其内部，其中A (－1，－1)，B (2，－1)，C (0.5，0.5)，将直线2x －y ＝0进行平移，当其经过点B 时，目标函数z 达到最大值．所以z 最大值＝5.故选C .3．(2016·天津)设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，2x ＋3y －6≥0，3x ＋2y －9≤0.则目标函数z ＝2x ＋5y 的最小值为( )A ．－4B ．6C ．10D ．17解：可行域为一个三角形ABC 及其内部，其中A (0，2)，B (3，0)，C (1，3)，根据目标函数的几何意义，可知当直线y ＝－25x ＋z5过点B (3，0)时，z 取得最小值2×3－5×0＝6.故选B .4．(2017·浙江)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋y －3≥0，x －2y ≤0，则z ＝x ＋2y 的取值范围是( )A ．[0，6]B ．[0，4]C ．[6，＋∞)D ．[4，＋∞)解：如图，可行域为一开放区域，所以直线过点(2，1)时取最小值4，无最大值．故选D .5．(2016·浙江)在平面上，过点P 作直线l 的垂线所得的垂足称为点P 在直线l 上的投影．由区域⎩⎪⎨⎪⎧x －2≤0，x ＋y ≥0，x －3y ＋4≥0中的点在直线x ＋y －2＝0上的投影构成的线段记为AB ，则|AB |＝( ) A ．2 2 B ．4 C ．3 2 D ．6解：如图△PQR 为线性区域，区域内的点在直线x ＋y －2＝0上的投影构成了线段AB .由⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＋4＝0，x ＋y ＝0得Q (－1，1)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，x ＋y ＝0得R (2，－2)，|AB |＝|RQ |＝（－1－2）2＋（1＋2）2＝3 2.故选C .6．(2016·商丘模拟)已知a ＞0，x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y ≤3，y ≥a （x －3），若z ＝2x ＋y 的最小值为1，则a ＝( )A.14B.12C ．1D ．2解：作出可行域如图中阴影部分所示，当直线z ＝2x ＋y 通过A (1，－2a )时，z 取最小值，z min ＝2×1＋(－2a )＝1，所以a ＝12.故选B .7．(2016·全国卷Ⅲ)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x －2y ≤0，x ＋2y －2≤0，则z ＝x ＋y 的最大值为________．解：画出可行域，如图所示阴影部分，易得A (0，1)，B (－2，－1)，C ⎝⎛⎭⎫1，12，可得z ＝x ＋y 在C 点处取得最大值为32.故填32.8．(山西四校2017届联考)已知y ＝－2x －z 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0，x －2y －2≤0，2x －y ＋2≥0，若2x ＋y ＋k ≥0恒成立，则实数k的取值范围为________．解：可行域为一个三角形ABC 及其内部，其中A (2，0)，B (－2，－2)，C (0，2)，直线z ＝－2x －y 过点B 时取最大值6，而2x ＋y ＋k ≥0恒成立等价于k ≥[－(2x ＋y )]max ＝6.故填[6，＋∞)．9．(2016·昆明模拟)已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥0，x －2y ＋2≥0，x －y ≤0，求z ＝2x －y 的最大值．解：作出可行域如图中阴影部分所示．当直线过点B (2，2)时，z ＝2x －y 取得最大值2.10．变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3≤0，3x ＋5y －25≤0，x ≥1.(1)假设z 1＝4x －3y ，求z 1的最大值；(2)设z 2＝yx ，求z 2的最小值；(3)设z 3＝x 2＋y 2，求z 3的取值范围．解：作出可行域如图中阴影部分，联立易得A ⎝⎛⎭⎫1，225，B (1，1)，C (5，2)． (1)z 1＝4x －3y ⇔y ＝43x －z 13，易知平移y ＝43x 至过点C 时，z 1最大，且最大值为4×5－3×2＝14.(2)z 2＝y x 表示可行域内的点与原点连线的斜率大小，显然直线OC 斜率最小．故z 2的最小值为25.(3)z 3＝x 2＋y 2表示可行域内的点到原点距离的平方，而2＝OB 2＜OA 2＜OC 2＝29.故z 3∈[2，29]．11．(2015·广东模拟)某工厂生产甲、乙两种产品，每种产品都有一部分是一等品，其余是二等品，已知甲产品为一等品的概率比乙产品为一等品的概率大0.25，甲产品为二等品的概率比乙产品为一等品的概率小0.05. (1)分别求甲、乙产品为一等品的概率P 甲，P 乙；(2)已知生产一件产品需要用的工人数和资金数如表所示，且该厂有工人32名，可用资金55万元．设x，y分工人(名)资金(万元)甲420乙85解：(1)依题意得⎩⎪⎨⎪⎧甲乙1－P甲＝P乙－0.05，解得⎩⎪⎨⎪⎧P甲＝0.65，P乙＝0.4，故甲产品为一等品的概率P甲＝0.65，乙产品为一等品的概率P乙＝0.4.(2)依题意得x，y应满足的约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧4x＋8y≤32，20x＋5y≤55，x≥0，y≥0，且z＝0.65x＋0.4y.作出以上不等式组所表示的平面区域(如图阴影部分)，即可行域．作直线l：0.65x＋0.4y＝0即13x＋8y＝0，把直线l向上方平移到l1的位置时，直线经过可行域内的点M，且l1与原点的距离最大，此时z取最大值．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x＋2y＝8，4x＋y＝11，得⎩⎪⎨⎪⎧x＝2，y＝3.故M的坐标为(2，3)，所以z的最大值为z max＝0.65×2＋0.4×3＝2.5.当实数x，y满足⎩⎪⎨⎪⎧x＋2y－4≤0，x－y－1≤0，x≥1时，1≤ax＋y≤4恒成立，则实数a的取值范围是________．解：作出可行域为一三角形，且易求出三个顶点坐标分别为(1，0)，⎝⎛⎭⎫1，32，(2，1)，都代入1≤ax＋y≤4得⎩⎪⎨⎪⎧1≤a≤4，1≤a＋32≤4，1≤2a＋1≤4.解不等式组可得1≤a≤32.故填⎣⎡⎦⎤1，32.项目用量产品。

2017西城区高三(上)期末数学(理科)

2017西城区高三（上）期末数学（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）已知集合A={x|0＜x＜2}，B={x|x2﹣1≤0}，那么A∪B=（）A．{x|0＜x≤1}B．{x|﹣1≤x＜2}C．{x|﹣1≤x＜0}D．{x|1≤x＜2}2．（5分）下列函数中，定义域为R的奇函数是（）A．y=x2+1 B．y=tanx C．y=2x D．y=x+sinx3．（5分）已知双曲线x2﹣=1（b＞0）的一个焦点是（2，0），则其渐近线的方程为（）A．x±y=0 B．x±y=0 C．x±3y=0 D．3x±y=04．（5分）在极坐标系中，已知点P（2，），则过点P且平行于极轴的直线的方程是（）A．ρsinθ=1B．ρsinθ=C．ρcosθ=1 D．ρcosθ=5．（5分）某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的四个侧面的面积中最大的是（）A．3 B．C．6 D．6．（5分）设，是非零向量，且≠±．则“||=||”是“（）⊥（）”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件7．（5分）实数x，y满足若z=ax+y的最大值为3a+9，最小值为3a﹣3，则a的取值范围是（）A．[﹣1，0]B．[0，1]C．[﹣1，1]D．（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）8．（5分）在空间直角坐标系O﹣xyz中．正四面体P﹣ABC的顶点A，B分别在x轴，y轴上移动．若该正四面体的棱长是2，则|OP|的取值范围是（）A．[﹣1，+1]B．[1，3]C．[﹣1，2]D．[1，+1]二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）复数等于．10．（5分）设等比数列{a n}的各项均为正数，其前S n项和为a1=1，a3=4，则a n=；S6=．11．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的S值为．12．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若c=3，C=，sinB=2sinA，则a=．13．（5分）设函数f（x）=，其中a＞0①若a=3，则f[f（9）]=；②若函数y=f（x）﹣2有两个零点，则a的取值范围是．14．（5分）10名象棋选手进行单循环赛（即每两名选手比赛一场）．规定两人对局胜者得2分，平局各得1分，负者得0分，并按总得分由高到低进行排序．比赛结束后，10名选手的得分各不相同，且第二名的得分是最后五名选手得分之和的．则第二名选手的得分是．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）已知函数f（x）=sin（2ωx﹣）+2cos2ωx﹣1（ω＞0）的最小正周期为π（Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）求f（x）在区间[0，]上的最大值和最小值．16．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AD∥BC，∠BAD=90°，PA=PD，AB⊥PA，AD=2，AB=BC=1（Ⅰ）求证：平面PAD⊥平面ABCD（Ⅱ）若E为PD的中点，求证：CE∥平面PAB（Ⅲ）若DC与平面PAB所成的角为30°，求四棱锥P﹣ABCD的体积．17．（13分）手机完全充满电量，在开机不使用的状态下，电池靠自身消耗一直到出现低电量警告之间所能维持的时间称为手机的待机时间．为了解A，B两个不同型号手机的待机时间，现从某卖场库存手机中随机抽取A，B两个型号的手机各7台，在相同条件下进行测试，统计结果如下：手机编号1234567A型待机时间（h）120125122124124123123B型待机时间（h）118123127120124a b其中，a，b是正整数，且a＜b（Ⅰ）该卖场有56台A型手机，试估计其中待机时间不少于123小时的台数；（Ⅱ）从A型号被测试的7台手机中随机抽取4台，记待机时间大于123小时的台数为X，求X 的分布列；（Ⅲ）设A，B两个型号被测试手机待机时间的平均值相等，当B型号被测试手机待机时间的方差最小时，写出a，b的值（结论不要求证明）．18．（13分）已知函数f（x）=lnx﹣a•sin（x﹣1），其中a∈R．（Ⅰ）如果曲线y=f（x）在x=1处的切线的斜率是﹣1，求a的值；（Ⅱ）如果f（x）在区间（0，1）上为增函数，求a的取值范围．19．（14分）已知直线l：x=t与椭圆C：=1相交于A，B两点，M是椭圆C上一点（Ⅰ）当t=1时，求△MAB面积的最大值；（Ⅱ）设直线MA和MB与x轴分别相交于点E，F，O为原点．证明：|OE|•|OF|为定值．20．（13分）数字1，2，3，…，n（n≥2）的任意一个排列记作（a1，a2，…，a n），设S n为所有这样的排列构成的集合．集合A n={（a1，a2，…，a n）∈S n|任意整数i，j，1≤i＜j≤n，都有a i+i≤a j﹣j}；集合B n={（a1，a2，…，a n}∈S n|任意整数i，j，1≤i＜n，都有a i+i≤a j+j}．（Ⅰ）用列举法表示集合A3，B3（Ⅱ）求集合A n∩B n的元素个数；（Ⅲ）记集合B n的元素个数为b n．证明：数列{b n}是等比数列．参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．【解答】∵集合A={x|0＜x＜2}，B={x|x2﹣1≤0}={x|﹣1≤x≤1}，∴A∪B={﹣1≤x＜2}．故选：B．2．【解答】A．y=x2+1是偶函数，不满足条件．B．y=tanx是奇函数，但函数的定义域不是R，不满足条件．C．y=2x为增函数，为非奇非偶函数，不满足条件．D．y=x+sinx是奇函数，满足条件．故选：D3．【解答】由题意可得c=2，即1+b2=4，解得b=，可得渐近线方程为y=±x．故选B．4．【解答】∵点P（2，）的直角坐标为（，1），此点到x轴的距离为1，故经过此点到x轴的距离为1的直线的方程是y=1，故过点P且平行于极轴的直线的方程是ρsinθ=1，故选A．5．【解答】由三视图得几何体是四棱锥P﹣ABCD，如图所示：且PE⊥平面ABCD，底面ABCD是矩形，AB=4、AD=2，面PDC是等腰三角形，PD=PC=3，则△PDC的高为=，所以△PDC的面积为：×4×=2，因为PE⊥平面ABCD，所以PE⊥BC，又CB⊥CD，PE∩CD=E，所以BC⊥面PDC，即BC⊥PC，同理可证AD⊥PD，则两个侧面△PAD、△PBC的面积都为：×2×3=3，侧面△PAB的面积为：×4×=6，所以四棱锥P﹣ABCD的四个侧面中面积最大是：6，故选C．6．【解答】若“（）⊥（）”，则“（）•（）=0，即“||2=||2”，即||=||，反之当||=||，则（）•（）=||2﹣||2=0，即（）⊥（），故“||=||”是“（）⊥（）”的充要条件，故选：C7．【解答】作出不等式组对应的平面区域如图：由z=ax+y得y=﹣ax+z，∵z=ax+y的最大值为3a+9，最小值为3a﹣3，∴当直线y=﹣ax+z经过点B（3，9）时直线截距最大，当经过点A（3，﹣3）时，直线截距最小．则直线y=﹣ax+z的斜率﹣a满足，﹣1≤﹣a≤1，即﹣1≤a≤1，故选：C8．【解答】如图所示，若固定正四面体P﹣ABC的位置，则原点O在以AB为直径的球面上运动，设AB的中点为M，则PM==；所以原点O到点P的最近距离等于PM减去球M的半径，最大距离是PM加上球M的半径；所以﹣1≤|OP|≤+1，即|OP|的取值范围是[﹣1，+1]．故选：A．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．【解答】复数===i．故答案为：i．10．【解答】设正数等比数列{a n}的公比为q＞0，∵a1=1，a3=4，∴q2=4，q＞0，解得q=2．则a n=2n﹣1．S6==63．故答案为：2n﹣1；63．11．【解答】模拟程序的运行，可得k=1，S=1满足条件k≤3，执行循环体，S=1，k=2满足条件k≤3，执行循环体，S=0，k=3满足条件k≤3，执行循环体，S=﹣3，k=4不满足条件k≤3，退出循环，输出S的值为﹣3．故答案为：﹣3．12．【解答】△ABC中，∵c=3，C=，sinB=2sinA，∴由正弦定理可得b=2a．再由余弦定理可得c2=a2+b2﹣2ab•cosC，即9=a2+4a2﹣2a•2a•cos，求得a=，故答案为：．13．【解答】①当a=3时，f（9）=log39=2，∴f（2）=，∴f[f（9）]=，②分别画出y=f（x）与y=﹣2的图象，如图所示，函数y=f（x）﹣2有两个零点，结合图象可得4≤a＜9，故a的取值范围是[4，9）故答案为：，[4，9）14．【解答】每个队需要进行9场比赛，则全胜的队得：9×2=18（分），而最后五队之间赛10场，至少共得：10×2=20（分），所以第二名的队得分至少为20×=16（分）．故答案是：16三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．【解答】（Ⅰ）因为f（x）=sin（2ωx﹣）+2cos2ωx﹣1=sin2ωxcos﹣cos2ωxsin+cos2ωx=sin2ωx+cos2ωx=sin（2ωx+），所以f（x）的最小正周期T=，解得ω=1．（Ⅱ）由（Ⅰ）得f（x）=sin（2x+），因为0≤x≤，所以≤2x+≤，所以，当2x+=，即x=时，f（x）取得最大值为1；当2x+=，即x=时，f（x）取得最小值为﹣．16．【解答】证明：（Ⅰ）因为∠BAD=90°，所以AB⊥AD，（1分）又因为AB⊥PA，所以AB⊥平面PAD．（3分）所以平面PAD⊥平面ABCD．（4分）解：（Ⅱ）取PA的中点F，连接BF，EF．（5分）因为E为PD的中点，所以EF∥AD，，又因为BC∥AD，，所以BC∥EF，BC=EF．所以四边形BCEG是平行四边形，EC∥BF．（7分）又BF⊂平面PAB，CE⊄平面PAB，所以CE∥平面PAB．（8分）（Ⅲ）过P作PO⊥AD于O，连接OC．因为PA=PD，所以O为AD中点，又因为平面PAD⊥平面ABCD，所以PO⊥平面ABCD．如图建立空间直角坐标系O﹣xyz．（9分）设PO=a．由题意得，A（0，1，0），B（1，1，0），C（1，0，0），D（0，﹣1，0），P（0，0，a）．所以=（1，0，0），=（0，1，﹣a），=（1，1，0）．设平面PCD的法向量为=（x，y，z），则，令z=1，则y=a．所以=（0，a，1）．（11分）因为DC与平面PAB所成角为30°，所以|cos＜＞|===sin30°=，解得a=1．（13分）所以四棱锥P﹣ABCD的体积．（14分）17．【解答】（Ⅰ）被检测的7台手机中有5台的待机时间不少于123小时，因此，估计56台A型手机中有台手机的待机时间不少于123小时．（Ⅱ）X可能的取值为0，1，2，3，；；；．所以，X 的分布列为：X0123P（Ⅲ）若A，B两个型号被测试手机的待机时间的平均值相等，当B型号被测试手机的待机时间的方差最小时，a=124，b=125．18．【解答】（Ⅰ）函数f（x）的定义域是（0，+∞），[（1分）]导函数为．[（2分）]因为曲线y=f（x）在x=1处的切线的斜率是﹣1，所以f'（1）=﹣1，即1﹣a=﹣1，[（3分）]所以a=2．[（4分）]（Ⅱ）因为f（x）在区间（0，1）上为增函数，所以对任意x∈（0，1），都有．[（6分）]因为x∈（0，1）时，cos（x﹣1）＞0，所以．[（8分）]令g（x）=x•cos（x﹣1），所以g'（x）=cos（x﹣1）﹣x•sin（x﹣1）．[（10分）]因为x∈（0，1）时，sin（x﹣1）＜0，所以x∈（0，1）时，g'（x）＞0，g（x）在区间（0，1）上单调递增，所以g（x）＜g（1）=1．[（12分）]所以a≤1．即a的取值范围是（﹣∞，1]．[（13分）]19．【解答】（Ⅰ）当t=1时，将x=1代入，解得：，∴．[（2分）]当M为椭圆C的顶点（﹣2，0）时，M到直线x=1的距离取得最大值3，[（4分）]∴△MAB面积的最大值是．[（5分）]（Ⅱ）设A，B两点坐标分别为A（t，n），B（t，﹣n），从而t2+2n2=4．[（6分）]设M（x0，y0），则有，x0≠t，y0≠±n．[（7分）]直线MA的方程为，[（8分）]令y=0，得，从而．[（9分）]直线MB的方程为，[（10分）]令y=0，得，从而．[（11分）]所以=，=，[（13分）]==4．∴|OE|•|OF|为定值．[（14分）]20．【解答】（Ⅰ）A3={（1，2，3）}，B3={（1，2，3），（1，3，2），（2，1，3），（3，2，1）}．（Ⅱ）考虑集合A n中的元素（a1，a2，a3，…，a n）．由已知，对任意整数i，j，1≤i＜j≤n，都有a i﹣i≤a j﹣j，所以（a i﹣i）+i＜（a j﹣j）+j，所以a i＜a j．由i，j的任意性可知，（a1，a2，a3，…，a n）是1，2，3，…，n的单调递增排列，所以A n={（1，2，3，…，n）}．又因为当a k=k（k∈N*，1≤k≤n）时，对任意整数i，j，1≤i＜j≤n，都有a i+i≤a j+j．所以（1，2，3，…，n）∈B n，所以A n⊆B n．所以集合A n∩B n的元素个数为1．（Ⅲ）由（Ⅱ）知，b n≠0．因为B2={（1，2），（2，1）}，所以b2=2．当n≥3时，考虑B n中的元素（a1，a2，a3，…，a n）．（1）假设a k=n（1≤k＜n）．由已知，a k+k≤a k+1+（k+1），所以a k≥a k+k﹣（k+1）=n﹣1，+1≤n﹣1，所以a k+1=n﹣1．又因为a k+1依此类推，若a k=n，则a k+1=n﹣1，a k+2=n﹣2，…，a n=k．①若k=1，则满足条件的1，2，3，…，n的排列（a1，a2，a3，…，a n）有1个．②若k=2，则a2=n，a3=n﹣1，a4=n﹣2，…，a n=2．所以a1=1．此时满足条件的1，2，3，…，n的排列（a1，a2，a3，…，a n）有1个．③若2＜k＜n，只要（a1，a2，a3，…a k﹣1）是1，2，3，…，k﹣1的满足条件的一个排列，就可以相应得到1，2，3，…，n的一个满足条件的排列．此时，满足条件的1，2，3，…，n的排列（a1，a2，a3，…，a n）有b k﹣1个．（2）假设a n=n，只需（a1，a2，a3，…a n﹣1）是1，2，3，…，n﹣1的满足条件的排列，此时满足条件的1，2，3，…，n的排列（a1，a2，a3，…，a n）有b n﹣1个．综上b n=1+1+b2+b3+…+b n﹣1，n≥3．因为b3=1+1+b2=4=2b2，且当n≥4时，b n=（1+1+b2+b3+…+b n﹣2）+b n﹣1=2b n﹣1，所以对任意n∈N*，n≥3，都有．所以{b n}成等比数列．。

北京市西城区2017-2018学年高三上学期期末数学试卷(理科) Word版含解析

北京市西城区2017-2018学年高三上学期期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）设集合A={﹣1，0，1}，B={x|x2﹣x＜2}，则集合A∩B=（）A．{﹣1，0，1} B．{﹣1，0} C．{0，1} D．{﹣1，1}2．（5分）设p：∀平面向量和，|﹣|＜||+||，则¬p为（）A．∀平面向量和，|﹣|≥||+|| B．∃平面向量和，|﹣|＜||+||C．∃平面向量和，|﹣|＞||+|| D．∃平面向量和，|﹣|≥||+||3．（5分）在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若a=2b，sinB=，则（）A．A=B．A=C．s inA=D．sinA=4．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的x值为（）A．4B．5C．6D．75．（5分）设函数f（x）=3x+bcosx，x∈R，则“b=0”是“函数f（x）为奇函数”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件6．（5分）一个四棱锥的三视图如图所示，那么对于这个四棱锥，下列说法中正确的是（）A．最长棱的棱长为B．最长棱的棱长为3C．侧面四个三角形中有且仅有一个是正三角形D．侧面四个三角形都是直角三角形7．（5分）已知抛物线C：y2=4x，点P（m，0），O为坐标原点，若在抛物线C上存在一点Q，使得∠OQP=90°，则实数m的取值范围是（）A．（4，8）B．（4，+∞）C．（0，4）D．（8，+∞）8．（5分）设D为不等式组表示的平面区域，点B（a，b）为坐标平面xOy内一点，若对于区域D内的任一点A（x，y），都有成立，则a+b的最大值等于（）A．2B．1C．0D．3二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）复数，则|z|=．10．（5分）设F1，F2为双曲线C：=1（a＞0）的左、右焦点，点P为双曲线C上一点，如果||PF1|﹣|PF2||=4，那么双曲线C的方程为；离心率为．11．（5分）在右侧的表格中，各数均为正数，且每行中的各数从左到右成等差数列，每列中的各数从上到下成等比数列，那么x+y+z=．2 x 3y az12．（5分）如图，在△ABC中，以BC为直径的半圆分别交AB，AC于点E，F，且AC=2AE，那么=；∠A=．13．（5分）现要给4个唱歌节目和2个小品节目排列演出顺序，要求2个小品节目之间恰好有3个唱歌节目，那么演出顺序的排列种数是．（用数字作答）14．（5分）设P，Q为一个正方体表面上的两点，已知此正方体绕着直线PQ旋转θ（0＜θ＜2π）角后能与自身重合，那么符合条件的直线PQ有条．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）已知函数f（x）=2，x∈R的部分图象如图所示．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；（Ⅱ）设点B是图象上的最高点，点A是图象与x轴的交点，求tan∠BAO的值．16．（13分）现有两种投资方案，一年后投资盈亏的情况如下：（1）投资股市：投资结果获利40% 不赔不赚亏损20%概率（2）购买基金：投资结果获利20% 不赔不赚亏损10%概率p q（Ⅰ）当时，求q的值；（Ⅱ）已知甲、乙两人分别选择了“投资股市”和“购买基金”进行投资，如果一年后他们中至少有一人获利的概率大于，求p的取值范围；（Ⅲ）丙要将家中闲置的10万元钱进行投资，决定在“投资股市”和“购买基金”这两种方案中选择一种，已知，，那么丙选择哪种投资方案，才能使得一年后投资收益的数学期望较大？给出结果并说明理由．17．（14分）如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，A1A⊥底面ABCD，∠BAD=90°，AD∥BC，且A1A=AB=AD=2BC=2，点E在棱AB上，平面A1EC与棱C1D1相交于点F．（Ⅰ）证明：A1F∥平面B1CE；（Ⅱ）若E是棱AB的中点，求二面角A1﹣EC﹣D的余弦值；（Ⅲ）求三棱锥B1﹣A1EF的体积的最大值．18．（13分）已知函数f（x）=ax2﹣bx（a＞0）和g（x）=lnx的图象有公共点P，且在点P处的切线相同．（Ⅰ）若点P的坐标为，求a，b的值；（Ⅱ）已知a=b，求切点P的坐标．19．（14分）已知椭圆C：的右焦点为F，右顶点为A，离心率为e，点P（m，0）（m＞4）满足条件．（Ⅰ）求m的值；（Ⅱ）设过点F的直线l与椭圆C相交于M，N两点，记△PMF和△PNF的面积分别为S1，S2，求证：．20．（13分）设函数f（x）=x（9﹣x），对于任意给定的m位自然数n0=（其中a1是个位数字，a2是十位数字，…），定义变换A：A（n0）=f（a1）+f（a2）+…+f（a m）．并规定A（0）=0．记n1=A（n0），n2=A（n1），…，n k=A（n k﹣1），…．（Ⅰ）若n0=2015，求n2015；（Ⅱ）当m≥3时，证明：对于任意的m（m∈N*）位自然数n均有A（n）＜10m﹣1；（Ⅲ）如果n0＜10m（m∈N*，m≥3），写出n m的所有可能取值．（只需写出结论）北京市西城区2015届高三上学期期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）设集合A={﹣1，0，1}，B={x|x2﹣x＜2}，则集合A∩B=（）A．{﹣1，0，1} B．{﹣1，0} C．{0，1} D．{﹣1，1}考点：交集及其运算．专题：集合．分析：根据集合的基本运算即可得到结论．解答：解：B={x|x2﹣x＜2}={x|﹣1＜x＜2}，则A∩B={0，1}，故选：C点评：本题主要考查集合的基本运算，比较基础．2．（5分）设p：∀平面向量和，|﹣|＜||+||，则¬p为（）A．∀平面向量和，|﹣|≥||+|| B．∃平面向量和，|﹣|＜||+||C．∃平面向量和，|﹣|＞||+|| D．∃平面向量和，|﹣|≥||+||考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用；简易逻辑．分析：由的否定的定义知p：∀平面向量和，|﹣|＜||+||，则¬p：∃平面向量和，|﹣|≥||+||．解答：解：由∀平面向量和的否定为：∃平面向量和，|﹣|＜||+||的否定为：|﹣|≥||+||．即有p：∀平面向量和，|﹣|＜||+||，则¬p：∃平面向量和，|﹣|≥||+||．故选D．点评：本题考查的否定，解题时要熟练掌握基本定义．3．（5分）在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若a=2b，sinB=，则（）A．A=B．A=C．s inA=D．sinA=考点：正弦定理．专题：解三角形．分析：已知等式利用正弦定理化简，把sinB的值代入求出sinA的值，即可确定出A的度数．解答：解：把a=2b，利用正弦定理化简得：sinA=2sinB，将sinB=代入得：sinA=，∵A为锐角，∴A=．故选：A．点评：此题考查了正弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．4．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的x值为（）A．4B．5C．6D．7考点：程序框图．专题：算法和程序框图．分析：执行程序框图，依次写出每次循环得到的x，y的值，当x=6，y=64时，满足条件y=64＞10×6+3，退出循环，输出x的值为6．解答：解：执行程序框图，有a=2，x=3，y=8不满足条件y＞10x+3，x=4，y=16不满足条件y＞10x+3，x=5，y=32不满足条件y＞10x+3，x=6，y=64满足条件y=64＞10×6+3，退出循环，输出x的值为6．故选：C．点评：本题主要考查了程序框图和算法，属于基本知识的考查．5．（5分）设函数f（x）=3x+bcosx，x∈R，则“b=0”是“函数f（x）为奇函数”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：根据函数奇偶性的性质以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可．解答：解：若b=0，则f（x）=3x为奇函数，则充分性成立，若函数f（x）为奇函数，则f（﹣x）=﹣3x+bcosx=﹣3x﹣bcosx，即b=﹣b，解得b=0，即“b=0”是“函数f（x）为奇函数”充分条件和必要条件，故选：C点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据函数奇偶性的性质是解决本题的关键．6．（5分）一个四棱锥的三视图如图所示，那么对于这个四棱锥，下列说法中正确的是（）A．最长棱的棱长为B．最长棱的棱长为3C．侧面四个三角形中有且仅有一个是正三角形D．侧面四个三角形都是直角三角形考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：由三视图可知：该几何体如图所示，PA⊥底面ABCD，PA=2，底面是一个直角梯形，其中BC∥AD，AB⊥AD，BC=AB=1，AD=2．可得△PAD，△PAB，△PBC是直角三角形．再利用三垂线定理可得△PCD是直角三角形．即可得出．解答：解：由三视图可知：该几何体如图所示，PA⊥底面ABCD，PA=2，底面是一个直角梯形，其中BC∥AD，AB⊥AD，BC=AB=1，AD=2．可得△PAD，△PAB，△PBC是直角三角形．取AD的中点O，连接OC，AC．可得四边形ABCO是平行四边形，∴OC=OD=OA=1，∴CD⊥AC，∵PA⊥底面ABCD，∴CD⊥PC，因此△PCD是直角三角形．综上可得：四棱锥的侧面四个三角形都是直角三角形．故选：D．点评：本题考查了线面垂直的判定与性质定理、三垂线定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．7．（5分）已知抛物线C：y2=4x，点P（m，0），O为坐标原点，若在抛物线C上存在一点Q，使得∠OQP=90°，则实数m的取值范围是（）A．（4，8）B．（4，+∞）C．（0，4）D．（8，+∞）考点：抛物线的简单性质．专题：计算题．分析：求出以OP为直径的圆的方程，y2=4x代入整理，利用在抛物线C上存在一点Q，使得∠OQP=90°，即可求出实数m的取值范围．解答：解：以OP为直径的圆的方程为（x﹣）2+y2=，y2=4x代入整理可得x2+（4﹣m）x=0，∴x=0或x=m﹣4，∵在抛物线C上存在一点Q，使得∠OQP=90°，∴m﹣4＞0，∴m＞4，故选：B．点评：本题考查抛物线、圆的方程，考查学生的计算能力，比较基础．8．（5分）设D为不等式组表示的平面区域，点B（a，b）为坐标平面xOy内一点，若对于区域D内的任一点A（x，y），都有成立，则a+b的最大值等于（）A．2B．1C．0D．3考点：简单线性规划；平面向量数量积的运算．专题：数形结合；转化思想；不等式的解法及应用；平面向量及应用．分析：由不等式组作出平面区域D，结合得到，再一次作出可行域，然后求线性目标函数z=a+b的最大值．解答：解：由作出平面区域D如图，联立，解得D（﹣1，﹣1），由，得，作出可行域如图，令z=a+b，由图可知，当b=﹣a+z过R（1，1）时z最大为2．故选：A．点评：本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，考查了平面向量数量积的坐标运算，是中档题．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）复数，则|z|=1．考点：复数求模．专题：数系的扩充和复数．分析：化简已知复数可得z=﹣i，由模长公式可得．解答：解：化简可得复数===﹣i∴|z|=|﹣i|=1故答案为：1点评：本题考查复数的模长公式，化简已知复数是解决问题的关键，属基础题．10．（5分）设F1，F2为双曲线C：=1（a＞0）的左、右焦点，点P为双曲线C上一点，如果||PF1|﹣|PF2||=4，那么双曲线C的方程为；离心率为．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：求出双曲线的b=4，由双曲线的定义可得a=2，进而得到双曲线方程，由a，b，c的关系求得c，再由离心率公式计算即可得到．解答：解：双曲线C：=1（a＞0）的b=4，由双曲线的定义，可得，||PF1|﹣|PF2||=2a=4，即a=2，c==2．则双曲线的方程为，离心率e==．故答案为：，．点评：本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查离心率的求法，属于基础题．11．（5分）在右侧的表格中，各数均为正数，且每行中的各数从左到右成等差数列，每列中的各数从上到下成等比数列，那么x+y+z=．2 x 3y az考点：等比数列的性质．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：先利用每一纵列成等比数列，所以由第一列，可得y=1，再利用每一横行成等差数列，所以由第二行可得a=，由第三行可得z=，进而求出x ，即可求出x+y+z ．解答：解：因为每一纵列成等比数列，所以由第一列，可得y=1，又因为每一横行成等差数列，所以由第二行可得a=，由第三行可得z= 由第一列，可得x=，所以x+y+z=．故答案为：．点评：本小题主要考查等差数列、等比数列等基础知识，考查运算求解能力． 12．（5分）如图，在△ABC 中，以BC 为直径的半圆分别交AB ，AC 于点E ，F ，且AC=2AE ，那么=；∠A=．考点：弦切角．专题：立体几何．分析：证明△AEF ∽△ACB ，可得===，即可得出结论．解答：解：由题意，∵以BC 为直径的半圆分别交AB 、AC 于点E 、F ， ∴∠AEF=∠C ， ∵∠EAF=∠CAB ， ∴△AEF ∽△ACB ，∴===，∴EF=1，故∠EOF=，故∠B+∠C=，∴∠A=，故答案为：，点评：本题考查三角形相似的判定与运用，考查学生的计算能力，属于基础题．13．（5分）现要给4个唱歌节目和2个小品节目排列演出顺序，要求2个小品节目之间恰好有3个唱歌节目，那么演出顺序的排列种数是96．（用数字作答）考点：计数原理的应用．专题：排列组合．分析：由题意，先选有3个唱歌节目放在2个小品之间，再把剩下的一个唱歌节目放在排头和排尾，问题得以解决解答：解：先选有3个唱歌节目放在2个小品之间，再把剩下的一个唱歌节目放在排头和排尾，故=96，故答案为：96点评：本题考查了分步计数原理，关键是特殊元素特殊处理，属于基础题14．（5分）设P，Q为一个正方体表面上的两点，已知此正方体绕着直线PQ旋转θ（0＜θ＜2π）角后能与自身重合，那么符合条件的直线PQ有13条．考点：棱柱的结构特征．专题：空间位置关系与距离．分析：由正方体自身的对称性可知，若正方体绕着直线PQ旋转θ（0＜θ＜2π）角后能与自身重合，则PQ比过正方体中心，由此分三种情况，即P，Q为正方体一体对角线两顶点时，P，Q为正方两相对棱中点时，P，Q为正方体对面中心时求得符合条件的直线PQ的条数．解答：解：若正方体绕着直线PQ旋转θ（0＜θ＜2π）角后能与自身重合，则PQ比过正方体中心，否则，正方体绕着直线PQ旋转θ（0＜θ＜2π）角后，中心不能回到原来的位置．共有三种情况：如图，当P，Q为正方体一体对角线两顶点时，把正方体绕PQ旋转，正方体回到原来的位置，此时直线共有4条；当P，Q为正方两相对棱中点时，把正方体绕PQ旋转π，正方体回到原来的位置，此时直线共有6条；当P，Q为正方体对面中心时，把正方体绕PQ旋转，正方体回到原来的位置，此时直线共有3条．综上，符合条件的直线PQ有4+6+3=13条．故答案为：13．点评：本题考查了棱柱的结构特征，考查了学生的空间想象和思维能力，是中档题．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）已知函数f（x）=2，x∈R的部分图象如图所示．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；（Ⅱ）设点B是图象上的最高点，点A是图象与x轴的交点，求tan∠BAO的值．考点：三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．专题：三角函数的图像与性质．分析：（Ⅰ）化简可得f（x）=，易得最小正周期为4π，解不等式可得单调递增区间；（Ⅱ）过点B作线段BC垂直于x轴于点C．由题意得，BC=2，易得要求正切值．解答：解：（Ⅰ）化简可得==，由周期公式可得．∴函数f（x）的最小正周期为4π，由可解得，∴函数f（x）的单调递增区间为；（Ⅱ）过点B作线段BC垂直于x轴于点C．由题意得，BC=2，∴．点评：本题考查三角函数的图象和性质，涉及三角函数恒等变换，属基础题．16．（13分）现有两种投资方案，一年后投资盈亏的情况如下：（1）投资股市：投资结果获利40% 不赔不赚亏损20%概率（2）购买基金：投资结果获利20% 不赔不赚亏损10%概率p q（Ⅰ）当时，求q的值；（Ⅱ）已知甲、乙两人分别选择了“投资股市”和“购买基金”进行投资，如果一年后他们中至少有一人获利的概率大于，求p的取值范围；（Ⅲ）丙要将家中闲置的10万元钱进行投资，决定在“投资股市”和“购买基金”这两种方案中选择一种，已知，，那么丙选择哪种投资方案，才能使得一年后投资收益的数学期望较大？给出结果并说明理由．考点：互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式．专题：概率与统计．分析：（Ⅰ）根据p++q=1解出即可；（Ⅱ）设出各个事件后得，根据，，从而求出P的范围；（Ⅲ）分别求出EX，EY在值，通过比较得到结论．解答：（Ⅰ）解：因为“购买基金”后，投资结果只有“获利”、“不赔不赚”、“亏损”三种，且三种投资结果相互独立，所以p++q=1．…（2分）又因为，所以q=．…（3分）（Ⅱ）解：记事件A为“甲投资股市且盈利”，事件B为“乙购买基金且盈利”，事件C为“一年后甲、乙两人中至少有一人投资获利”，…（4分）则，且A，B独立．由上表可知，，P（B）=p．所以…（5分）==．…（6分）因为，所以．…（7分）又因为，q≥0，所以．所以．…（8分）（Ⅲ）解：假设丙选择“投资股票”方案进行投资，且记X为丙投资股票的获利金额（单位：万元），所以随机变量X的分布列为：X 4 0 ﹣2P…（9分）则．…10 分假设丙选择“购买基金”方案进行投资，且记Y为丙购买基金的获利金额（单位：万元），所以随机变量Y的分布列为：Y 2 0 ﹣1P…（11分）则．…（12分）因为EX＞EY，所以丙选择“投资股市”，才能使得一年后的投资收益的数学期望较大．…（13分）点评：本题考查了互斥事件的概率问题，考查了期望问题，是一道基础题．17．（14分）如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，A1A⊥底面ABCD，∠BAD=90°，AD∥BC，且A1A=AB=AD=2BC=2，点E在棱AB上，平面A1EC与棱C1D1相交于点F．（Ⅰ）证明：A1F∥平面B1CE；（Ⅱ）若E是棱AB的中点，求二面角A1﹣EC﹣D的余弦值；（Ⅲ）求三棱锥B1﹣A1EF的体积的最大值．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定；二面角的平面角及求法．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（Ⅰ）由已知得平面ABCD∥平面A1B1C1D1，从而A1F∥EC，由此能证明A1F∥平面B1CE．（Ⅱ）以AB，AD，AA1分别为x轴、y轴和z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A1﹣EC﹣D的余弦值．（Ⅲ）过点F作FM⊥A1B1于点M，则FM⊥平面A1ABB1，由此能求出当F与点D1重合时，三棱锥B1﹣A1EF的体积的最大值为．解答：（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：因为ABCD﹣A1B1C1D1是棱柱，所以平面ABCD∥平面A1B1C1D1．又因为平面ABCD∩平面A1ECF=EC，平面A1B1C1D1∩平面A1ECF=A1F，所以A1F∥EC．…（2分）又因为A1F⊄平面B1CE，EC⊂平面B1CE，所以A1F∥平面B1CE．…（4分）（Ⅱ）解：因为AA1⊥底面ABCD，∠BAD=90°，所以AA1，AB，AD两两垂直，以A为原点，以AB，AD，AA1分别为x轴、y轴和z轴，如图建立空间直角坐标系．…（5分）则A1（0，0，2），E（1，0，0），C（2，1，0），所以，．设平面A1ECF的法向量为，由，，得令z=1，得．…（7分）又因为平面DEC的法向量为，…（8分）所以，由图可知，二面角A1﹣EC﹣D的平面角为锐角，所以二面角A1﹣EC﹣D的余弦值为．…（10分）（Ⅲ）解：过点F作FM⊥A1B1于点M，因为平面A1ABB1⊥平面A1B1C1D1，FM⊂平面A1B1C1D1，所以FM⊥平面A1ABB1，所以…（12分）=．因为当F与点D1重合时，FM取到最大值2（此时点E与点B重合），所以当F与点D1重合时，三棱锥B1﹣A1EF的体积的最大值为．…（14分）点评：本题考查空间线面关系、几何体的体积等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力．18．（13分）已知函数f（x）=ax2﹣bx（a＞0）和g（x）=lnx的图象有公共点P，且在点P处的切线相同．（Ⅰ）若点P的坐标为，求a，b的值；（Ⅱ）已知a=b，求切点P的坐标．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；二次函数的性质．专题：导数的概念及应用；导数的综合应用．分析：（Ⅰ）求出f（x）和g（x）的导数，求出切线的斜率，解a，b的方程，即可得到a，b；（Ⅱ）设P（s，t），则lns=as2﹣as①，f′（s）=g′（s），联立消掉a可得关于s的方程，构造函数，根据函数单调性可求得唯一s值，进而可求P的坐标．解答：（Ⅰ）解：由题意，得，且f'（x）=2ax﹣b，，由已知，得，即，解得a=2e2，b=3e；（Ⅱ）解：若a=b，则f'（x）=2ax﹣a，，设切点坐标为（s，t），其中s＞0，由题意，得as2﹣as=lns，①，②由②，得，其中，代入①，得．（*）因为，且s＞0，所以．设函数，，则．令F'（x）=0，解得x=1或（舍）．当x变化时，F'（x）与F（x）的变化情况如下表所示，x （，1） 1 （1，+∞）F'（x）+ 0 ﹣F（x）↗极大值↘所以当x=1时，F（x）取到最大值F（1）=0，且当时F（x）＜0．因此，当且仅当x=1时F（x）=0．所以方程（*）有且仅有一解s=1．于是t=lns=0，因此切点P的坐标为（1，0）．点评：本题考查利用导数研究函数的单调性及导数的几何意义，考查学生灵活运用所学知识分析问题解决问题的能力，属于中档题．19．（14分）已知椭圆C：的右焦点为F，右顶点为A，离心率为e，点P（m，0）（m＞4）满足条件．（Ⅰ）求m的值；（Ⅱ）设过点F的直线l与椭圆C相交于M，N两点，记△PMF和△PNF的面积分别为S1，S2，求证：．考点：椭圆的简单性质．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）求出，|FA|=2，|AP|=m﹣4，利用求m的值；（Ⅱ）分类讨论，设出直线方程代入椭圆方程，利用韦达定理证明∠MPF=∠NPF，求出面积，即可得出结论．解答：（Ⅰ）解：因为椭圆C的方程为，所以a=4，，，…（2分）则，|FA|=2，|AP|=m﹣4．…（3分）因为，所以m=8．…（5分）（Ⅱ）证明：若直线l的斜率不存在，则有S1=S2，|PM|=|PN|，符合题意．…（6分）若直线l的斜率存在，则设直线l的方程为y=k（x﹣2），M（x1，y1），N（x2，y2）．由得（4k2+3）x2﹣16k2x+16k2﹣48=0，…（7分）可知△＞0恒成立，且，．…（8分）因为…（10分）===，所以∠MPF=∠NPF．…（12分）因为△PMF和△PNF的面积分别为，，…（13分）所以．…（14分）点评：本题考查椭圆方程与性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，三角形面积公式，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．20．（13分）设函数f（x）=x（9﹣x），对于任意给定的m位自然数n 0=（其中a1是个位数字，a2是十位数字，…），定义变换A：A（n0）=f（a1）+f（a2）+…+f（a m）．并规定A（0）=0．记n1=A（n0），n2=A（n1），…，n k=A（n k﹣1），…．（Ⅰ）若n0=2015，求n2015；（Ⅱ）当m≥3时，证明：对于任意的m（m∈N*）位自然数n均有A（n）＜10m﹣1；（Ⅲ）如果n0＜10m（m∈N*，m≥3），写出n m的所有可能取值．（只需写出结论）考点：进行简单的合情推理．专题：推理和证明．分析：（Ⅰ）由已知中变换A：A（n0）=f（a1）+f（a2）+…+f（a m）．并规定A（0）=0．记n1=A（n0），n2=A（n1），…，n k=A（n k﹣1），将n0=2015，代入可得答案．（Ⅱ）由函数，可得对于非负整数x，均有f（x）=x（9﹣x）≤20．当x=4或5时，取到最大值，故A（n）≤20m，令g（m）=10m﹣1﹣20m，分析函数的最值上，可得结论；（Ⅲ）如果n0＜10m（m∈N*，m≥3），则n m的所有可能取值为0，8，14，16，20，22，26，28，32，36，38．解答：解：（Ⅰ）n1=14+0+8+20=42，n2=20+14=34，n3=18+20=38，n4=18+8=26，n5=14+18=32，n6=18+14=32，…所以n2015=32．…（3分）证明：（Ⅱ）因为函数，所以对于非负整数x，知f（x）=x（9﹣x）≤20．（当x=4或5时，取到最大值）…（4分）因为A（n）=f（a1）+f（a2）+…+f（a m），所以A（n）≤20m．…（6分）令g（m）=10m﹣1﹣20m，则g（3）=103﹣1﹣20×3＞0．当m≥3时，g（m+1）﹣g（m）=10m﹣20（m+1）﹣10m﹣1+20m=9×10m﹣1﹣20＞0，所以g（m+1）﹣g（m）＞0，函数g（m），（m∈N，且m≥3）单调递增．故g（m）≥g（3）＞0，即10m﹣1＞20m≥A（n）．所以当m≥3时，对于任意的m位自然数n均有A（n）＜10m﹣1．…（9分）解：（Ⅲ）n m的所有可能取值为0，8，14，16，20，22，26，28，32，36，38．…（14分）点评：本题考查的知识点是合情推理，其中正解理解变换A：A（n0）=f（a1）+f（a2）+…+f （a m）．及规定A（0）=0．记n1=A（n0），n2=A（n1），…，n k=A（n k﹣1）的含义是解答的关键．。

三角函数中的恒等变换应用-高中数学知识点讲解(含答案)

三角函数中的恒等变换应用（北京习题集）（教师版）一．选择题（共6小题）1．（2017秋•东城区期末）若)3cos ,(,)x x x ϕϕππ+=-∈-，则ϕ等于( ) A ．3π-B ．3πC ．56π D ．56π-2．（2019•石景山区一模）已知函数()sin f x a x x =-的一条对称轴为6x π=-，12()()0f x f x +=，且函数()f x 在1(x ，2)x 上具有单调性，则12||x x +的最小值为( ) A ．6πB ．3π C ．23π D ．43π 3．（2018•海淀区二模）关于函数()sin cos f x x x x =-，下列说法错误的是( ) A ．()f x 是奇函数 B ．0不是()f x 的极值点C ．()f x 在(,)22ππ-上有且仅有3个零点D ．()f x 的值域是R4．（2017春•西城区期末）函数()f x x x =-在区间[0，]π上的最大、最小值分别为( )A ．π，0B ．2π- C ．,14ππ- D ．0,14π-5．（2017春•海淀区校级期中）已知函数21()(2cos 1)sin 2cos42f x x x x =-+，若(2πα∈，)π且()f α=α的值是( ) A ．58πB ．1116πC ．916π D ．78π6．（2015秋•丰台区期末）函数()sin 22f x x x =+在区间[0，]π上的零点之和是( ) A ．23πB ．712π C ．76π D ．43π 二．填空题（共5小题）7．（2018春•丰台区期末）已知函数2()cos cos f x x x x =+，则()f x 的最小正周期为；最大值为． 8．（2017•海淀区校级三模）已知函数()sin()cos (0)6f x x x πωωω=+->，若函数()f x 的图象关于直线2x π=对称，且在区间[,]44ππ-上是单调函数，则ω的最大值是9．（2017•朝阳区二模）若平面向量(cos ,sin )a θθ=，(1,1)b =-，且a b ⊥，则sin 2θ的值是． 10．（2016•北京模拟）已知函数(tan )sin 2cos2f ααα=+，则函数()f x 的值域为．11．（2016春•海淀区校级期末）函数2()sin()cos 62xf x x π=++的振幅为，最小正周期为．三．解答题（共4小题）12．（2015春•延庆县期末）（Ⅰ）证明：sin 1cos 1cos sin αααα-=+．（Ⅱ）已知圆的方程是222x y r +=，则经过圆上一点0(M x ，0)y 的切线方程为200x x y y r +=，类比上述性质，试写出椭圆22221x y a b+=类似的性质．13．（2014•海淀区校级模拟）由倍角公式2cos22cos 1x x =-，可知cos2x 可以表示为cos x 的二次多项式．对于cos3x ，我们有 cos3cos(2)x x x =+ cos2cos sin2sin x x x x =-2(2cos 1)cos 2(sin cos )sin x x x x x =-- 322cos cos 2(1cos )cos x x x x =--- 34cos 3cos x x =-可见cos3x 可以表示为cos x 的三次多项式．一般地，存在一个n 次多项式()n P t ，使得cos (cos )n nx P x =，这些多项式()n P t 称为切比雪夫多项式．()I 求证：3sin33sin 4sin x x x =-；()II 请求出4()P t ，即用一个cos x 的四次多项式来表示cos4x ； ()III 利用结论3cos34cos 3cos x x x =-，求出sin18︒的值．14．（2009秋•通州区期末）求证：2tan (1cos2)1cos2θθθ+=-．15．（20092tan α=．三角函数中的恒等变换应用（北京习题集）（教师版）参考答案与试题解析一．选择题（共6小题）1．（2017秋•东城区期末）若)3cos ,(,)x x x ϕϕππ+=-∈-，则ϕ等于( ) A ．3π-B ．3πC ．56π D ．56π-【分析】由题意利用两角和的正弦公式可得cos ϕ和sin ϕ的值，从而求得ϕ的值．【解答】解：23sin()3cos xx x ϕ+-，cos sin 3cos x x xx ϕϕ∴+=-，∴3ϕϕ⎧=⎪=⎨=-⎪⎩即1cos 2sin ϕϕ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(,)ϕππ∈-，3πϕ∴=-，故选：A．【点评】本题主要考查两角和的正弦公式的应用，属于基础题．2．（2019•石景山区一模）已知函数()sin f x a x x =-的一条对称轴为6x π=-，12()()0f x f x +=，且函数()f x 在1(x ，2)x 上具有单调性，则12||x x +的最小值为( ) A ．6πB ．3π C ．23π D ．43π 【分析】利用辅助角公式化简，对称轴为6x π=-，12()()0f x f x +=，且函数()f x 在1(x ，2)x 上具有单调性，可得1x 与2x ，关于对称中心对称，即可求解12||xx +的最小值；【解答】解：函数()sin )f x a xx x θ=-=+，其中tan θ= 函数()f x的一条对称轴为6x π=-，可得1()62f a π-=--=解得：2a =． 3πθ∴=-对称中心对称横坐标3x k ππ-=，可得3x k ππ=+，k Z ∈．又12()()0f x f x +=，且函数()f x 在1(x ，2)x 上具有单调性． 12||2||3x x k π∴+=+当0k =时，可得122||3x x π+= 故选：C ．【点评】本题考查了正弦函数的最值和单调性的综合应用．属于中档题． 3．（2018•海淀区二模）关于函数()sin cos f x x x x =-，下列说法错误的是( ) A ．()f x 是奇函数 B ．0不是()f x 的极值点C ．()f x 在(,)22ππ-上有且仅有3个零点D ．()f x 的值域是R【分析】根据三角函数的性质和导函数，依次判断各选项即可．【解答】解：对于A ：由()sin()cos()()f x x x x f x -=-+-=-，()f x ∴是奇函数，A 对；对于B ，()sin cos f x x x x =-，()cos cos sin sin f x x x x x x x '=--=-，当0x =时，()0f x =，()0f x '=，0不是()f x 的极值点．B 对．对于:()sin cos C f x x x x =-，()cos cos sin sin f x x x x x x x '=-+=，可得在(2π-，0)上单调递减．(0,)2π上单调递增．(0)f 可得最小值，(0)0f =，所以，()f x 在(,)22ππ-上不是3个零点．C 不对；对于D ：当x 无限大或无线小时，可得()f x 的值域为R ，D 对．故选：C ．【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，导函数的应用，属于基础题．4．（2017春•西城区期末）函数()f x x x =-在区间[0，]π上的最大、最小值分别为( )A ．π，0B ．2π- C ．,14ππ- D ．0,14π-【分析】对函数()f x 求导数，利用导数判断()f x 的单调性，并求()f x 在区间[0，]π上的最大、最小值．【解答】解：函数()f x x x =，()1f x x ∴'=；令()0f x '=，解得cos x ，又[0x ∈，]π，4x π∴=；[0x ∴∈，)4π时，()0f x '<，()f x 单调递减；(4x π∈，]π时，()0f x '>，()f x 单调递增；且()14444f ππππ==-，(0)0f =，()f ππ=；∴函数()f x 在区间[0，]π上的最大、最小值分别为π和14π-．故选：C ．【点评】本题考查了利用导数求函数在闭区间上的最值问题，是中档题．5．（2017春•海淀区校级期中）已知函数21()(2cos 1)sin 2cos42f x x x x =-+，若(2πα∈，)π且()f α=α的值是( ) A ．58πB ．1116πC ．916π D ．78π【分析】利用二倍角公式和和角公式化简()f x ，根据()f α=α的表达式即可得出α的值．【解答】解：111()cos2sin 2cos4sin 4cos4)2224f x x x x x x x π=+=++，())242f παα∴=+=4242k ππαπ∴+=+，即162k ππα=+，k Z ∈． (2πα∈，)π，916216πππα∴=+=．故选：C ．【点评】本题考查了三角恒等变换，正弦函数的图象与性质，属于中档题．6．（2015秋•丰台区期末）函数()sin 22f x x x =+在区间[0，]π上的零点之和是( ) A ．23πB ．712π C ．76π D ．43π 【分析】由()0f x =结合正切函数的性质求出函数的零点即可得到结论．【解答】解：由()sin 220f x x x ==得sin 2x x =，即tan 2x = 即23x k ππ=-，即26k x ππ=-， 0x π，∴当1k =时，3x π=，当2k =时，56x π=，则函数()f x 的零点之和为57366πππ+=，故选：C ．【点评】本题主要考查函数零点的求解和应用，根据正切函数的性质求出x 的值是解决本题的关键．二．填空题（共5小题）7．（2018春•丰台区期末）已知函数2()cos cos f x x x x =+，则()f x 的最小正周期为 π ；最大值为．【分析】利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性求得函数()f x 的最小正周期．再根据正弦函数值域求最大值．【解答】解：函数2111()cos cos 2cos2sin(2)2262f x x x x x x x π=+=++=++．故函数()f x 的最小正周期为T π=．当2262x k πππ+=+时，函数()f x 取得最大值为32．故答案为：3,2π．【点评】本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的周期性，函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换规律，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．8．（2017•海淀区校级三模）已知函数()sin()cos (0)6f x x x πωωω=+->，若函数()f x 的图象关于直线2x π=对称，且在区间[,]44ππ-上是单调函数，则ω的最大值是 43【分析】利用和与差和辅助角公式化简，根据直线2x π=对称，且在区间[,]44ππ-上是单调函数可得1()244T ππ--，建立不等式关系，求解即可．【解答】解：函数()sin()cos (0)6f x x x πωωω=+->，1cos 2x x ωω=- sin()6x πω=-函数()f x 的图象关于直线2x π=对称，即262k πππωπ-=+，k Z ∈，1123k ω∴=+，又()f x 在区间[,]44ππ-上是单调函数，∴1()244T ππ--，则T π．即2ω．∴24622462k k πππωππππωπ⎧---⎪⎪⎨⎪-+⎪⎩解得：483883k k ωω⎧-⎪⎪⎨⎪+⎪⎩∴403ω< 可得ω的最大值为：43．故答案为：43【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键． 9．（2017•朝阳区二模）若平面向量(cos ,sin )a θθ=，(1,1)b =-，且a b ⊥，则sin 2θ的值是 1 ．【分析】利用向量垂直，就是数量积为0，求出cos sin 0θθ-=，两边平方，利用同角三角函数基本关系式，二倍角的正弦函数公式可求sin 2θ的值．【解答】解：因为a b ⊥，所以0a b =，即：cos sin 0θθ-=，两边平方可得：22cos 2sin cos sin 0θθθθ-+=，可得：1sin20θ-=，解得：sin21θ=．故答案为：1．【点评】本题考查数量积判断两个平面向量的垂直关系，考查计算能力，逻辑思维能力，是基础题． 10．（2016•北京模拟）已知函数(tan )sin 2cos2f ααα=+，则函数()f x 的值域为 [ ．【分析】由三角恒等变换化简()f x ，然后转化为关于x 的方程．【解答】解：22(tan )sin 2cos22sin cos cos sin f ααααααα=+=+-2222222sin cos cos sin 2tan 1tan cos sin 1tan ααααααααα+-+-==++， ∴2221()1x x f x x +-=+，2(1)210y x x y ∴+-+-=，当110,2y x +==-，即1y =-成立；当10y +≠时，△2(2)4(1)(1)0y y =--+-，可得2y，且10y +≠，综上所述，可得函数的值域为[．【点评】本题考查三角恒等变换以及换元，转化思想．11．（2016春•海淀区校级期末）函数2()sin()cos 62xf x x π=++的振幅为，最小正周期为．【分析】将函数利用二倍角公式和辅助角公式进行化简，结合三角函数的图象和性质即可得出答案．【解答】解：2()sin()cos 62xf x x π=++，11sin coscos sincos 6622x x x ππ=+++111cos cos 222x x x =+++1cos 2x x =++1)2x ϕ=++，其中tan ϕ=∴，最小正周期222||1T πππω===；，2π．【点评】本题考查了利用二倍角公式和辅助角公式进行三角函数的能力和三角函数的图象和性质的运用．属于基础题三．解答题（共4小题）12．（2015春•延庆县期末）（Ⅰ）证明：sin 1cos 1cos sin αααα-=+．（Ⅱ）已知圆的方程是222x y r +=，则经过圆上一点0(M x ，0)y 的切线方程为200x x y y r +=，类比上述性质，试写出椭圆22221x y a b+=类似的性质．【分析】（Ⅰ）运用分析法进行证明；（Ⅱ）经过圆上一点0(M x ，0)y 的切线方程就是将圆的方程中的一个x 与y 分别用0(M x ，0)y 的横坐标与纵坐标替换．由此类比得到．【解答】（Ⅰ）证明：欲证sin 1cos 1cos sin αααα-=+，只需证2sin (1cos )(1cos )ααα=-+，即证22sin 1cos αα=-，上式显然成立，故原等式成立．5⋯分（Ⅱ）解：圆的性质中，经过圆上一点0(M x ，0)y 的切线方程就是将圆的方程中的一个x 与y 分别用0(M x ，0)y 的横坐标与纵坐标替换．故可得椭圆22221x y a b +=类似的性质为：过椭圆22221x y a b+=一点0(P x ，0)y 的切线方程为00221x x y ya b+=．10⋯分．【点评】本题考查了三角函数恒等式的证明以及类比推理．13．（2014•海淀区校级模拟）由倍角公式2cos22cos 1x x =-，可知cos2x 可以表示为cos x 的二次多项式．对于cos3x ，我们有 cos3cos(2)x x x =+ cos2cos sin2sin x x x x =-2(2cos 1)cos 2(sin cos )sin x x x x x =-- 322cos cos 2(1cos )cos x x x x =--- 34cos 3cos x x =-可见cos3x 可以表示为cos x 的三次多项式．一般地，存在一个n 次多项式()n P t ，使得cos (cos )n nx P x =，这些多项式()n P t 称为切比雪夫多项式．()I 求证：3sin33sin 4sin x x x =-；()II 请求出4()P t ，即用一个cos x 的四次多项式来表示cos4x ； ()III 利用结论3cos34cos 3cos x x x =-，求出sin18︒的值．【分析】()I 利用诱导公式可得33sin3cos(3)cos[3(3)]22x x x ππ=--=--，把已知的条件代入可证得结论成立． ()II 两次使用二倍角公式，即可求得结果．()III 利用sin36cos54︒=︒，可得32sin18cos184cos 183cos18︒︒=︒-︒，解方程求出2sin18︒的值．【解答】解：()I 证明：33sin3cos(3)cos[3()][4cos ()3cos()]2222x x x x x ππππ=--=--=---- 33(4sin 3sin )3sin 4sin x x x x =--=-，故等式成立．22242()cos4cos(22)2cos 212(2cos 1)12(4cos 4cos 1)1II x x x x x x ==-=--=-+- 428cos 8cos 1x x =-+．()sin36cos54III ︒=︒，32sin18cos184cos 183cos18∴︒︒=︒-︒，24sin 182sin1810∴︒+︒-=，∴sin18︒=．【点评】本题考查二倍角公式、诱导公式的应用，正确选择公式是解题的关键． 14．（2009秋•通州区期末）求证：2tan (1cos2)1cos2θθθ+=-．【分析】原式的左边括号外边利用同角三角函数间的基本关系把tan θ化为sin cos θθ，括号里边利用二倍角的余弦函数公式化简，合并后约分即可得到结果；原式的右边利用二倍角的余弦函数公式化简，合并后得到结果，由左边=右边得证．【解答】证明：等式左边2tan (1cos 2)θθ=+222sin (12cos 1)cos θθθ=+- 222sin 2cos cos θθθ= 22sin θ=，等式右边221cos21(12sin )2sin θθθ=-=--=，∴左边=右边，故原式成立．【点评】此题考查了三角函数恒等式的证明，用到的知识有同角三角函数间的基本关系，以及二倍角的余弦函数公式，熟练掌握三角函数的恒等变换公式是证明的关键．15．（20092tan α=．【分析】先把1sin 1sin αα+-分子分母同时乘以1sin α+，整理求得22(1sin )cos αα+，进而根据α所在的象限求得1sin cos αα+=1sin cos αα-= 2tan α=．【解答】解：1sin 1sin αα+-2(1sin )(1sin )(1sin )ααα+=-+ (1sin )a =+^2/[1(sin )a -^2] 22(1sin )cos αα+=因为A 是第四象限的角所以cos 0> 又因为sin 1α<- 所以1sin 0a +>1sin cos αα+1sin cos αα-=第11页（共11页）1sin 1sin sin 2cos cos cos αααααα+-=-= 2tan α=原式得证．【点评】本题主要考查了三角函数恒等式的证明及同角三角函数基本关系的应用．。

2017-2018西城区高三第一学期理科数学期末试卷

（Ⅲ）若
BF BC

2 3
，求二面角
B

AC1

F
的大小.
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18．（本小题满分 13 分）
已知函数 f (x) eax sin x 1，其中 a 0 ．（Ⅰ）当 a 1时，求曲线 y f (x) 在点 (0, f (0)) 处的切线方程；
（A） 2
（D）
y

1
x2
（B） 6
（C） 30
（D） 270
x 3 cos ,
4．已知
M
为曲线 C
：

y

sin
（为参数）上的动点．设 O 为原点，则 OM 的最
大值是
（A）1
（B） 2
（C） 3
（D） 4
x 1≥ 0, 5．实数 x, y 满足 x y 1≥ 0, 则 2x y 的取值范围是
x y 1≥ 0,
（A）[0, 2] （C）[1, 2]
（B） ( ,0] （D） [0, )
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6．设 a, b 是非零向量，且 a,b 不共线．则“ | a | | b | ”是“ | a 2b | | 2a b | ”的
（A）充分而不必要条件
（B）必要而不充分条件
（C）充分必要条件
（D）既不充分也不必要条件
7．已知 A ， B 是函数 y 2 x 的图象上的相异两点．若点 A ， B 到直线 y 1 的距离相等，
2
则点 A ， B 的横坐标之和的取值范围是

北京市西城区2017 — 2018学年度第一学期期末试卷高三数学理科

则 P (B) X P 0
4 9
[ 5 分]
[ 8 分]
1
4 9
2
1 9
4 4 1 2 E ( X ) 0 1 2 ． 9 9 9 3 1 2 1 注：学生得到 X ~ B (2, ) ，所以 E ( X ) 2 ，同样给分． 3 3 3
2 （Ⅲ）s 2 s* ．
31 ）．记表 2 中 60
2 所有升旗时刻对应数据的方差为 s 2 ，表 1 和表 2 中所有升旗时刻对应数据的方差为 s* ， 2 判断 s 2 与 s* 的大小．（只需写出结论）
17．（本小题满分 14 分）如图，三棱柱 ABC A1 B1C1 中，AB 平面 AA1C1C ，AA1 AB AC 2 ， A1 AC 60 . 过 AA1 的平面交 B1C1 于点 E ，交 BC 于点 F . （Ⅰ）求证： A1C 平面 ABC1 ；（Ⅱ）求证：四边形 AA1 EF 为平行四边形；（Ⅲ）若
北京市西城区 2017 — 2018 学年度第一学期期末试卷
高三数学（理科）
第Ⅰ卷（选择题
共 40 分）
2018.1
一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．若集合 A { x | 0 x 3} ， B {x | 1 x 2} ，则 A B （A） { x | 1 x 3} （C） { x | 0 x 2} （B） { x | 1 x 0} （D） { x | 2 x 3}
12．把 4 件不同的产品摆成一排．若其中的产品 A 与产品 B 都摆在产品 C 的左侧，则不同的摆法有____种．（用数字作答）