第六章 平面简单桁架..

E
F3
FE
列平衡方程：
M F 0 F 0 F M F 0
E y D
解得:
F1 sin 60 1 FAy 1 0 FE F2 sin 60 0 F3 sin 60 1 FE 0.5 FAy 1.5 FAx sin 60 1 0
30
解： 用节点法求解。
1. 先求桁架的支座约束力。 2. 再求杆的内力。 节点A：F4、F5 节点C：F1、F6
节点E：F2、F3
y C 1 D
7
F
4
A
5
6 2
E 3
8
FAx
9 10 B G 11
FF
x
FAy
FE
FG
FB
22
解： 用截面法求解。
y
1. 先求桁架的支座约束力。
取桁架整体为研究对象， 受力分析如图所示。 列平衡方程：
解得：
FAx 5kN, FAy 7.56kN, FB 9.44kN
23
2. 求杆1，2和3的内力。
用截面m-m将1、2、3三杆截断，选取左段为研究对象。
y A m C 1 2 D F B y C 1 F1 D 2 F2 3 x m
FF
x A
FAx
FAy
E
3
G
FAx
FE
FG
FBy
FAy
6
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三、平面桁架的静定判断
m ：总杆数 n ：节点数 m 2n 3 m 2n 3 m 2n 3
静定桁架
/无冗杆桁架 超静定桁架 /有冗杆桁架 非桁架结构
3 ：减去固定铰支座和滚动铰支座共计3个约束力。
请判断下面的平面桁架是否静定？
F
x
0,
F5 F2 0
F2
D
F3 F5
x
F5 8.66kN
结论： F1 10 kN （压）， F2 F5 8.66 kN（拉），
F
F3 10 kN （拉），F4 10 kN （压）。
19
请同学们思考：
F3 ? , F5 ? 能否直接得 到？如何求？
节点
杆件
桁架的优点：轻，充分发挥材料性能。
3
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平面桁架的基本构成单元
简单桁架力学模型 — 三角形 : 稳定
4
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二、平面桁架的基本假设 (理想桁架)
各杆在节点处用光滑铰链相连接。
1m
FB 87.5kN, FA 62.28 5kN
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解： F3 = ?
能否用截面法求？如何求？
假想截面n-n截断杆1、2、3、6，研究右侧.
M B F 0,
FA

50 1+F2 cos 45 1+F 1 0
桁架的实际节点 理想节点
焊接或铆接，杆的端点不能转动， 可承受力矩。
光滑铰链， 不能承受力矩
5
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平面简单桁架内力计算的基本假设
① 杆件用光滑的铰链连接；
② 直杆；
③ 桁架所受的载荷均作用在节点上，且在桁架
的平面内； ④ 杆重不计或平均分配在杆件两端的节点上。 — 桁架内各杆均为二力杆。
y
D
A
C 1 3 4 5 D
FBy
B
30
2
FA
2m
FBx
F
2m
F3 F5
x
F3 F 10kN, F5 F2 8.66kN
FBx 0, FA FBy 5 kN
y
A
F2
F
y
C
F1
30
F2
FA
30
x
F1 F3
F4
x
F4 10kN
F1 10 kN, F2 8.66 kN
五、求平面桁架各杆内力的两种方法 1、节点法 — 适于求解全部杆件的内力。
分别考虑各节点的平衡。 每个节点都受一平面汇交力系的作用，只能 列写两个独立的平衡方程，因而只能求解两 个未知量。— 每个节点只能有两未知力杆
注意选择节点顺序。
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F2 ? G点：
o F 0, F cos 45 P0 y 2
G
F P
10
x
Leabharlann Baidu
解得： F2 2P
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五、求平面桁架各杆内力的两种方法 1、节点法 2、截面法
11
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五、求平面桁架各杆内力的两种方法 2、截面法 — 适于校核部分杆件内力。
适当地选取一截面，假想地把桁架截开，再 考虑其中任一部分的平衡，求出被截杆件的
内力。
截开的每部分均受一平面任意力系的作用，
只能列写三个独立的平衡方程，因而只能求
解三个未知量。— 不宜截断三杆以上。
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第六章 静力学专题 — 平面简单桁架
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一、平面桁架
2
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桁架：
由杆组成，杆杆间用铰链连接，且受力后几何形 状不变的系统。
C
1
A
3
4 5
FBy
B
0
FA
30
2 D
FBx
F
2m
解得：
FBx 0, FA FBy 5 kN
2m
16
2. 再依次取节点为研究对象，求各杆的内力。 假定各杆均受拉力。 （1）先以节点A为研究对象
y
A A C 1 3 4
FBy
B
30
2 D
5
F1
30
FA
2m x
FBx
F
2m
F2
FA
FBx 0, FA FBy 5 kN
列平衡方程：
F F
x y
0, 0,
F2 F1 cos 30 0 FA F1 sin 30 0
解得：
F1 10 kN, F2 8.66 kN
17
（2）再以节点C为研究对象，受 力分析如图所示。
y
C
C 1 A 3 4 5 D
FBy
B
30
2
F1 F3
FA
30
FBx
18
C 1 A 3 4 5 D
y
FBy
B
C
30
2
FA
2m
FBx
F
2m
A
F1
y
30
F1
30
F3
F4
x
F4 10kN,
x
FBx 0, FA FBy 5 kN
F2
F3 10kN
FA
（3）以节点D为研究对象，受力 分析如图所示。
F1 10 kN, F2 8.66 kN
y
列平衡方程: 解得：
解： 用节点法求解。
1. 求支座约束力。 以整体为研究对象， 受力分析如图所示。 列平衡方程：
A
C 1 3 4 5 D B
30
2
2m
F
2m
F 0, F 0 F 0, F F F 0 M F 0, F 2 F 4
x Bx A y By B A
解：
2. 求杆的内力。
F3 = ?
节点法：
50 kN

y
Fy 0,
FA
F2 sin 45 F3 50 0
F1
E
F5
x
F3 = 87.5 kN (压)
A
C
F2
F3
FB
50 kN m 100 kN m F1 1 E D 5
B
F2 2
F
1m 1m
3 4 H
6
1m
G
F4 m
1m
解得： FB 87.5kN, FA 62.5kN
100 kN
A
C D 2 1 E 3 H 1m 1m
26
50 kN
B
FB
1m
F
1m 1m
G
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解：
G
2. 求杆的内力。
截面法： 用一假想截面m-m截断杆1、2、4，研究右侧.
M F 0, F 1 50 1 + F 2 0 F 0, F sin 45 50 F 0
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例题4
如图所示平面桁架，各杆件的长度都等于1 m。在节点E、
G、F上分别作用载荷FE =10 kN，FG = 7 kN ，FF = 5 kN 。
求：杆1、2、3的内力。
y
C
1 2
D
F B
FF
x
A
E
3
G
FE
FG
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(压 )
100 kN
解得：F3 = 87.5 kN
A
C D
n
F1
2
50 kN
5
1 E 3
B
FB
y x
1m
F
1m
G
F2 F3 6 4 F6
H 1m
1m
n
FB 87.5kN, FA 62.29 5kN
1m
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作 业
P110：
习题 6 — 1, 6
F1 F4
3
1 4
F2
F1 F2 , F3 8 F4
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例题 1
试计算图示平面桁架杆1、2、3的内力。
F
M H
F D
B
a
N a
0
3
K a
-F
2
1
F
0
G
0
C
0 0 a
A
0 a
解： F1 0,
F2 F (压)， F3 0
五、求平面桁架各杆内力的步骤 1、求桁架外约束力； 2、求杆件内力； 3、校核。
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例题 3
平面桁架的尺寸和支座如图所示。在节点D处受一集中
载荷F=10 kN的作用。试求桁架各杆件所受的内力。
C
1
A
3
4 5 B
30
2 D
2m
F
2m
15
7
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四、特殊杆件的内力判断
☆ 两杆节点无载荷、且两杆不在 一条直线上时，该两杆是零杆。 ☆ 三杆节点无载荷、其中两杆在
1
2
F1
F1 F2 0
F2
3
F3
一条直线上，另一杆必为零杆
F1
F3 0
2
1
F2 F3
2
F1 F2
☆ 四杆节点无载荷、其中两两 在一条直线上，同一直线上两 杆内力等值、同性。
1 B
F1 = 125 kN (压) F2 =52.6 kN (拉)
FB

y
2
B
A
FA
C
50 kN m 100 kN m F1 1 E D 5
B
y x
1m
F2 2
F
1m
3 4 H
6
1m
G
F4 m
1m
1m
FB 87.5kN, FA 62.27 5kN
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例题 2
已知： P，d。求：1、2、3、4 四杆的内力。
K
0 0 B 0 0 0 2P 1 2 0 3 0 4 0 0 0 -P -P 0D 0 C G J I
2P
H
0
F
E
A
d
P
5d
F2
y
解：由零杆判式知： F1 F3 F4 0
1m
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解：
1. 先求桁架的支座约束力。 — 以整体为研究对象。 列平衡方程： M A F 0,

100 2 50 3 + FB 4 0
F
FA
y
0,
FA 100 50 FB 0
F
2m
F4
x
2m
列平衡方程：
FBx 0, FA FBy 5 kN
y
A
F F
x y
0, 0,
F4 cos 30 F1cos 30 0 F3 F1 F4 sin 30 0
F1
30
F2
解得： F4 10kN, F3 10kN
FA
x
F1 10 kN, F2 8.66 kN
Ay
F1 8.73 kN （压） F2 2.82 kN （拉） F3 12.32 kN （拉）
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例题 5
试计算图示平面桁架杆1、2、3的内力。
100 kN
A C D 2 F 1m G 1 E
50 kN
B
3
H
1m
1m
1m
A
C
1 2 E 3
D
F
FF
B
x
FAx
G
FAy
FE
FG
FB
F 0, F F 0 F 0, F F F F 0 M F 0, F sin 60 1 F
x Ax F y Ay E G B B F
G
1 +FE 2 FAy 3 0