差分方程与概率计算

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巧借差分方程破解概率难题

巧借差分方程破解概率难题摘要：本文简要介绍了如何通过递推关系和全概率公式搭建起差分方程与概率问题两者间的桥梁，总结了两种途径建立差分方程的关键，阐述了如何借助差分方程这一工具破解概率方面的相关难题．差分方程；概率；递推关系；全概率公式■差分方程概述1．差分的概念设函数y=f（t）中的自变量t取所有的整数，并记其函数值为y■．当t=…，-2，-1， 0，1，2，…，其对应的函数值为…，y-2，y-1，y0，y1，y2，…，yn，…，差yt+1－yt 称为函数y■的差分，也称为一阶差分，记为Δy t，则函数y=f（t）在时间t的一阶差分为Δyt=yt+1－yt．一阶差分的性质（1）若y=C（C为常数），则Δyt=0；（2）对于任意常数k，Δkyt=kΔyt；（3）Δ（ayt+bzt）=aΔyt+bΔzt．函数y=f（t）在时刻t的二阶差分定义为一阶差分的差分，即Δ2yt=Δ（Δyt）=Δ（yt+1－yt）=Δyt+1－Δyt=（yt+2－yt+1）－（yt+1－yt）=yt+2－2yt+1+yt．同样可以定义三阶差分、四阶差分以及更高阶的差分．一般地，k阶差分（k为正整数）定义为Δkyt=Δ（Δk-1yt）=Δk-1yt+1－Δk-1yt=■（－1）iC■yt+k-1，这里C■=■．2. 差分方程的概念含有自变量、自变量的函数及其差分的方程，称为差分方程．出现在差分方程中的差分的最高阶数，称为差分方程的阶． n阶差分方程的一般形式为F（t，yt，Δyt，…，Δnyt）=0或F（t，yt，yt+1，…，Δyt+n）=0．3. 差分方程的解如果将已知函数y=f（t）代入方程F（t，yt，yt+1，…，Δyt+n）=0，使其对t=…，-2，-1，0，1，2，…成为恒等式，则称y=f（t）为方程的解．含有n个任意独立常数c1，c2，…，cn的解y=（t，c1，c2，…，cn）称为n 阶差分方程的通解．在通解中给任意常数c1，c2，…，cn以确定的值所得的解，称为n阶差分方程的特解．4. 线性差分方程及其解形如yt+n+a1（t）yt+n-1+a2（t）yt+n-2+…+an-1（t）yt+1+an（t）yt=f（t）的差分方程，称为n阶非齐次线性差分方程．其中a1（t），a2（t），…，an-1（t），an（t）和f（t）都是t的已知函数，且an（t）≠0，f（t）≠0．而形如yt+n+a1（t）yt+n-1+a2（t）yt+n-2+…+an-1（t）yt+1+an（t）yt=0的差分方程，称为n阶齐次线性差分方程．其中a1（t），a2（t），…，an-1（t），an（t）都是t的已知函数，且an（t）≠0．如果a1（t），a2（t），…，an-1（t），an（t）均为常数（an（t）≠0），则有yt+n+a1yt+n-1+a2yt+n-2+…+an-1yt+1+anyt=f （t），摇摇yt+n+a1yt+n-1+a2yt+n-2+…+an-1yt+1+any■=0，分别称为n阶常系数非齐次线性差分方程和n阶常系数齐次线性差分方程．5. 一阶、二阶常系数线性差分方程的解引理1 对于一阶常系数非齐次线性差分方程yn+1=ayn+b，其中a， b为常数且a≠1，若已知y1=c（c为常数），则yn+1=anc+■b．证：（递推法）若a≠1，yn+1=ayn+b=a（ayn-1+b）+b=a2yn-1+（a+1）b=a2（ayn-2+b）+（a+1）b=a3yn-2+（a2+a+1）b=any1+（an-1+an-2+…+1）b=any1+■b=an c+■b．引理2 对于二阶常系数齐次线性差分方程yn+2=ayn+1+byn，其中a，b为常数，若已知y1=m1，y2=m2（m1，m2为常数），则yn+1=■+■，其中λ1，λ2是方程λ2-aλ-b=0的两根．证：（特征根法）λ2－aλ－b=0是差分方程yn+2=ayn+1+byn的特征方程．已知λ1，λ■是方程λ2-aλ-b=0的两根，则差分方程的解为yn+1=c1λ■+c2λ■．已知y1=m1，y2=m2，代入上式得m1=c1λ1+c2λ2，m2=c1λ■+c2λ■，解得c1=■，c2=■，yn+1=■+■．■将概率问题转化为差分方程问题1. 概率问题与差分方程二者间的关系由差分方程的定义可知，差分方程是研究函数在一给定点x=k上的函数值f（k）与在x=k附近的N个点上的函数值之间的关系的方程，因而其适用于解决概率中一些涉及离散型随机变量的问题．2．将概率问题转化为差分方程问题的途径利用差分方程巧解概率问题的关键是如何将概率问题转化为差分方程问题．常见的有两条途径：一、借助递推公式建立差分方程；二、借助全概率公式建立差分方程．（1）借助递推公式建立差分方程递推公式：是指可以通过给出数列的第1项（或前若干项），并给出数列的某一项与它的前一项（或前若干项）的关系式来表示数列，这种表示数列的式子叫做这个数列的递推公式．递推公式实质即为差分方程，建立递推公式就是先设所需求的函数值，再确定该函数值与其前面项间的关系．例1 A、B两人拿两颗骰子做抛掷游戏，规则如下：若掷出的点数之和为3的倍数，原掷骰子的人再继续掷，若掷出的点数之和不是3的倍数，就由对手接着掷，第一次由A开始掷．求第N次由A掷的概率为pn，求pn．解：A、B两人掷出的点数和为3的倍数的情况有：1+2，2+1，3+3，4+2，2+4，5+1，1+5，5+4，4+5，6+3，3+6，6+6共12种情况，A、B两人掷骰子所有可能出现的结果数是6×6=36种，则事件“A、B两人掷出的点数和为3的倍数”的概率为■=■；事件“A、B两人掷出的点数和不为3的倍数”的概率为1－■=■．第N次由A掷有两种可能：（1）第N-1次由A掷且掷出的点数之和为3的倍数，则第N次仍由A掷；（2）第N-1次由B掷且掷出的点数之和不为3的倍数，则第N次由A掷．第1种情况的概率为■pn-1；第2种情况的概率为■（1-pn-1）．由分类计数原理得pn=■pn-1+■（1－pn-1）=－■pn-1+■，这是一个一阶常系数非齐次线性差分方程．由引理1知pn=an-1c+■b，其中a=－■，b=■，c=p1=1，则pn=－■n-1+■·■=■+■－■n-1．例2 求N位二进制数中，数字0与1相邻的二进制数的个数．解：设N位二进制数中，数字0与1相邻的二进制数的个数为f（n）．对于二进制数而言，其第一位上的数只有0或1两种可能性．若第一位上的数为0，则要求满足条件的二进制数，第二位上的数必须为1，且后面的N-2位上的数0与1必须相邻，其个数为f（n-2）；同理，若第一位上的数为1，则要求满足条件的二进制数，第二位上的数必须为0，且后面的N-2位上的数0与1必须相邻，其个数为f（n-2）．由分类计数法得：f（n）=f（n-2）+ f（n-2）=2 f（n-2），这是一个二阶常系数齐次线性差分方程．λ2－2=0是f（n）=f（n-2）+f（n-2）=2f（n-2）的特征方程，解得λ1=■，λ2= －■，则f（n）=c1（■）n+c2（-■）n．又因为f（1）=2，f（2）=2，代入上式得■c1-■c2=2，2c1+2c2=2，解得c1=■，c2=■，f（n）=■（■）n+■·（-■）n．例3 有人玩掷硬币走跳棋的游戏．已知硬币1出现正反面的概率都是■，棋盘上标有第0站，第1站，第2站，……，第100站．一枚棋子开始在第0站，棋手每掷一次硬币棋子向前跳动一次，若掷出正而，棋子向前跳一站（从k到k+1）；若掷出反面，棋子向前跳二站（从k到k+2），直到棋子到第99站（胜利大本营）或跳到第100站（失败集中营）时，该游戏结束．求棋子跳到第N站的概率．解：设棋子跳到第N站的概率为Pn．由题意知，P0=1，P1=■．棋子跳到第N站有两种可能：（1）先跳到第N-1站，掷出正面，再跳到第N站；（2）先跳到第N-2站，掷出反面，再跳到第N站．第1种情况的概率为■Pn-1；第2种情况的概率为■Pn-2．由分类计数原理得Pn=■Pn-1+■Pn-2，这是一个二阶常系数齐次线性差分方程．λ2－■λ－■=0是Pn=■Pn－1+■Pn－2的特征方程，解得λ1=1，λ2=－■，则Pn=c1+c2－■n又因为P0=1，P1=■；代入上式得c1+c2=1，c1-■c2=■，解得c1=■，c2=■，则Pn=■+■－■n．（2）借助全概率公式建立差分方程设实验E的样本空间为S，A为E的事件，B1，B2，…，Bn为S的一个划分，两两互不相容，且P（Bi）>0 （i=1，2，…n），则P（A）=P（B1）P（AB1）+P（B2）P（AB2）+…+P（Bn）P （ABn）上式称为全概率公式．全概率公式在概率论中占有极其重要的作用，通过应用全概率公式可把概率论中一些极其复杂的事件的求解分解成若干个互不相容的简单事件的求解．同时借助全概率公式可以构造等式，建立起差分方程，从而为概率问题的求解寻求了另一个途径．例4 一布袋中装有黑、白色的乒乓球各一只，每次从布袋中任取一球，取出的球不放回，同时放入一黑球，求第N次取到黑球的概率．解：记An=第N次取到黑球；■=第N次取到白球．设第N次取到黑球的概率为Pn．显然，An∪■=Ω（必然事件），An∩■=■，则An，■是空间Ω的一个划分，且P（An）>0，P（■）>0，则由全概率公式知：P（An）=P（An－1）P（AnAn－1）+P（■）·P （An■）其中P（AnAn－1）=■，P（An■）=1，则Pn=■Pn－1+（1－Pn－1）=1－■Pn－1，这是一个一阶常系数非齐次线性差分方程．λ+■=0是Pn=■Pn－1+（1－Pn－1）=－■·Pn－1的特征方程，解得λ=－■，则Pn=c1－■n+■是差分方程的齐次解．又因为自由项为1，所以设特解为D．代入Pn=■Pn－1+（1－Pn－1）=1－■Pn－1得，D=■，则差分方程的通解为Pn=c1－■n+■．将P1=■代入Pn=c1－■n+■，解得c1=■，则Pn=■－■n+■．例5 设电子在整数点集｛0，1，2，…，n｝上作随机游动．已知质点在t时刻的位置是a，由于受外力的作用，电子的位置会发生变动．假设电子以概率p移动到a+1，以概率1-p移动到a-1．求质点从a出发在0被吸收的概率．解：记B=质点从k点移动到k+1点，P（B）=p；■=质点从k点移动到k-1点，P（■）=1－p．设Ak=质点从k出发在0处被吸收，P（Ak）=Pk．显然，B∪■=Ω（必然事件），B∩■=■，则B，■是空间Ω的一个划分，且P（B）>0，P（■）>0，则由全概率公式知：P（Ak）=P（B）P（AkB）+P（■）P（AkB）=P（B）P（Ak+1）+P（■）P（Ak－1），即Pk=pPk+1+（1－p）Pk－1，这是一个二阶常系数齐次线性差分方程．pλ2－λ+（1－p）=0是Pn=■Pn－1+（1－Pn－1）=－■Pn－1的特征方程，解得λ1=■，λ2=■，则Pn=c11+■n+c21-■n．例6 在N重贝努利实验中，设事件A出现的概率为p，求在N次试验中事件A出现偶次的概率．解：记Bk=第K次实验时事件A出现偶次，P（Bk）=Pk；■=第K次实验时事件A出现奇次，P（■）=1－Pk． C=第K 次实验时，事件A出现，P（C）=p；■=第K次实验时，事件A不出现，P（■）=1－p．显然，Bk-1∪■=Ω（必然事件），Bk-1∩■=■，则Bk －1，■是空间Ω的一个划分，且P（Bk－1）>0，P（■）>0，则由全概率公式知：P（Bk）=P（Bk－1）P（BkBk －1）+P（■）P（Bk■）=P（Bk－1）P（■）+P（■）P（C），即Pk=Pk－1（1－p）+p（1－Pk－1）=p+（1－2p）Pk－1，这是一个一阶常系数非齐次线性差分方程．由引理1知Pn=an-1c+■b，其中a=1－2p，b=p，c=p1=0，则Pn=■．3．总结通过上文中的具体实例，我们看到了应用差分方程解决概率问题是行之有效的一种方法．而这一方法的关键是如何架起连结概率论问题与差分方程求解问题之间的桥梁．本文介绍了借助递推关系建立差分方程和借助全概率公式建立差分方程两种方法．借助递推公式建立差分方程的关键是找出所需求的函数值与其前后项间的关系；借助全概率公式建立差分方程的关键是如何找到合适的“划分”，从而应用全概率公式把概率论中一些极其复杂的事件求解分解成若干个互不相容的简单事件求解，从而为概率问题的求解寻求了另一个途径．建立起差分方程后，我们就要根据差分方程的形式进行求解．常用的有递推法和特征根法，当然也可根据引理直接写出差分方程的解．把概率论中的知识通过差分方程的知识来解决，使学科间的联系更加紧密，培养了转化化归能力和综合分析^p 能力，是新世纪素质教育的发展方向和必然要求．。

差分方程在概率计算中的应用

即当 n = k + 1 时 , 递推关系式也成立。综上所述 , 不论 n 取何值 Pn = cPn - 1 + d = c
n- 1
P1 +
1- c d 都成立。 1- c
n- 1
上面研究的是有关一阶差分方程的推导、得出及证明 , 下面介绍在一阶差分方程的基础上进行拓展的 n 阶差分方程 , 并介绍另外一种解差分方程的方法 : 特征根法。定义 : 含有自变量 t 和两个或两个以上的函数值 yt , yt + 1 …… 的函数方程称为差分方程。定义 : n 阶差分方程的一般形式为 : F ( t , yt , yt + 1 …… yt + n ) = 0 。其中 F ( t , yt , yt + 1 …… yt + n ) 为 t 和 yt , yt + 1 …… yt + n 的已知函数。形如 yt + n + a1 yt + n - 1 + ……+ an yt = f ( t ) 称为 n 阶常系数非齐次线性差分方程。特别地 , 方程 yt + n + a1 yt + n - 1 + ……+ an yt = 0 称为 n 阶常系数齐次线性差分方程。差分方程与微分方程类似 , 它们的解分为两部分 : 特解和通解。通解中含有任意常数 , 特解是方程满足一定条件所得出的解 , 方程 ( 1) 的通解是方程 ( 2) 的通解再加上方程 ( 1) 的一个特解。对于二阶常系数 ( 非) 齐次线性方程的求解 , 可引入微分方程中特征方程求特征根的方法 , 求得齐次方程的通解 , 然后利用试根的方法求出非齐次方程的特解 , 最后通解与特解的代数相加即为所研究的二阶常系数非齐次差分方程的解。

差分方程方法

第四章差分方程方法在实际中，许多问题所研究的变量都是离散的形式，所建立的数学模型也是离散的，譬如，像政治、经济和社会等领域中的实际问题。

有些时候，即使所建立的数学模型是连续形式，例如像常见的微分方程模型、积分方程模型等等，但是，往往都需要用计算机求数值解。

这就需要将连续变量在一定条件下进行离散化，从而将连续型模型转化为离散型模型，因此，最后都归结为求解离散形式的差分方程解的问题。

关于差分方程理论和求解方法在数学建模和解决实际问题的过程中起着重要作用。

下面就不同类型的差分方程进行讨论。

所谓的差分方程是指：对于一个数列x n，把数列中的前n 1项x i i 0,1,2, n 关联起来所得到的方程。

4．1 常系数线性差分方程4.1.1 常系数线性齐次差分方程般形式为常系数线性齐次差分方程的一x n a1x n 1a2 x n 2a k x n k 0 (4.1)其中k 为差分方程的阶数，a i i 1,2, ,k为差分方程的系数，且a k 0 k n 。

对应的代数方程k k 1k2k a1k 1a2k 2a k0(4.2 )称为差分方程的（4.1）的特征方程，其特征方程的根称为特征根。

常系数线性齐次差分方程的解主要是由相应的特征根的不同情况有不同的形式。

下面分别就特征根为单根、重根和复根的情况给出差分方程解的形式。

1.特征根为单根设差分方程（ 4.1）有k 个单特征根1, 2, 3, , k ，则差分方程（ 4.1 ）的通解为x n c1 1 c2 2c k k n，其中c1,c2,,c k 为任意常数，且当给定初始条件x i i0i 1,2, ,k （4.3）时，可以唯一确定一个特解。

2.特征根为重根设差分方程（4.1 ）有|个相异的特征根1, 2, 3, , I 1 l k重数分别为lm1,m2 , ,m l且m i k 则差分方程（4.1 ）的通解为i1k ,则差分方程的通解为为已知函数。

m i X ni 1 n C 1i n11m 2i 1 nQi n 2i 1mli5n同样的，由给定的初始条件3.特征根为复根4.3 ）可以唯一确定一个特解。

差分方程与概率计算

递推关系式，从而建立差分方程。
解：设Ａｋ＝｛在ｋ次试验后，Ａ出现偶次｝，Ａｋ＝｛在ｋ次试验后，Ａ出现奇次｝，Ｈ１＝｛Ａ在第ｋ次试验
时出现｝，Ｈ１＝｛Ａ在第ｋ次试验时不出现｝，令Ｐ（Ａｋ）＝Ｐｋ，Ｐ（Ｈ１）＝Ｐ，且Ａｋ＝Ａｋ－１Ｈ１∪Ａｋ－１Ｈ１，显然，Ａｋ－１Ｈ１与
例５设质点Ｍ在整数点集｛０，１，２，…，ａ｝上做随机游动，每经一单位时间，按下列规则变一次位置，
如果它现在在点ｚ（０≤ｚ≤ａ）上，下一步以概率ｐ（０＜ｐ＜１）转移到ｚ＋１，以概率ｑ（ｑ＋ｐ＝１）转移到ｚ－１；如果
它现在在０，则以后就停留在０，求：从ｚ出发最终达到０的概率。
以上三种情况为互不相容事件，所以（ｎ＋１）秒后粒子在点Ｏ的概率为：Ｐ（Ｏｎ＋１）＝Ｐ（Ａｎ）Ｐ（Ｏｎ＋１／Ａｎ）＋Ｐ（Ｂｎ）Ｐ（Ｏｎ＋１／Ｂｎ）＋Ｐ（Ｃｎ）Ｐ（Ｏｎ＋１／Ｃｎ），因Ｐ（Ｏｎ＋１／Ａｎ）＝Ｐ（Ｏｎ＋１／Ｂｎ）＝Ｐ（Ｃｎ）Ｐ（Ｏｎ＋１／Ｃｎ）＝１／３，所以Ｐ（Ｏｎ＋１）＝［Ｐ（Ａｎ）＋Ｐ（Ｂｎ）＋Ｐ（Ｃｎ）］／３，但Ｐ（Ａｎ）＋Ｐ（Ｂｎ）＋Ｐ（Ｃｎ）＝１，Ｐ（Ｏ０）＝１，所以Ｐ（Ｏｎ＋１）＝［１－Ｐ（Ｏｎ）］／３＝１／３－Ｐ（Ｏｎ）／３（＊），由引理１可知：Ｐ（Ｏｎ）＝１／４＋３（－１／３）ｎ／４．
随着科学技术的发展，差分方程在各个领域得到越来越多的应用，本文将介绍差分方程的一个简
单的应用，即如何利用差分方程来求概率问题，虽然差分方程及其解法在很多方面类似于微分方程，但
由于很少书籍介绍差分方程的内容，现在先了解一下差分方程的基本概念。

§7.3 差分方程及其求解

P,Q为待定系数
M 1 y n 为等幅正弦序列 M 1 y n 为增幅正弦序列 M 1 y n 为减幅正弦序列
X
2.特解
线性时不变系统输入与输出有相同的形式
第 21 页
输入 an x n e
x n e
jn
输出 an y n Ae
y n Ae
第 11 页
X
常系数线性差分方程的求解
北京电子科技学院
第
解法
1.迭代法
13 页
2.时域经典法：齐次解+特解； 3.零输入响应+零状态响应利用卷积求系统的零状态响应
4. z变换法反变换y(n)
X
第
一．迭代法
解差分方程的基础方法差分方程本身是一种递推关系。
缺点：得不到y n 输出序列的解析式
通式 : a k y n k br x n r
k 0 r 0 N M
X
差分方程的特点
(3)微分方程可以用差分方程来逼近，微分方程解是精确解，差分方程解是近似解，两者有许多类似之处。
(4)差分方程描述离散时间系统，输入序列与输出序列间的运算关系与系统框图有对应关系，应该会写会画。
yn C
yn C r
n
x n r （r与特征根重）
yn C1nr C2 r
n
n
X
第
例3
y n 2 y n 1 5u n 求全解且 y 1 1
22 页
r 2 0 r 2
由递推关系,可得输出值：
y n 1, 4, 13, 40, n 0

利用差分方程及微分方程计算概率

的随机现象有如下三个特点：（１）它们都取非负整数值，且在不重迭的时间间隔内取任何值都是相互独立的；（２）在极短的时间间隔内取值１的概率只与间隔的长短有关而与间隔的起点无关；（３）在极短的时间间隔内取值２及２以上几乎是不可能的。
参考文献：［１］华东师大数学系编．概率论与数理统计习题集［Ｍ］．北京：人民教育出版社，１９８２．［２］Ａ．Ａ．史威斯尼柯〔苏联〕等著，计度生等译．概率论解题指南［Ｍ］．上海：上海科技出版社，１９６５．［３］茆诗松等编著．概率论与数理统计教程［Ｍ］．北京：高等教育出版社，２００４．
独立的，故Ａｋ－１与Ｈ独立，Ａｋ－１与Ｈ也独立，故
Ｐ（Ａｋ）＝Ｐ（Ａｋ－１）Ｐ（Ｈ）＋Ｐ（Ａｋ－１）Ｐ（Ｈ）＝ｐｋ－１（１－ｐ）＋（１－ｐｋ－１）ｐ
即ｐｋ＝ｐ＋ｐｋ－１（１－２ｐ），ｋ＝１，２，…，ｎ将上式变形为
ｐｋ－
１２
很多的，有些可以通过直接的方法算出，有一些
问题本身比较复杂，但可以归结为求一个递推关
系式的解或归结为求一个级数的和，或者归结为
一个微分方程的解。在这类问题中，前者是有关
概率与各次试验有规则的依赖关系，后者则具有
在直观上很明显的三个基本特征。
（一）利用差分方程计算概率。
例１．在每一次试验中事件Ａ出现的概率为
当ｐ≠１时，由等比级数求前有限项和的公式
得Ｐｎ＝（２ｐ－１）ｎ－１ｐ１＋（１－ｐ）
１－１－
（２ｐ－１）ｎ－１（２ｐ－１）

数学建模中的差分方程算法

数学建模中的差分方程算法在数学建模中，差分方程算法是常用的一种方法。

它可以用来模拟各种现象，例如人口增长、物理运动等。

差分方程算法采用差分逼近的方法来解决连续变量的问题。

本文将介绍差分方程算法的基本原理和应用。

一、差分方程算法的基本原理差分方程算法是在连续变量上进行离散化的方法。

它将一个连续变量的函数f(x)离散化为一个由离散节点组成的序列f(x1),f(x2), …, f(xn)。

这些离散节点通常是等间距的。

通过差分逼近的方法，我们可以将f(x)的导数、二阶导数等进行离散化，从而得到相应的差分方程。

一个一阶常微分方程的一般形式为：dy/dx = f(x,y)如果我们将x、y离散化，可以得到以下的形式：(yi+1-yi)/(xi+1-xi) = f(xi, yi)其中，xi和yi表示第i个离散节点上的值，xi+1和yi+1表示第i+1个离散节点上的值。

这个式子就是一个一阶差分方程。

二、差分方程算法的应用差分方程算法可以用来模拟各种现象。

下面将介绍几个常见的应用。

(一) 人口增长人口增长可以用一个简单的模型来描述：每年有一定比例的人口出生，同时有一定比例的人口死亡。

假设出生率为b，死亡率为d，那么人口增长的速率就是(b-d)N，其中N是当前人口数量。

将时间离散化，可以得到以下的差分方程：Nt+1 - Nt = (b-d)Nt这个式子表示，下一年的人口数量等于当前的人口数量加上人口增长的数量。

每一年人口增长的数量是(b-d)N，其中N表示当前的人口数量。

(二) 物理运动物理运动可以用牛顿第二定律来描述：加速度等于力除以质量。

假设物体的质量为m，力为F，速度为v，物体的位置为x，那么可以得到以下的差分方程：v(t+dt) = v(t) + a(t)dtx(t+dt) = x(t) + v(t)dt + 0.5a(t)dt^2a(t) = F(t)/m这三个式子分别表示，下一时刻的速度等于当前速度加上加速度乘以时间变化量dt；下一时刻的位置等于当前位置加上速度乘以时间变化量dt加上1/2的加速度乘以时间变化量的平方；加速度等于力除以质量。

Matlab中的数学建模方法介绍

Matlab中的数学建模方法介绍Matlab是一种非常常用的科学计算和数学建模软件，它具有强大的数学运算能力和用户友好的界面。

在科学研究和工程技术领域，Matlab被广泛应用于数学建模和数据分析。

本文将介绍一些在Matlab中常用的数学建模方法，帮助读者更好地理解和应用这些方法。

一、线性回归模型线性回归模型是一种经典的数学建模方法，用于分析数据之间的关系。

在Matlab中，我们可以使用regress函数进行线性回归分析。

首先，我们需要将数据导入Matlab，并进行数据预处理，如去除异常值和缺失值。

然后，使用regress函数拟合线性回归模型，并计算相关系数和残差等统计量。

最后，我们可以使用plot 函数绘制回归线和散点图，以观察数据的拟合程度。

二、非线性回归模型非线性回归模型适用于数据呈现非线性关系的情况。

在Matlab中，我们可以使用lsqcurvefit函数进行非线性回归分析。

首先，我们需要定义一个非线性方程，并设定初始参数值。

然后，使用lsqcurvefit函数拟合非线性回归模型，并输出拟合参数和残差信息。

最后，我们可以使用plot函数绘制拟合曲线和散点图，以评估模型的拟合效果。

三、差分方程模型差分方程模型用于描述离散时间系统的动态行为。

在Matlab中，我们可以使用diffeq函数求解差分方程模型的解析解或数值解。

首先，我们需要定义差分方程的形式，并设置初值条件。

然后，使用diffeq函数求解差分方程，并输出解析解或数值解。

最后，我们可以使用plot函数绘制解析解或数值解的图形，以观察系统的动态行为。

四、优化模型优化模型用于求解最优化问题，如寻找函数的最大值或最小值。

在Matlab中，我们可以使用fmincon函数或fminunc函数进行优化求解。

首先，我们需要定义目标函数和约束条件。

然后，使用fmincon函数或fminunc函数求解最优化问题，并输出最优解和最优值。

最后，我们可以使用plot函数可视化最优解的效果。

3.4.差分方程简介

故原方程的通解为
（2）方程对应的特征方程为 λ 1= 0 ，其特征根为 λ =1 ，于是齐次方
* 程的通解为 yi = C 。设方程的特解为： yi = Acos π i + Bsin π i 2 2
将其代入原方程可解得 A = B = 1 2 故原方程的通解为
yi = C 1 (cos π i + sin π i) 2 2 2
λn + Pλn1 ++ P 1λ + P = 0 1 n n
（3.4.3）
方程（3.4.3）称为（3.4.2）的特征方程。若 λ1, λ2 ,, λn 是（3.4.3）的 n 个不同的根，则 Y (i) = λ1 ,Y2 (i) = λ2 ,,Yn (i) = λn 就是（3.4.2）的 n 个 1
r 1+ P ++ P 1 n
是稳定的条件与对应的齐次方程（3.4.2）完全相同。
此外，对于 n 维向量 yi 和 n× m 常数矩阵 A 构成的一阶线性差分方程组
yi +1 + Ayi = 0
其平衡点稳定的条件是矩阵 A 的特征根
λi ( i =1,2,, n) 均有 λi <1 。即均在复平面上的
（3）
若 Y1 (i) ，…，Yn (i) 是方程（3.4.2） n 个线性
无关的解，则它们的线性组合 C1Y (i) ++ CnYn (i) 1 就是（3.4.2）的通解。 Y1 (i) ，…， Yn (i) 称为（3.4.2）的一组基本解。（4）若 C1Y (i) ++ CnYn (i) 是（3.4.2）的通解， y *(i) 是 1 非齐次方程（3.4.1）的一个特解，则

母函数与差分方程在古典概率计算中的应用

1 的概率落 m
入 m 个盒子中的每一个中 ,n ≥m > 2 , 假定 n 个质点完全相同 ,因而不可分辨 ,每个盒子能容纳任意多
3 收稿日期 :2009 - 07 - 20 作者简介 : 张元收 ( 1979 - ) ,男 ,山东寿光人 ,潍坊学院数学与信息科学学院助教。
— 74
—
第 4 期张元收 : 母函数与差分方程在古典概率计算中的应用
参考文献 :
[ 1 ]魏宗舒 . 概率论与数理统计教程 [ M ]. 北京 :高等教育出版社 , 1983 . [ 2 ]毛纲源 . 概率论与数理统计解题方法归纳 [ M ]. 武汉 :华中科技大学出版社 , 1999 . [ 3 ]复旦大学教研室 . 概率论 [ M ]. 北京 :高等教育出版社 , 1979 . [ 4 ]温慧林 , 王学敏 . 差分方程在概率问题的应用 [ M ]. 北京 :北京邮电大学出版社 , 2001 .
P ( s) = P1 ( s) P2 ( s) …Pn ( s)
k=0
∑( - 1) k
∞5+k- 1 Nhomakorabeak
∞
( - 1 ) k sk k+4 sk = 651 65
=
s5 ( 1 - 5s5 + … ) 65
k=0
∑
k
特别当ξ i 有相同概率分布的场合 , Pi ( s) = P1 ( s) , 这时
- 5 5
s5 ( 1 - 5s5 + 10s12 + …- s30 ) 65
∞
k=0
k K
∑
- 5 k
( - s) k
则称 P ( s) = 即 P ( s) = ES

巧借差分方程破解概率难题

（）ａ，ｂ＝Ａ，ｂｚ３Ａ（ｙ＋ｚ）ａｙ＋Ａ
分方程的通解．在通解中给任意常数ｃ．ｃ，，ｎ … Ｃ以确定的值所得的解，为阶称差分方程的特解．
４．线性差分方程及其解形如＋８（）ｌ啦（）ａ＋・＋ｌ＋一＋＋＋－・２・
引理２对于二阶常系数齐次线性差分方程＝ｌ６，Ｃａ６常数，ｎ＋其，为
般地．阶差分（正整数）义ｋ为定
ａｎｌ
＿
而形如蜘０（）一。（）・＋＋Ｊ机】２协＋・￡＋・（）ｌ（）０＋￡＝的差分方程，为ｎ称阶
方程中的差分的最高阶数．为差分方称程的阶．ｎ差分方程的一般形式为阶
Ｆ（，Ａ，… ，）０，（，１ｔ，ｙ， △ ＝或＋，，
…
程和ｎ阶常系数齐次线性差分方程．
５．一阶、阶常系数线性差分方程二的解
ｙ￡在时间￡）的一阶差分为△ ｙ＋＝ｆ。
一
且。，已知＝（为常数）则＋ ≠１若：Ｃｃ，＝
＋
＿６ｌ＿
．
１０，，，成为恒等式，称ｙｔ为，１２ … 则）
１ｎ一
方程的解．含有ｎ任意独立常数ｃ，：个。，ｃ
为 △ ＝Ａｙ） △（ｌ，

差分方程

第八讲差分方程模型一、差分方程介绍规定t 只取非负整数。

记为变量在t 点的取值，则称t y y t t t y y y −=Δ+1为的一阶向前差分，简称差分，称Δ为的二阶差分。

类似地，可以定义的阶差分。

t y t t t t t y t t y y y y y y +−=Δ−Δ=ΔΔ=+++12122)(t y t y n t ny Δ由及的差分给出的方程称为的差分方程，其中含的最高阶差分的阶数称为该差分方程的阶。

差分方程也可以写成不显含差分的形式。

例如，二阶差分方程也可改写成t y t 、t y t y t y 02=+Δ+Δt t t y y y 012=+−++t t t y y y 。

满足一差分方程的序列称为差分方程的解。

类似于微分方程情况，若解中含有的独立常数的个数等于差分方程的阶数时，称此解为该差分方程的通解。

若解中不含任意常数，则称此解为满足某些初值条件的特解。

t y 称如下形式的差分方程)(110t b y a y a y a t n t n t n =+++−++L （1）为阶常系数线性差分方程，其中是常数，n n a a a ,,,10L 00≠a 。

其对应的齐次方程为0110=+++−++t n t n t n y a y a y a L （2）容易证明，若序列与均为（2）的解，则也是方程（2）的解，其中为任意常数。

若是方程（2）的解，是方程（1）的解，则也是方程（1）的解。

)1(t y )2(t y )2(2)1(1t tt y c y c y +=21,c c )1(t y )2(t y )2()1(t t t y y y +=方程（1）可用如下的代数方法求其通解：（I ）先求解对应的特征方程（3）00110=+++−a a a n nL λλ（II ）根据特征根的不同情况，求齐次方程（2）的通解。

（i ）若特征方程（3）有n 个互不相同的实根n λλ,,1L ，则齐次方程（2）的通解为t n n t c c λλ++L 11 （为任意常数）n c c ,,1L （ii ）若λ是特征方程（3）的重根，通解中对应于k λ的项为t k k tc c λ)(11−++L ，),,1(k i c i L =为任意常数。

概率基础计算公式

概率基础计算公式概率基础计算公式1.加法公式:P ( A + B ) = P ( A ) + P ( B ) − P ( A B ) P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB) P(A+B)=P(A)+P(B)−P(AB)2.求逆公式：P ( A ˉ ) = 1 − P ( A ) P(\bar{A})=1-P(A) P(Aˉ)=1−P(A)3.求差公式：P ( A − B ) = P ( A ) − P ( A B ) P(A-B)=P(A)-P(AB) P(A−B)=P(A)−P(AB)4.乘法公式：P ( A B ) = P ( A ) ⋅P ( A ∣B ) = P ( B ) ⋅P ( B ∣A ) P(AB)=P(A)\cdot P(A|B)=P(B)\cdot P(B|A) P(AB)=P(A)⋅P(A∣B)=P(B)⋅P(B∣A)5.全概率公式：设 A 1 , A 2 , . . . , A n A_1,A_2,...,A_n A1,A2,...,An两两互不相容，且所有的 A i A_i Ai并起来为Ω Ω Ω，则称 A 1 , A 2 , . . . , A n A_1,A_2,...,A_n A1,A2,...,An构成一个完备事件组，若P ( A i ) > 0 , i = 1 , 2 , . . . , n , P(A_i)>0,i=1,2,...,n, P(Ai )>0,i=1,2,...,n,则有如下全概率公式：P ( B ) = ∑ i = 1 n P ( A i ) ⋅ P ( B ∣ A i ) P(B)=\displaystyle \sum^{n}_{i=1}{P(A_i) \cdot P(B|A_i)} P(B)=i=1∑n P(Ai)⋅P(B∣Ai)6.贝叶斯公式（逆概率公式）：设 A 1 , A 2 , . . . , A n A_1,A_2,...,A_n A1,A2,...,An构成一个完备事件组，且P ( A i ) > 0 , i = 1 , 2 , . . . , n , P(A_i)>0,i=1,2,...,n, P(Ai)>0,i=1,2,...,n,则当P ( B ) > 0 P(B)>0 P(B)>0时，有如下贝叶斯公式：P ( A k ∣ B ) = P ( A k ) ⋅ P ( B ∣ A k ) ∑ i = 1 n P ( A i ) ⋅ P ( B ∣ A i ) , k = 1 , 2 , . . . , n . P(A_k|B)=\displaystyle {\frac{P(A_k) \cdot P(B|A_k)}{\sum^{n}_{i=1}{P(A_i) \cdot P(B|A_i)}}},k=1,2,...,n. P(Ak∣B)=∑i=1n P(Ai)⋅P(B∣Ai)P(Ak)⋅P(B∣Ak),k=1,2,...,n.7.n重伯努利试验：(1)若独立试验序列每次试验的结果只有两个，即A 与A ˉ A与\bar{A} A与Aˉ，记 P ( A ) = p P(A)=p P(A)=p，则n次试验中事件A发生 k k k次的概率为:P n ( A = k ) = P n ( k ) = C n k p k ( 1 − p ) n − k , k = 0 , 1 , 2 , . . . , n . P_n(A=k)=P_n(k)=C_n^kp^k(1-p)^n-k,k=0,1,2,...,n. Pn(A=k)=Pn(k)=Cnkpk(1−p)n−k,k=0,1,2,...,n.(2)独立重复地进行伯努利试验，直到第 k k k次试验时A才首次发生的概率为：P k = ( 1 − p ) k − 1 p , k = 1 , 2 , . . . , n . P_k=(1-p)^{k-1}p,k=1,2,...,n. Pk=(1−p)k−1p,k=1,2,...,n.。

第七节差分方程

第七节差分方程对连续型变量而言，我们常常回导致到微分方程的问题. 对离散型变量将导致一类的问题.一、差分的定义定义设)(x y y =是一个函数, 自变量从x 变化到x +1, 这时函数的增量记为)()1(x y x y y x -+=∆, 我们趁这个量为)(x y 在点x 步长为1的一阶差分,简称为)(x y 的一阶差分. 为了方便我们也记)(),1(1x y y x y y x x =+=+,即x x x y y y -=∆+1.称x x x x x x x x y y y y y y y y +-=---=∆∆+++++121122)()()(为)(x y 二阶差分,简记为x y 2∆.同样记)(2x y ∆∆为x y 3∆,并称为三阶差分.一般记)(1x n x n y y -∆∆=∆,称为n 阶差分.且有i n x i ni i n x ny C y -+=-=∆∑)1(0. 性质: 当a,b,C 是常数, y x 和z x 是函数时,(1) Δ(C )=0;(2) Δ(Cy x )= C Δ(y x );(3) Δ(ay x + b z x )= a Δy x + b Δ z x ;(4) Δ(y x z x )= z x+1Δy x +y x Δ z x = y x+1Δz x +z x Δy x ;(5) 1111++++∆-∆=∆-∆=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∆x x x x x x x x x x x x x xz z z y y z z z z y y z z y . 例已知),0(≠=x x y x α求Δ(y x ).解 Δ(y x )= ααx x -+)1(.特别, 当n 为正整数时, Δ(y x )= i n n i i n x C-=∑1, 阶数降了一阶.推论若m, ,n 为正整数时, m,> n P(x)为n 次多项式,则0)(=∆x P m .例已知),10(≠<=a a y x x 求Δ(y x ).解 Δ(y x )= )1(1-=-+a a a a x x x .二、差分方程定义设是含有未知函数差分的等式，称为差分方程。

差分方程在矩阵幂、行列式及概率计算中的应用

差分方程在矩阵幂、行列式及概率计算中的应用
程瑜;戴振祥;刘伟明
【期刊名称】《江苏师范大学学报（自然科学版）》
【年(卷),期】2018(036)004
【摘要】讨论了差分方程在矩阵幂、行列式及概率计算中的应用.给出了一阶线性常系数非齐次差分方程的一种和式解,建立了矩阵幂、行列式、概率等满足的差分方程式,最后,给出了几个应用实例.
【总页数】5页(P53-57)
【作者】程瑜;戴振祥;刘伟明
【作者单位】徐州工程学院数学与物理学院,江苏徐州221111;徐州工程学院数学与物理学院,江苏徐州221111;北京石油化工学院数理系,北京102617
【正文语种】中文
【中图分类】O175;O212
【相关文献】
1.一阶差分方程在幂和计算中的应用 [J], 向明华;韦扬
2.线性方程组在行列式和矩阵计算中的应用 [J], 彭司萍;龙正平
3.矩阵高阶幂的计算及其在差分方程中的应用 [J], 周世国;曹清录
4.差分方程在计算n阶行列式中的应用 [J], 籍明文;孙自强
5.差分方程在矩阵幂、行列式及概率计算中的应用 [J], 程瑜;戴振祥;刘伟明;
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《概率计算》必背概念知识点整理

《概率计算》必背概念知识点整理概率计算必背概念知识点整理
1. 随机变量与概率
- 随机变量：随机试验的结果用变量表示，称为随机变量。

- 概率：描述事件发生的可能性大小的数值，取值范围在0到1之间。

2. 概率分布
- 离散型随机变量：随机变量取有限个或可列个值的情况下的概率分布。

- 连续型随机变量：随机变量的取值是一个区间内任意实数值的情况下的概率分布。

3. 期望与方差
- 期望：随机变量的平均值，表示随机变量的长期平均水平。

- 方差：衡量随机变量相对于其期望值的离散程度。

4. 条件概率与独立性
- 条件概率：在已知某个事件发生的条件下，另一个事件发生
的可能性。

- 独立事件：两个事件之间的发生没有相互关系。

5. 联合分布与边缘分布
- 联合分布：描述多个随机变量同时发生的情况下的概率分布。

- 边缘分布：从联合分布中得到某个随机变量单独的概率分布。

6. 条件分布与条件期望
- 条件分布：在给定某个条件下的随机变量的概率分布。

- 条件期望：在给定某个条件下的随机变量的期望值。

7. 大数定律与中心极限定理
- 大数定律：随着试验次数增加，试验的平均结果会趋近于其期望值。

- 中心极限定理：当随机变量的样本容量足够大时，样本均值的分布趋近于正态分布。

以上是《概率计算》中的一些必背概念知识点的整理。

这些知识点可以帮助理解概率计算的基本原理和方法。

请根据自己的需要进行深入学习和理解。

差分方程求解

定义4 如果一个函数代入差分后, 方程两边恒等, 则称此函数为该差分方程的解.
例3 验证函数 yx = 2x + 1是差分方程 yx+1 yx = 2的解.
解 yx+1 = 2(x + 1) + 1 = 2x +3, yx+1 yx = 2x + 3 (2x +1) = 2,
所以yx = 2x + 1是差分方程 yx+1 yx = 2的解.
程(3)的通解.
下面用待定系数法来求两种类型函数的特解.
(1) 令f (x) = b0 + b1x + +bmxm 设特解的待定式为
y x B0 B1x Bm xm (a 1) (6)
或
y x (B0 B1x Bm xm ) x (a 1) (7)
其一般形式为
G(x, yx, yx+1, , yx+n) = 0.
(2)
定义3中要求 x, yx, yx+1, , yx+n不少于两个.
例如, yx+2 + yx+1 = 0为差分方程, yx = x不是差分方程.
差分方程式(2)中, 未知函数下标的最大差数为 n, 则称差分方程为n 阶差分方程.
(4)
称为齐次差分方程; 当 f (x) 0时, 称为非齐次差分方程.
先求齐次差分方程 yx+1 ayx = 0的解设 y0 已知, 代入方程可知
y1 = ay0, y2 = a2y0,
yx = axy0,
令y0 = C, 则得齐次差分方程的通解为
yx = Cax.

差分方程_精品文档

程）法。本节主要讲述前3种方法，后2种方法将在后续章节中讲
解。
一、差分方程的初值问题（边界条件）
二、差分方程的解法（前3种方法）
三、传输算子的概念
返回
一、差分方程的初值问题（边界条件）
相应于连续时间系统中的起始条件和初始条件, 在离散时间系统中存在着起始样值与初始样值。
起始样值即在激励信号加入之前系统已具有的一组样值, 以符号y-(n)表示。
返回
例7-4-6 已知 y(n)+2y(n-1) =5u(n), 且y(-1) =1,
求完全解。
特征方程 a +2=0 a = -2
齐次解
yhn C1 2n
特解
因为x(n)=5u(n), n³0时为5（常数）
所以 yp(n) =D
代入原方程求特解 D+2D =5 (n 0)
完全解
所以 D 5
“E”表示将序列超前一个单位时间的运算。 E也称为移
序算子，利用移序算子可y(n写-1)出= 1: y(n)
对y于(n差+分1方)=程Eyy((nn)+1)
-
ay(n)
E
=x(n)
可改写为: （E - a）y(n) =x(n)
对于二例，可以引入
传输算子 HE 1
于是有：
Ea
而对于方程式 y(n) - ay(n-1) =x(n -1)
N
akCa nk 0
k 0
消去常数C，逐项除以a n-N 并化简得:
a0a N+a1a N-1+……+ aN-1a + aN=0
该式称为差分方程的特征方程，特征方程的根a1. a2 、……、 aN称为差分方程的特征根。

差分方程基础知识

yt yt y
* t
C APt , 1 P A Ct ,
其中， A为任意常数，且当
P 1 时，
当
P 1 时，
C A y0 A1 , 1 P
A y0 A 1 .
例5 求差分方程
解由于
yt 1 3 yt 2 的通解.
，故原方程的通解为
2．一阶常系数线性非齐次差分方程的通解
定理设
yt
为齐次方程的通解， yt 为非齐次方程的一个
*
特解，则
yt yt yt* 为非齐次方程的通解.
y t 1 P y t 0
* * 证明由题设，有 yt 1 Pyt f (t ) ，及
将这两式相加得 ( y t 1 yt*1 ) P ( y t yt* ) f (t ) ，即
其特点是
yt n , yt n 1,, yt
都是一阶的.
三、一阶常系数线性差分方程一阶常系数差分方程的一般方程形式为
yt 1 Pyt f (t )
其中则方程变为
f (t ) 为已知函数.如果 f (t ) 0 P 为非零常数，
yt 1 Pyt 0
f (t ) 0 时方程
yt t ( n) t (t 1)(t 2) (t n 1) ，则
( n)
yt (t 1)
.
t
( n)
(t 1)t (t 1) (t 1 n 1)
t (t 1) (t n 2)(t n 1)
( n 1)
y3 Py2 P y0
t
, yt Pyt 1 P y0 .

最大差分和线性概率的计算方法

最大差分和线性概率的计算方法刘彦宾;谢海英【摘要】文中给出S盒的最大差分概率一种新的,快速的计算方法;构造出一种特殊结构的16×16的S盒;给出该S盒的最大线性概率的计算方法,其计算复杂度仅需232.【期刊名称】《通信技术》【年(卷),期】2009(042)007【总页数】3页(P110-112)【关键词】差分概率;线性概率;S盒【作者】刘彦宾;谢海英【作者单位】遵义师范学院,计算机科学系,贵州,遵义,563002;成都信息工程学院,计算科学系,四川,成都,610041【正文语种】中文【中图分类】工业技术【文献来源】https:///academic-journal-cn_communications-technology_thesis/0201237023383.html2009年第 07 期，第 42 卷总第 211 期通信技术Communications Technology Vol.42, No.07, 2009No.211, Totally最大差分和线性概率的计算方法刘彦宾① ，谢海英②（①遵义师范学院计算机科学系，贵州遵义563002; ②成都信息工程学院计算科学系，四川成都 610041 ）【摘要】文中给出S 盒的最大差分概率一种新的，快速的计算方法；构造出一种特殊结构的16 × 16 的S 盒；给出该S 盒的最大线性概率的计算方法，其计算复杂度仅需2” 。

【关键词】差分概率；线性概率； S 盒【中图分类号】TP309【文献标识码lA 【文章编号】1002-0802(2009) 07-0110-03 A MethodforComputingMaximumProbabilityofDifferentialCharacteristic andLinearApproximation LIUYan-bino.XI Hai-ying'o cCD Department ofComputerScienceandTechnology,ZunyiNormalCollege,ZunyiGuizhou563002,China;(萤Departmentof Computing Science,ChengduUniversityof Information Technology, ChengduSichuan610041,China)[AbstractlInthispaper,anewandfastmethodforcomputingmaximumprobabili tyofdifferential characteristic ofSboxispresented.A special16X16Sboxisconstructed,a methodforcomputingmaximum probability forlinearapproximationis given,andthecomputingcomplexity ofthismethodis232.[Keywords]probabilityofdifferentialcharacteristic;probabilityoflinearapproximati on;Sbox 0 引言差分分析和线性分析是迄今为止两种十分重要的分组密码分析方法，差分特征概率和线性近似概率是衡量一个分组密码算法抗差分分析和线性分析的重要指标，分组密码算法的设计一般采用迭代结构，即由轮函数迭代构成，轮函数主要由三部分组成：密钥加层、非线性层（主要由 S 盒组成）和扩散层，非线性层在密码算法中起着重要作用，一个算法的许多密码特性都是由非线性层确定的。

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递推关系式，从而建立差分方程。
解：设Ａｋ＝｛在ｋ次试验后，Ａ出现偶次｝，Ａｋ＝｛在ｋ次试验后，Ａ出现奇次｝，Ｈ１＝｛Ａ在第ｋ次试验
时出现｝，Ｈ１＝｛Ａ在第ｋ次试验时不出现｝，令Ｐ（Ａｋ）＝Ｐｋ，Ｐ（Ｈ１）＝Ｐ，且Ａｋ＝Ａｋ－１Ｈ１∪Ａｋ－１Ｈ１，显然，Ａｋ－１Ｈ１与
摘要：全文介绍了差分方程的概念，并给出了一阶差分方程ｘｎ＋１＝ａｘｎ＋ｂ的通解与给定初始条件ｘ１＝ｃ的特解，同时又给出了二阶差分方程ｘｎ＋２＝ａｘｎ＋１＋ｂｘｎ的通解与给定初始条件ｘ１＝ｍ１，ｘ２＝ｍ２的特解，并详细讨论了这两种差分方程在概率论中的应用。
关键词：概率；差分；差分方程；试验；全概公式中图分类号：Ｏ２１１文献标识码：Ａ文章编号：１００７－４２６０（２００６）０４－００９１－０３
以上三种情况为互不相容事件，所以（ｎ＋１）秒后粒子在点Ｏ的概率为：Ｐ（Ｏｎ＋１）＝Ｐ（Ａｎ）Ｐ（Ｏｎ＋１／Ａｎ）＋Ｐ（Ｂｎ）Ｐ（Ｏｎ＋１／Ｂｎ）＋Ｐ（Ｃｎ）Ｐ（Ｏｎ＋１／Ｃｎ），因Ｐ（Ｏｎ＋１／Ａｎ）＝Ｐ（Ｏｎ＋１／Ｂｎ）＝Ｐ（Ｃｎ）Ｐ（Ｏｎ＋１／Ｃｎ）＝１／３，所以Ｐ（Ｏｎ＋１）＝［Ｐ（Ａｎ）＋Ｐ（Ｂｎ）＋Ｐ（Ｃｎ）］／３，但Ｐ（Ａｎ）＋Ｐ（Ｂｎ）＋Ｐ（Ｃｎ）＝１，Ｐ（Ｏ０）＝１，所以Ｐ（Ｏｎ＋１）＝［１－Ｐ（Ｏｎ）］／３＝１／３－Ｐ（Ｏｎ）／３（＊），由引理１可知：Ｐ（Ｏｎ）＝１／４＋３（－１／３）ｎ／４．
收稿日期：２００６－０１－２８作者简介：唐燕玉（１９５１－），女，安徽枞阳人，安庆师范学院学报（自然科学版）主编。
·９２·
安庆师范学院学报（自然科学版）
２００６年
! 解得
ｃ１＝（ｍ１λ２－ｍ２）／λ１（λ２－ λ１），
ｃ２＝（ｍ２－ｍ１λ１）／λ２（λ２－ λ１）
Ｐｎ，
解之得：ｘｎ＋１＝
１ｒ
－
１ｒ（１－ｒ）ｎ
。
Ｐ１＝１
例２把一枚质量均匀的硬币连续投掷，直至接连出现两个正面时为止，这种事件发生在第ｎ次投
掷的概率。
解Ａｎ＝｛出现两个正面的事件出现在第ｎ次｝，Ｂ１＝｛第一次出现反面｝，Ｂ２＝｛第一次投出正面，第二
上述定义也可以称为向前差分，还可以用不同的形式定义向后差分与中心差分，三者实质是相同
的，可以互相转换。差分具有线性运算及类似微分的运算性质。
２．差分方程的概念［１］
定义２差分方程的一般形式为：Ｆ（ｙ（ｔ）； △ｙ（ｔ）， …， △ｎｙ（ｔ））＝０，方程中的最大足标ｉ＋ｎ与最小足标
)& ’ & ( * 解特征方程
"２－
"／２－
１／４＝０
得："１＝
１＋ % ４
５
，"２＝
１＋ % ４
５
，Ｐｎ＝１２% ５
ｎ－１
ｎ－１
１＋% ５４
－１－ % ５４
由以上例题可以看出，在解题过程中主要应用题知条件构造递推关系式，即差分方程的形式，并且
题知所求概率都是关于某事件在出现ｎ次时的概率，方程都是一等式，在求概率公式中，全概率公式就
（３）
……
……
（１－２Ｐ）ｎ－２Ｐ２＝Ｐ（１－２Ｐ）ｎ－２＋（１－２Ｐ）ｎ－１Ｐ１
（ｎ－１）
（１－２Ｐ）ｎ－１Ｐ１＝Ｐ（１－２Ｐ）ｎ－１＋（１－２Ｐ）ｎＰ０
（ｎ）
其中，Ｐ０＝１，且上述表示对原方程组进行如下步骤：在（２）
式两边同乘以（１－２Ｐ），在（３）式两边同乘以（１－２Ｐ）２，……，在（２）
注：（＊）式的另一种解法是如下：（＊）式可变形为：Ｐ（Ｏｎ＋１）－１／４＝－［Ｐ（Ｏｎ）－１／４］／３，因此，数列是公比为－１／３的等比数列，首项是Ｐ（Ｏ０）－１／４＝３／４，得出：Ｐ（Ｏｎ）－１／４＝３（－１／３）ｎ／４，即：Ｐ（Ｏｎ）＝１／４＋３（－１／３）ｎ／４。
Ａｋ－１Ｈ１事件互斥，再利用试验的独立性Ｐ（Ａｋ）＝Ｐ（Ａｋ－１Ｈ１）＋Ｐ（Ａｋ－１Ｈ１）＝Ｐ（Ａｋ－１）Ｐ（Ｈ１）＋Ｐ（Ａｋ－１）Ｐ（Ｈ１）＝Ｐｋ－１（１－Ｐ）＋
! （１－Ｐｋ－１）Ｐ，即Ｐｋ＝Ｐ＋Ｐｋ－１（１－２Ｐ），
将此式变形为
Ｐｋ－
１２
＝（１－
２Ｐ）（Ｐｋ－１－
解（ｎ＋１）秒后粒子在点Ｏ有三种情况：１）时刻ｎ秒时在点Ａ，相隔１秒后移到点Ｏ，则此概率为
Ｐ（Ａｎ）＊Ｐ（Ｏｎ＋１／Ａｎ）；２）时刻秒ｎ时在点Ｂ，相隔１秒后移到点Ｏ，则此概率为Ｐ（Ｂｎ）Ｐ（Ｏｎ＋１／Ｂｎ）；３）时刻ｎ秒时在点Ｃ，相隔１秒后移到点Ｏ，则此概率为Ｐ（Ｃｎ）Ｐ（Ｏｎ＋１／Ｃｎ）。
１２
）
（ｋ＝１，
２，
…，
ｎ），
将所有
ｎ
个等式的
Ｐ０＝０
左右端连乘得：
注：上述差分方程可以用引理１解出，下面再给出另一种解法。
Ｐｎ＝Ｐ＋（１－２Ｐ）Ｐｎ－１
（１）
（１－２Ｐ）Ｐｎ－１＝Ｐ（１－２Ｐ）＋（１－２Ｐ）２Ｐｎ－２
（２）
（１－２Ｐ）２Ｐｎ－２＝Ｐ（１－２Ｐ）２＋（１－２Ｐ）３Ｐｎ－３
次投出反面｝，Ｂ１∩Ｂ２＝￠，但Ａｎ$Ｂ１∪Ｂ２，由全概率公式可知：Ｐｎ＝Ｐ（Ａｎ）＝Ｐ（Ｂ１）Ｐ（Ａｎ／Ｂ１）＋Ｐ（Ｂ２）Ｐ（Ａｎ／Ｂ２），Ｐ（Ｂ１）＝１／２，
Ｐ（Ｂ２）＝１／４，由事件的独立性知：Ｐ（Ａｎ－１／Ｂ１）＝Ｐ（Ａｎ－１）＝Ｐｎ－１，Ｐ（Ａｎ／Ｂ２）＝Ｐ（Ａｎ－２）＝Ｐｎ－２，Ｐｎ＝Ｐｎ－１／２＋Ｐｎ－２／４，Ｐ１＝０，Ｐ２＝１／４，
Ｐ（Ａｎ＋１／Ａｎ）＝０，Ｐ（Ａｎ＋１／Ａｎ）＝
１ｒ－１
，因Ａｎ∪Ａｎ＝Ω，所以由全概率公式可知：Ｐｎ＋１＝Ｐ（Ａｎ）Ｐ（Ａｎ＋１／Ａｎ）＋Ｐ（Ａｎ）Ｐ（Ａｎ＋１／Ａｎ）＝
! Ｐｎ·０＋（１－
Ｐｎ）
１ｒ－１
＝１ｒ－１
＋１ｒ－１
Ｐｎ，从而建立了差分方程：
Ｐｎ＋１＝
１ｒ－１
＋１ｒ－１
证明令ｘｎ＝Ａλｎ代入（２）得：Ａλｎ（ λ２－ａλ－ｂ）＝０，称方程 λ２－ａλ－ｂ＝０为差分方程（２）的特征方程，且（２）
" " ｎ＋１
ｎ＋２
的解与特征方程的解有关系式：ｘｎ＋１＝ｃ１λ１＋ｃ２λ２，因给定初值
ｘ１＝ｍ１，
代入上式得：
ｘ２＝ｍ２
ｍ１＝ｃ１λ１＋ｃ２λ２ｍ２＝ｃ１λ１２＋ｃ２λ２２
ｃ＋（１－１－ａ
ａ
）
引理２［３］对于二阶常系数线性差分方程ｘｎ＋２＝ａｘｎ＋１＋ｂｘ，ａ，ｂ为常数，若ｘ１＝ｍ１，ｘ２＝ｍ２（ｍ１，ｍ２为常数），
ｎ
ｎ
则
ｘｎ＋１＝
λ１（ｍ１λ２－ｍ２）
λ２－
λ １
＋
λ２（
ｍ２－ｍ１λ２）
λ２－
λ １
，其中 λ１、λ２是方程 λ２－ａλ－ｂ＝０的两根。
ｉ之差为ｎ时，称之为ｎ阶的差分方程，其一般形式为：ａ０（ｔ）ｙ（ｔ）＋ａ１（ｔ）ｙ（ｔ）＋…＋ａｎ（ｔ）ｙ（ｔ）＝ｂ（ｔ），当ｂ（ｔ）＝０时，称为其次的，否则称为非其次的。
在求概率中应用到的一类差分方程，是一类简单的特殊形式，常用到的只有一阶常系数线性差分
可以构造等式，所以其运用很多，但此并非在任何情况下都可以这样。
例３在每一次试验中，事件Ａ出现的概率为Ｐ，试问ｎ次独立试验中Ａ出现偶次的概率是多少？
分析：易知这一试验为贝努利试验，由于贝努利试验中Ａ出现偶数次的概率为（ｐ＋（１－ｐ））ｎ，展开式中
奇数项之和，而另外一些项之和为Ａ出现奇数次的概率，因此可把出现偶次与出现奇数次统一考虑，通
ｎ
ｘｎ＋１＝
λ１（
ｍ１λ２－ｍ２） λ２－ λ１
＋
ｎ
λ２（ｍ２－ｍ１λ２） λ２－ λ１
４．差分方程在求概率中的应用
例１ｒ个人相互传球，从甲开始，每个人传球时，传球者可能把球传给其他人ｒ－１个人中的任何一
个人，求第ｎ次传球时，任由甲传出的概率。
解令Ａｎ为｛第ｎ次传球由甲传出｝（ｉ＝１，２，…，ｎ），故欲求概率为Ｐ（Ａｎ），设Ｐ（Ａｎ）＝Ｐｎ，Ｐ１＝Ｐ（Ａ１）＝１，
式两边同乘以（１－２Ｐ）ｎ－１，将上述ｎ个方程两边相加，约去含Ｐ１至
Ｐｎ－１的各项，得到：
图１
ｎ
ｎ
Ｐｎ＝Ｐ＋（１－２Ｐ）＋
Ｐ（１－２Ｐ）２＋… #＋
Ｐ（１－２Ｐ）ｎ－１＋Ｐ（１－２ｐ）ｎ＝ｐ１－（１－２ｐ）１－（１－２ｐ）
＋（１－２ｐ）ｎ＝ｐ１－（１－２ｐ）２ｐ
方程和二阶常系数线性差分方程，其一般形式为：ｘｎ＋１＝ａｘｎ＋ｂ（１）；３．一阶、二阶常系数线性差分方程的解［２］

ｘｎ＋２＝ａｘｎ＋１＋ｂｘｎ（２）
引理１对于一阶常系数线性差分方程ｘｎ＋１＝ａｘｎ＋ｂｘｎ，ａ，ｂ为常数，若已知ｘ１＝ｃ（ｃ为常数），
ｎ
ｎ
则
ｘｎ＋１＝