差分方程与概率计算

△（ △ｙ（ ｔ） ） ＝△２ｙ（ ｔ） 称为 ｙ（ ｔ） 的二阶差分， △ｎｙ（ ｔ） ＝△（ △ｎ－ １ｙ（ ｔ） ） 称为 ｙ（ ｔ） 的 ｎ 阶差分。
对于连续函数 ｙ（ ｔ） ， 可以在区间［ａ，ｂ］内插入 ｎ－ １ 个分点： ａ＜ｔ０＜ｔ１＜…＜ｔｎ＝ｂ（ 为方便 计 算 ， 可 取 等 距 离 点） ， 得函数值 ｙ（ ｔ０） ， ｙ（ ｔ１） ， …， ｙ（ ｔｎ） ， 同样定义 ｙ（ ｔ） 的各阶差分。
例 ５ 设质点 Ｍ 在整数点集｛ ０，１，２，…，ａ｝上做随机游动， 每经一单位时间， 按下列 规则变一次位置，
如果它现在在点 ｚ（０≤ｚ≤ａ）上， 下一步以概率 ｐ（ ０＜ｐ＜１） 转移到 ｚ＋１， 以概率 ｑ（ ｑ＋ｐ＝１） 转移 到 ｚ－ １； 如 果
它现在在 ０， 则以后就停留在 ０， 求： 从 ｚ 出发最终达到 ０ 的概率。
１ ２
）
（ ｋ＝１，
２，
…，
ｎ） ，
将所有
ｎ
个等式的
Ｐ０＝０
左右端连乘得：
注： 上述差分方程可以用引理 １ 解出， 下面再给出另一种解法。
Ｐｎ＝Ｐ＋（１－ ２Ｐ）Ｐｎ－ １
（１）
（１－ ２Ｐ） Ｐｎ－ １＝Ｐ（１－ ２Ｐ）＋（１－ ２Ｐ）２Ｐｎ－ ２
（２）
（１－ ２Ｐ）２Ｐｎ－ ２＝ Ｐ（１－ ２Ｐ）２＋（１－ ２Ｐ）３Ｐｎ－ ３
随着科学技术的发展， 差分方程在各个领域得到越来越多的应用， 本文将介绍差分方程的一个简
单的应用， 即如何利用差分方程来求概率问题， 虽然差分方程及其解法在很多方面类似于微分方程， 但
由于很少书籍介绍差分方程的内容， 现在先了解一下差分方程的基本概念。
１． 差分的概念［１］
定义 １ 设 ｙ（ ｔ） 为定义在整数集上的函数， 则称 △ ｙ（ ｔ） ＝ ｙ（ ｔ＋１） － ｙ（ ｔ） 为函数 ｙ （ ｔ） 的一阶差分，
上述定义也可以称为向前差分， 还可以用不同的形式定义向后差分与中心差分， 三者实质是相同
的， 可以互相转换。差分具有线性运算及类似微分的运算性质。
２ ． 差 分 方 程 的 概 念［１］
定义 ２ 差分方程的一般形式为： Ｆ（ ｙ（ ｔ） ； △ｙ（ ｔ） ， …， △ｎｙ（ ｔ） ） ＝０，方程中的最大足标 ｉ＋ｎ 与最小足标
Ｐｎ ，
解之得： ｘｎ＋１＝
１ ｒ
－
１ ｒ（１－ ｒ）ｎ
。
Ｐ１＝１
例 ２ 把一枚质量均匀的硬币连续投掷， 直至接连出现两个正面时为止， 这种事件发生在第 ｎ 次投
掷的概率。
解 Ａｎ＝｛出现两个正面的事件出现在第 ｎ 次｝ ， Ｂ１＝｛ 第一次出现反 面｝，Ｂ２＝｛ 第 一 次 投 出 正 面 ， 第 二
Ａｋ－ １Ｈ１ 事件互斥， 再利用试验的独立性 Ｐ （Ａｋ）＝Ｐ（Ａｋ－ １Ｈ１）＋Ｐ（Ａｋ－ １Ｈ１）＝Ｐ（Ａｋ－ １）Ｐ（Ｈ１）＋Ｐ（Ａｋ－ １）Ｐ（Ｈ１）＝Ｐｋ－ １（１－ Ｐ）＋
! （１－ Ｐｋ－１）Ｐ，即 Ｐｋ＝Ｐ＋ Ｐｋ－１（１－ ２Ｐ），
将此式变形为
Ｐｋ－
１ ２
＝（１－
２Ｐ）（Ｐｋ－ １ －
)& ’ & ( * 解特征方程
"２－
"／２－
１／４＝０
得："１＝
１＋ % ４
５
，"２＝
１＋ % ４
５
，Ｐｎ＝ １ ２% ５
ｎ－ １
ｎ－ １
１＋% ５ ４
－ １－ % ５ ４
由以上例题可以看出， 在解题过程中主要应用题知条件构造递推关系式， 即差分方程的形式， 并且
题知所求概率都是关于某事件在出现 ｎ 次时的概率， 方程都是一等式， 在求概率公式中， 全概率公式就
ｃ＋（１－ １－ ａ
ａ
）
引理 ２［３］ 对于二阶常系数线性差分方程 ｘｎ＋２＝ａｘｎ＋１＋ｂｘ， ａ， ｂ 为常数 ， 若 ｘ１＝ｍ１，ｘ２＝ｍ２（ ｍ１， ｍ２ 为常数），
ｎ
ｎ
则
ｘｎ＋１＝
λ１（ ｍ１λ２－ ｍ２）
λ２－
λ １
＋
λ２（
ｍ２－ ｍ１λ２）
λ２－
λ １
，其中 λ１、λ２ 是方程 λ２－ ａλ－ ｂ＝０ 的两根。
证明 令 ｘｎ＝Ａλｎ 代入（ ２） 得： Ａλｎ（ λ２－ ａλ－ ｂ） ＝０，称方程 λ２－ ａλ－ ｂ＝０ 为差分方程（ ２） 的特征方程， 且（ ２）
" " ｎ＋１
ｎ＋２
的解与特征方程的解有关系式： ｘｎ＋１ ＝ｃ１λ１ ＋ｃ２λ２ ，因给定初值
ｘ１＝ｍ１ ，
代入上式得：
ｘ２＝ｍ２
ｍ１＝ｃ１λ１＋ｃ２λ２ ｍ２＝ｃ１λ１２＋ｃ２λ２２
分析： 用 Ａｚ＝｛ 质点在点 ｚ｝（ ０≤ｚ≤ａ） ， Ａ＝｛ 质点最终达到 ０｝， 则“质点 Ｍ 从 ｚ（ ０≤ｚ≤ａ） 出发最终达到 点 ０”， 这一事件的概率可记为 Ｐ（Ａ／Ａｚ），由题意可知， 其第一步必然来到 ｚ－ １ 或 ｚ＋１， 我们分别记这两个事 件为 Ａｚ－ １，Ａｚ＋１，易见 Ｐ（Ａｚ＋１）＝ｐ， Ｐ（Ａｚ－ １）＝ｑ，这是两个互不相容事件， 且其和事件为必然事件， 既构成样本空间 的一个划分， 于是由全概率公式可得： Ｐ（Ａ／Ａｚ）＝ Ｐ（Ａｚ＋１）Ｐ（Ａ／Ａｚ＋１）＋Ｐ（Ａｚ－ １）Ｐ（Ａ／Ａｚ－ １），由于 ｚ 的任意性， 上式中右 边的两个条件概率和 Ｐ（Ａ／Ａｚ＋１）和 Ｐ（Ａ／Ａｚ－ １）与 Ｐ（Ａ／Ａｚ）是等价的， 因此上 述 等 式 就 给 出 了 三 个 概 率 的 递 推 关系式。
解 （ ｎ＋１） 秒后粒子在点 Ｏ 有三种情况： １） 时刻 ｎ 秒时在点 Ａ， 相隔 １ 秒后移到点 Ｏ， 则此概率为
Ｐ（Ａｎ）＊Ｐ（Ｏｎ＋１／ Ａｎ）； ２） 时刻秒 ｎ 时在点 Ｂ， 相隔 １ 秒后移到点 Ｏ， 则此概率为 Ｐ（Ｂｎ）Ｐ（Ｏｎ＋１／ Ｂｎ）； ３） 时刻 ｎ 秒 时在点 Ｃ， 相隔 １ 秒后移到点 Ｏ， 则此概率为 Ｐ（Ｃｎ）Ｐ（Ｏｎ＋１／ Ｃｎ）。
第４期 ２００６年 １１ 月 第 １２ 卷第 ４ 期
安庆师范学院学报（ 自然科学版）
Ｊ ｏｕｒｎａ ｌ ｏｆ Ａｎｑｉｎｇ Ｔｅ ａ ｃｈｅ ｒｓ Ｃｏｌｌｅ ｇｅ （ Ｎａ ｔｕｒａ ｌ Ｓ ｃｉｅ ｎｃｅ Ｅｄｉｔｉｏｎ ）
Ｎｏｖ．２００６ Ｖｏｌ．１２ Ｎｏ．４
差分方程与概率计算
唐燕玉
（ 安庆师范学院 学报编辑部， 安徽 安庆 ２４６０１１）
方程和二阶常系数线性差分方程， 其一般形式为： ｘｎ＋１＝ａｘｎ＋ｂ （１）； ３． 一阶、二阶常系数线性差分方程的解［２］
ｘｎ＋２＝ａｘｎ＋１＋ｂｘｎ （２）
引理 １ 对于一阶常系数线性差分方程 ｘｎ＋１＝ａｘｎ＋ｂｘｎ， ａ， ｂ 为常数， 若已知 ｘ１＝ｃ（ ｃ 为常数） ，
ｎ
ｎ
则
ｘｎ＋１＝
ａ
Ｐ（Ａｎ＋１／Ａｎ）＝０，Ｐ（Ａｎ＋１／Ａｎ）＝
１ ｒ－ １
，因 Ａｎ∪Ａｎ＝Ω，所以由全概率公式可知： Ｐｎ＋１＝Ｐ（Ａｎ）Ｐ（Ａｎ＋１／Ａｎ）＋Ｐ（Ａｎ）Ｐ（Ａｎ＋１／Ａｎ）＝
! Ｐｎ·０＋（１－
Ｐｎ）
１ ｒ－ １
＝１ ｒ－ １
＋１ ｒ－ １
Ｐｎ ， 从而建立了差分方程：
Ｐｎ＋１＝
１ ｒ－ １
＋１ ｒ－ １
递推关系式， 从而建立差分方程。
解： 设 Ａｋ＝｛ 在 ｋ 次试验后， Ａ 出现偶次｝ ， Ａｋ ＝｛ 在 ｋ 次试验后， Ａ 出现奇次｝， Ｈ１＝｛ Ａ 在第 ｋ 次试验
时出现｝， Ｈ１＝｛ Ａ 在第 ｋ 次试验时不出现｝， 令 Ｐ（Ａｋ）＝Ｐｋ，Ｐ（Ｈ１）＝Ｐ，且 Ａｋ＝Ａｋ－ １Ｈ１∪Ａｋ－ １ Ｈ１，显然， Ａｋ－ １Ｈ１ 与
ｉ 之差为 ｎ 时， 称之为 ｎ 阶的差分方程， 其一般形式为： ａ０（ ｔ） ｙ（ ｔ） ＋ａ１（ ｔ） ｙ（ ｔ） ＋…＋ａｎ（ ｔ） ｙ（ ｔ） ＝ｂ（ ｔ） ，当 ｂ（ ｔ） ＝０ 时， 称为其次的， 否则称为非其次的。
在求概率中应用到的一类差分方程， 是一类简单的特殊形式， 常用到的只有一阶常系数线性差分
以上三种情况为互不相容事件， 所以（ｎ＋１）秒后粒子在点 Ｏ 的概率为： Ｐ（Ｏｎ＋１）＝Ｐ（Ａｎ）Ｐ（Ｏｎ＋１／Ａｎ）＋ Ｐ（Ｂｎ）Ｐ（Ｏｎ＋１／Ｂｎ）＋Ｐ（Ｃｎ）Ｐ（Ｏｎ＋１／Ｃｎ）， 因 Ｐ（Ｏｎ＋１／Ａｎ）＝ Ｐ（Ｏｎ＋１／Ｂｎ）＝ Ｐ（Ｃｎ）Ｐ（Ｏｎ＋１／Ｃｎ）＝１／３， 所以 Ｐ（Ｏｎ＋１）＝［ Ｐ（Ａｎ）＋ Ｐ（Ｂｎ）＋ Ｐ（Ｃｎ）］／３，但 Ｐ（Ａｎ）＋ Ｐ（Ｂｎ）＋ Ｐ（Ｃｎ）＝１， Ｐ（Ｏ０）＝１，所以 Ｐ（Ｏｎ＋１）＝［１－ Ｐ（Ｏｎ）］／３＝１／３－ Ｐ（Ｏｎ）／３（＊），由引理 １ 可知： Ｐ（Ｏｎ）＝１／４＋ ３（－ １／３）ｎ／４．
（３）
……
……
（１－ ２Ｐ）ｎ－ ２Ｐ２＝Ｐ（１－ ２Ｐ）ｎ－ ２＋（１－ ２Ｐ）ｎ－ １Ｐ１
（ｎ－ １）
（１－ ２Ｐ）ｎ－ １Ｐ１＝Ｐ（１－ ２Ｐ）ｎ－ １＋（１－ ２Ｐ）Fra Baidu bibliotekＰ０
（ｎ）
其中， Ｐ０＝１，且 上 述 表 示 对 原 方 程 组 进 行 如 下 步 骤 ： 在 （ ２）
式两边同乘以（ １－ ２Ｐ） ，在（ ３） 式两边同乘以（１－ ２Ｐ）２ ，……，在（ ２）
摘 要： 全文介绍了差分方程的概念， 并给出了一阶差分方程 ｘｎ＋１＝ａｘｎ＋ｂ 的通解与给定初始条件 ｘ１＝ ｃ 的 特解， 同时又给出了二阶差分方程 ｘｎ＋２＝ａｘｎ＋１＋ｂｘｎ 的通解与给定初 始条件 ｘ１＝ｍ１，ｘ２＝ｍ２ 的特解， 并详细讨论了这两 种差分方程在概率论中的应用。
关键词： 概率； 差分； 差分方程； 试验； 全概公式 中图分类号： Ｏ２１１ 文献标识码： Ａ 文章编号： １００７－ ４２６０（２００６）０４－ ００９１－ ０３
可以构造等式， 所以其运用很多， 但此并非在任何情况下都可以这样。
例 ３ 在每一次试验中， 事件 Ａ 出现的概率为 Ｐ， 试问 ｎ 次独立试验中 Ａ 出现偶次的概率是多少？
分析： 易知这一试验为贝努利试验， 由于贝努利试验中 Ａ 出现偶数次的概率为（ｐ＋（１－ ｐ））ｎ，展开式中
奇数项之和， 而另外一些项之和为 Ａ 出现奇数次的概率， 因此可把出现偶次与出现奇数次统一考虑， 通
收稿日期： ２００６－ ０１－ ２８ 作者简介： 唐燕玉（ １９５１－ ） ， 女， 安徽枞阳人， 安庆师范学院学报（ 自然科学版） 主编。
·９２·
安庆师范学院学报（ 自然科学版）
２００６年
! 解得
ｃ１＝（ｍ１λ２－ ｍ２）／λ１（λ２－ λ１） ，
ｃ２＝（ｍ２－ ｍ１λ１）／λ２（λ２－ λ１）
＋（１－ ２ｐ）ｎ＝
１ ２
［１＋（１－ ２ｐ）ｎ］
第４期
唐燕玉： 差分方程与概率计算
·９３·
所以在解题中如何构造差分方程， 还要看具体情况而定， 本题中就直接利用了两事件的等价关系，
即等概率事件来构造了这一递推关系式， 在本题中介绍了几种差分方程的解法， 只是对本差分方程的
特殊情况而言的， 作为一个递推关系式在各种情况下都有其特殊的简单解法， 但作为一般性解法还是
注： （ ＊） 式的另一种解法是如下： （ ＊） 式可变形为： Ｐ（Ｏｎ＋１）－ １／４＝－ ［ Ｐ（Ｏｎ）－ １／４］／３，因此， 数列是公比为－ １／３ 的等比数列， 首项是 Ｐ（Ｏ０）－ １／４＝３／４， 得出：Ｐ（Ｏｎ）－ １／４＝３（－ １／３）ｎ／４，即： Ｐ（Ｏｎ）＝１／４＋３（－ １／３）ｎ／４。
过列方程求解， 这也是一种简单的解法。这里我们主要是介绍差分方程的解法： 如果把第 ｋ 次试验完成
时 Ａ 出现偶数次的事件， 分解成第 ｋ－ １ 次试验完成时 Ａ 出现了偶次数且第 ｋ 次试验没有出现 Ａ， 与第
ｋ－ １ 次试验完成时 Ａ 出现了奇数次且第 ｋ 次试验出现这两个事件的和事件， 则由全概率公式得到一组
式两边同乘以（１－ ２Ｐ）ｎ－ １，将上述 ｎ 个方程两边相加， 约去含Ｐ１ 至
Ｐｎ－ １ 的各项， 得到：
图１
ｎ
ｎ
Ｐｎ＝Ｐ＋（１－ ２Ｐ）＋
Ｐ（１－ ２Ｐ）２＋… #＋
Ｐ（１－ ２Ｐ）ｎ－ １＋Ｐ（１－ ２ｐ）ｎ＝ｐ １－ （１－ ２ｐ） １－ （１－ ２ｐ）
＋（１－ ２ｐ）ｎ＝ｐ １－ （１－ ２ｐ） ２ｐ
ｎ
ｘｎ＋１＝
λ１（
ｍ１λ２－ ｍ２） λ２－ λ１
＋
ｎ
λ２（ ｍ２－ ｍ１λ２） λ２－ λ１
４． 差分方程在求概率中的应用
例 １ ｒ 个人相互传球， 从甲开始， 每个人传球时， 传球者可能把球传给其他人 ｒ－ １ 个人中的任何一
个人， 求第 ｎ 次传球时， 任由甲传出的概率。
解 令 Ａｎ 为｛ 第 ｎ 次传球由甲传出｝ （ ｉ＝１，２，…，ｎ） ， 故欲求概率为 Ｐ（Ａｎ），设 Ｐ（Ａｎ）＝Ｐｎ，Ｐ１＝Ｐ（Ａ１）＝１，
次投出反面｝，Ｂ１∩Ｂ２＝￠，但 Ａｎ$Ｂ１∪Ｂ２ ，由全概率公式可知： Ｐｎ＝Ｐ（Ａｎ）＝Ｐ（Ｂ１）Ｐ（Ａｎ／Ｂ１）＋Ｐ（Ｂ２）Ｐ（Ａｎ／Ｂ２），Ｐ（Ｂ１）＝１／２，
Ｐ（Ｂ２）＝１／４，由事件的独立性知： Ｐ（Ａｎ－ １／ Ｂ１）＝Ｐ（Ａｎ－ １）＝Ｐｎ－ １， Ｐ（Ａｎ／ Ｂ２）＝Ｐ（Ａｎ－ ２）＝Ｐｎ－ ２，Ｐｎ＝ Ｐｎ－ １／２＋Ｐｎ－ ２／４， Ｐ１＝０， Ｐ２＝１／４，
引理所介绍的内容。
例 ４ 有一粒子， 它位于图 １ 中 Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｏ 某一点的位置上， 一秒后沿着 线 段 分 别 以 １／３ 概 率 移 向 相
邻的一点， 设在时刻 ０ 时这个粒子位于点 Ｏ， 当时刻为 ｎ 秒时粒子在点 Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｏ 的事件分别记为 Ａｎ，Ｂｎ， Ｃｎ，Ｏｎ 试求 Ｐ（Ｏｎ）的值。