双曲函数演示课件
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双曲线(优秀经典公开课比赛课件).
x2 y2 a2 - b2 =1
,由
{ 题设得
a2+b2=100
a4 =
,
b3
解得a=8,b=6.
∴另一条双曲线方程为
y2 x2 - =1
.
64 36
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【评析】双曲线
x2 y2 - =1
与
36 64
y2 - x2 =1 是一
64 36
对共轭双曲线，一般形式是
x2 a2
y2 - b2
=±1.
因而本题有另一解法，设双曲线方程为
c <
a
6
2.
∴离心率e=
e a
∈(1,
6 ).
2
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考点四 双曲线的综合应用
例4 已知双曲线C的中心是原点，右焦点为F（ 3 ，0），
一条渐近线m：x + y=0，设过点A(-3 ,0)的直线l
的方向向量e=(1,k). 2
2
(1)求双曲线C的方程;
(2)若过原点的直线a ∥ l，且a与l的距离为 ,求k的值;
，
1+k 2
当k＞
2 时，d＞
2
6.
又双曲线C的渐近线为x± 2 y=0，
∴双曲线C的右支在直线b的右下方，
∴双曲线C右支上的任意点到直线l的距离大于 6.
故在双曲线C的右支上不存在点Q，使之到直线l的距离
为 6.
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证法二：假设双曲线C右支上存在点Q（x0，y0）到
直线l的距离为 6 ，
则
{ |kx0 -y0 +3
由点到直线的距离公式,且a>1,得到点(1,0)到直线l
的距离d1=
b(a-1) a2 +b2
微积分研讨课——通过双曲函数求积分 ppt课件
cosh x cosix
sec hx secix
ppt课件
5
四则运算
cosh(x y) cosh x cosh y sinh x sinh y sinh(x y) sinh x cosh y cosh x sinh y tanh(x y) tanh x tanh y
陶神镇楼，祝诸位期末爆发！
ppt课件
16
ex ex
ex ex
双曲余割：sec hx
1 cosh
x
2 e pptx课件 e
x
cosh2 x sinh2 x 1
4
双曲函数和三角函数的转化关系
tanh x i tan ix
coth x i cot ix
csc hx i cscix
sinh x i sin ix
csc hxdx
ln
tanh
x 2
C
cosh xdx sinh x C
sinh xdx cosh x C
tanh xdx ln(cosh x) C
coth xdx ln(sinh x) C
ppt课件
8
玩一点高端的~
悬链线
与达芬奇的时代时隔170年，久负盛名的雅各布·伯努利在一篇论
他像伽利略一样，始终以为悬链线是一条抛物线。停下！停下！我对他
说，不要再折磨自己去证明悬链线是抛物线了，因为这是完全错误的。
可笑的是，约翰成功地解出这道难题，仅仅牺牲了“整整一晚”
的休息时间，而雅各布却已经与这道题持续搏斗了整整一年，这实在是
一种“奇耻大辱”。
ppt课件
2.3.1 双曲线及其标准方程 课件(共23张ppt)
o
x
因 为 PA PB 340 2 680 0,所 以 x 0.
因此炮弹爆炸点的轨迹（双曲线）的方程为
x2 y2 1( x 0). 115 600 44 400
【举一反三】 1.若在A,B两地同时听到炮弹爆炸声,则炮弹爆炸点 的轨迹是什么? 解: 爆炸点的轨迹是线段AB的垂直平分线.
X
离的和等于常数（大于｜F1F2｜）的点的轨迹叫做椭圆.
问题2：如果把椭圆定义中的“距离之和”改为“距
离之差”，那么点的轨迹是怎样的曲线？
即“平面内与两个定点F1，F2的距离的差等于非零常
数的点的轨迹 ”是什么？
看图分析动点M满足的条件： ①如图(A)，
|MF1|-|MF2|=|F2F| =2a. ②如图(B)，
解:
如图所示，建立直角坐标系xOy,使A，B两点在x
轴上，并且坐标原点O与线段AB的中点重合.
设爆炸点P的坐标为(x,y)，则
PA PB 340 2 680，
y
A
P B
即 2a=680，a=340. 又 AB 800，
所以 2c=800,c=400,
b2 c 2 a 2 44 400，
3.列式 由定义可知，双曲线就是集合： P= {M
|||MF1
| - | MF2|| = 2a },
即
( x c )2 y 2 ( x c )2 y 2 2a .
2
4.化简 代数式化简得：(c 2 a 2) x 2 a 2 y a 2(c 2 a 2)，
两 边 同 除 以 a 2 ( c 2 a 2 ), 得
x2 y2 2 1. 2 2 a c a
双曲线及其标准方程PPT课件(公开课)ppt文档
M
2、|MF2| － | MF 1| =2a (2a< |F1F2| )
F1
F2
3、若常数2a=0
F1
F2
4、若常数2a = | F1F2 |
F1
F2
5、若常数2a＞| F1F2 |
轨迹不存在
变式１ 已知两定点F1(-5,0),F2(5,0)，平面上一动 点P，｜PF1|－|PF2|= 6，求点P的轨迹方程.
解: 由题知点P的轨迹是双曲线的右支，
根据双曲线的焦点在 x 轴上，设它的标准方程为：
x2 y2 a2b2 1 (a0,b0)
∵ 2a = 6, c=5 ∴ a = 3, c = 5
双曲线及其标准方程PPT课件(公开课)
1、复习
平面内与两定点F1、F2的距离的 和 等于常数
2a ( 2a>|F1F2|>0) 的点的轨迹是 椭圆 .
动
画
Y Mx,y
2. 引入问题：
O
F 1c,0
F 2 c,0 X
平面内与两定点F1、F2的距离的 差 等于常数 的点的轨迹是什么呢？
平面上动点M到两定点距离的差为常数的轨迹是什么 ?
∴ a = 3, c = 5
∴ b2 = 52-32 =16
所以所求双曲线的标准方程为： x2 y2 1 9 16
走进高考
x2 y2
1.若双曲线 16 9 1 上的点P 到点
(5,0) 的距离是15，则点P 到点(5,0) 的
距离是（ D ） A.7 B. 23 C. 5或25 D. 7或23
所以所求双曲线的标准方程为：
x2 y2 1 或
y2 x2 1
9 16
9 16
课堂练习
高等数学第六节 双曲函数
yarx chlnx( x21)， yartxh1ln1x，
2 1x yarcxot1h lnx1.
2 x1
下面我们给出公式 y = arsh x 的推导： 在 ysh xexex中e令 xu,于是可得
2
u22yu10,
解之得
uy y2 1.
因为 u = ex > 0，所以上式取正号， 即
sh(xy).
2
因为 ch (x)exex chx，所以函数 y ch x
2
是偶函数 ； 因为
s(h x)exexexex sh x.
2
Hale Waihona Puke 2th (x)s(h x)sh xth x. c(h x) cx h
co( txh )c(h x)ch xcoxt. h s(h x) sh x
所以函数 y sh x ，y th x ，y coth x 为奇函数.
注意：双曲函数 不像三角函数那样具有周期性.
双曲函数的反函数叫做反双曲函数，分别 记为 arsh x ，arch x ，arth x ， arcoth x .
反双曲函数还有如下的表达式：
yarx shlnx( x21)，
uy 1y2, ex y 1y2, xlny( 1y2).
故 y = sh x 的反函数为
ylnx( 1x2).
y
1
y = th x
O
x
-1
双曲余切函数 coxt e e h x x e e x x 即 c sx h x h ,x (,0 ) (0 ,) .
y y = coth x
1
O
x
-1
这些函数之间存在着下述关系： sh (x y) = sh x ch y ch x sh y . ch (x y) = ch x ch y sh x sh y . sh 2x = 2sh x ch x. ch 2x = ch2 x + sh2 x. ch2 x sh2 x = 1 .
2 1x yarcxot1h lnx1.
2 x1
下面我们给出公式 y = arsh x 的推导： 在 ysh xexex中e令 xu,于是可得
2
u22yu10,
解之得
uy y2 1.
因为 u = ex > 0，所以上式取正号， 即
sh(xy).
2
因为 ch (x)exex chx，所以函数 y ch x
2
是偶函数 ； 因为
s(h x)exexexex sh x.
2
Hale Waihona Puke 2th (x)s(h x)sh xth x. c(h x) cx h
co( txh )c(h x)ch xcoxt. h s(h x) sh x
所以函数 y sh x ，y th x ，y coth x 为奇函数.
注意：双曲函数 不像三角函数那样具有周期性.
双曲函数的反函数叫做反双曲函数，分别 记为 arsh x ，arch x ，arth x ， arcoth x .
反双曲函数还有如下的表达式：
yarx shlnx( x21)，
uy 1y2, ex y 1y2, xlny( 1y2).
故 y = sh x 的反函数为
ylnx( 1x2).
y
1
y = th x
O
x
-1
双曲余切函数 coxt e e h x x e e x x 即 c sx h x h ,x (,0 ) (0 ,) .
y y = coth x
1
O
x
-1
这些函数之间存在着下述关系： sh (x y) = sh x ch y ch x sh y . ch (x y) = ch x ch y sh x sh y . sh 2x = 2sh x ch x. ch 2x = ch2 x + sh2 x. ch2 x sh2 x = 1 .
双曲线ppt
谢谢
定义2：平面内，到给定一点及一直线的距离之比为常数e（e>1，即为双曲线的离心率； 定点不在定直线上）的点的轨迹称为双曲线。定点叫双曲线的焦点，定直线叫双曲线的 准线。
定义3：一平面截一圆锥面，当截面与圆锥面的母线不平行也不通过圆锥面顶点，且与 圆锥面的两个圆锥都相交时，交线称为双曲线。
定义4：在平面直角坐标系中，二元二次方程 F(x,y)=Ax2+2Bxy+Cy2+2Dx+2Ey+F=0满足以下条件时，其图像为双曲线。
双曲线ppt
演讲人
一般的，双曲线（希腊语“Υπερβολία” ，字面意思是“超过”或“超出”）是定 义为平面交截直角圆锥面的两半的一类圆锥曲线。
它还可以定义为与两个固定的点（叫做焦点）的距离差是常数的点的轨迹。这个固 定的距离差是a的两倍，这里的a是从双曲线的中心到双曲线最近的分支的顶点的距 离。a还叫做双曲线的实半轴。焦点位于贯穿轴上，它们的中间点叫做中心，中心一 般位于原点处。
名称定义
播报
编辑
我们把平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于一个常数（常数为2a，小于 |F1F2|）的轨迹称为双曲线;平面内到两定点的距离差的绝对值为定长的点的轨迹叫做 双曲线。
即：||PF1|-|PF2||=2a
定义1：
平面内，到两个定点的距离之差的绝对值为常数2a（小于这两个定点间的距离）的点 的轨迹称为双曲线。定点叫双曲线的焦点，两焦点之间的距离称为焦距，用2c表示。
双曲线的每个分支具有从双曲线的中心进一步延伸的更直（较低曲率）的两个臂。 对角线对面的手臂，一个从每个分支，倾向于一个共同的线，称为这两个臂的渐近 线。所以有两个渐近线，其交点位于双曲线的对称中心，这可以被认为是每个分支 反射以形成另一个分支的镜像点。在曲线的情况下，渐近线是两个坐标轴。
双曲函数ppt课件
单调递减
12
函数图像
双曲余弦
chx
13
双曲余弦的反函数
ex ex y
2 x ey ey
2
令 u ey
(x 0, y 1) (x 1，y 0)
u 1 2x u
u2 2xu 1 0
u 2x 4x2 4 2来自xx2 1u ey 1, ()舍去
ey =x+ x2-1
y ln(x+ x2-1)
1
x2 1
17
函数名 符号 表达式 定义域 奇偶性
双曲正切
双曲正切
thx
ex ex ex ex (, )
奇函数
18
单调性 极限
双曲正切
ex ex ex ex
1
2e x ex e
x
单调递增
2 1 e2x 1
lim
x+
ex ex
ex ex
ex ex
lim
x-
ex
ex
1 -1
19
函数图像
x
x2 1
2
u ey 0, ()舍去
ey =x+ x2 1
y ln(x x2 1) x (, )
7
双曲正弦与反双曲正弦的图像
shx arshx
8
函数名 符号 表达式 定义域 奇偶性 单调性
反双曲正弦
反双曲正弦
arshx
y ln(x x2 1)
(, )
奇函数 单调递增
9
反双曲正弦
值域
(, )
导数
(arshx)'
(ln(x x2 1))'
1 (1 1 2x ) x x2 1 2 x2 1
双曲线的性质PPT优秀课件
97.有三个人是我的朋友爱我的人.恨我的人.以及对我冷漠的人。 爱我的人教我温柔；恨我的人教我谨慎；对我冷漠的人教我自立。――[J·E·丁格] 98.过去的事已经一去不复返。聪明的人是考虑现在和未来，根本无暇去想过去的事。――[英国哲学家培根] 99.真正的发现之旅不只是为了寻找全新的景色，也为了拥有全新的眼光。――[马塞尔·普劳斯特] 100.这个世界总是充满美好的事物，然而能看到这些美好事物的人，事实上是少之又少。――[罗丹] 101.称赞不但对人的感情，而且对人的理智也发生巨大的作用，在这种令人愉快的影响之下，我觉得更加聪明了，各种想法，以异常的速度接连涌入我的脑际。――[托尔斯泰] 102.人生过程的景观一直在变化，向前跨进，就看到与初始不同的景观，再上前去，又是另一番新的气候――。[叔本华] 103.为何我们如此汲汲于名利，如果一个人和他的同伴保持不一样的速度，或许他耳中听到的是不同的旋律，让他随他所听到的旋律走，无论快慢或远近。――[梭罗] 104.我们最容易不吝惜的是时间，而我们应该最担心的也是时间；因为没有时间的话，我们在世界上什么也不能做。――[威廉·彭] 105.人类的悲剧，就是想延长自己的寿命。我们往往只憧憬地平线那端的神奇【违禁词，被屏蔽】，而忘了去欣赏今天窗外正在盛开的玫瑰花。――[戴尔·卡内基] 106.休息并非无所事事，夏日炎炎时躺在树底下的草地，听着潺潺的水声，看着飘过的白云，亦非浪费时间。――[约翰·罗伯克] 107.没有人会只因年龄而衰老，我们是因放弃我们的理想而衰老。年龄会使皮肤老化，而放弃热情却会使灵魂老化。――[撒母耳·厄尔曼] 108.快乐和智能的区别在于：自认最快乐的人实际上就是最快乐的，但自认为最明智的人一般而言却是最愚蠢的。――[卡雷贝·C·科尔顿] 109.每个人皆有连自己都不清楚的潜在能力。无论是谁，在千钧一发之际，往往能轻易解决从前认为极不可能解决的事。――[戴尔·卡内基] 110.每天安静地坐十五分钟·倾听你的气息，感觉它，感觉你自己，并且试着什么都不想。――[艾瑞克·佛洛姆] 111.你知道何谓沮丧---就是你用一辈子工夫，在公司或任何领域里往上攀爬，却在抵达最高处的同时，发现自己爬错了墙头。－－[坎伯] 112.「伟大」这个名词未必非出现在规模很大的事情不可；生活中微小之处，照样可以伟大。――[布鲁克斯] 113.人生的目的有二：先是获得你想要的；然后是享受你所获得的。只有最明智的人类做到第二点。――[罗根·皮沙尔·史密斯] 114.要经常听.时常想.时时学习，才是真正的生活方式。对任何事既不抱希望，也不肯学习的人，没有生存的资格。
对勾函数的性质PPT课件
性质简介
1.对号函数是双曲线.对号函数永远是奇函数，关于原点呈中心对称 3.对号函数的两条渐进线永远是y轴和y=ax 4.当a、b>0时，图像分布在第一、三象限两条渐近 线的锐角之间部分，由于其对称性，只讨论第一象 限中的情形。利用平均值不等式（a>0，b>0且ab 的值为定值时，a+b≥2√ab）可知最小值是2倍根号 ab，在x=根号下b/a的时候取得，所以在（0，负根 号下b/a）上单调递减，在（根号下b/a，正无穷） 上单调递增
图像一
图象二
图像三
对勾函数的性质
简介
对勾函数：图像，性质，单调性 对勾函数是数学中一种常见而又特殊的函数，见 图示。
对勾函数是一种类似于反比例函数的一般函 数，又被称为“双勾函数”、"勾函数"等。也被 形象称为“耐克函数”
所谓的对勾函数（双曲线函数），是形如 f(x)=ax+b/x的函数。由图像得名。
当x>0时，f(x)=ax+b/x有最小值（这里为 了研究方便，规定a>0，b>0），也就是当 x=sqrt(b/a)的时候（sqrt表示求二次方根）
性质一
函数y=ax+b/x的性质 Ⅰ当a、b均大于零时，性质 ： ⑴定义域：x≠0 ⑵值 域：（-∞，-2 根号ab）∪（2根号ab ，
+∞） ⑶奇偶性：奇函数 ⑷单调性：当x﹥0时，当0﹤x﹤根号b/a 时，
y为减函数 当x﹥根号b/a 时，y为增函 数 当x﹤0时，当- 根号b/a﹤x﹤0时，y 为减函数 当x﹤根号b/a- 时，y为增函 数
性质二
⑸极 值： 当x﹥0时，当x= 根号b/a 时，y最小=2根号ab 当x﹤0时， 当x=- 根号b/a时，y最大=-2 根号 ab ⑹对称性：图像关于原点对称 ⑺顶点坐标：（根号b/a ,2根号ab ）、 （-根号b/a ，-2根号ab ） ⑻渐 近线：y轴和y=ax Ⅱ当a、b均小 于零时
《直线与双曲线》课件
根据双曲线的定义和性质，可以得出点到焦点的距离公式。然后根据题目给出的条 件，将已知数值代入公式进行计算。
综合题类型及解题思路
类型三：与切线有关的问题
求切线方程，需要利用导数和切线的定义，结合几何意义进行求解。
首先求出双曲线在某一点的导数，这个导数表示该点切线的斜率。然后根据切线的定义和斜 率，写出切线方程。最后将已知数值代入切线方程进行求解。
直线与双曲线的交点
交点的求法
当直线的方程与双曲线的方程相等时 ，解出x和y的值即为交点坐标。
交点的性质
直线与双曲线的交点满足两个方程， 因此交点同时属于直线和双曲线。
01
直线与双曲线的位 置关系
直线与双曲线相切
切点定义
直线与双曲线在某一点相切，该 点称为切点。
切线性质
切线与双曲线的渐近线平行，且切 线斜率等于双曲线在该点的导数。
步骤
设直线方程为 $x = ty + m$，双曲线方程为 $x = rho cos theta, y = rho sin theta$，联立两个方程消去参数 $theta$ 和 $rho$。
应用
适用于求解与参数相关的直线与双曲线的交点问题。
01
直线与双曲线的综 合题解析
综合题类型及解题思路
类 各种轨迹问题，如行星运动轨迹等。
物理问题中的应用
光学和声学
在光学和声学中，光线和声波的 传播路径可以模拟为直线或双曲
线的形式。
力学
在力学中，直线与双曲线可以用 来描述物体运动轨迹和受力分析
。
电学
在电学中，电流的传导和电场的 分布可以用直线与双曲线的知识
来解释。
实际生活中的应用
《直线与双曲线》 ppt课件
综合题类型及解题思路
类型三：与切线有关的问题
求切线方程，需要利用导数和切线的定义，结合几何意义进行求解。
首先求出双曲线在某一点的导数，这个导数表示该点切线的斜率。然后根据切线的定义和斜 率，写出切线方程。最后将已知数值代入切线方程进行求解。
直线与双曲线的交点
交点的求法
当直线的方程与双曲线的方程相等时 ，解出x和y的值即为交点坐标。
交点的性质
直线与双曲线的交点满足两个方程， 因此交点同时属于直线和双曲线。
01
直线与双曲线的位 置关系
直线与双曲线相切
切点定义
直线与双曲线在某一点相切，该 点称为切点。
切线性质
切线与双曲线的渐近线平行，且切 线斜率等于双曲线在该点的导数。
步骤
设直线方程为 $x = ty + m$，双曲线方程为 $x = rho cos theta, y = rho sin theta$，联立两个方程消去参数 $theta$ 和 $rho$。
应用
适用于求解与参数相关的直线与双曲线的交点问题。
01
直线与双曲线的综 合题解析
综合题类型及解题思路
类 各种轨迹问题，如行星运动轨迹等。
物理问题中的应用
光学和声学
在光学和声学中，光线和声波的 传播路径可以模拟为直线或双曲
线的形式。
力学
在力学中，直线与双曲线可以用 来描述物体运动轨迹和受力分析
。
电学
在电学中，电流的传导和电场的 分布可以用直线与双曲线的知识
来解释。
实际生活中的应用
《直线与双曲线》 ppt课件
双曲线PPT课件
椭圆的图像与性质
Y |x|a,|y|≤b B2 关于X,Y轴, 原点对称 (±a,0),(0,±b) (±c,0) A1A2 ; B1B2 A1 A2
F1
o
F2
X
B1
焦点在x轴上的双曲线图像
Y
B2
F1
A1
A2
F2
X
B1
焦点在x轴上的双曲线的几何性质
双曲线标准方程： 双曲线性质： 1、 范围： x≥a或x≤-a Y B2
4、轴：实轴 B1B2 ; 虚轴 A1A2 5、渐近线方程： 6、离心率： e=c/a
B1
F2
例题1:求双曲线 焦点坐标,离心率.渐近线方程。
的实半轴长,虚半轴长,
解：把方程化为标准方程：来自可得:实半轴长a=4 虚半轴长b=3 半焦距c= 焦点坐标是(0,-5),(0,5) 离心率: 渐近线方程: 即
练习题:填表
6
18 |x|≥3 (±3,0)
4
4 |y|≥2 (0,±2)
10
14
|x|≥
|y|≥5 (0,±5)
y=±3x
例2:以已知双曲线的虚轴为实轴,实轴为虚轴的双曲线叫原 双曲线的共轭双曲线,求证: (1)双曲线和它的共轭双曲线有共同的渐近线; (2)双曲线和它的共轭双曲线的四个焦点在同一个圆上.
关于x轴，y轴，原点对称。 2、对称性：
3、顶点 A1（-a，0），A2（a，0）
X A1
A2
4、轴：实轴 A1A2 虚轴 B1B2 5、渐近线方程： 6、离心率： e=
B1
焦点在y轴上的双曲线图像
Y F2
A2
B1
O
B2
X
A1
F1
焦点在y轴上的双曲线的几何性质
Y |x|a,|y|≤b B2 关于X,Y轴, 原点对称 (±a,0),(0,±b) (±c,0) A1A2 ; B1B2 A1 A2
F1
o
F2
X
B1
焦点在x轴上的双曲线图像
Y
B2
F1
A1
A2
F2
X
B1
焦点在x轴上的双曲线的几何性质
双曲线标准方程： 双曲线性质： 1、 范围： x≥a或x≤-a Y B2
4、轴：实轴 B1B2 ; 虚轴 A1A2 5、渐近线方程： 6、离心率： e=c/a
B1
F2
例题1:求双曲线 焦点坐标,离心率.渐近线方程。
的实半轴长,虚半轴长,
解：把方程化为标准方程：来自可得:实半轴长a=4 虚半轴长b=3 半焦距c= 焦点坐标是(0,-5),(0,5) 离心率: 渐近线方程: 即
练习题:填表
6
18 |x|≥3 (±3,0)
4
4 |y|≥2 (0,±2)
10
14
|x|≥
|y|≥5 (0,±5)
y=±3x
例2:以已知双曲线的虚轴为实轴,实轴为虚轴的双曲线叫原 双曲线的共轭双曲线,求证: (1)双曲线和它的共轭双曲线有共同的渐近线; (2)双曲线和它的共轭双曲线的四个焦点在同一个圆上.
关于x轴，y轴，原点对称。 2、对称性：
3、顶点 A1（-a，0），A2（a，0）
X A1
A2
4、轴：实轴 A1A2 虚轴 B1B2 5、渐近线方程： 6、离心率： e=
B1
焦点在y轴上的双曲线图像
Y F2
A2
B1
O
B2
X
A1
F1
焦点在y轴上的双曲线的几何性质
双曲线的性质ppt课件
双曲线的渐近线方程为 y 3 x
b3， 而 c2a2b 2， 3a2b 28 a3
解出 a26， b22
双 曲 线 方 程 为x2
y2
1
6 2 完整版ppt课件
18
小结
x2 a2
y2 b2
1（ a＞ b ＞0）
x2 a2
y2 b2
1
(
a＞
0
b＞0)
c 2 a 2 b 2 (a＞ b＞0) c 2 a 2 b 2 (a＞ 0 b＞0)
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7
二、导出 y2双 x2曲 1(a线 0,b0) a2 b2
的简单几何性质 y
（1）范围: ya,ya
（2）对称性: 关于x轴、y轴、原点都对称
a
（3）顶点: (0,-a)、(0,a)
（4）渐近线: y a x
b
（5）离心率: e c a
-b o b x -a
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A1
A2
o a
x
它与yybx的x位置的变化:趋势
a
B1
（3）利画用出慢渐双慢近曲靠线线近可的草以图较准确的
ybx
a
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y b x a
5
5、离心率
（1）定义：双曲线的焦距与 的实 比 e轴c,长 叫做 a
双曲线离的 心率。
（2）e的范围： c>a>0 e >1
（3）e的含义：
b c2a2 (c)21 e21
20
备选练习:
1. 过点（1，2），且渐近线为 y 3 x 4
的双曲线方程是__1_6_y__2__.9x2 55
2.求中心在原点，对称轴为坐标轴，经过点
双曲函数(Hyperbolic functions)
我们所熟知的三角函数也被叫做circular function，因为sin、cos满足 \sin^2x+\cos^2 x=1 可以看出是从一个单位圆的方程 x^2+y^2=1 中演化过来的。
而圆锥曲线我们知道还有双曲线、抛物线、椭圆等，那么其他圆锥曲线是否也可以演化出类似的函数出来？是有的，比如今天介绍的双曲函数，是从单位双曲线方程 x^2-y^2=1 中演化出来的。
先回忆一下三角函数有哪些：sin 正弦，cos 余弦，tan 正切， sec 正割，csc(cosec) 余割，cot 余切详细关系见下图：那么我们的双曲函数也有这些函数，这不过就是在上面六个三角函数后加一个“h”，表示“hyperbolica”，双曲的...一、函数定义sinh 双曲正弦，cosh 双曲余弦，tanh 双曲正切， sech 双曲正割，csch(cosech) 双曲余割，coth 双曲余切接下去是各个双曲函数的表达式：二、函数图像下面是各个双曲函数的图像以及对应定义域、值域等：y=\sinhx=\frac{e^x-e^{-x}}{2}2. y=\cosh x=\frac{\mathrm{e}^{x}+\mathrm{e}^{-x}}{2}3. y=\tanhx=\frac{\mathrm{e}^{x}-\mathrm{e}^{-x}}{\mathrm{e}^{x}+\mathrm{e}^{-x}}4. y=\operatorname{sech}x=\frac{1}{\operatorname{cosh}x}=\frac{2}{\mathrm{e}^{x}+\mathrm{e}^{-x}}5. y=\operatorname{cosech} x=\frac{1}{\sinh x}=\frac{2}{\mathrm{e}^{x}-\mathrm{e}^{-x}}6. y=\operatorname{coth} x=\frac{1}{\tanhx}=\frac{\mathrm{e}^{x}+\mathrm{e}^{-x}}{\mathrm{e}^{x}-\mathrm{e}^{-x}}三、几何意义从上面这张图中能看出来双曲函数自变量的几何意义，是红色所围成面积的两倍，或者看下图也是一样的：那么与三角函数之间的关系呢？四、双曲恒等式我们知道三角函数有非常多的恒等式，这也是三角函数成为高中生噩梦的很大一部分原因，如果不清楚有哪些恒等式可以点击下文：那么类似的，双曲函数也有很多恒等式，并且可以这么说在三角函数中有的恒等式，在双曲函数中都有类似的，下面给出了一些当然这些恒等式我们都是可以证明的，比如高数书上就给了两个例子：所以给出恒等出我们都可以通过sinh、cosh定义带入进行计算，可能计算上会有一点复杂。
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26
双曲函数的图像
chx e x
e x
2
2
th x shx
27
导数总结
(C) 0
(ax ) ax lna
(loaxg)x
1 ln
a
(x ) x1
(ex ) e x
(lnx)
1 x
28
导数总结
(sixn)coxs (taxn)sec2 x
(cox)ssixn (cox)tcs2cx
(sexc)sextcaxn (csxc)csxcoxt
导数
(shx)'
(ex
ex 2
)'
ex
ex 2
chx
6
双曲正弦的反函数
y ex ex 2
x ey ey 2
令 u ey
(x (- ， + ),y (- ， + ))
(x (- ， + ),y (- ， + ))
u 1 2x u
u22xu10
u 2x 4x2 4 x x2 1
2
2
2
=1 （ (ex2 2
ex1） （ e1 x2 e1x1） ） =12（(ex2
ex1） eexx11-eexx22
）
=1(ex2 2
ex1）(1- 1 ex1+x2
） 0
[0, )
单调递增
(,0]
单调递减
12
函数图像
双曲余弦
chx
13
双曲余弦的反函数
y ex ex 2
ey ey x
1 (11 2x ) x x21 2 x21
1 1 x2
10
函数名 符号 表达式 定义域 奇偶性
双曲余弦
双曲余弦
chx
ex ex 2
(, )
偶函数
11
双曲余弦的单调性
因为函数为偶函数，所以只需讨论 [0, ) 上的情况.
设 0 x1 x2,
则
ex2 ex2 ex1 ex1
=1 （ (ex2ex1） （ ex2ex1） ）
三角函数读音
正弦：sine（简写sin）[sain] 余弦：cosine（简写cos）[kəusain] 正切：tangent（简写tan）['tændʒənt] 余切：cotangent（简写cot）['kəu'tændʒənt] 正割：secant（简写sec）['si:kənt] 余割：cosecant（简写csc）['kəu'si:kənt]
2
令 u ey
(x0,y1) (x1，y0)
u 1 2x u
u22xu10
u 2x 4x2 4 2
x
x2 1
uey1,()舍 去
ey =x+ x2-1
yln(x+ x2-1)
x[1,)
14
双曲余弦与反双曲余弦的图像
chx
archx
15
函数名 符号 表达式 定义域
单调性 奇偶性
反双曲余弦
奇函数
单调递增
24
反双曲正切
值域
(, )
导数
(arthx)'
(1 ln 1 x)' 2 1 x
1 1 (1 x )' 2 1 x 1 x
1 x
11x(1x)'(1x)(1x)(1x)'
21x
(1x)2
11x(1x)(1x) 21x (1x)2
1
1 x2
25
双曲函数的图像
chx ex e x shx th x
ch2 x sh2 x ch2 x
1
ch 2x
21
双曲正切的反函数
y
e x -e x ex ex
x
e y -e y ey ey
令 u ey
(x (- ， + ),y (-1 ， 1 ))
(x (-1 ， 1 ),y (- ， + ))
u 1 u =x
u 1 u
u u
2 2
1 1
=
x
1
反三角函数读音
反正弦 arc sine /a:k/ 反余弦 arc cosine 反正切 arc tangent 反余切 arc cotangent
2
双曲函数及其性质
双曲正弦 hyperbolic sine
shx ex ex 2
双曲余弦 hyperbolic cosine
chx ex ex 2
c o s ( x y ) c o s x c o s y + s i n x s i n y cos2x+sin2x1
31
双曲函数间的关系
s h (x y ) s h x c h y c h x s h y
sh2x2shxchx
s h (x y ) s h x c h y c h x s h y c h (x y ) c h x c h y s h x s h y
c h (x y ) c h x c h y s h x s h y
2
uey0,()舍 去 ey=x+ x2 1
yln(x x21) x(,)
7
双曲正弦与反双曲正弦的图像
shx
arshx
8
函数名 符号 表达式 定义域 奇偶性 单调性
反双曲正弦
反双曲正弦
arshx
yln(x x21)
(, )
奇函数 单调递增
9
反双曲正弦
值域
(, )
导数
(arshx)'
(ln(x x21))'
反双曲余弦
archx
yln(x x21)[1, 源自 )单调递增 无16
反双曲余弦
值域
[0, )
导数
(archx)'
(ln(x x21))'
1 (11 2x ) x x21 2 x21
1 x2 1
17
函数名 符号 表达式 定义域 奇偶性
双曲正切
双曲正切
th x
ex ex ex ex (, )
ch2xch2xsh2x
ch2xsh2x1
s i n ( x y ) s i n x c o s y c o s x s i n y s in 2 x 2 s in x c o sx
s i n ( x y ) s i n x c o s y c o s x s i n y
c o s ( x y ) c o s x c o s y s i n x s i n y c o s2 x c o s2x sin 2x
(shx) c h x
1 (thx) c h 2 x
(chx) s h x
29
导数总结
(arcxs)in 1
1 x2
(arcxt)an
1
1
x
2
(arshx) 1
1 x2
(arthx)
1 1 x2
(arccx)os 1
1 x2
(acro cx)t
1
1 x
2
(archx) 1
x2 1
30
(1x)u2 x1 u 2 1 x 1 x
u 1 x 1 x
y ln
1 x 1 x
1 ln 1 x 2 1 x
x(1,1)
22
双曲正切与反双曲正切的图像
arthx
th x
23
函数名 符号 表达式 定义域 奇偶性 单调性
反双曲正切
反双曲正切
arthx
y 1 ln 1 x 2 1 x
( 1,1)
双曲正切
hyperbolic tangent
thxshx chx
ex ex
ex ex
3
双曲正弦
函数名 符号 表达式 定义域 奇偶性 单调性
极限
双曲正弦
shx
ex ex
2
(, )
奇函数
单调递增
ex ex lim
+
2 x+
ex ex lim
-
2 x-
4
函数图像
双曲正弦
shx
5
双曲正弦
值域
(, )
奇函数
18
单调性 极限
双曲正切
ex ex ex ex
1
2e x ex e
x
单调递增
1
2 e2x
1
ex ex
lim
x+
ex
ex
1
ex ex
lim
x-
ex
ex
-1
19
函数图像
双曲正切
th x
20
双曲正切
值域
( 1,1)
导数
(th x )'
( shx )' chx
(shx)'chcxh2xshx(chx)'
双曲函数的图像
chx e x
e x
2
2
th x shx
27
导数总结
(C) 0
(ax ) ax lna
(loaxg)x
1 ln
a
(x ) x1
(ex ) e x
(lnx)
1 x
28
导数总结
(sixn)coxs (taxn)sec2 x
(cox)ssixn (cox)tcs2cx
(sexc)sextcaxn (csxc)csxcoxt
导数
(shx)'
(ex
ex 2
)'
ex
ex 2
chx
6
双曲正弦的反函数
y ex ex 2
x ey ey 2
令 u ey
(x (- ， + ),y (- ， + ))
(x (- ， + ),y (- ， + ))
u 1 2x u
u22xu10
u 2x 4x2 4 x x2 1
2
2
2
=1 （ (ex2 2
ex1） （ e1 x2 e1x1） ） =12（(ex2
ex1） eexx11-eexx22
）
=1(ex2 2
ex1）(1- 1 ex1+x2
） 0
[0, )
单调递增
(,0]
单调递减
12
函数图像
双曲余弦
chx
13
双曲余弦的反函数
y ex ex 2
ey ey x
1 (11 2x ) x x21 2 x21
1 1 x2
10
函数名 符号 表达式 定义域 奇偶性
双曲余弦
双曲余弦
chx
ex ex 2
(, )
偶函数
11
双曲余弦的单调性
因为函数为偶函数，所以只需讨论 [0, ) 上的情况.
设 0 x1 x2,
则
ex2 ex2 ex1 ex1
=1 （ (ex2ex1） （ ex2ex1） ）
三角函数读音
正弦：sine（简写sin）[sain] 余弦：cosine（简写cos）[kəusain] 正切：tangent（简写tan）['tændʒənt] 余切：cotangent（简写cot）['kəu'tændʒənt] 正割：secant（简写sec）['si:kənt] 余割：cosecant（简写csc）['kəu'si:kənt]
2
令 u ey
(x0,y1) (x1，y0)
u 1 2x u
u22xu10
u 2x 4x2 4 2
x
x2 1
uey1,()舍 去
ey =x+ x2-1
yln(x+ x2-1)
x[1,)
14
双曲余弦与反双曲余弦的图像
chx
archx
15
函数名 符号 表达式 定义域
单调性 奇偶性
反双曲余弦
奇函数
单调递增
24
反双曲正切
值域
(, )
导数
(arthx)'
(1 ln 1 x)' 2 1 x
1 1 (1 x )' 2 1 x 1 x
1 x
11x(1x)'(1x)(1x)(1x)'
21x
(1x)2
11x(1x)(1x) 21x (1x)2
1
1 x2
25
双曲函数的图像
chx ex e x shx th x
ch2 x sh2 x ch2 x
1
ch 2x
21
双曲正切的反函数
y
e x -e x ex ex
x
e y -e y ey ey
令 u ey
(x (- ， + ),y (-1 ， 1 ))
(x (-1 ， 1 ),y (- ， + ))
u 1 u =x
u 1 u
u u
2 2
1 1
=
x
1
反三角函数读音
反正弦 arc sine /a:k/ 反余弦 arc cosine 反正切 arc tangent 反余切 arc cotangent
2
双曲函数及其性质
双曲正弦 hyperbolic sine
shx ex ex 2
双曲余弦 hyperbolic cosine
chx ex ex 2
c o s ( x y ) c o s x c o s y + s i n x s i n y cos2x+sin2x1
31
双曲函数间的关系
s h (x y ) s h x c h y c h x s h y
sh2x2shxchx
s h (x y ) s h x c h y c h x s h y c h (x y ) c h x c h y s h x s h y
c h (x y ) c h x c h y s h x s h y
2
uey0,()舍 去 ey=x+ x2 1
yln(x x21) x(,)
7
双曲正弦与反双曲正弦的图像
shx
arshx
8
函数名 符号 表达式 定义域 奇偶性 单调性
反双曲正弦
反双曲正弦
arshx
yln(x x21)
(, )
奇函数 单调递增
9
反双曲正弦
值域
(, )
导数
(arshx)'
(ln(x x21))'
反双曲余弦
archx
yln(x x21)[1, 源自 )单调递增 无16
反双曲余弦
值域
[0, )
导数
(archx)'
(ln(x x21))'
1 (11 2x ) x x21 2 x21
1 x2 1
17
函数名 符号 表达式 定义域 奇偶性
双曲正切
双曲正切
th x
ex ex ex ex (, )
ch2xch2xsh2x
ch2xsh2x1
s i n ( x y ) s i n x c o s y c o s x s i n y s in 2 x 2 s in x c o sx
s i n ( x y ) s i n x c o s y c o s x s i n y
c o s ( x y ) c o s x c o s y s i n x s i n y c o s2 x c o s2x sin 2x
(shx) c h x
1 (thx) c h 2 x
(chx) s h x
29
导数总结
(arcxs)in 1
1 x2
(arcxt)an
1
1
x
2
(arshx) 1
1 x2
(arthx)
1 1 x2
(arccx)os 1
1 x2
(acro cx)t
1
1 x
2
(archx) 1
x2 1
30
(1x)u2 x1 u 2 1 x 1 x
u 1 x 1 x
y ln
1 x 1 x
1 ln 1 x 2 1 x
x(1,1)
22
双曲正切与反双曲正切的图像
arthx
th x
23
函数名 符号 表达式 定义域 奇偶性 单调性
反双曲正切
反双曲正切
arthx
y 1 ln 1 x 2 1 x
( 1,1)
双曲正切
hyperbolic tangent
thxshx chx
ex ex
ex ex
3
双曲正弦
函数名 符号 表达式 定义域 奇偶性 单调性
极限
双曲正弦
shx
ex ex
2
(, )
奇函数
单调递增
ex ex lim
+
2 x+
ex ex lim
-
2 x-
4
函数图像
双曲正弦
shx
5
双曲正弦
值域
(, )
奇函数
18
单调性 极限
双曲正切
ex ex ex ex
1
2e x ex e
x
单调递增
1
2 e2x
1
ex ex
lim
x+
ex
ex
1
ex ex
lim
x-
ex
ex
-1
19
函数图像
双曲正切
th x
20
双曲正切
值域
( 1,1)
导数
(th x )'
( shx )' chx
(shx)'chcxh2xshx(chx)'