初等变换法习题

习题2—4

1．求解下列微分方程：

（1） 4

252'--+-=

y x x y y ； 解 方程组 ⎩

⎨⎧--=+-42052y x x y 有解2,1-==y x .令2,1-=+=ηξy x ，代入原方程得

η

ξξηξη--=22d d ， 这是齐次方程，令u ξη=，则上述方程化为

u

u d du --=212ξξ. 分离变量后积分得

C u u =-+1)1(3

2ξ.

代回原变量，最后得原方程的通积分为

)3()1(3+-=++x y C y x .

（2） 1

4212'-+++=y x y x y ； 解 由

22

412==，因此，令y x u 2+=，则原方程化为 1214-+=u u dx du ， 分离变量后积分得

C x u u +=+-214ln 4

3， 代回原变量，得原方程的通积分为

C y x x y =++--184ln 348.

（3） xy y x y -=3

3'；

解 这是3=n 的伯努里方程，令2-=y z ，代入原方程，化简得 322x xz dx

dz -=-， 这是线性方程，它的通解为

)()2(122222322x x x xdx xdx e e x C e dx e x C e z y ---++=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡⎰-+⎰==⎰， 即 11222++=x Ce y

x . 显然有特解0=y .

2．利用适当的变换，求解下列方程：

（1） 0)()3(22=+++dv uv u du v uv ；

解 将方程改写为

223v

uv uv u dv du ++-=. 此方程为齐次方程.令zv u =，则方程化为

1

3242+--=z z z dv dz v . 变量分离积分得

1212C v z z =+.

代回原变量，得原方程的通积分为

C v u v u =+2232

1. （2） )2(2)3(2

2

2y x y x dx dy y x -=++； 解 将方程改写为

)()2(2)()3(222222x d x y y d y x -=++.

令v x u y ==22,，则方程化为

dv v u du v u )2(2)3(-=++，

即

324++-=v u v u dv du . 方程组

⎩

⎨⎧=++=-03024v u v u 有解2,1-=-=v u .令2,1-=-=ξηv u ，代入原方程得

η

ξξηξη+-=24d d ，

这是齐次方程，令ξηz =，则上述方程化为

1

232++--=z z z d dz ξξ， 分离变量后积分得

ξC z z =--3

2

)2()1(. 代回原变量，最后得原方程的通积分为

C x y x y =----3222

22)

32()1(. （3） y

y y x x xy x dx dy 8237323223-+-+=； 解 将方程改写为

8

23732222222-+-+=y x y x dx dy . 令v x u y ==22,，则方程化为

823732-+-+=u v u v dv du . 方程组

⎩

⎨⎧=-+=-+08230732u v u v 有解2,1==v u .令2,1+=+=ξηv u ，代入原方程得

η

ξηξξη2332++=d d ， 这是齐次方程，令ξηz =，则上述方程化为

z

z d dz 23)1(22+--=ξξ， 分离变量后积分得

45)

1(1ξC z z =-+. 代回原变量，最后得原方程的通积分为

5

2222)1(3--=-+y x C y x .

3. 求解下列微分方程:

(1) 22'1

y y --=;

于是有

2

1u u x dx du --=. 这是伯努里方程，令z u 1

=，则方程化为

11-=z x dx dz ，

解此线性方程得 x x cx z ln -=,

故原方程的通解为

x x cx x y ln 1

21

-+=.

(2) 122'2++=xy y x y x ;

解 这是黎卡提方程,容易观察x y 1

1-=是方程的一个特解,作变换

x u y 1

-=，

于是有

u x u dx du

1

2-=.

这是伯努里方程，它有解0=u ，当0≠u 时，令z u 1

=，则方程化为

11-=z x dx dz

，

解此线性方程得 x x cx z ln -=,

故原方程的通解为

x x cx x y ln 1

1

-+-=.

此外还有特解x y 1

-=.

4．试把二阶微分方程

0)()('''=++y x q y x p y

（1）

化成黎卡提方程.

解 令 ⎰=zdx e y ，则⎰=zdx ze y '，⎰+=zdx e z z y )(2'''.

代入（1），整理后得黎卡提方程

)()(2'x q z x p z z ---=.

5． 探照灯的反光镜（旋转面）应具有何种形状，才能使点光源发射的光束反射成平行线束？

解 设所求曲面是由曲线)(x f y =旋转而成.取旋转轴为x 轴，轴的方向平行于光的反射方向，使点光源位于坐标原点（如图 ）.过曲线)(x f y =上任一点),(y x M ，作切线MN ，它与x 0轴的交角记为α，由光的性质：入射角等于反射角，即γα=，记OM 与x 0轴的交角为β，则αβ2=. 由于dx dy =

αtan ，x y =βtan ，又α

ααβ2tan 1tan 22tan tan -==，从而可得方程 2

)(12dx dy dx dy x y -=， 解出dx dy ，有 2)(1y

x y x dx dy ++-=. 作变换 xz y =，方程化为

z

z z dx dz x 1122--+=. 变量分离后积分，有

C x z z zdz ln ln 1122-=--+⎰

. 令221u z =+，有

C x u du ln ln 1-=-⎰， 积分，得

C

x u =-11， 代回原变量得 222C Cx y +=，

其中C 为任意常数，它是一族抛物线.

因此，探照灯的反光镜面应是旋转抛物面的形状，它的曲面方程在空间中应表示为

2222C Cx z y +=+.