五年级奥数：变换和操作(A)(含答案)
第四节 变换和操作
第五章组合数学第四节变换和操作E4－001给定四个数a、b、c、d，按下列法则进行变换：前一个乘后一个，第四个乘第一个，得到一组新数ab、bc、cd、da．从这组新数出发，再按上述法则又得到一组新数，如此下去．证明：除a=b=c=d=1或0的特殊情况外，不会再出现原来的四个数．【题说】1961年全俄数学奥林匹克八年级题5．【证】设在变换n次后又出现原来4个数a、b、c、d．因为一次变换后4数之积为（abcd）2，…，第n次变换后4数之积为（abcd）2n，所以abcd=1或0．若a、b、c、d中有一个为0，则易知两次变换后，所得数均为0．设abcd=1，则三次变换后所得的数A=a2b2，B=b2c2，C=c2d2，D=d2a2都是正数，且满足AC=BD=1．不妨设A最大，经2n次变换后，最大数为A2n．由于经若干次变换后，A、B、C、D又重新出现，所以必有A=1，从而B=C=D=1．由此易知a=b=c=d=1．E4－002在m×n的方格表中的每一个方格里任填上一个实数，允许同时改变表里某一行或某一列所有数的符号．证明：经过若干次这样的变换后，总能使表中任一行的和与任一列的和非负．【题说】 1961年全俄数学奥林匹克九年级题2、十年级题3．【证】设表格中所有数之和为Σ．无论怎样改变行、列符号，Σ最多可取2m+n－1个不同的值．设与其最大值所对应的表为T，则T的每行、每列的和一定非负．如若不然，T的某行（列）的和为负，则将此行（列）变号后，Σ的值应变大，矛盾．E4－003给定一个由2k个由+1或－1组成的数组，将每个与其后一个相乘，最后一个与第一个相乘，得到一组新数，依次类推．证明：最后一定能得到全由+1组成的数组．【题说】 1961年全俄数学奥林匹克十年级题5．【证】k=1时，命题显然成立．假设命题对k成立．设2k+1个数x1，x2，…，x2k+1，都是+1或－1．因为x i2=1，于是第二次、第三次变换后所得的数为x1x2，x2x3，x3x4，…，x2k+1x1与x1x2，x2x4，x3x5，…，x2k+1x2可见，每两次变换后，奇数项恰是x1，x3，…，x2k+1－1一次变换的结果，偶数项恰是x2，x4，…，x2k+1变换的结果．如此变换下去，依归纳假定，奇数项与偶数项最后都变成+1．故长度为2k+1的数列也是如此．E4－004一群小孩围坐一圈分糖果，老师让他们每人先取偶数块，然后按下列规则调整：所有的小孩同时把自己的糖分一半给右边的小孩．糖的块数变成奇数的人，向老师补要一块．证明：经过有限次调整之后，大家的糖就变得一样多了．【题说】1962年北京市赛高三二试题4．【证】设在某次调整前糖最多的人有2m块，最少的有2n块，m＞n，那末可以看出：（1）调整后每人的糖的块数仍然在2n与2m之间．因为若某孩子原有2k块，在他左边的有2h块，n≤k≤m，n≤h≤m．那么调整后这孩子所得的块数k+h满足2n≤k+h≤2m．只有当k+h是奇数时（这时k+h＜2m），可补要一块，仍不超过2m块．（2）原来拿糖超过2n块的，调整后仍超过2n块，因为由k＞n，h＞n，得k+h＞2n．（3）至少有一个原来糖为2n块的孩子调整后糖至少增加一块．因为至少有一个拿2n块的孩子左邻拿着2k＞2n块，调整后这个孩子至少要拿n+k＞2n块．由于每调整一次，拿2n块的孩子至少少了一个，所以若干次后，每个孩子的糖的块数都大于2n，又由于每人的糖的块数始终≤2m，所以若干次调整后，糖块最多与最少的差至少减少1．因此，有限次调整后，各人的糖的块数就会变成相同了．E4－005剧院的坐位排成p排和q列．整个剧院可容纳pq个观众（p ＞1，q＞1）．在每一个坐位上坐着一个小学生，他们都不一样高．老师在每一排中挑选个子最矮的学生．在这些最矮的学生中，个子最高的等于a．然后，老师在每一列中挑选最高的学生，他们之中最矮的等于b．试说明：三个关系式a＜b， a=b，a＞b之中的哪一个可以表示a与b的关系．并弄清：当剧院里的小学生调换坐位时，这个关系是否会改变？【题说】1963年匈牙利数学奥林匹克题1．【解】个子为a的学生，他所在行的任一个学生个子≥a．因而每一列最高的学生个子≥a．于是恒有b≥a．如果个子为a的学生，他所在列l的其他学生个子＜a，那么b=a．否则b＞a．因此只要注意保持列l上的学生，个子全≤a（或不全≤a），则关系b=a（b＞a）不会发生变化．E4－006 1．在4×4的方格表里填上一些“+”号或“－”号，如图所示，可以同时改变一行，一列或平行于某一条对角线的直线上的所有方格里的符号（特别地，也包括任何一个角上的方格）．证明：无论进行多少次这样的变换，我们都不能得到全部都是“+”号的表．2．在8×8大小的象棋盘上的所有方格里，除了一个不在角上的方格以外（在这个方格里放置“－”号），都放置“+”号．可以同时改变水平或铅直方向或对角线（特别地，可以是任何一个角上的方格，对角线是指“象”所走的路线）上的方格里的符号．证明：无论进行多少次这样的变换，我们都不能得到完全是“+”号的棋盘．【题说】第二届（1968年）全苏数学奥林匹克八年级题6、九年级题8、十年级题6．【证】1．由图b容易看出，每一条平行于正方形的边或对角线的直线，穿过图中画有斜线的方格偶数次．而这些方格中有奇数个“－”号，并且在进行指定运算时不变．2．在8×8的棋盘上可以画一个4×4的方形，其中“－”号的放置如图a．从而归结为1．E4－007在圆周上写有一些数，如果某四个相邻的数a、b、c、d满足：（a－d）·（b－c）＜0，那么，b和c可以交换位置．证明：这样的交换只可以进行有限次．【题说】第五届（1971年）全苏数学奥林匹克十年级题5．【证】由于ab+cd＜ac+bd，所以，每交换一次，相邻的数的乘积的和S严格增大，而和S只可以取有限个不同的值，故这样的交换只可以进行有限次．E4－008两个人玩下面的游戏．一个人报一个数字，另外一个人则按自己的意愿用这个数字替换以下差式中的一个星号，这样进行8次，将星号换成8个数字．报数的人要使差尽量大，而第二个人要使差尽量小．证明：1．无论第一个人怎样说，第二个人总能使所得的差不大于4000．2．无论第二个人怎样替换，第一个人总能使差不小于4000．【题说】第六届（1972年）全苏数学奥林匹克八年级题6．本题可推广至n（≥1）位数，这时对双方都最有利的“值”等于4·10n－1．【证】 1．第一个人说的数字为0至3（或6至9）时，第二个人将它放在被减数（或减数）的首位．易知这样便可使差≤4000．第一个人说的数字为4（或5）时，第二个人将它放在被减数（减数）的首位，然后只要有非0（非9）的数字，便放在减数（被减数）的首位，最后的差必≤4000．2．第一个人先报4或5．若第二个人将它放在被减数（或减数）首位，第一个人以后只报0（或9）．若第二个人将4或5放在其他数位上，根据从左到右，第一个数字出现在被减数或减数上，第一个人报4或5．这样继续下去（如果在同一数位上，被减数与减数均有数字，则根据其余的数位决定报4或5）、直至被减数（或减数）首位出现4或5，第一个以后只报0（或9）即可．E4－009已知若干个红色的和若干个蓝色的点，将它们的某些点联成线段．如果和某点相联的点中与它的颜色不同的点多于一半，则称它为“奇点”．如果我们每一次将一个奇点改成另外的颜色．证明：经过若干次操作以后，一个奇点也没有了．【题说】第八届（1974年）全苏奥林匹克题十年级题3．【证】事实上，每改变一次“奇点”的颜色，“奇点”数目就减少一个，而“奇点”总数是有限的．所以经若干次操作后，一个奇点也没有了．E4－010在木板上写有若干个0，1和2．现在可以擦掉两个不同的数字，并用另一个数字来代替（代替0和1的是2，代替1和2的是0，代替0和2的是1）．证明：如果由于这种做法，最后在木板上只留下一个数字，那么与它们操作的次序无关．【题说】第九届（1975年）全苏数学奥林匹克八年级题6，十年级题5．【证】假设0的个数是p，1的个数是q，2的个数是r．在每次操作后，p、q和r分别增加或减少1，即p、q、r改变一次奇偶性．当木板上只留下一个数字时，p、q、r三个数中，一个为1，另两个为0．由此可见，p、q、r三数中，必有一个的奇偶性与另外两个奇偶性不同；与它对应的数字最后留在木板上．E4－011圆周上有若干黑色和白色的棋子，两人按下面的规则作游戏：甲取走所有与白子相邻（只需有一侧相邻）的黑子，然后，乙取走所有与黑子相邻的白子．这样进行下去，直至剩下的棋子全部同色．1．如果开始有40枚棋子，是否有可能在每人取两次之后，只剩下一枚棋子？2．如果开始有1000枚棋子，问最少经过多少步才能只剩下一枚棋子？【题说】第十一届（1977年）全苏数学奥林匹克八年级题4．【解】 1．能．如图，棋子0表示最后留下的一枚黑子，在它两旁各放1枚白子并标以1，表示在倒数第1步（即第4步）被取去的白子．在每个1的两旁各放1枚黑子并标以2，表示在倒数第2步（即第3步）被取去的黑子．在每个2与0的两旁各放1枚白子并标以3，表示在倒数第3步（即第2步）被取去的白子．最后放上标有4的黑子．这样，共41枚棋子．第一次取去标有4的黑子，第二、三、四次依次取去标有3、2、1的棋子，最后剩下一枚黑子0．在图中删去一个标有4的棋子，对剩下的40枚棋子，结论依然成立．2．用上面的方法可得下表：这里棋子总数S t是能够经过n步后剩下1枚棋子的情况中棋子数的最大值．由于S7=557＜1000，S8=1393＞1000．所以至少8步才能使原有的1000枚棋子只剩下1枚棋子．用上面的作法不难得出有1393枚棋子而经过8步最后只剩1枚黑子的图，将其中标有8的棋子（共408×2=816枚）删去393枚，便得到1000枚棋子，经过8步最后只剩下1枚黑子．E4－012有两个同心圆盘，各分成n个相等的小格．外盘固定，内盘可以转动（如图所示）．内外两盘小格上分别填有实数： a1，a2，…，a n；b1，b2，…，b n，且满足条件：a1+a2+a3+…+a n＜0，b1+b2+b3+…+b n＜0．证明：可将内盘转动到一个适当位置，使两个盘的小格对齐，这时，两个盘n个对应小格内数字乘积的和为一正数．【题说】 1978年安徽省赛二试题4．【证】如图所示，对应小格上两数乘积的和为a1b1+a2b2+…+a n b n记为A1．将内盘按顺时针方向转动一格，对应小格上两数乘积的和为a1b2+a2b3+…+a n b1记为A2．转动i格，对应小格上两数乘积之和为a1b i+1+a2b i+2+…+a n b i记为 A i+1（i=1，2，…，n－1）．A1+A2+…+A n=（a1+a2+…+a n）（b1+b2+…+b n）＞0所以A1，A2，…，A n中至少有一个正数，即结论成立．E4－013设有N个人，排成一行，从第一名开始，1至3报数，凡报到3的就退出队伍，余下的向前靠拢．再按此规律重复进行，直到第p次报数后，只剩下三个人为止．试问：1．这剩下的三个人，他们最初应分别在原队伍的什么位置？2．当N=1000时，求这三个人的最初位置．【题说】1979年浙江省赛二试题5．【解】1．显然，最后剩下的三个人中，前二人最初的位置分别是第一和第二．设第三个人的最初位置是第a p+1个．第一次报数后，他排在第a p 个，…，第p次报数后，他在第a1个，显然a1=3．由于a p+1，a p，…都没有被淘汰，因此，a p+1，a p等都不是3的倍数．设 a p+1=3q+r p（r p=1或2）则 a p+1－a p=q2．当N=1000时，用递推公式算得a1=3，a2=4，a3=5，a4=7，…，a16=712，a17=1067＞1000所以当N=1000时，共报数15次，最后剩下的三个人，最初位置分别是第1、2、712．E4－014设A和E为正八边形的相对顶点，顶点A处有一只袋鼠，除顶点E外，袋鼠可以从八边形的任一顶点跳到两相邻顶点中任一顶点，落到顶点E时袋鼠就在此停止．设e n为袋鼠从顶点A恰好跳n次后落到顶点E的各种方法的个数．证明：1．e2n－1=0；跳n次后从顶点A落到顶点E的方法称为顶点的一个序列（P0，P1，…，P n），满足下列条件：（1）P0=A；（2）P n=E；（3）对任一i，0≤i≤n－1，P i≠E；（4）对任一i，0≤i≤n－1，P i和P i+1为相邻的顶点．【题说】第二十一届（1979年）国际数学奥林匹克题6．本题由原联邦德国提供．【证】如图，设正八边形为ABCDEFGH，从A出发经过n步到达B的个数记为b n；从A出发经过n步到达C、D、A的路的个数分别记为c n、d n、a n．由于对称性，由A出发经过n步到达H、G、F的路的个数也分别是b n、c n、d n因此有 e n=2d n－1（1）同理有 c n=b n－1+d n－1（2）b n=c n－1+a n－1（3）a n=2b n－1 （4）由于袋鼠跳到E点后就停止不动了，所以d n=c n－1（5）由以上（1）－（5）得e n=2d n－1=2c n－2=2（b n－3+d n－3）=2（c n－4+a n－4+d n－3）=2（d n－3+2b n－5+d n－3）=2[d n－3+2（c n－4－d n－5）+d n－3]=2[d n－3+2（d n－3－d n－5）+d n－3]=8d n－3－4d n－5于是e n=4e n－2－2e n－4（6）由e1=e3=0及递推关系（6）立即得出1．又由（6），e2n=4e2n－2e n－4{e2n｝是线性递推数列，由它的特征方程k2=4k －2e2n=c1x n－1+c2y n－1由于e2=0，e4=2．所以c1+c2=0因此2成立．E4－015一张台球桌形状是正六边形ABCDEF．一个球从AB的中点P击出，击中BC边上的某点Q，并且依次碰击CD、DE、EF、FA各边，最后击中AB边上的某一点．设∠BPQ=θ，求θ的取值范围．【题说】1981年全国联赛题5．本题可用图形的对称变换、正弦定理或线性函数迭代法来证明．本题还可推广到正n边形的情形．【解】如图，设AB=2．∠BQP=∠CQR=∠DSR=∠EST=∠FUF=∠AUV=60°－θ，∠CRQ=∠DRS=∠STE=FTU=∠AVU=θ在△BQP中，即 BQsin（60°－θ）=sinθ（1）同理（2－BQ）sin（60°－θ）=RCsinθ（2）（2－RC）sinθ=DSsin（60°－θ）（3）（2－DS）sin（60°－θ）=TEsinθ（4）（2－TE）sinθ=FUsin（60°－θ）（5）（2－FU）sin（60°－θ）=AVsinθ（6）（6）－（5）+（4）－（3）+（2）+（1），得6sin（60°－θ）－5sinθ=AVsinθ由0＜AV＜2，得E4－016黑板上写出三个整数，然后抹去其中一个，而用留下的两数之和减1所得的数来替代被抹去的数，这样的变换重复若干次后，结果得到的数是17、1967、1983．试问在黑板上最初所写的数能否是：（a）2、2、2；（b）3、3、3？【题说】第十七届（1983年）全苏数学奥林匹克八年级题2．【解】（a）2，2，2→2，2，3（→表示变换），然后始终为两个偶数一个奇数，不论多少次变换都不能到3个奇数17，1967，1983．（b）（3，3，3）→（5，3，3）→（5，7，3）→…→（13，15，3）→（17，15，3）→（17，15，31）→…→（17，1939，1951）→（17，1967，1951）→（17，1967，1983）．E4－017正五边形的每个顶点对应一个整数使得这五个整数的和为正．若其中三个相连顶点相应的整数依次为x、y、z，而中间的y＜0，则要进行如下的操作：整数x、y、z分别换为x+y、－y、z+y．只要所得的五个整数中至少还有一个为负时，这种操作就继续进行．问：是否这样的操作进行有限次后必定终止？【题说】第二十七届（1986年）国际数学奥林匹克题3．本题由原民主德国提供．【解】为方便计，把五个数写成一列：v、w、x、y、z，并注意v与z 是相邻的．不妨设y＜0．操作后，便得v、w、x+y、－y、y+z．它们的和未变．考虑操作前后各项平方及每相邻两项和的平方之和（称为双平方和）的差．[v2+w2+（x+y）2+（－y）2+（y+z）2+（v+w）2+（w+x+y）2+x2+z2+（y+z+v）2－[v2+w2+x2+y2+z2+（v+w）2+（w+x）2+（x+y）2+（y+z）2+（z+v）2]=2y（v+w+x+y+z）因为y＜0，v+w+x+y+z＞0，故上述差为负数．这就是说，每操作一次后，各数双平方和变小．但原来5个数的双平方和为一定值，因此这种操作进行有限次后即行停止，即5个数最后都变为正数．E4－018如图a，△ABC的顶点B在单位圆的圆心上，A、C针方向依次作旋转，具体方法如下：第一次，以A为中心，使B落到圆周上；第二次，以B为中心，使C落到圆周上；第三次，以C为中心，使A落到圆周上．如此旋转直到第100次．求A点所走路程的总长度．【题说】1987年全国联赛一试题1（4）．原题为选择题．【解】在这100次运动中，A点在第1、4、7、11、…、100次运动中都未动，而第2、5、8、…、98次运动中A点走过的路程相等；第3、6、9、…、99次运动中A点走过的路程相等．在图中，A2表示A点第2次运动后的位置，其余下标类似．因为∠由于B3必在C2A3的中垂线上，且C2B3=1，所以B3即是B点，这综上所述，得A点在100次运动中走过的路程为E4－019有1987片玻璃片，每片上涂有红、黄、蓝三色之一，进行下列操作：将不同颜色的两块玻璃片擦净，然后涂上第三种颜色（例如将一块蓝玻璃片和一块红玻璃片上的红色与蓝色擦掉，然后在两片上涂上黄色）．证明：1．无论开始时红、黄、蓝色玻璃片各有多少片，总可以经过有限次操作而使所有的玻璃片涂有同一种颜色；2．最后变成哪一种颜色，与操作顺序无关．【题说】第二届（1987年）东北三省数学邀请赛题4．【证】设红片、黄片和蓝片的数目分别为x、y、z．x、y、z被3除后的余数中必有两个是相等的．否则x+y+z≡0+1+2≡0（mod3）与 x+y+z≡1987≡1（mod3）矛盾．不妨设x=3a+m，y=3b+n，z=3c+n，其中m、n∈｛0，1，2），c≥b．若c=b，则可将黄片、蓝片一对一地全变成红片．若c＞b．先将3b+n片黄片与3b+n片蓝片一对一对地换成红片，这时黄片数为0，蓝片数为3（c－b）．接着，将1片红片，1片蓝片变成2片黄片，再将2片黄片、2片蓝片变成2片红片．经过这一过程，黄片数仍为0，蓝片数减为3（c－b－1）．如果c－b－1=0，结论已经成立．否则，类似地再操作若干次，直至蓝片数减少至0．最后所有玻璃片都涂上了红色．由于经过一次操作，黄片、蓝片数均减少1，或一种减少1，另一种增加2．所以两种片数除以3所得余数仍然相同．如果最后只剩下一3的余数才能相等，即所有玻璃片均为红色．E4－020在黑板上有1，2，…，1987这些数．作这样的变换：将黑板上的数擦去一些，并添加上被擦去的数的和被7除所得的余数．经过若干次变换后，黑板上的数只有二个，一个是987，求另一个数．【题说】第十三届（1987年）全俄数学奥林匹克九年级题5（理论部分）．【解】黑板上所有数的和被7除所得余数永远不变数．1+2+…+187=1987×142×7被7整除．所以最后黑板上的两个数的和也被7整除．因为987=141×7，所以另一个数应该是某些数被7除所得的余数0．E4－021在黑板上写下从1到1988的所有自然数．对这些数依次反复施行运算A和B：先是A后是B，接着再是A，然后再是B，如此继续下去．运算A是从每个写在黑板上的数减去同一个自然数（对不同次的运算A，减数可以不相同）．运算B是抹去黑板上写着的两个数，然后写下它们的和数．运算A和B如此顺次施行，直至某次运算B后，黑板上只留下一个数，并且它是非负的，问这个数是多少？【题说】第十四届（1988年）全俄数学奥林匹克十年级题3．【解】施行运算A和B各一次后，黑板上的数就少了一个．所以运算A 和B各施行1987次后，黑板上就留下一个数．设施行第k次运算A时，减数为自然数d k，k=1，2，…，1987．经第k 次的运算A后，写在黑板上的数的和少了（1989－k）d k；而经运算B后，这个和数是不变的．所以运算A和B各施行1987次后，黑板上写的数是x=（1+2+…+1988）－1988d1－1987d2－…－2d1987=1988（1－d1）+1987（1－d2）+…+（1989－k）（1－d k）+…+2（1－d1987）+1显然（1989－k）（1－d k）≤0，并且若对某个k，有d k≥2，则（1989－k）（d k－1）≥2故 x≤（1989－k）（1－d k）+1≤－1与题设矛盾．因此，对一切k=1，2，…，1987，d k=1．所以x=1，即黑板上最后留下的数是1．E4－022在大小为n×n的正方形表格中写上实数，并且任意一行与任意一列中各数之和等于0．对这个表格施行如下运算：任何一行加到一列上去，并从另一列中减去；列的第i个元素加上或减去行的第i个元素．试证：进行若干次这样的运算，可以得到全由0组成的表格．【题说】第二十二届（1988年）全苏数学奥林匹克九年级题8．【证】以C i j，k表示将第i行加到第j列上去，并从第k列减去第i行．依次施行下列运算：C1n,1，C2n,2，…，C n-1n,n-1得出一个表格，对角线上的所有元素（位于第n行、第n列的元素除外）都等于0．考虑运算序列C i j,i，C i i,j，C j i,j，C i n,i，C i j,n不难验证，应用这些运算得到的新表格，位于第i行、第j列的数等于0，而不在最后一行或最后一列的数都不变．对i=1，2，…，n－1和i=1，2，…，n－1，依次应用上述运算序列，得到一个表格，其中不为0的数只能位于最后一行或最后一列．因为任意一行和任意一列上各数之和都等于0（应用上述运算时，这个性质保持不变），所以最后一行和最后一列上的数也是0．E4－023桌面上放有1989枚硬币，其中有的正面朝上，其余的正面朝下．今有1989人按下述方法依次翻转硬币，第一人翻转其中的一枚，第二人翻转其中的二枚，…，第k人翻转其中的k枚，最后第1989人将所有硬币全部翻转．证明：1．不论硬币最初正反面的分布情况如何，他们总可采取适当步骤，使得1989人都进行过翻币手续后，恰将所有硬币朝同一方向．2．硬币最后的统一朝向与具体翻币方案无关（只依赖于初始分布）．【题说】1989年南昌市赛二试题3．【证】1．1989可换成任一奇数n．对n用数学归纳法．当n=1时，结论显然成立．假设在n=2k－1时结论成立，当n=2k+1时，分两种情况讨论．（1）如果这2k+1枚硬币不全同向，其中必有一枚正面朝上的（记为正）和一枚正面朝下的（记为负），将它们标上记号．让前2k－1人对其余2k－1枚硬币进行翻币手续，依假设可翻成同向，设为正．第2k人翻动2k 个正向币，使得所有2k+1枚硬币都成负向．最后第2k+1人将所有硬币翻成正向．（2）如果这2k+1枚硬币方向都相同．将这2k+1枚硬币排成一圈，让第一人翻转其中一枚，第二人按顺时针方向翻转后续的二枚，第三人接着翻转后续的三枚，…，如此下去，当2k+1人全部翻转之后，由于1+2+…+（2k+1）=（k+1）·（2k+1），所以，每枚硬币都翻动了k+1次，因而也同向．2．假设结论不真，则存在1989枚硬币的某种初始状态T及两种翻法A、B．由状态T开始，按方法A可翻成全正，而按方法B可翻成全反．由全正状态出发，按方法A的逆步骤翻回T状态，再按B方法翻成全反．这样每枚硬币都改变了方向，从而每枚硬币翻动了奇数次，硬币总数1989为奇数．故由全正状态到全反状态总共翻转了奇数次．另一方面，在由全正状态到全反状态的过程中，每个人均翻转了偶数枚，因此总共翻转了偶数次，矛盾．从而结论成立．E4－024在黑板上相继写下四个数：7956、3923、5857、9725．再接着写出这四个数的和除以10000所得的余数，然后擦去第一个数，对留下的四个数，再按前面的方法处理，如此继续下去，试问黑板上出现的四个数能否是1989、1989、1989、1989？【题说】第十五届（1989年）全俄数学奥林匹克九年级题4．【解】由（1989、1989、1989、1989）出发，按所述方法处理，第5组为（7956、3923、5857、9725）．由于不同的四元数组的组数≤1016，在（1016+1）组中，必有两组相同．易知，每一组也唯一地确定其前一组，从而必有一组等于第1组，因此，黑板上可出现（1989、1989、1989、1989），而且可出现无限多次．E4－0257个六边形的网眼（如图）涂上两种颜色：白色或蓝色．每次允许选择任一网眼，将它及所有相邻的网眼改涂为另一种颜色．证明：由图a经有限次地上述改涂手续后，1．可变为b；2．不可能变为c．【题说】第十五届（1989年）全俄数学奥林匹克九年级题5．【证】1．先选图a正下方网眼，改涂后可得图d．再选图d正上方网眼，改涂后便得到图b．2．分别用A、B、C、D、E、F、G记7个网眼．涂白色的网眼用+1表示，涂蓝色的网眼用－1表示．考虑A、C、D、F四格，不论选7个网眼中哪一格进行改涂，它们中必有两格或四格变号（改涂颜色相当于乘以－1），因而这4个数之积总是不变．对于图a这个积为+1；而对于图c，这个积为－1．因此，图a不可能变为图c．E4－026数1，2，…，n 以任意方式写在圆周上，每次允许调换相邻两数的位置，如果它们差的绝对值大于1的话．证明：经有限次的调换后，所有的数可按自然数列的顺序排列．【题说】第十五届（1989年）全俄数学奥林匹克十年级题2．【证】首先将数1与其相邻的数调换位置，沿同一方向直至与2相邻；然后1、2两数沿前述方向向3靠拢（先调换2，然后调换1）；继而1、2、3三数向4靠拢，等等．这样便能将写出的数（沿顺时针或反时针方向）调整成按自然数列的顺序排列．E4－027 ABCD－A1B1C1D1是单位立方体．黑白二蚁同时从A点出发，沿着棱爬行，一条棱称为一段．白蚁爬行的路线是AA1→A1D1→…，黑蚁爬行的路线是AB→BB1→…，它们都遵循如下规则：爬行的第i段与第i+2段所在直线是异面直线（其中i∈N）．如果白、黑二蚁走完第1990段后各自停止在某顶点处，问此时二蚁相距多远？【题说】第一届（1990）希望杯高一二试题1（5），原为选择题．【解】按行动规则，白蚁爬行路线必然是：AA1→A1D1→D1C1→C1C→CB→BA→…循环进行下去．黑蚁爬行路线必然是：AB→BB1→B1C1→C1D1→D1D→DA →…也循环进行下去．因此黑、白二蚁每爬行6段，又回到原出发地A点，循环进行．由于1990=331×6+4，故它们爬行1990步后，白蚁停在C点上，E4－028设有两个完全相同的齿轮A、B，B被平放在一个水平面上，A放在B上面并使两者完全重合（从而两者在水平面上的投影完全重合），然后任意去掉四对重合的齿．如果两齿轮各有14个齿，试问：能否将齿轮A绕两齿轮的公共轴旋转一个适当的位置，使得两齿轮在水平面上的投影合为一个完整齿轮的投影？如果两齿轮各原有13个齿，又是怎样呢？请证明你的论断．【题说】第五届（1990年）全国冬令营选拔赛题5．【解】将每个断齿赋值“0”，好齿赋值“1”．对A齿轮的每个位置，作两轮对应位置齿值的乘积之和，初始位置除外的13个位置总和为10×9=90＜13×7，故必有一个位置的和≤6．此时必定任二断齿不相重合．当齿数为13时，将A、B重合时各对齿依顺时针记为0，1，…，12．锯掉0，1，5，11四对齿．0，1，5，11两两之差恰取遍1，2，…，12（mod 13）．故对A的任一位置总有两个断齿重合，始终得不到完整的投影．E4－029森林中有12名矮子，每一名住在自己的房子里，房子染蓝色或红色．在每一年的第i个月，第i名矮子拜访他的所有朋友，如果朋友中多数的房子与他自己的房子颜色不同，那么他就将自己房子的颜色改为另一种，以与大多数朋友一致．证明：经过一段时间，每一名矮子均无须变更房子的颜色（朋友是互相的，并且不会变化）．【题说】 1990年匈牙利阿拉尼·丹尼尔赛高年级较高水平题2．。
小学五年级数学奥数题100道及答案(完整版)
小学五年级数学奥数题100道及答案(完整版)题目1：计算：1 + 2 + 3 + 4 + 5 + …+ 99 + 100答案：5050解析：这是一个等差数列求和，公式为（首项+ 末项）×项数÷ 2 ，即（1 + 100）×100 ÷2 = 5050题目2：有三个连续自然数，它们的乘积是60，求这三个数。
答案：3、4、5解析：将60 分解质因数60 = 2×2×3×5 = 3×4×5题目3：一个数除以5 余3，除以6 余4，除以7 余5，这个数最小是多少？答案：208解析：这个数加上 2 就能被5、6、7 整除，5、6、7 的最小公倍数是210，所以这个数是210 - 2 = 208题目4：甲、乙两车同时从A、B 两地相向而行，在距A 地60 千米处第一次相遇。
各自到达对方出发地后立即返回，途中又在距A 地40 千米处相遇。
A、B 两地相距多少千米？答案：110 千米解析：第一次相遇时，两车共行了一个全程，甲行了60 千米。
第二次相遇时，两车共行了三个全程，甲行了60×3 = 180 千米。
此时甲距离 A 地40 千米，所以两个全程是180 + 40 = 220 千米，全程为110 千米。
题目5：鸡兔同笼，共有头48 个，脚132 只，鸡和兔各有多少只？答案：鸡30 只，兔18 只解析：假设全是鸡，有脚48×2 = 96 只，少了132 - 96 = 36 只脚。
每把一只鸡换成一只兔，脚多4 - 2 = 2 只，所以兔有36÷2 = 18 只，鸡有48 - 18 = 30 只。
题目6：小明从一楼到三楼用了18 秒，照这样计算，他从一楼到六楼需要多少秒？答案：45 秒解析：一楼到三楼走了 2 层楼梯，每层用时18÷2 = 9 秒。
一楼到六楼走5 层楼梯，用时5×9 = 45 秒。
五年级奥数：相遇问题(A)(含答案)
五年级奥数：相遇问题(A)（含答案）一、填空题1。
两列对开的火车途中相遇，甲车上的乘客从看到乙车到乙车从旁边开过去，共用6秒钟。
已知甲车每小时行45千米，乙车每小时行36千米，乙车全长_____米。
2。
甲、乙两地间的路程是600千米，上午8点客车以平均每小时60千米的速度从甲地开往乙地。
货车以平均每小时50千米的速度从乙地开往甲地。
要使两车在全程的中点相遇，货车必须在上午______点出发。
3。
甲乙两地相距450千米，快慢两列火车同时从两地相向开出，3小时后两车在距中点12千米处相遇，快车每小时比慢车每小时快______千米。
4。
甲乙两站相距360千米。
客车和货车同时从甲站出发驶向乙站，客车每小时行60千米，货车每小时行40千米，客车到达乙站后停留0。
5小时，又以原速返回甲站，两车对面相遇的地点离乙站______千米。
5。
列车通过250米长的隧道用25秒，通过210米长的隧道用23秒，又知列车的前方有一辆与它行驶方向相同的货车，货车车身长320米，速度为每秒17米，列车与货车从相遇到离开需______秒。
6。
小冬从甲地向乙地走，小青同时从乙地向甲地走，当各自到达终点后，又立刻返回，行走过程中，各自速度不变，两人第一次相遇在距甲地40米处，第二次相遇在距乙地15米处。
甲、乙两地的距离是______米。
7。
甲、乙二人分别从B A ,两地同时相向而行，乙的速度是甲的速度的32，二人相遇后继续行进，甲到B 地、乙到A 地后都立即返回。
已知二人第二次相遇的地点距第一次相遇的地点是20千米，那么B A ,两地相距______千米。
8。
B A ,两地间的距离是950米。
甲、乙两人同时由A 地出发往返锻炼。
甲步行每分走40米，乙跑步每分行150米，40分后停止运动。
甲、乙二人第____次迎面相遇时距B 地最近，距离是______米。
9。
B A ,两地相距540千米。
甲、乙两车往返行驶于B A ,两地之间，都是到达一地之后立即返回，乙车比甲车快。
五年级奥数—操作与策略(含解析)
1. 通过实际操作寻找题目中蕴含的数学规律2. 在操作和体会数学规律的过程中，设计最优的策略和方案实际操作与策略问题这类题目能够很好的提高学生思考问题的能力，激发学生探索数学规律的兴趣，并通过寻找最佳策略过程，培养学生的创造性思维能力，这也是各类考试命题者青睐的这类题目的原因，因此在历届的杯赛中时常出现，尤其是在华杯、迎春杯中，常考查学生的动手能力【例 1】 (全国华罗庚杯少年数学邀请赛)如图，将正方形纸片由下往上对折，再由左向右对折，称为完成一次操作．按上述规则完成五次操作以后，剪去所得小正方形的左下角．问：当展开这张正方形纸片后，一共有多少个小洞孔？【分析】 一次操作后，层数由1变为4，若剪去所得小正方形左下角，展开后只有1个小洞孔，恰是大正方形的中心．连续两次操作后，折纸层数为24，剪去所得小正方形左下角，展开后在大正方形上留有211444-==(个)小洞孔．连续三次操作后，折纸层数为34，剪去所得小正方形左下角，展开后大正方形留有3124416-==(个)小洞孔．按上述规律不难断定：连续五次操作后，折纸层数为54，剪去所得小正方形左下角，展开后大正方形纸片上共留有51444256-==(个)小洞孔．［巩固］ 向电脑输入汉字，每个页面最多可输入1677个五号字．现在页面中有1个五号字，将它复制后操作与优化设计探索与操作粘贴到该面上，就得到2个字；再将这2个字复制后粘贴到该页面，就得到4个字．每次复制和粘贴为1次操作，要使整个页面都排满五号字，至少需要操作次．［分析］每次操作页面上的字数就增加一倍，第一次操作后页面上有2个字，第2次操作后页面上有2=(个)字，…，则第10次操作后页面上有102个字，=(个)字，第3次操作后页面上有32824由于1011=<<=，因此使整个页面排满，至少需要操作11次．21024167722048【例 2】(第二届两岸四地“华罗庚金杯”少年数学精英邀请赛)有足够多的盒子依次编号0，1，2，…，只有0号是黑盒，其余的都是白盒．开始时把10个球放入白盒中，允许进行这样的操作：如果k号白盒中恰有k个球，可将这k个球取出，并给0号、1号、…，(1)k-号盒中各放1个．如果经过有限次这样的操作后，最终把10个球全放入黑盒中，那么4号盒中原有个球．【分析】使用倒推法．最终各盒中依次有球(10，0，0，0，…)，前一次必然分的是1号盒中的球，否则1号盒中最终至少有1个球．所以，倒数第一次分前盒中依次有球(9，1，0，0，…)．依次倒推，为：(10，0，0，0，…)←(9，1，0，0，…)←(8，0，2，0，0，…)←(7，1，2，0，0，…)←(6，0，1，3，0，…)←(5，1，1，3，0，…)←(4，0，0，2，4，…)←(3，1，0，2，4，…)←(2，0，2，2，4，…)←(1，1，2，2，4，…)←(0，0，1，1，3，5…)，0号盒中此时为0个球，不能再倒推．所以，4号盒中原有3个球．［巩固］(圣彼得堡数学奥林匹克)尤拉想出一个数，将它乘以13，删去乘积的末位数，将所得的数再乘以7，再删去乘积的末位数，最终得到的数为21．问：尤拉最初所想的是哪一个数？［分析］解法1(从分析结果入手)在第二次删去末位数之前，尤拉面临的是一个三位数，其值在210至219之间．在这些数中，只有两个数是7的倍数：210730=⨯．这就意味着在乘=⨯和217731以7之前，尤拉的数是30或31．因而在第一次删去末位数之前，尤拉所面临的数为300到319之间的一个三位数．在这些数中只有一个数是13的倍数：3122413=⨯，所以尤拉最初所想出的数是24．解法2(利用单调性)容易看出，如果增大一开始的数，发现最终所得的数不会减小，这是因为无论是乘法运算，还是删去末位数的操作，都具有“非降性”．如果开始所想的数是25，那么运算过程如下：25→325→32→224→22.综合上述两方面，即知尤拉最初所想的数是24．【例 3】(北大附中“资优博雅杯”数学竞赛)一个盒子里有400枚棋子，其中黑色和白色的棋子各200枚，我们对这些棋子做如下操作：每次拿出2枚棋子，如果颜色相同，就补1枚黑色棋子回去；如果颜色不同，就补1枚白色的棋子回去．这样的操作，实际上就是每次都少了1枚棋子，那么，经过399次操作后，最后剩下的棋子是颜色(填黑或者白)【分析】由于起初白子200枚是偶数，若同色，补黑子1枚，白子仍为偶数；若异色，补白子1枚，白子仍为偶数．因此最后1枚不可能是白子，故应是黑子．【例 4】(北大附中“资优博雅杯”数学竞赛)有一只小猴子在深山中发现了一片野香蕉园，它一共摘了300根香蕉，然后要走1000米才能到家，如果它每次最多只能背100根香蕉，并且它每走10米就要吃掉一根香蕉，那么，它最多可以把根香蕉带回家？【分析】首先，猴子背着100根香蕉直接回家，会怎样？在到家的时候，猴子刚好吃完最后一根香蕉，其他200根香蕉白白浪费了！折返，求最值问题，我们需要设计出一个最优方案．3001003÷=．猴子必然要折返3次来拿香蕉．我们为猴子想到一个绝妙的主意：在半路上储存一部分香蕉．猴子的路线：家y储存点B 储存点A野香蕉园x这两个储存点A 与B 就是猴子放置香蕉的地方，怎么选呢？最好的情况是：(一)当猴子第①③④次回去时，都能在这里拿到足够到野香蕉园的香蕉．(二)当猴子第②④次到达储存点时，都能将之前路上消耗的香蕉补充好(即身上还有100个)(三)B 点同上．XA 的距离为10x ，路上消耗x 个香蕉．AB 的距离为10y ，路上消耗y 个香蕉．猴子第一次到达A 点，还有(100)x -个香蕉，回去又要消耗x 个，只能留下1002x -个香蕉．这(1002)x -个香蕉将为猴子补充②③④次路过时的消耗和需求，每次都是x 个，则1002320x x x -=⇒=．200XA ⇒=米，猴子将在A 留下60个香蕉．那么当猴子②次到达A 时，身上又有了100个香蕉，到⑤时还有100y -个，从⑤回③需要y 个，可在B 留下(1002)y -个，用于⑥时补充从④到⑥的消耗y 个．则：10010023y y y -=⇒=． 至此，猴子到家时所剩的香蕉为：100013004253103x y ---=． 因为猴子每走10米才吃一个香蕉，走到家时最后一个10米才走了23，所以还没有吃香蕉，应该还剩下54个香蕉．【例 5】 (武汉“明星奥数挑战赛”)设有25个标号筹码，其中每个筹码都标有从1到49中的一个不同的奇数，两个人轮流选取筹码．当一个人选取了标号为x 的筹码时，另一个人必须选取标号为99x -的最大奇因数的筹码．如果第一个被选取的筹码的编号为5，那么当游戏结束时还剩 个筹码．【分析】 解若 x 99x -5 4747 1313 4343 77 2323 1919 5当一个人拿到19时，下一个人就要拿5了，故游戏结束，拿了7个．剩25718-=(个)．［拓展］ (武汉“明星奥数挑战赛”)有依次排列的3个数：2，0，5，对任意相邻的两个数，都用右边的数减去左边的数，所得之差写在这两个数之间，可产生一个新数串：2，2-，0，5，5，这称为第一次操作，第二次同样的操作后也可产生一个新数串：2，4-，2-，2，0，5，5，0，5．继续依次操作下去．问：从新数串2，0，5开始操作，第100次后产生的那个新数串的所有数之和是多少？［分析］ 观察操作次数： 开始 第一次 第二次 第三次 …总 和： 7 10 13 16 …易发现每操作一次总和增加3．因此操作100次后产生的新数串所有数之和为73100307+⨯=．【例 6】 (武汉“明星奥数挑战赛”)将两个不同的自然数中较大数换成这两个数之差，称为一次操作．如对18和42可连续进行这样的操作，则有：18，42→18，24→18，6→12，6→6，．直到两数相同为止．试给出和最小的两个四位数，按照以上操作，最后得到的相同的数是15．这两个四位数是 与 ．【分析】 由题意，我们可以多给几组数按题目所给操作方法进行操作，从中找出规律．例如：136，63→…→1，136，27→…→9，984，36→…→12，12考察操作后所得结果，不难发现每次所得的最终结果是开始两数的最大公约数，因此我们只需找到两个尽量小的四位数，他们都是15的倍数，可得1005和1020．［铺垫］ (武汉“明星奥数挑战赛”)对任意两个不同的自然数，将其中较大数换成这两数之差，称为一次变换．如对18和42可作这样的连续变换：18，42→18,24→18,6→12,6→6,6直到两数相同为止．问：对1234和4321作这样的连续变换最后得到的两个相同的数是 ．［分析］ 操作如下：1234，4321→1234，3087→1234，1853→1234，619→615，619→615，44714243前一数每次减少→…→，4→3，4→3，1→2，1→1，1实际上按此法操作最后所得两相同的数为开始两数的最大公约数．即1234与4321的最大公约数为1．此法也称为辗转相减法求最大公约数．［拓展］ (全国华罗庚金杯少年数学邀请赛)将两个不同的自然数中较大的数换成这两个数之差，称为一次操作．例如：对18和42连续进行这样的操作，则有：18，42→18，24→18，6→12，6→6，6．试给出和最小的两个五位数，按照以上操作，直到两数相同为止，如果最后得到的相同的数是15，这两个五位数是 与 ．［分析］ 观察题目中的例子，(18，42)=(18，24)=(18，6)=(12，6)=(6，6)=6，将会发现：将两个不同的自然数中较大的数换成这两个数之差会得到两个新的自然数，它们的最大公约数和初始的两个数的最大公约数相同，最后得到的是两个相同的自然数，是初始的两个数的最大公约数，所以，题目就是去求和最小的两个五位数，它们的最大公约数是15，即求两个能被3和5整除的和最小的两个五位数，1000566715=⨯和1002066815=⨯为所求．点评 题中操作的本质上是辗转相除法，最后所得到的相同的数是最初两个数的最大公约数，即(18，42)=6．实际上，这道试题是一个求最大公约数的反问题，即已知(X ，Y )=15，求X 和Y ．但是，以15为最大公约数的数对有很多，应该选取哪一对呢？这就要求答案必须还满足其他的条件，本题要求解答最小的两个五位数．如果要求是最大的两个五位数，答案是什么？【例 7】 黑板上写着一个形如777…77的数，每次擦掉一个末位数，把前面的数乘以3，然后再加上刚才擦掉的数字．对所得的新数继续这样操作下去，证明：最后必获得数7．【分析】 黑板上起初数是777…77，每次操作后就变出一个新数．不妨设这个数的末位数为b ，前面的数为a ，所以就是形为10a b +的数．每次操作后，黑板上就成为3a b +，它比原数少了7a ．由此可知：⑴每次操作将使原数逐步变小；⑵如果原数能被7整除，那么所得新数仍能被7整除．所以黑板上最后必将变成7，例如当原数为777时，就有777→238→77→28→14→7．【例 8】 (北京“数学解题能力展示”读者评选活动)在纸上写着一列自然数1，2，…，98，99．一次操作是指将这列数中最前面的三个数划去，然后把这三个数的和写在数列的最后面．例如第一次操作后得到4，5，…，98，99，6；而第二次操作后得到7，8，…，98，99，6，15．这样不断进行下去，最后将只剩下一个数，则最后剩下的数是 ．【分析】 第一轮：分33次划1～9，后面写上6，15，24，…，294共33个数．第二轮：分11次划去这33个数，后面写上45，126，207，…，855，共11个数．之后的操作一次减少2个数，故还需操作5次．设这11个数为：1a ，2a ，…，11a ．则接下去的数是：123()a a a ++，456()a a a ++，789()a a a ++，1011123()a a a a a ++++，4567891011123()a a a a a a a a a a a ++++++++++．因此最后一数为：1231112994950a a a a ++++=+++=L L ．［拓展］ (第六届“华杯赛”决赛)圆周上放有N 枚棋子，如右图所示，B 点的一枚棋子紧邻A 点的棋子。
五年级奥数题及答案：等距变换游戏问题
五年级奥数题及答案：等距变换游戏问题小编导语：奥数学习过程中面对有一定学习难度的内容，我们留下的问题会很多很多，题目的变化也会多种多样，我们要总结老师讲的知识点和做过的题型，在总结的过程中找到知识点的联系，在总结的过程中找出不同，总结越多，思考越多，我们收获的也就越多。
查字典数学网为大家准备了小学五年级奥数题，希望小编整理奥数题等距变换游戏问题，可以帮助到你们，助您快速通往高分之路!!这个游戏与反射、旋转、平移及其组合的知识有关。
这种变换的集合通称为“等距变换”(isom etry)。
在玩之前，需要做出：①如上图的方格板，以及一块与上图中三角形形状与大小相同的纸板;②一些卡片。
说明如下。
卡片每一张卡片描述变换的状态，拿到卡片的人要移动三角形作出变换。
卡片有两种：(1)提供明确的变换细节，如：反射镜像线：y=x(2)鬼牌，保留某些变换的细节供拿到的人自己决定。
共有42张卡片，组成方式如下：游戏规则这个游戏2～4人玩都可以。
(1)洗过牌后每人发5张卡片，将剩下的卡片面朝下放在桌上。
(2)用掷骰子或其他方式决定玩的次序。
(3)玩的人要把那块三角形纸板从前一个人停留的位置移动到其他三角形中。
移动时必须按照他手中卡片提供的变换细节，可以按照一张卡片或几张卡片的变换细节移动。
在用数张卡片移动的过程中，三角形纸板不一定要移动到方格板上的三角形中。
用过的牌应面朝上摆在一边。
(4)玩的人作出移动后，从未使用的一叠卡片中按顺序取一张或数张卡片，使手中的卡片保持在5张。
(5)玩的人移动到的三角形上的号码就是他的得分。
(6)游戏的目标是要得到最多的分数，因此对每人每次移动的得分都要作记录。
(7)如果有人无法移动，或是不愿移动，可以丢出一张卡片，再拿一张新的卡片。
(8)使用鬼牌时，在移动之前应宣布变换细节(如镜像线的方程式)。
(9)如果有人认为另一人的移动不符合所用卡片上的变换细节，可以提出质疑。
如果确实有误，则三角形纸板应回到先前的位置，犯错的人的得分也不能计算。
完整版五年级奥数图形变换求面积问题
图形变换求面积问题一、平移：将图形沿着一个方向移动一段距离。
平移变换把图形中的某一个线段或者一个角移动到一个新的位置，使图形中分散的条件 紧密地结合到一起。
一般有2种方法：1. 平移已知条件2. 平移所求问题，把所求问题转化，其实就是逆向证明。
几何题多数都是逆向思考的。
、旋转：将某图形绕着一个固定点转动到另一个位置，以此重新组合图形。
旋转变换把平面图形绕旋转中心，旋转一个定角，使分散的条件集中在一起。
在遇到关于等腰三角形、正三角形、正方形等问题时 ，是经常用到的思维途径 三、对称(也可理解为翻折)：某图形对于某条线对称的图形通过作关于某一直线或一点的对称图，把图形中的图形对称到另一个位置上，使分散的 条件集中在一起。
当出现以下两种情况时，经常考虑用此变换：1. 出现了明显的轴对称、中心对称条件时2. 出现了明显的垂线条件时。
【例1】 右图是一块长方形草地，长方形的长是 16，宽是10.中间有两条道路，一条是长方形，一条是如图所眾，将道路平移后的(16-2)x(10-2) = 112【巩固】如图所示，一个正十二边形的边长是1厘米，空白部分是等边三角形，一共有12个•请算出阴影部分的面积.【例2】 如图所示，梯形ABCD 中，AB 平行于CD ，又BD 4，AC 3，AB CD 5 .试求梯形ABCD 的面积.平行四边形，它们的宽都是 2,求草地部分的面积(阴影部分)有多大?【巩固】如下图，六边形 ABCDEF 中，AB ED , AF CD , BC EF ，且有 AB 平行于ED , AF 平行于CD , BC 平行于EF ，对角线FD 垂直于BD ，已知FD 24厘米，BD 18厘米，请问六边形ABCDEF 的面积是多少平方厘米?【例3】 如图2，六边形ABCDEF 为正六边形，P 为对角线CF 上一点，若PBC 、PEF 的面积为3与4 , 则正六边形 ABCDEF 的面积是 ______________________ 。
小学五年级精选奥数题及解析
小学五年级精选奥数题及解析1、算薪水有两个人在一家工地做工，由于一个是学徒，一个是技工，所以他们的薪水是不一样的。
技工的薪水比学徒的薪水多20美元,但两人的薪水之差是21美元。
你觉得他俩的薪水各是多少？2、100面彩旗某街道从东往西按照五面红旗、三面黄旗、四面绿旗、两面粉旗的规律排列，共悬挂1995面彩旗，你能算出从西往东数第100面彩旗是什么颜色的吗？3、时钟表盘时钟的表盘上按标准的方式标着1, 2, 3,…，11, 12这12个数，在其上任意做n 个120°的扇形，每一个都恰好覆盖4个数，每两个覆盖的数不全相同. 如果从这任做的n个扇形中总能恰好取出3个覆盖整个钟面的全部12个数，求n的最小值.4、两头猪有4头猪，这4头猪的重量都是整千克数，把这4头猪两两合称体重，共称5次，分别是99、113、125、130、144,其中有两头猪没有一起称过。
那么，这两头猪中重量较重那头有多重？5、三张卡片有三张卡片，它们上面各写着数字2, 3, 4,从中抽出一张、二张、三张, 按任意次序排列出来，可以得到不同的一位数、二位数、三位数，请你将其中的质数都写出来.6、数学竞赛要求的三个自然数分别是32、35和38。
9、答案与解析：此题需要求抽屉的数量，反用抽屉原理和最”坏”情况的结合，最坏的情况是只有10个同学来自同一个学校，而其他学校都只有9名同学参加，那么(1123-10)4-9=123......6 ,因此最多有：123+1=124个学校(处理余数很关键，如果有125个学校那么不能保证至少有10名同学来自同一个学校)10、答案与解析：120:2=60, 90:2=45,每两棵树之间的距离是它们的最大公约数。
(120, 60, 90, 45)=15, 一共要：(120+90)x24-15=28(棵)。
11、答案与解析：方法一：因为每班的平均成绩都是整数，且两班的总成绩相等，所以总成绩既是42的倍数，又是48的倍数,所以为[42, 48]=336的倍数.因为乙班的平均成绩高于80分，所以总成绩应高于48x80=3840分.乂因为是按百分制评卷，所以甲班的平均成绩不会超过100分，那么总成绩应不高于42x100=4200分.在3840〜4200之间且是336的倍数的数只有4032.所以两个班的总分均为4032 分.那么甲班的平均分为40324-42=96分，乙班的平均分为4032+48=84分.所以甲班的平均分比乙班的平均分高96-84=12分.方法二：甲班平均分x42=乙班平均分x48,即甲班平均分x7二乙班平均分x8, 因为7、8互质，所以甲班的平均分为某数的8倍，乙班的平均分为某数的7倍，乂因为两个班的平均分均超过80分，不高于100分，所以这个数只能为12.所以甲班的平均分比乙班的平均分高12x(8-7)=12分.12、答案与解析：小于20的质数有2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19,其中5+19=7+17=11+13.每个木块掷在地上后向上的数可能是六个数中的任何一个，三个数的和最小是5+5+5=15,最大是19+19+19=57,经试验，三个数的和可以是从15到57的所有奇数，所有可能的不同值共有22个。
五年级奥数专题 等积变换、切割、平移、旋转(学生版)
学科培优数学等积变换、切割、平移、旋转学生姓名授课日期教师姓名授课时长知识定位本讲是几何知识体系中的一个基石同时也是一个升华,等积变换试平面几何的基础,解决三角形问题几乎无处不在,切割、平移、旋转是解决个性问题的个性思想,在几何中举足轻重,能使复杂的问题巧妙化解。
所以本讲是非常重要的一讲,也是竞赛常考的知识板块。
重点难点：1. 等积变换中等地等高三角形的寻找。
2．化未知图形为已知图形。
3. 合理做辅助线4. 平移、旋转、切割等知识的适用范围主要考点：1. 面积和边的比例关系2. 利用平移、旋转解复杂问题知识梳理常见图形面积的解题方法我们已经知道三角形面积的计算公式：三角形面积=底×高÷2从这个公式我们可以发现：三角形面积的大小,取决于三角形底和高的乘积．如果三角形的底不变,高越大（小）,三角形面积也就越大（小）；如果三角形的高不变,底越大（小）,三角形面积也就越大（小）；这说明当三角形的面积变化时,它的底和高之中至少有一个要发生变化．但是,当三角形的底和高同时发生变化时,三角形的面积不一定变化．比如当高变为原来的3倍,底变为原来的1/3,则三角形面积与原来的一样。
这就是说：一个三角形的面积变化与否取决于它的高和底的乘积,而不仅仅取决于高或底的变化．同时也告诉我们：一个三角形在面积不改变的情况下,可以有无数多个不同的形状．在实际问题的研究中,我们还会常常用到以下结论： 1、等底等高的两个三角形面积相等．2、若两个三角形的高相等,其中一个三角形的底是另一个三角形的几倍,那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍．若两个三角形的底相等,其中一个三角形的高是另一个三角形的几倍,那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍． 3、夹在一组平行线之间的等积变形,如下图,和夹在一组平行线之间,且有公共底边那么；反之,如果,则可知直线平行于。
4、把未知图形转化为三角形、长方形、正方形来求解。
五年级上册奥数含真题(含答案)
五年级上册奥数含真题(含答案)五年级上册奥数含真题（含答案）第一题在一个小镇里，有一家卖糖果的甜品店。
店老板有4个特别的盒子装糖果。
第1个盒子装了2个水果糖，4个摇扣糖和3个口香糖。
第2个盒子装了6个口香糖，8个巧克力糖和3个水果糖。
第3个盒子装了4个摇扣糖和8个巧克力糖。
第4个盒子装了3个口香糖，5个摇扣糖和2个水果糖。
如果一个袋子里必须有一个以上的糖果，那么能够从这4个盒子里一共取出多少种不同的袋子？(A) 96(B) 104(C) 112(D) 120答案：C第二题你需要从10个整数中选出五个，使得这5个数的平均数是13。
那么这个10个整数的平均数是多少？(A) 12(B) 13(C) 14(D) 15答案：C第三题下面的对话中，每个字母代表一个单词。
如果在对话中大约有三分之一的字母被改变，则这段对话一般情况下是什么？- 何：Hey Joe, what's up?- 乔：Not much. I have a test tomorrow.- 何：In what?- 乔：Biology. What are you up to?- 何：Just hanging out.- 乔：All right. I better get back to my studying.(A) 两个人正在聊天。
(B) 两个人正在争吵。
(C) 两个人正在讨论问题。
(D) 无法得知。
答案：D第四题下面的对话中，棕色的线代表Bob说的话，蓝色的线代表Sue 说的话，箭头表示连续引用。
Bob说了什么？Bob：Actually, I can’t this weekend. I have a big test on Monday, so I need to study all weekend.Sue：Oh, that’s too bad. Can we study together then?Bob：Sure, that would be great.(A) 我不能看电影。
（完整版）小学五年级奥数题及答案（附精讲）
（完整版）⼩学五年级奥数题及答案（附精讲）⼩学五年级奥训练题及答案（精讲）⼀、⼯程问题1．⼀件⼯作，甲、⼄合做需4⼩时完成，⼄、丙合做需5⼩时完成。
现在先请甲、丙合做2⼩时后，余下的⼄还需做6⼩时完成。
⼄单独做完这件⼯作要多少⼩时？2．修⼀条⽔渠，单独修，甲队需要20天完成，⼄队需要30天完成。
如果两队合作，由于彼此施⼯有影响，他们的⼯作效率就要降低，甲队的⼯作效率是原来的五分之四，⼄队⼯作效率只有原来的⼗分之九。
现在计划16天修完这条⽔渠，且要求两队合作的天数尽可能少，那么两队要合作⼏天？3．甲⼄两个⽔管单独开，注满⼀池⽔，分别需要20⼩时，16⼩时.丙⽔管单独开，排⼀池⽔要10⼩时，若⽔池没⽔，同时打开甲⼄两⽔管，5⼩时后，再打开排⽔管丙，问⽔池注满还是要多少⼩时？4．⼀项⼯程，第⼀天甲做，第⼆天⼄做，第三天甲做，第四天⼄做，这样交替轮流做，那么恰好⽤整数天完⼯；如果第⼀天⼄做，第⼆天甲做，第三天⼄做，第四天甲做，这样交替轮流做，那么完⼯时间要⽐前⼀种多半天。
已知⼄单独做这项⼯程需17天完成，甲单独做这项⼯程要多少天完成？5．师徒俩⼈加⼯同样多的零件。
当师傅完成了1/2时，徒弟完成了120个。
当师傅完成了任务时，徒弟完成了4/5这批零件共有多少个？6．⼀批树苗，如果分给男⼥⽣栽，平均每⼈栽6棵；如果单份给⼥⽣栽，平均每⼈栽10棵。
单份给男⽣栽，平均每⼈栽⼏棵？7．⼀个池上装有3根⽔管。
甲管为进⽔管，⼄管为出⽔管，20分钟可将满池⽔放完，丙管也是出⽔管，30分钟可将满池⽔放完。
现在先打开甲管，当⽔池⽔刚溢出时，打开⼄,丙两管⽤了18分钟放完，当打开甲管注满⽔是，再打开⼄管，⽽不开丙管，多少分钟将⽔放完？8．某⼯程队需要在规定⽇期内完成，若由甲队去做，恰好如期完成，若⼄队去做，要超过规定⽇期三天完成，若先由甲⼄合作⼆天，再由⼄队单独做，恰好如期完成，问规定⽇期为⼏天？9．两根同样长的蜡烛，点完⼀根粗蜡烛要2⼩时，⽽点完⼀根细蜡烛要1⼩时，⼀天晚上停电，⼩芳同时点燃了这两根蜡烛看书，若⼲分钟后来点了，⼩芳将两⽀蜡烛同时熄灭，发现粗蜡烛的长是细蜡烛的2倍，问：停电多少分钟？⼆．鸡兔同笼问题1．鸡与兔共100只，鸡的腿数⽐兔的腿数少28条，,问鸡与兔各有⼏只？三．数字数位问题1．把1⾄2005这2005个⾃然数依次写下来得到⼀个多位数123456789.....2005,这个多位数除以9余数是多少?2．A和B是⼩于100的两个⾮零的不同⾃然数。
五年级数学下学期图形的变换测试A卷含答案
---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------五年级数学下学期图形的变换测试A卷含答案五年级数学下学期图形的变换测试 A A 卷含答案 A 卷基础知识过关自测一、是轴对称图形的打，不是的打(5 分) 二下面的图案分别是由哪个图形经过什么变换得到的？把这个图形涂上颜色(3 分) 三、画一画 (10 分} . 在方格纸上按照图上给出的对称轴画对称图形。
四、看图填一填(12 分) 1. 指针从12绕点 0 顺时针旋转到2，旋转了（），指针从2绕点 0顺时针旋转 30到( )，指针从3 绕点 0.顺时针旋转到9，旋转了( )，指针从9绕点0 顺时针旋转 90到( )。
2. 图①绕点 0 顺时针旋转( )得到图②。
图②绕点0 顺时针旋转( )得到图④ o 五、将树叶平移或旋转，在方格纸上绘制出你喜欢的图案(6 分)六、利用旋转设计美丽的图案(6 分) 七、计算（28） 1.解方程。
（12 分） 3x+4.8=10.2 x－6.5=17.8 2x6.54=34 x－2.4=4.5 2.用你喜欢的方法计算下面各题。
（16 分） 1.253.20.5 32.65（18.4+12.65）19.97.9+2.179.9 758207.878 八、解决问题（30 分） 1.一张单人床 280.5 元，一张写字台 140 元，某招待所1 / 2购回 8 张单人床和 8 张写字台，共需多少元？ 2.一辆汽车从甲地开往乙地，3 小时共节油 1.59 升，平均每小时节油多少升？3.明星小学有学生 1450 人，男生人数比女生人数的 2 倍少 110 人。
问男、女生各有多少人？（列方程解答） 4.一个平行四边形的面积是 72c ㎡，底边长 3.6cm，求高是多少厘米？ 5.五年级同学跳绳比赛，第一组 10 人，共跳 720 下；第二组 11 人，共跳 714 下，第三组 9 人，共跳 816 下。
小学五年级奥数题大全及答案(更新版)
小学五年级奥数题大全及答案五年级奥数1、小数的巧算2、数的整除性3、质数与合数4、约数与倍数5、带余数除法6、中国剩余定理7、奇数与偶数8、周期性问题9、图形的计数10、图形的切拼11、图形与面积12、观察与归纳13、数列的求和14、数列的分组15、相遇问题16、追及问题17、变换和操作18、逻辑推理19、逆推法20、分数问题1.1小数的巧算（一）年级班姓名得分一、填空题1、计算 1.135+3.346+5.557+7.768+9.979=_____.2、计算 1.996+19.97+199.8=_____.3、计算 9.8+99.8+999.8+9999.8+99999.8=_____.4、计算6.11+9.22+8.33+7.44+5.55+4.56+3.67+2.78 +1.89=_____.5、计算1.1+3.3+5.5+7.7+9.9+11.11+13.13+15.15+17.17+19.19=_____.6、计算 2.89⨯4.68+4.68⨯6.11+4.68=_____.7、计算 17.48⨯37-17.48⨯19+17.48⨯82=_____.8、计算 1.25⨯0.32⨯2.5=_____.9、计算 75⨯4.7+15.9⨯25=_____.10、计算 28.67⨯67+32⨯286.7+573.4⨯0.05=_____.二、解答题11、计算 172.4⨯6.2+2724⨯0.3812、计算 0.00...0181⨯0.00 (011)963个0 1028个013、计算12.34+23.45+34.56+45.67+56.78+67.89+78.91+89.12+91.2314、下面有两个小数:a=0.00...0105 b=0.00 (019)1994个0 1996个0求a+b,a-b,a⨯b,a÷b.1.2小数的巧算（二）年级班姓名得分一、真空题1、计算 4.75-9.64+8.25-1.36=_____.2、计算 3.17-2.74+4.7+5.29-0.26+6.3=_____.3、计算 (5.25+0.125+5.75)⨯8=_____.4、计算 34.5⨯8.23-34.5+2.77⨯34.5=_____.5、计算 6.25⨯0.16+264⨯0.0625+5.2⨯6.25+0.625⨯20=_____.6、计算 0.035⨯935+0.035+3⨯0.035+0.07⨯61⨯0.5=_____.7、计算 19.98⨯37-199.8⨯1.9+1998⨯0.82=_____.8、计算 13.5⨯9.9+6.5⨯10.1=_____.9、计算 0.125⨯0.25⨯0.5⨯64=_____.10、计算 11.8⨯43-860⨯0.09=_____.二、解答题11、计算32.14+64.28⨯0.5378⨯0.25+0.5378⨯64.28⨯0.75-8⨯64.28⨯0.125⨯0.537812、计算 0.888⨯125⨯73+999⨯313、计算 1998+199.8+19.98+1.99814、下面有两个小数:a=0.00...0125 b=0.00 (08)1996个0 2000个0试求a+b, a-b, a⨯b, a÷b.2.1数的整除性（一）年级班姓名得分一、填空题1、四位数“3AA1”是9的倍数，那么A=_____.2、在“25□79这个数的□内填上一个数字,使这个数能被11整除,方格内应填_____.3、能同时被2、3、5整除的最大三位数是_____.4、能同时被2、5、7整除的最大五位数是_____.5、1至100以内所有不能被3整除的数的和是_____.6、所有能被3整除的两位数的和是______.7、已知一个五位数□691□能被55整除,所有符合题意的五位数是_____.8、如果六位数1992□□能被105整除,那么它的最后两位数是_____.9、42□28□是99的倍数,这个数除以99所得的商是_____.10、从左向右编号为1至1991号的1991名同学排成一行,从左向右1至11报数,报数为11的同学原地不动,其余同学出列;然后留下的同学再从左向右1至11报数,报数为11的留下,其余同学出列;留下的同学第三次从左向右1至11报数,报到11的同学留下,其余同学出列,那么最后留下的同学中,从左边数第一个人的最初编号是_____号.二、解答题1、173□是个四位数字.数学老师说：“我在这个□中先后填入3个数字,所得到的3个四位数,依次可被9、11、6整除.”问：数学老师先后填入的3个数字的和是多少？12、在1992后面补上三个数字，组成一个七位数，使它们分别能被2、3、5、11整除，这个七位数最小值是多少？13、在“改革”村的黑市上,人们只要有心,总是可以把两张任意的食品票换成3张其他票券,也可以反过来交换.试问,合作社成员瓦夏能否将100张黄油票换成100张香肠票,并且在整个交换过程中刚好出手了1991张票券？14、试找出这样的最小自然数,它可被11整除,它的各位数字之和等于13.2.2数的整除性(二)年级班姓名得分一、填空题1、一个六位数23□56□是88的倍数,这个数除以88所得的商是_____或_____.2、123456789□□,这个十一位数能被36整除,那么这个数的个位上的数最小是_____.3、下面一个1983位数33…3□44…4中间漏写了一个数字(方框),已知这991个 991个个多位数被7整除，那么中间方框内的数字是_____.4、有三个连续的两位数,它们的和也是两位数,并且是11的倍数.这三个数是_____.5、有这样的两位数,它的两个数字之和能被4整除,而且比这个两位数大1的数,它的两个数字之和也能被4整除.所有这样的两位数的和是____.6、一个小于200的自然数,它的每位数字都是奇数,并且它是两个两位数的乘积,那么这个自然数是_____.7、任取一个四位数乘3456,用A表示其积的各位数字之和,用B表示A的各位数字之和,C表示B的各位数字之和,那么C是_____.8、有0、1、4、7、9五个数字，从中选出四个数字组成不同的四位数，如果把其中能被3整除的四位数从小到大排列起来，第五个数的末位数字是_____.9、从0、1、2、4、5、7中，选出四个数，排列成能被2、3、5整除的四位数，其中最大的是_____.10、所有数字都是2且能被66……6整除的最小自然数是_____位数.100个二、解答题11、找出四个互不相同的自然数,使得对于其中任何两个数,它们的和总可以被它们的差整除,如果要求这四个数中最大的数与最小的数的和尽可能的小,那么这四个数里中间两个数的和是多少？12、只修改21475的某一位数字,就可知使修改后的数能被225整除,怎样修改？13、500名士兵排成一列横队.第一次从左到右1、2、3、4、5（1至5）名报数；第二次反过来从右到左1、2、3、4、5、6（1至6）报数，既报1又报6的士兵有多少名？14、试问,能否将由1至100这100个自然数排列在圆周上,使得在任何5个相连的数中,都至少有两个数可被3整除？如果回答：“可以”，则只要举出一种排法；如果回答：“不能”，则需给出说明.3.1质数与合数(一)年级班姓名得分一、填空题1在一位的自然数中，既是奇数又是合数的有_____；既不是合数又不是质数的有_____；既是偶数又是质数的有_____.2、最小的质数与最接近100的质数的乘积是_____.3、两个自然数的和与差的积是41，那么这两个自然数的积是_____.4、在下式样□中分别填入三个质数,使等式成立.□+□+□=505、三个连续自然数的积是1716,这三个自然数是_____、_____、_____.6、找出1992所有的不同质因数,它们的和是_____.7、如果自然数有四个不同的质因数, 那么这样的自然数中最小的是_____.8、9216可写成两个自然数的积，这两个自然数的和最小可以达到_____.9、从一块正方形的木板上锯下宽为3分米的一个木条以后,剩下的面积是108平方分米.木条的面积是_____平方分米.10、今有10个质数:17,23,31,41,53,67,79,83,101,103.如果将它们分成两组,每组五个数,并且每组的五个数之和相等,那么把含有101的这组数从小到大排列,第二个数应是_____.二、解答题11、2，3，5，7，11，…都是质数，也就是说每个数只以1和它本身为约数.已知一个长方形的长和宽都是质数个单位,并且周长是36个单位.问这个长方形的面积至多是多少个平方单位?12、把7、14、20、21、28、30分成两组，每三个数相乘，使两组数的乘积相等.13、学生1430人参加团体操,分成人数相等的若干队,每队人数在100至200之间,问哪几种分法?14、四只同样的瓶子内分别装有一定数量的油,每瓶和其他各瓶分别合称一次,记录千克数如下:8、9、10、11、12、13.已知四只空瓶的重量之和以及油的重量之和均为质数,求最重的两瓶内有多少油?3.2质数与合数(二)年级班姓名得分一、填空题1、在1~100里最小的质数与最大的质数的和是_____.2、小明写了四个小于10的自然数,它们的积是360.已知这四个数中只有一个是合数.这四个数是____、____、____和____.3、把232323的全部质因数的和表示为AB,那么A⨯B⨯AB=_____.4、有三个学生,他们的年龄一个比一个大3岁,他们三个人年龄数的乘积是1620,这三个学生年龄的和是_____.5、两个数的和是107,它们的乘积是1992,这两个数分别是_____和_____.6、如果两个数之和是64,两数的积可以整除4875,那么这两数之差是_____.7、某一个数,与它自己相加、相减、相乘、相除，得到的和、差、积、商之和为256.这个数是_____.8、有10个数:21、22、34、39、44、45、65、76、133和153.把它们编成两组,每组5个数,要求这组5个数的乘积等于那组5个数的乘积.第一组数____________；第二组数是____________.9、有_____个两位数,在它的十位数字与个位数字之间写一个零,得到的三位数能被原两位数整除.10、主人对客人说：“院子里有三个小孩，他们的年龄之积等于72，年龄之和恰好是我家的楼号，楼号你是知道的，你能求出这些孩子的年龄吗？”客人想了一下说：“我还不能确定答案。
五年级上册数学培优奥数讲义-第19讲置换问题
第19讲置换问题知识与方法置换问题主要研究把具有某种数量关系的两种数量转换成一种数量，从而帮助我们找到解题方法的一类典型题目。
解答置换问题应注意下面两点：1、根据数量关系把两种数量转换成一种数量，从而找出解题方法。
2、把两种数量假设为一种数量，从而找出解题方法。
初级挑战1如果△＋△＋○＝25，○＝△＋△＋△；那么△＝（），○＝（）。
思维点拨：将○＝△＋△＋△代入第一个算式，则相当于（）个△＝25，故△＝（），那么○＝（）。
答案：△＝25÷5＝5；○＝5×3＝15；能力探索1（1）☆＋☆＋◎＋◎＝48，◎＝☆＋☆＋☆，那么☆＝（），◎＝（）。
（2）△＋○＋○＋○＝45，△＋○＝35，那么△＝（），○＝（）。
答案：（1）☆＝48÷（2＋2×3）＝6，◎＝6×3＝18（2）○＝（45－35）÷2＝5，△＝35－5＝30初级挑战2已知20只鸡可换2条狗，6条狗可换2头猪，那么1头猪可换多少只鸡？思维点拨：根据题目，列出下列等式：6条狗＝2头猪……①2条狗＝20只鸡……②通过观察①、②两式发现，要求1头猪能换几只鸡，只需将两式中间量“狗”的数量变为一样就可以进行置换了。
答案：20×3÷2＝30（只）能力探索2假若20只兔子可换3只羊，9只羊可换4头猪，那么1头猪可换多少只兔子？答案：20×3÷4＝15（只）。
中级挑战1糖果店卖的水果糖、奶糖和巧克力糖有以下关系：买1.5千克奶糖的钱和买2.4千克的水果糖的钱相等；买2千克巧克力糖的钱和买3千克奶糖的钱相等。
如果用买4.5千克巧克力糖的钱，可买水果糖多少千克？思维点拨：根据题意可列出以下关系式：1.5千克奶糖的钱＝2.4千克水果糖的钱……①3千克奶糖的钱＝2千克巧克力糖的钱……②观察两式可以发现，只需将两式中间量奶糖的数量变为一样，就可求出水果糖和巧克力糖的关系。
2019年五年级数学 奥数练习17 变换和操作(A)
2019年五年级数学奥数练习17 变换和操作（A)一、填空题1. 黑板上写着8,9,10,11,12,13,14七个数,每次任意擦去两个数,再写上这两个数的和减 1.例如,擦掉9和13,要写上21.经过几次后,黑板上就会只剩下一个数,这个数是_____.2. 口袋里装有99张小纸片,上面分别写着1~99.从袋中任意摸出若干张小纸片,然后算出这些纸片上各数的和,再将这个和的后两位数写在一张新纸片上放入袋中.经过若干次这样的操作后,袋中还剩下一张纸片,这张纸片上的数是_____.3. 用1~10十个数随意排成一排.如果相邻两个数中,前面的大于后面的,就将它们变换位置.如此操作直到前面的数都小于后面的数为止.已知10在这列数中的第6位,那么最少要实行_____次交换.最多要实行_____次交换.4. 一个自然数,把它的各位数字加起来得到一个新数,称为一次变换,例如自然数5636,各位数字之和为5+6+3+6=20,对20再作这样的变换得2+0=2.可以证明进行这种变换的最后结果是将这个自然数,变成一个一位数.对数123456789101112…272829作连续变换，最终得到的一位数是_____.5. 5个自然数和为100,对这5个自然数进行如下变换,找出一个最小数加上2,找出一个最大数减2.连续进行这种变换,直至5个数不发生变化为止,最后的5个数可能是_____.6. 在黑板上写两个不同的自然数,擦去较大数,换成这两个数的差,我们称之为一次变换.比如(15,40),40-15=25,擦去40,写上25,两个数变成(15,25),对得到的两个数仍然可以继续作这样的变换,直到两个数变得相同为止,比如对(15,40)作这样的连续变换: (15,40) (15,25) (15,10) (5,10) (5,5).对(1024,111…1)作这样的连续变换，最后得到的两个相同的20个1数是_____.7. 在一块长黑板上写着450位数123456789123456789…（将123456789重复50次）.删去这个数中所有位于奇数位上的数字:再删去所得的数中所有位于奇数位上的数字:再删去…，并如此一直删下去.最后删去的数字是_____.8. 将100以内的质数从小到大排成一个数字串,依次完成以下五项工作叫做一次操作:①将左边第一个数码移到数字串的最右边；②从左到右两位一节组成若干这两位数；③划去这些两位数中的合数；④所剩的两位质数中有相同者，保留左边的一个，其余划去；⑤所余的两位质数保持数码次序又组成一个新的数字串。
小学五年级奥数题(有答案)
小学五年级奥数题一、小数的巧算（一）填空题1. 计算 1.996+19.97+199.8=_____。
答案：221.766。
解析：原式=(2-0.004)+(20-0.03)+(200-0.2)=222-(0.004+0.03+0.2)=221.766。
2. 计算 1.1+3.3+5.5+7.7+9.9+11.11+13.13+15.15+17.17+19.19=_____。
答案：103.25。
解析：原式=1.1⨯(1+3+...+9)+1.01⨯(11+13+ (19)=1.1⨯25+1.01⨯75=103.25。
3. 计算 2.89⨯4.68+4.68⨯6.11+4.68=_____。
答案：46.8。
解析：4.68×（2.89+6.11+1）=46.84. 计算 17.48⨯37-17.48⨯19+17.48⨯82=_____。
答案：1748。
解析: 原式=17.48×37-17.48×19+17.48×82=17.48×(37-19+82)=17.48×100=1748。
5. 计算 1.25⨯0.32⨯2.5=_____。
答案：1。
解析：原式=(1.25⨯0.8)⨯(0.4⨯2.5)=1⨯1=1。
6. 计算 75⨯4.7+15.9⨯25=_____。
答案：750。
原式=75⨯4.7+5.3⨯(3⨯25)=75⨯(4.7+5.3)=75⨯10=750。
7. 计算 28.67⨯67+3.2⨯286.7+573.4⨯0.05=____。
答案：2867。
原式=28.67⨯67+32⨯28.67+28.67⨯(20⨯0.05)=28.67⨯(67+32+1)=28.67⨯100=2867。
（二）解答题8. 计算 172.4⨯6.2+2724⨯0.38。
答案：原式=172.4⨯6.2+(1724+1000)⨯0.38=172.4⨯6.2+1724⨯0.38+1000⨯0.38=172.4⨯6.2+172.4⨯3.8+380=172.4⨯(6.2+3.8)+380=172.4⨯10+380=1724+380=2104。
(完整版)小学五年级奥数题及答案
小学五年级奥数题及答案一、工程问题1．甲乙两个水管单独开，注满一池水，分别需要20小时，16小时.丙水管单独开，排一池水要10小时，若水池没水，同时打开甲乙两水管，5小时后，再打开排水管丙，问水池注满还是要多少小时？2．修一条水渠，单独修，甲队需要20天完成，乙队需要30天完成。
如果两队合作，由于彼此施工有影响，他们的工作效率就要降低，甲队的工作效率是原来的五分之四，乙队工作效率只有原来的十分之九。
现在计划16天修完这条水渠，且要求两队合作的天数尽可能少，那么两队要合作几天？3．一件工作，甲、乙合做需4小时完成，乙、丙合做需5小时完成。
现在先请甲、丙合做2小时后，余下的乙还需做6小时完成。
乙单独做完这件工作要多少小时？解：4．一项工程，第一天甲做，第二天乙做，第三天甲做，第四天乙做，这样交替轮流做，那么恰好用整数天完工；如果第一天乙做，第二天甲做，第三天乙做，第四天甲做，这样交替轮流做，那么完工时间要比前一种多半天。
已知乙单独做这项工程需17天完成，甲单独做这项工程要多少天完成？5．师徒俩人加工同样多的零件。
当师傅完成了1/2时，徒弟完成了120个。
当师傅完成了任务时，徒弟完成了4/5这批零件共有多少个？6．一批树苗，如果分给男女生栽，平均每人栽6棵；如果单份给女生栽，平均每人栽10棵。
单份给男生栽，平均每人栽几棵？7．一个池上装有3根水管。
甲管为进水管，乙管为出水管，20分钟可将满池水放完，丙管也是出水管，30分钟可将满池水放完。
现在先打开甲管，当水池水刚溢出时，打开乙,丙两管用了18分钟放完，当打开甲管注满水是，再打开乙管，而不开丙管，多少分钟将水放完？8．某工程队需要在规定日期内完成，若由甲队去做，恰好如期完成，若乙队去做，要超过规定日期三天完成，若先由甲乙合作二天，再由乙队单独做，恰好如期完成，问规定日期为几天？9．两根同样长的蜡烛，点完一根粗蜡烛要2小时，而点完一根细蜡烛要1小时，一天晚上停电，小芳同时点燃了这两根蜡烛看书，若干分钟后来点了，小芳将两支蜡烛同时熄灭，发现粗蜡烛的长是细蜡烛的2倍，问：停电多少分钟？二．鸡兔同笼问题1．鸡与兔共100只，鸡的腿数比兔的腿数少28条，,问鸡与兔各有几只？三．数字数位问题1．把1至2005这2005个自然数依次写下来得到一个多位数123456789.....2005,这个多位数除以9余数是多少? 2．A和B是小于100的两个非零的不同自然数。
五年级奥数题：变换和操作(A)
十七变换和操作（A）年级班姓名得分一、填空题1.黑板上写着8,9,10,11,12,13,14七个数,每次任意擦去两个数,再写上这两个数的和减1.例如,擦掉9和13,要写上21.经过几次后,黑板上就会只剩下一个数,这个数是_____.2. 口袋里装有99张小纸片,上面分别写着1~99.从袋中任意摸出若干张小纸片,然后算出这些纸片上各数的和,再将这个和的后两位数写在一张新纸片上放入袋中.经过若干次这样的操作后,袋中还剩下一张纸片,这张纸片上的数是_____.3. 用1~10十个数随意排成一排.如果相邻两个数中,前面的大于后面的,就将它们变换位置.如此操作直到前面的数都小于后面的数为止.已知10在这列数中的第6位,那么最少要实行_____次交换.最多要实行_____次交换.4. 一个自然数,把它的各位数字加起来得到一个新数,称为一次变换,例如自然数5636,各位数字之和为5+6+3+6=20,对20再作这样的变换得2+0=2.可以证明进行这种变换的最后结果是将这个自然数,变成一个一位数.对数123456789101112…272829作连续变换，最终得到的一位数是_____.5. 5个自然数和为100,对这5个自然数进行如下变换,找出一个最小数加上2,找出一个最大数减2.连续进行这种变换,直至5个数不发生变化为止,最后的5个数可能是_____.6. 在黑板上写两个不同的自然数,擦去较大数,换成这两个数的差,我们称之为一次变换.比如(15,40),40-15=25,擦去40,写上25,两个数变成(15,25),对得到的两个数仍然可以继续作这样的变换,直到两个数变得相同为止,比如对(15,40)作这样的连续变换:(15,40) (15,25) (15,10) (5,10) (5,5).对(1024,111…1)作这样的连续变换，最后得到的两个相同的20个1数是_____.7. 在一块长黑板上写着450位数123456789123456789…（将123456789重复50次）.删去这个数中所有位于奇数位上的数字:再删去所得的数中所有位于奇数位上的数字:再删去…，并如此一直删下去.最后删去的数字是_____.8. 将100以内的质数从小到大排成一个数字串,依次完成以下五项工作叫做一次操作:①将左边第一个数码移到数字串的最右边；②从左到右两位一节组成若干这两位数；③划去这些两位数中的合数；④所剩的两位质数中有相同者，保留左边的一个，其余划去；⑤所余的两位质数保持数码次序又组成一个新的数字串。
小学五年级奥数题及答案解析-操作题
小学五年级奥数题及答案解析:操作题教案是教师为顺利而有效地开展教学活动，根据课程标准，教学大纲和教科书要求及学生的实际情况，以课时或课题为单位，对教学内容、教学步骤、教学方法等进行的具体设计和安排的一种实用性教学文书，包括教材简析和学生分析、教学目的、重难点、教学准备、教学过程及练习设计等，下面是由小编为大家整理的范文模板,仅供参考,欢迎大家阅读.对于任意一个自然数n，当n为奇数时，加上_1;当n为偶数时，除以2。
这算一次操作。
现在对231连续进行这种操作，在操作过程中是否可能出现1_?为什么?解：231是_的倍数，操作只有两个，一个是加_1，而_1也是_的倍数，另一个操作是除以2(一个是_倍数的偶数的一半，仍然是_的倍数)，这两个操作都无法改变得数仍然是_倍数的这一性质，即在运算过程中出现的数一定都是_的倍数，因为1_不是_的倍数，所以在题目中定义的运算里是不可能出现1_的。
如果将以上题目的231改变为任意一个_的倍数，包括0(要先加_1，即_1)和_本身，那么得数中肯定不会有1_，这个结论是可靠的。
但如果将231改变为任意一个不是_的倍数的数，比如1、2、3、343甚至更大，只要不是_的倍数，就会出现1_，比如1，会在第1_步得到1_;2会在第1_步得到1_;而34只用了_步：第1 步：34 ÷2 = _ 第2 步：_ + _1 = _8 第3 步：_8 ÷2 = 69 第4 步：69 + _1 = _0第5 步：_0 ÷2 = 95 第6 步：95 + _1 = 2_ 第7 步：2_ ÷2 = 1_ 第8 步：1_ ÷2 = 54第9 步：54 ÷2 = 27 第_ 步：27 + _1 = _8 第_ 步：_8 ÷2 = 74 第_ 步：74 ÷2 = 37第_ 步：37 + _1 = _8 第_ 步：_8 ÷2 = 79 第_ 步：79 + _1 = _ 第_ 步：_ ÷2 = 1_小学五年级奥数题及答案解析:操作题.到电脑，方便收藏和打印：。
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五年级奥数：变换和操作（A）（含答案）
一、填空题
1. 黑板上写着8,9,10,11,12,13,14七个数,每次任意擦去两个数,再写上这两个数的和减1.例如,擦掉9和13,要写上21.经过几次后,黑板上就会只剩下一个数,这个数是_____.
2. 口袋里装有99张小纸片,上面分别写着1~99.从袋中任意摸出若干张小纸片,然后算出这些纸片上各数的和,再将这个和的后两位数写在一张新纸片上放入袋中.经过若干次这样的操作后,袋中还剩下一张纸片,这张纸片上的数是_____.
3. 用1~10十个数随意排成一排.如果相邻两个数中,前面的大于后面的,就将它们变换位置.如此操作直到前面的数都小于后面的数为止.已知10在这列数中的第6位,那么最少要实行_____次交换.最多要实行_____次交换.
4. 一个自然数,把它的各位数字加起来得到一个新数,称为一次变换,例如自然数5636,各位数字之和为5+6+3+6=20,对20再作这样的变换得2+0=2.可以证明进行这种变换的最后结果是将这个自然数,变成一个一位数.
对数123456789101112…272829作连续变换,最终得到的一位数是_____.
5. 5个自然数和为100,对这5个自然数进行如下变换,找出一个最小数加上2,找出一个最大数减2.连续进行这种变换,直至5个数不发生变化为止,最后的5个数可能是_____.
6. 在黑板上写两个不同的自然数,擦去较大数,换成这两个数的差,我们称之为一次变换.比如(15,40),40-15=25,擦去40,写上25,两个数变成(15,25),对得到的两个数仍然可以继续作这样的变换,直到两个数变得相同为止,比如对(15,40)作这样的连续变换: (15,40) (15,25) (15,10) (5,10) (5,5).
对(1024,111…1)作这样的连续变换,最后得到的两个相同的
20个1
数是_____.
7. 在一块长黑板上写着450位数123456789123456789…（将123456789重复50次）.删去这个数中所有位于奇数位上的数字:再删去所得的数中所有位于奇数位上的数字:再删去…,并如此一直删下去.最后删去的数字是_____.
8. 将100以内的质数从小到大排成一个数字串,依次完成以下五项工作叫做一次操作:
①将左边第一个数码移到数字串的最右边；
②从左到右两位一节组成若干这两位数；
③划去这些两位数中的合数；
④所剩的两位质数中有相同者,保留左边的一个,其余划去；
⑤所余的两位质数保持数码次序又组成一个新的数字串。
经过1997次操作,所得的数字串是_____.
9. 一个三角形全涂上黑色,每次进行一次操作,即把全黑三角形分成四个全等的小三角形,
中间的小正三角形涂上白色,经过5次操作后,黑色部分是整个三角形的_____.
10. 口袋里装着分别写有1,2,3,…,135的红色卡片各一
张,从口袋里任意摸出若干张卡片,并算出这若干张卡片上各数的和除以17的余数,再把这个余数写在另一张黄色的卡片上放回口袋内.经过若干次这样的操作后,口袋内还剩下两张红色卡片和一张黄色卡片.已知这两张红色卡片上写的数分别是19和97.那么这张黄色卡片上写的数是_____.
二、解答题
11．请说明例1中,对1980的连续变换中一定会出现重复.对其它的数作连续变换是不是也会如此?
12. 将3 3方格纸的每一个方格添上奇数或偶数,然后进行如下操作:将每个方格里的数换成与它有公共边的几个方格里的数的和,问是否可以经过一定次数的操作,使得所有九个方格里的数都变成偶数?如果可以,需要几次?
13. 在左下图中,对任意相邻的上下或左右两格中的数字同时加1或减1算作一次操作,经过若干次操作后变为下图.问:下图A格中的数字是几?为什么?
14. 在1997⨯1997的方形棋盘上每格都装有一盏灯和一个按钮,按钮每按一次,与它同一行和同一列方格中的灯泡都改变一次状态,即由亮变不亮,不亮变亮.如果原来每盏灯都是不亮的,请说明最少需要按多少次按钮才可以使灯全部变亮?
———————————————答案——————————————————————
1. 71
所剩之数等于原来的七个数之和减6,故这个数是(8+9+10+11+12+13+14)-6=71.
2. 50
每次操作都不改变袋中所有数之和除以100的余数,所以最后一张纸片上的数等于1~99的和除以100的余数.
(1+2+…+99)÷100=
299
)
99
1(⨯
+
÷100
=4950÷100
=49⨯100+50
故这张纸片上的数是50.
3. 4次；40次.
当排列顺序为1,2,3,4,5,10,6,7,8,9时,交换次数最少,需交换4次；当排列顺序为9,8,7,6,5,10,4,3,2,1时,交换次数最多,需交换40次.
4. 3
一个整数被9除的余数等于它的各位数字之和被9除的余数,如果这个整数不是9的倍数,就可以根据这一点来确定题目要求的一位数.
(1+2+…+9)⨯3+1⨯10+2⨯10被9除余3,可见最终得到的一位数是3.
5. 20,20,20,20,20,或19,20,20,20,21
或19,19,20,21, 21.
仿例2,5个数的差距会越来越小,最后最大与最小数最多差2.最终的5个数可能是20,20,20,20,20,或者19,20,20,20,21或19,19,20,21,21.
6. 1
变换中的两个数,它们的最大公约数始终末变,是后得到的两个相同的数即为它们的最大公约数.因为1024=210,而11 (1)
20个1
没有质因子2,它们是互质的.所以最后得到的两个相同的数是1.
7. 4
事实上,在第一次删节之后.留下的皆为原数中处于偶数位
置上的数；在第二次删节之后,留下的数在原数中所处的位置可被4整除；如此等等.于是在第八次删节之后,原数中只留下处于第28⨯k =256k 号位置上的数,这样的数在所给的450位数中只有一个,即第256位数.由于256=9⨯28+4,所以该数处于第29组“123456789”中的第4个位置上.即为4.
8. 1731
第1次操作得数字串711131131737；
第2次操作得数字串11133173；
第3次操作得数字串111731；
第4次操作得数字串1173；
第5次操作得数字串1731第6次操作得数字串7311；
第7次操作得数字串3117；
第8次操作得数字串1173；
以下以4为周期循环,即4k 次操作均为1173.
1996=4⨯499,所以第1996次操作得数字串1173,因此第1997次操作得数字串1731. 9. 1024
234 每一次黑三角形个数为整个的
43,所以5次变换为4343⨯⨯4343⨯⨯43=1024243
10. 3
卡片上的数字之和除以17的余数始终不变.
(1+2+3+…+135)÷17=9180÷17=540.
(19+97)÷17=116÷17=6……14,
因为黄色卡片上的数都小于17,所以黄色卡片上的数是17-14=3.
11. 对1980的连续变换中,每个数都不大于1980+1991=3971,所以在3971步之内必定会出现重复,对其它的数作连续变换也会如此.
12. 如图,用字母a,b,c,d,e,f,g,h,I代表9个方格内的数字,0代表偶数.
a b c b+d a+e+c b+f g+c b+h a+i
d e f a+e+g d+b+h+f c+e+i d+f 0 d+f
g h i d+h g+e+i h+f a+i b+h g+c
d+f+b+h g+c+a+i b+h+d+f 0 0 0
g+c+a+i 0 g+c+a+i 0 0 0
d+f+b+h a+I+g+c b+h+d+f 0 0 0
可见经过四次操作后,所有九个方格中的数全变为偶数.
13. 每次操作都是在相邻的两格,我们将相邻的两格染上不同的颜色(如右下图),因为每次操作总是一个黑格与一个白格同时加1或减1,所以无论进行多少次操作,白格内的数字之和减去黑格内的数字之和总是常数.由原题左图知这个常数是8,再由原题右图可得(A+7)-8=8,由此解得A=9.
14. 1997次
将第一列中的每一格都按一次,则除第一列外,每格的灯都只改变一次状态,由不亮变亮.而第一列每格的灯都改变1997次状态,由不亮变亮.
如果少于1997次,则至少有一列和至少有一行没有被按过,位于这一列和这一行相交处的灯保持原状,即不亮的状态.。