。高一数学(含参不等式的解法)
含参不等式
第三讲 含参不等式一、 知识要点1.含参不等式的解法：（1）解含参数不等式：一般是对所含的参数进行恰当的分类和讨论；（2）含参二次不等式的分类标准和讨论步骤：(a)对二次项系数含有参数的一元二次不等式，要注意二次项系数为零转化为一元一次不等式的问题。
(b)对含参数的一元二次不等式，还要分0>∆、0=∆、0<∆讨论。
(c)对一元二次不等式和分式不等式转化为整式不等式后有根，且根为21,x x （或更多）但含参数，要分21x x >、21x x =、21x x <讨论。
（3）对指数、对数不等式要注意对底数分1>a 与10<<a 进行讨论。
2.不等式的恒成立问题（1）一般不等式：a x f >)(恒成立⇔a x f >min )]([ a x f <)(恒成立⇔ a x f >)(解集非空⇔a x f >max )]([ a x f <)(解集非空⇔ a x f >)(无解⇔a x f ≤max )]([ a x f <)(无解⇔ a x f ≥)(恒成立⇔a x f ≥min )]([ a x f ≤)(恒成立⇔ a x f ≥)(解集非空⇔a x f ≥max )]([ a x f ≤)(解集非空⇔ a x f ≥)(无解⇔a x f <max )]([ a x f ≤)(无解⇔(2)二次不等式（设R c b a c bx ax x f ∈++=,,,)(2）(a)0)(>x f 在R x ∈时恒成立⇔ 或 ；(b)0)(≥x f 在R x ∈时恒成立⇔ 或 ;(c)0)(<x f 在R x ∈时恒成立⇔ 或 . （注：若二次项系数含有参数，须分“0=a ”、“0≠a ”讨论）3.补充说明：a x f >)(恒成立⇔a x f >)(的解集为R ⇔ a x f ≤)(无解a x f <)(恒成立⇔a x f <)(的解集为R ⇔a x f ≥)(无解二、考点解析题型一：解含参不等式例1解关于x 的不等式)2,1(0)2()1)((≠≠>---a a x x a x 且变式1：解关于x 的不等式)(0)()(2R a a x a x ∈<--例2. 解关于x 的不等式)(12)1(R a x x a ∈>--变式2：解关于x 的不等式0)2)(2(>--ax x题型二：含参不等式与集合运算例1设R B A B A a x x B x x A =∅=≤-=>-= ,},1|2||{},1|12||{，求实数a 的值.变式1：已知集合}02|{2≤--∈=x x R x A ，}3|{+<<∈=a x a R x B 且∅=B A ，则实数a 的取值范围是题型三：不等式的恒成立问题例1若不等式03)1(4)54(22>+---+x a x a a 对一切R x ∈恒成立，求a 的取值范围变式1：设关于x 的不等式04)2(2)2(2<--+-x x x a 的解集为R ，求a 的取值范围例2若a x x >+--|5||2|恒成立，则实数a 的取值范围是____________ _________变式2：若不等式a x x ≤++-|3||4|的解集为空集，则实数a 的取值范围是三、巩固练习1.若不等式)0(02≠<++a a x ax 无解，则a 的取值范围是（ ）2121.≥-≤a a A 或 21.<a B 2121.≤≤-x C 21.≥a D2.设集合}044|{},01|{2恒成立对任意实数x mx mx R m Q m m P <-+∈=<<-=，则下列关系式中成立的是（ ）Q P A ⊂.Q P B =. P Q C ⊂. ∅=Q P D .3.已知0>a ，不等式a x x <-+-|3||4|在实数集R 上的解集不是空集，则正实数a 的取值范围是4.若不等式a x x >++-|3||4|的解集为R ，则实数a 的取值范围是5.设}25|{,},03|{},0325|{2≤<-=∅=≤++=<-+=x x B A B A ax x x B x x x A ，则实数a 的值为 6.解关于的不等式01>--x a x7解关于x 的不等式)0(02≠<-a x ax。
含参不等式的解法
含参数的一元二次不等式的解法含参数的一元二次不等式的解法与具体的一元二次不等式的解法在本质上是一致的，这类不等式可从分析两个根的大小及二次系数的正负入手去解答，但遗憾的是这类问题始终成为绝大多数学生学习的难点，此现象出现的根本原因是不清楚该如何对参数进行讨论，而参数的讨论实际上就是参数的分类，而参数该如何进行分类？下面我们通过几个例子体会一下。
一． 二次项系数为常数例1、解关于x 的不等式：0)1(2>--+m x m x解：原不等式可化为：（x-1）（x+m ）>0(两根是1和-m ，谁大？)（1）当1<-m 即m<-1时,解得：x<1或x>-m（2）当1=-m 即m=-1时,不等式化为：0122>+-x x ∴x ≠1（3）当1>-m 即m>-1时,解得：x<-m 或x>1综上，不等式的解集为： (){}m x x x m -><-<或时当1|,11(){}1|,12≠-=x x m 时当(){}1-|,13><->x m x x m 或时当例2:解关于x 的不等式：.0)2(2>+-+a x a x （不能因式分解） 解：()a a 422--=∆（方程有没有根，取决于谁？）()()R a a a 时，解集为即当32432404212+<<-<--=∆()()32432404222+=-==--=∆a a a a 或时当（i ）13324-≠-=x a 时，解得：当（ii ）13-324-≠+=x a 时，解得：当()()时或即当32432404232+>-<>--=∆a a a a 两根为()242)2(21a a a x --+-=，()242)2(22a a a x ----=. ()()242)2(242)2(22aa a x aa a x --+->----<或此时解得：综上，不等式的解集为： （1）当324324+<<-a 时，解集为R ； （2）当324-=a 时，解集为(13,-∞-)⋃(+∞-,13)； （3）当324+=a 时，解集为(13,--∞-)⋃(+∞--,13)； （4）当324-<a 或324+>a 时， 解集为(248)2(,2+---∞-a a a )⋃(+∞+-+-,248)2(2a a a )； 二．二次项系数含参数例3、解关于x 的不等式：.01)1(2<++-x a ax解：若0=a ，原不等式.101>⇔<+-⇔x x 若0<a ，原不等式ax x a x 10)1)(1(<⇔>--⇔或.1>x若0>a ，原不等式.0)1)(1(<--⇔x a x )(* 其解的情况应由a 1与1的大小关系决定，故 （1）当1=a 时，式)(*的解集为φ；（2）当1>a 时，式)(*11<<⇔x a； （3）当10<<a 时，式)(*a x 11<<⇔. 综上所述，不等式的解集为：①当0<a 时，{11><x a x x 或}；②当0=a 时，{1>x x }；③当10<<a 时，{a x x 11<<}；④当1=a 时，φ；⑤当1>a 时，{11<<x ax}.例4、解关于x 的不等式：.012<-+ax ax解：.012<-+ax ax（1）当0=a 时，.01R x ∈∴<-原式可化为（2）当0>a 时，此时a a 42+=∆>0 两根为a a a a x 2421++-=，aa a a x 2422+--=. 解得：a a a a 242+--a a a a x 242++-<< （3）当a<0时,原式可化为：012>-+ax xa a 4+=∆此时 ①当0<∆即04<<-a 时，解集为R ；②当0=∆即4-=a 时，解得：21-≠x ;③当0>∆即4-<a 时解得：或a a a a x 242+-->aa a a x 242++-< 综上，（1）当0>a 时，解集为(a a a a 242+--,a a a a 242++-)； （2）当04≤<-a 时，解集为R ；（3）当4-=a 时，解集为(21,-∞-)⋃(+∞-,21);（4）当4-<a 时，解集为(a a a a 24,2+--∞-)⋃(+∞++-,242a a a a ). 上面四个例子，尽管分别代表了四种不同的类型，但它们对参数a 都进行了讨论，看起来比较复杂，特别是对参数a 的分类，对于初学者确实是一个难点，但通过对它们解题过程的分析，我们可以发现一个规律：参数a 的分类是根据不等式中二次项系数等于零和判别式0=∆时所得到的a 的值为数轴的分点进行分类，如：解关于x 的不等式：033)1(22>++-ax x a解：033)1(22>++-ax x a )(*1012=⇒=-a a 或1-=a ；203)1(4922=⇒=⨯-⨯-=∆a a a 或2-=a ；∴当2-<a 时，012>-a 且0<∆，)(*解集为R ；当2-=a 时，012>-a 且0=∆，)(*解集为(1,∞-)⋃(+∞,1)；当12-<<-a 时，012>-a 且0>∆，)(*解集为(223123,22----∞-a a a )⋃(+∞--+-,22312322a a a )； 当1-=a 时，)(*1033<⇔>+-⇔x x ，)(*解集为(1,∞-)；当11<<-a 时，012<-a 且0>∆，)(*解集为(22312322----a a a ,22312322--+-a a a )； 当1=a 时，)(*1033->⇔>+⇔x x ，)(*解集为(+∞-,1)；当21<<a 时，012>-a 且0>∆，)(*解集为(223123,22----∞-a a a )⋃(+∞--+-,22312322a a a )； 当2=a 时，012>-a 且0=∆，)(*解集为(1,-∞-)⋃(+∞-,1)；当2>a 时，012>-a 且0<∆，)(*解集为R .综上，可知当2-<a 或2>a 时，解集为R ；当2-=a 时，(1,∞-)⋃(+∞,1)； 当12-<<-a 或21<<a 时，解集为 (223123,22----∞-a a a )⋃(+∞--+-,22312322a a a )；当1-=a 时，解集为(1,∞-)； 当11<<-a 时，)(*解集为(22312322----a a a ,22312322--+-a a a )；当1=a 时，)(*解集为(+∞-,1)；当2=a 时，解集为(1,-∞-)⋃(+∞-,1).通过此例我们知道原来解任意含参数的一元二次不等式对参数进行分类讨论时只需求出二次项系数等于零和判别式0=∆时所得到的参数的值，然后依此进行分类即可，这样这类问题便有了“通法”，都可迎刃而解了。
含参数的绝对值不等式的解法
含参数的绝对值不等式的解法含参数的绝对值不等式是高中数学中常见的一类问题，解决这类问题需要运用一些特定的方法和技巧。
本文将简要介绍含参数的绝对值不等式的解法，并通过例题进行说明，帮助读者更好地理解和掌握这类问题的解题方法。
一、绝对值不等式的基本概念在开始介绍含参数的绝对值不等式的解法之前，我们先来回顾一下绝对值不等式的基本概念。
对于任意实数x，绝对值|x|的定义如下：当x≥0时，|x|=x；当x<0时，|x|=-x。
绝对值的定义告诉我们，无论x是正数还是负数，绝对值都是非负的。
绝对值不等式则是对绝对值进行不等式的运算，即|x|<a或|x|>a，其中a为正实数。
含参数的绝对值不等式的解法与普通的绝对值不等式有一些区别，需要根据参数的取值范围来进行分类讨论。
1. 当参数的取值范围为正数时，我们可以直接根据绝对值的定义进行求解。
例如，对于不等式|x-2|<a，其中a>0，我们可以得到以下解法步骤：（1）当x-2≥0时，|x-2|=x-2，不等式变为x-2<a，解为x<a+2；（2）当x-2<0时，|x-2|=-(x-2)，不等式变为-(x-2)<a，解为x>2-a。
综合以上两种情况，得到不等式的解集为2-a<x<a+2。
2. 当参数的取值范围为负数时，同样可以根据绝对值的定义进行求解。
例如，对于不等式|x+3|<b，其中b<0，我们可以得到以下解法步骤：（1）当x+3≥0时，|x+3|=x+3，不等式变为x+3<b，解为x<b-3；（2）当x+3<0时，|x+3|=-(x+3)，不等式变为-(x+3)<b，解为x>-3-b。
综合以上两种情况，得到不等式的解集为b-3<x<-3-b。
3. 当参数的取值范围为正负混合时，我们需要分情况讨论。
例如，对于不等式|x-1|<c，其中c可以为正数也可以为负数，我们可以得到以下解法步骤：（1）当x-1≥0时，|x-1|=x-1，不等式变为x-1<c，解为x<c+1；（2）当x-1<0时，|x-1|=-(x-1)，不等式变为-(x-1)<c，解为x>1-c。
含参数不等式的解题方法与技巧(一)
含参数不等式的解题方法与技巧(一)含参数不等式的解题方法与技巧1. 确定参数的范围在解析含参数不等式时，首先需要确定参数的范围。
通过观察不等式中的条件，可以得出参数的取值范围，以便后续的推导和解题。
2. 代入法一个常用的解决含参数不等式的方法是代入法。
当不等式中的参数有特定限制时，我们可以选择代入一些特定的值进行计算，从而得到不等式的解集。
3. 分类讨论对于一些较为复杂的含参数不等式，可以进行分类讨论。
通过对参数的不同取值进行分类，可以将原问题拆分为多个简化的子问题，从而更容易找到解集。
4. 画图法对于一些几何形状相关的不等式问题，可以使用画图法来辅助解题。
根据不等式的条件，将其转化为几何图形并进行分析，可以更直观地理解问题并找到解集。
5. 推导法通过一系列的推导和变换，可以将含参数不等式转化为一种等价的形式，从而更容易求解。
在推导过程中，需要灵活运用不等式的性质和常用的等价关系。
6. 使用不等式性质不等式中存在一些常用的性质，如加法性质、乘法性质、倒数性质、平方性质等。
在解题过程中，可以运用这些性质对不等式进行简化和转换，以求得解集。
7. 求导法对于一些含参数的函数不等式，可以通过求导来研究其变化趋势。
通过求导的结果，可以判断函数的单调性和极值点，从而确定不等式的解集。
8. 极值法求解含参数不等式的另一种常用方法是使用极值法。
通过构造一个与不等式相关的函数，并通过求导和求极值来确定不等式的解集。
9. 不等式链法对于一些复杂的含参数不等式，可以通过构造不等式链来求解。
将原不等式转化为一系列含参不等式，通过对每个不等式进行推导和分析，最终得出原不等式的解集。
以上是解决含参数不等式的常用方法和技巧。
在实际解题过程中，需要根据具体问题选择合适的方法，并灵活运用不等式的性质和等价关系。
10. 反证法反证法也是解决含参数不等式的常用方法之一。
假设原不等式不成立，通过推导和分析，找出与之矛盾的条件，从而得出原不等式的解集。
解答含参不等式问题常用的几种方法
考点透视含参不等式问题较为复杂，常与导数、函数、方程等知识相结合.这类问题侧重于考查不等式的性质、简单基本函数的图象和性质、导数的性质等，对同学们的运算和分析能力有较高的要求.下面举例说明解答含参不等式问题的几种常用方法.一、判别式法判别式法主要适用于求解含参二次不等式问题.解答这类问题主要有三个步骤：第一步，根据二次不等式构造一元二次方程；第二步，运用二次方程的判别式，建立关于参数的新不等式；第三步，解新不等式，求得问题的答案.例1.若ax2-2ax+1≥0在R上恒成立，则实数a的取值范围为_____.解：当a=0时，1≥0，不等式ax2-2ax+1≥0成立；当a≠0时，{a>0，Δ≤0，解得0<a≤1；综上所述，实数a的取值范围为0≤a≤1.该二次不等式的二次项和一次项中含有参数，需分a=0和a≠0两种情况进行讨论.运用判别式法求解含参一元二次不等式问题，需先根据不等式构造一元二次函数和一元二次方程；然后根据一元二次方程的根的分布情况，建立关于判别式、根与系数、对称轴的不等式，从而求得参数的取值范围.二、分离参数法分离参数法适用于求解变量和参数可分离的不等式问题.解题时，需先判断出参数系数的正负；然后根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端含有参数、另一端含有变量的不等式；再求出含变量一边的式子的最值；最后求出参数的取值范围.例2.当x∈()1,+∞时，(e x-1-1)ln x≥a(x-1)2恒成立，则实数a的取值范围为_____.解：因为x∈()1,+∞，则x-1>0，由(e x-1-1)ln x≥a(x-1)2，可得e x-1-1x-1⋅ln xx-1≥a，即e x-1-1x-1⋅1x-1ln x≥a，则e x-1-1x-1⋅1e ln x-1ln x≥a，令f()x=e x-1x()x>0，则f′()x=()x-1e x+1x2，令g()x=()x-1e x+1，则g′()x=xe x>0，所以g()x在()0,+∞上单调递增，则g()x>g()0=0，即f′()x>0，所以f()x在()0,+∞上单调递增，则f()x>0，令h()x=ln x-x+1，则h′()x=1-xx<0，则h()x在()1,+∞上单调递减，则h()x<h()1=0，即ln x-x+1<0，则x-1>ln x，所以f()x-1>f()ln x>0，即e x-1-1x-1>eln x-1ln x>0，可得e x-1-1x-1⋅1e ln x-1ln x>1，则a≤1，解答本题，要先将不等式进行整理，使参数和变量分离；再构造出函数f()x=e x-1x()x>0，将问题转化为函数最值问题.对其求导，判断其单调性，即可求得参数的取值范围.三、函数性质法若含参不等式中含有简单基本函数，则可直接将不等式进行变形，将其构造成函数，把问题转化为f(x,a)≥0、f(x,a)<0、f(x,a)≥g(x,a)、f(x,a)<g(x,a)等函数不等式问题.再根据简单基本函数的单调性，以及导数与函数单调性之间的关系，判断出函数的单调性，即可根据函数的单调性，求得函数的最值，顺利求出问题的答案.例3.若不等式sin x-ln()x+1+e x≥1+x+ax2-13x3恒成立，则a的取值范围为_____.解：由x>-1得，sin x-ln(x+1)+e x-x-1-ax2+13x3≥0，设f(x)=sin x-ln(x+1)+e x-x-1-ax2+13x3，则g(x)=f′(x)=cos x-1x+1+e x-1-2ax+x2，则h(x)=g′(x)=-sin x+1(x+1)2+e x-2a+2x，则z(x)=h′(x)=-cos x-2(x+1)3+e x+2，z′(x)=sin x+6(x+1)4+e x，当x>-1时，z′(x)>0，则h(x)单调递增，又当x∈(-1,0)时，z(x)<0，则h(x)单调递减，当x∈(0,+∞)时，z(x)>0，则h(x)单调递增，又h(0)=2-2a，①当2-2a≥0，即1≥a时，h(0)≥0，则当x∈(-1,+∞)孙小芳35考点透视时，h (x )≥0，此时g (x )单调递增，又g (0)=0，故当x ∈(-1,0)时，g (x )<0，则f (x )单调递减，当x ∈(0,+∞)时，g (x )>0时，f (x )单调递增，所以f (x )min =f (0)，又f (0)=0，故f (x )≥0恒成立，满足题意；②当2-2a <0，即a >1时，h (0)<0，x →+∞，h (x )→+∞，故存在x 0>0，且h (x 0)=0，则当x ∈(-1,x 0)时，h (x )<0，则g (x )单调递减，当x ∈(x 0,+∞)时，h (x )>0，所以g (x )单调递增，又g (0)=0，故g (x 0)<0，x →+∞，g (x )→+∞，故存在x 1>x 0，且g (x 1)=0，所以当x ∈(-1,x 1)时，g (x )<0，则f (x )单调递减，又因为f (0)=0，所以f (x )<f (0)=0，与f (x )≥0恒成立不相符；综上所述，a ≤1.根据不等式构造函数f (x )=sin x -ln(x +1)+e x -x -1-ax 2+13x 3，通过多次求导，判断出导函数的符号，进而判断出函数的单调性，求得函数最值.求得使f (x )min ≥0成立时a 的取值范围，即可解题.四、主参换位法主参换位法，也叫反客为主法，适用于解答已知参数的范围求自变量取值范围的不等式问题.解答这类问题一般分三个步骤：第一步，将原不等式转化成关于参数的不等式；第二步，以参数为自变量，构造函数式，将问题转化为函数问题；第三步，根据函数的性质、图象讨论不等式成立的情形，建立关系即可解题.例4.已知函数f ()x =ax 2+bx -6，不等式f ()x ≤0的解集为[]-3,2.若当0≤m ≤4时，不等式mf ()x +6m <x +1恒成立，求实数x 的取值范围．解：由题意知：-3,2是方程ax 2+bx -6=0的根，且a >0，∴ìíîïï-b a=-3+2，-6a=(-3)×2，解得a =1，b =1．∴f ()x =x 2+x -6，∴mf ()x +6m <x +1可变形为()x 2+x m -x -1<0，令g ()m =()x 2+x m -x -1，∴{g (0)<0，g (4)<0，即{-x -1<0，4x 2+3x -1<0，解得ìíîx >-1，-1<x <14，-1<x <14．解答本题主要采用了主参换位法.因为已知参数m 的取值范围，故把m 当成自变量，通过主参换位，将问题转化为g ()m =()x 2+x m -x -1对任意0≤m ≤4恒成立，根据一次函数的性质，列出不等式组，即可解题．五、数形结合法当把不等式两边的式子看成两个函数式时，可根据其几何意义画出两个函数的图象，分析两个曲线间的位置，确保不等式恒成立，即可通过数形结合，求得参数的取值范围.例5.若关于x 的不等式||||kx -4-x 2-3≤3k 2+1恒成立，则k 的取值范围是_____.解：由题意可得4-x 2≥0，得-2≤x ≤2，则||||kx -4-x 2-3≤3k 2+1可转化为：||kx -4-x 23，设直线l :kx -y -3=0，上半圆C :x 2+y 2=4()y >0，即y =4-x 2，半径为r =2，||kx -4-x 2≤3表示圆C 小于或等于3，如图，设圆心（原点O ）到直线l 的距离为d ，由于圆C 上半部分上的点到直线l 的最大距离为d +r =d +2，所以d +2≤3，即d ≤1，即||0-0-3k 2+1≤1，解得k ≤-22或k ≥22，所以k 的取值范围为(]-∞,-22⋃[)22,+∞.解答本题，需挖掘代数式的几何意义，采用数形结合法，将原问题转化为使圆C 上半部分上的任意一点到直线l 的距离小于或等于3时参数的取值范围.分析直线与圆的位置关系，便可建立新不等式.由此可见，求解含参不等式问题的方法多样.但由于不等式与函数的关系紧密，且利用函数的单调性和图象容易建立不等关系式，因此函数思想是破解含参不等式问题的主要思想.（作者单位：江苏省南京市大厂高级中学）36。
高考导数：含参不等式的整数解问题
：上综 ≤a 2e<13即,），（得使，，时当 ⎩-≥⎨∃>∈-⇒≤⎧δδa 2e f(1)0(2)x>00x 0f(x)<0,<1;3f(0)<0，增递上），0（在，时当）（->->∞a a a x 1x>0f (x)=(2x+1)e 10,f(x)+f(0)<0,<1;'高考导数：含参不等式的整数解问题成都实验外国语学校：王琳鑫含参不等式的整数解个数问题，一般采用数形结合的方法来解决，主要的策略是通过构造函数，分离参数，分离函数，研究函数图像的位置关系，寻找临界状态，具体操作： (1)构造函数：通过特殊点，或单调性或函数值符号可以快速解决； (2)分离参数：将含参不等式转化为像的位置关系，寻找临界状态，求解参数的范围.(3)分离函数：通过变形将原不等式转化成形如进而研究两个函数图像的位置关系，寻找临界状态，求解参数的范围. (4)有时候也可从特殊点着手；典型例题【解析】法一：(分类讨论)法二：(分离参数).解题技巧的前提下，无解只有一个整数解需有≤<a 13f x ()<'f x ()0<-x 2≤<ea 213≥-f (2)0>f x ()0≥x 0-1<f x ()0-=-+<f a (1)10e2[,1)3 ==ek k l l 21,312 l l ,12=y ax h x ()g x ()=y x g x ()-=--=-e g g (1)1,(2)3=-=g x g 2()()3min -+∞2(,)3-∞-2(,)3g x ()=+'+g x e x x ()(23)1=y ax g x () =+=+g x e x h x ax x ()(21),()1e2[,1)3e 24[,)33-e 24[,)33-e 2[,1)3<f x 0)(<a 1=⋅+-+f x ex ax x 211)()(，故选D(斜率的计算略)变式题：【15年课标一卷12改编】 设函数，其中，若的整数解有且唯一，则实数a 的取值范围( ) A. B. C. D. 【法一】设,问题转化为的图像在直线的下方的部分只存在一个x 的值为整数，则，因此在单调递减，在单调递增 所以,过原点作图像的切线，易求得切线方程为(另一条舍去) 在同一坐标系中作出和的图像如下： 由图可知，当直线夹于之间时符合题意所以实数a 的取值范围为【法二】因为，所以的唯一整数解就是 当时，， 为满足题意，必须成立，所以 又当时，，此时必为正，只需，即可满足题意.⎣⎭⎢⎪⎡⎫e 3,ln62⎣⎭⎢⎪⎡⎫3ln6,ln21⎝⎦⎥ --⎛⎤e 3,1ln6⎝⎦⎥ --⎛⎤3ln2,ln61+>fx af x 02)()(=xf x x ln 2)()(：述所上综∈a [0,2][3,8]；2：以所；立成数整一唯在存(x)：即≤f < a x < a 8 得使,数整一唯在存 ，(x)，时x 当）2（(x)<≥>xx 0;0f 0?f -a；0：即，数整个一有只(x)<≤<a f x a 3得使(x)>x0;f -a,数整一唯在存x例3. 【17四川泸州四诊】已知函数，关于的不等式只有两个整数解，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】选A专题练习1.函数若不等式则a的取值范围是( )2.设函数则实数m的取值范围是3.在关于x2的整数，则a的取值范围是( )B. D.4.已知函数3，则a的取值范围是( )D.5.a的取值范围是6.设函数则a的取值范围是( )A.。
含参数不等式的解法(含答案)
含参数不等式的解法典题探究例1：若不等式)1(122->-x m x 对满足22≤≤-m 的所有m 都成立，求x 的范围。
例2：若不等式02)1()1(2>+-+-x m x m 的解集是R ，求m 的范围。
例3：在∆ABC 中，已知2|)(|,2cos )24(sin sin 4)(2<-++=m B f B BB B f 且π恒成立，求实数m 的范围。
例4：（1）求使不等式],0[,cos sin π∈->x x x a 恒成立的实数a 的范围。
如果把上题稍微改一点，那么答案又如何呢？请看下题： （2）求使不等式)2,0(4,cos sin ππ∈-->x x x a 恒成立的实数a 的范围。
演练方阵A 档（巩固专练）1．设函数f (x )=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥-<<-+-≤+)1(11)11(22)1()1(2x xx x x x ，已知f (a )＞1，则a 的取值范围是( )A.(－∞，－2)∪(－21，+∞) B.(－21，21) C.(－∞，－2)∪(－21，1)D.(－2，－21)∪(1，+∞)2．已知f (x )、g (x )都是奇函数，f (x )＞0的解集是(a 2，b )，g (x )＞0的解集是(22a ，2b)，则f (x )·g (x )＞0的解集是__________.3．已知关于x 的方程sin 2x +2cos x +a =0有解，则a 的取值范围是__________.4． 解不等式)0( 01)1(2≠<++-a x aa x 5. 解不等式06522>+-a ax x ，0≠a6．已知函数f (x )=x 2+px +q ，对于任意θ∈R ，有f (sin θ)≤0，且f (sin θ+2)≥2. (1)求p 、q 之间的关系式；(2)求p 的取值范围；(3)如果f (sin θ+2)的最大值是14，求p 的值.并求此时f (sin θ)的最小值.7．解不等式log a (1－x1)＞18．设函数f (x )=a x 满足条件：当x ∈(－∞，0)时，f (x )＞1；当x ∈(0，1]时，不等式f (3mx －1)＞f (1+mx －x 2)＞f (m +2)恒成立，求实数m 的取值范围.9.设124()lg,3x xa f x ++=其中a R ∈，如果(.1)x ∈-∞时，()f x 恒有意义，求a 的取值范围。
含参不等式的解法教案
一、教学目标：1. 让学生掌握含参不等式的解法，能够独立解决相关问题。
2. 培养学生的逻辑思维能力和解决实际问题的能力。
3. 通过对含参不等式的解法的学习，使学生体会数学与实际生活的联系。
二、教学内容：1. 含参不等式的定义及其性质。
2. 含参不等式的解法：图像法、代入法、不等式法等。
3. 含参不等式在实际问题中的应用。
三、教学重点与难点：1. 教学重点：含参不等式的解法及其应用。
2. 教学难点：含参不等式解法的选择和运用。
四、教学方法：1. 采用讲授法，讲解含参不等式的定义、性质和解法。
2. 利用案例分析法，分析含参不等式在实际问题中的应用。
3. 组织学生进行小组讨论和练习，巩固所学知识。
五、教学过程：1. 引入：通过生活中的实例，引导学生关注含参不等式的问题。
2. 讲解：讲解含参不等式的定义、性质和解法。
3. 案例分析：分析含参不等式在实际问题中的应用。
4. 练习：布置相关的练习题，让学生巩固所学知识。
5. 总结：对本节课的内容进行总结，强调重点和难点。
6. 作业布置：布置适量的作业，巩固所学知识。
六、教学评价：1. 课堂表现：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答情况，了解学生的学习兴趣和积极性。
2. 练习完成情况：检查学生练习题的完成质量，评估学生对含参不等式解法的掌握程度。
3. 小组讨论：评估学生在小组讨论中的表现，包括合作意识、交流能力和解决问题能力。
七、教学资源：1. PPT课件：制作含参不等式解法的PPT课件，用于讲解和展示相关内容。
2. 练习题：准备适量的练习题，用于巩固学生对含参不等式解法的掌握。
3. 案例素材：收集一些与含参不等式相关的实际问题，用于案例分析。
八、教学进度安排：1. 第一课时：讲解含参不等式的定义、性质和解法。
2. 第二课时：分析含参不等式在实际问题中的应用，进行案例分析。
3. 第三课时：进行练习和总结，布置作业。
九、课后反思：1. 回顾本节课的教学内容，评估学生对含参不等式解法的掌握情况。
简化含参不等式问题的解法
简化含参不等式问题的解法段彩云(甘肃省庆阳市宁县职业中等专业学校㊀７４５２００)摘㊀要:含参数不等式的求解问题ꎬ是各类考试中常见的一类问题.由于这类问题中ꎬ字母混杂ꎬ限制条件繁多而具有隐蔽性ꎬ往往使解题方向不明ꎬ解法繁琐ꎬ不易解正确ꎬ更难解全.本文针对以上困难ꎬ给出几种简化这类问题的求解方法.关键词:高中数学ꎻ含参不等式ꎻ解题方向中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２０)１９－００２５－０２收稿日期:２０２０－０４－０５作者简介:段彩云(１９６６.９－)ꎬ女ꎬ甘肃人ꎬ本科ꎬ高级教师ꎬ从事高中数学教学研究.㊀㊀一㊁化为二次函数例１㊀关于ｘ的不等式ｋ(ｋ－１)ｘ＋８ｋ＋１>０当ｋ是任意实数时恒成立ꎬ求实数ｘ的取值范围.解㊀将不等式整理为关于ｋ的不等式.ｘｋ２－(ｘ－８)ｋ＋１>０.由ｋɪＲ时ꎬ上面不等式恒成立ꎬ可知相应二次函数ｆ(ｋ)＝ｘｋ２－(ｘ－８)ｋ＋１的图象应在横轴上方ꎬ故有ｘ>０ꎬΔ＝(ｘ－８)２－４ｘ<０ꎬ{解得４<ｘ<１６.点评㊀若本例直接求解ｘꎬ则要分三类讨论ꎬ需求较复杂的函数值域问题ꎬ计算量很大ꎬ而本例解法中ꎬ巧妙变更主元ꎬ化为熟知的二次不等式恒成立问题的形式ꎬ再用相应的二次函数图象位置特征ꎬ解法自然而方便.㊀㊀二㊁化为一次函数例２㊀设不等式２ｘ－１>ｍ(ｘ２－１)当｜ｍ｜ɤ２时恒成立ꎬ求ｘ的取值范围.解㊀首先将不等式整理成为关于ｍ的不等式(ｘ２－１)ｍ＋(１－２ｘ)<０.相应函数ｆ(ｍ)＝(ｘ２－１)ｍ＋(１－２ｘ)(｜ｍ｜ɤ２)的图象是一条线段ꎬ要使这条线段在横轴的下方ꎬ只要有ｆ(２)<０ꎬｆ(－２)<０ꎬ{由此得到２ｘ２－２ｘ－１<０ꎬ２ｘ２＋２ｘ－３>０.{因此求出ｘ的取值范围应为(－１＋７２ꎬ１＋３２).点评㊀对于例２的题目ꎬ如果直接求解ｘꎬ需要极其繁杂的解题讨论过程ꎬ如果变更主元ꎬ求出ｍꎬ也需要分多类讨论求解.而该例解法中采用了化为极简单的一次函数图象问题ꎬ其效果既直观理解又显简单化.㊀㊀三㊁数形结合例３㊀当不等式ｔ２－ｍｔ＋２ｍ－２<０ꎬｔɪ[０ꎬ１]时恒成立ꎬ求实数ｍ的取值范围.解㊀将不等式分项整理为ｍ(ｔ－２)>ｔ２－２.视该不等式的两端分别是两个函数ꎬ记ｙ１＝ｍ(ｔ－２)ꎬｙ２＝ｔ２－２ꎬｔɪ[０ꎬ１].在同一坐标中画出两个函数图象ꎬｙ１的图象是过点(２ꎬ０)ꎬ斜率为ｍ的线段ꎬｙ２的图象是抛物线的一段.要使ｙ１>ｙ２ꎬ只要使ｙ１的图象在ｙ２的图象的上方.画出两个图象可以看出ꎬ当ｙ１的斜率ｍ<１时ꎬ恒有ｙ１>ｙ２ꎬ从而得到ｍ的取值范围是(－ɕꎬ１).点评㊀本例题中ꎬ将不等式分解为一次函数和二次函数这两个熟知的函数ꎬ结合一次函数和二次函数图象的位置关系ꎬ不算而解ꎬ极其简便.㊀㊀四㊁分离变量例４㊀若不等式ｔ２－ｍｔ＋２ｍ－２>０ꎬ当ｔɪ[０ꎬ１]时恒成立ꎬ求实数ｍ的取值范围.解㊀关于ｍ整理成为(２－ｔ)ｍ>２－ｔ２ꎬ由ｔɪ[０ꎬ１]ꎬ可知２－ｔ>０ꎬ从而分离出参数ｍꎬｍ>２－ｔ２２－ｔ(１)要使(１)式恒成立ꎬ只需ｍ大于右端式子的最大值.将右端分式分解ꎬ化为２－ｔ２２－ｔ＝－[(２－ｔ)＋２２－ｔ]＋４ɤ－５２２(２－ｔ) ２２－ｔ＋４＝４－２２.因此ｍ的取值范围应为ｍ>４－２２.点评㊀本例题中ꎬ将参数ｍ分离出ꎬ化为ｍ>ｆ(ｔ)的形式ꎬ只需再求出ｆ(ｔ)的最大值Ｐꎬ则当ｍ>Ｐ时ꎬ不等式恒成立.由此可以得知ꎬ分离参数以后ꎬ只需求出目标函数的最值即可.㊀㊀五㊁换元化简当表达式繁杂或者条件与结论关系不明确时ꎬ可以考虑采用换元方法ꎬ使题目变得简化ꎬ关系明显ꎬ便于求解问题.例５㊀设对所有实数ｘꎬ不等式ｘ２ｌｏｇ２４(ａ＋１)ａ＋２ｘｌｏｇ２２ａａ＋１＋ｌｏｇ２(ａ＋１)２４ａ２>０恒成立ꎬ求ａ的取值范围.略解㊀设ｕ＝ｌｏｇ２ａ＋１２ａꎬ则不等式可以化为３ｘ２＋[(ｘ－１)２＋１]ｕ>０.上式对所有实数ｘ都成立的充要条件是ｕ>０.再由ｌｏｇ２ａ＋１２ａ>０ꎬ易求得０<ａ<１.点评㊀依题意表达式多而繁ꎬ但各系数中实际都含有ｌｏｇ２ａ＋１２ａꎬ可以采用换元方法简化问题.㊀㊀参考文献:[１]吴叹.摭谈含参不等式恒成立问题[Ｊ].中学数学教学参考ꎬ２０１９(１５):３９－４０.[２]黄雄林.从一道２０１８年全国高考题说起 函数与含参不等式问题的求解策略[Ｊ].福建中学数学ꎬ２０１９(０２):４３－４４.[３]刘元德.含参不等式问题的三种求解策略[Ｊ].语数外学习(高中版中旬)ꎬ２０１８(０１):２９.[４]焦海贵.从一道试题看含参不等式证明的通性通法[Ｊ].高中数学教与学ꎬ２０１８(２３):３６－３７.[５]谭忠选.含参不等式恒成立问题的三种解法对比[Ｊ].中学生数学ꎬ２０１９(２１):６１.[责任编辑:李㊀璟]构造函数在高中数学解题中的应用周晓琳(江苏省南通市天星湖中学㊀２２６００９)摘㊀要:高中阶段ꎬ数学学科是一门基础学科ꎬ与初中数学相比ꎬ学科知识难度明显增加ꎬ因而实际教学中ꎬ如何高效解答习题是非常重要的.高中数学解题中ꎬ构造函数法是一种比较常见的解题方法ꎬ其能够转化抽象数学问题ꎬ减小解题难度ꎬ利于激发学生数学解题兴趣ꎬ同时提高解题效率.基于此ꎬ针对高中数学解题中构造函数法的应用ꎬ本文进行了简单地论述.关键词:构造函数ꎻ高中数学解题ꎻ应用中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２０)１９－００２６－０２收稿日期:２０２０－０４－０５作者简介:周晓琳(１９８４.４－)ꎬ江苏省南通人ꎬ从事高中数学教学研究.基金项目:数学文化渗透的高中校本课程研究ꎬＧＨ２０１８１４６.㊀㊀一㊁概述构造函数法类似于构造方程法ꎬ高中数学教学中函数知识与方程间联系紧密ꎬ合理应用构造函数法ꎬ利于培养并提高学生数学解题能力ꎬ特别是在几何与代数类型数学题干信息求解中有明显的适用性.数学题目实际求解过程中ꎬ将数学问题转换为形式简单的函数ꎬ以此简化求解过程ꎬ准确解答题目ꎬ为学生思维创造性发展创造条件.数学解题过程中ꎬ要注意所构造的函数必须要满足以下内容:(１)函数与原题联系紧密.(２)创建的函数能够确保便于应用常规解题方法解答题目.(３)值域㊁单调性㊁奇偶性及周期性等方面ꎬ函数要符合题干要求ꎬ提高函数６２。
高一数学含参数不等式的解法
解: 原不等式可化为:
(x a)( x a2 ) 0
当a 0时,则a a2,原不等式的解集为 {x | x a或x a2}
当a 0时,则a a2 0,原不等式的解集为 {x | x 0}
当0 a 1时,则a2 a,原不等式的解集为 {x | x a2或x a}
若b 0,则原不等式的解集为
若b 0， 则原不等式的解集为R
综上所述原不等式的解集为：
当a 0时， 解集为{x | x b}
a 当a 0时， 解集为{x | x b}
a
当a 0且b 0时， 解集为
当a 0且b 0时， 解集为R
例2．解关于x的不等式
x2 (a a2 )x a3 0(a R)
|
a 7
x
a 8
(2) ax2 (2a 1)x 2 0
当a
0时，
解集为x
|
1 a
x
2
当a 0时， 解集为x | x | x 2
当0
a
1 2
时，
解集为x
|
x
1 a
或x
2
当a 1 时， 解集为x | x 2
log
a
(1
1 x
)
1
分析： 因为a作为对数的底数，故a的取值为 a 1或0 a 1
所以要分成 a 1或0 a 1
两种情况进行讨论．
解：
原不等式可化为：
log
a
(1
1 x
一元一次含参不等式的解法
一元一次含参不等式的解法一元一次含参不等式是指不等式中含有一个未知数和一个或多个常数参数的不等式。
其解法主要分为如下几种：1. 移项法移项法是一种常见的解一元一次含参不等式的方法。
其基本思想是将含有未知数的项移到一边，将常数项移到另一边，最终得到未知数的取值范围。
例如，对于不等式 $ax+b>c$，我们可以将常数项 $c$ 移到左侧，得到$ax+b-c>0$，然后将$ax$ 移到右侧，得到$x>\frac{c-b}{a}$。
因此，该不等式的解为 $x>\frac{c-b}{a}$。
2. 分段讨论法分段讨论法是一种常用的解一元一次含参不等式的方法。
其基本思想是根据参数的取值范围，将不等式分成若干个子区间，然后在每个子区间内求解不等式。
例如，对于不等式$ax^2+bx+c>0$，我们可以分别讨论$a>0$ 和$a<0$ 两种情况。
当$a>0$ 时，该不等式的解为$x<\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ 或$x>\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$；当 $a<0$ 时，该不等式的解为 $\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}<x<\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$。
因此，该不等式的解为$a>0$ 时$x<\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ 或$x>\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，$a<0$ 时$\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}<x<\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$。
3. 辅助函数法辅助函数法是一种常用的解一元一次含参不等式的方法。
其基本思想是构造一个辅助函数，使得该函数的取值范围与未知数的取值范围相同，然后根据函数的性质求解不等式。
含参不等式组的解法
含参不等式组的解法在数学中，含参不等式组是一类常见的数学问题。
含参不等式组中含有未知数，并且不等式中的不等式常数（即系数和常数项）均含有参数，因此需要通过对参数的不同取值进行分析，得到不等式组的解。
在解决含参不等式组的问题时，需要掌握一些重要的技巧和方法，下面我们就来详细了解一下。
首先，对于含参不等式组，我们需要对其进行分类讨论。
一般情况下，含参不等式组可以分为两类：一类是一元不等式组，即只含有一个未知数的不等式组，另一类是多元不等式组，即含有多个未知数的不等式组。
对于不同类型的含参不等式组，需要采用不同的方法进行解答。
对于一元不等式组，我们常用的解题方法有以下几种：代数法、图像法、函数法、极值法等。
其中代数法是最常用的方法。
我们可以通过变量替换、置换、解方程等代数方法来找到解题的思路。
对于一元不等式组，我们还可以通过图像法来得到解的范围。
将不等式中的各项表示成两条直线，然后找到两条直线的交点，直线上方的部分即为不等式解的范围。
函数法是在原函数图像变形后的函数图像进行判断解的范围，其计算方法较为简单；而极值法则是通过对函数的一阶导数和二阶导数进行判定，得出函数的极值，从而确定不等式的解。
对于多元不等式组，我们需要采用代数法、几何法、线性规划、拉格朗日乘数法等方法进行解决。
代数法仍然是最常用的方法。
我们需要采用类似于一元不等式组的代数方法，通过消元、替换、解方程等技巧，将多元不等式组转化为一元或二元不等式组，进而得到其解的范围。
几何法则是通过对多元不等式组中各项函数的几何特性进行分析。
利用二维平面或三维空间中的图像，可以清晰地表示出函数之间的关系，从而得到不等式的解。
线性规划是一种常用的数学方法，它可以找到满足约束条件的最优解，常用于工程、经济、管理等领域。
拉格朗日乘数法则是通过对函数的一阶偏导数等条件进行分析，并添加拉格朗日乘数来解决多元不等式组的问题。
总之，解决含参不等式组的问题需要掌握一些基本的解题方法和技巧，同时需要对数学知识有一定的理解和掌握。
含参不等式的解法
含参数的一元二次不等式的解法含参数的一元二次不等式的解法与具体的一元二次不等式的解法在本质上是一致的，这类不等式可从分析两个根的大小及二次系数的正负入手去解答，但遗憾的是这类问题始终成为绝大多数学生学习的难点，此现象出现的根本原因是不清楚该如何对参数进行讨论，而参数的讨论实际上就是参数的分类，而参数该如何进行分类？下面我们通过几个例子体会一下。
一． 二次项系数为常数例1、解关于x 的不等式：0)1(2>--+m x m x 解：原不等式可化为：（x-1）（x+m ）>0 (两根是1和-m ，谁大？)（1）当1<-m 即m<-1时,解得：x<1或x>-m（2）当1=-m 即m=-1时,不等式化为：0122>+-x x ∴x ≠1（3）当1>-m 即m>-1时,解得：x<-m 或x>1综上，不等式的解集为：(){}m x x x m -><-<或时当1|,11 (){}1|,12≠-=x x m 时当(){}1-|,13><->x m x x m 或时当例2:解关于x 的不等式：.0)2(2>+-+a x a x （不能因式分解） 解：()a a 422--=∆ （方程有没有根，取决于谁？）()()R a a a 时，解集为即当32432404212+<<-<--=∆()()32432404222+=-==--=∆a a a a 或时当（i ）13324-≠-=x a 时，解得：当（ii ）13-324-≠+=x a 时，解得：当()()时或即当32432404232+>-<>--=∆a a a a 两根为()242)2(21a a a x --+-=，()242)2(22a a a x ----=. ()()242)2(242)2(22a a a x aa a x --+->----<或此时解得：综上，不等式的解集为： （1）当324324+<<-a 时，解集为R ； （2）当324-=a 时，解集为(13,-∞-)⋃(+∞-,13)； （3）当324+=a 时，解集为(13,--∞-)⋃(+∞--,13)； （4）当324-<a 或324+>a 时， 解集为(248)2(,2+---∞-a a a )⋃(+∞+-+-,248)2(2a a a )； 二．二次项系数含参数例3、解关于x 的不等式：.01)1(2<++-x a ax解：若0=a ，原不等式.101>⇔<+-⇔x x 若0<a ，原不等式ax x a x 10)1)(1(<⇔>--⇔或.1>x若0>a ，原不等式.0)1)(1(<--⇔x ax )(* 其解的情况应由a 1与1的大小关系决定，故 （1）当1=a 时，式)(*的解集为φ；（2）当1>a 时，式)(*11<<⇔x a； （3）当10<<a 时，式)(*a x 11<<⇔. 综上所述，不等式的解集为：①当0<a 时，{11><x a x x 或}；②当0=a 时，{1>x x }；③当10<<a 时，{a x x 11<<}；④当1=a 时，φ；⑤当1>a 时，{11<<x ax}.例4、解关于x 的不等式：.012<-+ax ax解：.012<-+ax ax（1）当0=a 时，.01R x ∈∴<-原式可化为（2）当0>a 时， 此时 a a 42+=∆>0 两根为a a a a x 2421++-=，aa a a x 2422+--=. 解得：a a a a 242+--aa a a x 242++-<< （3）当a<0时, 原式可化为：012>-+ax xa a 4+=∆此时 ①当0<∆即04<<-a 时，解集为R ；②当0=∆即4-=a 时，解得：21-≠x ;③当0>∆即4-<a 时解得：或a a a a x 242+-->aa a a x 242++-< 综上，（1）当0>a 时，解集为(a a a a 242+--,a a a a 242++-)； （2）当04≤<-a 时，解集为R ；（3）当4-=a 时，解集为(21,-∞-)⋃(+∞-,21);（4）当4-<a 时，解集为(a a a a 24,2+--∞-)⋃(+∞++-,242a a a a ). 上面四个例子，尽管分别代表了四种不同的类型，但它们对参数a 都进行了讨论，看起来比较复杂，特别是对参数a 的分类，对于初学者确实是一个难点，但通过对它们解题过程的分析，我们可以发现一个规律：参数a 的分类是根据不等式中二次项系数等于零和判别式0=∆时所得到的a 的值为数轴的分点进行分类，如：解关于x 的不等式：033)1(22>++-ax x a解：033)1(22>++-ax x a )(*1012=⇒=-a a 或1-=a ；203)1(4922=⇒=⨯-⨯-=∆a a a 或2-=a ；∴当2-<a 时，012>-a 且0<∆，)(*解集为R ；当2-=a 时，012>-a 且0=∆，)(*解集为(1,∞-)⋃(+∞,1)；当12-<<-a 时，012>-a 且0>∆，)(*解集为(223123,22----∞-a a a )⋃(+∞--+-,22312322a a a )； 当1-=a 时，)(*1033<⇔>+-⇔x x ，)(*解集为(1,∞-)；当11<<-a 时，012<-a 且0>∆，)(*解集为(22312322----a a a ,22312322--+-a a a )； 当1=a 时，)(*1033->⇔>+⇔x x ，)(*解集为(+∞-,1)；当21<<a 时，012>-a 且0>∆，)(*解集为(223123,22----∞-a a a )⋃(+∞--+-,22312322a a a )； 当2=a 时，012>-a 且0=∆，)(*解集为(1,-∞-)⋃(+∞-,1)；当2>a 时，012>-a 且0<∆，)(*解集为R .综上，可知当2-<a 或2>a 时，解集为R ；当2-=a 时，(1,∞-)⋃(+∞,1)； 当12-<<-a 或21<<a 时，解集为 (223123,22----∞-a a a )⋃(+∞--+-,22312322a a a )；当1-=a 时，解集为(1,∞-)； 当11<<-a 时，)(*解集为(22312322----a a a ,22312322--+-a a a )；当1=a 时，)(*解集为(+∞-,1)；当2=a 时，解集为(1,-∞-)⋃(+∞-,1).通过此例我们知道原来解任意含参数的一元二次不等式对参数进行分类讨论时只需求出二次项系数等于零和判别式0=∆时所得到的参数的值，然后依此进行分类即可，这样这类问题便有了“通法”，都可迎刃而解了。
含参绝对值不等式的解法
含参绝对值不等式的解法稿子一嗨，亲爱的小伙伴们！今天咱们来聊聊含参绝对值不等式的解法哟！你们知道吗，这含参绝对值不等式就像个调皮的小精灵，有时候会把咱们弄得晕头转向。
但别怕，咱们一起来征服它！比如说，遇到那种最简单的形式，像 |x a| b 这种。
咱们就可以把它拆分成 b x a b ，然后一步步算出 x 的范围。
是不是感觉还不算太难？可要是参数多起来，那可就有点头疼啦！不过没关系，咱们要冷静，仔细分析。
比如说 |ax + b| c 这种，咱们得先考虑 a 的正负。
如果 a 是正的，那就好办啦，直接像刚刚那样拆开就行。
但要是 a 是负的呢？那咱们得变个号，变成 c ax + b c ，然后再计算。
还有的时候，会碰到像 |x a| > b 这样的，这时候就要分成 x a b 或者 x a > b 两种情况来算。
哎呀，说起来好像有点复杂，但只要咱们多做几道题，多练练手，就会发现其实也没那么可怕啦！加油哟，小伙伴们，相信咱们一定能搞定含参绝对值不等式这个小调皮！稿子二嘿，朋友们！今天咱们来好好唠唠含参绝对值不等式的解法！一提到这个，是不是有的小伙伴脑袋都大啦？别慌别慌，听我慢慢说。
比如说有个不等式 |2x 3| 5 ，那咱们就可以把它想成 2x 3 在 5 和 5 之间，也就是 5 2x 3 5 ，解出来就是 1 x 4 ，是不是还挺简单的？但要是变成 |ax + b| c ，这里面多了个参数 a ，那就得小心啦。
要是 a 大于 0 ，那直接解 c ax + b c 就行。
可要是 a 小于0 呢？这时候得变号哟，变成 c (ax + b) c ，然后再去解。
再比如说 |x a| > b ，这就得分成两种情况，一种是 x ab ，另一种是 x a > b ，分别解出来，再把结果综合一下。
有时候参数会藏得很深，这就需要我们有一双火眼金睛，把它找出来，然后按照规则去处理。
解含参绝对值不等式就像是一场冒险，虽然会遇到一些小困难，但只要我们勇敢向前，多思考，多尝试，就一定能找到宝藏，也就是正确的答案！大家加油哟，相信自己是最棒的！。
含参不等式解法
例2.解关于x 的不等式：x 2-ax-2a 2＜0例3.解关于x 的不等式：2a x a x --＜0(a ∈R)例4.解关于x 的不等式：2)1(--x x a ＞1 (a ＞0)例5.解关于x 的不等式：22---x x x a ＞0练习：均值不等式的解法：5.若实数x,y 满足11122=+yx ，则222y x +有（ ） A.最大值223+ B. 最小值223+ C. 最小值6 D.最小值610.若14<<-x ，则2222)(2-+-=x x x x f 有（ ） A.最小值1 B. 最大值1 C. 最小值-1 D.最大值-113.函数1)(+=x x x f 的最大值为（ ） A.52 B. 21 C. 22 D. 1 18.若0>x ，则xx 2+的最小值为 （1）已知0,0>>b a ，且14=+b a ，求ab 的最大值；（2）已知2>x ，求24-+x x 的最小值；（3）已知0,0>>y x ，且1=+y x ，求y x 94+的最小值.1． 凑系数当40<<x 时，求的最大值)28(x x y -=。
2． 凑项。
当 ,45<x 求函数54124)(-+-=x x x f 的最大值3． 拆项。
求)1(,11072-≠+++=x x x x y 的值域。
4． 整体代换（遇到1了）已知a>0, b>0, b a t b a 11,12+==+求的最小值。
5． 换元法 求函数522++=x x y 的最大值6． 试着取平方看看： 求函数)2521(,2512<<-+-=x x x y 的最大值。
【练习】1． 若,20<<x 求)36(x x y -=的最大值。
2． 求函数)3(,31>+-=x x x y 的最小值。
3． 求函数)1(,182>-+=x x x y 的最小值。
含参不等式的解法教案
含参不等式的解法教案一、教学目标1. 让学生掌握含参不等式的基本概念和解法。
2. 培养学生运用含参不等式解决实际问题的能力。
3. 提高学生分析问题和解决问题的能力。
二、教学内容1. 含参不等式的定义及分类。
2. 含参不等式的解法：图像法、代数法、不等式组法。
3. 含参不等式在实际问题中的应用。
三、教学重点与难点1. 重点：含参不等式的解法及其应用。
2. 难点：含参不等式解法的灵活运用。
四、教学方法与手段1. 采用案例分析法、讨论法、实践教学法等多种教学方法。
2. 使用多媒体课件、黑板、教具等教学手段辅助教学。
五、教学过程1. 导入：通过生活实例引入含参不等式的概念，激发学生兴趣。
2. 讲解：讲解含参不等式的定义、分类和解法。
3. 案例分析：分析含参不等式在实际问题中的应用，引导学生学会解决问题。
4. 练习：布置练习题，让学生巩固所学知识。
5. 总结：对本节课内容进行总结，强调重点和难点。
6. 作业布置：布置课后作业，巩固所学知识。
六、教学活动设计1. 课堂互动：通过提问、讨论等方式，让学生积极参与课堂，提高课堂氛围。
2. 小组合作：分组练习含参不等式的解法，培养学生的团队协作能力。
3. 课后实践：布置实践性作业，让学生将所学知识应用于实际问题中。
七、教学评价1. 课堂表现：评价学生在课堂上的参与程度、提问回答等情况。
2. 练习作业：评价学生课后作业的完成情况，检查掌握程度。
3. 实践成果：评价学生在实际问题中的应用能力，展示成果。
八、教学反思1. 总结本节课的教学效果，反思教学方法的适用性。
2. 针对学生的掌握情况，调整教学策略，提高教学效果。
3. 搜集学生反馈意见，不断优化教学内容和方法。
九、教学拓展1. 探讨含参不等式与实际生活中的联系，引导学生关注数学在生活中的应用。
2. 介绍含参不等式的相关研究动态和最新成果，激发学生的学习兴趣。
3. 推荐相关的学习资料，引导学生开展课外学习。
十、教学时间表1. 第1-2课时：介绍含参不等式的定义、分类和解法。
含参分式不等式的解法
含参分式不等式的解法含参分式不等式，这听起来就像数学中的一块“硬骨头”，但是别担心，今天咱们就轻松聊聊，绝对让你觉得这事儿没那么复杂。
你知道的，生活中就像做饭，调味料用得对了，味道自然就好。
含参分式不等式的核心就是那些“分母”里有变数的表达式，它们像一个个小魔法师，时不时地变换着自己的形态。
想象一下，你在河边钓鱼，突然一条大鱼游了过来，你得快速反应，这就是你对分式不等式的处理。
就拿一个简单的例子说吧。
假设我们有一个不等式，看起来像是(frac{x+2{x1 > 0)，这时候首先要注意的是分母不能为零，简直是个“红灯区”，必须绕过去。
把 (x1=0) 解出来，得到 (x=1)，这时候就得小心了，1这个数要在后面特别标记好，像是给自己打个警告牌。
我们就要看看这个不等式到底在什么情况下成立。
想象一下，咱们可以把数轴拿出来，标记一下关键点，分成几段。
然后，我们就得在每一段上试试“水温”。
比方说，如果我们把x 选在小于1的地方，比如0，带进不等式，结果是正数，咱们可以大声欢呼！换个地方，比如2，带进去后发现结果也是正数。
哈哈，真是稳稳的幸福！可是，别忘了，虽然 x=1 的时候不等式是个“空谈”，但它两边的值也得是我们不等式的“通行证”，一旦碰到分母为零的情况，立马就得停下来。
这就像你在公路上开车，碰到红灯，必须停车，绝对不能闯红灯。
含参分式不等式还有个妙处，那就是它们可能有不同的解集。
想象一下，你在聚会上，看到一群老朋友，每个人都有自己的故事，有的开朗，有的内向。
我们处理这些不等式，就像是在听不同的故事。
每个故事的结局都可能不一样，但它们都有一个共同点：要经过“检验”。
对不等式来说，检验就是看数值代入的结果。
别着急，接下来的部分更有趣。
举个更复杂的例子，假设你碰到的是 (frac{x^2 4{x + 1 < 0)。
这可就考验你的“反应能力”了！首先得把分子分解成((x2)(x+2))，这下子可劲儿发挥了！同样，把分母的“状态”也搞清楚，绝对不能有零，得仔细处理。