第2讲随机事件的概率-概率统计

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第二章随机事件与概率

古典概率
1、古典概型（等可能性概型）
（1）试验结果只有有限个；（2）每个结果出现的可能性相同。如抛一颗骰子，出现的结果为{1点，2点…，6点} 共有6个结果，每个结果出现的可能性都是1/6，因此这个试验就是古典概型.
2、概率的古典定义若互斥完备群由有限的n个基本事件构成，而事件A包含m个基本事件，则事件A发生的概率为
（一）条件概率
已知事件A发生的条件下，事件B发生的概率称为 A条件下B的条件概率，记作P(B|A)
【例13 】设袋中有3个白球，2个红球，现从袋中任意抽取两次，每次取一个，取后不放回，已知第一次取到红球，求第二次也取到红球的概率
设A：第一次取到红球, B：第二次取到红球
P ( B | A) 1
2、对立事件加法证： A A Φ, A A Ω
P ( A) 1 P ( A).
【例12】 20片药片中,有黄连素15片,穿心莲5片, 随机抽取3片, 求其中至少有1片穿心莲的概率。解：设 Ai = {任取3片中有i片穿心莲}，i=0,1,2,3
B={3片中至少有1片穿心莲} 3 0 C15C5 P( B) 1 P( A0 ) 1 3 1 0.3991 0.6009 C20 3、一般加法 A,B任意,P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)
【例11】 20片药片中,有黄连素15片,穿心莲5 片, 随机抽取3片, 求其中至少有2片穿心莲的概率。解：设 Ai ={任取3片中有i片穿心莲}，i=0,1,2,3
B={3片中至少有2片穿心莲} 则 B A2 A3 ，故 P ( B) P( A2 A3 ) P( A2 ) P( A3 ) 1 2 0 3 C15 C5 C15 C5 0.1404 3 3 C 20 C 20

工程数学_概率统计简明教程_第二章_随机事件

成一件事情有n 个步骤，第 i 个
步骤中有 mi 种具体的方法，则完成这件事情 n 共有 m

i 1
i
种不同的方法
选排列从 n 个不同的元素中，任取 m 个
(不放回地）按一定次序排成一列，不同的排法共有
Pnm n(n 1)( n 2) (n m 1)
等可能性
每次试验中，每一种可能结果发生的可能性相同，即
1 P( A1 ) P( A2 ) P( An ) n Ai i , i 1,2,, n 其中
古典概型的计算公式
确定试验的基本事件总数
设试验结果共有n个,即基本事件ω1，ω2，...， ωn ，而且这些事件的发生具有相同的可能性
例
已知P(A)=0.3， P(B)=0.6,试在下列两
种情形下分别求出P(A-B)与P(B-A)
(1) 事件A,B互不相容 (2) 事件A,B有包含关系
解
(1) 由于 AB ,因此 A B A, B A B
P( A B) P( A) 0.3 P( B A) P( B) 0.6
次试验，事件Ａ发生的频率 m/n，随着试验次
数n的增大而稳定地在某个常数 p附近摆动,那么
称p为事件Ａ的概率
P( A) p
当试验次数足够大时，可以用事件A发生的频率近似的代替事件A的概率
排列组合有关知识复习
加法原理：完成一件事情有n 类方法，第 i 类
方法中有 mi 种具体的方法，则完成这件事情 n 共有 m
当人数为 50 时， {生日“无重复”} 的概率为：0.03
古典概率的计算：抽签
10个学生抽签的方式分配3张音乐会入场券，抽取 10张外观相同的纸签，其中3张代表入场券.求 A={第五个学生抽到入场券}的概率。

2概率统计第二讲

∑
k ≥1
pk＝1.
三、一维离散型r.v的几个常用分布一维离散型的几个常用分布
1. 退化分布单点分布) 退化分布(单点分布单点分布 X～P{X＝a}＝1，其中为常数。～为常数。＝＝，其中a为常数 2. (0－1)分布两点分布－分布两点分布) 分布(两点分布 X～P{X＝k}＝pk(1－p)1－k, (0<p<1) k＝0，1 ～＝＝－－＝， 3. 几何分布 X～P{X＝k}＝ (1－p)k－1 p, (0<p<1) k＝1, 2, … ～＝＝－－＝ 4. 二项分布二项分布B(n, p) －－ X～P{X＝k}＝ Ck pk(1－p)n－k, ～＝＝ n (0<p<1) k＝0, 1, 2, …, n ＝
3. [04(一)(三)(四)一(6)] 设r.v.X服从参数为λ的指数分布则服从参数为λ 一三四一服从参数为的指数分布,
P { X > DX } = _____ .
4. [98(三)(四)二(5)] 设F1(x)与F2(x)分别为 r.v.X1与X2的三四二与分别为分布函数, 为使F(x)=a F1(x)−b F2(x)是某一的分布函数是某一r.v.的分布函数分布函数为使 − 是某一的分布函数, 在下列给定的各组数值中应取 (A) a=3/5, b= −2/5 (C) a= −1/2, b= 3/2 5. 已知 ~ 已知X X P (B) a=2/3, b= 2/3 (D) a=1/3, b= −3/2 [ ]
2. 多维离散型随机变量函数的分布律
定理2 定理设X1，X2，… , Xn是一个n维随机变量，若y＝则 Y＝g(X1，X2，…, Xn)也是一个随机变量。以二维为例，若 (X, Y)～P(X＝xi, Y＝yk)＝pik ，i, k＝1, 2, … 则 Z＝g(X, Y)～P{Z＝zl}＝

2023考研概率统计全考点精讲-第二讲随机变量及其分布

第二讲随机变量及其分布【考试要求】1.理解随机变量的概念，理解分布函数(){}()F x P X x x =≤−∞<<+∞的概念及性质，会计算与随机变量相联系的事件的概率.2.理解离散型随机变量及其概率分布的概念，掌握0-1分布、二项分布(,)B n p 、几何分布、超几何分布、泊松(Poisson)分布()P λ及其应用.3.（数一了解，数三掌握）泊松定理的结论和应用条件，会用泊松分布近似表示二项分布.4.理解连续型随机变量及其概率密度的概念，掌握均匀分布(,)U a b 、正态分布2(,)N μσ、指数分布及其应用，其中参数为λ的指数分布()λE 的概率密度为()e ,00,0x x f x x λλ−⎧>=⎨≤⎩.5.会求随机变量函数的分布.考点：随机变量与分布函数1.随机变量：设试验E 的样本空间为Ω，如果对于每一个样本点Ω∈ω，都有一个实数)(ωX 与之对应，则称定义在Ω上的单值实值函数)(ωX 为随机变量，简记为X . 通常用,,X Y Z 等表示随机变量.【注】随机变量的等式和不等式可表示随机事件. 2.分布函数（1）定义：设X 是一个随机变量，x 是任意实数，称(){}()F x P X x x =≤−∞<<+∞为X 的分布函数.（2）基本性质①单调不减，即若12x x <，则12()()F x F x ≤；②lim ()0x F x →−∞=，lim ()1x F x →+∞=； ③()F x 是右连续，即(0)()F x F x +=.【注】这三条性质是一个函数作为某随机变量的分布函数的充分必要条件. （3）其他性质（用分布函数()F x 求概率）①)()(}{a F b F b X a P −=≤<； ②)0(}{−=<a F a X P ；③)0()(}{−−==a F a F a X P ；④)0()0(}{−−−=<≤a F b F b X a P ； ⑤)()0(}{a F b F b X a P −−=<<； ⑥{}()(0)P a X b F b F a ≤≤=−−. 【注】分布函数在处连续.【例1】下述函数中，可以作为某个随机变量的分布函数的是（）（A ） ()211F x x =+ （B ）()x x F sin = （C ） ()11arctan π2F x x =+ （D ） ()1e ,020,0xx F x x −⎧−>⎪=⎨⎪≤⎩【例2】设随机变量X 的分布函数为()00πsin 02π12,x F x A x,x ,x ⎧⎪<⎪⎪=≤≤⎨⎪⎪>⎪⎩，则A _____=，6P X ______π⎧⎫<=⎨⎬⎩⎭.【例3】已知随机变量X 的分布函数为()0,11,18,111,1x x F x ax b x x <−⎧⎪⎪=−⎪=⎨⎪+−<<⎪≥⎪⎩，且()F x a {}0P X a ⇔=={}114P X ==，则_____,_____a b ==. 【例4】设随机变量X 的分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧≥−<≤<=−1,110,210,0)(x e x x x F x，则{}1P X ==（）（A ）0 （B ）21（C ）121−−e （D ）11e −−考点：离散型随机变量及其分布1.离散型随机变量定义：若随机变量X 所有可能取值是有限或可列无限个，则称X 为离散型随机变量.2.分布律（1）定义：设离散型随机变量X 的所有可能取值为()12i x i ,,=，且X 取ix 的概率为i p ，则称{}()12i i P X x p i ,,===为离散型随机变量X 的分布律.X（2）基本性质：①0,1,2,i p i ≥=；②11ii p∞==∑.【注】这两条性质也是一个数列可以作为某随机变量分布律的充分必要条件. 3.离散型随机变量的分布函数若离散型随机变量X 的分布律为{}()12i i P X x p i ,,===，则X 的分布函数为(){}{}()i i i i x xx xF x P X x P X x p x ≤≤=≤===−∞<<+∞∑∑.若123x x x <<<，则()111212230,,,x x p x x x F x p p x x x <⎧⎪≤<⎪=⎨+≤<⎪⎪⎩. 【注】若已知X 的分布函数()F x （阶梯函数），则X 的分布律为{}()()0i i i P X x F x F x ==−−，12i ,,=.【例1】（1）做n 次伯努利实验，已知每次成功的概率均为()10<<p p ，令X 表示n 次试验中成功的次数，求X 的分布律.（2）做伯努利试验，已知每次成功的概率均为()10<<p p ，令X 表示直到第一次成功为止所进行的实验次数，求X 的分布律.【例2】设袋中有5个球，其中3个新球，2个旧球，从中任取3个球，用X 表示3个球中新球个数，求X 的分布律与分布函数.考点：连续型随机变量及其分布1.连续型随机变量及其概率密度（1）定义：设随机变量X 的分布函数为()F x ，若存在非负可积函数()f x ，使得对于任意实数x ，有()()xF x f t dt −∞=⎰，则称X 为连续型随机变量，()f x 称为X 的概率密度函数，简称概率密度（简写为.f .d .p ）.【注】①只有存在概率密度的随机变量才能称为连续型随机变量，分布函数连续的随机变量不一定是连续型随机变量.②存在既非连续型又非离散型的随机变量.③(),()()0()F x x F x f x x F x '⎧=⎨⎩为的可导点，为的不可导点. （2）概率密度的基本性质：①()0f x ≥；②()1f x dx +∞−∞=⎰.【注】这两条性质是一个函数可以作为概率密度函数的充分必要条件.（3）连续型随机变量的其他性质： ①)(x F 处处连续.②对()+∞∞−∈∀,a ，有{}.0==a X P ③若()f x 在x 处连续，则有()()F x f x '=. ④对于任意的实数()1212x ,x x x ≤，有{}()()211221()x x P x X x F x F x f x dx <≤=−=⎰.【例1】设随机变量X 的概率密度为()x f ，则下列函数中必为某随机变量的概率密度的是（）（A ）()x f 2 （B ）()x f 2 （C ）()x f −1 （D ）()x f −1【例2】设随机变量X 的概率密度为()cos ,||20,||2A x x f x x ππ⎧≤⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩，求（1）常数A ；（2）X 的分布函数为()x F . 【例3】设随机变量X 的概率密度为()1||,||10,x x f x else −<⎧=⎨⎩，则______412=⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<−X P .考点：常见分布1.常见的离散型随机变量（1） 0-1分布若随机变量X 的分布律为{}()()110101kk P X k p p ,k ,p −==−=<<，则称X 服从0-1分布，记为),1(~p B X .（2）二项分布若随机变量的分布律为{}C (1),0,1,2,k k n kn P X k p p k n −==−=，其中01p <<，则称X 服从二项分布，记为~(,)X B n p .（3）几何分布若随机变量X 的分布律为{}1(1)k P X k p p −==−⋅，1,2,3k =，其中01p <<，则称X 服从参数为p 的几何分布，记为()~X G p .（4）超几何分布（从未考过）若随机变量X 的分布律为{}C C C k n kM N MnNP X k −−==，其中N k ∈，且{}{}n M k N n M ,min ,0max ≤≤−+，则称X 服从超几何分布.【注】：此公式的数学模型为：设N 件产品中含M 件次品，现从中任取n 件产品，则所取的n 件产品恰有k 件次品的概率.（5）泊松分布 ①定义若随机变量X 的分布律为{}e !kP X k k λλ−==，0,1,2,k =，其中0λ>，则称X 服从参数为λ的泊松分布，记为~()X P λ.X②泊松定理（数一了解；数三掌握）设0λ>是一个常数，n 是任意正整数，若lim n n np λ→∞=，则对于任意的非负整数k ，有()e lim 1.!nk n kkknn n C p p k λλ−−→∞−=【例1】设随机变量X 服从参数为()2,p 的二项分布，随机变量Y 服从参数为()3,p 的二项分布，若{}519P X ≥=，则{}1_______P Y ≥=. 【例2】设某时间段内通过一路口的汽车流量服从泊松分布，已知该时段内没有汽车通过的概率为1e，则这段时间内至少有两辆汽车通过的概率为___________. 2.常见的连续型随机变量（1）均匀分布若X 的概率密度为1,()0,a xb f x b a⎧<<⎪=−⎨⎪⎩其它，则称X 在()a,b 上服从均匀分布，记为()~,X U a b ，其分布函数为0,(),1,x a x aF x a x b b a x b<⎧⎪−⎪=≤<⎨−⎪⎪≥⎩. （2）指数分布若X 的概率密度为e ,0()0,0x x f x x λλ−⎧>=⎨≤⎩，其中0λ>，则称X 服从参数为λ的指数分布，记为()XE λ，其分布函数为1e ,0()0,0x x F x x λ−⎧−≥=⎨<⎩.（3）正态分布若随机变量X的概率密度为22()2()()x f x x μσ−−=−∞<<+∞，其中0σ>,μ与σ均为常数，则称X 服从参数为,μσ的正态分布，记为2~(,)X N μσ，其分布函数为22()2()d ()t xF x t x μσ−−=−∞<<+∞⎰.特别地，当0,1μσ==，即~(0,1)X N ，称X 服从标准正态分布，其概率密度为22(),x x x ϕ−=−∞<<+∞，分布函数22()d t xx t −Φ=⎰，x −∞<<+∞.【注】（1）指数分布的无记忆性：若()~X E λ，则对任意的0,0s t >>，有{}{}|.P X s t X s P X t >+>=>【例3】设随机变量()6,1~U X ，则方程012=++Xy y 有实根的概率为____.【例4】设随机变量()~2,5X U ，现对X 进行三次独立重复观测，求至少有两次观测值大于3的概率.【例5】设随机变量Y 服从参数为12λ=的指数分布，求关于未知量x 的方程2230x Yx Y ++−=没有实根的概率.【例6】设随机变量的概率密度函数为()221e ()x x f x k x −+−=−∞<<+∞X则常数=_______k .【例7】设随机变量()22,X N σ且{}240.3P X <<=，则{}0_______P X <=.【例8】设随机变量()2,X N μσ，则概率{}P X μσ−<的值随着σ的增大而（）（A ）增大（B ）减小（C ）保持不变（D ）无法确定考点：随机变量函数的分布1.离散型随机变量函数的分布设X 为离散型随机变量，其概率分布为{},1,2,i i P X x p i ===，函数()g x 连续，则随机变量()Y g X =的分布律为{}(),1,2,i k k i g x y P Y y p k ====∑.做法：找到Y 全部可能的取值，算出相应值的概率.【例1】设随机变量X 在()1,2−上服从均匀分布，1,01,0X Y X −<⎧=⎨≥⎩，求Y 的分布律.【例2】（课后作业）设随机变量X 的概率分布为，求常数和的概率分布. 2.连续型随机变量函数的分布情形一：Y 为离散型. 做法：找到Y 全部可能的取值，算出相应值的概率. 情形二：Y 为连续型.（1）分布函数法（代数法和几何法）先求出()Y g X =的分布函数()Y F y ，即()(){}()()Y g x y F y P g X y f x dx ≤=≤=⎰，再对()YF y 求导得到Y 的概率密度()Y f y .（2）公式法若()y g x =在X 的取值区间内有连续导数()g x '，且()0g x '>或者()0g x '<，则()Y g X =是连续型随机变量，且其概率密度为{}(1,2,)3k c P X k k ===c sin()2Y X π=()()()',0,X Y f h y h y y f y αβ⎧<<⎡⎤⎪⎣⎦=⎨⎪⎩其他其中(),αβ为()y g x =的值域，()h y 是()g x 的反函数.情形三：Y 既非连续型又非离散型做法：分布函数法求其分布函数.【例3】设随机变量X 服从()0,2上的均匀分布，则随机变量2Y X =在()0,4内的概率密度()Y f y _______=.【例4】设随机变量X 的概率密度为()22,00,x x f x ππ⎧<<⎪=⎨⎪⎩其它，求sin Y X =的概率密度()Y f y .。

概率论与数理统计总复习-

一. 二维离散型r.v.
概率统计-总复习-13
1. 联合分布律（2个性质）
P(Xxi,Yyj)pij,
2.联合分布函数（5个性质）
F ( x , y ) P X x , Y y
3.联合分布律与联合分布函数关系
F(x,y)pij, xixyjy
4. 边缘分布律与边缘分布函数
n
Xi

n
E( Xi )

i1 i1
D
n
Xi

n
D( Xi )
i1 i1
X1,,Xn 相互独立
常见离散r.v.的期望与方差
概率统计-总复习-27
分布概率分布
期望方差
参数p的 0-1分布
P (X 1 )p ,P (X 0) q
2. 联合分布函数（5个性质）
xy
F(x,y) p(u,v)dvdu
3.联合密度与联合分布函数关系 2F( x,y) p( x,y)
xy
4.边缘密度与边缘分布函数

p (x) p( x,y)dy p ( y) p( x,y)dx
X

Y

FX( x) F(x, ) FY ( y ) F(, y)

5.全概率公式：分解 P(B) P(Ai)P(B|Ai),B
i1
6.贝叶斯公式
P(Aj |B)
P(Aj )P(B| Aj )

,j
P(Ai )P(B|Ai )
i1
四. 概率模型
概率统计-总复习-6
1.古典概型：摸球、放球、随机取数、配对
2. n重伯努利概型：

统计与概率-第2讲：概率

事件类型定义概率确定事件必然事件一定会发生的事件 1 不可能事件一定不会发生的事件 0 随机事件可能发生也有可能不发生0~12、求概率的方法：①一般的，如果在一次实验中，有n 种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A 包含其中m 种结果，那么事件A 发生的概率为nmA P）（ ②几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件A ，然后计算阴影区域的面积在总面积中所占的比例，这个比例即事件A 发生的概率 3、运用列表法或画树状图法求概率的一般步骤：①把所有可能发生的实验结果一一列举出来（用表格或者树状图的形式） ②把所求事件可能发生的结果都找出来 ③代入概率的计算公式【方法技巧】第二节概率【知识梳理】4、判断游戏公平的步骤：①画出树状图②根据概率公式求出事件的概率③比较是否相等，相等就公平，否则就不公平【考点突破】考点1、概率例1、转动转盘，当转盘停止转动时，指针落在红色区域的可能性最大的是（）A．B．C．D．变式1、如图是一个可以自由转动的转盘，转动这个转盘后，转出（）色的可能性最小．A．红B．黄C．绿D．不确定变式2、布袋中有大小一样的3个白球和2个黑球，从袋中任意摸出1个球，下列判断正确的是（）A．摸出的球一定是白球B．摸出的球一定是黑球C．摸出的球是白球的可能性大 D．摸出的球是黑球的可能性大例2、如图，有5张扑克牌，从中随机抽取一张牌，点数是偶数的可能性大小是（）A．B．C．D．变式1、一个十字路口的交通信号灯每分钟红灯亮30秒，绿灯亮25秒，黄灯亮5秒，当你抬头看信号灯时是绿灯的概率是（）A．B．C．D．变式2、一副完整的扑克牌，去掉大小王，将剩余的52张混合后从中随机抽取一张，则抽出A的概率是（）A．B．C．D．例3、掷两枚硬币，则一枚硬币正面朝上，一枚硬币反面朝上的概率是（）A．1 B．C．D．变式1、从长度分别为2，4，6，8的四条线段中任选三条作边，能构成三角形的概率为（）A．B．C．D．例4、一个不透明的袋中装有除颜色外其余都相同的1个白球和2个黑球．先从袋中摸出一个球后不再放回，第二次再从袋中摸出一个，那么两次都摸到黑球的概率是（）A．B．C．D．变式1、一个盒子装有除颜色外其它均相同的2个红球和3个白球，现从中任取2个球，则取到的是一个红球、一个白球的概率为（）A．B．C．D．变式2、甲箱内有4颗球，颜色分别为红、黄、绿、蓝；乙箱内有3颗球，颜色分别为红、黄、黑．小赖打算同时从甲、乙两个箱子中各抽出一颗球，若同一箱中每球被抽出的机会相等，则小赖抽出的两颗球颜色相同的机率为何？（）A．B．C．D．例5、中秋节来临，小红家自己制作月饼．小红做了三个月饼，1个芝麻馅，2个豆沙馅；小红的爸爸做了两个月饼，1个芝麻馅，1个豆沙馅（除馅料不同，其它都相同）．做好后他们请奶奶品尝月饼，奶奶从小红做的月饼中拿了一个，从小红爸爸做的月饼中拿了一个．请利用列表或画树状图的方法求奶奶拿到的月饼都是豆沙馅的概率．变式1、一个不透明的口袋里装有分别标有汉字“书”、“香”、“昌”、“平”的四个小球，除汉字不同之外，小球没有任何区别，每次摸球前先搅拌均匀．（1）若从中任取一个球，球上的汉字刚好是“书”的概率为多少？（2）从中任取一球，不放回，再从中任取一球，请用树状图或列表的方法，求取出的两个球上的汉字能组成“昌平”的概率．变式2、甲、乙两位同学玩转盘游戏，游戏规则：将圆盘平均分成三份，分别涂上红，黄，绿三种颜色，两位同学分别转动转盘两次（若压线，重新转）．若两次指针指到的颜色相同，则甲获胜；若两次指针指到的颜色是黄绿组合则乙获胜；其余情况则视为平局．（1）请用画树状图的方法，列出所有可能出现的结果；（2）试用概率说明游戏是否公平．例6、在同样的条件下对某种小麦种子进行发芽试验，统计发芽种子数，获得如下频数表，由表估计该麦种的发芽概率是（）试验种子数n（粒）50 200 500 1000 3000 发芽频数m 45 188 476 951 2850发芽频率0.9 0.94 0.952 0.951 0.95A．0.8 B．0.9 C．0.95 D．1变式1、在一个不透明的盒子中装有n个小球，它们除了颜色不同外，其余都相同，其中有4个白球，每次试验前，将盒子中的小球摇匀，随机摸出一个球记下颜色后再放回盒中．大量重复上述试验后发现，摸到白球的频率稳定在0.4，那么可以推算出n大约是（）A．10 B．14 C．16 D．40考点2、统计与概率在实际生活的应用例1、某中学艺术节期间，向全校学生征集书画作品．美术社团从九年级14个班中随机抽取了4个班，对征集到的作品的数量进行了分析统计，制作了如下两幅不完整的统计图．（1）直接回答美术社团所调查的4个班征集到作品共件，并把图1补充完整；（2）根据美术社团所调查的四个班征集作品的数量情况，估计全年级共征集到作品的数量为；（3）在全年级参展作品中有5件获得一等奖，其中有3名作者是男生，2名作者是女生．现在要在其中抽两人去参加学校总结表彰座谈会，用树状图或列表法，求恰好抽中一男生一女生的概率．变式1、为进一步推广“阳光体育”大课间活动，某中学对已开设的A实心球，B立定跳远，C跑步，D跳绳四种活动项目的学生喜欢情况进行调查，随机抽取了部分学生，并将调查结果绘制成图1，图2的统计图，请结合图中的信息解答下列问题：（1）请计算本次调查中喜欢“跑步”的学生人数和所占百分比，并将两个统计图补充完整；（2）随机抽取了5名喜欢“跑步”的学生，其中有3名女生，2名男生，现从这5名学生中任意抽取2名学生，请用画树状图或列表的方法，求出刚好抽到同性别学生的概率．<A 组>1．下列说法中，正确的是（）A ．“射击运动员射击一次，命中靶心”是必然事件B ．不可能事件发生的概率为0C ．随机事件发生的概率为D ．投掷一枚质地均匀的硬币100次，正面朝上的次数一定为50次 2．下列图形：任取一个是中心对称图形的概率是（） A ． B ．C ．D ．13．袋中有红球4个，白球若干，抽到红球的概率为，则白球有（）个． A ．8B ．6C ．4D ．24．小明同学参加“献爱心”活动，买了2元一注的爱心福利彩票5注，则“小明中奖”的事件为事件（填“必然”或“不可能”或“随机”）． 5．某校男子足球队的年龄分布如下面的条形图所示．（1）求这些队员的平均年龄；（2）下周的一场校际足球友谊赛中，该校男子足球队将会有11名队员作为首发队员出场，不考虑其他因素，请你求出其中某位队员首发出场的概率．6．某化妆品专卖店，为了吸引顾客，在“母亲节”当天举办了甲、乙两种品牌化妆品有奖酬宾活动，凡购物满88元，均可得到一次摇奖的机会．已知在摇奖机内装有2个红球和2个白球，除颜【分层训练】色外其它都相同，摇奖者必须从摇奖机内一次连续摇出两个球，根据球的颜色决定送礼金券的多少（如表）甲种品牌化妆品球两红一红一白两白礼金券（元） 6 12 6乙种品牌化妆品球两红一红一白两白礼金券（元）12 6 12（1）请你用列表法（或画树状图法）求一次连续摇出一红一白两球的概率；（2）如果一个顾客当天在本店购物满88元，若只考虑获得最多的礼品券，请你帮助分析选择购买哪种品牌的化妆品？并说明理由．<B组>1．若十位上的数字比个位上的数字、百位上的数字都大的三位数叫做中高数，如796就是一个“中高数”．若十位上数字为7，则从3、4、5、6、8、9中任选两个不同的数，与7组成“中高数”的概率是．2．如图，正方形的阴影部分是由四个直角边长都是1和3的直角三角形组成的，假设可以在正方形内部随意取点，那么这个点取在阴影部分的概率为．3．4件同型号的产品中，有1件不合格品和3件合格品．（1）从这4件产品中随机抽取1件进行检测，求抽到的是不合格品的概率；（2）从这4件产品中随机抽取2件进行检测，求抽到的都是合格品的概率；（3）在这4件产品中加入x件合格品后，进行如下试验：随机抽取1件进行检测，然后放回，多次重复这个试验，通过大量重复试验后发现，抽到合格品的频率稳定在0.95，则可以推算出x的值大约是多少？4．现有一个六面分别标有数字1，2，3，4，5，6且质地均匀的正方形骰子，另有三张正面分别标有数字1，2，3的卡片（卡片除数字外，其他都相同），先由小明投骰子一次，记下骰子向上一面出现的数字，然后由小王从三张背面朝上放置在桌面上的卡片中随机抽取一张，记下卡片上的数字．（1）请用列表或画树形图（树状图）的方法，求出骰子向上一面出现的数字与卡片上的数字之积为6的概率；（2）小明和小王做游戏，约定游戏规则如下：若骰子向上一面出现的数字与卡片上的数字之积大于7，则小明赢；若骰子向上一面出现的数字与卡片上的数字之积小于7，则小王赢，问小明和小王谁赢的可能性更大？请说明理由．5．A、B、C三人玩篮球传球游戏，游戏规则是：第一次传球由A将球随机地传给B、C两人中的某一人，以后的每一次传球都是由上次的传球者随机地传给其他两人中的某一人．（1）求两次传球后，球恰在B手中的概率；（2）求三次传球后，球恰在A手中的概率．6．有甲、乙两个不透明的布袋，甲袋中装3个完全相同的小球，分别标有数字1，2，3；乙袋中也装3个完全相同的小球，分别标有数字﹣1，﹣2，0；现从甲袋中随机抽取一个小球，记录标有的数字为x，再从乙袋中随机抽取一个小球，记录标有的数字为y，确定点M坐标为（x，y）．（1）用树状图或列表法列举点M所有可能的坐标；（2）求点M（x，y）在函数y=﹣x+1的图象上的概率．7．一个盒子里有标号分别为1，2，3，4，5，6的六个小球，这些小球除标号数字外都相同．（1）从盒中随机摸出一个小球，求摸到标号数字为奇数的小球的概率；（2）甲、乙两人用这六个小球玩摸球游戏，规则是：甲从盒中随机摸出一个小球，记下标号数字后放回盒里，充分摇匀后，乙再从盒中随机摸出一个小球，并记下标号数字．若两次摸到小球的标号数字同为奇数或同为偶数，则判甲赢；若两次摸到小球的标号数字为一奇一偶，则判乙赢．请用列表法或画树状图的方法说明这个游戏对甲、乙两人是否公平．参考答案【考点突破】考点1、概率例1、解：因为四个选项中的转盘均被均分为4份，所以哪个选项中红色区域份数最多，指针落在红色区域的可能性就越大，四个选项中D中共有3份，故指针落在红色区域的可能性最大，故选D．变式1、解：因为转盘被平均分为8份，黄色为2份，红色为3份，绿色为3份，所以转动这个转盘后转出可能性最小的颜色是黄色．故选：B．变式2、解：A、∵布袋中有大小一样的3个白球和2个黑球，从袋中任意摸出1个球，∴摸出的球不一定是白球，故此选项错误；B、∵布袋中有大小一样的3个白球和2个黑球，从袋中任意摸出1个球，∴摸出的球不一定是黑球，故此选项错误；C、摸出的球是白球的可能性大，正确；D、摸出的球是黑球的可能性小于白球的可能性，故此选项错误．故选：C．例2、解：∵有5张扑克牌，从中随机抽取一张，点数为偶数的有3种情况，∴从中随机抽取一张，点数为偶数的概率是，故选：C．变式1、解：∵一个十字路口的交通信号灯每分钟红灯亮30秒，绿灯亮25秒，黄灯亮5秒，∴你抬头看信号灯时是绿灯的概率是：=．故选C．变式2、解：因为一副扑克牌，去掉大小王，一共还有52张，A有四张，所以恰好抽到的牌是K 的概率是：=．故选：C．例3、解：∵掷两枚硬币，所有等可能的结果有：正正，正反，反正，反反，又∵一枚硬币正面朝上，一枚硬币反面朝上的有2种情况，∴一枚硬币正面朝上，一枚硬币反面朝上的概率是：=．故选C．变式1、解：∵从长度分别为2，4，6，8的四条线段中任选三条作边，等可能的结果有：2，4，6； 2，4，8； 2，6，8； 4，6，8；其中能构成三角形的只有4，6，8；∴能构成三角形的概率为：．故选C．例4、解：根据题意画图如下：因为一共有6种情况，两次都摸到黑球的有2种情况，所以两次都摸到黑球的概率是=．故选B．变式1、解：画树状图得：∵共有20种等可能的结果，取到的是一个红球、一个白球的有12种情况，∴取到的是一个红球、一个白球的概率为：=．故选C．变式2、解：树状图如图所示：共有12种等可能的结果，颜色相同的有2种情形，故小赖抽出的两颗球颜色相同的机率==；故选：B．例5、解：用字母A表示芝麻馅，字母表示豆沙馅，画树状图：共有6种等可能的结果数，其中月饼都是豆沙馅的结果数为2，所以月饼都是豆沙馅的概率==．变式1、解：（1）从中任取一个球，球上的汉字刚好是“书”的概率=；（2）画树状图为：共有12种等可能的结果数，其中取出的两个球上的汉字能组成“昌平”的结果数为2，所以取出的两个球上的汉字能组成“昌平”的概率═=．变式2、解：（1）如图所示：（红，红），（红，黄），（红，绿），（黄，红），（黄，黄），（黄，绿），（绿，红），（绿，黄），（绿，绿）共9种情况；（2）P（甲获胜）==，P（乙获胜）=，P（甲获胜）＞P（乙获胜），所以游戏不公平．例6、解：∵种子粒数3000粒时，种子发芽的频率趋近于0.95，∴估计种子发芽的概率为0.95．故选C．变式1、解：∵通过大量重复试验后发现，摸到红球的频率稳定于0.4，∴=0.4，解得：n=10．故选A．考点2、统计与概率在实际生活的应用例1、解：（1）根据题意得：调查的4个班征集到作品数为：5÷=12，B班作品的件数为：12﹣2﹣5﹣2=3．如图：（2）∵美术社团所调查的四个班平均每个班征集作品是：12÷4=3（件），∴全校共征集到的作品：3×14=42（件）；（3）列表如下：男1 男2 男3 女1 女2男1 男1男2 男1男3 男1女1 男1女2男2 男2男1 男2男3 男2女1 男2女2男3 男3男1 男3男2 男3女1 男3女2女1 女1男1 女1男2 女1男3 女1女2女2 女2男1 女2男2 女2男3 女2女1共有20种机会均等的结果，其中一男生一女生占12种，∴P（一男生一女生）=，即恰好抽中一男生一女生的概率为．故答案为12，42．变式1、解：（1）根据题意得：15÷10%=150（名）．本项调查中喜欢“跑步”的学生人数是；150﹣15﹣45﹣30=60（人），所占百分比是：×100%=40%，画图如下：（2）用A表示女生，B表示男生，画图如下：共有20种情况，同性别学生的情况是8种，则刚好抽到同性别学生的概率是=．【分层训练】<A组>1．解：A、“射击运动员射击一次，命中靶心”是随机事件，故A错误；B、不可能事件发生的概率为0，故B正确；C、随机事件发生的概率为0到1，故C错误；D、投掷一枚质地均匀的硬币100次，正面朝上的次数可能为50次，故D错误；故选：B．2．解：∵共有4种等可能的结果，任取一个是中心对称图形的有3种情况，∴任取一个是中心对称图形的概率是：．故选C．3．解：设白球有x个，根据题意，抽到红球的概率为，有=，解可得x=8，故选A．4．解：小明同学参加“献爱心”活动，买了2元一注的爱心福利彩票5注，则“小明中奖”的事件为随机事件．故答案为：随机．5．解：（1）该校男子足球队队员的平均年龄是：（13×2+14×6+15×8+16×3+17×2+18×1）÷22=330÷22=15（岁）．故这些队员的平均年龄是15岁；（2）∵该校男子足球队一共有22名队员，将会有11名队员作为首发队员出场，∴不考虑其他因素，其中某位队员首发出场的概率为：P=．6．解：（1）树状图为：∴一共有6种情况，摇出一红一白的情况共有4种，摇出一红一白的概率=；（2）∵两红的概率P=，两白的概率P=，一红一白的概率P=，∴甲品牌化妆品获礼金券的平均收益是：×6+×12+×6=10元．乙品牌化妆品获礼金券的平均收益是：×12+×6+×12=8元．∴我选择甲品牌化妆品．<B组>1．解：画树状图为：共有30种等可能的结果数，其中任选两个不同的数，与7组成“中高数”的结果数为12，所以任选两个不同的数，与7组成“中高数”的概率==．故答案为．2．解：∵S正方形=（3×2）2=18，S阴影=4××3×1=6，∴这个点取在阴影部分的概率为：=，故答案为：．3．解：（1）∵4件同型号的产品中，有1件不合格品，∴P（不合格品）=；（2）共有12种情况，抽到的都是合格品的情况有6种，P（抽到的都是合格品）==；（3）∵大量重复试验后发现，抽到合格品的频率稳定在0.95，∴抽到合格品的概率等于0.95，∴=0.95，解得：x=16．4．解：（1）如图所示：共18种情况，数字之积为6的情况数有3种，P（数字之积为6）==．（2）由上表可知，该游戏所有可能的结果共18种，其中骰子向上一面出现的数字与卡片上的数字之积大于7的有7种，骰子向上一面出现的数字与卡片上的数字之积小于7的有11种，所以小明赢的概率=，小王赢的概率=，故小王赢的可能性更大．5．解：（1）画树状图得：∵共有4种等可能的结果，两次传球后，球恰在B手中的只有1种情况，∴两次传球后，球恰在B手中的概率为：；（2）画树状图得：∵共有8种等可能的结果，三次传球后，球恰在A手中的有2种情况，∴三次传球后，球恰在A手中的概率为：=．6．解：（1）画树状图：共有9种等可能的结果数，它们分别是：（1，﹣1），（1，﹣2），（1，0），（2，﹣1），（2，﹣2），（2，0），（3，﹣1），（3，﹣2），（3，0）；（2）因为在直线y=﹣x+1的图象上的点有：（1，0），（2，﹣1），（3，﹣2），所以点M（x，y）在函数y=﹣x+1的图象上的概率P=．7．解：（1）∵1，2，3，4，5，6六个小球，∴摸到标号数字为奇数的小球的概率为：=；（2）画树状图：如图所示，共有36种等可能的情况，两次摸到小球的标号数字同为奇数或同为偶数的有18种，摸到小球的标号数字为一奇一偶的结果有18种，∴P（甲）==，P（乙）==，∴这个游戏对甲、乙两人是公平的．。

概率论与数理统计第二讲

定义设X是S上的随机变量F(x)为其分布函数，如果存在定义在（-∞，+∞）上的非负实质函数 f(x)，使得
F ( x)
x

f ( t )dt, x
则称X为连续型随机变量，称F(x)为连续型分布函数，称f(x)为X的概率密度函数（或概率密度或分布密度）。
设X为连续型随机变量，F(x)与f(x)分别为其分布函数和概率密度 1）对任意常数a＜b有
即
P(X<0)=P(X－3<-3)=0.1。
当μ=0且σ=1的正态分布N(0,1),称为标准正态分布。 x2 1 2 概率密度 ( x ) e , x ,
2
在统计用表中给出了 x 0至x 3.49所对应的( x)值。当x 3.49时，( x) 1 ；
P(λ)
λ=np=1
0.368 0.368 0.184 0.061 0.015 0.004
例某物业管理公司负责10000户居民的房屋维修工作。假定每户居民是否报修是相互独立的，且报修的概率都是0.04% 另外，一户居民住房的维修只需一名修理工来处理。易知，在某个时段报修的居民数X~B(10000,0.0004).试问 1）该物业管理公司至少需要配备多少名维修工人，才能使居民报修后能得到及时修理的概率不低于99%。
P (a X b) f ( x )dx
a
b
2）F(x)是连续函数，且当f(x)在x=x0处连续时
F ( x0 ) f ( x0 )
3）对任意常数c,P(X=c)=0,从而对任何a＜b，有
P (a X b) P (a X b) P (a X b) P (a X b)

第2讲随机事件的概率

空间,全集空集元素集合 A是B的子集
A与B是相等集合
A与B无相同元素
A与B的并集
A与B的交集
A与B的差集
A的余(补)集
§1.2 随机事件的概率
• 1.直观定义 • 2.统计定义 • 3.古典定义； • 4.公理化定义； • 5.几何定义.
1.2.1 概率的统计定义
概率的直在一次试验中事件A发生的可能性大小的观定义：量度称为事件A的概率。
B { 取到的两只球都是黑球}
C { 取到的两只球中至少有一只是白球 }
D { 取到的两只球颜色相同 }
显然C B, D A B
(1)
P( A)
P42 P62
12 30
2 5
（2）类似于（1），可求得
P(B)
P22 P62
1 15
由于AB ，Leabharlann 由概率的有限可加性，所求概率为：
P(D) P( A B) P( A) P(B) 2 1 7 5 15 15
加法原理
完成某件事情有 n 类途径，在第一类途径中有m1种方法，在第二类途径中有m2种方法，依次类推，在第 n 类途径中有mn种方法，则完成这件事共有 m1+m2+…+mn种不同的方法.
乘法原理
完成某件事情需先后分成 n 个步骤，做第一步有m1种方法，第二步有 m2 种方法，依次类推，第 n 步有mn种方法，则完成这件事共有 m1×m2×…×mn种不同的方法.
率的稳定值p,记做P(A)。概率是不变的
我们称这一定义为概率的统计定义。
4 概率是事件的自然属性，有事件就一定有概率。频率是概率的表现，频率的本质是概率
概率的公理化定义
• 非负性公理： P(A)0; • 正则性公理： P(Ω)=1; • 可列可加性公理：若A1, A2, ……,

概率论与数理统计-随机事件与概率

几何概率）条件概率全概率公式；贝叶斯公式
第2章随机变量及其分布 60
谢谢观赏
《概率论与数理统计》
第2章随机变量及其分布 36
1.1 随机事件及其运算 1.2 概率的定义及其性质 1.3 等可能概型 1.4 条件概率与事件的相互独立性 1.5 全概率公式与贝叶斯公式
目录/Contents
第2章随机变量及其分布 37
1.4 条件概率与事件的相互独立性
一、条件概率二、事件的相互独立性
一、条件概率
所谓可靠度指的是产品能正常工作的概率. 以下讨论中, 假定一个系统中的各个元件能否正常工作是相互独立的.
二、事件的相互独立性
两个基本模型:
第2章随机变量及其分布 49
二、事件的相互独立性
两个基本模型:
第2章随机变量及其分布 50
目录/Contents
第2章随机变量及其分布 51
1.1 随机事件及其运算 1.2 概率的定义及其性质 1.3 等可能概型 1.4 条件概率与事件的相互独立性 1.5 全概率公式与贝叶斯公式
第2章随机变量及其分布 28
1.1 随机事件及其运算 1.2 概率的定义及其性质 1.3 等可能概型 1.4 条件概率与事件的相互独立性 1.5 全概率公式与贝叶斯公式
目录/Contents
1.3 等可能概型
一、古典概型二、几何概型
第2章随机变量及其分布 29
一、古典概型古典概型的基本思路:
定义1
第2章随机变量及其分布 38
一、条件概率
第2章随机变量及其分布 39
条件概率也满足概率的公理化定义的三条基本性质, 即:
公理1
公理2 公理3 对可列无限个两两不相容事件

第二讲随机事件

暑期课堂讲义第2讲随机事件与概率2.1引入小朋友们有没有看过电视上的天气预报？天气预报员在预报某个地区会下雨的时候，往往第二天这个地方很有可能会下雨、但也可能第二天天公照样放晴，啥事也没有。

而小朋友在玩石头剪刀布时，也不会出现绝对的某一位同学总是获胜的现象，往往各有输赢。

这是怎么一回事呢？2.2随机现象定义1在一定的条件下，并不总是出现相同结果的现象称为随机现象。

如抛一枚硬币，它的结果是正面还是反面，我们在抛硬币前不得而知。

投一枚骰子，它的点数是多少我们在投掷前也不得而知，这两个事件结果均为随机的。

随机现象具有以下两个特点：1.结果不止一个。

2.哪一个结果先出现，人们事先并不知道。

定义2对在相同条件下可以重复的随机现象的观察、记录、实验称为随机试验。

有很多随机现象可以重复，例如硬币可以再投，骰子可以再掷；但也有不能重复的随机事件，例如某场足球赛的输赢是不能重复记录的。

在统计中主要研究能大量重复的随机现象，但也十分注意研究不能重复的随机现象。

定义3在一定的条件下，只有一个结果的现象称为确定性现象，又称必然事件。

例如，太阳从东方升起；水往低处流；冬天过后就是春天，一个口袋中装有十只完全相同的白球，其中任取一只必然为白球等。

定义4在一定的条件下，不可能发生的事情称为不可能事件。

例如，太阳从西边升起；中国国家足球队拿世界杯冠军；投掷一枚正常骰子，出现的点数为7；甘老师减肥成功等。

必然事件与不可能事件是特殊的随机事件。

2.3概率定义5反应随机事件出现的可能性的大小称为概率（又称“几率”，“或然率”）。

不可能事件发生的概率为0，必然事件发生的概率为1，随机事件发生的概率介于0-1之间。

通常我们用小数表示发生的概率，如抛一枚硬币，正面朝上的概率是0.5；有时候也会用百分数表示概率，如明天下雨的概率是70%。

一些关于概率的有趣的冷知识：1.一个人买彩票中奖的概率甚至小于他在买彩票的路上被车撞死的概率。

2.一个人一生见到的人有29200000人，但最后能陪你一起度过余生的人只有一个。

随机事件的概率与统计概率

随机事件的概率与统计概率概率是描述事件发生可能性的量度，而统计概率是通过实际观察和收集数据进行估计的概率。

在这篇文章中，我们将讨论随机事件的概率和统计概率之间的关系，并介绍一些与概率相关的基本概念和原理。

一、概率的基本概念1.1 随机事件随机事件是指在相同条件下，每次试验都可能发生或不发生的事件。

例如，抛一枚硬币的结果可以是正面或反面，这是一个随机事件。

1.2 样本空间样本空间是指随机事件所有可能结果的集合。

在抛硬币的例子中，样本空间为{正面，反面}。

1.3 事件的概率事件的概率是指该事件发生的可能性大小，用P(A)表示。

在抛硬币的例子中，事件A为正面出现，P(A) = 0.5。

二、概率的计算方法2.1 古典概型古典概型适用于试验结果等可能的情况。

例如，抛一枚均匀硬币，样本空间为{正面，反面}，事件A为正面出现，则有P(A) = 随机事件个数 / 样本空间个数 = 1/2。

2.2 几何概型几何概型适用于试验结果在空间上的几何位置决定概率的情况。

例如，投掷一个均匀骰子，样本空间为{1，2，3，4，5，6}，事件A为奇数出现，则P(A) = 满足事件A的点数个数 / 样本空间个数 = 3/6 = 1/2。

2.3 概率的性质概率具有以下性质：(1) 非负性：对任何事件A，P(A) >= 0；(2) 确定性：对必然事件S，P(S) = 1；(3) 加法公式：对互斥事件A和B，P(A U B) = P(A) + P(B)；(4) 容斥原理：对任何事件A和B，P(A U B) = P(A) + P(B) - P(A ∩B)；(5) 乘法公式：对独立事件A和B，P(A ∩ B) = P(A) * P(B)。

三、统计概率的估计统计概率是通过观察和收集数据来估计事件发生的概率。

统计概率常用于实际问题中，也是实际应用中经常使用的概率估计方法。

3.1 频率估计法频率估计法是通过重复试验并记录事件发生的次数来估计概率。

概率与统计随机事件的概率计算

概率与统计随机事件的概率计算概率与统计：随机事件的概率计算概率与统计是数学中的一个重要分支，研究随机事件的概率与规律性。

随机事件是指在一定条件下可能发生，也可能不发生的事件。

而概率则是用于描述随机事件发生的可能性大小的数值。

本文将介绍概率计算的方法及其在统计学中的应用。

一、概率的基本概念概率是对随机事件发生可能性的度量，用一个介于0和1之间的实数表示。

其中，0表示不可能发生，1表示必然发生。

在概率计算中，我们将随机事件定义为试验，试验的每个结果称为样本点。

二、经典概率计算经典概率计算是在试验结果有限且等可能的情况下进行的。

当一个试验的样本点个数有限且每个样本点发生的机会相同时，我们可以用以下公式计算事件发生的概率：P(A) = n(A) / n(S)其中，P(A)表示事件A发生的概率，n(A)表示事件A发生的样本点个数，n(S)表示样本空间中的总样本点个数。

三、几何概率计算几何概率计算是基于几何分析的一种概率计算方法。

当试验无限次进行且具有确定的规律性时，我们可以用以下公式计算事件发生的概率：P(A) = 面积(A) / 面积(S)其中，面积(A)表示事件A发生的概率，面积(S)表示整个样本空间的面积。

四、条件概率计算条件概率是指在已知某个与事件A有关的条件B下，事件A发生的概率。

条件概率用P(A|B)表示，计算公式如下：P(A|B) = P(A∩B) / P(B)其中，P(A∩B)表示事件A与事件B同时发生的概率，P(B)表示事件B发生的概率。

五、事件间的关系与计算在概率计算中，常常需要计算两个或多个事件之间的关系。

以下是常见的事件间关系及其计算方法：1. 事件的并集：表示事件A或事件B发生的概率，计算公式为：P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B)2. 事件的交集：表示事件A和事件B同时发生的概率，计算公式为：P(A∩B) = P(A) * P(B|A) 或 P(B) * P(A|B)3. 事件的互斥：表示事件A和事件B不可能同时发生的概率，计算公式为：P(A∩B) = 0六、概率计算的应用概率在统计学中有着广泛的应用，以下是几个常见的应用场景：1. 抽样调查：通过对一小部分人群进行调查，利用概率计算方法推断整个人群的特征。

随机事件的概率

随机事件的概率概率理论是一门研究随机事件发生的可能性的数学学科。

通过计算和统计，我们可以了解随机事件发生的概率。

在这篇文章中，我们将探讨随机事件的概念、概率的定义和计算方法，以及一些实际问题中与概率相关的应用。

一、随机事件的概念随机事件是指在一次试验中可能出现的各种结果。

每个结果都有一定的概率发生。

例如，掷骰子时，1到6的点数出现的概率都是相等的，并且总和为1。

我们用事件的符号表示随机事件。

例如，事件A表示掷骰子出现点数为2的结果。

事件B表示掷骰子出现点数为偶数的结果。

事件的发生取决于试验的结果。

如果一个事件发生了，我们称之为该事件发生。

二、概率的定义概率是描述事件发生可能性大小的数值。

概率的取值范围是0到1之间，0表示不可能发生，1表示肯定会发生。

在数学中，我们用P(A)表示事件A的概率。

例如，P(A)表示掷骰子出现点数为2的概率。

概率的计算需要考虑事件发生的可能性和总体样本空间的大小。

三、概率的计算方法1. 经典概率经典概率是指在一次试验中，每个事件发生的可能性相等的情况下，计算事件发生概率的方法。

假设一个袋子里有红、蓝、绿三种颜色的球，每种球的数量相等。

从袋子中随机抽取一球，事件A表示抽到红球的结果。

由于每种颜色出现的概率相等，所以P(A) = 1/3。

2. 统计概率统计概率是通过实验和统计数据来计算事件发生概率的方法。

例如，我们抛硬币的实验中，事件A表示出现正面的结果。

通过大量的实验数据，我们可以统计出正面出现的次数与总实验次数的比值，从而得到事件A的概率。

3. 条件概率条件概率是指在已知一定条件下，某个事件发生的概率。

条件概率用P(A|B)表示，读作在事件B发生的条件下事件A发生的概率。

例如，事件A表示抛一次硬币出现正面的结果，事件B表示抛一次硬币出现的是铜币。

我们知道铜币的一面是正面，因此在已知抛出的是铜币的情况下，事件A发生的概率为1。

四、概率的应用1. 游戏与赌博概率理论在游戏和赌博中扮演着重要的角色。

第2讲概率论

m
m
P( Ai ) P( Ai )
i 1
i1
推论
P( A) 1 P( A)
例4.从10件同类型产品(其中6件正品，4件次品)中任取4件，求 (1)“取得的4件中次品不超过1件”(事件A)的概率 (2)“取得的4 件中次品至少有1件”(事件B)的概率.
解：设 Ai 为“取得的4件中恰好有 i 件次品”, i=0,1,2,3,4. 则有

13 14
例5.设有n个球，每个球都以同样的概率1/N落入到N个格子(Nn) 的每一个格子，试求 (1)前n个格子中各有一球(A)的概率； (2)任何n个格子中各有一球(B)的概率； (3)某指定的一个盒子中没有球(C)的概率.
解：(1)试验E是将n个球投入N个格中 1 2 …n … N
共有Nn个样本点，而A中有n!个样本点，所以有 P(A) = n! / Nn
设A表示“两人能会面”，则有
A={(x, y): |x−y| 20}
所以
P( A)

602 402 602
=
5 9
3.几何概型的基本性质
设A, A1, A2, …是 E 中事件，则有 (1)非负性：P(A) ≥0；
P(
A)

g的度量 G的度量
(2)归一性：P(S)=1；
(3)可加性：若A1, A2, …是互不相容的事件，则有
A表示“任取一号码为偶数的球”.
则样本空间 S ={1,2,…,10}， A ={2,4,6,8,10}
所以
P(A) = 5/10=1/2
1. 加法原理
基本计数原理
设完成一件事有m种方式，
第一种方式有n1种方法，
第二种方式有n2种方法, …；

概率与统计随机事件的分析

概率与统计随机事件的分析概率与统计：随机事件的分析概率与统计是数学中的重要分支，旨在研究和解释随机事件的规律性。

在本文中，我们将深入探讨概率与统计的概念、原理及其在随机事件分析中的应用。

一、概率的基本概念概率是研究随机事件发生可能性的数学工具，在统计学中有着广泛的应用。

概率可以用数字来表示，其范围从0到1之间，0表示事件不可能发生，1表示事件一定会发生。

二、概率的计算方法概率的计算方法通常有三种：古典概率、统计概率和主观概率。

1. 古典概率古典概率是根据古典概率原理计算得出的概率，即通过对随机事件的样本空间进行分析，计算事件发生的可能性。

例如，掷一枚均匀的骰子，出现某个点数的概率为1/6。

2. 统计概率统计概率是通过大量实验或观察数据来计算概率，即根据已有数据推断未知数据的概率。

例如，通过抽取100个人的调查数据，来推断某个事件在整个人群中的发生概率。

3. 主观概率主观概率是个人主观判断的概率，通常基于经验或直觉。

例如，在赛马比赛中，某个观众根据自己看到的赛马表现来判断哪匹马胜出的概率。

三、统计方法在随机事件中的应用概率与统计方法在各个领域中都有重要的应用，尤其在随机事件的分析中。

1. 随机抽样在统计学中，随机抽样是一种常用的数据收集方法。

通过随机抽取样本，可以更准确地估计总体的特征。

例如，在市场调查中，通过随机抽取一定数量的消费者进行调查，可以推断整个市场的消费行为。

2. 假设检验假设检验是用来判断统计结论是否有统计学意义的方法。

在随机事件的分析中，假设检验可以帮助我们根据已有数据进行推断，判断某个事件是否具有统计学上显著的差异。

例如，在医学研究中，通过对两组病人进行药物治疗的实验，可以通过假设检验来确定新药物是否比旧药物更有效。

3. 随机模拟随机模拟是通过随机事件的模拟来研究和预测现实生活中的情况。

通过运用统计学方法，可以利用计算机生成大量的随机样本，模拟现实中的复杂情况，从而对未知情况进行预测和分析。

高中数学完整讲义——概率_随机事件的概率2.随机事件的概率计算

高中数学讲义版块一：事件及样本空间1．必然现象与随机现象必然现象是在一定条件下必然发生某种结果的现象；随机现象是在相同条件下，很难预料哪一种结果会出现的现象．2．试验：我们把观察随机现象或为了某种目的而进行的实验统称为试验，把观察结果或实验的结果称为试验的结果．一次试验是指事件的条件实现一次．在同样的条件下重复进行试验时，始终不会发生的结果，称为不可能事件；在每次试验中一定会发生的结果，称为必然事件；在试验中可能发生，也可能不发生的结果称为随机事件．通常用大写英文字母A B C ，，，来表示随机事件，简称为事件． 3．基本事件：在一次试验中，可以用来描绘其它事件的，不能再分的最简单的随机事件，称为基本事件．它包含所有可能发生的基本结果．所有基本事件构成的集合称为基本事件空间，常用Ω表示．版块二：随机事件的概率计算1．如果事件A B ，同时发生，我们记作A B ，简记为AB ； 2．一般地，对于两个事件A B ，，如果有()()()P AB P A P B =，就称事件A 与B 相互独立，简称A 与B 独立．当事件A 与B 独立时，事件A 与B ，A 与B ，A 与B 都是相互独立的．3．概率的统计定义一般地，在n 次重复进行的试验中，事件A 发生的频率mn，当n 很大时，总是在某个常数附近摆动，随着n 的增加，摆动幅度越来越小，这时就把这个常数叫做事件A 的概率，记为()P A ．从概率的定义中，我们可以看出随机事件的概率()P A 满足：0()1P A ≤≤．当A 是必然事件时，()1P A =，当A 是不可能事件时，()0P A =． 4．互斥事件与事件的并互斥事件：不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件，或称互不相容事件．由事件A 和事件B 至少有一个发生（即A 发生，或B 发生，或A B ，都发生）所构成的事件C ，称为事件A 与B 的并（或和），记作C A B =．若C A B =，则若C 发生，则A 、B 中至少有一个发生，事件A B 是由事件A 或B 所包含的基本事件组成的集合．5．互斥事件的概率加法公式：若A 、B 是互斥事件，有()()()P A B P A P B =+若事件12n A A A ，，，两两互斥（彼此互斥），有1212()()()()n n P A A A P A P A P A =+++．事件“12n A A A ”发生是指事件12n A A A ，，，中至少有一个发生． 6．互为对立事件知识内容板块二.随机事件的概率计算高中数学讲义不能同时发生且必有一个发生的两个事件叫做互为对立事件．事件A 的对立事件记作A ．有()1()P A P A =-． <教师备案>1．概率中的“事件”是指“随机试验的结果”，与通常所说的事件不同．基本事件空间是指一次试验中所有可能发生的基本结果．有时我们提到事件或随机事件，也包含不可能事件和必然事件，将其作为随机事件的特例，需要根据情况作出判断．2．概率可以通过频率来“测量”，或者说是频率的一个近似，此处概率的定义叫做概率的统计定义．在实践中，很多时候采用这种方法求事件的概率．随机事件的频率是指事件发生的次数与试验总次数的比值，它具有一定的稳定性，总是在某个常数附近摆，且随着试验次数的增加，摆动的幅度越来越小，这个常数叫做这个随机事件的概率．概率可以看成频率在理论上的期望值，它从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小，频率在大量重复试验的前提下可近似地看作这个事件的概率．3．基本事件一定是两两互斥的，它是互斥事件的特殊情形．主要方法：解决概率问题要注意“四个步骤，一个结合”：求概率的步骤是：第一步，确定事件性质⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩等可能事件互斥事件独立事件 n 次独立重复试验，即所给的问题归结为四类事件中的某一种．第二步，判断事件的运算⎧⎨⎩和事件积事件，即是至少有一个发生，还是同时发生，分别运用相加或相乘事件．第三步，运用公式()()()()()()()()(1)k k n k n n m P A nP A B P A P B P A B P A P B n P k C p p -⎧=⎪⎪⎪+=+⎨⎪⋅=⋅⎪=-⎪⎩等可能事件: 互斥事件：独立事件：次独立重复试验:求解第四步，答，即给提出的问题有一个明确的答复．解决此类问题的关键是会正确求解以下六种事件的概率（尤其是其中的（4）、（5）两种概率）： ⑴ 随机事件的概率，等可能性事件的概率； ⑵ 互斥事件有一个发生的概率； ⑶ 相互独立事件同时发生的概率； ⑷ n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率； ⑸ n 次独立重复试验中在第k 次才首次发生的概率； ⑹ 对立事件的概率．另外：要注意区分这样的语句：“至少有一个发生”，“至多有一个发生”，“恰好有一个发生”，“都发生”，“不都发生”，“都不发生”，“第k 次才发生”等．题型一概率与频率【例1】下列说法：①频率是反映事件发生的频繁程度，概率反映事件发生的可能性的大小；典例分析高中数学讲义②做n次随机试验，事件A发生的频率mn就是事件的概率；③百分率是频率，但不是概率；④频率是不能脱离具体的n次试验的实验值，而概率是具有确定性的不依赖于试验次数的理论值；⑤频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值．其中正确的是（）A．①④⑤B．②④⑤C．①③④D．①③⑤【例2】对某工厂所生产的产品质量进行调查，数据如下：950件合格品，大约需要抽查多少件产品？【例3】某篮球运动员在最近几场大赛中罚球投篮的结果如下：（（2）这位运动员投篮一次，进球的概率为多少？【例4】下列说法：①频率是反映事件发生的频繁程度，概率反映事件发生的可能性的大小；②做n次随机试验，事件A发生m次，则事件A发生的概率为mn；③频率是不能脱离n次试验的实验值，而概率是具有确定性的不依赖于试验次数的理论值；④频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值．其中正确命题的序号为．【例5】盒中装有4只相同的白球与6只相同的黄球．从中任取一只球．试指出下列事件分别属于什么事件？它们的概率是多少？⑴A=“取出的球是白球”；⑵B=“取出的球是蓝球”；⑶C=“取出的球是黄球”；⑷D=“取出的球是白球或黄球”．高中数学讲义题型二独立与互斥【例6】（2010辽宁高考）两个实习生每人加工一个零件．加工为一等品的概率分别为23和34，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为A ．12B ．512C ．14D ．16【例7】掷两枚均匀的骰子，记A =“点数不同”，B =“至少有一个是6点”，判断A 与B 是否为独立事件．【例8】设M 和N 是两个随机事件，表示事件M 和事件N 都不发生的是（）A ．M N +B ．M N ⋅C ． M N M N ⋅+⋅D ．M N ⋅【例9】判断下列各对事件是否是相互独立事件⑴ 甲组3名男生、2名女生；乙组2名男生、3名女生，今从甲、乙两组中各选1名同学参加演讲比赛，“从甲组中选出1名男生”与“从乙组中选出1名女生”． ⑵ 容器内盛有5个白乒乓球和3个黄乒乓球，“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”与“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的还是白球”．【例10】⑴某县城有两种报纸甲、乙供居民订阅，记事件A 为“只订甲报”，事件B 为“至少订一种报”，事件C 为“至多订一种报”，事件D 为“不订甲报”，事件E 为“一种报也不订”．判断下列每对事件是不是互斥事件，再判断它们是不是对立事件．①A 与C ；②B 与E ；③B 与D ；④B 与C ；⑤C 与E ．高中数学讲义【例11】抛掷一枚骰子，记事件A为“落地时向上的数是奇数”，事件B为“落地时向上的数是偶数”，事件C为“落地时向上的数是3的倍数”，事件D为“落地时向上的数是6或4”，则下列每对事件是互斥事件但不是对立事件的是（）A．A与B B．B与C C．A与D D．C与D【例12】每道选择题都有4个选择支，其中只有1个选择支是正确的．某次考试共有12道选择题，某人说：“每个选择支正确的概率是14，我每题都选择第一个选择支，则一定有3题选择结果正确”．对该人的话进行判断，其结论是（）A．正确的B．错误的C．模棱两可的D．有歧义的题型三随机事件的概率计算【例13】（2010丰台二模）一个正三角形的外接圆的半径为1，向该圆内随机投一点P，点P恰好落在正三角形外的概率是_________．【例14】（2010崇文一模）从52张扑克牌（没有大小王）中随机的抽一张牌，这张牌是J或Q或K的概率为_______．【例15】（2010朝阳一模）一只小蜜蜂在一个棱长为30的正方体玻璃容器内随机飞行．若蜜蜂在飞行过程中与正方体玻璃容器6个表面中至少有一个的距离不大于10，则就有可能撞到玻璃上而不安全；若始终保持与正方体玻璃容器6个表面的距离均大于10，则飞行是安全的，假设蜜蜂在正方体玻璃高中数学讲义容器内飞行到每一位置可能性相同，那么蜜蜂飞行是安全的概率是（）A ．18B ．116C ．127D ．38【例16】（2010东城二模）在直角坐标系xOy 中，设集合{}(,)01,01x y x y Ω=≤≤≤≤，在区域Ω内任取一点(,)P x y ，则满足1x y +≤的概率等于．【例17】（2010朝阳一模）在区间[π,π]-内随机取两个数分别记为,a b ，则使得函数22()2πf x x ax b =+-+有零点的概率为（）A ．78B ．34C ．12D ．14【例18】（2010东城一模）某人向一个半径为6的圆形标靶射击，假设他每次射击必定会中靶，且射中靶内各点是随机的，则此人射击中靶点与靶心的距离小于2的概率为（）A ．113B ．19 C ．14 D ．12【例19】（2010西城一模）在边长为1的正方形ABCD 内任取一点P ，则点P 到点A 的距离小于1的概率为．【例20】（2010丰台二模）已知(){},|6,0,0x y x y x y Ω=+≤≥≥，{}(,)4,0,20A x y x y x y =-≤≥≥．若向区域Ω上随机投一点P ，则点P 落入区域A 的概率是_________．高中数学讲义【例21】（2010朝阳一模）袋子中装有编号为,a b的2个黑球和编号为,,c d e的3个红球，从中任意摸出2个球．⑴写出所有不同的结果；⑵求恰好摸出1个黑球和1个红球的概率；⑶求至少摸出1个黑球的概率．【例22】（2010崇文二模）在平面直角坐标系xOy中，平面区域W中的点的坐标(,)x y满足225x y+≤，从区域W中随机取点(,)M x y．⑴若x∈Z，y∈Z，求点M位于第四象限的概率；⑵已知直线:(0)l y x b b=-+>与圆22:5O x y+=y x b-+≥的概率．【例23】（2010西城一模）一个盒子中装有4张卡片，每张卡片上写有1个数字，数字分别是1、2、3、4．现从盒子中随机抽取卡片．⑴若一次抽取3张卡片，求3张卡片上数字之和大于7的概率；⑵若第一次抽1张卡片，放回后再抽取1张卡片，求两次抽取中至少一次抽到数字3的概率．高中数学讲义【例24】（2010海淀一模）某商场为吸引顾客消费推出一项优惠活动．活动规则如下：消费每满100元可以转动如图所示的圆盘一次，其中O为圆心，且标有20元、10元、0元的三部分区域面积相等．假定指针停在任一位置都是等可能的．当指针停在某区域时，返相应金额的优惠券．（例如：某顾客消费了218元，第一次转动获得了20元，第二次获得了10元，则其共获得了30元优惠券．）顾客甲和乙都到商场进行了消费，并按照规则参与了活动．⑴若顾客甲消费了128元，求他获得优惠券面额大于0元的概率？⑵若顾客乙消费了280元，求他总共获得优惠券金额不低于20元的概率？【例25】（2010石景山一模）为援助汶川灾后重建，对某项工程进行竞标，共有6家企业参与竞标．其中A企业来自辽宁省，B、C两家企业来自福建省，D、E、F三家企业来自河南省．此项工程需要两家企业联合施工，假设每家企业中标的概率相同．⑴企业E中标的概率是多少？高中数学讲义⑵在中标的企业中，至少有一家来自河南省的概率是多少？【例26】（2010湖北高考）投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件A，“骰于向上的点数是3”为事件B，则事件A，B中至少有一件发生的概率是A．512B．12C．712D．34【例27】盒子中有大小相同的3只小球，1只黑球，若从中随机地摸出两只球，两只球颜色不同的概率是．【例28】（2010江西高考）一位国王的铸币大臣在每箱100枚的硬币中各掺入了一枚劣币，国王怀疑大臣作弊，他用两种方法来检测．方法一：在100箱中各任意检查一枚；方法二：在5箱中各任意抽查两枚．国王用方法一、二能发现至少一枚劣币的概率分别为12,p p，则（）A．12p p=B．12p p<C．12p p>D．以上三种情况都有可能【例29】（2010陕西卷高考）铁矿石A和B的含铁率a，冶炼每万吨铁矿石的2CO的排放量b及每万吨铁矿石的价格c如下表：高中数学讲义2最少费用为______（百万元）．【例30】甲、乙两人进行击剑比赛，甲获胜的概率是0.41，两人战平的概率是0.27，那甲不输的概率为________甲不获胜的概率为_______．【例31】已知A B ，是相互独立事件，且()0.3P A =，()0.6P B =，则()P A B ⋅=______．【例32】某人射击5枪，命中3枪，3枪中恰有2枪连中的概率为（）A ．120B ．110C ．25D ．35【例33】袋中有大小相同的5个白球和3个黑球，从中任意摸出4个，求下列事件发生的概率．⑴ 摸出2个或3个白球； ⑵ 至少摸出一个黑球．【例34】一批产品共100件，其中5件是废品，任抽10件进行检查，求下列事件的概率．⑴ 10件产品中至多有一件废品；⑵ 10件产品中至少有一件废品．【例35】（2009湖南卷文）为拉动经济增长，某市决定新建一批重点工程，分为基础设施工程、民生工程和产业建设工程三类．这三类工程所含项目的个数分别占总数的12，13，16．现有3名工人独立地从中任选一个项目参与建设．求：⑴他们选择的项目所属类别互不相同的概率；⑵至少有1人选择的项目属于民生工程的概率．【例36】甲、乙二射击运动员分别对一目标射击1次，甲射中的概率为0.8，乙射中的概率为0.9，求：⑴2人都射中的概率？⑵2人中有1人射中的概率？【例37】（2009全国卷Ⅰ文）甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜3局者获得这次比赛的胜利，比赛结束．假设在一局中，甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，各局比赛结果相互独立．已知前2局中，甲、乙各胜1局．⑴求再赛2局结束这次比赛的概率；⑵求甲获得这次比赛胜利的概率．【例38】纺织厂某车间内有三台机器，这三台机器在一天内不需工人维护的概率：第一台为0.9，第二台为0.8，第三台为0.85，问一天内：⑴3台机器都要维护的概率是多少？⑵其中恰有一台要维护的概率是多少？⑶至少一台需要维护的概率是多少？【例39】从甲口袋摸出一个红球的概率是13，从乙口袋中摸出一个红球的概率是12，则23是（）A．2个球不都是红球的概率B．2个球都是红球的概率C．至少有一个红球的概率D．2个球中恰好有1个红球的概率【例40】甲、乙两个人独立地破译一个密码，他们能译出密码的概率分别为13和14，求：⑴两个人都译出密码的概率；⑵两个人都译不出密码的概率；⑶恰有1个人译出密码的概率；⑷至多1个人译出密码的概率；⑸至少1个人译出密码的概率．【例41】现时盛行的足球彩票，其规则如下：全部13场足球比赛，每场比赛有3种结果：胜、平、负，13场比赛全部猜中的为特等奖，仅猜中12场为一等奖，其它不设奖，则某人获得特等奖的概率为．【例42】从10位同学（其中6女，4男）中，随机选出3位参加测验，每位女同学能通过测验的概率均为45，每位男同学能通过测验的概率均为35，试求：⑴选出的3位同学中至少有一位男同学的概率；⑵10位同学中的女同学甲和乙及男同学丙同时被抽到，且三人中恰有二人通过测验的概率．【例43】（08天津）甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为12与p，且乙投球2次均未命中的概率为116．⑴求乙投球的命中率p；⑵求甲投球2次，至少命中1次的概率；⑶若甲、乙两人各投球2次，求两人共命中2次的概率．【例44】甲盒中有红、黑、白三种颜色的球各个，乙盒子中有黄、黑、白三种颜色的球各个，32从两个盒子中各取个球，求取出的两个球是不同颜色的概率．【例45】某商场有奖销售中，购满100元商品得1张奖券，多购多得．第1000张奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个．设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为，，A B C ，求： ⑴()()()，，P A P B P C ； ⑵1张奖券的中奖概率；⑶1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率．【例46】把10张卡片分别写上0129，，，，后，任意叠放在一起，从中任取一张，设“抽到大于3的奇数”为事件A ，“抽到小于7的奇数”为事件B ，求()P A ，()P B 和()P A B ．【例47】甲、乙两人下棋，乙不输的概率是0.7，下成和棋的概率为0.5，分别求出甲、乙获胜的概率．1【例48】黄种人群中各种血型的人所占的比如下表所示：AB型血的人，其他不同血型的人不能互相输血．小明是B型血，若小明因病需要输血，问：⑴任找一个人，其血可以输给小明的概率是多少？⑵任找一个人，其血不能输给小明的概率是多少？【例49】在袋中装20个小球，其中彩球有n个红色、5个蓝色、10个黄色的，其余为白球．求：⑴如果从袋中取出3个都是相同颜色彩球（无白色）的概率是13114，且2≥n，那么，袋中的红球共有几个？⑵根据⑴的结论，计算从袋中任取3个小球至少有一个是红球的概率．【例50】某射手射击一次射中10环、9环、8环、7环的概率分别为0.120.320.270.11，，，，计算这名射手射击一次：⑴射中9环或8环的概率；⑵至少射中7环的概率；⑶至多射中8环的概率．【例51】射击运动员李强射击一次击中目标的概率是0.8，他射击3次，恰好2次击中目标的概率是多少？【例52】在12345，，路车的到来．假如汽车，，，，条线路汽车经过的车站上，有位乘客等候着134经过该站的次数平均来说2345，，，路车是相等的，而1路车是其他各路车次数的总和．试求首先到站的汽车是这位乘客所需要线路的汽车的概率．【例53】（2007年全国I卷文）某商场经销某商品，顾客可采用一次性付款或分期付款购买．根据以往资料统计，顾客采用一次性付款的概率是0.6，经销一件该商品，若顾客采用一次性付款，商场获得利润200元；若顾客采用分期付款，商场获得利润250元．⑴求3位购买该商品的顾客中至少有1位采用一次性付款的概率；⑵求3位位顾客每人购买1件该商品，商场获得利润不超过650元的概率．【例54】（2007年全国II卷文）从某批产品中，有放回地抽取产品二次，每次随机抽取1件，假设事件A：“取出的2件产品中至多有1件是二等品”的概率()0.96P A ．⑴求从该批产品中任取1件是二等品的概率p；⑵若该批产品共100件，从中任意抽取2件，求事件B：“取出的2件产品中至少有一件二等P B．品”的概率()【例55】（2009全国卷Ⅰ文）甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜3局者获得这次比赛的胜利，比赛结束．假设在一局中，甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，各局比赛结果相互独立．已知前2局中，甲、乙各胜1局．⑴求再赛2局结束这次比赛的概率；⑵求甲获得这次比赛胜利的概率．【例56】为防止某突发事件发生，有甲、乙、丙、丁四种相互独立的预防措施可供采用，万元的前提下，请确定一个预防方案，使得此突发事件不发生的概率最大．【例57】某售货员负责在甲、乙、丙三个柜面上售货．如果在某一小时内各柜面不需要售货员照顾的概率分别为0.90.80.7，，．假定各个柜面是否需要照顾相互之间没有影响，求在这个小时内：⑴只有丙柜面需要售货员照顾的概率；⑵三个柜面恰好有一个需要售货员照顾的概率；⑶三个柜面至少有一个需要售货员照顾的概率．【例58】（2006年北京卷）某公司招聘员工，指定三门考试课程，有两种考试方案．方案一：考试三门课程，至少有两门及格为考试通过；方案二：在三门课程中，随机选取两门，这两门都及格为考试通过．，，，且三门课程考试是否及格相互假设某应聘者对三门指定课程考试及格的概率分别是a b c之间没有影响．⑴分别求该应聘者用方案一和方案二时考试通过的概率；⑵试比较该应聘者在上述两种方案下考试通过的概率的大小．（说明理由）【例59】假设飞机的每一台发动机在飞行中的故障率都是1P，且各发动机互不影响．如果至少50%的发动机能正常运行，飞机就可以顺利地飞行．问对于多大的P而言，四发动机飞机比二发动机飞机更安全？【例60】（2009陕西卷文）椐统计，某食品企业一个月内被消费者投诉的次数为012，，的概率分别为0.4，0.5，0.1⑴求该企业在一个月内被消费者投诉不超过1次的概率；⑵假设一月份与二月份被消费者投诉的次数互不影响，求该企业在这两个月内共被消费者投诉2次的概率．【例61】某项选拔共有四轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考核，否则即被淘汰．已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮的问题的概率分别为45、35、25、15，且各轮问题能否正确回答互不影响．⑴求该选手进入第四轮才被淘汰的概率；⑵求该选手至多进入第三轮考核的概率．题型四条件概率【例62】设某批产品有4%是废品，而合格品中的75%是一等品，任取一件产品是一等品的概率是_____．【例63】某地区气象台统计，该地区下雨的概率是415，刮风的概率是215，既刮风又下雨的概率是110，设A =“刮风”，B =“下雨”，求()()P B A P A B ，．【例64】（09上海春）把一枚硬币抛掷两次，事件A =“第一次出现正面”，事件B =“第二次出现反面”，则()_____P B A =．【例65】（2010宣武二模）抛掷一枚质地均匀的骰子，所得点数的样本空间为{}1,2,3,4,5,6S =．令事件{}2,3,5A =，高中数学讲义21 思维的发掘能力的飞跃事件{}1,2,4,5,6B =，则()P A B 的值为（）A ． 35B ． 12C ． 25D ．15【例66】设某种动物活到20岁以上的概率为0.7，活到25岁以上的概率为0.4，求现龄为20岁的这种动物能活到25岁以上的概率．【例67】抛掷一颗骰子两次，在第一次掷得向上一面点数是偶数的条件下，则第二次掷得向上一面点数也是偶数的概率为．【例68】掷两枚均匀的骰子，记A =“点数不同”，B =“至少有一个是6点”，求(|)P A B 与(|)P B A ．。

随机事件的概率与计算

随机事件的概率与计算在日常生活中，我们会遇到许多随机事件，如抛硬币、掷骰子、抽奖等。

而了解这些随机事件发生的概率以及如何进行计算，对我们能够做出合理的决策和判断至关重要。

本文将介绍随机事件的概率概念，以及一些常见的概率计算方法。

一、概率的基本概念概率是描述随机事件发生可能性的数值，在0和1之间取值。

0表示事件绝对不会发生，而1表示事件一定会发生。

一般而言，概率越高，事件发生的可能性就越大。

二、随机事件的分类随机事件可以分为两类：离散型和连续型。

1. 离散型事件：指在有限个取值中取值的事件，例如抛硬币的结果只能是正面或反面。

2. 连续型事件：指在某个区间内取值的事件，例如一个人的身高可以是任意实数。

三、概率计算方法常见的概率计算方法有三种：古典概率、几何概率和统计概率。

1. 古典概率：也称为“理论概率”，适用于等可能性事件。

它的计算公式为：P(A) = n(A) / n(S)其中，P(A)表示事件A发生的概率，n(A)表示事件A的样本空间中的元素个数，n(S)表示样本空间中的总元素个数。

2. 几何概率：适用于随机事件的概率与其可能的取值范围的长度成正比的情况。

计算公式为：P(A) = 长度(A) / 长度(S)其中，P(A)表示事件A发生的概率，长度(A)和长度(S)分别表示事件A和样本空间S的长度。

3. 统计概率：也称为“频率概率”，基于大量重复试验的统计结果。

计算公式为：P(A) = lim(n->∞) (n(A) / n)其中，P(A)表示事件A发生的概率，n(A)表示事件A发生的次数，n表示试验的总次数。

四、概率计算的实例以下是几个概率计算的实例，以帮助更好理解概率的计算过程。

1. 抛硬币的概率假设我们有一枚公平的硬币，它的正反面出现的概率应该相等。

因此，抛一次硬币正反面的概率都是1/2。

2. 掷骰子的概率假设我们有一个六面骰子，每个面的概率都是1/6。

因此，掷一次骰子每个面出现的概率都是1/6。

1-2节随机事件的概率

第 k 次抽到白球就是排在第 k 号位置上的球是白球只能在2个白球中取得，故有2种抽法. 而另外9次抽的球可在余下的9个中任取，共有9！种抽法
P ( A) 2 9! 10 ! 2 10 1 5
解法二把2个白球看成一样，8个黑球看成一样，把
抽出的球仍依次放到10个位置上，由于白球看成一样，
4
0 . 2778 .
例3 将 15 名新生随机地平均分配到三个班级中去,这15名新生中有3名是优秀生.问 (1) 每一个班级各分配到一名优秀生的概率是多少? (2) 3 名优秀生分配在同一个班级的概率是多少? 解 15名新生平均分配到三个班级中的分法总数:
15 10 5 5
}
第3次摸到红球 4种
第1次摸到黑球 6种第2次摸到黑球
第3次摸球第2次摸球第1次摸球
10种
样本点总数为
10 10 10 10 ,
3
A 所包含样本点的个数为
故 P ( A) 664 10
3
6 6 4,
0 . 144 .
课堂练习 1o 电话号码问题在7位数的电话号码中,求各位数字互不相同的概率. 7 7
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因此所求概率为
p1 3 ! 12 ! 4! 4! 4! 15 ! 5! 5! 5!

25 91
.
(2)将3名优秀生分配在同一个班级的分法共有3种,
对于每一种分法,其余12名新生的分法有
12 ! 2! 5! 5!
种.
因此3名优秀生分配在同一个班级的分法共有
( 3 12 ! ) ( 2 ! 5! 5! ) 种 , 因此所求概率为
在数学研究上，他的学生阿诺尔德认为，柯尔莫哥洛夫总是去解决几百年来遗留下来的许多问题，成为新领域的发现者和先驱．正是由于他的聪颖和广泛爱好，兼对原创问题的关注，使他对开创现代数学的一系列重要分支作出了重大贡献，成为20世纪下半叶世界数学的领袖人物．