塞瓦定理
塞瓦定理
塞瓦定理：1:=⋅⋅∆RBAR QA CQ PCBP CR BQ AP AB CA BC ABC R Q P 的充要条件是三线共点、、边上的点，则、、的分别是、、设,111BCM ABP BMP ABM ACP CMP ACM ABM AP BQ CR M S S S S BP CQ AR PC S S S QA S RB BP CQ AR PC QA RBBP CQ AR AP BQ PC QA RBBP CQ AR AR PC QA R B ∆∆∆∆∆∆∆∆=====⋅⋅⋅⋅=⋅⋅=拻‘证：先证必要性：设、、相交于点，则：同理：以上三式相乘，得：＝再证充分性：若，设与相交于由塞瓦定理有：，于是：AR R B RB AB R R AP BQ CR ‘’＝段上，所以必与重合，故、、交于一点；：证明：三角形的中线例1111111111111111111,,1ABC AA BB CC C B AC B A AC BA CB AC C B BA AC CB B A ABC ∆⋅⋅====⋅⋅=∴∆证明：记的中线，，，我们只须证明而显然有：即成立，交于一点；】证明：三角形的角平【练习1】证明：锐角三角形的【练习22ABC C AB L L AC BC M N AN BM P CP AB∆∠⊥例：在锐角中,角的平分线交于于，从作边和的垂线，垂足分别是和，设和的交点是，证明： 111CK AB CK BM AN P CK BM AN AM CN BKMC CNMC NB AKAM BK AM ALAML AKC AK NB AK ACBK BC AL BCBNL BKC NB BL AC BL⊥⋅⋅==⋅=∆≅∆⇒=∴∆≅∆⇒=⋅= 证：作下证、、三线共点，且为点，要证、、三线共点，依塞瓦定理即要证：又即要证明：即要证1AL BC AC BLCK BM AN P CP AB⋅=∴∴⊥依三角形的角平分线定理可知：、、三线共点，且为点3.AD ABC D BC P AD BP CP AC AB E F EDA FDA∆∠∠例设是的高，且在边上，若是上任一点，、分别与、交于和，则＝A AD DE DF M N EDA FDA ∠=∠证：过作的垂线，与、的延长线分别交于、。
塞瓦定理的应用
塞瓦定理的应用
塞瓦定理可以追溯到古希腊哲学家和数学家塞瓦（Socrates）。
塞瓦定理描述了数学中三个点形成的三角形的某些规律，并且可以被用于求解三角形的面积，并可以推广到更多的维度中。
塞瓦定理也可以简单地描述为：在任意一个三角形中，加入三条顶点到各自相邻的边之间的距离，其和恒定等于该三角形的周长。
这个定理也可以被称为“比例定理”，它可以用来证明具有比例性的定理。
除了上述介绍的基本应用外，塞瓦定理还可以用于求解平面几何形状的面积，例如三角形和正方形，这些几何形状在建筑学，工程学，地图学等许多方面都有广泛的应用。
塞瓦定理还可以被用来求解旋转投影的面积，以及三角形的内切圆半径。
此外，它还可以被用来研究三角形的角度和边长之间的关系，以及确定两条线段之间的夹角。
塞瓦定理也可以用于研究三角形的另外一些性质，例如三角形外接圆的半径，这可以帮助计算几何学中的表面积；此外，它也可以被用于求解螺旋线的面积，以及求解多边形的最小外接圆。
塞瓦定理还可以用于计算一些复杂的几何形状的面积，包括：椭圆，圆环，抛物线，平行四边形，以及五边形等。
塞瓦定理的应用还可以扩展到计算机科学的领域，它可以被用来解决复杂的几何形状的问题，也可以帮助完成复杂的拼图游戏。
另外，它还可以用于研究一些数学现象，例如多边形内最大最小值比，多边形内最大最小值比和多维几何形状的形态。
总之，塞瓦定理在求解三角形，平面几何，计算机科学，以及数学现象的面积和形态等方面都有着广泛的应用，为科学研究提供了重要的理论参考。
塞瓦定理
塞瓦定理在△ABC内任取一点O，直线AO、BO、CO分别交对边于D、E、F，则 (BD/DC)*(CE/EA)*(AF/FB)=1 证法简介（Ⅰ）本题可利用梅涅劳斯定理证明：∵△ADC被直线BOE所截，∴ (CB/BD)*(DO/OA)*(AE/EC)=1 ①而由△ABD被直线COF所截，∴ (BC/CD)*(DO/OA)*(AF/FB)=1②②÷①:即得：(BD/DC)*(CE/EA)*(AF/FB)=1（Ⅱ）也可以利用面积关系证明∵BD/DC=S△ABD/S△ACD=S△BOD/S△COD=(S△ABD-S△BOD)/(S△ACD-S△CO D)=S△AOB/S△AOC ③同理CE/EA=S△BOC/ S△AOB ④ AF/FB=S△AOC/S△BOC ⑤③×④×⑤得BD/DC*CE/EA*AF/FB=1利用塞瓦定理证明三角形三条高线必交于一点:设三边AB、BC、AC的垂足分别为D、E、F，根据塞瓦定理逆定理，因为(AD:DB)*(BE:EC)*(CF:FA)=[(CD*ctgA/[(CD*ctgB）]*[(AE*ctgB)/(AE*ctgC)]*[(BF*ctgC)/[(BF* ctgA)]=1，所以三条高CD、AE、BF交于一点。
可用塞瓦定理证明的其他定理;三角形三条中线交于一点（重心）:如图5 D , E分别为BC , AC 中点所以BD=DC AE=EC 所以BD/DC=1 CE/EA=1且因为AF=BF 所以 AF/FB必等于1 ，所以三角形三条中线交于一点，即为内心用赛瓦定理还可以证明三条角平分线交于一点此外，可用定比分点来定义塞瓦定理：在△ABC的三边BC、CA、AB或其延长线上分别取L、M、N三点，又分比是λ=BL/LC、μ=CM/MA、ν=AN/NB。
于是AL、BM、CN三线交于一点的充要条件是λμν=1。
（注意与梅涅劳斯定理相区分，那里是λμν=-1）1.设E是△ABD内任意一点，AE、BE、DE分别交对边于C、G、F，则(BD/BC)·(CE/AE)·(GA/DG)=1因为(BC/CD)*(DG/GA)*(AF/FB)=1，（塞瓦定理）所以(BD/CD)·(CE/AE)·(AF/FB)=K（K为未知参数）且(BD/BC)*(CE/AE)*(GA/DG)=K（K为未知参数）又由梅涅劳斯定理得：(BD/CD)*(CE/AE)*(AF/FB)=1所以(BD/BC)*(CE/AE)*(GA/DG)=12.塞瓦定理角元形式AD,BE,CF交于一点的充分必要条件是：(sin∠BAD/sin∠DAC)*(sin∠ACF/sin∠FCB)*(sin∠CBE/sin∠EBA)=1 由正弦定理及三角形面积公式易证3.如图，对于圆周上顺次6点A，B，C，D，E，F，直线AD，BE，CF交于一点的充分必要条件是：(AB/BC)*(CD/DE)*(EF/FA)=1由塞瓦定理的角元形式，正弦定理及圆弦长与所对圆周角关系易证。
塞瓦定理和梅涅劳斯定理的一种向量证法
塞瓦定理和梅涅劳斯定理的一种向量证法塞瓦定理和梅涅劳斯定理是初等几何中非常重要的定理，它们分别描述了三角形内部一点与三边的关系和两个三角形内部对应线段的关系。
虽然它们的证明有很多种不同的方法，但本文将介绍一种基于向量的证明方法，以期拓展读者对几何证明方法的认识。
塞瓦定理：三角形ABC内部一点D，BD与AC交于E，CE与AB交于F，则有AD/DB· BE/EC· CF/FA = 1。
我们首先将向量法中的一些重要定义列举如下：· 向量的加减法：若有向量a和向量b，则它们的和定义为a+b，差定义为a-b。
若有向量a和向量b，则它们的数量积定义为a·b=|a||b|cosθ，其中θ为a与b之间的夹角，|a|和|b|分别为它们的模长。
接下来，我们对塞瓦定理进行证明。
证明过程如下：设向量AD为a，向量BD为b，向量BE为c，向量CE为d，向量CF为e，向量AF为f。
则有：a=b+cc=d+ee=f+a将三个等式代入AD/DB· BE/EC· CF/FA = 1中，得：（b+c)/b· c/(d+e)· f/(c+a) = 1移项化简，得：将向量的数量积和叉积运算带入上式，得：由向量的分配律和叉积的结合律，得：(b×c + c×c)×f = b×d×c + b×e×c + c×c×a由向量的叉积运算，可将左边化简为：(b×c)×f+c×(c×f)由于向量的叉积满足a×b=-b×a，因此有：所以，左边可以进一步化简为：将右边的三项分别化简为：b×d×c = -b×c×d因此，右边可化为：通过化简，可以得到：再运用三角形相似的性质，即在三角形ABD和三角形EFC中可知，有：DB / AD = EC / EF由于有d+e=DC，DF+EF=FC，因此可以进一步化简为：根据相似三角形的性质，可知：合并式子，得：以上证明中，我们使用了向量的加减法、数量积和叉积，运用向量的运算性质和三角形的相似性质推导出了塞瓦定理。
证明三角形的高交于一点 塞瓦定理
证明三角形的高交于一点塞瓦定理全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：塞瓦定理，又被称为三角形的高定理，是三角形几何中一个非常基础而重要的定理。
它描述了三角形的三条高线所交于同一点。
在三角形几何中，高线是从一个角顶上垂直向对边所引出的线段，通常用字母h表示。
三角形的三条高线所交的点被称为垂心。
塞瓦定理的内容如下：对于任意一个三角形ABC，其三条高线AD、BE、CF相交于一点H，即H为三角形ABC的垂心。
在三角形ABC中，设AD是边BC的高线，垂足为D，BE是边AC 的高线，垂足为E，CF是边AB的高线，垂足为F。
根据三角形几何的性质，我们可以证明这三条高线交于同一点H，即垂心。
我们来证明垂心H的存在性。
假设三角形ABC是一个锐角三角形，即三个内角都是锐角。
我们知道，在锐角三角形中，三角形的三条高线不仅相交于同一点，还与三角形的顶点连线构成的垂直平分线相交于同一点，即垂心。
垂心H的存在性是显而易见的。
接下来，我们来证明垂心H的唯一性。
假设三角形ABC有两个垂心H1和H2，分别是两条高线的交点。
我们可以通过反证法来证明H1和H2实际上是同一个点。
假设H1和H2不相同，那么它们连线构成的直线H1H2肯定存在一个中垂线M，且M垂直于H1H2。
但是根据三角形几何的性质，两条高线的交点应该在三角形的顶点处，即H1和H2应该共线，那么连线H1H2上不可能存在中垂线M，从而得出矛盾。
垂心H的唯一性也得到了证明。
我们证明了塞瓦定理的内容：三角形的三条高线所交于同一点，即垂心。
在三角形几何中，塞瓦定理是一个非常基础而重要的定理，对于理解三角形的几何性质具有重要意义。
通过研究和理解塞瓦定理，我们可以更深入地认识三角形的特性，进而应用到具体的三角形问题中，提高解题的能力和水平。
在实际的数学学习中，塞瓦定理也经常被应用到三角形的面积计算中。
通过垂心的概念，我们可以建立垂心到三角形三个顶点的距离关系，从而推导出三角形的面积公式。
塞瓦定理
塞瓦定理 塞瓦定理 在△ABC内任取一点O， 直线AO、BO、CO分别交对边于D、E、F，则 (BD/DC)*(CE/EA)*(AF/FB)=1 证法简介 （Ⅰ）本题可利用梅涅劳斯定理（简称梅氏定理）证明： ∵△ADC被直线BOE所截， ∴ (CB/BD)*(DO/OA)*(AE/EC)=1 ① 而由△ABD被直线COF所截，∴ (BC/CD)*(DO/OA)*(AF/FB)=1② ②÷①:即得：(BD/DC)*(CE/EA)*(AF/FB)=1 （Ⅱ）也可以利用面积关系证明 ∵BD/DC=S△ABD/S△ACD=S△BOD/S△COD=(S△ABD-S△BOD)/(S△ACD-S△COD)=S△AOB/S△AOC ③ 同理 CE/EA=S△BOC/ S△AOB ④ AF/FB=S△AOC/S△BOC ⑤ ③×④×⑤得BD/DC*CE/EA*AF/FB=1 利用塞瓦定理证明三角形三条高线必交于一点: 设三边AB、BC、AC的垂足分别为D、E、F， 根据塞瓦定理逆定理，因为(AD:DB)*(BE:EC)*(CF:FA)=[(CD*cotA）/[(CD*cotB）]*[(AE*cotB)/(AE*cotC)]*[(BF*cotC)/[(BF*cotA)]=1，所以三条高CD、AE、BF交于一点。 2 利用塞瓦定理证明三角形三条高线必交于一点: 设三边AB、BC、AC的垂足分别为D、E、F， 根据塞瓦定理逆定理，因为(AD:DB)*(BE:EC)*(CF:FA)=[(CD*cotA）/[(CD*cotB）]*[(AE*cotB)/(AE*cotC)]*[(BF*cotC)/[(BF*cotA)]=1，所以三条高CD、AE、BF交于一点。 可用塞瓦定理证明的其他定理; 三角形三条中线交于一点（重心）:如图5 D , E分别为BC , AC 中点 所以BD=DC AE=EC 所以BD/DC=1 CE/EA=1 且因为AF=BF 所以 AF/FB必等于1 ，所以三角形三条中线交于一点，即为重心 用塞瓦定理还可以证明三条角平分线交于一点 此外，可用定比分点来定义塞瓦定理： 在△ABC的三边BC、CA、AB或其延长线上分别取L、M、N三点，又分比是λ=BL/LC、μ=CM/MA、ν=AN/NB。于是AL、BM、CN三线交于一点的充要条件是λμν=1。（注意与梅涅劳斯定理相区分，那里是λμν=-1）
平面几何2--塞瓦定理
厦门一中2010数学竞赛讲座—平面几何
平面几何定理2——塞瓦定理
塞瓦定理：设P 、Q 、R 分别是ABC ∆三边BC ，CA 、AB 或其延长线上的点，若AP 、BQ 、CR 三线平行或共点，则BP 1PC CQ AR QA RB ⋅⋅=。
塞瓦定理逆定理：设P 、Q 、R 分别是ABC ∆三边BC ，CA 、AB 或其延长线上的点，若BP 1PC CQ AR QA RB
⋅⋅=，则AP 、BQ 、CR 三线平行或共点。
角元形式的塞瓦定理：设P 、Q 、R 分别是ABC ∆三边BC ，CA 、AB 或其延长线上的点，则AP 、BQ 、CR 三线平行或共点的充要条件是：
sin sin sin 1sin sin sin BAP ACR CBQ PAC RCB QBA
∠∠∠⋅=∠∠∠
`
练习. 如图 例2 练习
三角形格点问题(角元形式)
例4（与梅氏定理的配合运用）
练习
例3
练习
例5.
练习1
2.
3.
4.
5.。
塞瓦定理的意义
塞瓦定理的意义
塞瓦定理（Ceva"s theorem）是平面几何中的一个重要定理，它描述了三角形内部三条以顶点为端点的线段所构成的三个线分的特
殊关系。
塞瓦定理的意义主要体现在以下几个方面：
1. 几何性质的证明：塞瓦定理是几何性质证明中常用的重要工具。
通过应用塞瓦定理，可以推导出很多有关三角形内部线段的性质，如角平分线的交点在三角形内部，高线的交点在三角形外部等。
2. 三角形的判定：利用塞瓦定理，可以判断一个给定的三角形
是否能够由三条给定的线段构成。
当三个线段满足塞瓦定理的条件时，就可以确定它们构成一个三角形。
3. 三角形的分割：塞瓦定理可以应用于三角形内部线段的分割
问题。
通过选择合适的线段长度，可以将三角形内部的线段分割成所需的比例。
4. 解决几何问题：塞瓦定理作为一个基本的几何工具，可以应
用于解决各种几何问题，如求解三角形的内心、外心等特殊点的位置。
综上所述，塞瓦定理在几何学中具有重要的意义，在解决几何问题、证明几何性质以及三角形的判定和分割等方面发挥着关键作用。
梅涅劳斯定理和塞瓦定理
第十讲：梅涅劳斯定理和塞瓦定理一、梅涅劳斯定理定理1若直线l不经过ABC的顶点,并且与ABC的三边BC、CA、AB或它们的延长线分别交于P 、Q、R,则BPPC CQQAARRB=1证明：设ℎA、ℎB、ℎC分别是A、B、C到直线l的垂线的长度,则：BPPC CQQAARRB=ℎBℎCℎCℎAℎAℎB=1;注：此定理常运用求证三角形相似的过程中的线段成比例的条件;例1若直角ABC中,CK是斜边上的高,CE是∠ACK的平分线,E点在AK上,D是AC的中点,F是DE与CK的交点,证明：BF∥CE;解析因为在EBC中,作∠B的平分线BH,则：∠EBC=∠ACK，∠HBC=∠ACE,∠HBC+∠HCB=∠ACK+∠HCB=90°,即BH⊥CE,所以EBC为等腰三角形,作BC上的高EP,则：CK=EP,对于ACK和三点D、E、F根据梅涅劳斯定理有：CDDA AEEKKFFC=1,于是KFFC=EKAE=CKAC=EPAC=BPBC=BKBE,即KFFC =BKBE,根据分比定理有：KFKC=BKKE,所以FKBCKE,所以BF∥CE;例2从点K引四条直线,另两条直线分别交直线与A、B、C、D和A1，B1，C1，D1,试证：AC BC :ADBD=A1C1B1C1:A1D1B1D1;解析若AD∥A1D1,结论显然成立；若AD与A1D1相交于点L,则把梅涅劳斯定理分别用于A1AL和B1BL可得：ADLDLD1A1D1A1KAK=1,LCACAKA1KA1C1LC1=1,BCLCLC1B1C1B1KBK=1,LDBDBKB1KB1D1LD1=1,将上面四个式子相乘,可得：ADAC BCBDA1C1A1D1B1D1B1C1=1,即：ACBC:ADBD=A1C1B1C1:B1D1B1C1定理2设P、Q、R 分别是ABC的三边BC、CA、AB上或它们延长线上的三点,并且P、Q、R三点中,位于ABC边上的点的个数为0或2,这时若BPPC CQQAARRB=1,求证P、Q、R三点共线;证明：设直线PQ与直线AB交于R’,于是由定理1得：BPPC CQQAAR‘R’B=1,又因为BPPCCQQAARRB=1,则AR‘R’B=ARRB,由于在同一直线上P、Q、R三点中,位于ABC边上的点的个数也为0或2,因此R与R‘或者同在AB线段上,或者同在AB的延长线上；若R与R‘同在AB线段上,则R与R‘必定重合,不然的话,设AR>AR‘,这时AB−AR<AB−AR‘,即BR<BR‘,于是可得ARBR >AR‘BR‘,这与AR BR =AR‘BR‘矛盾,类似地可证得当R与R‘同在AB的延长线上时,R与R‘也重合,综上可得：P、Q、R三点共线;注：此定理常用于证明三点共线的问题,且常需要多次使用再相乘；例3点P位于ABC的外接圆上；A1、B1、C1是从点P向BC、CA、AB引的垂线的垂足,证明点A1、B1、C1共线;解析易得：BA1CA1=−BP?cos∠PBCCP?cos∠PCB,CB1AB1=−CP?cos∠PCAAP?cos∠PAC,AC1BC1=−AP?cos∠PABBP?cos∠PBA,将上面三个式子相乘,且因为∠PCA=∠PBC,∠PAB=∠PCB,∠PCA+∠PBA=180°,可得BA1CA1CB1AB1AC1BC1=1,根据梅涅劳斯定理可知A1、B1、C1三点共线;例4 设不等腰ABC的内切圆在三边BC、CA、AB上的切点分别为D、E、F,则EF与BC,FD 与CA,DE与AB的交点X、Y、Z在同一条直线上;解析ABC被直线XFE所截,由定理1可得：BXXC CEEAAFFB=1,又因为AE=AF,代入上式可得BXXC =FBCE,同理可得CYYA=DCAF,AZZB=EABD,将上面的式子相乘可得：BXXC CYYAAZZB=1,又因为X、Y、Z丢不在ABC的边上,由定理2可得X、Y、Z三点共线;例5已知直线AA1,BB1,CC1相交于O,直线AB和A1B1的交点为C2,直线BC和B1C1的交点为A2,直线AC和A1C1的交点为B2,试证A2、B2、C2三点共线;解析设A2、B2、C2分别是直线BC和B1C1,AC和A1C1,AB和A1B1的交点,对所得的三角形和它们边上的点：OAB和A1，B1，C2,OBC和B1，C1，A2,OAC和A1，C1,B2应用梅涅劳斯定理有：AA1OA1OB1BB1BC2AC2=1,OC1CC1BB1OB1CA2BA2=1,OA1AA1CC1OC1AB2CB2=1,将上面的三个式子相乘,可得：BC2 AC2AB2CB2CA2BA2=1,由梅涅劳斯定理可知A2、B2、C2共线;例6在一条直线上取点E、C、A,在另一条上取点B、F、D,记直线AB和ED,CD和AF,EF和BC的交点依次为L、M、N,证明：L、M、N共线;解析记直线EF和CD,EF和AB,AB和CD的交点分别为U、V、W,对UVW,应用梅涅劳斯定理于五组三元点(L,D,E),(A,M,F),(B,C,N),(A,C,E),(B,D,F),则有UEVE VLWLWDUD=1,VAWAUFVFWMYM=1,UN VN WCUCVBWB=1,WAVAUCWCVEUE=1,WBVBUDWDVFUF=1,将上面五个式子相乘可得：VLWLWMUMUNVN=1,点L、M、N共线;二、塞瓦定理定理：设P、Q、R分别是ABC的BC、CA、AB边上的点,则AP、BQ、CR三线共点的充要条件是：BPPC CQQAARRB=1;证明：先证必要性：设AP、BQ、CR相交于点M,则BPPC =S ABPS ACP=S BMP S CMP =S ABMS ACM,同理CQQA=S BCMS ABM,ARRB=S ACMS BCM,以上三式相乘,得：CBA1A1B1CM QRACPBBP PC CQQAARRB=1,再证充分性：若BPPCCQQAARRB=1,设AP与BQ相交于M,且直线CM交AB于R’,由塞瓦定理有：BPPC CQQAAR’R’B=1,约翰斯：AR’R’B=ARRB,因为R和R’都在线段AB上,所以R’必与R重合,故AP、BQ、CR相交于一点M;例7证明：三角形的中线交于一点;解析记ABC的中线AA1,BB1,CC1,我们只须证明AC1C1B BA1A1CCB1B1A=1,而显然有：AC1=C1B,BA1=A1C,CB1=B1A,即AC1C1B BA1A1CCB1B1A=1成立,所以,ABC交于一点,例8在锐角ABC中,∠C的角平分线交AB于L,从L做边AC和BC的垂线,垂足分别是M和N,设AN和BM的交点是P,证明：CP⊥AB;解析作CK⊥AB,下证CK、BM、AN三线共点,且为P点,要证CK、BM、AN三线共点,根据塞瓦定理即要证：AM MC CNNBBKAK=1,又因为MC=CN,即要证明：AMAKBKNB=1,因为AMLAKC AMAK =ALAC,BNLBKC BKNB=BCBL,即要证ALACBCBL=1,根据三角形的角平分线定理可知：ALAC BCBL=1,所以CK、BM、AN三线共点,且为P点,所以CP⊥AB;例9设AD是ABC的高,且D在BC边上,若P是AD上任一点,BP、CP分别与AC、AB交于E和F,则∠EDA=∠FDA;解析过A作AD的垂线,与DE、DF的延长线分别交于M、N;欲证∠EDA=∠FDA,可以转化为证明AM=AN,因为AD⊥BC,故MN∥BC,可得AMECDE，ANFBDF,所以AMCD =AECE，ANBD=AFBF,于是AM=AE?CD CE ，AN=AF?BDBF,因为AD、BE、CF共点与P,根据塞瓦定理可得：BD DC CEEAAFFB=1,所以AE?CDCE=AF?BDBF,所以AM=AN，所以∠EDA=∠FDA例10在ABC的边BC、CA、AB上取点A1、B1、C1,证明AC1 C1B BA1A1CCB1B1A=sin∠ACC1sin∠C1CBsin∠BAA1sin∠A1ACsin∠CBB1sin∠B1BA解析如图对ACC1和BCC1应用正弦定理,可得AC1C1C=sin∠ACC1 sin∠A ,CC1C1B=sin∠Bsin∠C1CB,即AC1C1B=sin∠ACC1sin∠C1CBsin∠Bsin∠A,同理：BA1A1C=sin∠BAA1sin∠A1ACsin∠Csin∠B,CB1B1A=sin∠CBB1sin∠B1BAsin∠Asin∠C,从而AC1C1B BA1A1CCB1B1A=sin∠ACC1sin∠C1CBsin∠BAA1sin∠A1ACsin∠CBB1sin∠B1BA;CBA1A1B1CK LNMCBA。
角元塞瓦定理证明
角元塞瓦定理证明费马角元塞瓦定理（Fermat’s Little Theorem），又称费马小定理，是一个数学定理，由法国数学家费马在1640年提出，可以用来快速计算模意义下的乘方。
该定理严格有效，并且在计算机科学中，费马小定理及其一般化是流行的算法。
费马角元塞瓦定理简单地讲，它给出了对任何给定的正整数p和任何整数a的关系式：a^p ≡ a (mod p)。
换句话说，其发现的是当一个整数a与另一个质数p相除时出现的模运算的性质：a的p次方除以p的余数等于a。
基于费马的定理，任何正整数模上任何质数都有这种性质，这使得这个定理在计算机科学中非常重要。
费马小定理有着丰富的发现背景。
历史上法国数学家费马最早提出了这个定理，这是他1640年研究《清数学》中出现的结论，他在1730年写出了它的更完整的基础。
从那以后，人们也用过自然数来讨论这个定理，至今定理仍然适用于所有非负整数。
同时，费马小定理也被用于计算机科学中的一些算法，如RSA加密和快速幂算法。
从定理的定义可以看出，设p为正整数，a为任何正整数，则有a^p ≡ a (mod p)。
如果将正整数p分别取2，3，4，5，……，则有2^2 ≡ 2 (mod 2)，3^3 ≡ 3 (mod 3)，4^4 ≡ 4 (mod 4)，5^5 ≡ 5 (mod 5)，……等同样的关系。
从这些例子我们可以推断一般情况p^p ≡ p (mod p)。
由此可以进一步得到结论，当p是素数时，费马小定理成立：对于给定的正整数p，对任何正整数a，都有a^p ≡ a (mod p)。
而p可以被原根模p整除，这表明费马小定理是一个重要的数论定理，并且在计算机科学中也广泛使用。
综上所述，费马小定理是一个有趣的数学定理，它强调了一种模运算的特性：存在一个特定的整数a，一个正整数p，使得a^p ≡ a (mod p)。
费马小定理在数论和计算机科学中都有广泛的应用，经常被用来运用它的算法来计算快速乘方。
塞瓦定理及相似的其他定理
塞瓦定理及相似的其他定理
塞瓦定理是几何学中的一个重要定理，它表述了在任意三角形中，通过三边的三个内点（每个内点都在相应边的中垂线上），必有一条直线与对边相交。
这个定理的证明基于了平行线的性质和三角形的性质。
在几何学中，与塞瓦定理相似的其他定理还有很多，它们在证明和解题中都有着广泛的应用。
例如，克吕格定理，它表述了在任意三角形中，如果一个点位于三边的垂直平分线上，那么这个点到三角形的三个顶点的距离相等。
这个定理在解决几何问题时非常有用，特别是在处理三角形中的距离和角度问题时。
此外，还有梅纳劳斯定理和塞瓦定理一起，被认为是三角形中的两大定理。
梅纳劳斯定理表述了当一条线段与三角形的三边或其延长线相交，所得的三个线段乘积等于1。
这个定理在解决几何问题时也很有用，特别是在处理三角形中的角度和线段长度问题时。
除了以上提到的定理外，还有许多其他的定理也与塞瓦定理相似，它们在几何学中都有着广泛的应用。
这些定理都是基于不同的基本性质和公理推导出来的，它们的证明和应用都需要一定的数学基础和逻辑推理能力。
在学习这些定理时，需要注意它们的适用范围和限制条件，以免在应用中出现错误。
同时，也需要通过大量的练习来加深对这些定理的理解和掌握，提高自己的几何思维能力。
总之，塞瓦定理及与之相似的其他定理是几何学中的重要组成部分，它们在证明和解题中都有着广泛的应用。
通过学习和掌握这些定理，可以更好地理解几何学的基本性质和原理，提高自己的数学素养和逻辑思维能力。
第2章 塞瓦定理及应用(二试篇)
【证明】如图 2-3，设 △ ABC 的外接圆半径为 R ， AA1 交 BC 于 A ， BB1 交 CA 于 B ，CC1 交 AB 于 C ．由 A ，C1 ，
正弦定理，有
BA1 A1C
2R sin∠BAA1 2R sin∠A1AC
GB AB EC CJ
AB AD CJ
从而， CI CJ ．
又 CI ∥ AB ， CJ ∥ AD ，有∠ACI 180 ∠BAC 180 ∠DAC ∠ACJ ．
因此， △ ACI ≌△ACJ ，即有∠IAC ∠JAC ．
故 ∠GAC ∠EAC ．
注 由此例还可变出一些题目，参见练习题第 4、5 及 19 题．
【例 4】 如图 2-8，BE 是 △ ABC 的中线，G 在 BE 上，分别延长 AG ，CG 交 BC ，AB 于 D ，F ，过 D 作 DN ∥CG 交 BG 于 N ， △ DGL 及 △FGM 为正三角形．求证： △ LMN 为正三角形．
注 将此例中的平角∠BDC 变为钝角，则有如下： 【例 3】 如图 2-7，在四边形 ABCD 中，对角线 AC 平分∠BAD ．在 CD 上取一点 E ， BE 与 AC 相交于 F ，延长 DF 交 BC 于 G ．求证：∠GAC ∠EAC ．
（1999 年全国高中联赛题）
5
证明 连 BD 交 AC 于 H ，对 △ BCD 及点 F ，应用塞瓦定理，有
AC ，故 C1 与 C
重合，从而 AA ， BB ， CC 三线共点．
若
AA∥ BB
，则
CB BA
CB BA
．代入已知条件，有
AC C B
塞瓦定理及应用
1 , 1 .第二章塞瓦定理及应用【基础知识】塞瓦定理 设A , B , C 分别是△ ABC 的三边BC , CA , AB 或其延长线上的点，若CC 三线平行或共点，则_BA CB 竺 1 .AC BA C B(2 )点P 常称为塞瓦点.(3)共点情形的塞瓦定理与梅涅劳斯定理可以互相推证.首先，由梅涅劳斯定理推证共点情形的塞瓦定理.CA PA C BBC BA PA如图 2-1 ( b )、 (c )，分别对△ABA 及截线CPC ，对△ AAC 及截线BPB 应用梅涅劳斯定理有BC AP AC AB CB APAA , BB ,证明如图2-1 (b )、 (c )，若 AA ， BB ， CC 交于一点 P ，则过 A 作BC 的平行线，分别交 BB ，CC 的延长线于，得 CB BC BA AD ACC BEA BC又由BA AD从而BA AC AP PACB BA 若 AA , BB , 由:AC 也，有EABA ACAC CBAD EA BC AD AD EAEA BCCC 三线平行，可类似证明 对于图2-1(b )、 CB AC BA C BS A PABPCA(略)(c )也有如下面积证法:S A PBC S A 1，即证.S A PAB S A PBC(b)图2- 2分别视点C , A , B , C , A , B 为塞瓦点，应用塞瓦定理，即对△ BCB 及点 C （直线BA , CX , BA 的交点），有BA CA BX 1AC AB XB对△ CAC 及点 A（直线CB ,AY , CB 的交点），有CB- AB C Y1 .BC BC YC“、」 亠AC BC AZ对△ ABA 及点 B （直线BZ , AC 的交点），有——1C B CA ZA对△ BBC 及点 C （直线BA , BA , CX 的交点），有聖B AC A 1 .XB AC AB“、」 亠CY C B A B对△ CCA 及点 A （直线CB . ,CB , A Y 的交点），有——1YC BA BC对△ AAB 及点 B （直线AC ,AC , BZ 的交点），有AAC BC 1ZA C B CABA CB2AC上述八式相乘，有1 .AC BA C BBA CB AC 故A C BA C B分别是△ ABC 的三边BC , CA , AB 或其延长线上的点，若 BA CB AC1 AC BA C B则AA , BB , CC 三直线共点或三直线互相平行.证明若AA 与BB 交于点P ，设CP 与AB 的交点为C i ，则由塞瓦定理，有上述两式相乘，得 BA CB AC AC BA C B 其次，由共点情形的塞瓦定理推证梅涅劳斯定理. 如图2-2，设A , B , C 分别为△ ABC 的三边BC , CA , AB 所在直线上的点，且 A ，直线CC 与AA 交于点Y ，直线AA 与BB 交于点 点共线.令直线 BB 与CC 交于点X X 塞瓦定理的逆定理BACB AC11 ,又已知有 BA CB AC1 1 ,由此得 AC 1AC,即 AC1 AC ,亦即 AC 1 AC ,AC BA C 1BAC BA GB C 1BC B AB AB故C 1 与C 重合，从而 AA , BB , CC 三线共点.若 AA II BB ，则 CBCBAC代入已知条件，有 C -AC 由此知CC II AA ，故B A BACBCBAA II BB II CC .上述两定理可合写为： 设A , B , C 分别是△ ABC 的BC , CA , AB 所在直线上的点，则三直线AA , RA CB ACBB ，CC 平行或共点的充要条件是 竺 竺 1 .③AC BA C B 第一角元形式的塞瓦定理设A , B , C 分别是△ ABC 的三边BC , CA , AB 所在直线上的点，贝U再运用塞瓦定理及其逆定理，知结论成立.sin / BOA sin / AOC sin / COB sin / AOC sin / COB sin / BOA 证明注意到塞瓦定理及其逆定理，有由此即证得结论.注 在上述各定理中，若米用有向线段或有向角，则①、②、③、④、⑤式的右端仍为 1 .特别要注意的是三边所在直线上的点或者两点在边的延长线上，或者没有点在边的延长线上•④、⑤式中的角 也可按①式的对应线段记忆.推论 设A ,吕,G ，分别是 △ ABC 的外接圆三段弧 BC , CA , AB 上的点，贝U AA, , B^ , CC1共 点的充要条件是三直线AA ,BB , CC 平行或共点的充要条件是 sin / BAA sin / A AC 证明由-BA A C S^ AACsin / ACCsin / CCB ABA sin / CBB / 1 . sin / B BAAB sin / BAA CB ，BAAC sin / A ACBC sin / CBB / ?AB sin / B BAAC CBAC sin [ ACC ，三式相乘, BC sin / CCB第二角元形的塞瓦定理 设A , B , 分别△ ABC 的三边BC , CA , AB 所在直线上的点， 0是不在厶ABC 的三边所在直线上的点，则AA , BB , CC 平行或共点的充要条件是i 少 CB AC A C BAC B BO sin / BOA CO sin / AOC BOA COBAOC ROACO sin / COBAO sin / BOA AOC C OBAO sin / AOCBO sin / COBi ,对△ ACE 及点D 有 对厶CDE 及点A 有 对△ ADE 及点C 有 对△ ABD 及点F 有AB CGBC GE CF DB FD BEDG AF GA FE AC BEEF i , FA EGi ,GCEB i ,BDCB ED HABA i CB i AC i AC B A C i B证明 如图2-3，设△ ABC 的外接圆半径为 R , AA i 交BC 于A , BB i 交CA 于B , CC i 交AB 于C .由BA, 2R sin / BAA i sin / BAA AC 2R s in / AAC sin / A ACA , C i ,B , A i ,C , B i 六点共圆及正弦定理，有CB i sin / CBB AC i B ,A sin / B BAC ,Bsin / ACC sin / CCB三式相乘，并应用第一角元形式的塞瓦定理即证. 为了使读者熟练地应用塞瓦定理，针对图 2-4中的点A 、B 、C 、D 、E 、F ，将其作为塞瓦点，我们写出如下式子: 图2-4DH【典型例题与基本方法】1 •恰当地选择三角形及所在平面上的一点，是应用塞瓦定理的关键例1四边形两组对边延长分别相交，且交点的连线与四边形的一条对角线平行•证明：另一条对角线的延长线平分对边交点连线的线段. （1978年全国高中竞赛题）证明 如图2-5 ,四边形ABCD 的两组对边延长分别交于 E , F ,对角线BD II EF , AC 的延长线交EF 于G •对△ AEF 及点C ，应用塞瓦定理，有 EG FD AB1 •GF DA BEAB AD由BD II EF ，有——一一，代入上式, BE DF EG得——1，即EG GF .命题获证. GF例2如图2-6，锐角△ ABC 中，AD 是BC 边上的高，H 是线段AD 内任一点，BH 和CH 的延长线 分别交 AC , AB 于 E , F •求证：Z EDH Z FDH .对△ ACD 及点E 有 对△ ADF 及点B 有 对△ ABF 及点D 有 对△ BDF 及点A 有AG DF CB 1 ,GD FC BAAH DC FE 1,HD CF EABC AE FH 1 , CA EF HBBE DC FH 1 • ED CF HB（1994年加拿大奥林匹克试题）图2-5P A O证法1对^ ABC 及点H，应用塞瓦定理，有^DCH 1 - 过 A 作 PQ // BC ，延长 DF , DE 分别交 PQ 于 P ,Q ，贝U DA 丄 PQ ，且△ APF s △ BDF ,△ AQE s △ CDE ，从而AFEAPA -BD ,AQDC .FBCE而由①，有 AF BD EA DC ，故 PA AQFBCE由此知AD 为等腰 △ APQ 底边PQ 上的高，故 Z EDH Z FDH . 证法2 对△ ABC 及点H 应用塞瓦定理，有注 将此例中的平角 Z BDC 变为钝角，则有如下：例3 如图2-7 ,在四边形 ABCD 中，对角线 AC 平分Z BAD .在CD 上取一点E , BE 与AC 相交于F , 延长DF 交BC 于G .求证：Z GAC Z EAC .（1999年全国高中联赛题）AF BD CEFB DC EADAFB D DCE DFB DCS A DEAAD sin Z ADF BD DC sin Z EDC BD sinZ FDB DC AD sin Z ADEtan Z ADF cot Z ADE .即 tan Z ADE tan Z ADF ,由锐角性质知 Z EDA Z FDA .类似地，对△ ABE 及截线FHC 或对 △ AFC 及截线BHE 应用梅涅劳斯定理也可证得有Z EDA Z FDA .C证明连BD 交AC 于H ，对△ BCD 及点F ,应用塞瓦定理，有 CG BH DEGB HD ECAH 平分/ BAD ，由角平分线性质，可得BHHD AB ，故 C G AB DE 1.AD GB AD EC过点C 作A B 的平行线交A G 的延长线于I ，过点C 作A D 的平行线交A E 的延长线于J ，则CG GB CI , DE AD •所以 CI A B AD I .AB ECCJ AB AD CJ 从而，CI CJ •又CI II AB , CJ II AD ，有/ ACI 180 - / BAC 180 - / DAC /ACJ •因此，△ ACI ACJ ，即有 / IAC /JAC • 故 / GAC / EAC • 注 由此例还可变出一些题目，参见练习题第4、5及19题.例4 如图2-8 , BE 是△ ABC 的中线，G 在BE 上，分别延长 AG , CG 交BC , AB 于D , F ，过D 作DN II CG 交BG 于N , △ DGL 及△ FGM 为正三角形.求证： △ LMN 为正三角形.I图2- 7于是，有竺 匹，从而FN II AD ，即知四边形DNFG 为平行四边形，有 Z GDNFB BN 又 Z GDL Z GFM 60，则 Z LDN Z NFM .而 DN GF FM , DL DG NF ，知△ LDN 也△ NFM ，有 LN MN , Z DNLZ MNL Z DNF - (Z DNL Z MNF ) Z DNF - (Z NMF Z MNF )=(180 - Z NFG)- (180 - Z NFM ) Z NFM - Z NFGZ MFG 60 .故△ LMN 为正三角形.例5 如图2-9，在一个 △ ABC 中，Z C 2Z B , P ABC 内满足 AP AC 及PB 证明 连NF ,对△ ABC 及点G 应用塞瓦定理，有 AF BD CE i •而 AE CE ，则 AF 匹. FB DC EA FB BD 由 DN // CG ,由 CDNG BNZ GFN .Z NMF .于是PC 的一点.求 IMO 选拔赛题）A图2- 8证：AP 是Z A 的三等分线.图2-91.①2证明 用B 表示/ ABC 的度量，令 Z PCB ，则/ PBC , Z ABP B- , Z ACP 2B-/ CAP n - 2 2B-(其中注意 AP AC ) , / PAB / A- / CAP n - B- C - [ n - 2(2 B -)](n - 3B)- (n - 4B 2 ) B- 2 对厶ABC 及点P ，应用第一角元形式的塞瓦定理，有 sin[ n - 2(2B - )] sin sin(B-)sin(B - 2 ) sin(2B - ) sin 亦即 2sin(2B- ) cos(2B- ) sin(B-)〔 sin(B- 2 ) sin(2B -)于是 sin (B-2 ) 2si n( B - ) cos(2B- ) si n( 3B- 2 ) - s in B , 即 si nB si n(3B-2)-si n(B-2) 2cos(2 B - 2 ) si nB . 1 而 sinB 0，贝V cos2(B-) 2 ._. 1 n 因 OB- b -(B C) ，则 2(B-) 3 3n n 2(B- ) n ，即 B- n. 3 6 从而/ CAP n - 2(2B- ) n - 4(B- ) - 2 n -2 2n - 2[(B-)-] 2(B- 2 ) 2/ PAB .故 / PAB 丄/ A ，即AP 是/A 的三等分线. 3 利用第一角元形式的塞瓦定理可简捷处理 2009年全国高中联赛加试第一题的第 1问: 例6 设M 、N 分别为锐角 △ ABC (/ A / B )的外接圆 上弧BC 、AC 的中点•过点C 作PC II MN 交圆 于点P , I ABC 的内心，联结 PI 并延长交圆 于点 .求证：MP MT NP NT . 证明 事实上，易知 A 、I 、M 及B 、I 、N 分别三点共线，对 △ PMN 及点I 应用第一角元形式的 塞瓦定理，有 心巴如4 s^MNIsin / IPM sin / IMN sin / INP由 CP II MN 知 PA PB ，有/ PMI/INP .于是①式即为NT MTsin 】/ A CMMPNP故 MP MT NP NT .2 •注意塞瓦定理逆定理的应用以及与梅涅劳斯定理的配合应用例7如图2-10，在△ ABC 中，Z BAC 90 , G 为AB 上给定的一点（G 不是线段AB 的中点）•设 D 为直线GC 上与C , G 都不相同的任意一点，并且直线 AD , BC 交于E ，直线BD , AC 交于F , 直线EF , AB 交于H .试证明交点H 与D 在直线CG 上的位置无关.（1990年苏州市高中竞赛题）H 的位置由点G 唯一确定.竺BI CL i ，即i 更圧1. GB EC FA EC FA 对厶ABC 及截线EFH ，应用梅涅劳斯定理，得 AH BE CF BE CF , 1，即 2- 1 .HB EC FAEC FA BE CF 上述两式相加，得（1 2）B E 0 .EC FA从而120，即2- 1，故2由1唯一确定.因此，点H 与D 在直线CG 上的位置无关. 例8 如图2-11 ,设PABC 内任一点，在形内作射线Z MBC Z PBA , Z NCA = Z BCP .求证： AL , BM , CN 三线共点.证明 设G 分线段AB 为定比i, H 分线段AB 为定比2 •下证2由i 确定，即当A , B 给定后，点在△ ABC 中，由AE ,BF , CG 交于一点D ，应用塞瓦定理，有AL , BM , CN ，使得 Z CAL Z PAB ,图 2-10证法1 设AL交BC于L , BM交CA于M , CN交AB于N，则由正弦定理有AB sin / BAL AB sin / PACAC sin / CAL AC sin / PAB 'CM BC sin / PBAMA AB sin / PBC 'AC sin / PCBBC sin / PCA ' 将上述三式相乘，并应用正弦定理，有BL CM AN sin / PAC sin / PBA sin / PCB PC PA PB---- ------- ------------------------ ---------------- --------------- -------- ----- ------ 1 .LC MA NB sin / PAB sin / PBC sin / PCA PA PB PC由塞瓦定理的逆定理，知AL , BM , CN共点•E，直线CP交AB于F •对△ ABC及点P，应用塞瓦定理，有△匚1 .FB DC EA在△ ABL和△ ACL中应用正弦定理，有BL BL AL sin / BAL sin / C sin / PAC sin / CLC AL LC sin / B sin / LAC sin / PAB sin / B2 sin / PAC sin / B sin / C sin / Csin / PAB sin2/ BCM AF2sin/ A AN 冋理，2MA EC sin / C NB 以上三式相乘，并注意到①式，有2 2 DC AD sin / C DC sin / CBL CM AN DC AE BFLC MA NB BD EC FA由塞瓦定理的逆定理，知AL , BM , CN共点•ABLLC同理,ANNB证法2 设AL交BC于L ,BM交CA于M ,CN交AB于N ,直线AP交BC于D ,直线BP交AC于证法3 设AL交BC于L , BM交AC于M , CN交AB于N ,直线AP交BC于D ,直线BP交AC于E，直线交AB于F •对△ ABC及点P，应用角元形式的塞瓦定理，有sin / PAB sin / PBC sin / PCA sin / PAC sin / PBA sin / PCB由题设/ PAB Z CAL , Z PBA Z CBM，/ PCB Z ACN，则有/ BAL Z PAC，/ ABM Z PBC ,Z BCN Z PCA•于是sinZ BAL sin Z CBM sin Z ACN sin Z PAC s in Z PBA sin Z PCBsin Z CAL sin Z ABM sin Z BCN sin Z PAB sin Z PBC sin Z PCA1 1___________________________ - 1sin Z PAB sin Z PBC sin Z PCA 1 'sin Z PAC sin Z PBA sin Z PCB对厶ABC，应用角元形式的塞瓦定理的逆定理，知AL , BM , CN三线共点.例9 如图2-12，四边形ABCD内接于圆，其边AB与DC的延长线交于点P , AD与BC的延长线交于点Q，过点Q作该圆的两条切线，切点分别为E和F .求证：P , E , F三点共线.（1997年CMO试题）证明连EF分别交AD , BC于M , N，设AC与BD交于K .要证P , E , F三点共线，只须证明又直线QCB截厶PDA，应用梅涅劳斯定理，有AB匹也1，从而只须证明电也BP CD QA AM AQP , K, M和P, N , K都三点共线，又只须证明AC , BD , PM三线共点.由塞瓦定理的逆定理知只须证明AB PC DMBP CD MA图2- 121 .设圆心为 0，连QO 交EF 于L ,连LD , LA , OD , OA ，则由切割线走理和射影定理，有2QD QA QE QL Q0，即知 D , L , 0 , A 四点共圆，有 / QLD / DAO / ODA / OLA ，此 表明QL 为△ LAD 的内角Z ALD 的外角平分线.而 EF 丄0Q ，贝U EL 平分Z ALD .于是， DM DL DQ，结论获证.AM AL AQ【解题思维策略分析】 1 .获得线段比例式的一种手段例10 如图2-13 , △ ABC 中，D , E 分别为AC 和AB 同方向延长线上的点，BD 与CE 相交于P ,2且 BD CE •若点 P 满足 Z AEP - Z ADP k （Z PED - Z PDE ） （ k 为常数），贝U AB AC .证明BQ CE PD设AP 交BC 于Q ，对△ PBC 及其形外一点 A ，应用塞瓦定理，有1 .QC EP DB而BD CE ，则PD QC. PE QB不妨设 QC w QB ,则 PD < PE ,即有 PC CE - PE < BD - PD PB ,于是 S ^P BE > S ^P C D ,故EBCA DBC .作△ FBC 的外接圆 00交EF 于另一点 F ，则四边形 BCFF 为等腰梯形•当Z BFF Z FFC Z BCA AZ ABC Z AEF ，知 F 必在线段 EF 上，于是，Z BDC AZ BFC AZ BEC（同弧上的圆外角小于同弧上的圆周角）此时，点E 到BC 的距离不小于 D 到BC 的距离，则过E 作EF II BC 必交CD 延长线于一点,设为F .又AB A AC 时，由AE图 2-13又由PD < PE ，知/ PED <Z PDE •故结论获证.2•转化线段比例式的一座桥梁例11 设M 为△ ABC 内任一点， AM , BM , CM 分别交 BC , CA , AB 于 D , E , F •求证：MD ME MF 1 .BE CFAD证明BD如图2-14，记m , DCCEEA AF n , 1FB.对△ ABC 及点M ,应用塞瓦定理，有BD CE AF mnl 1 .DC EA FB对厶ADC 及截线EMB ，应用梅涅劳斯定理，有AM DB CE AM m1，即MD BC EA MD 1 m n AM 1 m(1 m)l .MD m n由合比定理得 AD 1 (1 m)l , 即 MD 1MDAD 1 l mlME 1 l同BE 1 m mn 1 ml 1MF 1mlCF 1 n n 1 ml 1 l例12 如图2-15，设PABC 内任意一点， AP ，BP ，CP 的延长线交对边 BC ，CA ，AB 于点D ,E ,F , EF 交 AD 于 Q .试证：PQ < (3-2 2)AD .三式相加，得MD AD ME MFBE CF图 2-14BD CE AF证明令- m , n ,DC EA FB对厶ADC及截线BPE，应用梅涅劳斯定理，有A 图2-15p ,对△ ABC及点P ,应用塞瓦定理, 七BD CE AF有mnp 1DC EA FBCE AP DB 1 •注意到DB m则有EA PD BC BC m1AP m刚AP m1..AP m n _1，即5故-PD m 1PD mn AD mn又对直线APD 截△ BCE , 有BD CA EP 1 .DC AE PBAF BE PQ 又对△ABP及截线FQE , 有FB EP AQ PQ1AQ mp'p2从而空PQ AP1m1AD AP AD mp p 2 mn m 11m 11AE EP EP1 ,即有PQ11-,故而沁 n 1，则mn m，故更mn m 1 .AQ p(m n m 1) mp p 11 1p(m 1) 2 mnm 1 1 p(m 1) 2m 113^2于是, PQ w (3 - 2 2) AD •2mn 其中等号由齐p(m 1) > p(m 1) 2^2中等号成立时成立，即当且仅当\ m 12mnm 1p(m 1)亦即当且仅当2mnpp(m 1)- p(m 1)，亦即p(m 1) 2时取等号.此时,p(m 1)m和p之间成为如图2-16的双曲线的关系.2图 2-16证明 设/ AQC 的平分线交AC 于点R ，交圆 于点S , 由于△ PAC 是等腰三角形，则有 △旦 前［APBBC sin / CPBsin / ASQ sin / CSQ/ ASQ / QCA , / PCQ / CSQ / QAC . sin / PAQ sin / QCA sin 2 / ASQ2sin / QAC sin / PCQ sin / CSQI p例13 如图2-17，已知直线的三个定点依次为, 为过A 、C 且圆心不在AC 上的圆,分别过A 、C 两点且与圆 相切的直线交于点P , PB 与圆 交于点Q .证明：/ AQC 的平分线与 AC的交点不依赖于圆 的选取.（IMO 45预选题）AR 同理，在 △ ASC 中，有一一在△ PAC 中，视Q 为塞瓦点, 由角元形式的塞瓦定理，有sin / APB sin / QAC sin / CPB sin / QAPsin / QCP “ sin / QCA .其中S 与Q 是不同的两点.注意到/ PAQ 则 sin : APBsin / CPB图 2-172即 AB 竺，故结论获证.BC RC3 •求解三角形格点问题的统一方法 如果三角形的三个角的度数都是10的整数倍，三角形内一点与三角形的三个顶点分别连结后， 得到的所有的角也都具有这个性质，我们称这样的点为三角形的格点.例14 如图2-18，在△ ABC 中，Z BAC 40 , Z ABC 60 , D 和E 分别是 AC 和AB 上的点，使 得/ CBD 40 , Z BCE 70 , F 是直线BD 和CF 的交点.证明：直线 AF 和直线BC 垂直.（1998年加拿大奥林匹克试题）sin( -80 ) sin(40 - )-sin( 80 ) 2cos60 sin(-20 -)sin(-20 -)注意到0 40，知-80 -20 -,-80 20，有-80-20 -，故 30延长AF 交BC 于H ，贝U Z AHB 180Z FBC- Z ABH 180 - 30 - 6090 .故 AF 丄 BC .注此题也可这样来解：由sin 10sinsin 40 sin 70 sin(40 -) sin 201，有，则Z FAC 40 -，对△ ABC 及点F ，应用第一角元形式的塞瓦定理，有 sin 10sin sin 40 1 .sin 70 si n(40 -)sin 20从而sin 10sin2sin 20 cos20 cos20 sin(40 -) sin 20sin (40 -)2si n sin10 2si n cos80B图 2-18证明设Z BAF 1，即有sin( 80 ) sin( - 80 ).三线共点，因此点 F 在AH 上，即卩AF 丄BC .AC BC ，求 Z AMC .奥林匹克试题)沁1 .sin 30 从而 sinsin 10 sin(80 - )cos20 . 2si n cos80 2sin(80 - )cos20 , sin( 80 ) sin( - 80 ) sin(100 - ) sin(60 -) sin(- 80 ) - sin(60 -) sin(100 -)- sin(80 )2cos90 sin(10 - )0 •于是 sin( -80 ) sin(60 -)• 注意到 080，知-80 -80 , 60 - 60 •sin(40 -) sinsin10 - sin4° 2sin10sin70 - sin 20sin30迥 sin(40 - 30 ) sin 40 cot30 - cos40 . sin30由于 sin(4° - sin )sin40 cot - cos40 作为 的函数在 (0 , 180 )上严格递减,所以Z BAF 30 •故/ ABC Z BAF 90 因此,AF 丄 BC 或者过点 A 作AH 丄BC 于H ，贝U ZBAH 30 Z HAC 10 •关于△ ABC 有前：BAH sin Z ACD sinZ CBD sin Z HAC sin Z ECB sin Z DBAsin30 sin10sin 10sin70sin 40 1 sin 20.所以，AH 、BD 、CE 例15 如图2-19，在△ ABC 内取一点M使得Z MBA 30,Z MAB10 .设 Z ACB 80 ,( 1983年前南斯拉夫解设Z ACM则 Z MCB 80 -•由第一角元形式的塞瓦定理，有sin sin 80sin10 sin 40B图 2-19注此题结果也可直接由①式有sin sin70且0 sin10 sin(80 -)因为sin(80------ ) sin80 cot - cos80 作为sinZ ACM 70 .故Z AMC 180 - 40 - 70 70或者由Z AMB 140，令Z AMC x ,则Z CMB 220 - x .对△MAB和点C应用第一角元形式的塞瓦定理，有1sin Z AMC sin Z MBC sin Z BAC sin x sin 20sin 50sin Z CMB sin Z CBA sin Z CAM sin(220 - x)sin 50sin 40则sin(220 - x)1sin(220 -70 )sin 220cot 70-cos220 .sin x2cos20si n70因为sin(220 -x)sin 220cotx - cos220 (sin 2200）作为x的函数在（0 , 180 ）上严格递增，所以sin xZ AMC x 70 .例16 如图2-20 , △ABC具有下面性质：存在一个内部的点P，使得Z PAB 10 , Z PBA 20 , Z PCA 30 , Z PAC 40 •证明：△ ABC是等腰三角形.（1996年美国第25届奥林匹克试题）图2-20所以-80 60 -，故70Z AMC 180 - Z MAC - Z ACM 180 - 40 - 70 70为所求.另外，此题也可这样来解：由sin(80 -)sinsin10 sin 20sin 40 sin30sin sin10 sin 201，有sin(80 - ) sin 40 sin30sin 10 sin(80 - 70 )sin80 cot 70 - cos80cos20 sin 7080，求得70，80 -的函数在（0180 ）上严格递减，所以证明 设/ BCP ，则/ PBC 180 - 20 - 10 - 40 - 30 -sin 20 sin 40 sin sin(80 -) sin10 sin302si n10 cos10 sin 40sin 〔sin(80 - )sin 10 丄280 -.由第一角元形式的塞瓦定理,sin(80 -) 4sin sin 40 4sin sin 20 sin 40 sin80sin 20cos10 4si n sin 40 sin80 sin60 sinsin 20，sin(80 -) sin 20 sin60 sinsin(80 -) sin 60从而且0si n20 sin,80 - 80 ,20，即 Z ACB 50 Z CAB ，从而 ABsin 20 sin(80 -)sin 40 sin 10sin ’ 1 ,sin 30有 si n(80 sin -)si n20 sin 40sin 10 si n30sin 60 sin (80 -20 )sin 80 sin 20 sin 20因为血（80-) sin 80 cot -sin 404sin 20 sin 40 sin80sin 20180 ）上严格递减，所以 Z BCP20，即 Z ACB 50 Z CAB .故 AB BC .还可对△ APC 及点B 应用第一角元形式的塞瓦定理来求. 4 •论证直线共点的一种工具 例17 如图2-21，在四边形 ABCD 中，AB AD , BCDC , 过AC , BD 的交点0引EF , GH ,其中 EF 交 AB , CD 于 E , F , GH 交 DA , BC 于 G , H . E H , GF 分别交BD 于P , Q ，则OP OQ .（1990年CMO 选拔试题）此题也可这样来求解：由 注 4cos10 cot20 - cos80 .cos80作为的函数在（sin证明在AB , BC上分别取G , F，使AG AG , CF CF , 则由对称性可知有下列角相等，即若设Z AOG,Z AOG ,Z COH,Z GOE Z1, Z(EOB Z2,Z BOF Z3,Z FOH则，又，故.又Z1Z 4 ，故Z1Z4 , Z2 Z3.连G H交BD于K，在△BHG中，G E BF HK S A OG E S^ OBF S^ OHKEB F H KG OEB S^ OF H S^ OKGOG OE sin /1 OB OF sin /3 OH OK sin(/3 / 4)OE OB sin / 2 OF OH sin / 4 OK OG sin(/1 / 2)故由塞瓦定理的逆定理，知GF , BO , HE共点，即GF过点P .由对称性知，OP OQ .Z MAG Z NAD，即Z BAD Z CAD .例18 如图2-22，在锐角△ABC中，以A点引出的高AD为直径作圆交AB，AC于M ， N，再从A作1A丄MN .同样可作出（第29届IMO预选题）证明设1A与MN , BC分别相交于点G , D，由Z AMG Z ADN , Z AGM Z AND 90，知A图2-211B , 1C .试证：三直线l A , l B , 1C相父于一点.C同理，设CA , AB 边上的高BE , CF 的垂足分别为 E , F ，且I B ,1C 分别与CA , AB 交于E , F ,则有Z CBE Z ABE , Z ACF Z BCF .由于△ ABC 的三条咼相交于垂心，此时应用第一角兀形式的塞瓦定理，得 sin Z CAD sin Z ABE sin Z BCF sin Z DAB sin Z EBC sin Z FCA 用等角代换上式，有sin Z BAD sin Z ACF sin Z CBE sin Z DAC sin Z F CB sin Z E BA 故由第一角元形式的塞瓦定理，知AD , BE , CF 三线共点，即I A , I B , l c 相交于一点.点共线.例19 如图2-23，四边形ABCD 内接于圆,AB ,DC 的延长线交于 E , AD , BC 的延长线交于P 为圆上任一点， PE , PF 分别交圆于 R ,若对角线 AC 与BD 相交于T ,求证：R , T证明 连 PD , AS , RC , BR , AP , SD . PA FP此两式相乘, 有BR EB FPDS FD 'DS EP FD又由 △ ECREPD , △ FPDFAS ，有CR EC PD FPPD EP ， AS FA ，亠 CR EC FP此两式相有 _BR 由△ EBR s △ EPA , △ FDS s △ FPA ，有PA EBEP ，F图 2-23AS EP FAAB 边上的交点为 F , F •若AD , BE , CF 共点，贝U AD , BE , CF 也共点.4 .试证：过三角形顶点且平分三角形周长的三条直线共点.5 •将△ ABC 各内角三等分，每两个角的相邻三等分线相交得△ PQR ，又AX , BY , CZ 分别平分Z BAC , Z ABC , Z ACB 且它们与 QR , RP , PQ 交于 X , Y , Z .求证：PX , QY , RZ 三线共 占八、、♦6 .将△ ABC 的各外角三等分，每两个外角的相邻三等分线相交得 △ DEF .又AX , BY , CZ 分别 平分Z BAC , Z ABC , Z ACB 且它们与 EF , FD , DE 交于 X , Y , Z .求证：DX , EY , FZ 三 线共点.7 .00是厶ABC 的内切圆，BC , CA , AB 上的切点各是 D , E , F .射线DO 交EF 于A ，同样由①②，得BR AS EB FA DS CR EC FD上式两边同乘以匹，得 EE CD 戲 AB RC DS AB EB AF DCBA FD CE对厶EAD 及截线BCF ，应用梅涅劳斯定理, EB AF DC1 .BA FD CEBR CD SA1 .RC DC AB此时，应用第一角元形式的塞瓦定理的推论，知 BD ， RS ， AC 交于一点.从而 R , T , S 三点共直线.【模拟实战】习题A1 .在△ ABC 中，D 是BC 上的点,BD 1 ,E 是AC 中点.AD 与BE 交于0 , CO 交AB 于F ，求DC 3四边形BDOF 的面积与△ ABC 的面积的比. 2 .若通过 △ ABC 各顶点的直线 AD , BE , CF 共点，并且它们在边 BC , CA , AB 所在直线上的截 点D , E , F 关于所在边中点的对称点分别为 D , E , F ，则直线 AD , BE , CF 也共点.3 .一圆交△ ABC 的各边所在直线于两点，设BC 边上的交点为D , D , CA 边上的交点为E , E ,可得B , C •试证：直线AA , BB , CC共点.8 . △ ABC在厶ABC内部，且从A , B , C各向BC , C A , AB所作的垂线共点，则从A , B ,C 各向BC，CA，AB所作的垂线也共点.9 .在△ABC 中, Z ABC Z ACB 40 ,P为形内一点，Z PAC 20 , Z PCB 30，求Z PBC 的度数.10 .在△ABC 中, AB AC , Z A 80 ,D为形内一点，且Z DAB Z DBA 10，求Z ACD的度数.（《数学教学》问题432题）11 .在△ABC 中, Z BAC 30 ,Z ABC 70 , M 为形内一点，Z MAB Z MCA 20，求Z MBA 的度数. （《数学教学》问题491题）12 .在△ABC 中, Z ABC 40 ,Z ACB 30 , P为Z ABC的平分线上一点，使Z PCB 10 , BP交AC于M , CP交AB于N .求证: PM AN .（《数学教学》问题531题）13 .在厶ABC中, Z ABC 40 ,Z ACB 20 , N为形内一点, Z NBC 30 , Z NAB 20 , 求Z NCB的度数. （《数学通报》问题1023题）14 .在△ABC 中, Z BAC 80 ,Z ABC 60 , D为形内一点, 且Z DAB 10 , Z DBA 20，求Z ACD的度数. （《数学通报》问题1142题）15 .在△ABC 中, Z ABC 50 ,Z ACB 30 , M为形内一点, Z MCB 20 , Z MAC 40，求Z MBC的度数. （《数学通报》问题1208题）16 . △ABC 中, Z ABC 70 ,Z ACB 30 ,P为形内一点，Z PBC 40 , Z PCB 20 .求证:CA AB BP1 . AP PC CB （《数学通报》问题1306题）17 .在△ABC 中，Z ABC Z ACB 40 ,P , Q为形内两点, Z PAB Z QAC 20 , Z PCB QCA10 .求证：B , P , Q三点共线. （《数学通报》问题1243题）18 . △ABC 中，Z ABC Z ACB 50 ,P , Q为形内两点, Z PCA Z QBC 10 , Z PAC Z QCB20 .求证：BP BQ .（《数学通报》问题128119 •在△ABC中，AB AC , Z A 100 , I为内心，D为AB上一点，满足BD BI •试求/BCD的度数. （《数学通报》问题1073题）20 • A，A，B i，B2，C i，C2 顺次分别在△ ABC 的三边BC，CA，AB 上，且BA A2C，CB B2A，AC i C2B，过A2 , B2 , C2分别作AA , BE , CC i的平行线l a , l b ,l c •求证：l a, l b , £三线共点的充要条件是AA , BB i , CC i三线共点.21 .在△ ABC中，AB AC , AD丄BC于D，过D任作两射线分别交AB , AC于点E , F，交过点A的平行线于G , H，且GH II BC .求证：AD , GF , HE共点.22 •在△ABC中，过三边BC , CA , AB边中的中点M , N , L的三条等分三角形周长的直线MS , NT , LU （S , T , U在三角形三边上）分别交LN , LM , MN于D , E , F •求证：MS , NT , LU三线共点.23 • △ ABC的内切圆切BC , CA , AB于D , E , F • P是厶ABC内一点，PA交内切圆于两点，其中靠近A的一点为X ,类似定义Y, Z .试证：DX , EY , FZ三线共点.24 . △ ABC在厶ABC内部，AB的延长线分别交AC , BC于F5 , P ; AC的延长线分别交BA ,BC 于P3 , F4 ；B C 的延长线分别交AB , AC 于F6 , P?，且满足AR AF4BF2 BF5 CF3 CP6 BF CP2 AP3 •求证：AA , BB , CC所在直线共点.（《中学数学教学》擂台题（28 ））25 •给定△ ABC，延长边BC至D，使CD AC • △ACD的外接圆与以BC为直径的圆相交于C和P.设BP 与CP的延长线分别交AC和AB于E , F .求证：E , F , D共线.（第15届伊朗奥林匹克题）26 •在△ABC的边上向外作三个正方形，A i, B i, C i是正方形中的边BC , CA , AB对边的中点.求证：直线AA i , BB , CC i共点.习题B1 . 00是厶ABC的内切圆，D , E , F ,分别是BC , CA , AB上的切点，DD , EE , FF都是2 .四边形ABCD的内切圆分别与边AB , BC, CD , DA相切于E , F , G , H .求证：AC , BD ,HF , GE四线共点. （《数学通报》问题1370题）3 .锐角△ABC中，A角的平分线与三角形的外接圆交于另一点A，点B i , C i与此类似.直线AA i与B , C两角的外角平分线交于A o，点B o,C o与此类似.求证：（I）三角形AD B Q C O的面积是六边形AC i BACB i的二倍；（H）三角形A o B o C o的面积至少是三角形ABC面积的四倍. （IMO -30试题）4 .设P ABC内一点，使Z BPA Z CPA, G是线段AP上的点，直线BG , CG分别交边AC ,AB 于E , F .求证：Z BPF Z CPE .5 .在凸四边形ABCD中，对角线AC平分Z BAD , E是CD的延长线上的一点，BE交AC于点G , 延长DG交CB的延长线于F .试证：Z BAF Z DAE .6 .在△ABC中，AB AC , Z A 100 , I为内心，D为AB上一点，满足BD BI .试求Z BCD的度数. （《数学通报》问题1073题）7 .设△ABC是等边三角形，P是其内部一点，线段AP , BP , CP依次交三边BC , CA , AB于A ,吕,G 三点.证明：AB BQ GA > AB BQ GA. （IMO -37 预选题）8.在一条直线I的一侧画一个半圆，C , D，是上两点，上过C和D的切线分别交I于B和A , 半圆的圆心在线段BA上, E是线段AC和BD的交点，F是I上的点，EF丄I •求证：EF平分Z CFD .（IMO -35预选题）9 .设A是锐角△ ABC的内接正方形的中心，其中内接正方形的两个顶点在BC边上，一个顶点在AB 边上，一个顶点在AC边上.同样定义两个顶点分别在AC边和AB边上的内接正方形的中心分别为B1 ,G .证明：AA , BB1 , CC1 交于一点. （IMO -42 预选题）10 .以△ABC的底边BC为直径作半圆，分别与AB , AC交于点D , E，分别过点D , E作BC的垂线，垂足依次为F , G，线段DG和EF交于点M•求证：AM丄BC .（1996年国家队选拔考试题）11 •设0 , H是锐角△ABC的外接圆的圆心和垂心•证明：存在D，E，F分别在线段BC，CA，AB上，使得OD DH OE EH OF FH，且此时AD , BE , CF三线交于一点.（IMO -41预选题）12 •已知AB是0O的直径，弦CD丄AB于L，点M和N分别在线段LB和LA上，且LM : MB LN : NA，射线CM , CN交0O于E , F •求证：AE , BF , OD三线共点.13 •设I是△ABC的内心，以I为圆心的一个圆分别交BC于A , A2，交C A于B1 , B2，交AB于G ,C2•这六个点在圆上的顺序为A1, A , B1 , B2, G , C2 •设A3, B3, C3为弧AA , B&2 , Ge?的中点，直线AA , B1B3相交于C4，直线B2B3, C1C3相交于A，直线C2C3 , AA相交于B4 •求证：直线A3A4 , B3 B4 , C3C4三线共点.14 •在厶ABC的边AB和AC上分别向形外作△ ABE和厶ACF ,使厶ABE s △ ACF ,且/ ABE Z ACF 90 .求证：连线BF , CE与边BC上的高AH三线共点.15 .过非等边三角形各顶点作其外接圆的切线，则各切线与其对边的交点共线.16 .在△ABC 内三点D , E , F 满足Z BAE Z CAF , Z ABD Z CBF，贝U AD , BE , CF 三线共点的充要条件是Z ACD Z BCE .17 .在任意△ ABC的三边BC , CA, AB上各有点M , N , L，而Q是△ABC内部任一点，直线AQ , BQ , CQ分别交线段NL , LM , MN于M1 , N1 , L •求证：直线M1M , N1N , LL共点的充分必要条件是AM , BN , CL共点，而与Q点的位置无关.18 .设P是平面上△ ABC区域内任一点，AP , BP , CP的延长线交△ ABC三边于D , E , F .求证：在△ABC区域内，存在一个以△ DEF的某两边为邻边的平行四边形.19 .设凸四边形ABCD的两组对边所在的直线，分别交于 E , F两点，两对角线的交点为P，过点P作PO 丄EF 于O •求证：Z BOC Z AOD •（2002国家集训队选拔试题）20 •在△ABC中，Z ABC和Z ACB均为锐角. D是BC边上的内点，且AD平分/ BAC ,过点D作垂线DP丄AB于P , DQ丄AC于Q , CP与BQ相交于K •求证：AK丄BC •AD BD sin* 2/ B BD sin2/ BBF sin / B2 ~~/- ■FA sin / A。
塞瓦定理的应用
塞瓦定理的应用塞瓦定理是著名的科学家塞瓦发现的一个重要定理，它可以用来证明许多其他数学定理，并被广泛应用于工程、数学和科学研究领域。
塞瓦定理的定义是，如果一个多项式的多项式项的和等于零，那么这个多项式的至少有一个根。
举个例子，如果一个多项式的形式被定义为∑anx^n，其中n的取值范围是从1到n，则塞瓦定理要求a1+a2+a3+…+an = 0，那么这个多项式至少有一个根。
塞瓦定理的一个重要的应用任务是计算平面上多项式方程的根。
举个例子，如果我们需要求解一个二次方程ax2+bx+c=0，那么我们可以使用塞瓦定理，将这个二次方程视为一个多项式a2x2+bx+c，然后用塞瓦定理证明它至少有一个根。
另外，塞瓦定理也可以应用到多变量多项式方程上，来求解各种数学问题。
举个例子，如果我们要解决一个关于x、y和z的多变量多项式方程，即ax3+bxy+cyz+dz3=0，那么可以使用塞瓦定理，来证明这个方程至少有一个根，从而解决这个数学问题。
塞瓦发现的定理也可以用于分析复数函数，即复数方程。
例如，如果我们要解决一个复数函数f(z)=0，那么可以将这个函数转换为一个多项式，然后用塞瓦定理分析这个多项式。
此外，塞瓦定理也可以用于分析各种概率问题。
举个例子，如果我们想要计算一定事件发生的概率，可以将这个概率表示为一个多项式，然后使用塞瓦定理，将概率算出来。
最后，塞瓦定理也可以用于解决求解最优化问题，这也是塞瓦定理最重要的应用之一。
举个例子，如果我们要求解一个最优化问题，可以将它表示为一个多项式，然后使用塞瓦定理来求解，从而找到最优解。
以上就是塞瓦定理的主要应用，由于它涵盖了许多重要的数学问题，因而在科学研究领域得到了广泛的应用。
它的发现和应用无疑为人类的科学发展和进步做出了巨大的贡献。
塞瓦定理p5r
塞瓦定理p5r《塞瓦定理（Saxon-Cox论文）p5R》是一篇与数学研究有关的著名文章，它是由英国数学家Sirk saxon-Cox于1936年发表的。
该文的标题是“给定一个正整数k，求出最小的正整数p，使得存在一个n次多项式分解，其中每一项的幂都等于2k-1，且这个多项式的根的数目等于p的”。
文章的主要内容是关于理解k的一个假设，也就是“存在一个n 次多项式分解，其中每一项的幂都等于2k-1，且这个多项式的根的数目等于p的”。
基于这个假设，saxon-Cox证明了以下定理：定理：设k为一个正整数，则存在一个最小的正整数p，使得存在一个n次多项式分解，其中每一项的幂都等于2k-1，且这个多项式的根的数目等于p的。
定理的证明方法是，首先，根据定理的给定条件，求出给定的正整数k的特定的数学性质，然后根据这些性质，针对定理的给定条件，确定出最小的正整数p，证明定理成立。
正是由于Saxon-Cox针对该假设中的性质做了深入的推理、证明，才有了这么伟大的定理。
定理的证明过程也提供了一个编程思路，可以根据它来设计算法，从而解决数学相关的问题。
Saxon-Cox证明的塞瓦定理有着广泛的应用，例如在数论中可以推广为塞瓦解方程，即给定一个正整数k，求解多项式的根，这也是数学工程上的一个重要的应用。
此外，Saxon-Cox的文章中还提到了一种叫做“c阶数论”的数学理论，该理论使用p和q两个参数来描述多项式的根，即一个多项式根的数据可以表示为p和q之间的某种联系，其中p是一个正整数，而q是一个正整数的平方根。
因此，Saxon-Cox在研究塞瓦定理时所提出的理论和方法，也被广泛应用于大型多项式系统的理解与分析中，这对于未来研究多项式系统中的各种复杂问题有着重要的作用。
总的来说，Saxon-Cox的文章《塞瓦定理P5R》是一篇重要的数学论文，它提出的塞瓦定理在数学上具有重要的实际意义，其中提出的理论和方法也被广泛应用于大型多项式系统的理解、分析中。
塞瓦定理的应用
塞瓦定理的应用塞瓦定理是众所周知的理论，它源于法国数学家和科学家塞瓦阿索贝（Sébastien dAubuisson）于1785年提出。
塞瓦定理（又被称为等边三角形定理）主要说明在任意一个等边三角形中，两条大于斜边的等边，以及相应的角的和应该等于180度。
因此，塞瓦定理可以说是几何学中的一个基本特征。
塞瓦定理在几何学和数学中有着非常广泛的应用，它可以用来判断一个三角形的性质，对于寻找圆的面积和周长来说也是必不可少的。
除此之外，塞瓦定理还可以应用于多边形，特别是多边形的内角和，其中，每个内角和应该等于内角数乘以180度，象征着一块拼图，其中拼接着很多可以任意转动的小四方形，它们组成了一个完整的图形。
除了在几何学和数学领域中的应用外，塞瓦定理还可以在物理学、天文学和化学等多个领域中使用。
例如，塞瓦定理在天文学中有多种应用，它可以用于计算正的岩石的体积，并且可以帮助推断某些星体的形状和大小；在物理学中，它可以用来理解某些机械系统结构，比如曲柄杆机构等，对于对于了解材料的力学特性也有一定的帮助；而在化学领域，它可以用来表征物质的结构，以及分子中不同元素的配位等。
塞瓦定理的应用也可以扩展到更多领域，比如地理学，即在地图测绘中求得各地点之间的距离等；还可以用在建筑学中，它可以计算建筑物的外形，比如摩天大楼的外墙角度等；还可以用在机械学中，它可以帮助计算转动杆件的大小。
总而言之，塞瓦定理在三角几何学中是非常重要的，它不仅仅可以用于几何研究，而且还有着许多实际应用。
虽然塞瓦定理是一个非常基本的定理，但它在几何学中的影响有着深远的影响。
在数学发展的过程中，塞瓦定理不仅仅帮助我们计算几何图形的大小和形状，也激发了许多新的研究方向，比如椭圆几何学等。
可以说，塞瓦定理在我们研究几何学方面发挥了重要作用，而它的应用也越来越广泛。
角元塞瓦定理
角元塞瓦定理（Angular sector theorem）是一个在几何学中使用的定理，它规定了在平面几何中，角元塞瓦的面积与扇形的面积之比等于圆心角的度数。
角元塞瓦是指由圆心和圆上两点组成的平行四边形。
角元塞瓦定理可以表述为：角元塞瓦的面积与扇形的面积之比等于圆心角的度数。
该定理可以用来解决在平面几何中的一些问题，比如求圆的面积、圆弧的长度等。
举个例子，若有一个半径为$r$ 的圆和一个角元塞瓦，圆心角的度数为$x$，则角元塞瓦的面积为$\frac{1}{2}r^2\cdot x$，扇形的面积为$\frac{1}{2}r^2\cdot x$。
根据角元塞瓦定理，角元塞瓦的面积与扇形的面积之比等于圆心角的度数$x$。
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塞瓦定理
【定理内容】
设O 是ABC ∆内任意一点，AO 、BO 、CO 分别交对边于D 、E 、F ， 则
1=⋅⋅FB
AF
EA CE DC BD . [评]等价叙述：ABC ∆的三边
BC 、CA 、AB 上有点D 、E 、F ，则
AD 、BE 、CF 三线共点的充要条件
是
1=⋅⋅FB
AF
EA CE DC BD ，这点称为三角形的塞瓦点。
【背景简介】 【证法欣赏】
证法1：（利用梅涅劳斯定理证明）
∵ADC ∆被直线BOE 所截，
∴
1=⋅⋅EC
AE
OA DO BD CB ① 同理，1=⋅⋅FB
AF
OA DO CD BC ②
②÷①得：1=⋅⋅FB
AF
EA CE DC BD .
【证法欣赏】
证法2：（利用面积关系证明） ∵
COD
BOD
ACD ABD S S S S DC BD ∆∆∆∆== ∴由等比性质得
C
C
C
AOC
AOB
COD ACD BOD ABD S S S S S S DC BD ∆∆∆∆∆∆=--= ③ 同理：
BOA BOC S S EA CE ∆∆= ④，BOC
AOC
S S FB AF ∆∆= ⑤， ③×④×⑤得：1=⋅⋅FB
AF
EA CE DC BD . 【证法欣赏】
证法3：（利用平行线分线段成比例证明）
过A 作BC AM //交BE 、CF 延长线于M 、N ， ∵BC AM //， ∴
BC AN
FB AF =
， ⑥ AM
BC
EA CE =
，⑦ BD
AM
OD AO DC AN =
=⑧， 由⑧得：AN
AM
DC BD =
⑨ ⑥×⑦×⑨得：
1=⋅⋅FB
AF
EA CE DC BD . 【逆定理】
塞瓦定理的逆定理也成立，即
如果有三点F 、D 、E 分别在ABC ∆的三边AB 、BC 、CA 上，且满足
1=⋅⋅EA
CE
DC BD FB AF ，那么AD 、BE 、CF 三线交于一点。
[注]利用塞瓦定理的逆定理可判定三线共点
如证明三角形三条高线必交于一点；三角形三条中线交于一点等。
【定理应用】
塞瓦定理的应用定理：
设平行于ABC ∆的边BC 的直线与两边AB 、CA 的交点分别是F 、E ，
BE 和CF 交于P ，则AP 一定过边BC 的
中点.
[证1]（塞瓦定理）
设AP 与BC 的交点为D ，
由塞瓦定理得：1=⋅⋅EA CE DC BD FB AF ，
∵BC EF //，∴EC
AE
FB AF =
∴1=DC
BD
，即CD BD =，
∴AP 一定过边BC 的中点D 。
[证2]（平行线分线段成比例）
∵BC EF //，
∴
AB AF BD FQ
=，BC FE
AB AF =， PC FP BC FE =，DC FQ PC FP = ∴DC
FQ
BD
FQ
=
，即CD BD =， ∴AP 一定过边BC 的中点D 。
【定理应用】
塞瓦定理逆定理的应用定理：
设ABC ∆的内切圆和边BC 、CA 、AB 分别相切于点R 、S 、T ，则AR 、BS 、
CT 交于一点。
证：由切线长定理得，
AS AT =，BR BT =，CS CR =，
C
C
C
∴
1=⋅⋅SA
CS
RC BR TB AT ， 根据塞瓦定理的逆定理，有
AR 、BS 、CT 交于一点。
（学习的目的是增长知识，提高能力，相信一分耕耘一分收获，努力就一定可以获得应有的回报）。