位似图形概念
22.4.1位似图形
∆OAB和∆OCD是位似图形，
∆OAB∽∆OCD
A O
AB∥CD. B
D
∠OAB＝∠C
17
通过本课时的学习，需要我们掌握：
1.位似图形的概念： 如果两个相似图形的每组对应点所在的直线都交于一点,对 应边互相平行（或共线），那么这样的两个图形叫做位 似图形, 这个交点叫做位似中心, 这时两个相似图形的相 似比又叫做它们的位似比. 2.位似图形的性质： 位似图形上的任意一对对应点到位似中心的距离之比等
②③
．（只填序号）
①相似图形一定是位似图形，位似图形一定是相似图形； ②位似图形一定有位似中心； ③如果两个图形是相似图形，且每组对应点的连线所在的直 线都经过同一个点，那么，这两个图形是位似图形；
④位似图形上任意两点与位似中心的距离之比等于如图，△ABC与△A′B′C′是位 似图形，且位似比是1:2，若AB=2cm，则A′B′=_____cm， 4 并在图中画出位似中心O.
分别观察这五个图，你发现每个图中的两个四边形各对应点的连线有什么特 征？
3
一．位似图形的概念
如果两个相似图形的每组对应点 所在的直线都交于一点,对应边互相 平行（或共线），那么这样的两个图 形叫做位似图形, 这个交点叫做位似 中心, 这时两个相似图形的相似比又 叫做它们的位似比.
同时满足下面三个条件的两个 图形才叫做位似图形．三条件缺一不可． 1．两图形相似． 2．每组对应点所在直线都经过同一点． 3. 对应边互相平行（或共线）。
C′ D C
D′
O
A′ A
B′
B
D′
A (A′)
C′
B′
B
位似中心是：点O
位似中心是：点A
7
位似图形的概念和画法
这些图形相 似吗
这样放大或缩小,没有改变图形形状,经过放大 或缩小的图形,与原图是相似的,
观察
它们相似的共 同点是什么
每副图中的两个多边形 不仅相似,而且对应顶点 的连线相交于一点,
对应边平行,
其中相似图形的 共同点是什么
对应顶点连线相交于一点,而且对应边平行或者 重合,
O
(√1)
(2) ×
位似中心是点O,
P
(3) √
位似中心是点P,
5. 作出一个新图形,使新图形与原图形对应线 段的比是1∶2,
位似多边形
如果两个图形不仅相似,而且每组对应顶点 所在的直线都经过同一个点,那么这样的两个图 形叫做位似图形,这个点叫做位似中心,这时的 相似比又称为位似比,
A
D1
E
B
D
C
E1
C1 B1
A1
课堂小结
1. 位似图形、位似中心、位似比：
如果两个图形不仅形状相同,而且每组对 应顶点所在的直线都经过同一个点,那么这 样的两个图形叫做位似图形,
所要求的图形，如图所示.
B ''
●
●
C ''
●
A ''
A
O
●
C
B
利用位似,可以将一个图形放大或缩小．
例如,要把四边形ABCD缩小到原来1/2, 1. 在四边形外任选一点O 如图 ,
2. 分别在线段OA、OB、OC、OD上取点A'、B'、 C'、D',使得 O'A O'B O'C O'D 1
OAOBOCOD2
位似图形的性质
初中数学 什么是位似
初中数学什么是位似位似是初中数学中的一个重要概念，它是指由两个图形通过平移、旋转、翻转或者这些变换的组合而得到的相似图形。
在本文中，我们将详细介绍位似的定义、性质以及一些例子来帮助理解这个概念。
首先，让我们来定义位似。
如果有两个图形，它们的形状和大小是相似的，但位置可能不同，那么我们可以说这两个图形是位似的。
换句话说，位似是指通过平移、旋转、翻转或者这些变换的组合，将一个图形变换为另一个图形。
接下来，我们来讨论位似的性质。
位似具有以下性质：1. 形状相似：位似图形的形状是相似的，即它们的对应角相等，对应边的比例相等。
2. 大小相似：位似图形的大小是相似的，即它们的对应边的比例是相等的。
3. 位置可能不同：位似图形的位置可能不同，它们可以通过平移、旋转、翻转或者这些变换的组合来得到。
4. 变换保持相似性：位似图形之间的变换（如平移、旋转、翻转）保持它们的相似性，即变换前后仍然是位似图形。
让我们来看一些例子来帮助理解位似。
例子1：考虑两个三角形ABC和DEF，其中∠A = ∠D，∠B = ∠E，∠C = ∠F。
如果我们通过将三角形ABC沿顺时针方向旋转90度，并将它平移到DEF的位置，那么我们可以说三角形ABC和DEF是位似的。
它们具有相似的形状和大小，但位置可能不同。
例子2：考虑一个正方形和一个矩形，它们的边长比例是相等的，但是它们的形状和位置不同。
通过将正方形进行翻转或者旋转，我们可以得到一个与原正方形位似但位置不同的矩形。
例子3：考虑一个正三角形和一个等腰梯形，它们的形状和位置都不同，但是它们的对应边的比例相等。
通过将正三角形进行翻转或者旋转，我们可以得到一个与原正三角形位似但位置不同的等腰梯形。
通过这些例子，我们可以看到位似的性质和应用。
位似可以帮助我们在研究图形的形状和大小时，通过变换来得到相似的图形，从而简化问题的求解。
此外，位似也可以帮助我们理解和应用其他几何概念，如相似三角形、比例关系等。
《位似》相似(第1课时位似图形的概念及画法)
未来学习和探索的建议
深入学习位似图形的相关 性质和理论，加强对位似 图形的理解和掌握。
通过练习和实践，提高绘 制位似图形的技能和能力 ，熟练掌握各种绘制方法 和技巧。
积极寻找和解决实际问题 ，尝试将位似图形的理论 和方法应用到实际问题中 ，提升实践能力和综合素 质。
谢谢您的聆听
THANKS
4. 连接对应点
将新位置上绘制的对应点用直线连接起来，形成位似图形 。
不同类型的位似图形的画法示例
1. 位似三角形
在绘制位似三角形时，可 以通过确定三个顶点的对 应点来绘制位似三角形。 注意保持三角形的形状和
大小比例。
2. 位似矩形
对于位似矩形，需要确定 矩形对角线上的两个端点 的对应点，然后连接对应
应用优势
位似图形在建筑设计、绘图和工程领域等方面有很大的应用优势。通过位似变换，可以方便地将一个图形按照一 定比例进行放大或缩小，从而适应不同的需求和场景。同时，位似图形的性质也使得在计算距离、角度等几何要 素时更加简便和高效。
04
练习题与实例分析
针对位似图形画法的练习题
01
02
03
练习1
已知一个三角形，利用位 似图形的概念，画出与其 相似且位似中心在指定点 的三角形。
《位似》相似(第1课时位似图 形的概念及画法)
汇报人：文小库
2023-11-17
CONTENTS
• 位似图形概念引入 • 位似图形的画法 • 位似图形的性质与特点 • 练习题与实例分析 • 总结与延伸思考
01
位似图形概念引入
定义和基本概念
定义
位似图形是指两个图形对应点连线交于一 点，且对应线段长度的比相同的图形。
点即可绘制位似矩形。
位似图形的定义及性质
位似图形的定义及性质什么是位似图形？位似图形（IsomorphicGraphs）是由同一类图形组成的图，它们的全部节点及边都相同，但是它们的外形可能不太一样。
位似图形的定义主要指的是一种同构的连通图，它们之间的节点和边都是相似的。
准确来说，这些图形之间的数量和结构是相同的，只是它们的外形不同。
位似图形的研究可以追溯到1890年，当时首先由荷兰数学家安德森威尔金斯提出。
它是一种独特的结构，可以通过某种形式从一个图中转换到另一个图，而且，只要这两个图是位似图形，它就能够完全保持它们之间的联系。
从数学上来看，位似图形可以被表示为一对有向图。
它们中可能包含一个或多个节点和一个或多个边，这些边可以有不同的方向。
两个位似图形的关系可以用一个分析函数来表示，这个函数的输入是一对图，而输出是一个布尔值，如果给定的两个图形是位似图形，它就会返回一个真值，反之亦然。
位似图形的性质是相当有用的，特别是在研究图论的早期，位似图形的研究有助于数学家们理解图论中的基本概念以及图结构之间的联系。
它也帮助人们发现更多有关任意给定图结构的细节，例如有关它的节点数量、边数量、节点之间的关系等等。
位似图形的研究也是一个重要的工具，它帮助数学家们研究不同图论结构之间的关系。
例如，研究人员可以比较两个不同的图形，看看它们之间有何不同，从而发现它们之间的联系，从而给出更深入的结论。
另外，位似图形在算法和机器学习方面也有很多应用，它们可以帮助计算机程序发现图形之间的关系，并找出有用的特征以及对它们进行分类。
有时，它们甚至可以帮助计算机解决复杂的问题，比如解决最短路径问题。
总的来说，位似图形的定义和性质有助于数学家们更好地理解图结构之间的联系，从而发现更多有用的信息。
它们也有许多应用，例如在计算机程序，机器学习，以及算法研究方面。
《图形的位似》
VS
详细描述
相似图形的判断主要依据是它们的形状是 否相同，即它们的角和线段是否对应相等 。而位似图形在此基础上还要满足对应线 段平行且相等这一条件。因此，在判断两 个图形是否为位似图形时，需要先判断它 们是否为相似图形，然后再进一步判断对 应线段是否平行且相等。
位似图形的特性与识别方法
总结词
位似图形具有以下特性：每组对应点到位似中心距离的比等于相似比，对应线段平行且相等，对应角相等，且放 缩比例与位似中心无关。通过这些特性，我们可以总结出位似图形的识别方法。
详细描述
位似图形的特性表现在每组对应点到位似中心距离的比等于相似比，对应线段平行且相等，对应角相等。这些特 性使得我们可以通过比较这些特性来识别位似图形。此外，位似图形的放缩比例与位似中心无关，这也是我们识 别位似图形的一个重要特性。
位似图形的应用场景
总结词
位似图形在日常生活中有着广泛的应用场景，如建筑 设计、艺术创作、工程图纸绘制等。了解位似图形的 概念和应用场景有助于更好地理解和应用相关领域的 知识。
详细描述
在建筑设计方面，位似图形的应用可以帮助设计师更 好地掌握建筑物的比例和尺寸，从而设计出更加美观 实用的建筑。在艺术创作方面，位似图形的应用可以 帮助艺术家更好地掌握画面的比例和构图，从而创作 出更加优美的艺术作品。在工程图纸绘制方面，位似 图形的应用可以帮助工程师更好地掌握物体的比例和 尺寸，从而制作出更加精确的模型或零件。
分为共线位似和非共线位似。共线位似是指位似中心位于图 形上的一条直线上，而非共线位似是指位似中心位于图形内 或图形外。
根据位似比的方向
分为放大和缩小。当位似比大于1时，为放大；当位似比小于 1时，为缩小。
02
位似图形的识别与判断
位似图形的定义及性质
位似图形的定义及性质
位似图形是一种强大的几何图形，由它可以刻画出许多几何概念，从而使得几何知识更加容易理解和运用。
它已经被广泛应用于许多领域，如研究物理学，以及一些工程领域。
那么，位似图形究竟是什么？以及位似图形的性质有哪些？
一、位似图形的定义
位似图形是一种可以用来描述几何形状的图形。
它被称为位似图形，是因为它由一系列的位置感知的图案组成，它们几乎可以完全重叠，而不会改变它们的形状，大小以及位置。
例如，圆形是一个最常见的位似图形，它是一个由很多小的圆点组成，而这些小圆点几乎可以重叠并且完全相同。
二、位似图形的性质
1、符号化：位似图形能将复杂的空间状态用简单的符号来表示，从而使得几何知识更加容易理解和运用。
2、视觉感知：位似图形的形状和大小可以在视觉上进行感知，
可以更加直观地感受几何状态。
3、精确度高：位似图形可以很好地反映几何形状的精确度，它
可以准确地反映几何的形状和大小，使得几何知识更加有效。
4、信息量大：位似图形能够精确表达出几何形状的详细信息，
能够体现出几何形状的复杂性并反映出它在特定空间位置的信息。
由以上性质可知，位似图形是一种获取几何信息的有效工具，能够较为准确地描述出几何形状的精细细节。
它既适用于描述几何图形，
也可以用来描述物理、空间等属性。
位似图形性质的学习，可以帮助我们更好地理解几何知识，更好地应用几何知识。
综上所述，位似图形是一种具有符号化、视觉感知、精确度高、信息量大等性质的一种几何图形。
它为学习和应用几何知识提供了一个良好的视角，可以让我们更加清晰地感受到几何形状的变化，辅助我们更好地理解和应用几何知识。
初三数学位似知识点
初三数学位似知识点
1、位似图形：
如果两个图形不仅是相似的图形，而且每组对应点的连接线在一个点相交，则这两个图形称为位置图形。
连接类位置图中相应点的直线的交点就是类位置中心。
此时，相似性比率也称为类位置比率。
2、位似图形的性质：
段落的任何一对对应点与段落中心在同一条线上，它们与段落中心的距离之比等于相似比。
1.位似图形对应线段的比等于相似比。
2.位置图形的相应角度相等。
3.位似图形对应点连线的交点是位似中心。
4.拟图形的面积比等于相似比的平方。
5.位似图形高、周长的比都等于相似比。
6.位置图形的相应边相互平行或在同一条直线上。
3、利用位似，可以将一个图形放大或缩小，作图时要注意:①首先确定位似中心，位似中心的位置可随意选择；②确定原图形的关键点，如四边形有四个关键点，即它的四个顶点；③确定位似比，根据位
似比的取值，可以判断是将一个图形放大还是缩小；④符合要求的图形不惟一，因为所作的图形与所确定的位似中心的位置有关，并且同一个位似中心的两侧各有一个符合要求的图形．
4、位似变换：
把一个几何图形转换变成与之位似的图形,叫作位似变换。
物理中的透镜成像就是一种位似变换,位似中心为光心。
位似变换应用领域极为广为，特别就是可以证明三点共线等问题。
图形的位似
图形的位似
图形的位似是一种数学概念，用于描述两个图形之间的相似程度。
在几何图形中，位似是指两个图形的形状和大小相似，只是其中一个图形经过了缩放、旋转或平移等变换。
要判断两个图形是否位似，主要需要比较它们的比例关系和形状。
比例关系表示两个图形的对应部分的边长或面积的比值是相等的；形状表示两个图形的边长和角度之间的关系是相等的。
图形的位似可以用于解决很多实际问题。
例如，当我们要放大或缩小一个图形时，可以利用位似的概念来确定新图形的尺寸；当我们需要判断两个地图或建筑物是否相似时，也可以采用位似的方法来比较它们的形状和比例关系。
在实际应用中，通常可以通过计算两个图形的相似比来确定它们的位似程度。
相似比是两个图形的对应边长的比值。
如果两个图形的相似比相等，则它们是位似的。
例如，假设有两个三角形ABC和DEF，它们的对应边长比为a:b:c和d:e:f，如果a/b=c/d=e/f，则可以判断三角形ABC和DEF是位似的。
当然，在实际中判断图形的位似还有其他方法和指标。
例如，可以通过计算两个图形的面积比或计算它们的角度之间的差值来判断它们的位似程度。
不同的方法可以根据具体的问题进行选择和应用。
总之，图形的位似是一种数学概念，用于描述和比较两个图形之间的相似程度。
通过比较两个图形的比例关系和形状
等特征，可以判断它们的位似程度。
在解决实际问题时，可以利用位似的概念来确定图形的尺寸和形状，并进行比较和分析。
位似图形的概念
位似图形的概念
位似图形是近年来被提出的一种新的图形设计方法，它定义了一组用于描绘图形的属性和规则，并且可以通过调整规则和参数来创建具有独特特性的图形。
这种新的图形设计方法比传统的图形设计更加灵活、多样，它可以满足各式各样的设计需求，可以完成动态图形的制作，与传统图形设计完全不同，它采用独特的方法创建图形，并具有确定和可重复的特性。
首先，位似图形的设计是基于“细分”的思想，它也被称为“建模”，即用一组规则和参数来细分一个图形，以便调整和设置图形的各种属性。
比如，可以用不同的颜色和透明度来细分一个图形，产生一种类似玻璃效果的图形；也可以用不同的规则和参数来制作动态图形，比如动态圆形，椭圆形，多边形等。
这种独特的细分思想可以使设计师拥有更多的自由，可以完成设计任务。
此外，位似图形的另一个特点是它的可重复性，即用户可以用不同的参数来重复创建图形，而且保持图形的完整性。
这一特点可以大大提高设计的效率，让设计师可以轻松地完成大量的同样图形的创建任务。
比如，一些像折线图、柱状图、雷达图等图形，可以轻松地使用位似图形方法创建出来，而不用每次重新编写代码。
此外，位似图形还有一些特殊的特性，首先是它的灵活性，可以根据用户的需求来调整参数，从而产生完全不同的图形。
比如，一个椭圆形可以通过调整参数来变成一个抛物线形，一个圆形可以变成一个椭圆形，并且可以轻松地展示出复杂的图形，如彩虹等。
另外，它
还可以创建出变化多端的色彩图案，以及三维立体图形。
总之，位似图形是一种新兴的图形设计方法，它可以让设计师更自由地进行图形设计，也可以大大提高设计的效率，并且可以将复杂的图形展示出来，是一种极具创新性的图形设计手段。
位似图形的定义,画法及其计算
D
C
A
平行或在一条直线上 对应线段_______________________________
练习与拓展
1．如图，已知△ABC和点O.以O为位似中心，求作 △ABC的位似图形，并把△ABC的边长扩大到原来的两倍. A' .
A
O. B B’ C C’
OA:OA’ =OB:OB’ =OC:OC’= 1:2
A B C D G F E● NhomakorabeaP
G′
F′
A′
C′
B′
顺次连接点A′, B′, C′, D′, E′, F′,G′,所得到的图形(向下的 箭头)就是符合要求的图形。
观 察
它们相似的共同 点是什么？
其中相似图形的 共同点是什么？
概念与性质
1．位似图形的概念
如果两个图形不仅相似，而且每组对应点所在的
直线都经过同一点,对应边互相平行,或者在同一 条直线上，那么这样的两个图形叫做位似图形,这 个点叫做位似中心. 相似 对应点的连 线相交一点 对应边平行或 同一条直线上
思考：是否相似图形都是位似图形？ 位似图形都是相似图形吗？
想一想
判断下面的正方形是不是位似图形？
A D
不是
E （1） B C F G
显然，位似图形是相似图形的特殊情形.相似图形不 一定是位似图形，可位似图形一定是相似图形
思考：位似图形有何性质？
学习应用
如何把三角形ABC放大为原来的2倍 E ?
B O C A F D O F E 位似中心 对应点连线都交于____________ B
性质：两个位似的图形上每一对对应点都与位似中心 在一条直线上，并且新图形与原图形上对应点到位似 中心的距离之比等于相似比
位似图形的定义
位似图形的定义
位似图形把幻灯片上的图形放大到屏幕上，形成的新图形和原图形就是典型的位似图形。
两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，并且对应边互相平行或位于同一直线上，像这样的两个图形叫做位似图形，这个交点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比。
位似图形的标准定义应是:如果两个图形不仅是相似图形,且对应点连线相交于一点，对应线段相互平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，位似图形对应点连线的交点是位似中心。
位似图形的概念和画法
结论
那么称图形G与图形G′是位似图形，这个点O 叫作位似中心，常数k叫作位似比.
知识要点：如果两个多边形不仅相似，而且对应 顶点的连线相交于一点，对应边互相平行或重合， 像这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位 似中心，这时的相似比又称为位似比。
2023/5/24
6
位似图形
注意
ü位似是一种具有特殊位置关系的相似。 ü位似图形是相似图形的特殊情形。 ü位似图形必定是相似图形，而相似图形 不一定是位似图形。 ü两个位似图形的位似中心只有一个。 ü两个位似图形可能位于位似中心的两侧， 也可能位于位似中心的一侧。
位似多边形
如果两个图形不仅相似，而且每组对应顶 点所在的直线都经过同一个点，那么这样的两 个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心， 这时的相似比又称为位似比。
A
D1
E
B
D
C
E1
C1 B1
A1
课堂小结
1. 位似图形、位似中心、位似比：
如果两个图形不仅形状相同,而且每组 对应顶点所在的直线都经过同一个点,那么 这样的两个图形叫做位似图形。
B
2023/5/24
12
我们也可以分别在线段OA，OB，OC的反向延长线上 取点 A ' ' ， B ' '， C ' '，使得 O O A A ''=O O B B ''=O O C C ''= 2， 依次连接点 A '，' B '，' C ' '，所得到的△A''B''C''也是
所要求的图形，如图所示.OΒιβλιοθήκη (√1)(2) ×
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2015-2016学年度第一学期单元巩固案·九年级数学（下）
第二十七章 相似
一、考点梳理
◆ 考点1 比例的性质
例1.在某一时刻，测得一根高为1.8m 的竹竿的影长为3m ，同时测得一根旗杆的影长为25米，那么这根旗杆的高度为_____________m
◆ 考点2 相似三角形的判定
例2.如下图，在方格纸中，△ABC 和△EPD 的顶点均在格点上，要使△ABC ∽△EPD ，则点P 所在的格点为（ ）
A ．P 1
B ．P 2
C ．P 3
D ．P 4
例3.如上图，AE ，BD 交于点C ，BA ⊥AE 于点A ，ED ⊥BD 于点D ，若AC =4，AB =3，CD =2，则CE = ．
◆ 考点3 位似图形
例4.如图，在直角坐标系中，矩形OABC 的顶点O 在坐标原点，边OA 在x 轴上，OC 在y 轴上，如果矩形OA ′B′C′与矩形OABC 关于点O 位似，且矩形OA′B′C′的面积等于矩形OABC 面积的，那么点B′的坐标是（ ）
A.(-2,3)
B.(2,-3)
C.(3,-2)或(-2,3)
D.(-2,3)或
(2,-3)
◆ 考点4 相似三角形的应用 例5如上图.实验中学课外数学兴趣小组的同学发现，教学楼旁边有一棵树，同学们在阳光下测得一根长为1 m 的竹竿的影长为0．9 m ，在同一时刻他们测量树高时，发现树的例2 P 4P
3P 2P 1E D C B A 图6 E
D C B
A
图1
图2 例3
影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上，如图1所示，经过一番争论，该小组的同学认为继续测量也可以求出树高，他们测得落在地面上的影长为2.7 m ，落在墙壁上的影长为1.2 m ，请你计算树高为多少．
二、反思感悟 知识梳理
掌握的思想方法
学习技巧 存在的困惑 三．巩固提升
（一）、选择题
1．如图所示，在△ABC 中，DE ∥BC ，若AD ＝1，DB ＝2，则
BC DE 的值为( ) A ．32 B ．41 C ．31 D ．2
1 2．如图所示，△ABC 中DE ∥BC ，若AD ∶DB ＝1∶2，则下列结论中正确的是( )
A ．21=BC DE
B ．2
1=∆∆的周长的周长ABC ADE C ．的面积的面积ABC ADE ∆∆31= D ．的周长的周长ABC ADE ∆∆3
1= （1、2题图 ）
3．下列4×4的正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则与△ABC 相似的三角形所在的网格图形是( )
4．如图，在△MBN 中，BM =6,点A ,C,D 分别在MB 、NB 、MN 上，四边形ABCD 为平行四边形， ∠NDC =∠MDA 则□ABCD 的周长是
( ) A.24 B.18 C.16 D.12
A C
B
A ．
B ．
C ．
D ． A B C N
M A
D
E C
B
5．如图，点M 在BC 上，点N 在AM 上，CM=CN ，CM
BM AN AM =，下列结论正确的是（ ） A ．∆ABM ∽∆ACB B ．∆ANC ∽∆ACM C ．∆ANC ∽∆AMB D ．∆CMN ∽∆BCA
6．如图，△ABC ∽△AED ，且∠AED=∠B ，则△ABC 与△AED 的相似比等于( ) A.AB AD B. AC AB C. AC AE D. AE
AB 7．下列说法“①位似图形都相似；②位似图形都是平移后再放大(或缩小)得到；③直角三
角形斜边上的中线与斜边的比为1∶2；④两个相似多边形的面积比为4∶9，则周长的比为16∶81.”中,正确的有(
) A ．1个 B ．2个
C ．3个
D ．4个 8．如图，A D ∥BC ，∠D ＝900，AD ＝2，BC ＝5，DC ＝8.若在边
DC 上有点P ，使△PAD 与△PBC 相似，则这样的点P 有（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
（二）、填空题
9．如图所示，在△ABC 中，AB ＝6，AC ＝4，P 是AC 的中点，过P 点的直线交AB 于点Q ，
若以A ，P ，Q 为顶点的三角形和以A ，B ，C 为顶点的三角形相似，则AQ 的长为__________．
10．如图，△ABC 是斜边AB 的长为3的等腰直角三角形，在△ABC 内作第1个内接正方形A 1B 1D 1E 1（D 1、E 1在AB 上，A 1、B 1分别在AC 、BC 上），再在△A 1B 1C 内接同样的方法作第2个内接正方形A 2B 2D 2E 2，…如此下去，操作n 次，则第n 个小正方形A n B n D n E n 的边长是 _________ ．
（三）、解答题 11．如图，已知⊙O 的弦CD 垂直于直径AB ，点E 在CD 上，且EC = EB .
(1)求证：△CEB ∽△CBD ；
(2)若CE = 3，CB=5 ，求DE 的长. 第4题图 第
5
题图
第6题图
12．已知：如图，ABCD 中，2:1:=EB AE ，
(1)求AEF ∆与CDF ∆的周长的比；
(2)如果2cm 6=∆AEF S ，求CDF S ∆．
13．已知：如图，△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝1，点D 是BC 边上的一个动点(不与B ，C 点重合)，∠ADE ＝45°．
(1)求证：△ABD ∽△DCE ；
(2)设BD ＝x ，AE ＝y ，求y 关于x 的函数关系式； (3)当△ADE 是等腰三角形时，求AE 的长．。