八年级数学一元二次方程期末复习试题
【必刷题】2024八年级数学上册一元二次方程解法专项专题训练(含答案)
【必刷题】2024八年级数学上册一元二次方程解法专项专题训练（含答案）试题部分一、选择题：1. 已知方程x^2 5x + 6 = 0，下列哪个选项是它的一个解？A. x = 2B. x = 3C. x = 4D. x = 52. 方程2x^2 4x + 1 = 0的解为：A. x = 1B. x = 1/2C. x = 1/2D. x = 13. 下列哪个方程是一元二次方程？A. x^2 + 3x 2 = 0B. 2x + 5 = 0C. 3x^3 2x^2 + x 1 = 0D. x^2 + y^2 = 14. 一元二次方程x^2 3x + 1 = 0的解为：A. x = 1，x = 2B. x = 1，x = 1C. x = 2，x = 2D. x = 3，x = 35. 方程x^2 4x + 4 = 0的解是：A. x = 2B. x = 2C. x = 0D. x = 2（重根）6. 已知方程x^2 (2a+1)x + a^2 = 0，若a为正数，则方程的解为：A. x = a，x = 1B. x = a，x = aC. x = a+1，x = a1D. x = 2a，x = 2a7. 方程x^2 5x + 6 = 0的解中，较大的是：A. 2B. 3C. 4D. 58. 若方程x^2 (2k+1)x + k^2 = 0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是：A. k > 0B. k < 0C. k ≠ 0D. k = 09. 方程x^2 2x 3 = 0的解为：A. x = 3，x = 1B. x = 3，x = 1C. x = 3，x = 1D. x = 3，x = 110. 方程x^2 6x + 9 = 0的解是：A. x = 3B. x = 3C. x = 0D. x = 3（重根）二、判断题：1. 一元二次方程的解一定是两个实数根。
2. 方程x^2 2x + 1 = 0的解为x = 1。
浙教版八年级数学下《第2章一元二次方程》章末复习课试卷有答案
浙教版八年级数学下《第2章一元二次方程》章末复习课试卷有答案章末复习课考点 1 一元二次方程的有关概念1．下列方程中，属于一元二次方程的是( C )A ．x 2＋1x 2＝0B ．ax 2＋bx ＝0C ．(x －1)(x ＋2)＝1D ．3x 2－2xy ＋5y 2＝02．已知关于x 的方程x 2＋m 2x －2＝0的一个根是1，则m 的值是( C )A ．1B ．2C ．±1D ．±23．若n (n ≠0)是关于x 的方程x 2＋mx ＋3n ＝0的根，则m ＋n ＝__－3__．考点 2 一元二次方程的解法4．把方程x 2－4x －6＝0配方成(x ＋m )2＝n 的形式，结果应是( D )A ．(x －4)2＝2B ．(x －2)2＝6C ．(x －2)2＝8D ．(x －2)2＝105．方程x (x －1)＝x 的根是( D )A ．x ＝2B ．x ＝－2C ．x 1＝－2，x 2＝0D ．x 1＝2，x 2＝06．用适当的方法解下列方程．(1)(2x ＋3)2－25＝0；(2)4x 2－3x －1＝0；(3)3(x －2)2＝x (x －2)；(4)(x ＋1)(x ＋8)＝－2.【答案】 (1)x 1＝－4，x 2＝1 (2)x 1＝－14，x 2＝1 (3)x 1＝2，x 2＝3 (4)x 1＝－9＋412，x 2＝－9－4127．定义新运算“⊕”如下：当a ≥b 时，a ⊕b ＝ab ＋b ；当a 解方程(2x －1)⊕(x ＋2)＝0.解：①当2x －1≥x ＋2即x ≥3时，(2x －1)⊕(x ＋2)＝(2x －1)(x ＋2)＋x ＋2＝0，解，得x ＝0或x ＝－2，∵x ≥3，∴x ＝0或x ＝－2均舍去；②当2x －1<3时，<="" p="" ＋2即x="">(2x －1)⊕(x ＋2)＝(2x －1)(x ＋2)－(2x －1)＝0，解，得x ＝－1或x ＝12，∵x <3，∴x 1＝－1，x 2＝12都是原方程的解．综上，方程的解为－1，12. 考点 3一元二次方程根的判别式及根与系数的关系8．a ，b ，c 为常数，且(a －c )2＞a 2＋c 2，则关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0根的情况是( B )A ．有两个相等的实数根B ．有两个不相等的实数根C ．无实数根D ．有一根为09．写出一个无实数根的一元二次方程：答案不唯一，如x 2＋1＝0 ．10．若关于x 的一元二次方程(k －1)x 2＋4x ＋1＝0有实数根，则k 的取值范围是__k ≤5且k ≠1__．11．2018·南京设x 1，x 2是一元二次方程x 2－mx －6＝0的两个根，且x 1＋x 2＝1，则x 1＝__－2__，x 2＝__3__． 12．2018·内江已知关于x 的方程ax 2＋bx ＋1＝0的两根为x 1＝1，x 2＝2，则方程a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋1＝0的两根之和为__1__．【解析】设x ＋1＝t ，方程a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋1＝0的两根分别是x 3，x 4，∴at 2＋bt ＋1＝0，由题意可知t 1＝1，t 2＝2，∴t 1＋t 2＝3，∴x 3＋x 4＋2＝3，∴x 3＋x 4＝1.13．在一元二次方程x 2－2ax ＋b ＝0中，若a 2－b >0，则称a 是该方程的中点值．(1)方程x 2－8x ＋3＝0的中点值是__4__．(2)当a 2－b >0时，x 1，x 2为方程的两个根，求证：x 2－a ＝a －x 1.(3)已知x 2－mx ＋n ＝0的中点值是3，其中一个根是2，求mn 的值．解：(2)∵当Δ＝4(a 2－b )>0时，x 1，x 2为方程的两个实数根，∴x 1＋x 2＝2a ，∴x 2－a ＝a －x 1.(3)由中点值的定义得：m 2＝3，∴m ＝6. ∴x 2－6x ＋n ＝0.将x ＝2代入方程，得：4－12＋n ＝0，∴n ＝8，∴mn ＝48.考点 4 一元二次方程的应用14．某校去年投资2万元购买实验器材，预计今明两年的投资总额为8万元．若该校这两年购买实验器材的投资年平均增长率为x ，则可列方程为__2(1＋x )＋2(1＋x )2＝8__．15．观察图形规律：当n ＝__5__时，图中“”的个数和内部“△”的个数相等．16．学校为奖励“汉字听写大赛”的优秀学生，派王老师到商店购买某种奖品，他看到如表所示的关于该奖品的不超过30件单价40元解：∵30∴奖品数超过了30件．设总数为x 件，则每件商品的价格为[40－(x －30)×0.5]元，根据题意可得x [40－(x －30)×0.5]＝1400，解得x 1＝40，x 2＝70，∵x ＝70时，40－(70－30)×0.5＝20＜30，∴x ＝70，不合题意，舍去．答：王老师购买该奖品的件数为40.17．如图所示，△ABC 是边长3cm 的等边三角形，动点P ，Q 同时从A ，B 两点出发，分别沿AB ，BC 方向匀速移动，它们的速度都是1cm/s ，当点P 到达点B 时，P ，Q 两点停止运动．设点P 的运动时间为t (s)，解答问题：当t 为何值时，△PBQ 是直角三角形？解：根据题意，得AP ＝t (cm)，BQ ＝t (cm)，在△ABC 中，AB ＝BC ＝3cm ，∠B ＝60°，∴BP ＝(3－t ) cm.在△PBQ 中，BP ＝3－t ，BQ ＝t ，若△PBQ 是直角三角形，则∠BQP ＝90°或∠BPQ ＝90°，当∠BQP ＝90°时，BQ ＝12BP ，即t ＝12(3－t )，t ＝1，当∠BPQ ＝90°时，BP ＝12BQ ，3－t ＝12 t ，t ＝2. 答：当t ＝1或t ＝2时，△PB Q 是直角三角形．18．阅读材料：【方法1】若x＋2是x2－mx－8的一个因式，我们不难得到x2－mx－8＝(x＋2)(x－4)，易得m＝2.【方法2】观察上面的等式，可以发现当x＝－2时，x2－mx－8＝(x＋2)(x－4)＝0，即x＝－2是方程x2－mx－8＝0的一个根，故将x＝－2代入方程x2－mx－8＝0，求得m＝2.【应用】(1)若x－2是x2－mx－6的一个因式，应用方法1求m的值；(2)若x＋1是2x3＋x2＋mx－6的一个因式，应用方法2求m 的值．解：(1)∵x2－mx－6＝(x－2)(x＋3)＝x2＋x－6，∴m＝－1.(2)∵x＋1是2x3＋x2＋mx－6的一个因式，∴x＝－1是方程2x3＋x2＋mx－6＝0的一个解，∴将x＝－1代入方程，得－2＋1－m－6＝0，∴m＝－7.。
苏科版八年级数学下册《一元二次方程》期末考试复习(含答案)
第一章《一元二次方程》期终复习【知识回顾】1.一元二次方程的概念：形如：__________________________练习：若方程2227m m x mx --+=（）是关于的一元二次方程，求m 的值。
2.一元二次方程的根的判别式：________________________________ （1）当 时，方程有两个不相等．．．．．的实数根； （2）当 时，方程有两个相等．．．．的实数根； （3）当 时，方程没有实数根．．．．．。
练习：1.下列方程中，有两个不相等实数根的是 ( ) Ａ．240x += Ｂ．24410x x -+= Ｃ．230x x ++= Ｄ．2210x x +-= 2．一元二次方程0442=+-x x 的根的情况是 ( )A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．有一个实数根D ．没有实数根 3.一元二次方程的解法：（1）直接开平方法：①4x 2-1=0 ②(2x ＋3)2－25＝0 ③81(x-2)2=16（2）配方法：④x 2-2x+6=0 ⑤2x 2-12x+5=0配方法：用配方法解一元二次方程：ax 2＋bx+c=0(a ≠0）的一般步骤是： ①二次项系数为___，即方程两边同_______；②移项，即使方程的左边为二次项和一次项，右边为_______项； ③配方，即方程两边都加上_______________________； ④化原方程为(x+m ）2=n 的形式；⑤如果n ≥0就可以用____________求出方程的解； 如果n ＜0，则原方程__________________（3）因式分解法：⑥x 2-4x=0 ⑦2x 2=5x ⑧02)2(=-+-x x x因式分解法的步骤是：①方程右边化为___________；②将方程左边分解为______________；③令每个因式等于0，得到两个__________，解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解．若方程20ax bx c ++=的两个根分别为x 1，,x 2，那么方程可以写成______________ （4）公式法：求根公式:____________________x =（条件：在240b ac -≥时有解）⑨2x 2+x-6=0 ⑩210x x -+=注意解一元二次方程时一般不使用配方法（除特别要求外）但又必须熟练掌握，解一元二次方程的一般顺序是：开平方法→因式分解法→公式法． 补充内容：根与系数关系（韦达定理）如果一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根是1x 、2x ，那么21x x +=_____________，21x x ⋅=__________.证明：因为当042≥-ac b 时，方程)0(02≠=++a c bx ax 的根是=1x _____________，=2x ____________,所以，21x x +=_________________________________________； 21x x ⋅=______________________________________________________________. 1．下列方程中，两个实数根之和为2的一元二次方程是( )A ．x 2＋2x －3＝0；B ．x 2－2x ＋3＝0；C ．x 2－2x －3＝0；D ．x 2＋2x ＋3＝0 2．设一元二次方程x 2－2x －4＝0的两个实根为x 1和x 2，则下列结论正确的是( ) A ．x 1＋x 2＝2 B ．x 1＋x 2＝－4 C ．x 1x 2＝－2 D ．x 1x 2＝43．已知x 1，x 2是一元二次方程x 2＋2ax ＋b ＝0的两根，且x 1＋x 2＝3，x 1x 2＝1，则a ，b 的值分别是( )A ．a ＝－3，b ＝1；B ．a ＝3，b ＝1；C ．3=2a -，b ＝－1； D ．3=2a -，b ＝1 4．若一元二次方程x 2＋kx －3＝0的一个根是x ＝1，则该方程的另一个根是( ) A ．3 B ．－1 C ．－3 D ．－25．已知方程x 2－5x ＋2＝0的两个根分别为x 1，x 2，则x 1＋x 2－x 1x 2的值为( ) A ．－7 B ．－3 C ．7 D ．36．已知m ，n 是方程x 2＋＋1＝0的值为( ) A ．9 B ．±3 C ．3 D ．57．已知方程x 2－4x －7＝0的根是x 1和x 2，则x 1＋x 2＝__________，x 1x 2＝__________. 8．若方程x 2－2x ＋a ＝0的一个根是3，则该方程的另一个根是__________，a ＝__________. 9．若x 1，x 2是一元二次方程x 2－3x －2＝0的两个实数根，则x 12＋3x 1x 2＋x 22的值为__________．10．已知方程x 2＋3x －1＝0的两实数根为α，β，不解方程求下列各式的值． (1)α2＋β2； (2)α3β＋αβ3； (3)βααβ+.4.用方程解决实际问题：1.变化率问题：若原始数为a ，增长率或下降率为x ，经第一次变化后数据为: ___________________________， 第二次变化后为： ______________________________求出x 后，依据0＜x ＜1的条件，选出符合题意的答案。
数学八年级下《一元二次方程》复习测试题(附答案)
一元二次方程经典复习题(含答案)
一元二次方程测试题考试范围：一元二次方程；考试时间：100分钟；命题人：刘笑天题号一二三总分得分第一卷〔选择题〕评卷人得分一．选择题〔共12小题〕1．方程x〔x﹣2〕=3x的解为〔〕A．x=5 B．x1=0，x2=5 C．x1=2，x2=0 D．x1=0，x2=﹣52．以下方程是一元二次方程的是〔〕A．ax2+bx+c=0 B．3x2﹣2x=3〔x2﹣2〕C．x3﹣2x﹣4=0 D．〔x﹣1〕2+1=0 3．关于x的一元二次方程x2+a2﹣1=0的一个根是0，那么a的值为〔〕A．﹣1 B．1 C．1或﹣1 D．34．某旅游景点的游客人数逐年增加，据有关部门统计，2021 年约为12万人次，假设2021年约为17万人次，设游客人数年平均增长率为x，那么以下方程中正确的选项是〔〕A．12〔1+x〕=17 B．17〔1﹣x〕=12C．12〔1+x〕2=17 D．12+12〔1+x〕+12〔1+x〕2=175．如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=8cm，BC=6cm．动点P，Q分别从点A，B同时开场挪动，点P的速度为1cm/秒，点Q的速度为2cm/秒，点Q挪动到点C后停顿，点P也随之停顿运动．以下时间瞬间中，能使△PBQ的面积为15cm2的是〔〕A．2秒钟B．3秒钟C．4秒钟D．5秒钟6．某幼儿园要准备修建一个面积为210平方米的矩形活动场地，它的长比宽多12米，设场地的长为x米，可列方程为〔〕A．x〔x+12〕=210 B．x〔x﹣12〕=210C．2x+2〔x+12〕=210 D．2x+2〔x﹣12〕=2107．一元二次方程x2+bx﹣2=0中，假设b＜0，那么这个方程根的情况是〔〕A．有两个正根B．有一正根一负根且正根的绝对值大C．有两个负根D．有一正根一负根且负根的绝对值大8．x1，x2是方程x2+x+k=0的两个实根，假设恰x12+x1x2+x22=2k2成立，k的值为〔〕A．﹣1 B．或﹣1 C．D．﹣或19．一元二次方程ax2+bx+c=0中，假设a＞0，b＜0，c＜0，那么这个方程根的情况是〔〕A．有两个正根B．有两个负根C．有一正根一负根且正根绝对值大D．有一正根一负根且负根绝对值大10．有两个一元二次方程：M：ax2+bx+c=0；N：cx2+bx+a=0，其中a﹣c≠0，以以下四个结论中，错误的选项是〔〕A．假如方程M有两个不相等的实数根，那么方程N也有两个不相等的实数根B．假如方程M有两根符号一样，那么方程N的两根符号也一样C．假如5是方程M的一个根，那么是方程N的一个根D．假如方程M和方程N有一个一样的根，那么这个根必是x=111．m，n是关于x的一元二次方程x2﹣2tx+t2﹣2t+4=0的两实数根，那么〔m+2〕〔n+2〕的最小值是〔〕A．7 B．11 C．12 D．1612．设关于x的方程ax2+〔a+2〕x+9a=0，有两个不相等的实数根x1、x2，且x1＜1＜x2，那么实数a的取值范围是〔〕A． B．C．D．第二卷〔非选择题〕评卷人得分二．填空题〔共8小题〕13．假设x1，x2是关于x的方程x2﹣2x﹣5=0的两根，那么代数式x12﹣3x1﹣x2﹣6的值是．14．x1，x2是关于x的方程x2+ax﹣2b=0的两实数根，且x1+x2=﹣2，x1•x2=1，那么b a的值是．15．2x|m|﹣2+3=9是关于x的一元二次方程，那么m=．16．x2+6x=﹣1可以配成〔x+p〕2=q的形式，那么q=．17．关于x的一元二次方程〔m﹣1〕x2﹣3x+1=0有两个不相等的实数根，且关于x的不等式组的解集是x＜﹣1，那么所有符合条件的整数m的个数是．18．关于x的方程〔m﹣2〕x2+2x+1=0有实数根，那么偶数m的最大值为．19．如图，某小区有一块长为18米，宽为6米的矩形空地，方案在其中修建两块一样的矩形绿地，它们面积之和为60米2，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道，那么人行道的宽度为米．20．如图是一次函数y=kx+b的图象的大致位置，试判断关于x的一元二次方程x2﹣2x+kb+1=0的根的判别式△0〔填：“＞〞或“=〞或“＜〞〕．评卷人得分三．解答题〔共8小题〕21．解以下方程．〔1〕x2﹣14x=8〔配方法〕〔2〕x2﹣7x﹣18=0〔公式法〕〔3〕〔2x+3〕2=4〔2x+3〕〔因式分解法〕〔4〕2〔x﹣3〕2=x2﹣9．22．关于x的一元二次方程〔m﹣1〕x2﹣x﹣2=0〔1〕假设x=﹣1是方程的一个根，求m的值及另一个根．〔2〕当m为何值时方程有两个不同的实数根．23．关于x的一元二次方程〔a﹣6〕x2﹣8x+9=0有实根．〔1〕求a的最大整数值；〔2〕当a取最大整数值时，①求出该方程的根；②求2x2﹣的值．24．关于x的方程x2﹣〔2k﹣3〕x+k2+1=0有两个不相等的实数根x1、x2．〔1〕求k的取值范围；〔2〕假设x1x2+|x1|+|x2|=7，求k的值．25．某茶叶专卖店经销一种日照绿茶，每千克本钱80元，据销售人员调查发现，每月的销售量y〔千克〕与销售单价x〔元/千克〕之间存在如下图的变化规律．〔1〕求每月销售量y与销售单价x之间的函数关系式．〔2〕假设某月该茶叶点销售这种绿茶获得利润1350元，试求该月茶叶的销售单价x为多少元．26．如图，为美化环境，某小区方案在一块长方形空地上修建一个面积为1500平方米的长方形草坪，并将草坪四周余下的空地修建成同样宽的通道，长方形空地的长为60米，宽为40米．〔1〕求通道的宽度；〔2〕晨光园艺公司承揽了该小区草坪的种植工程，方案种植“四季青〞和“黑麦草〞两种绿草，该公司种植“四季青〞的单价是30元/平方米，超过50平方米后，每多出5平方米，所有“四季青〞的种植单价可降低1元，但单价不低于20元/平方米，小区种植“四季青〞的面积超过了50平方米，支付晨光园艺公司种植“四季青〞的费用为2000元，求种植“四季青〞的面积．27．某商店经销甲、乙两种商品，现有如下信息：信息1：甲、乙两种商品的进货单价之和是3元；信息2：甲商品零售单价比进货单价多1元，乙商品零售单价比进货单价的2倍少1元；信息3：按零售单价购置甲商品3件和乙商品2件，共付了12元．请根据以上信息，解答以下问题：〔1〕求甲、乙两种商品的零售单价；〔2〕该商店平均每天卖出甲乙两种商品各500件，经调查发现，甲种商品零售单价每降0.1元，甲种商品每天可多销售100件，商店决定把甲种商品的零售单价下降m〔m＞0〕元．在不考虑其他因素的条件下，当m为多少时，商店每天销售甲、乙两种商品获取的总利润为1000元？28．关于x的一元二次方程x2﹣〔m+6〕x+3m+9=0的两个实数根分别为x1，x2．〔1〕求证：该一元二次方程总有两个实数根；〔2〕假设n=4〔x1+x2〕﹣x1x2，判断动点P〔m，n〕所形成的函数图象是否经过点A〔1，16〕，并说明理由．2021年02月28日刘笑天的初中数学组卷参考答案与试题解析一．选择题〔共12小题〕1．方程x〔x﹣2〕=3x的解为〔〕A．x=5 B．x1=0，x2=5 C．x1=2，x2=0 D．x1=0，x2=﹣5【解答】解：x〔x﹣2〕=3x，x〔x﹣2〕﹣3x=0，x〔x﹣2﹣3〕=0，x=0，x﹣2﹣3=0，x1=0，x2=5，应选B．2．以下方程是一元二次方程的是〔〕A．ax2+bx+c=0 B．3x2﹣2x=3〔x2﹣2〕C．x3﹣2x﹣4=0 D．〔x﹣1〕2+1=0【解答】解：A、当a=0时，该方程不是一元二次方程，故本选项错误；B、由原方程得到2x﹣6=0，未知数的最高次数是1，不是一元二次方程，故本选项错误；C、未知数最高次数是3，该方程不是一元二次方程，故本选项错误；D、符合一元二次方程的定义，故本选项正确；应选D．3．关于x的一元二次方程x2+a2﹣1=0的一个根是0，那么a的值为〔〕A．﹣1 B．1 C．1或﹣1 D．3【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+a2﹣1=0的一个根是0，∴02+a2﹣1=0，解得，a=±1，应选C．4．某旅游景点的游客人数逐年增加，据有关部门统计，2021 年约为12万人次，假设2021年约为17万人次，设游客人数年平均增长率为x，那么以下方程中正确的选项是〔〕A．12〔1+x〕=17 B．17〔1﹣x〕=12C．12〔1+x〕2=17 D．12+12〔1+x〕+12〔1+x〕2=17【解答】解：设游客人数的年平均增长率为x，那么2021的游客人数为：12×〔1+x〕，2021的游客人数为：12×〔1+x〕2．那么可得方程：12〔1+x〕2=17．应选：C．5．如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=8cm，BC=6cm．动点P，Q分别从点A，B同时开场挪动，点P的速度为1cm/秒，点Q的速度为2cm/秒，点Q 挪动到点C后停顿，点P也随之停顿运动．以下时间瞬间中，能使△PBQ的面积为15cm2的是〔〕A．2秒钟B．3秒钟C．4秒钟D．5秒钟【解答】解：设动点P，Q运动t秒后，能使△PBQ的面积为15cm2，那么BP为〔8﹣t〕cm，BQ为2tcm，由三角形的面积计算公式列方程得，×〔8﹣t〕×2t=15，解得t1=3，t2=5〔当t=5时，BQ=10，不合题意，舍去〕．答：动点P，Q运动3秒时，能使△PBQ的面积为15cm2．6．某幼儿园要准备修建一个面积为210平方米的矩形活动场地，它的长比宽多12米，设场地的长为x米，可列方程为〔〕A．x〔x+12〕=210 B．x〔x﹣12〕=210 C．2x+2〔x+12〕=210 D．2x+2〔x ﹣12〕=210【解答】解：设场地的长为x米，那么宽为〔x﹣12〕米，根据题意得：x〔x﹣12〕=210，应选：B．7．一元二次方程x2+bx﹣2=0中，假设b＜0，那么这个方程根的情况是〔〕A．有两个正根B．有一正根一负根且正根的绝对值大C．有两个负根D．有一正根一负根且负根的绝对值大【解答】解：x2+bx﹣2=0，△=b2﹣4×1×〔﹣2〕=b2+8，即方程有两个不相等的实数根，设方程x2+bx﹣2=0的两个根为c、d，那么c+d=﹣b，cd=﹣2，由cd=﹣2得出方程的两个根一正一负，由c+d=﹣b和b＜0得出方程的两个根中，正数的绝对值大于负数的绝对值，应选B．8．x1，x2是方程x2+x+k=0的两个实根，假设恰x12+x1x2+x22=2k2成立，k的值为〔〕A．﹣1 B．或﹣1 C．D．﹣或1【解答】解：根据根与系数的关系，得x1+x2=﹣1，x1x2=k．又x12+x1x2+x22=2k2，那么〔x1+x2〕2﹣x1x2=2k2，即1﹣k=2k2，解得k=﹣1或．当k=时，△=1﹣2＜0，方程没有实数根，应舍去．∴取k=﹣1．故此题选A．9．一元二次方程ax2+bx+c=0中，假设a＞0，b＜0，c＜0，那么这个方程根的情况是〔〕A．有两个正根B．有两个负根C．有一正根一负根且正根绝对值大D．有一正根一负根且负根绝对值大【解答】解：∵a＞0，b＜0，c＜0，∴△=b2﹣4ac＞0，＜0，﹣＞0，∴一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根，且两根异号，正根的绝对值较大．应选：C．10．有两个一元二次方程：M：ax2+bx+c=0；N：cx2+bx+a=0，其中a﹣c≠0，以以下四个结论中，错误的选项是〔〕A．假如方程M有两个不相等的实数根，那么方程N也有两个不相等的实数根B．假如方程M有两根符号一样，那么方程N的两根符号也一样C．假如5是方程M的一个根，那么是方程N的一个根D．假如方程M和方程N有一个一样的根，那么这个根必是x=1【解答】解：A、在方程ax2+bx+c=0中△=b2﹣4ac，在方程cx2+bx+a=0中△=b2﹣4ac，∴假如方程M有两个不相等的实数根，那么方程N也有两个不相等的实数根，正确；B、∵“和符号一样，和符号也一样，∴假如方程M有两根符号一样，那么方程N的两根符号也一样，正确；C、∵5是方程M的一个根，∴25a+5b+c=0，∴a+b+c=0，∴是方程N的一个根，正确；D、M﹣N得：〔a﹣c〕x2+c﹣a=0，即〔a﹣c〕x2=a﹣c，∵a﹣c≠1，∴x2=1，解得：x=±1，错误．应选D．11．m，n是关于x的一元二次方程x2﹣2tx+t2﹣2t+4=0的两实数根，那么〔m+2〕〔n+2〕的最小值是〔〕A．7 B．11 C．12 D．16【解答】解：∵m，n是关于x的一元二次方程x2﹣2tx+t2﹣2t+4=0的两实数根，∴m+n=2t，mn=t2﹣2t+4，∴〔m+2〕〔n+2〕=mn+2〔m+n〕+4=t2+2t+8=〔t+1〕2+7．∵方程有两个实数根，∴△=〔﹣2t〕2﹣4〔t2﹣2t+4〕=8t﹣16≥0，∴t≥2，∴〔t+1〕2+7≥〔2+1〕2+7=16．应选D．12．设关于x的方程ax2+〔a+2〕x+9a=0，有两个不相等的实数根x1、x2，且x1＜1＜x2，那么实数a的取值范围是〔〕A． B．C．D．【解答】解：方法1、∵方程有两个不相等的实数根，那么a≠0且△＞0，由〔a+2〕2﹣4a×9a=﹣35a2+4a+4＞0，解得﹣＜a＜，∵x1+x2=﹣，x1x2=9，又∵x1＜1＜x2，∴x1﹣1＜0，x2﹣1＞0，那么〔x1﹣1〕〔x2﹣1〕＜0，∴x1x2﹣〔x1+x2〕+1＜0，即9++1＜0，解得＜a＜0，最后a的取值范围为：＜a＜0．应选D．方法2、由题意知，a≠0，令y=ax2+〔a+2〕x+9a，由于方程的两根一个大于1，一个小于1，∴抛物线与x轴的交点分别在1两侧，当a＞0时，x=1时，y＜0，∴a+〔a+2〕+9a＜0，∴a＜﹣〔不符合题意，舍去〕，当a＜0时，x=1时，y＞0，∴a+〔a+2〕+9a＞0，∴a＞﹣，∴﹣＜a＜0，应选D．二．填空题〔共8小题〕13．假设x1，x2是关于x的方程x2﹣2x﹣5=0的两根，那么代数式x12﹣3x1﹣x2﹣6的值是﹣3．【解答】解：∵x1，x2是关于x的方程x2﹣2x﹣5=0的两根，∴x12﹣2x1=5，x1+x2=2，∴x12﹣3x1﹣x2﹣6=〔x12﹣2x1〕﹣〔x1+x2〕﹣6=5﹣2﹣6=﹣3．故答案为：﹣3．14．x1，x2是关于x的方程x2+ax﹣2b=0的两实数根，且x1+x2=﹣2，x1•x2=1，那么b a的值是．【解答】解：∵x1，x2是关于x的方程x2+ax﹣2b=0的两实数根，∴x1+x2=﹣a=﹣2，x1•x2=﹣2b=1，解得a=2，b=﹣，∴b a=〔﹣〕2=．故答案为：．15．2x|m|﹣2+3=9是关于x的一元二次方程，那么m=±4．【解答】解：由题意可得|m|﹣2=2，解得，m=±4．故答案为：±4．16．x2+6x=﹣1可以配成〔x+p〕2=q的形式，那么q=8．【解答】解：x2+6x+9=8，〔x+3〕2=8．所以q=8．故答案为8．17．关于x的一元二次方程〔m﹣1〕x2﹣3x+1=0有两个不相等的实数根，且关于x的不等式组的解集是x＜﹣1，那么所有符合条件的整数m的个数是4．【解答】解：∵关于x的一元二次方程〔m﹣1〕x2﹣3x+1=0有两个不相等的实数根，∴m﹣1≠0且△=〔﹣3〕2﹣4〔m﹣1〕＞0，解得m＜且m≠1，，∵解不等式组得，而此不等式组的解集是x＜﹣1，∴m≥﹣1，∴﹣1≤m＜且m≠1，∴符合条件的整数m为﹣1、0、2、3．故答案为4．18．关于x的方程〔m﹣2〕x2+2x+1=0有实数根，那么偶数m的最大值为2．【解答】解：由得：△=b2﹣4ac=22﹣4〔m﹣2〕≥0，即12﹣4m≥0，解得：m≤3，∴偶数m的最大值为2．故答案为：2．19．如图，某小区有一块长为18米，宽为6米的矩形空地，方案在其中修建两块一样的矩形绿地，它们面积之和为60米2，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道，那么人行道的宽度为1米．【解答】解：设人行道的宽度为x米〔0＜x＜3〕，根据题意得：〔18﹣3x〕〔6﹣2x〕=60，整理得，〔x﹣1〕〔x﹣8〕=0．解得：x1=1，x2=8〔不合题意，舍去〕．即：人行通道的宽度是1米．故答案是：1．20．如图是一次函数y=kx+b的图象的大致位置，试判断关于x的一元二次方程x2﹣2x+kb+1=0的根的判别式△＞0〔填：“＞〞或“=〞或“＜〞〕．【解答】解：∵次函数y=kx+b的图象经过第一、三、四象限，∴k＞0，b＜0，∴△=〔﹣2〕2﹣4〔kb+1〕=﹣4kb＞0．故答案为＞．三．解答题〔共8小题〕21．解以下方程．〔1〕x2﹣14x=8〔配方法〕〔2〕x2﹣7x﹣18=0〔公式法〕〔3〕〔2x+3〕2=4〔2x+3〕〔因式分解法〕〔4〕2〔x﹣3〕2=x2﹣9．【解答】解：〔1〕x2﹣14x+49=57，〔x﹣7〕2=57，x﹣7=±，所以x1=7+，x2=7﹣；〔2〕△=〔﹣7〕2﹣4×1×〔﹣18〕=121，x=，所以x1=9，x2=﹣2；〔3〕〔2x+3〕2﹣4〔2x+3〕=0，〔2x+3〕〔2x+3﹣4〕=0，2x+3=0或2x+3﹣4=0，所以x1=﹣，x2=；〔4〕2〔x﹣3〕2﹣〔x+3〕〔x﹣3〕=0，〔x﹣3〕〔2x﹣6﹣x﹣3〕=0，x﹣3=0或2x﹣6﹣x﹣3=0，所以x1=3，x2=9．22．关于x的一元二次方程〔m﹣1〕x2﹣x﹣2=0〔1〕假设x=﹣1是方程的一个根，求m的值及另一个根．〔2〕当m为何值时方程有两个不同的实数根．【解答】解：〔1〕将x=﹣1代入原方程得m﹣1+1﹣2=0，解得：m=2．当m=2时，原方程为x2﹣x﹣2=0，即〔x+1〕〔x﹣2〕=0，∴x1=﹣1，x2=2，∴方程的另一个根为2．〔2〕∵方程〔m﹣1〕x2﹣x﹣2=0有两个不同的实数根，∴，解得：m＞且m≠1，∴当m＞且m≠1时，方程有两个不同的实数根．23．关于x的一元二次方程〔a﹣6〕x2﹣8x+9=0有实根．〔1〕求a的最大整数值；〔2〕当a取最大整数值时，①求出该方程的根；②求2x2﹣的值．【解答】解：〔1〕根据题意△=64﹣4×〔a﹣6〕×9≥0且a﹣6≠0，解得a≤且a≠6，所以a的最大整数值为7；〔2〕①当a=7时，原方程变形为x2﹣8x+9=0，△=64﹣4×9=28，∴x=，∴x1=4+，x2=4﹣；②∵x2﹣8x+9=0，∴x2﹣8x=﹣9，所以原式=2x2﹣=2x2﹣16x+=2〔x2﹣8x〕+=2×〔﹣9〕+=﹣．24．关于x的方程x2﹣〔2k﹣3〕x+k2+1=0有两个不相等的实数根x1、x2．〔1〕求k的取值范围；〔2〕假设x1x2+|x1|+|x2|=7，求k的值．【解答】解：〔1〕∵原方程有两个不相等的实数根，∴△=[﹣〔2k﹣3〕]2﹣4〔k2+1〕=4k2﹣12k+9﹣4k2﹣4=﹣12k+5＞0，解得：k＜；〔2〕∵k＜，∴x1+x2=2k﹣3＜0，又∵x1•x2=k2+1＞0，∴x1＜0，x2＜0，∴|x1|+|x2|=﹣x1﹣x2=﹣〔x1+x2〕=﹣2k+3，∵x1x2+|x1|+|x2|=7，∴k2+1﹣2k+3=7，即k2﹣2k﹣3=0，∴k1=﹣1，k2=2，又∵k＜，∴k=﹣1．25．某茶叶专卖店经销一种日照绿茶，每千克本钱80元，据销售人员调查发现，每月的销售量y〔千克〕与销售单价x〔元/千克〕之间存在如下图的变化规律．〔1〕求每月销售量y与销售单价x之间的函数关系式．〔2〕假设某月该茶叶点销售这种绿茶获得利润1350元，试求该月茶叶的销售单价x为多少元．【解答】解：〔1〕设一次函数解析式为y=kx+b，把〔90，100〕，〔100，80〕代入y=kx+b得，，解得，，y与销售单价x之间的函数关系式为y=﹣2x+280．〔2〕根据题意得：w=〔x﹣80〕〔﹣2x+280〕=﹣2x2+440x﹣22400=1350；解得〔x﹣110〕2=225，解得x1=95，x2=125．答：销售单价为95元或125元．26．如图，为美化环境，某小区方案在一块长方形空地上修建一个面积为1500平方米的长方形草坪，并将草坪四周余下的空地修建成同样宽的通道，长方形空地的长为60米，宽为40米．〔1〕求通道的宽度；〔2〕晨光园艺公司承揽了该小区草坪的种植工程，方案种植“四季青〞和“黑麦草〞两种绿草，该公司种植“四季青〞的单价是30元/平方米，超过50平方米后，每多出5平方米，所有“四季青〞的种植单价可降低1元，但单价不低于20元/平方米，小区种植“四季青〞的面积超过了50平方米，支付晨光园艺公司种植“四季青〞的费用为2000元，求种植“四季青〞的面积．【解答】解：〔1〕设通道的宽度为x米．由题意〔60﹣2x〕〔40﹣2x〕=1500，解得x=5或45〔舍弃〕，答：通道的宽度为5米．〔2〕设种植“四季青〞的面积为y平方米．由题意：y〔30﹣〕=2000，解得y=100，答：种植“四季青〞的面积为100平方米．27．某商店经销甲、乙两种商品，现有如下信息：信息1：甲、乙两种商品的进货单价之和是3元；信息2：甲商品零售单价比进货单价多1元，乙商品零售单价比进货单价的2倍少1元；信息3：按零售单价购置甲商品3件和乙商品2件，共付了12元．请根据以上信息，解答以下问题：〔1〕求甲、乙两种商品的零售单价；〔2〕该商店平均每天卖出甲乙两种商品各500件，经调查发现，甲种商品零售单价每降0.1元，甲种商品每天可多销售100件，商店决定把甲种商品的零售单价下降m〔m＞0〕元．在不考虑其他因素的条件下，当m为多少时，商店每天销售甲、乙两种商品获取的总利润为1000元？【解答】22．〔1〕假设甲种商品的进货单价为x元、乙种商品的进货单价为y元，根据题意可得：，解得：．答：甲、乙零售单价分别为2元和3元．〔2〕根据题意得出：〔1﹣m〕〔500+×100〕+500=1000即2m2﹣m=0，解得m=0.5或m=0〔舍去〕，答：当m定为0.5元才能使商店每天销售甲、乙两种商品获取的利润共1000元．28．关于x的一元二次方程x2﹣〔m+6〕x+3m+9=0的两个实数根分别为x1，x2．〔1〕求证：该一元二次方程总有两个实数根；〔2〕假设n=4〔x1+x2〕﹣x1x2，判断动点P〔m，n〕所形成的函数图象是否经过点A〔1，16〕，并说明理由．【解答】解〔1〕∵△=〔m+6〕2﹣4〔3m+9〕=m2≥0∴该一元二次方程总有两个实数根〔2〕动点P〔m，n〕所形成的函数图象经过点A〔1，16〕，∵n=4〔x1+x2〕﹣x1x2=4〔m+6〕﹣〔3m+9〕=m+15∴P〔m，n〕为P〔m，m+15〕．∴A〔1，16〕在动点P〔m，n〕所形成的函数图象上．。
数学八年级下《一元二次方程》复习测试题(答案)
一元二次方程 复习测试班级 姓名一、选择题：(每小题2分,共20分)1.下列方程中不一定是一元二次方程的是 ( )A.(a-3)x 2=8 (a ≠0)B.ax 2+bx+c=0232057x +-= 2.已知一元二次方程ax 2+c=0(a ≠0),若方程有解,则必须有C 等于 ( ) A.-12 B.-1 C.12D.不能确定 3. 已知x ＝2是方程32x 2－2a ＝0的一个解，则2a －1的值是 ( )A ．3B ．4C ．5D ．64. 一元二次方程x 2＝c 有解的条件是 ( )A ．c ＜OB ．c ＞OC ．c ≤0D ．c ≥05.已知方程11x a x a +=+ 的两根分别为a,1a , 则方程1111x a x a +=+-- 的根是( ) A.1,1a a - B.11,1a a -- C.11,a a - D.,1a a a - 6. 某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送1035张照片，如果全班有x 名同学，根据题意，列出方程为 ( )A ．x(x ＋1)＝1035B ．x(x －1)＝1035×2C ．x(x －1)＝1035D ．2x(x ＋1)＝1035 7. 一元二次方程2x(x －3)＝5(x －3)的根为 ( )A ．x ＝52B ．x ＝3C ．x 1＝3，x 2＝52D ．x ＝－528.使分式2561x x x --+ 的值等于零的x 是 ( ) A.6 B.-1或6 C.-1 D.-69.方程x 2-4│x │+3=0的解是 ( )A.x=±1或x=±3B.x=1和x=3C.x=-1或x=-3D.无实数根10.如果关于x 的方程x 2-k 2-16=0和x 2-3k+12=0有相同的实数根,那么k 的值是 ( )A.-7B.-7或4C.-4D.4二、填空题:(每小题3分,共30分)11.已知是方程x 2+mx+7=0的一个根,则m= ,另一根为 .12.已知方程3ax2-bx-1=0和ax2+2bx-5=0,有共同的根-1, 则a= , b= .13.若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有一个根为1,则a+b+c= ;若有一个根为-1,则b 与a、c之间的关系为 ;若有一个根为零,则c= . 14.有一个一元二次方程，未知数为y，二次项的系数为－1，一次项的系数为3，常数项为－6，请你写出它的一般形式______________。
八年级数学一元二次方程期末复习试题
期末复习——一元二次方程1. 一元二次方程的概念：（1）注意一元二次方程定义中的三个条件：有一个未知数，含未知数的最高次是2，整式方程，是判断一个方程是否是一元二次方程的依据。
（2）强调：要先把一元二次方程化为一般形式ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0），才能确定a 、b 、c 的值。
2. 一元二次方程的解法： （1）直接开平方法：()它是以平方根的概念为基础，适合于形如，类型的方程。
ax b c a c +=≠≥200()（2）配方法：()先把二次项系数化为，再对进行配方，即在方程两边同时加上一次项系数一半的平方，就能配出一个含有未知数的一次式的完全平方式，变形为：的形式，再直接开平方解方程。
1x px p x m n n 22220+⎛⎝ ⎫⎭⎪+=≥() （3）公式法：用配方法推导求根公式，由此产生了第三种解法公式法，它是解一元二次方程的主要方法，是解一元二次方程的通法。
关键是把方程整理成一元二次方程的一般形式，确认、、的值（特别要注意正、负号），求出的值（以便决定有无必要代入求根公式），若，则代入求根公式。
a b c b ac b ac x b b aca∆=--≥=-±-22244042（4）因式分解法：适用于方程左边易于分解，而右边是零的方程。
我们在解一元二次方程时，要注意根据方程的特点，选择适当的解法，使解题过程简捷些。
一般先考虑直接开平方法，再考虑因式分解法，最后考虑公式法。
对于二次项系数含有字母系数的方程，要注意分类讨论。
3. 一元二次方程根的判别式()来判断。
即根的情况可以用判别式一元二次方程∆-≠=++ac b a c bx ax 400 22 当时，方程有两个不相等的实数根。
b ac 240-> 当时，方程有两个相等的实数根。
b ac 240-=当时，方程没有实数根。
b ac 240-<根的判别式△＝b 2－4ac 的意义，在于不解方程可以判别根的情况，还可以根据根的情况确定未知系数的取值范围。
一元二次方程期末复习提高卷
一元二次方程期末复习(提高卷)一元二次方程期末复习（提高卷）1．关于x 的一元二次方程22(1)2540m x x m m -++-+=常数项为0，则m 值等于2．如果21(1)xx x --=+，那么x 的值为 3．m 是方程210x x +-=的根，则式子2222017mm ++的值为4．满足22(1)1n nn +--=的整数n 有 个5．已知三角形的两边长是4和6，第三边的长是方程2(3)10x --=的根，则此三角形的周长为6．已知边长为a 的正方形的面积为8，则下列说法中错误的是 ①a 是无理数 ②a是方程230x -=的解 ③a 是8的算术平方根 ④2＜a ＜4 7．若两个不等实数,m n 满足条件：2210mm --=，2210n n --=，则22mn += ．8．已知实数x 满足222()()6x x x x +-+=，则2x x+= ． 9．对于实数,a b定义运算a ﹡b=．若12,x x 是一元二次方程2560x x -+=的两个根，则12x x *= ．10．已知实数,m n 满足21m n-=，则代数式22241mn m ++-的最小值等于 ．11．如果方程2(1)(2)04kx xx --+=的三根可以作为一个三角形的三边之长，那么实数k 的取值范围是 ．12．已知整数k ＜5，若△ABC 的边长均满足关于x的方程280x -+=，则△ABC 的周长是 ．13．已知：ABCD 的两边AB ，AD 的长是关于x 的方程21024m xmx -+-=的两个实数根．（1）当m 为何值时，四边形ABCD 是菱形？求出这时菱形的边长；（2）若AB 的长为2，那么ABCD 的周长是多少？14．已知关于x 的方程22(1)3(31)180mx m x ---+=有两个正整数根，且m 是正整数，求m 的值.15．如图，四边形ACDE是证明勾股定理时用到的一个图形，,,a b c是Rt△ABC和Rt△BED边长，易知，这时我们把关于x的形如的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”．请解决下列问题：（1）写出一个“勾系一元二次方程”；（2）求证：关于x的“勾系一元二次方程”必有实数根；（3）若1x=-是“勾系一元二次方程”的一个根，且四边形ACDE的周长是6，求△ABC面积．16．等腰△ABC的直角边AB=BC=10cm，点P、Q 分别从A、C两点同时出发，均以1cm/秒的相同速度作直线运动，已知P沿射线AB运动，Q沿边BC的延长线运动，PQ与直线AC相交于点D．设P点运动时间为t，△PCQ的面积为S．（1）求出S关于t的函数关系式；（2）当点P运动几秒时，S△PCQ =S△ABC？（3）作PE⊥AC于点E，当点P、Q运动时，线段DE的长度是否改变？证明你的结论．一元二次方程期末复习（提高卷）参考答案与试题解析1．（2017•河北模拟）关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2x+m2﹣5m+4=0，常数项为0，则m值等于（）A．1 B．4 C．1或4 D．0【考点】A2：一元二次方程的一般形式．【解答】解：由题意，得m2﹣5m+4=0，且m﹣1≠0，解得m=4，故选：B．2．（2015•烟台）如果x2﹣x﹣1=（x+1）0，那么x的值为（）A．2或﹣1 B．0或1 C．2 D．﹣1【考点】A8：解一元二次方程﹣因式分解法；6E：零指数幂．【解答】解：∵x2﹣x﹣1=（x+1）0，∴x2﹣x﹣1=1，即（x﹣2）（x+1）=0，解得：x1=2，x2=﹣1，当x=﹣1时，x+1=0，故x≠﹣1，故选：C．3．（2017•潮阳区模拟）m是方程x2+x﹣1=0的根，则式子2m2+2m+2015的值为（）A．2013 B．2016 C．2017 D．2018【考点】A3：一元二次方程的解．【解答】解：∵m是方程x2+x﹣1=0的根，∴m2+m﹣1=0，即m2+m=1，∴2m2+2m+2015=2（m2+m）+2015=2+2015=2017．故选C．4．（2012•浙江校级自主招生）满足（n2﹣n﹣1）n+2=1的整数n有几个（）A．4个B．3个C．2个D．1个【考点】A3：一元二次方程的解；6E：零指数幂．【解答】解：（1）n2﹣n﹣1=1，解得：n=2或n=﹣1；（2），解得：n=0；（3），解得：n=﹣2．故选：A．5．（2017•历城区模拟）已知边长为a的正方形的面积为8，则下列说法中，错误的是（）A．a是无理数B．a是方程x2﹣3=0的解C．a是8的算术平方根D．2＜a＜4【考点】A3：一元二次方程的解；26：无理数．【解答】解：∵边长为a的正方形的面积为8，∴a==2，∴A，C，D都正确，故选B．6．（2017•河北模拟）已知三角形的两边长是4和6，第三边的长是方程（x﹣3）2﹣1=0的根，则此三角形的周长为（）A．10 B．12 C．14 D．12或14【考点】A3：一元二次方程的解；K6：三角形三边关系．【解答】解：（x﹣3）2﹣1=0，x﹣3=±1，解得x1=4，x2=2．若x=4，则三角形的三边分别为4，4，6，其周长为4+4+6=14；若x=2时，6﹣4=2，不能构成三角形，则此三角形的周长是14．故选：C．7．（2015•株洲）有两个一元二次方程M：ax2+bx+c=0；N：cx2+bx+a=0，其中a•c ≠0，a≠c．下列四个结论中，错误的是（）A．如果方程M有两个相等的实数根，那么方程N也有两个相等的实数根B．如果方程M的两根符号相同，那么方程N的两根符号也相同C．如果5是方程M的一个根，那么是方程N的一个根D．如果方程M和方程N有一个相同的根，那么这个根必是x=1【考点】AA：根的判别式；A3：一元二次方程的解；AB：根与系数的关系．【解答】解：A、如果方程M有两个相等的实数根，那么△=b2﹣4ac=0，所以方程N也有两个相等的实数根，结论正确，不符合题意；B、如果方程M的两根符号相同，那么方程N的两根符号也相同，那么△=b2﹣4ac ≥0，＞0，所以a与c符号相同，＞0，所以方程N的两根符号也相同，结论正确，不符合题意；C、如果5是方程M的一个根，那么25a+5b+c=0，两边同时除以25，得c+b+a=0，所以是方程N的一个根，结论正确，不符合题意；D、如果方程M和方程N有一个相同的根，那么ax2+bx+c=cx2+bx+a，（a﹣c）x2=a ﹣c，由a≠c，得x2=1，x=±1，结论错误，符合题意；故选：D．二．填空题（共6小题）8．（2013•黔东南州）若两个不等实数m、n满足条件：m2﹣2m﹣1=0，n2﹣2n﹣1=0，则m2+n2的值是 6 ．【考点】AB：根与系数的关系．【解答】解：由题意知，m、n是关于x的方程x2﹣2x﹣1=0的两个根，则m+n=2，mn=﹣1．所以，m2+n2=（m+n）2﹣2mn=2×2﹣2×（﹣1）=6．故答案是：6．9．（2012•金牛区三模）已知实数x满足，则= 3 ．【考点】A9：换元法解一元二次方程．【解答】解：设=y，则原方程可变形为y2﹣y=6，解得y1=﹣2，y2=3，当y1=﹣2时，=﹣2，∵△=b2﹣4ac＜0∴此方程无解，当y2=3时，=3，∵△=b2﹣4ac＞0∴此方程有解，∴=3；故答案为：3．10．（2013•临沂）对于实数a，b，定义运算“﹡”：a﹡b=．例如4﹡2，因为4＞2，所以4﹡2=42﹣4×2=8．若x1，x2是一元二次方程x2﹣5x+6=0的两个根，则x1﹡x2= 3或﹣3 ．【考点】A8：解一元二次方程﹣因式分解法．【解答】解：∵x1，x2是一元二次方程x2﹣5x+6=0的两个根，∴（x﹣3）（x﹣2）=0，解得：x=3或2，①当x1=3，x2=2时，x1﹡x2=32﹣3×2=3；②当x1=2，x2=3时，x1﹡x2=3×2﹣32=﹣3．故答案为：3或﹣3．11．（2014•南通）已知实数m，n满足m﹣n2=1，则代数式m2+2n2+4m﹣1的最小值等于 4 ．【考点】AE：配方法的应用；1F：非负数的性质：偶次方．【解答】解：∵m﹣n2=1，即n2=m﹣1≥0，m≥1，∴原式=m2+2m﹣2+4m﹣1=m2+6m+9﹣12=（m+3）2﹣12，则代数式m2+2n2+4m﹣1的最小值等于（1+3）2﹣12=4．故答案为：4．12．（2012•德清县自主招生）如果方程（x﹣1）（x2﹣2x+）=0的三根可以作为一个三角形的三边之长，那么实数k的取值范围是3＜k≤4 ．【考点】AB：根与系数的关系；AA：根的判别式；K6：三角形三边关系．【解答】解：由题意，得：x﹣1=0，x2﹣2x+=0；设x2﹣2x+=0的两根分别是m、n（m≥n）；则m+n=2，mn=；m﹣n==；根据三角形三边关系定理，得：m﹣n＜1＜m+n，即＜1＜2；∴，解得3＜k≤4．13．（2013•绵阳）已知整数k＜5，若△ABC的边长均满足关于x的方程x2﹣3x+8=0，则△ABC的周长是6或12或10 ．【考点】AA：根的判别式；A8：解一元二次方程﹣因式分解法；K6：三角形三边关系．【解答】解：根据题意得k≥0且（3）2﹣4×8≥0，解得k≥，∵整数k＜5，∴k=4，∴方程变形为x2﹣6x+8=0，解得x1=2，x2=4，∵△ABC的边长均满足关于x的方程x2﹣6x+8=0，∴△ABC的边长为2、2、2或4、4、4或4、4、2．∴△ABC的周长为6或12或10．故答案为：6或12或10．．三．解答题（共5小题）14．（2014•亳州一模）端午节期间，某食品店平均每天可卖出300只粽子，卖出1只粽子的利润是1元．经调查发现，零售单价每降0.1元，每天可多卖出100只粽子．为了使每天获取的利润更多，该店决定把零售单价下降m（0＜m＜1）元．（1）零售单价下降m元后，该店平均每天可卖出300+100×只粽子，利润为（1﹣m）（300+100×）元．（2）在不考虑其他因素的条件下，当m定为多少时，才能使该店每天获取的利润是420元并且卖出的粽子更多？【考点】AD：一元二次方程的应用．【解答】解：（1）300+100×，（1﹣m）（300+100×）．（2）令（1﹣m）（300+100×）=420．化简得，100m2﹣70m+12=0．即，m2﹣0.7m+0.12=0．解得m=0.4或m=0.3．可得，当m=0.4时卖出的粽子更多．答：当m定为0.4时，才能使商店每天销售该粽子获取的利润是420元并且卖出的粽子更多．15．（2011•淄博）已知：▱ABCD的两边AB，AD的长是关于x的方程x2﹣mx+﹣=0的两个实数根．（1）当m为何值时，四边形ABCD是菱形？求出这时菱形的边长；（2）若AB的长为2，那么▱ABCD的周长是多少？【考点】AD：一元二次方程的应用；L5：平行四边形的性质；L8：菱形的性质．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是菱形，∴AB=AD，∴△=0，即m2﹣4（﹣）=0，整理得：（m﹣1）2=0，解得m=1，当m=1时，原方程为x2﹣x+=0，解得：x1=x2=0.5，故当m=1时，四边形ABCD是菱形，菱形的边长是0.5；（2）把AB=2代入原方程得，m=2.5，把m=2.5代入原方程得x2﹣2.5x+1=0，解得x1=2，x2=0.5，∴C▱ABCD=2×（2+0.5）=5．16．（2015•黄冈中学自主招生）已知关于x的方程（m2﹣1）x2﹣3（3m﹣1）x+18=0有两个正整数根（m是正整数）．△ABC的三边a、b、c满足，m2+a2m﹣8a=0，m2+b2m﹣8b=0．求：（1）m的值；（2）△ABC的面积．【考点】AB：根与系数的关系；A1：一元二次方程的定义；A3：一元二次方程的解；A8：解一元二次方程﹣因式分解法；KH：等腰三角形的性质；KQ：勾股定理；KS：勾股定理的逆定理．【解答】解：（1）∵关于x的方程（m2﹣1）x2﹣3（3m﹣1）x+18=0有两个正整数根（m是整数）．∵a=m2﹣1，b=﹣9m+3，c=18，∴b2﹣4ac=（9m﹣3）2﹣72（m2﹣1）=9（m﹣3）2≥0，设x1，x2是此方程的两个根，∴x1•x2==，∴也是正整数，即m2﹣1=1或2或3或6或9或18，又m为正整数，∴m=2；（2）把m=2代入两等式，化简得a2﹣4a+2=0，b2﹣4b+2=0当a=b时，当a≠b时，a、b是方程x2﹣4x+2=0的两根，而△＞0，由韦达定理得a+b=4＞0，ab=2＞0，则a＞0、b＞0．①a≠b，时，由于a2+b2=（a+b）2﹣2ab=16﹣4=12=c2故△ABC为直角三角形，且∠C=90°，S△ABC=．②a=b=2﹣，c=2时，因＜，故不能构成三角形，不合题意，舍去．③a=b=2+，c=2时，因＞，故能构成三角形．S△ABC=×（2）×=综上，△ABC的面积为1或．17．（2016•濉溪县三模）如图，四边形ACDE是证明勾股定理时用到的一个图形，a，b，c是Rt△ABC和Rt△BED边长，易知，这时我们把关于x的形如的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”．请解决下列问题：（1）写出一个“勾系一元二次方程”；（2）求证：关于x的“勾系一元二次方程”必有实数根；（3）若x=﹣1是“勾系一元二次方程”的一个根，且四边形ACDE的周长是6，求△ABC面积．【考点】AD：一元二次方程的应用；KR：勾股定理的证明．【解答】（1）解：当a=3，b=4，c=5时勾系一元二次方程为3x2+5x+4=0；（2）证明：根据题意，得△=（c）2﹣4ab=2c2﹣4ab∵a2+b2=c2∴2c2﹣4ab=2（a2+b2）﹣4ab=2（a﹣b）2≥0即△≥0∴勾系一元二次方程必有实数根；（3）解：当x=﹣1时，有a﹣c+b=0，即a+b=c∵2a+2b+c=6，即2（a+b）+c=6∴3c=6∴c=2∴a2+b2=c2=4，a+b=2∵（a+b）2=a2+b2+2ab∴ab=2∴S△ABC=ab=1．18．（2014•江西模拟）等腰△ABC的直角边AB=BC=10cm，点P、Q分别从A、C 两点同时出发，均以1cm/秒的相同速度作直线运动，已知P沿射线AB运动，Q 沿边BC的延长线运动，PQ与直线AC相交于点D．设P点运动时间为t，△PCQ 的面积为S．（1）求出S关于t的函数关系式；（2）当点P运动几秒时，S△PCQ =S△ABC？（3）作PE⊥AC于点E，当点P、Q运动时，线段DE的长度是否改变？证明你的结论．【考点】AD：一元二次方程的应用；KE：全等三角形的应用．【解答】解：（1）当t＜10秒时，P在线段AB上，此时CQ=t，PB=10﹣t∴当t＞10秒时，P在线段AB得延长线上，此时CQ=t，PB=t﹣10∴（4分）（2）∵S△ABC=（5分）∴当t＜10秒时，S△PCQ=整理得t2﹣10t+100=0无解（6分）当t＞10秒时，S△PCQ=整理得t2﹣10t﹣100=0解得t=5±5（舍去负值）（7分）∴当点P运动秒时，S△PCQ =S△ABC（8分）（3）当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变．证明：过Q作QM⊥AC，交直线AC于点M易证△APE≌△QCM，∴AE=PE=CM=QM=t，∴四边形PEQM是平行四边形，且DE是对角线EM的一半．又∵EM=AC=10∴DE=5∴当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变．同理，当点P在点B右侧时，DE=5综上所述，当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变．。
专题06 一元二次方程章末测试卷(基础)-2020-2021学年八年级数学下册学霸-解析版
专题06章末测试卷一、单选题1．（2021ꞏ全国八年级）若一元二次方程（x+6）2＝64可转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是x+6＝8，则另一个一元一次方程是（）A．x﹣6＝﹣8B．x﹣6＝8C．x+6＝8D．x+6＝﹣8【答案】D【分析】根据直接开平方法即可求解．【详解】解：∵（x+6）2＝64，∴x+6＝8或x+6＝﹣8，故选：D．【点睛】此题主要考查解一元二次方程，解题的关键是熟知直接开平方法的运用．2．（2021ꞏ全国八年级）一元二次方程x2﹣2x﹣1＝0根的情况是（）A．只有一个实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．有两个不相等的实数根【答案】D【分析】求出方程的判别式即可判断．【详解】解：∵△＝（﹣2）2﹣4×（﹣1）＝8＞0，∴方程有两个不相等的实数根．【点睛】此题主要考查一元二次方程根的情况，解题的关键是熟知根的判别式特点．3．（2020ꞏ湖北省黄梅县第二中学九年级月考）已知方程22430x x +-=的两根分别为1x 和2x ，则12x x 的值等于（）A ．2B ．－1.5C ．－2D ．4【答案】B【分析】根据一元二次方程的根与系数关系12c x x a=求解即可．【详解】解：∵方程22430x x +-=的两根分别为1x 和2x ，且a=2，b=4，c=﹣3，∴12c x x a ==32-=﹣1.5，故选：B ．【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数关系，熟记根与系数关系12c x x a=是解答的关键．4．（2020ꞏ安阳市第十中学九年级月考）若a 是方程210x x --=的一个根，则2222020a a -++的值为（）A ．2018B ．2018-C ．2019D ．2019-【答案】A【分析】把x=a 代入210x x --=，得21a a =+，代入2222020a a -++，即可求解．∵a 是方程210x x --=的一个根，∴210a a --=，即：21a a =+，∴22220202(1)220202018a a a a -++=-+++=，故选A【点睛】本题主要考查一元二次方程的解以及代数式求值，用较低次幂代数式替换较高次幂代数式，进行降幂，是解题的关键．5．（2020ꞏ陕西宝鸡市ꞏ九年级期中）下列方程是关于x 的一元二次方程的是（）A ．20ax bx c ++=B ．210x y -+=C ．2120x x+-=D ．(1)(2)1x x x-+=-【答案】D【分析】利用一元二次方程定义进行解答即可．【详解】A 、当a ＝0时，不是一元二次方程，故此选项不合题意；B 、含有两个未知数，不是一元二次方程，故此选项不合题意；C 、不是整式方程，故此选项不合题意；D 、是一元二次方程，故此选项符合题意；故选：D ．【点睛】此题主要考查了一元二次方程定义，关键是掌握判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．6．（2021ꞏ全国八年级）已知α，β是方程2202010x x ++=的两个根，则（1＋2022α＋α2）（1＋2022β＋β2）的值为（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】D 【分析】根据根与系数的关系及一元二次方程的解可得出：1αβ=，2202010αα++=，2 202010ββ++=，将其代入原式中即可求出结论．【详解】∵α，β是方程2202010x x ++=的两个根，∴1αβ=，220201αα+=-，2 20201ββ+=-，∴()()221202212022ααββ++++=()()22120202120202αααβββ++++++4αβ==4．故选：D ．【点睛】本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，根据根与系数的关系及一元二次方程的解得出1αβ=，2202010αα++=，2 202010ββ++=是解题的关键．7．（2021ꞏ全国八年级）若α、β是方程x 2+2x ﹣2015＝0的两个实数根，则α2+3α+β的值为（）A ．2015B ．2013C ．﹣2015D ．4030【答案】B【分析】先根据一元二次方程的解的定义得到α2+2α﹣2015＝0，则α2+2α＝2015，于是α2+3α+β可化为2015+α+β，再利用根与系数的关系得到α+β＝﹣2，然后利用整体代入的方法计算．【详解】解：∵α是方程x 2+2x ﹣2015＝0的根，∴α2+2α﹣2015＝0，∴α2+2α＝2015，∴α2+3α+β＝2015+α+β，∵α、β是方程x 2+2x ﹣2015＝0的两个实数根，∴α+β＝﹣2，∴α2+3α+β＝2015﹣2＝2013．故选：B ．【点睛】本题考查了根与系数的关系：若12,x x 一元二次方程的两个根时，12b x x a +=-，12c x x a=，也考查了一元二次方程的解．8．（2020ꞏ河南洛阳市ꞏ九年级月考）某口罩厂六月份的口罩产量为100万只，由于市场需求量减少，八月份的产量减少到81万只，则该厂七八月份的口罩产量的月平均减少率为（）A ．10%B ．29%C ．81%D ．14.5%【答案】A【分析】设该厂七八月份的口罩产量的月平均减少率为x ，根据该厂六月份及八月份的口罩产量，即可得出关于x 的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．【详解】解：设该厂七八月份的口罩产量月平均减少率为x ，根据题意得，()2100181x -=，解得10.110%x ==，2 1.9x =（不合题意，舍去）．故选A ．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．9．（2021ꞏ全国八年级）如图，在长为32m ，宽为20m 的长方形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为540m 2，则道路的宽（）m ．A ．1B ．1.5C ．2D ．2.5【答案】C【分析】根据矩形的性质，先将道路进行平移，然后根据矩形的面积公式列方程求解．【详解】解：原图经过平移转化为图1．设道路宽为xm，根据题意，得（20﹣x）（32﹣x）＝540．整理得x2﹣52x+100＝0．解得x1＝50（不合题意，舍去），x2＝2．则道路宽为2m，故选：C．【点睛】考查了一元二次方程的应用，对于面积问题应熟记各种图形的面积公式．本题中按原图进行计算比较复杂时，可根据图形的性质适当的进行转换化简，然后根据题意列出方程求解．10．（2021ꞏ全国八年级）某小区2018年屋顶绿化面积为2000m2，计划2020年屋顶绿化面积要达到2880m2．设该小区2018年至2020年屋顶绿化面积的年平均增长率为x，则可列方程为（）A．2000（1+2x）＝2880B．2000×（1+x）＝2880C．2000+2000（1+x）+2000（1+x）2＝2880D．2000（1+x）2＝2880【答案】D【分析】根据该小区2018年及2020年屋顶绿化的面积，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．【详解】解：依题意得：2000（1+x）2＝2880．故选：D．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，掌握增长率问题公式正确列出一元二次方程是解题的关键．二、填空题11．（2021ꞏ全国八年级）已知实数m ，n 满足条件2720m m -+=，2720n n -+=，则n m m n+的值是______．【答案】2或452【分析】根据题意先将两个未知数理解为一元二次方程的两个根，再利用韦达定理求出两根关系，进而求得原式的答案即可．【详解】由题意，实数m n ，是一元二次方程2720x x -+=的两个实数根，此时题目并未告知m n ，是否相等，故作以下讨论：①若m n =，则112n m m n+=+=；②若m n ≠，则根据韦达定理，有72m n mn +==，，()222227224522m n mn n m m n m n mn mn +-+-⨯+====，故答案为：2或452．【点睛】本题考查一元二次方程根的理解及根与系数的关系，灵活解读题意是解题关键．12．（2021ꞏ全国九年级）已知关于x 的一元二次方程：220x x a --=，有下列结论：①当1a >-时，方程有两个不相等的实根；②当0a >时，方程不可能有两个异号的实根；③当1a >-时，方程的两个实根不可能都小于1；④当3a >时，方程的两个实根一个大于3，另一个小于3．其中错误结论的序号为___．【答案】②【分析】根据根的判别式，根与系数的关系一一判断即可．【详解】∵x 2-2x-a=0，∴△44a =+，∴①当1a >-时，△0>，方程有两个不相等的实根，故①正确，②当0a >时，两根之积0<，方程的两根异号，故②错误，③方程的根为212x ==1a >- ，∴方程的两个实根不可能都小于1，故③正确，④当3a >时，由（3）可知，两个实根一个大于3，另一个小于3，故④正确，故答案为：②．【点睛】本题考查一元二次方程的根的判别式，根与系数的关系，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．13．（2021ꞏ全国八年级）比此方程2520x x --=的两根均大3的为根的方程是____．【答案】211220x x -+=．【分析】设方程x 2-5x-2=0的两根分别为t 1，t 2，表示出以t 1+3，t 2+3为根的方程，化简即可．【详解】设方程2520x x --=的两根分别为1t ，2t ，则13t +，23t +为根的方程是2(3)5(3)20x x ----=，整理得：211220x x -+=．故答案为：211220x x -+=．【点睛】本题考查了解一元二次方程-公式法，弄清题意是解本题的关键．14．（2020ꞏ富顺县北湖实验学校九年级月考）若方程223160x x b ++-=和233120x x b +-+=的解相同，则b 的值为______．【答案】4【分析】根据方程解相同，得到常数项相等即可求出b 的值．【详解】解：根据题意得：b 2-16=-3b+12，即b 2+3b-28=0，分解因式得：（b-4）（b+7）=0，解得：b=4或-7，当b=-7时，两方程为x 2+3x+33=0无解，舍去，则b=4．故答案为：4．【点睛】此题考查了一元二次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．三、解答题15．（2020ꞏ陕西宝鸡市ꞏ九年级期中）用适当的方法解下列方程：（1）22580x x --=；（2）23(5)2(5)x x -=-．【答案】（1）1255,44x x +-==；（2）12175,3x x ==【分析】（1）用公式法求解即可；（2）用因式分解法求解即可．【详解】解：（1）2,5,8a b c ==-=- ，2(5)42(8)890∴∆=--⨯⨯-=>，524b x a -±∴==，1255,44x x ∴==（2）23(5)2(5)0x x ---=，移项得，23(5)2(5)0x x ---=，因式分解得，(5)(317)0x x --=，50x ∴-=或3170x -=，12175,3x x ∴==【点睛】本题主要考查解一元二次方程的解法，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．16．（2021ꞏ全国八年级）已知关于x的方程x2+（2m﹣1）x+m2＝0有实数根．（1）若方程的一个根为1，求m的值；（2）设α、β是方程的两个实数根，是否存在实数m使得α2+β2﹣αβ＝6成立？如果存在，请求出来，若不存在，请说明理由．【答案】（1）0或-2；（2）存在，m的值为-1．【分析】（1）先根据∆=(2m-1)2-4m2≥0求出m的取值范围，把x=1代入原方程可得到关于m的一元二次方程，然后解此一元二次方程即可；（2）根据根与系数的关系得到α+β=-(2m-1)，αβ=m2，利用α2+β2-αβ=6得到(α+β)2-3αβ=6，则(2m-1)2-3m2=6，然后解方程后利用（1）中m的范围确定m的值．【详解】解：（1）由题意得∆=(2m-1)2-4m2≥0，解得m≤14．把x＝1代入方程得1+2m﹣1+m2＝0，解得m1＝0，m2＝﹣2，即m的值为0或﹣2；（3）存在．∵α、β是方程的两个实数根，∴α+β＝﹣(2m﹣1)，αβ＝m2，∵α2+β2﹣αβ＝6，∴(α+β)2﹣3αβ＝6，即(2m ﹣1)2﹣3m 2＝6，整理得m 2﹣4m ﹣5＝0，解得m 1＝5，m 2＝﹣1，∵m ≤14；∴m 的值为﹣1．【点睛】本题考查了一元二次方程ax 2+bx +c =0（a ≠0）根与系数的关系，若x 1，x 2为方程的两个根，则x 1，x 2与系数的关系式：12b x x a +=-，12c x x a⋅=．也考查了一元二次方程ax 2+bx +c =0（a ≠0）的根的判别式与根的关系．17．（2021ꞏ全国八年级）现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高速发展．据调查，我市一家“大学生自主创业”的快递公司，今年7月份与9月份完成投递的快递总件数分别是10万件和12.1万件，现假设该公司每月投递的快递总件数的增长率相同．（1）求该快递公司投递总件数的月平均增长率；（2）如果每人每月最多可投递0.6万件，那么该公司现有的22名快递业务员能否完成今年10月份的快递投递任务？请说明理由．【答案】（1）该快递公司投递总件数的月平均增长率为10%；（2）不能，理由见解析【分析】（1）设该快递公司投递总件数的月平均增长率为x ，根据“今年7月份与9月份完成投递的快递总件数分别为10万件和12.1万件，现假定该公司每月投递的快递总件数的增长率相同”建立方程，解方程即可；（2）首先求出今年10月份的快递投递任务，再求出22名快递投递业务员能完成的快递投递任务，比较得出该公司不能完成今年10月份的快递投递任务．【详解】解：（1）设该快递公司投递总件数的月平均增长率为x ，根据题意得：210(1)12.1x +=，解得：10.1x =，2 2.1x =-（不合题意舍去）．答：该快递公司投递总件数的月平均增长率为10%；（2）今年10月份的快递投递任务是12.1(110%)13.31⨯+=（万件）． 平均每人每月最多可投递0.6万件，22∴名快递投递员能完成的快递投递任务是：0.62213.213.31⨯=<，∴该公司现有的22名快递投递业务员不能完成今年10月份的快递投递任务．【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，根据增长率一般公式列出方程即可解决问题．18．（2021ꞏ全国八年级）已知关于x 的方程x 2﹣8x ﹣k 2+4k +12＝0．（1）求证：无论k 取何值，这个方程总有两个实数根；（2）若△ABC 的两边AB ，AC 的长是这个方程的两个实数根，第三边BC 的长为5，当△ABC 是等腰三角形时，求k 的值．【答案】（1）证明见解析；（2）k 的值为2或1或3．【分析】（1）先计算出△＝4（k ﹣2）2，然后根据判别式的意义即可得到结论；（2）先利用因式分解法求出方程的解为x 1＝﹣k +6，x 2＝k +2，然后分类讨论：当AB ＝AC 或AB ＝BC 或AC ＝BC 时△ABC 为等腰三角形，然后求出k 的值．【详解】解：（1）证明：∵△＝（﹣8）2﹣4（﹣k 2+4k +12）＝4（k ﹣2）2≥0，∴无论k 取何值，这个方程总有两个实数根；（2）解：x 2﹣8x ﹣k 2+4k +12＝0，（x +k ﹣6）（x ﹣k ﹣2）＝0，解得：x 1＝﹣k +6，x 2＝k +2，当AB＝AC时，﹣k+6＝k+2，则k＝2；当AB＝BC时，﹣k+6＝5，则k＝1；当AC＝BC时，则k+2＝5，解得k＝3，综合上述，k的值为2或1或3．【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了三角形三边的关系以及等腰三角形的性质．19．（2020ꞏ广西南宁市ꞏ九年级期中）某口罩生产厂生产的口罩1月份平均日产量为30000个，1月底因突然爆发新冠肺炎疫情，市场对口罩需求量大增，为满足市场需求，厂决定从2月份起扩大产量，3月份平均日产量达到36300个．（1）求口罩日产量的月平均增长率；（2）按照这个增长率，预计4月份平均日产量为多少？【答案】（1）口罩日产量的月平均增长率为10%；（2）预计4月份平均日产量为39930个．【分析】（1）根据题意设口罩日产量的月平均增长率为x，根据题意列出方程即可求解；（2）结合（1）按照这个增长率，根据3月份平均日产量为36300个，即可预计4月份平均日产量．【详解】（1）设口罩日产量的月平均增长率为x，根据题意，得30000（1＋x）2＝36300，解得x1＝−2.1（舍去），x2＝0.1＝10%，答：口罩日产量的月平均增长率为10%；（2）36300（1＋10%）＝39930（个）．答：预计4月份平均日产量为39930个．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解决本题的关键是掌握增长率问题应用题的等量关系．20．（2019ꞏ瑞安市新纪元实验学校九年级期末）某企业接到一批钢笔生产任务，按合同每支钢笔出厂价为8元在开始生产后，前三天进行设备调试，期间每支钢笔的成本为2.1元，调试结束后，每增加1天，每支钢笔的成本增加0.2元，设开始生产后第x 天（3x >）的钢笔成本为每支y 元．（1）y 关于x 的关系式为______；（2）若开始生产后第x 天（3x >）的钢笔产量为m （支），m 满足关系式：2050m x =+．①该企业开始生产后第几天获得的利润为1125元？（利润=出厂价一成本）②为保证获利，当每支钢笔成本超过7.5元时，即要停止生产，则在生产的过程中，该企业每日能获得的利润至少为多少元？【答案】（1） 1.50.2y x =+（3x >）；（2）①10或20，②325．【分析】（1）前三天成本2.1元，每增加1天，每支钢笔的成本增加0.2元，后第x 天多出成本0.2（x-3），开始生产后第x 天（3x >）的钢笔成本为每支y 元列式为：()2.10.23y x =+-整理即可，（2）①（出厂价-钢笔成本为每支y 元）×钢笔产量为m （支）=利润列出方程求出x 即可②利用钢笔成本y≤7.5求出最多生产日期，钢笔产量203050m =⨯+乘以每支钢笔的利润计算即可．【详解】（1）()2.10.23y x =+-化简得 1.50.2y x =+其中3x >，故答案为： 1.50.2y x =+（3x >）；（2）①依题意得：()8-y 1125m =即()()8-1.5+0.220501125x x +=⎡⎤⎣⎦，化简得：2302000x x -+=，解得：1210,20x x ==，所以该企业开始生产后第10天或20天获得的利润为1125元；②当y 7.5≤时，即1.5+0.27.5x ≤，解得：30x ≤，最多生产日期为30天，此时利润为：()()2030+508-7.5=325⨯⨯元，答该企业每日能获得的利润至少为325元．【点睛】本题考查一次函数解析式，一元二次方程，不等式，掌握一次函数解析式的求法，一元二次方程的解法，不等式解法是解题关键．21．（2020ꞏ江西宜春市ꞏ宜春九中九年级期中）若a 为方程2(16x =的一个正根，b 为方程22113y y -+=的一个负根，求+a b 的值．【答案】a+b=5【分析】先求出2(16x -=的根4x ，由a 为方程2(16x -=的一个正根，得4a =+，再求22113y y -+=的根=1y ±b 为方程22113y y -+=的一个负根，得1b =，最后求+a b 即可．【详解】2(16x =，4x =±，4x ±，a 为方程2(16x -=的一个正根，4a =+，22113y y -+=，()2113y -=，1y -==1y ±b 为方程22113y y -+=的一个负根，1b =，415a b +=+=．【点睛】本题考查一元二次方程的解法，会比较方程根的正负与大小，掌握一元二次方程的解法是解题关键．22．（2021ꞏ全国九年级专题练习）规定一种新的运算△：a △b ＝a （a+b ）+a ﹣b ．例如，1△2＝1×（1+2）+1﹣2＝2．（1）10△12＝．（2）若x △3＝﹣7，求x 的值．（3）求代数式﹣2x △4的最小值．【答案】（1）218；（2）2-；（3）10.25-．【分析】（1）根据a △b=a （a+b ）+a-b 列出运算式子，根据有理数的运算法则进行计算即可；（2）若x △3=-7，则x （x+3）+x-3=-7，解一元二次方程即可得；（3）根据a △b=a （a+b ）+a-b ，可得-2x △4=-2x （-2x+4）-2x-4，据此求出-2x △4的最小值是多少即可．【详解】解：（1）∵a △b ＝a （a+b ）+a ﹣b ，∴10△12＝10×（10+12）+10﹣12＝218，故答案为：218；（2）∵x △3＝﹣7，∴x （x+3）+x ﹣3＝﹣7，∴x 2+4x+4＝0，解得122x x ==-，故x 的值为2-；（3）∵a △b ＝a （a+b ）+a ﹣b ，∴﹣2x △4＝﹣2x （﹣2x+4）﹣2x ﹣4＝4x 2﹣10x ﹣4＝（2x ﹣2.5）2﹣10.25由偶次方的非负性得：当2x ﹣2.5＝0，即x ＝1.25时，﹣2x △4取最小值，最小值是10.25-．【点睛】此题主要考查了有理数的混合运算，要熟练掌握，注意明确有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算，同时还考查了解一元二次方程的应用．23．（2020ꞏ广东深圳市ꞏ九年级月考）某商场一种商品的进价为每件55元，售价每件100元，每天可以销售50件，为尽快减少库存，商场决定降价促销.（1）若该商品连续两次下调相同百分率后售价降至每件81元，求每次下降的百分率；（2）经调查发现，每件商品每降价0.5元，每天可多销售2件，若每天想获得2800元的利润，则每件应降价多少元？【答案】（1）10%;（2）27.5元.【分析】（1）根据增长率公式列方程计算即可；（2）先明确等量关系“每件利润×销量=利润”，即“（售价一成本一降价）×(原销量+增加销量)=2800”，设每件应降价m 元，可列方程求解；【详解】解：（1）一元二次方程典型应用题“增长率问题”：公式式：2a(1x)b ±=，设每次下降的百分率为x ，由公式可列方程为：2100(1x)81-=，解得12x 0.1,x 1.9==（舍去），∴每次下降的百分率为10%;（2）设每件应降价m 元，可列方程为：（100-55-m ）（50+4m ）=2800，解得12x 5,x 27.5==，∵尽快减少库存，∴x=5舍去，故每件应降价27.5元．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，准确列方程计算是解题的关键．试卷第21页，总21页。
一元二次方程章末测试题(A)
一元二次方程章末测试题（A ）（时间：90分钟，满分：120分）（班级： 姓名： 得分： ）一、选择题（每小题3分，共30分）1. 无论a 取何值，下列方程总是关于x 的一元二次方程的是（ ）A.02=++c bx axB.x x ax -=+221C.0)1()1(222=--+x a x aD.0312=-+-a x x 2. 一元二次方程x 2﹣8x ﹣1=0配方后可变形为（ ）A.（x +4）2=17B.（x +4）2=15C.（x ﹣4）2=17D.（x ﹣4）2=153. 方程03322=+-x x 的根的情况是（ ）A.有两个相等的实数根B.有两个不相等的实数根C.没有实数根D.无法确定4. 已知方程0122=--x x ，则此方程（ ）A.无实数根B.两根之和为-2C.两根之积为-1D.有一根为15. 方程()()2335+=+x x 的根是（ ） A.2=x B.3-=x C 31-=x ，22-=x D.31-=x ，22=x6. 已知方程02=++a bx x 有一个根是()0≠-a a ，则下列代数式的值恒为常数的是（ ） A. ab B. ba C.b a + D. b a - 7. 如果关于x 的一元二次方程22(21)10k x k x -++=有两个不相等的实数根，那么k 的取值范围是（ ）A.14k >-B.14k >-且0k ≠C.14k <-D.14k ≥-且0k ≠ 8. 若 x 1，x 2是关于x 的一元二次方程x 2﹣mx +m ﹣2=0的两个实数根，是否存在实数m 使11x +21x =0成立？则正确的是结论是（ ） A. m =0时成立 B. m =2时成立 C. m =0或m =2时成立 D. 不存在9. 如图所示是某月的日历表，在此日历表上可以用一个矩形圈出3×3个位置相邻的9个数(如6，7，8，l3，14，l5，20，21，22)．若圈出的9个数中，最大数与最小数的积为192，则这9个数的和为（ ）A. 32B. 126C. 135D. 14410. 某种花卉每盆的盈利与每盆的株数有一定的关系，每盆植3株时，平均每株盈利4元；若每盆增加1株，平均每株盈利减少0.5元，要使每盆的盈利达到15元，每盆应多植多少株？设每盆多植x 株，则可以列出的方程是（ ）A.（3+x ）（4﹣0.5x ）=15B.（x +3）（4+0.5x ）=15C.（x +4）（3﹣0.5x ）=15D.（x +1）（4﹣0.5x ）=15二、填空题（每小题3分，共24分）11. 将一元二次方程()x x x -=--352化为一般形式（二次项系数是正数）为__________．12. 已知1x =是一元二次方程2400ax bx +-=的一个解，且a b ≠，则2222a b a b --的值为 .13. 多项式2627x x --可分解成3x +与9x -之积，则一元二次方程26270x x --=的根是_____．14. 若方程x 2﹣2x ﹣1=0的两根分别为x 1，x 2，则x 1+x 2﹣x 1x 2的值为 ．15. 已知关于x 的一元二次方程x 2﹣5x+k=0有两个不相等的实数根，则k 可取的最大整数为 ．16. 若一元二次方程ax 2=b （ab ＞0）的两个根分别是m +1与2m ﹣4，则ab =_____． 17.一种药品经过两次降价后，每盒的价格由原来的60元降至48.6元，那么平均每次降价的百分率是_______.18. 如图，要利用一面墙（墙长为25米）建羊圈，用100米的围栏围成总面积为400平方米的三个大小相同的矩形羊圈，则羊圈的边AB 的长为_______米（围栏的厚度忽略不计）．三、解答题（共66分）19. （6分）已知关于x 的一元二次方程()04322=-++-m x x m 有一根为零，求m 的值． 20.（10分）用适当的方法解下列方程：（1）()()22392+=-x x . （2）()()()93211=++-+x x x ．21. （10分）已知关于x 的一元二次方程0122=-++a x x 的两根为1x 和2x ，且02121=⋅-x x x ，求a 的值．22. （10分）如图，用两段等长的铁丝恰好可以分别围成一个正五边形和一个正六边形，其中正五边形的边长为（217x +）cm ，正六边形的边长为（22x x +）cm (0)x >其中.求这两段铁丝的总长度.23. （10分）已知关于x 的方程01)32()1(2=++-+-k x k x k 有两个不相等的实数根21,x x ．（1）求k 的取值范围．（2）是否存在实数k ，使方程两根互为相反数？若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由．24. （10分）某校为培育青少年科技创新能力，举办了动漫制作活动，小明设计了点做圆周运动的一个雏形，如图所示，甲、乙两点分别从直径的两端点A ，B 以顺时针、逆时针的方向同时沿圆周运动，甲运动的路程l （cm ）与时间t （s ）满足关系：()023212≥+=t t t l ，乙以4 cm/s 的速度匀速运动，半圆的长度为21 cm ．（1）甲运动4 s 后的路程是多少？（2）甲、乙从开始运动到第一次相遇时，它们运动了多少时间？（3）甲、乙从开始运动到第二次相遇时，它们运动了多少时间？(第24题)25.（10分）在国家政策的宏观调控下，某市的商品房成交价由今年3月份的每平方米7000元下降到5月份的每平方米6300元．⑴求4，5两月平均每月降价的百分率是多少？（参考数据：95.09.0≈）⑵如果房价继续回落，按此降价的百分率，你预测到7月份该市的商品房成交均价是否会跌破每平方米5000元？请说明理由．一元二次方程章末测试题（A ）参考答案一、1. C 2. C 3. A 4. C 5. D 6. D 7. B 8. A 9. D 10. A二、11. 031122=+-x x 12. 20 13. x 1=-3，x 2=9 14. 3 15. 6 16. 417. 10% 18. 20三、19. 将0=x 代入方程，得042=-m .解得=1m 2，2-2=m .又因为方程为一元二次方程，所以02≠-m .解得2-=m ．20.（1）原方程变形为()()[]033222=+--x x . ∴()()[]()()[]0332332=++-+--x x x x ，即()()07411-2-=+x x .所以x 1=211-，x 2=47- . （2）原方程变形得0422=-+x x ，这里a =1，b =2，c =-4.∆=b 2-4ac =22-4×1×（-4）=4+16=20.∴x =2202±-=2522±-. 所以x 1=15-，x 2=-15-.21. 由02121=⋅-x x x ，得()0211=-x x x ， 即01=x 或021=-x x ．当01=x 时，把01=x 代入0122=-++a x x ，得1=a ；当021=-x x 时，方程有两个相等的实数根，即()0144=--a ，解得2=a ．∴a 的值为1或2.22. 由已知，得正五边形周长为5（217x +）cm ，正六边形周长为6（22x x +）cm. 所以22517=2x x x ++（）6（）.整理得212850x x +-=,解得12=5=x x ，-17(舍去). 故正五边形的周长为25517=⨯+（）210(cm). 又因为两段铁丝等长，所以这两段铁丝的总长为210×2=420（cm ）.答：这两段铁丝的总长为420 cm.23.（1）()()()1312114322+-=+---=∆k k k k . 因为方程有两个不相等的实数根，所以∆＞0，即1312+-k ＞0，解得1213<k . 又因为二次项系数不为零，即0)1(≠-k ，故1≠k .所以k 的取值范围是1213<k ，且1≠k ． （2）不存在.理由如下： 因为方程两根互为相反数，所以021=+x x ，即0132=---k k ，解得23=k . 又因为当1213<k 时方程有实数根，所以当23=k 时方程无实数根，所以不存在实数k ，使方程有两根互为相反数．24.（1）当t =4 s 时，146823212=+=+=t t l ，所以，甲运动4 s 后的路程是14 cm.（2）由图可知，甲乙第一次相遇时走过的路程为半圆21 cm ， 甲走过的路程为t t 23212+，乙走过的路程为t 4， 所以21423212=++t t t .解得t =3或t =﹣14（不合题意，舍去）.答：甲、乙从开始运动到第一次相遇时，它们运动了3 s.（3）由图可知，甲乙第一次相遇时，两者走过的路程为三个半圆：3×21=63（cm ）， 所以63423212=++t t t .解得t =7或t =﹣18（不合题意，舍去）.答：甲、乙从开始运动到第二次相遇时，它们运动了7 s ．25.⑴设4,5月份两月平均每月降价的百分率为x ，列方程，得()6300170002=-x .解得05.01≈x ，95.12≈x （不合题意，舍去）.所以4,5月份两月平均每月降价的百分率为5%．⑵不会跌破5000元/米2.理由：∵()75.568505.0163002=->5000，∴7月份该市的商品房成交均价不会跌破5000元/米2．。
八年级上学期数学期末专题：一元二次方程综合(原题和解析)
【期末压轴题】专题02：一元二次方程综合（原卷版）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．关于x 的一元二次方程240x x k -+=有两个不相等的实数根，则实数k 的取值范围是（ ） A ．4k ≤B ．4k <C ．4k ≥D ．4k >2．对于实数a 、b ，定义运算“★”：a★b=22()()a b a b b a a b ⎧-≤⎨-⎩＞，关于x 的方程（2x+1）★（2x -3）=t 恰好有两个不相等的实数根，则t 的取值范围是（ ） A ．t ＜154B ．t ＞154C ．t ＜174-D ．t ＞174-3．常凯申公司一月份利润是1万元，二月份、三月份平均每月增长10％，则第一季度的总利润是（ ） A ．（1＋10％）2万元：B ．（1＋10％）10％万元：C ．[（1＋10％）＋（1＋10％）2]万元：D ．[1＋（1＋10％）＋（1＋10％）2]万元．4．（2021·上海闵行·八年级期末）用换元法解方程21x x ++21x x +=2时，若设21x x +=y ，则原方程可化为关于y 的方程是( ) A ．y 2﹣2y +1=0B ．y 2+2y +1=0C ．y 2+y +2=0D ．y 2+y ﹣2=05．一元二次方程x 2﹣5x +6＝0的解为（ ） A ．x 1＝2，x 2＝﹣3 B ．x 1＝﹣2，x 2＝3 C ．x 1＝﹣2，x 2＝﹣3D ．x 1＝2，x 2＝36．如果关于x 的一元二次方程20(a 0)++=≠ax bx c 有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”．若关于x 的方程210,(ax bx a b ++=是常数，0)a >是“邻根方程”，令28t a b =-，则t 的最大值为（ ） A．2B ．C ．4D ．2-7．一元二次方程2520x x -=的解是（ ） A ．10x =，225x =- B ．10x =，225x =C ．10x =252x =-D ．10x =，252x =8．某年级举行篮球比赛，赛制为单循环赛，即每一个球队都和其它的球队进行一场比赛，已知共举行了21场比赛，那么共有（ ）支队伍参加了比赛． A ．7B ．6C ．12D ．149．（2021·上海市川沙中学南校八年级期中）下列方程一定是一元二次方程的是（ ）A ．xy x y +=；B ．20x ++=；C ．220ax x +=；D ．()2521x x x x -=--．10．（2021·上海市川沙中学南校八年级期中）下列关于x 的二次三项式在实数范围内不能够因式分解的是（ ）A ．244x x -+；B ．22352x xy y --；C ．229y y -+；D ．21y -．二、填空题 11．（2021·上海松江·八年级期中）若等腰三角形的一边长是4，另两边的长是关于x 的方程260x x n -+=的两个根，则n 的值为______．12．（2021·上海市南洋模范中学八年级）已知三角形两边长分别是2和9，第三边的长为一元二次方程214480x x -+=的一个根，则这个三角形的周长为__________．13．（2021·上海市民立中学八年级）若关于x 的方程ax 2+bx +c ＝0（a ≠0）满足a ﹣b +c ＝0，称此方程为“天宫”方程．若方程a 2x 2﹣2021ax +1＝0（a ≠0）是“天宫”方程，求a 2+2022a +220211a a +﹣20211aa +的值是 ___．14．（2021·上海市泗塘中学八年级）若m 2x 3﹣（2x +1）2+（n ﹣3）x +5＝0是关于x 的一元二次方程，且不含x 的一次项，则m ＝___，n ＝___．15．（2021·上海市泗塘中学八年级）当x ＝___ ___．16．（2021·上海市实验学校八年级期中）若a ，b ，c 为等腰三角形的三边长且a ＝2，其中b ，c 是方程x 2﹣3x +m ＝0的两根．则m ＝__________________17．（2021·上海松江·八年级期中）已知关于x 的方程20(a 0)++=≠ax bx c 的两个根为12x =，23x =，则方程2(1)(1)0a x b x c ++++=的两根为________．18．（2021·上海杨浦·八年级期中）已知x ＝a 是关于x 的一元二次方程x 2+3x ﹣2＝0的根，则﹣2623a a-＝___．三、解答题19．（2021·上海市罗南中学八年级）解关于x 的一元二次方程()282--=x x mx ，其中m 是满足不等式组430530m m +>⎧⎨->⎩的整数．20．（2021·上海市泗塘中学八年级）已知一元二次方程（m +1）x 2+（2m ﹣3）x +（m ﹣2）＝0．（1）如果方程有一根x 1＝0，求m 的值和另一个根x 2． （2）如果方程有两个不相等的实数根，求m 的取值范围．21．（2021·a 是整数，试解关于x 的一元二次方程x 2﹣5＝x （ax ﹣2）﹣2．22．（2021·上海浦东新·八年级期中）要使关于x 的方程24(1)40ax a x a --+=有实数根，整数a 取得的最大值是多少？23．（2021·上海市第四中学八年级）如图，机器人利用吸盘爬大楼玻璃幕墙，要用8分钟的时间先垂直向上，再水平横行，最后垂直下行，完成如图矩形三边A →B →C →D 的行程，若上、下行速度都是3米/分钟，横行速度是4米/分钟，问如何安排上、下行和横行的时间，才能使矩形ABCD 的面积为72m 2，而且机器人走的路线较短？24．（2021·上海市进才中学北校八年级）阅读理解：法国数学家韦达在研究一元二次方程时有一项重大发现：如果一元二次方程5x 2+3x ﹣2＝0的两个根分别是x 1，x 2，那么x 1+x 2＝﹣ba，x 1x 2＝ca，以上定理称为韦达定理．例如：已知方程5x 2+3x ﹣2＝0的两根分别为x 1，x 2，则：x 1+x 2＝﹣b a ＝﹣35，x 1x 2＝c a ＝25-＝﹣25请阅读后，运用韦达定理完成以下问题：（1）已知方程4x 2﹣3x ﹣6＝0的两根分别为x 1，x 2，求x 1+x 2和x 1x 2的值． （2）已知方程x 2+3x ﹣5＝0的两根分别为x 1，x 2，求221211x x +的值． （3）当k 取何值时，关于x 的一元二次方程3x 2﹣2（3k +1）x +3k 2﹣1＝0的两个实数根互为倒数？25．（2021·上海松江·八年级期中）已知关于x 的方程2(1)(23)1m x m x m ++++=有两个相等的实数根，求m 的值及方程的根．26．（2021·上海同济大学附属存志学校八年级期中）已知关于x 的方程x 2+（2k ﹣1）x +k 2﹣3＝0，是否存在实数k ，使（2x 1﹣x 2）（2x 2﹣x 1）+20＝0成立？若存在，请求出实数k 的值；若不存在，请说明理由．27．（2021·上海同济大学附属存志学校八年级期中）若α为一元二次方程x 2﹣x +t ＝0的根；（1）则方程的另外一个根β＝ ，t ＝ ； （2）求α6+8β的值．（3）求作一个关于y 的一元二次方程，二次项系数为1，且两根分别为α2，β2． 28．（2021·上海市民办新竹园中学八年级）在实数范围内因式分解 （1）2442y y +-； （2）2235x xy y --．【期末压轴题】专题02：一元二次方程综合（解析版）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．关于x 的一元二次方程240x x k -+=有两个不相等的实数根，则实数k 的取值范围是（ ） A ．4k ≤ B ．4k <C ．4k ≥D ．4k >【标准答案】B 【思路点拨】由方程有两个不相等的实数根结合根的判别式，可得出★=36-4k ＞0，解之即可得出实数k 的取值范围． 【精准解析】★方程x 2-4x+k=0有两个不相等的实数根， ★★=（-4）2-4k=16-4k ＞0， 解得：k ＜4． 故选：B ． 【名师指导】此题考查根的判别式，牢记“当★＞0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．2．对于实数a 、b ，定义运算“★”：a★b=22()()a b a b b a a b ⎧-≤⎨-⎩＞，关于x 的方程（2x+1）★（2x -3）=t 恰好有两个不相等的实数根，则t 的取值范围是（ ） A ．t ＜154B ．t ＞154C ．t ＜174-D ．t ＞174-【标准答案】D 【思路点拨】分两种情况：★当2x+1≤2x -3成立时；★当2x+1＞2x -3成立时；进行讨论即可求解． 【精准解析】解：★当2x+1≤2x -3成立时，即1≤-3，矛盾；所以a≤b 时不成立； ★当2x+1＞2x -3成立时，即1＞-3，所以a ＞b 时成立； 则（2x -3）2-（2x+1）=t ， 化简得：4x 2-14x+8-t=0，该一元二次方程有两个不相等的实数根， ★=142-4×4×（8-t ）＞0； 解得：t ＞174-．【名师指导】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的根与★=b 2-4ac 有如下关系：当★＞0时，方程有两个不相等的实数根；当★=0时，方程有两个相等的实数根；当★＜0时，方程无实数根．同时考查了新定义的运算．3．常凯申公司一月份利润是1万元，二月份、三月份平均每月增长10％，则第一季度的总利润是（ ） A ．（1＋10％）2万元：B ．（1＋10％）10％万元：C ．[（1＋10％）＋（1＋10％）2]万元：D ．[1＋（1＋10％）＋（1＋10％）2]万元．【标准答案】D 【思路点拨】首先表示出二月份的利润：1月份的利润×(1+10%)，再表示出三月份利润：2月份的利润×(1+10%)，然后把三个月的利润加起来即可． 【精准解析】解：由题意得：二月份的利润为：1×(1+10%)=(1+10%) 三月份的利润为：1×(1+10%)(1+10%)=(1+10%)2 故第一季度的利润为：1+(1+10%)+(1+10%)2万元. 故选：D ． 【名师指导】此题主要考查了一元二次方程的应用--增长率问题，若设变化前的量为a ，变化后的量为b ，平均变化率为x ，则经过两次变化后的数量关系为a(1±x)2=b ．得到三月份的产量的等量关系是解决本题的关键．4．（2021·上海闵行·八年级期末）用换元法解方程21x x ++21x x +=2时，若设21x x +=y ，则原方程可化为关于y 的方程是( ) A ．y 2﹣2y +1=0 B ．y 2+2y +1=0C ．y 2+y +2=0D ．y 2+y ﹣2=0【标准答案】A 【思路点拨】方程的两个分式具备倒数关系，设21x x +=y ，则原方程化为y+1y =2，再转化为整式方程y 2-2y+1=0即可求解． 【精准解析】 把21x x+=y 代入原方程得：y +1y =2，转化为整式方程为y 2﹣2y +1=0． 故选：A ．考查了换元法解分式方程，换元法解分式方程时常用方法之一，它能够把一些分式方程化繁为简，化难为易，对此应注意总结能用换元法解的分式方程的特点，寻找解题技巧． 5．一元二次方程x 2﹣5x +6＝0的解为（ ） A ．x 1＝2，x 2＝﹣3 B ．x 1＝﹣2，x 2＝3 C ．x 1＝﹣2，x 2＝﹣3 D ．x 1＝2，x 2＝3【标准答案】D 【思路点拨】利用因式分解法解方程． 【精准解析】解：（x ﹣2）（x ﹣3）＝0， x ﹣2＝0或x ﹣3＝0， ★x 1＝2，x 2＝3． 故选：D ． 【名师指导】本题考查了解一元二次方程-因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．6．如果关于x 的一元二次方程20(a 0)++=≠ax bx c 有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”．若关于x 的方程210,(ax bx a b ++=是常数，0)a >是“邻根方程”，令28t a b =-，则t 的最大值为（ ）A ．2B ．C ．4D ．2-【标准答案】C 【思路点拨】根据“邻根方程”的定义求出224b a a -=，代入28t a b =-进行配方求出最大值即可． 【精准解析】解：设1x 、2x 是方程210,(ax bx a b ++=是常数，0)a >的两根，解得，1x =，2x =★原方程是“邻根方程”1=1=224b a a ∴-= 224b a a ∴=+()22228844(2)4t a b a a a a a a ∴=-=-+=-+=--+★当a=2时，t 有最大值，最大值为4． 故选C. 【名师指导】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法以及正确理解“邻根方程”的定义，本题属于中等题型．7．一元二次方程2520x x -=的解是（ ） A ．10x =，225x =- B ．10x =，225x =C ．10x =252x =-D ．10x =，252x =【标准答案】B 【思路点拨】利用提公因式分进行因式分解，再解方程，即可得到答案． 【精准解析】 解：x （5x -2）=0， x=0或5x -2=0， 所以10x =或225x =． 故选：B ． 【名师指导】本题考查了解一元二次方程-因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．8．某年级举行篮球比赛，赛制为单循环赛，即每一个球队都和其它的球队进行一场比赛，已知共举行了21场比赛，那么共有（ ）支队伍参加了比赛． A ．7B ．6C ．12D ．14【标准答案】A 【思路点拨】赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），x 个球队比赛总场数＝12x （x ﹣1），即可列方程求解． 【精准解析】解：设有x 个队，每个队都要赛（x ﹣1）场，但两队之间只有一场比赛，12x （x ﹣1）＝21，解得x ＝7或x ＝﹣6（舍去）． 故应邀请7支队伍参加比赛． 故选：A ． 【名师指导】本题主要考查了一元二次方程的应用，根据比赛场数与参赛队之间的关系为：比赛场数＝队数×（队数﹣1）÷2，进而得出方程是解题关键．9．（2021·上海市川沙中学南校八年级期中）下列方程一定是一元二次方程的是（ ）A ．xy x y +=；B ．20x ++=；C ．220ax x +=；D ．()2521x x x x -=--．【标准答案】B 【思路点拨】根据一元二次方程的定义，即只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程是一元二次方程判断即可； 【精准解析】xy x y +=有两个未知数，不是一元二次方程，故A 错误；20x +是一元二次方程，故B 正确；220ax x +=中a 的取值不确定，故C 错误；()2521x x x x -=--化简后没有二次项，故D 错误；故选B ． 【名师指导】本题主要考查了一元二次方程的定义，准确分析判断是解题的关键．10．（2021·上海市川沙中学南校八年级期中）下列关于x 的二次三项式在实数范围内不能够因式分解的是（ ）A ．244x x -+；B ．22352x xy y --；C ．229y y -+；D ．21y -．【标准答案】C 【思路点拨】利用完全平方公式把A 分解，利用十字乘法把B 分解，再分别令229=0,y y -+21=0,y -再计算根的判别式，从而可判断C ，D ，从而可得答案. 【精准解析】解：()22442,x x x -+=-故A 不符合题意；()()22352=32,x xy y x y x y --+-故B 不符合题意； 令229=0,y y -+则4419320,=-⨯⨯=-<所以229y y -+在实数范围内不能分解，故C 符合题意；令21=0,y -则()2=4241160,b ac -=-⨯⨯-=>y ∴=12y y ∴==21=,y y y ⎛∴- ⎝⎭⎝⎭故D 不符合题意； 故选：C 【名师指导】本题考查的是因式分解，一元二次方程的解法，根的判别式，掌握利用公式法解一元二次方程，进而分解因式是解题的关键.二、填空题 11．（2021·上海松江·八年级期中）若等腰三角形的一边长是4，另两边的长是关于x 的方程260x x n -+=的两个根，则n 的值为______．【标准答案】8或9 【思路点拨】分4为等腰三角形的腰长和4为等腰三角形的底边长两种情况，再利用一元二次方程根的定义、根的判别式求解即可得． 【精准解析】解：由题意，分以下两种情况：（1）当4为等腰三角形的腰长时，则4是关于x 的方程260x x n -+=的一个根， 因此有24640-⨯+=n ， 解得8n =，则方程为2680x x -+=，解得另一个根为2x =，此时等腰三角形的三边长分别为2,4,4，满足三角形的三边关系定理；（2）当4为等腰三角形的底边长时，则关于x 的方程260x x n -+=有两个相等的实数根， 因此，根的判别式3640n ∆=-=， 解得9n =，则方程为2690x x -+=，解得方程的根为123x x ==，此时等腰三角形的三边长分别为3,3,4，满足三角形的三边关系定理； 综上，n 的值为8或9， 故答案为：8或9． 【名师指导】本题考查了一元二次方程根的定义、根的判别式、等腰三角形的定义等知识点，正确分两种情况讨论是解题关键．需注意的是，要检验三边长是否满足三角形的三边关系定理． 12．（2021·上海市南洋模范中学八年级）已知三角形两边长分别是2和9，第三边的长为一元二次方程214480x x -+=的一个根，则这个三角形的周长为__________．【标准答案】19【思路点拨】利用因式分解法可得方程的两根，那么根据三角形的三边关系，得到符合题意的边，进而求得三角形周长即可．【精准解析】解：解方程214480x x -+=得第三边的边长为6或8，依据三角形三边关系，不难判定边长2，6，9不能构成三角形，2，8，9能构成三角形， ★三角形的周长=2+8+9=19．故答案为：19．【名师指导】本题考查了解一元二次方程——因式分解法和三角形三边关系，求三角形的周长，不能盲目地将三边长相加起来，而应养成检验三边长能否成三角形的好习惯．13．（2021·上海市民立中学八年级）若关于x 的方程ax 2+bx +c ＝0（a ≠0）满足a ﹣b +c ＝0，称此方程为“天宫”方程．若方程a 2x 2﹣2021ax +1＝0（a ≠0）是“天宫”方程，求a 2+2022a +220211a a +﹣20211a a +的值是 ___． 【标准答案】2023-【思路点拨】利用新定义得到“天宫”方程的一个解为1x =-，则2202110a a ++=，然后利用整体代入的方法计算．【精准解析】解：★关于x 的方程ax 2+bx +c ＝0（a ≠0）满足a ﹣b +c ＝0，★“天宫”方程的一个解为1x =-，方程22202110(0)a x ax a -+=≠是“天宫”方程，2202110a a ∴++=，220211a a ∴+=-，212021a a +=-，220211a a +=-， ∴2220212022120211a a a a a a ++-++ 2220212021120211a a a a a a a =+++-++2202112021a a a a a=-++--- 111a a =-+-+ 12a a=+- 212a a+=- 20212a a-=- 20212=--2023=-．故答案为：2023-．【名师指导】本题考查一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．利用整体代入的方法计算是解决本题的关键．14．（2021·上海市泗塘中学八年级）若m 2x 3﹣（2x +1）2+（n ﹣3）x +5＝0是关于x 的一元二次方程，且不含x 的一次项，则m ＝___，n ＝___．【标准答案】0 7【思路点拨】首先把方程变为一元二次方程的一般形式2324(7)40m x x n x -+-+=，再根据题意可得20,70m n =-=，进而可得答案．【精准解析】解：m 2x 3﹣（2x +1）2+（n ﹣3）x +5＝0，整理得，2324(7)40m x x n x -+-+=，★为一元二次方程且不含x 的一次项，★20,70m n =-=，解得0,7m n ==，故答案为：0，7．【名师指导】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，关键是掌握任何一个关于x 的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax 2+bx +c =0（a ≠0）．15．（2021·上海市泗塘中学八年级）当x ＝___ ___．【标准答案】-1【思路点拨】把x x ++22410配方得：x +22(+1)8，即可解决．【精准解析】★x ≥22(+1)0★x +≥22(+1)88当x =-1时，x +22(+1)8=故答案为：-1，【名师指导】本题考查了配方法及求最小值，关键是配方．16．（2021·上海市实验学校八年级期中）若a ，b ，c 为等腰三角形的三边长且a ＝2，其中b ，c 是方程x 2﹣3x +m ＝0的两根．则m ＝__________________ 【标准答案】94或2 【思路点拨】分a 为底边长及a 为腰长两种情况考虑：当a 为底边长时，由根的判别式∆＝0可求出m 的值，将m 的值代入原方程解之可得出等腰三角形的两腰长，利用三角形的三边关系可确定m ＝94符合题意；当a 为腰长时，将a ＝2代入原方程可求出m 的值，将m 的值代入原方程解之可得出等腰三角形的底边长，利用三角形的三边关系可确定m ＝2符合题意．综上，此题得解．【精准解析】解：当a 为底边长时，∆＝（﹣3）2﹣4×1×m ＝0，解得：m ＝94， 此时原方程为x 2﹣3x +94＝0，解得：x 1＝x 2＝32． ★以2，32，32为长度的三边能组成三角形， ★m ＝94符合题意； 当a 为腰长时，将a ＝2代入原方程，得：4﹣6+m ＝0，解得：m ＝2，此时原方程为x 2﹣3x +2＝0，解得：x 1＝2，x 2＝1．★以2，2，1为长度的三边能组成三角形，★m ＝2符合题意．故答案为：94或2． 【名师指导】此题考查等腰三角形的性质，一元二次方程的根的判别式，解一元二次方程，以及三角形的三边关系，正确掌握各知识点并解决问题是解题的关键．17．（2021·上海松江·八年级期中）已知关于x 的方程20(a 0)++=≠ax bx c 的两个根为12x =，23x =，则方程2(1)(1)0a x b x c ++++=的两根为________．【标准答案】1x =或2x =【思路点拨】观察给出的两个方程可知：2和3也是关于1x +的方程2(1)(1)0a x b x c ++++=的两根，由此即可求得答案．【精准解析】解：根据题意可得：题目所给的两个方程的系数、结构都相同，★2和3也是关于1x +的方程2(1)(1)0a x b x c ++++=的两根，★12x +=或13x +=，解得：1x =或2x =，故答案为：1x =或2x =．【名师指导】本题考查了一元二次方程的解的定义，解决本题的关键是根据给出的方程特点，得到两个方程的解的关系．18．（2021·上海杨浦·八年级期中）已知x ＝a 是关于x 的一元二次方程x 2+3x ﹣2＝0的根，则﹣2623a a-＝___． 【标准答案】6-【思路点拨】把x a =代入已知方程，得到223a a =-，整体代入所求的代数式进行求值即可．【精准解析】解：★x ＝a 是关于x 的一元二次方程x 2+3x ﹣2＝0的根，★把x a =代入已知方程，则223a a =-， ★22266623a a a a-=-=--． 故答案为：6-．【名师指导】考查了一元二次方程的解，能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．三、解答题19．（2021·上海市罗南中学八年级）解关于x 的一元二次方程()282--=x x mx ，其中m 是满足不等式组430530m m +>⎧⎨->⎩的整数． 【标准答案】0m =，方程的解为12x =，24x =-【思路点拨】通过解关于m 的不等式组以及一元二次方程的定义求得m 的值；然后利用因式分解法解关于x 的一元二次方程即可．【精准解析】解：430530m m +>⎧⎨->⎩①②， 由★得：34m >-， 由★得：53m <， ★不等式组430530m m +>⎧⎨->⎩解集是：3543m -<<， ∴整数m 的值为0或1；将()282--=x x mx 整理得：2(1)802m x x --=+，又★2(1)802m x x --=+是关于x 的一元二次方程，10m ∴-≠，即1m ≠，0m ∴=，∴关于x 的一元二次方程是2280x x +-=，即(2)(4)0x x -+=，20x ∴-=或40x +=，★12x =，24x =-．【名师指导】本题考查了解一元二次方程--因式分解法、一元二次方程的定义以及一元一次不等式组的整数解．注意一元二次方程的二次项系数不为零．20．（2021·上海市泗塘中学八年级）已知一元二次方程（m +1）x 2+（2m ﹣3）x +（m ﹣2）＝0．（1）如果方程有一根x 1＝0，求m 的值和另一个根x 2．（2）如果方程有两个不相等的实数根，求m 的取值范围．【标准答案】（1）2m =，213x =-；（2）178m <且1m ≠-． 【思路点拨】（1）将10x =代入一元二次方程解得m ，然后将m 代回原方程进行求解，即可得出方程的另一个根；（2）方程有两个不相等的实数根，根据一元二次方程根的判别式：240b ac =->，将方程的系数代入可得不等式，求解即可得出m 的取值范围．【精准解析】解：（1）将10x =代入一元二次方程可得：20m -=，解得：2m =，将2m =代回原方程()()()212320m x m x m ++-+-=可得：230x x +=，()310x x +=，解得：10x =，213x =-， 另一个根为：213x =-； （2）方程有两个不相等的实数根，根据一元二次方程根的判别式：240b ac =->，可得：()()()2234120m m m --+->， 解得：178m <， ()()()212320m x m x m ++-+-=为一元二次方程，★10m +≠，★1m ≠-， 综上可得：178m <且1m ≠-． 【名师指导】题目主要考查解一元二次方程的因式分解法和方程根的判别式以及求解不等式的解集，熟练掌握一元二次方程的解法及不等式的解法是解题关键．21．（2021·a 是整数，试解关于x 的一元二次方程x 2﹣5＝x （ax ﹣2）﹣2． 【标准答案】当0a =时，方程的根为11x =，23x =-；当2a =时，方程没有实数根．【思路点拨】先根据二次根式有意义求得a 的取值范围，进而可求得a 的整数值，再逐个代入一元二次方程求解即可，注意a ＝1时，方程不是一元二次方程，故a ＝1舍去．【精准解析】解：★210520a a +≥⎧⎨->⎩， 解得：0.5 2.5a -≤<，又★a 是整数，★0,1,2a =，当0a =时，方程为2522x x -=--，整理得：2230x x +-=，解得：11x =，23x =-，当1a =时，方程为22522x x x -=--，即522x -=--，此方程为一元一次方程，不符合题意，★1a =舍去，当2a =时，方程为225222x x x -=--，整理得：2230x x -+=，★224(2)41380b ac -=--⨯⨯=-<，★此方程没有实数根，综上所述，当0a =时，方程的根为11x =，23x =-；当2a =时，方程没有实数根．【名师指导】本题考查了二次根式有意义的条件以及一元二次方程的定义及解法，熟练掌握一元二次方程的解法是解决本题的关键．22．（2021·上海浦东新·八年级期中）要使关于x 的方程24(1)40ax a x a --+=有实数根，整数a 取得的最大值是多少？【标准答案】0a =【思路点拨】分0a =和0a ≠两种情况讨论，分别求出a 的取值，综合分析即可求解．【精准解析】解：当0a=时，关于x的方程为一元一次方程，40x=，解得0x=，满足条件；当0a≠时，关于x的方程为一元二次方程，2216(1)160a a∆=--≥，解得12a≤，★a是整数且0a≠，★1a=-；综上所述，0a=．【名师指导】本题考查了解一元一次方程和根据一元二次方程根的情况求字母取值，理解题意，分类讨论，熟知一元二次方程的根的判别式相关知识是解题关键．23．（2021·上海市第四中学八年级）如图，机器人利用吸盘爬大楼玻璃幕墙，要用8分钟的时间先垂直向上，再水平横行，最后垂直下行，完成如图矩形三边A→B→C→D的行程，若上、下行速度都是3米/分钟，横行速度是4米/分钟，问如何安排上、下行和横行的时间，才能使矩形ABCD的面积为72m2，而且机器人走的路线较短？【标准答案】应该安排上、下行和横行的时间分别为3分钟、3分钟、2分钟，能使得矩形ABCD的面积为72平方米，而且机器人走的路较短．【思路点拨】设安排机器人上行的时间为x分钟，则下行的时间也为x分钟，横行的时间为(8-2x)分钟，根据题意列出一元二次方程，求解再比较即可求解．【精准解析】解：设安排机器人上行的时间为x分钟，则下行的时间也为x分钟，横行的时间为(8-2x)分钟，根据题意，得3x⨯4(8-2x)=72，整理，得x2-4x+3=0，解得：x1=1，x2=3，当x =1时，机器人走的路程为2×3×1+4×(8-2×1) =30(米)；当x =3时，机器人走的路程为2×3×3+4×(8-2×3)=26(米)；★26<30，★取x =3，从而8-2x =2，答：应该安排上、下行和横行的时间分别为3分钟、3分钟、2分钟，能使得矩形ABCD 的面积为72平方米，而且机器人走的路较短．【名师指导】本题考查了一元二次方程的应用，理清题中的数量关系并正确列得方程，是解题的关键． 24．（2021·上海市进才中学北校八年级）阅读理解：法国数学家韦达在研究一元二次方程时有一项重大发现：如果一元二次方程5x 2+3x ﹣2＝0的两个根分别是x 1，x 2，那么x 1+x 2＝﹣b a ，x 1x 2＝c a，以上定理称为韦达定理．例如：已知方程5x 2+3x ﹣2＝0的两根分别为x 1，x 2，则：x 1+x 2＝﹣b a ＝﹣35，x 1x 2＝c a ＝25-＝﹣25请阅读后，运用韦达定理完成以下问题：（1）已知方程4x 2﹣3x ﹣6＝0的两根分别为x 1，x 2，求x 1+x 2和x 1x 2的值．（2）已知方程x 2+3x ﹣5＝0的两根分别为x 1，x 2，求221211x x +的值． （3）当k 取何值时，关于x 的一元二次方程3x 2﹣2（3k +1）x +3k 2﹣1＝0的两个实数根互为倒数？【标准答案】（1）34，32-；（2）1925；（3）． 【思路点拨】（1）分别利用一元二次方程根与系数的关系求解即可．（2）先把所求的代数式变形为含有12x x +和12x x 的形式，然后利用根与系数的关系进行解答．（3）依据题意可得2123113k x x -==，解关于k 的一元二次方程即可． 【精准解析】解：（1）123344x x -+=-=，126342x x -==-； （2）123x x +=-，125x x =-， ∴222212*********121212()211(3)2(5)1925()()(5)x x x x x x x x x x x x ++---⨯-+====-； （3）关于x 的一元二次方程2232(31)310x k x k -++-=的两个实数根互为倒数，2123113k x x -∴==， 2313k ∴-=，解得k = 【名师指导】 本题主要考查了根与系数的关系及解一元二次方程，根与系数的关系中，12b x x a +=-，12c x x a=中a 、b 、c 所表示的意义是解题的关键． 25．（2021·上海松江·八年级期中）已知关于x 的方程2(1)(23)1m x m x m ++++=有两个相等的实数根，求m 的值及方程的根． 【标准答案】1312m =-，125x x ==． 【思路点拨】首先根据原方程根的情况，利用根的判别式求出m 的值，即可确定原一元二次方程，进而可求出方程的根．【精准解析】解：将原方程变形移项得：2(1)(23)10m x m x m ++++-=，关于x 的方程2(1)(23)10m x m x m ++++-=有两个相等的实数根，∴240b ac -=， ★1,23,1a m b m c m =+=+=-，★2(23)4(1)(1)0m m m +-+-=， 解得：1312m =-， 当1312m =-时，方程为21525012612x x -+-=， 整理，得：210250x x -+=，2(5)0x ∴-=，解得125x x ==．【名师指导】此题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式24b ac -的关系：（1）24b ac -0>⇔方程有两个不相等的实数根；（2）24b ac -0=⇔方程有两个相等的实数根；（3）24b ac -0<⇔方程没有实数根．也考查了一元二次方程的解法．26．（2021·上海同济大学附属存志学校八年级期中）已知关于x 的方程x 2+（2k ﹣1）x +k 2﹣3＝0，是否存在实数k ，使（2x 1﹣x 2）（2x 2﹣x 1）+20＝0成立？若存在，请求出实数k的值；若不存在，请说明理由．【标准答案】存在，1k =或-9【思路点拨】先计算一元二次方程根的判别式，进而根据根与系数的关系求得1212,x x x x +的值，代入等式，结合判别式即可求得k 的值．【精准解析】存在，理由如下，x 2+（2k ﹣1）x +k 2﹣3＝0，∴21,21,3a b k c k ==-=-2224(21)4(3)413b ac k k k ∆=-=---=-+当0∆≥，即134k ≤时， 2121212,3b c x x k x x k a a∴+=-=-==- （2x 1﹣x 2）（2x 2﹣x 1）+20＝0即22121212422200x x x x x x --++=()2121220290x x x x ∴-++=()22202129270k k --+-= 解得11k =,29k =-134k ≤ 1k ∴=或-9【名师指导】本题考查了解一元二次方程，一元二次方程根与系数的关系，根的判别式，理解根与系数的关系在一元二次方程有实根的情况下使用是解题的关键．27．（2021·上海同济大学附属存志学校八年级期中）若α为一元二次方程x 2﹣x +t ＝0的根；（1）则方程的另外一个根β＝ ，t ＝ ；（2）求α6+8β的值．（3）求作一个关于y 的一元二次方程，二次项系数为1，且两根分别为α2，β2．【标准答案】（1；1-；（2）98+（3）2310y y -+= 【思路点拨】（1）根据根于系数的关系列式计算即可；（2）由幂的乘方运算，完全平方式的运算法则计算即可；（3）由根与系数的关系计算出相关数值，即可写出满足题意的一元二次方程．【精准解析】解：（1）★α和β是一元二次方程的两个根★1αβ+=，t αβ=又★α★1β==，414t -==-1- （2）68αβ+★66α=⎝⎭(662=((426566464++===94=+884β==-★68αβ+94498=+-=+（3）★22α=⎝⎭，22β==⎝⎭★221234αβ+=+==2216116αβ===⎝⎭⎝⎭ ★关于y 的一元二次方程为：2310y y -+=【名师指导】本题考查一元二次方程根与系数的关系，幂的乘方，完全平方式等相关知识点，牢记知识点并能够灵活应用是解题关键．28．（2021·上海市民办新竹园中学八年级）在实数范围内因式分解（1）2442y y +-；（2）2235x xy y --．【标准答案】（1）(2121y y ++；（2）3x x y ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭【思路点拨】（1）先拆项，再根据完全平方公式变形，最后根据平方差公式分解即可； （2）首先解方程得出方程的根进而分解因式．【精准解析】解：（1）2442y y +-=24413y y ++-=()2213y +-=(2121y y ++；（2）令2235x xy y --=0，()()22254337y y y =--⨯⨯-=△，★x★x x ，★2235x xy y --=3x y x y ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭． 【名师指导】此题主要考查了在实属范围内分解因式，正确求出方程的根是解题关键．。
2020-2021学年浙江省各区县八下数学期末试题----一元二次方程题型精选(解析版)
2020-2021学年浙江省各区县八下数学期末试题一元二次方程题型精选学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 时间:90分钟满分:100分一、仔细选一选（本题有10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个选项是正确的，不选、多选、错选均不给分）1．(本题3分)（2020·浙江八年级期中）下列方程是一元二次方程的是（ ） A ．213x += B ．1x y += C ．2210x x -+= D ．1322x x+= 【答案】C【分析】根据一元二次方程的定义解答，一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数，由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．【详解】解：A 、方程是一元一次方程，故选项不符合题意；B 、方程含有两个未知数，故选项不符合题意；C 、符合一元二次方程的定义，故选项符合题意．D 、不是整式方程，故选项不符合题意；故选：C ．【点睛】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2． 2．(本题3分)（2020·浙江杭州市·八年级期中）用公式法解2231x x -+=时，化方程为一般式当中的a b c 、、可以为（ ）A ．2-，3，1B ．2，3，1C ．2-，3，1-D ．2，3,1-- 【答案】C【分析】先把方程化为一元二次方程的一般形式，再确定a 、b 、c ．【详解】解：∵方程2231x x -+=化为一般形式为：22310x x -+-=，∵a=-2，b=3，c=-1．故选：C ．【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式．一元二次方程的一般形式为ax 2+bx+c=0（a≠0）．其中a 、b 分别是二次项和一次项系数，c 为常数项．3．(本题3分)（2020·浙江杭州市·八年级期末）已知关于x 的方程x 2+2x+m ＝0有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是（ ）A ．m ＝1B ．m≥1C ．m ＜1D ．m ＜1且m≠0【答案】C【分析】利用判别式的意义得到2240m ∆=->，然后解不等式即可．【详解】解：根据题意得2240m ∆=->，解得1m <．故选：C ．【点睛】此题考查一元二次方程根的判别式，掌握一元二次方程根的三种情况是解题的关键． 4．(本题3分)（2021·浙江八年级期中）一元二次方程2610x x -+=配方后可变形为（ ）A ．2(3)8x -=B ．2(3)10x -=C ．2(3)8x +=D ．2(3)10x +=【答案】A【分析】先移项，再根据完全平方公式配方，即可得出选项．【详解】解：2610x x -+=， ∵-=-261x x ，∵26919x x -+=-+，∵()238x -=，故选：A ．【点睛】本题考查了用配方法解一元二次方程，能够正确配方是解此题的关键．5．(本题3分)（2020·浙江杭州市·八年级期末）如图1，有一张长80cm ，宽50cm 的长方形硬纸片，裁去角上四个小正方形之后，折成如图2那样的无盖纸盒，若纸盒的底面积是22800cm ，设纸盒的高为(cm)x ，那么x 满足的方程是（ ）A ．(80)(502)2800x x --=B ．(80)(50)2800x x --=C ．(802)(50)2800x x --=D ．(802)(502)2800x x --=【答案】D【分析】 设纸盒的高是x ，根据长方形的面积公式列出算式，再进行求解即可．【详解】解：设纸盒的高是x ，根据题意得：（80-2x ）（50-2x ）=2800．故选：D ．【点睛】此题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，掌握长方形的面积计算公式是解决问题的关键．6．(本题3分)（2020·浙江八年级期中）关于x 的一元二次方程22(1)10m x x m -++-=有一根为0，则m 的值为（ ）A ．1B ．1-C ．1或1-D ．12【答案】B【分析】把0x =代入方程22(1)10m x x m -++-=可得210m -=，然后求解，且需满足10m -≠，则问题可求解．【详解】解：把0x =代入方程()22110m x x m -++-=可得：210m -=，解得：1m =±，∵10m -≠，∵1m =-；故选B ．【点睛】本题主要考查一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程的解是解题的关键． 7．(本题3分)（2020·浙江杭州市·八年级期末）三角形的两边长为2和4，第三边长是方程2680x x -+=的根，则这个三角形的周长是（ ）A ．8B ．10C ．8或10D ．不能确定【答案】B【分析】首先解方程x 2-6x +8=0得：x 1=2，x 2=4，再根据三角形的三边关系确定第三边长为x =4，再求出三角形的周长即可．【详解】解：解方程x 2-6x +8=0，得：x 1=2，x 2=4，∵2+2=4，∵x =2不合题意舍去，∵x =4，∵这个三角形的周长是：2+4+4=10，故选：B ．【点睛】此题主要考查了解一元二次方程，以及三角形的三边关系，关键是正确确定三角形的第三边的长度．8．(本题3分)（2020·浙江杭州市·八年级期末）已知关于x 的方程2(1)10kx k x +--=，有下列说法：①当0k =时，方程无解：①当1k =时，方程有一个实数解：①当1k ≠-时，方程总有两个不相等的实数解．其中说法正确的个数有（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个【答案】A【分析】当k≠0时，找出b 2-4ac=（1+k ）2．∵当k=0时，找出方程，解方程发现方程有一个实数根，从而判断∵不正确；∵将k=1代入b 2-4ac=（1+k ）2中，得出∵＞0，由此得出∵不正确；∵根据k≠-1，但k=0时，方程为一元一次方程，由此得出∵不正确；结合上面所述即可得出结论．【详解】解：当k≠0时，b 2-4ac=（1-k ）2+4k=（1+k ）2．∵当k=0时，原方程为x -1=0，解得：x=1，∵不正确；∵当k=1时，b 2-4ac=（1+k ）2=4＞0，∵方程有两个不相等的实数根，∵不正确；∵当k≠-1时，若k=0，则原方程为x -1=0，只有一个实数根，∵不正确；故选A ．【点睛】本题考查了根的判别式，解题的关键是找出b 2-4ac=（1+k ）2．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据根的判别式得出方程实数根的个数是关键．9．(本题3分)（2020·宁波市鄞州蓝青学校八年级期末）过点()1,3P -作直线，使它与两坐标轴围成的三角形面积为5，这样的直线可以作（ ）A ．4条B ．3条C ．2条D ．1条【答案】C【分析】先设出函数解析式，y=kx+b ，把点P 坐标代入，得-k+b=3，用含k 的式子表示b ，得b=k+3，求出直线与x 轴交点坐标，y 轴交点坐标，求三角形面积，根据k 的符号讨论方程是否有解即可．【详解】设直线解析式为：y=kx+b ，点P （-1,3）在直线上，-k+b=3，b=k+3，y=kx+3+k ， 当x=0时，y=k+3，y=0时，x=k+3-k， S ∵=1k+3k+3-=52k，2k+3=10k ， 当k>0时，（k+3）2=10k ，k 2-4k+9=0，∵=-20<0，无解；当k<0时，（k+3）2=-10k ，k 2+16k+9=0，∵=220>0，k=-162．故选择：C ．【点睛】本题考查的是直线与坐标轴围成的三角形面积问题，关键是用给的点坐标来表示解析式，求出与x,y 轴的交点坐标，列出三角形面积，进行分类讨论．10．(本题3分)（2020·浙江温州市·八年级期末）如图，在一块长为20m ，宽为12m 的矩形ABCD 空地内修建四条宽度相等，且与矩形各边垂直的道路．四条道路围成的中间部分恰好是一个正方形，且边长是道路宽的4倍，道路占地总面积为240m ．设道路宽为m x ，则以下方程正确的是（ ）A ．232440x x +=B ．232840x x +=C ．264440x x -=D ．264840x x -=【答案】B【分析】设道路宽为x m ，则中间正方形的边长为4x m ，根据道路占地总面积为40m 2，即可得出关于x 的一元二次方程，此题得解．【详解】解：设道路宽为x m ，则中间正方形的边长为4x m ，依题意，得：x （20+4x+12+4x ）=40，即32x+8x 2=40．故选：B ．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．二、认真填一填（本大题共7小题，每小题3分，共21分）11．(本题3分)（2020·浙江宁波市·八年级期末）若x ＝4是二次方程x 2+ax ﹣4b ＝0的解，则代数式a ﹣b 的值为_____．【答案】-4【分析】将x ＝4代入到x 2+ax ﹣4b ＝0中即可求得a ﹣b 的值．【详解】∵x ＝4是二次方程x 2+ax ﹣4b ＝0的解，∵42+4a ﹣4b ＝0，∵a ﹣b ＝﹣4．故答案为：﹣4．【点睛】本题考查一元二次方程的解，一般采用直接代入的方法求解．12．(本题3分)（2019·浙江嘉兴市·八年级月考）若()()2222112a b a b ++-=，则22a b +的值为__________．【答案】4【分析】考虑运用“换元法”将原式变形，通过解一元二次方程可求得.【详解】设 22a b A +=≥0∵原式=()112,A A -=2120A A --=()()12430, 40, 30A A A A -+==>=-<（舍去）， ∵220A a b =+≥所以，224a b +=【点睛】本题旨在考查利用“换元法”的方程的求解，熟练掌握换元法及一元二次方程的解法是关键.13．(本题3分)（2020·浙江八年级期中）有一边为3的等腰三角形，它的两边长是方程2100x x k -+=的两根，则这个三角形的周长为_______．【答案】13【分析】由题意可分当边长为3是等腰三角形的腰长时，则把x =3代入方程进行求解即可；当边长为3是等腰三角形的底边时，则方程2100x x k -+=有两个相等的实数根，然后求解即可．【详解】解：由题意得：∵当边长为3是等腰三角形的腰长时，则把x =3代入方程2100x x k -+=得： 9300k -+=，解得：21k =，∵原方程为210210x x -+=，解得：123,7x x ==，∵这个等腰三角形的三边长为3、3、7，不符合三角形三边关系，故舍去； ∵当边长为3是等腰三角形的底边时，则方程2100x x k -+=有两个相等的实数根， ∵2410040b ac k ∆=-=-=，解得：25k =，∵原方程为210250x x -+=，解得：125x x ==，∵这个等腰三角形的三边长为3、5、5，符合三角形三边关系，∵这个三角形的周长为3+5+5=13；故答案为13．【点睛】本题主要考查一元二次方程的解法与根的判别式及等腰三角形的定义，熟练掌握一元二次方程的解法与根的判别式及等腰三角形的定义是解题的关键．14．(本题3分)（2019·浙江温州市·）某超市一月份的营业额为200万元，三月份的营业额为242万元，如果每月比上月增长的百分数相同，设平均每月的增长率为x ，则可列方程_____．【答案】2200(1)242x +=【分析】设平均每月的增长率为x ，则二月份为200(1)x +，三月份为2200(1)x +，然后根据三月份的营业额为242万元列方程即可．【详解】设平均每月的增长率为x ，由题意得2200(1)242x +=．故答案为：2200(1)242x +=．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用---增长率问题；本题的关键是掌握增长率问题中的一般公式为a (1+x )n =b ，其中n 为共增长了几年，a 为第一年的原始数据，b 是增长后的数据，x 是增长率．15．(本题3分)（2020·浙江杭州市·八年级期末）如图，四边形ACDE 是证明勾股定理时用到的一个图形，a ，b ，c 是Rt ABC 和Rt BED 边长，易知=AE ，这时我们把关于x 的形如20+=ax b 的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”．若1x =-是“勾系一元二次方程”20+=ax b 的一个根，且2ABC S =，则四边形ACDE 的周长是_________．【答案】12【分析】根据题意可以求得a +b 的值，再根据勾股定理可以求得c 的值，从而可以求得四边形ACDE 的周长．【详解】解：∵x =-1是“勾系一元二次方程”20+=ax b 的一个根，∵0a b -+=，∵a b +=，∵S ∵ABC =2，a 2+b 2=c 2， ∵2ab =2，得ab =4， ∵（a +b ）2=a 2+2ab +b 2=c 2+2ab =c 2+8，（a +b ）2=)222c =，∵c 2+8=2c 2，解得，c =-（舍去），∵四边形ACDE 的周长是：a +b +a +b ==12，故答案为：12．【点睛】本题考查一元二次方程的解、三角形的面积、勾股定理的证明，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．16．(本题3分)（2020·浙江杭州市·八年级其他模拟）定义[]x 表示不超过实数x 的最大整数，如[1.8]1,[ 1.4]2,[3]3=-=--=-，函数[]y x =的图象如图所示，则方程21[]2x x =的解为_________．【答案】02【分析】根据新定义和函数图象讨论：当2≤x ＜3时，则12x 2=2；当1≤x ＜2时，则12x 2=1；当0≤x ＜1时，则12x 2=0；当-1≤x ＜0时，则12x 2=-1；当-2≤x ＜-1时，则12x 2=-2；然后分别解关于x 的一元二次方程即可．【详解】解：当2≤x ＜3时，12x 2=2，解得x=2或x=-2（舍）；当1≤x ＜2时，12x 2=1，解得x 1x 2=； 当0≤x ＜1时，12x 2=0，解得x=0；当-1≤x＜0时，12x2=-1，方程没有实数解；当-2≤x＜-1时，12x2=-2，方程没有实数解；所以方程[x]=12x2的解为02，故答案为：02．【点睛】本题考查了解一元二次方程-因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了实数的大小比较．17．(本题3分)（2020·余姚市兰江中学八年级期中）如图，长方形ABCD中，6cmAB=，2cmAD=，动点P、Q分别从点A、C同时出发，点P以2厘米/秒的速度向终点B 移动，点Q以1厘米/秒的速度向D移动，当有一点到达终点时，另一点也停止运动．设运动的时间为t秒，当t=________时，以点P、Q、D为顶点的三角形是等腰三角形．65【分析】分情况讨论，如图1，当PQ＝DQ时，如图2，当PD＝PQ时，如图3，当PD＝QD时，由等腰三角形的性质及勾股定理建立方程就可以得出结论．【详解】解：如图1，当PQ＝DQ时，作QE∵AB于E，∵∵PEQ＝90°，∵∵B＝∵C＝90°，∵四边形BCQE是矩形，∵QE＝BC＝2cm，BE＝CQ＝t．∵AP＝2t，∵PE＝6﹣2t﹣t＝6﹣3t．DQ＝6﹣t．∵PQ＝DQ，∵PQ＝6﹣t．在Rt PQE中，由勾股定理，得（6﹣3t）2+4＝（6﹣t）2，解得：t．如图2，当PD＝PQ时，作PE∵DQ于E，∵DE＝QE＝12DQ，∵PED＝90°．∵∵B＝∵C＝90°，∵四边形BCQE是矩形，∵PE＝BC＝2cm．∵DQ＝6﹣t，∵DE＝62t-．∵2t＝62t-，解得：t＝65；如图5，当PD ＝QD 时，∵AP ＝2t ，CQ ＝t ，∵DQ ＝6﹣t ，∵PD ＝6﹣t ．在Rt APD 中，由勾股定理，得4+4t 2＝（6﹣t ）2，解得t 1＝63-+，t 2（舍去）．综上所述：t 65．65．【点睛】本题考查了矩形的性质的运用，勾股定理的运用，等腰三角形的性质的运用，一元二次方程的解法的运用．解答时灵活运用动点问题的求解方法是关键．三、全面答一答（本题共6小题，共49分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 18．(本题7分)（2020·浙江杭州市·八年级其他模拟）解方程：（1）228100x x --=（2）()()22213x x -=+ 【答案】（1）x 1=-1，x 2=5；（2）x 1=23-，x 2=4 【分析】 （1）先化简方程得到2450x x --=，然后利用因式分解法解方程；（2）先移项得到()()222130x x --+=，然后利用因式分解法解方程．【详解】解：（1）228100x x --=， ∵2450x x --=，∵()()150x x +-=，∵x 1=-1，x 2=5；（2）()()22213x x -=+，∵()()222130x x --+=，∵()()()()2132130x x x x -++--+=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，∵()()3240x x +-=，∵3x+2=0或x -4=0，∵x 1=23-，x 2=4． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握因式分解法是解题的关键．19．(本题7分)（2020·浙江八年级期中）（1）已知a =b =22a b ab +的值．（2）已知210x +=，求221x x +的值； （3）用配方法求代数式2611y y -+的最小值．【答案】（1）（2）2211x x+=；（3）代数式2611y y -+的最小值为2 【分析】（1）由a =b =ab 、+a b 的值，由()22a b ab ab a b +=+，然后代入求解即可；（2）由等式的性质可把方程变形为1x x+=，然后利用完全平方公式可进行求解； （3）利用配方法可把代数式变形为()232y -+，然后问题可求解．【详解】解：（1）∵a =b =∵1ab ==，a b +=∵()221ab a a b b ab ==++⨯=（2）由210x +=可变形为：1x x+=， ∵两边同时平方得：213x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭， ∵22123x x ++=， ∵2211x x +=； （3）根据配方法可得：()2261132y y y -+=-+，∵()230y -≥，∵()2322y -+≥，∵代数式2611y y -+的最小值为2．【点睛】本题主要考查完全平方公式、因式分解、二次根式的运算及配方法的应用，熟练掌握完全平方公式、因式分解、二次根式的运算及配方法的应用是解题的关键． 20．(本题8分)（2020·浙江）已知关于x 的一元二次方程2(2)(21)0x m x m -++-= （1）若此方程的一个根是1，请求出方程的另一个根；（2）求证：不论m 取何实数，该方程恒有两个不相等的实数根．【答案】（1）3；（2）见解析【分析】（1）把x=1代入原方程，先求出m 的值，进而求出另一根；（2）用m 表示出方程根的判别式，进而根据非负数的性质作出判断．【详解】解：（1）当1x =时，1(2)210m m -++-=，解得2m =，即原方程为2430x x -+=，解得11x =，23x =，故方程的另一个根为3．（2）222(2)4(21)48(2)40m m m m m =+--=-+=-+>△，则方程恒有两个不相等的实数根．【点睛】本题考查了一元二次方程根的情况与判别式∵的关系：（1）∵＞0∵方程有两个不相等的实数根；（2）∵=0∵方程有两个相等的实数根；（3）∵＜0∵方程没有实数根．21．(本题8分)（2020·浙江杭州市·八年级期中）用一块边长为70cm的正方形薄钢片制作一个长方体盒子．（1）如果要做成一个没有盖的长方体盒子，可先在薄钢片的四个角上截去四个相同的小正方形（如图①），然后把四边折合起来（如图①）．当做成的盒子的底面积为2900cm 时，求该盒子的容积；（2）如果要做成一个有盖的长方体盒子，制作方案要求同时符合下列两个条件：①必须在薄钢片的四个角上截去一个四边形（如图①阴影部分），①沿虚线折合后薄钢片800cm时，该盒子的高．即无空隙又不重叠地围成各盒面，求当底面积为2【答案】（1）18000cm3；（2）15cm【分析】（1）根据图中给出的信息，设四个相同的小正方形边长为x，先表示出盒子的正方形底面的边长，然后根据底面积=900即可得到方程，求解即可；（2）该盒子的高为y，根据底面积为800列出方程，解之即可．【详解】解：（1）设四个相同的小正方形边长为x，由题意可得：（70-2x）2=900，解得：x 1=20，x 2=50（舍），∵该盒子的容积为900×20=18000cm 3；（2）设该盒子的高为y ， 根据题意得：()7027028002y y -⨯-=， 解得：y 1=15，y 2=55（舍），因此当底面积是800平方厘米时，盒子的高是15厘米．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的实际运用，只要搞清楚盒子底面各边的长和盒子的高的关系即可作出正确解答．22．(本题9分)（2021·浙江八年级月考）2020年秋冬以来，由于全国大葱种植面积的减少与产量的减产，10月份到12月份，大葱的批发价格持续走高。
浙江省各区县八下数学期末试题----一元二次方程题型精选(解析版)
浙江省各区县八下数学期末试题一元二次方程题型精选（考试时间：90分钟 试卷满分：100分）一、选择题（本题有10个小题,每小题3分,共30分）1．(本题3分)（浙江萧山·八年级期末）下列方程中,属于一元二次方程的是（ ） A ．23 2 0x x -+= B ．22x xy -= C ．21+2x x= D ．()21 x x -=【答案】A 【解析】 【分析】只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程． 【详解】解：A 、它是一元二次方程,故此选项符合题意；B 、含有两个未知数,不是一元二次方程,故此选项不合题意；C 、它是分式方程,不是整式方程,故此选项不合题意；D 、未知数次数为1,不是一元二次方程,故此选项不合题意； 故选：A ． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程定义,关键是掌握判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．2．(本题3分)（浙江·八年级期末）把一元二次方程2(3)(31)x x x +=-化为一般形式,正确的是（ ） A ．22790x x --= B ．22590x x --= C ．24790x x ++= D ．22790x x -+-=【答案】A 【解析】 【分析】方程左边利用完全平方公式将原方程的左边展开,右边按照整式乘法展开,然后通过合并同类项将原方程化为一般形式．【详解】解：由原方程,得x2+6x+9=3x2-x,即2x2-7x-9=0,故选：A．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的一般形式．一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a,b,c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项,bx叫一次项,c是常数项．其中a,b,c分别叫二次项系数,一次项系数,常数项．3．(本题3分)（浙江苍南·八年级期末）若关于x的一元二次方程2x2x m0-+=有两个相等的实数根,则m的值是（）A．1B．1-C．4D．4-【答案】A【解析】【分析】判断上述方程的根的情况,只要看根的判别式Δ=b2-4ac的值的符号就可以了．有两个相等实数根的一元二次方程就是判别式的值是0,由此建立关于m的方程解答即可．【详解】解：∵关于x的方程x2-2x+m=0有两个相等的实数根,∵（-2）2-4×1×m=0,解得：m=1．故选：A．【点睛】此题考查一元二次方程根的情况与判别式∵的关系：（1）Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）Δ=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）Δ＜0⇔方程没有实数根．4．(本题3分)（2020·浙江镇海·八年级期末）在全国人民的共同努力下,新冠肺炎确诊病例逐渐减少,据统计,某地区2月份新冠肺炎确诊病例144例,4月份新冠肺炎确诊病例36例,设这两个月确诊病例平均每月降低的百分率是x,则下列关于x的方程正确的是（）A ．2144(1)36x -=B ．144(12)36x -=C ．236(1)144x +=D ．()2144136x -=【答案】A 【解析】 【分析】根据该地区2月份确诊144例,3月份确诊()1441x -例,4月份的新冠肺炎确诊()21441x - 例,即可得出关于x 的一元二次方程,此题得解． 【详解】解：依题意,得：()2144136,x -= 故选：A ． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程,找准等量关系,正确列出一元二次方程是解题的关键．5．(本题3分)（浙江·八年级期末）如果关于x 的一元二次方程20x px q ++=的两根分别为123,1x x ==,那么这个一元二次方程是（ ） A ．2340x x ++= B ．2430x x +-=C ．2430x x -+=D ．2340x x +-=【答案】C 【解析】 【分析】根据根与系数的关系,直接代入计算即可． 【详解】解：∵关于x 的一元二次方程x 2+px +q =0的两根分别为x 1=3,x 2=1, ∵3+1=-p ,3×1=q , ∵p =-4,q =3,∵一元二次方程是x 2-4x +3=0, 故选：C ． 【点睛】本题考查了根与系数的关系,解题的关键是熟练掌握根与系数的字母表达式,并会代入计算．6．(本题3分)（浙江·八年级期末）将关于x 的一元二次方程20x bx c ++=变形为2x bx c =--,就可将2x 表示为关于x 的一次多项式,从而达到“降次”的目的,我们称这样的方法为“降次法”．已知210x x --=可用“降次法”求432019x x -+的值是（ ） A ．2019 B ．2020C ．2021D ．2022【答案】C 【解析】 【分析】先求得x 2=x +1,再代入x 4-3x +2019即可得出答案． 【详解】 解：∵x 2-x -1=0, ∵x 2=x +1,∵x 4-3x +2019=（x +1）2-3x +2019 =x 2+2x +1-3x +2019 =x 2-x +2020 =1+2020 =2021, 故选：C ． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解,将四次先降为二次,再将二次降为一次．7．(本题3分)（浙江·八年级期末）已知关于x 的一元二次方程()()120x x x x --=与一元一次方程360x -=有一个公共的解1x x =,那么若一元二次方程()()()12360x x x x x ----=有两个相等的实根,则2x =（ ） A ．1 B ．2C ．1-D ．2-【答案】C 【解析】 【分析】先解方程3x -6=0得x 1=2,则一元二次方程（x -x 1）（x -x 2）-（3x -6）=0变形为（x -2）（x -x 2）-3x +6=0,整理得x 2-（x 2+5）x +2x 2+6=0,利用判别式的意义得到Δ=0,然后解关于x 2的方程即可． 【详解】解：∵解方程3x -6=0得x =2,∵x1=2,∵一元二次方程（x-x1）（x-x2）-（3x-6）=0变形为（x-2）（x-x2）-3x+6=0,整理得x2-（x2+5）x+2x2+6=0,∵Δ=（x2+5）2-4（2x2+6）=0,解得x2=-1．故选：C．【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与Δ=b2-4ac有如下关系：当Δ＞0时,方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时,方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时,方程无实数根．8．(本题3分)（浙江·八年级期末）如图,在△ABC中,∵ABC＝90°,AB＝8cm,BC＝6cm,动点P,Q分别从点A,B同时开始移动（移动方向如图所示）,点P的速度为1cm/s,点Q 的速度为2cm/s,点Q移动到点C后停止,点P也随之停止运动,若使△PBQ的面积为15cm2,则点P运动的时间是（）A．2s B．3s C．4s D．5s【答案】B【解析】【分析】设出动点P,Q运动ts,能使△PBQ的面积为15cm2,用t分别表示出BP和BQ的长,利用三角形的面积计算公式即可解答．【详解】解：设动点P,Q运动ts后,能使△PBQ的面积为15cm2,则BP为（8﹣t）cm,BQ为2tcm,由三角形的面积计算公式列方程得,1×（8﹣t）×2t＝15,2解得t1＝3,t2＝5（当t＝5时,BQ＝10,不合题意,舍去）．∵动点P,Q运动3s时,能使△PBQ的面积为15cm2．故选：B．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用,借助三角形的面积计算公式来研究图形中的动点问题．9．(本题3分)（2020·浙江丽水·八年级期末）若关于x 的方程2(4550)x x m --=＋的解中,仅有一个正数解,则m 的取值范围是（ ） A ．5m >- B ．5m ≥- C ．10516m >-D ．10516m ≥-【答案】B 【解析】 【分析】根据根的判别式和根与系数的关系即可求解． 【详解】解：关于x 的方程245(5)0x x m --+=的解中,仅有一个正数解,∴2(5)44[(5)]0504m m ⎧=--⨯⨯-+≥⎪⎨+-≤⎪⎩△,解得5m ≥-． 故选：B ． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的分布,根的判别式和根与系数的关系等知识点,解此题的关键是得到2(5)44[(5)]0504m m ⎧=--⨯⨯-+≥⎪⎨+-≤⎪⎩△．10．(本题3分)（2020·浙江·八年级期末）一个矩形内放入两个边长分别为6cm 和8cm 的小正方形纸片,按照图∵放置,矩形纸片没有被两个正方形纸片覆盖的部分（黑色阴影部分）的面积为232cm ,按照图∵放置,矩形纸片没有被两个正方形纸片覆盖的部分的面积为244cm ,若把两张正方形纸片按图∵放置时,矩形纸片没有被两个正方形纸片覆盖的部分的面积为（ ）A ．224cmB ．228cmC ．248cmD ．276cm【答案】B【解析】 【分析】设矩形的长为xcm ,宽为ycm ,根据矩形的面积公式结合按图∵∵两种放置时未被覆盖部分的面积,即可得出关于x ,y 的方程组,利用(∵-∵)3÷可得出2x y =+∵,将∵代入∵中可得出关于y 的一元二次方程,解之取其正值即可得出y 值,进而可得出x 的值,再利用矩形的面积公式求出按图∵放置时未被覆盖的两个小矩形的面积和即可得出结论． 【详解】解：设矩形的长为xcm ,宽为ycm , 依题意,得：()()646832646844xy x xy y ⎧=+-+⎪⎨=+-+⎪⎩①②, (∵-∵)6÷,得：20y x -+=,2x y ∴=+∵．将∵代入∵,得：(2)646(8)44y y y +=+-+, 整理,得：24600y y --=, 解得：110y =,26y =-（舍去）,12x ∴=．∴按图∵放置时,矩形纸片没有被两个正方形纸片覆盖的部分的面积为(8)(6)(6)(8)446228x y x y --+--=⨯+⨯=．故选：B ． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用,找准等量关系,正确列出一元二次方程是解题的关键． 二、填空题（本题有7个小题,每小题3分,共21分）11．(本题3分)（浙江·八年级期末）已知一元二次方程220x x m ++＝的一个根是-1,则m 的值为_____． 【答案】1 【解析】 【分析】根据一元二次方程的解的定义把1x ＝﹣代入方程得到关于m 的方程120m -+＝,然后解此一次方程即可． 【详解】解： 一元二次方程220x x m ++＝的一个根是-1∴ 把1x ＝﹣代入方程得120m -+＝,解得1m ＝, 故答案为1． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的解的定义,关键是把1x ＝﹣代入方程构建含参数的方程求解即可．12．(本题3分)（浙江嘉兴·八年级期末）一元二次方程(1)2(1)x x x +=+的解是____． 【答案】x 1=-1,x 2=2 【解析】 【分析】方程移项后,利用因式分解法求出解即可． 【详解】解：方程整理得：x （x +1）-2（x +1）=0, 分解因式得：（x +1）（x -2）=0, 可得x +1=0或x -2=0, 解得：x 1=-1,x 2=2． 故答案为：x 1=-1,x 2=2． 【点睛】此题考查了解一元二次方程-因式分解法,熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 13．(本题3分)（2018·浙江江山·八年级期末）如图,某居民小区要一块一边靠墙的空地上建一个长方形花园ABCD ,花园的中间用平行于AB 的栅栏EF 隔开,一边靠墙,其余部分用总长为30米的栅栏围成且面积刚好等于72平方米,求围成花园的宽AB 为多少米？设AB x =米,由题意可列方程为______．【答案】()30372x x -= 【解析】 【分析】根据题意设AB=x 米,则BC=（30-3x ）m,利用矩形面积得出答案． 【详解】解：设AB=x 米,由题意可列方程为：x （30-3x ）=72． 故答案为x （30-3x ）=72． 【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程,正确表示出BC 的长是解题关键． 14．(本题3分)（浙江新昌·八年级期末）已知Rt ABC 两直角边的长度恰好是一元二次方程27120x x -+=的两个实数根,那么ABC 的面积是______． 【答案】6 【解析】 【分析】设Rt ABC 两直角边的长度分别为m ,n ,则m ,n 是方程27120x x -+=的两个实数根,再利用一元二次方程的根与系数的关系即可求得答案． 【详解】解：设Rt ABC 两直角边的长度分别为m ,n ,由题意可得：m ,n 是方程27120x x -+=的两个实数根, ∵12121c mn a ===, ∵1112622ABCSmn ==⨯=, 故答案为：6． 【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系,若1x ,2x 是一元二次方程20(a 0)++=≠ax bx c 的两根时,则12b x x a +=-,12cx x a⋅=,熟练掌握根与系数的关系是解决本题的关键．15．(本题3分)（2019·浙江诸暨·八年级期末）三角形两边长分别为2和4,第三边是方程2680x x -+=的一个解,则这个三角形的周长是_________． 【答案】10 【解析】 【分析】根据一元二次方程的解法即可求出第三边,然后根据三角形的三边关系即可求出周长． 【详解】解：由2680x x -+=,解得：x ＝2或x ＝4 当第三边长为2时,由三角形三边关系可知：2＋2＝4, 故不能组成三角形, 当第三边为4时,由三角形三边关系可知：4＋2＞4,能够组成三角形, ∵这个三角形的周长为：2＋4＋4＝10, 故答案为：10 【点睛】本题考查一元二次方程的解法,解题的关键是求出利用三角形三边关系求出第三边长,本题属于基础题型．16．(本题3分)（浙江越城·八年级期末）如图1的图案称“赵爽弦图”,是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的．它由四个全等的直角三角形围成一个大正方形,中间是个小正方形．我们在此图形中连接四条线段得到如图2的图案,记阴影部分的面积为1S ,空白部分的面积为2S ,大正方形的边长为m ,小正方形的边长为n ,若12S S ,则n m的值为_____．【解析】 【分析】可设图2阴影直角三角形另一条直角边为x ,根据S 1=S 2,可得2x 2=12m 2,则x =12m ,再根据勾股定理得到关于m ,n 的方程,可求nm的值． 【详解】解：设图2中阴影直角三角形另一条直角边为x ,依题意有 4×12x 2=12m 2, 解得x =12m ,由勾股定理得(12m )2+(n +12m )2=m 2,整理得：m 2-2mn -2n 2=0,解得m 1n （舍去）,m 2n ,则n m【点睛】本题考查了勾股定理的应用,根据正方形的面积公式和三角形形的面积公式得出它们之间的关系是解题的关键．17．(本题3分)（2020·浙江·八年级期末）关于x 3﹣ax 2﹣2ax +a 2﹣1＝0只有一个实数根,则a 的取值范围是_____．【答案】a ＜34．【解析】 【分析】将原方程转化为关于a 的一元二次方程,用含x 的表达式表示a,求得x ＝a +1或x 2+x +1﹣a ＝0．由原方程只有一个实数根,再转化为方程x 2+x +1﹣a ＝0没有实数根求解即可． 【详解】把方程变形为关于a 的一元二次方程的一般形式：a 2﹣（x 2+2x ）a +x 3﹣1＝0, 则△＝（x 2+2x ）2﹣4（x 3﹣1）＝（x 2+2）2,∵a ＝222(2)2x x x +±+ ,即a ＝x ﹣1或a ＝x 2+x +1．所以有：x ＝a +1或x 2+x +1﹣a ＝0．∵关于x 3﹣ax 2﹣2ax +a 2﹣1＝0只有一个实数根, ∵方程x 2+x +1﹣a ＝0没有实数根,即△＜0, ∵1﹣4（1﹣a ）＜0,解得a ＜34． 所以a 的取值范围是a ＜34．故答案为a ＜34．【点睛】本题考查一元二次方程根与判别式的关系,题目较复杂,难度较大,学会转换思路是关键．三、解答题（请写出必要的解题过程,本题共6个小题,共49分） 18．(本题6分)（浙江·八年级期末）解方程： （1）2221x x += （2）()22239x x -=-【答案】（1）121122x x =-=-（2）123,9x x ==． 【解析】 【分析】（1）利用配方法求解即可得； （2）利用因式分解法求解即可得． 【详解】 （1）2221x x += 212x x +=2111424x x ++=+ 213()24x +=12x +=121122x x =-+=- （2）()22239x x -=- 22(3)(3)(3)x x x -=+-22(3)(3)(3)0x x x --+-=[](3)2(3)(3)0x x x ---+=(3)(9)0x x --=123,9x x ==．【点睛】本题考查了一元二次方程的解法,主要解法包括：配方法、直接开方法、公式法、因式分解法、换元法等,熟记各解法是解题关键．19．(本题8分)（2020·浙江奉化·八年级期末）已知：关于x 的方程x 2﹣（k +2）x +2k ＝0．（1）求证：无论k 取任何实数值,方程总有实数根．（2）若等腰三角形ABC 的底边长为1,另两边的长恰好是这个方程的两个根,求ABC 的周长．【答案】（1）见解析；（2）5【解析】 【分析】（1）先计算出Δ＝（k ＋2）2−4×2k ＝（k −2）2,然后根据非负数的性质和根的判别式的意义判断方程根的情况；（2）依题意有Δ＝0,则k ＝2,再把k 代入方程,求出方程的解,然后计算三角形周长． 【详解】（1）证明：Δ＝（k +2）2﹣4×2k ＝（k ﹣2）2, ∵（k ﹣2）2≥0,即∵≥0,∵无论k 取任何实数值,方程总有实数根； （2）解：依题意有Δ＝（k ﹣2）2＝0,则k ＝2, 方程化为x 2﹣4x +4＝0,解得x 1＝x 2＝2, 故∵ABC 的周长＝2+2+1＝5． 【点睛】本题考查了一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的根的判别式Δ＝b 2−4ac ：∵当Δ＞0,方程有两个不相等的实数根；∵当Δ＝0,方程有两个相等的实数根；∵当Δ＜0,方程没有实数根．20．(本题8分)（浙江鄞州·八年级期末）随着“共享经济”的概念迅速普及,共享汽车也进入了人们的视野,某共享汽车租赁公司年初在某地投放了一批共享汽车,全天包车的租金定为每辆120元．据统计,三月份的全天包车数为25次,在租金不变的基础上,四、五月的全天包车数持续走高,五月份的全天包车数达到64次．（1）若从三月份到五月份的全天包车数月平均增长率不变,求全天包车数的月平均增长率；（2）从六月份起,该公司决定降低租金,经调查发现,租金每降价a 元,全天包车数增加1.6a 次,当租金降价多少元时,公司将获利8800元？【答案】（1）全天包车数的月平均增长率为60％；（2）当租金降价10元或70元时,公司将获利8800元． 【解析】 【分析】（1）设全天包车数的月平均增长率为x ,根据题意可得()225164x +=,进而求解即可； （2）由题意易得()()12064 1.68800a a -+=,进而求解即可． 【详解】解：（1）设全天包车数的月平均增长率为x ,由题意得：()225164x +=,解得：120.6, 2.6x x ==-（舍去）, 答：全天包车数的月平均增长率为60％． （2）由题意得：()()12064 1.68800a a -+=,解得：1210,70a a ==；答：当租金降价10元或70元时,公司将获利8800元． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用,熟练掌握一元二次方程的应用是解题的关键． 21．(本题8分)（2019·浙江嘉兴·八年级期末）如图,长方形ABCD 中（长方形的对边平行且相等,每个角都是90°）,AB ＝6cm,AD ＝2cm,动点P ,Q 分别从点A ,C 同时出发,点P 以2cm/s 的速度向终点B 移动,点Q 以1cm/s 的速度向点D 移动,当有一点到达终点时,另一点也停止运动,设运动的时间为t （s ）,问： （1）当t ＝1s 时,四边形BCQP 面积是多少？ （2）当t 为何值时,点P 和点Q 距离是3cm ？（3）当t ＝ s 时,以点P ,Q ,D 为顶点的三角形是等腰三角形．（直接写出答案）【答案】（1）5cm 2；（2（365【解析】 【分析】（1）当t =1时,可以得出CQ =1cm,AP =2cm,就有PB =6-2=4（cm ）,由梯形的面积就可以得出四边形BCQP 的面积；（2）如图1,作QE ∵AB 于E ,在Rt∵PEQ 中,由勾股定理建立方程求出其解即可,如图2,作PE ∵CD 于E ,在Rt∵PEQ 中,由勾股定理建立方程求出其解即可；（3）分情况讨论,如图3,当PQ =DQ 时,如图4,当PD =PQ 时,如图5,当PD =QD 时,由等腰三角形的性质及勾股定理建立方程就可以得出结论．【详解】解：（1）如图,∵四边形ABCD是矩形,∵AB＝CD＝6,AD＝BC＝2,∵A＝∵B＝∵C＝∵D＝90°．∵CQ＝1cm,AP＝2cm,∵AB＝6﹣2＝4（cm）．∵S＝()14252+⨯=（cm2）．答：四边形BCQP面积是5cm2；（2）如图1,作QE∵AB于E,∵∵PEQ＝90°,∵∵B＝∵C＝90°,∵四边形BCQE是矩形,∵QE＝BC＝2cm,BE＝CQ＝t（cm）．∵AP＝2t（cm）,∵PE＝6﹣2t﹣t＝（6﹣3t）cm．在Rt△PQE中,由勾股定理,得（6﹣3t）2+4＝9,解得：t如图2,作PE∵CD于E,∵∵PEQ＝90°．∵∵B＝∵C＝90°,∵四边形BCQE是矩形,∵PE＝BC＝2cm,BP＝CE＝6﹣2t．∵CQ＝t,∵QE＝t﹣（6﹣2t）＝3t﹣6在Rt△PEQ中,由勾股定理,得（3t﹣6）2+4＝9,解得：t综上所述：t（3）如图3,当PQ＝DQ时,作QE∵AB于E,∵∵PEQ＝90°,∵∵B＝∵C＝90°,∵四边形BCQE是矩形,∵QE＝BC＝2cm,BE＝CQ＝t（cm）．∵AP＝2t,∵PE＝6﹣2t﹣t＝6﹣3t．DQ＝6﹣t．∵PQ＝DQ,∵PQ＝6﹣t．在Rt△PQE中,由勾股定理,得（6﹣3t）2+4＝（6﹣t）2,解得：t 如图4,当PD ＝PQ 时,作PE ∵DQ 于E ,∵DE ＝QE ＝12DQ ,∵PED ＝90°． ∵∵A ＝∵D ＝90°, ∵四边形APED 是矩形, ∵PE ＝AD ＝2cm ．DE ＝AP ＝2t , ∵DQ ＝6﹣t , ∵DE ＝62t- ． ∵2t ＝62t-, 解得：t ＝65；如图5,当PD ＝QD 时,∵AP ＝2t ,CQ ＝t , ∵DQ ＝6﹣t , ∵PD ＝6﹣t ．在Rt △APD 中,由勾股定理,得 4+4t 2＝（6﹣t ）2,解得t 1t 2．综上所述：t 6565【点睛】本题主要考查了矩形的性质的运用,勾股定理的运用,等腰三角形的性质的运用,梯形的面积公式的运用,一元二次方程的解法的运用．解答时灵活运用动点问题的求解方法是关键．22．(本题9分)（浙江杭州·八年级期末）已知关于x的方程x2﹣（2k+1）x+4（k﹣12）＝0．（1）求证：无论k为何值时,方程总有两个实数根．（2）若等腰∵ABC的一边长a＝4,另两边b、c恰好是这个方程的两个实数根,求∵ABC 的周长．【答案】（1）见解析；（2）10【解析】【分析】（1）先把方程化为一般式：x2-（2k+1）x+4k-2=0,要证明无论k取任何实数,方程总有两个实数根,即要证明∵≥0；（2）先利用因式分解法求出两根：x1=2,x2=2k-1．先分类讨论：若a=4为底边；若a=4为腰,分别确定b,c的值,求出三角形的周长．【详解】解：（1）证明：方程化为一般形式为：x2﹣（2k+1）x+4k﹣2＝0,∵∵＝（2k+1）2﹣4（4k﹣2）＝（2k﹣3）2,而（2k﹣3）2≥0,∵∵≥0,所以无论k取任何实数,方程总有两个实数根；（2）解：x2﹣（2k+1）x+4k﹣2＝0,整理得（x﹣2）[x﹣（2k﹣1）]＝0,∵x1＝2,x2＝2k﹣1,当a＝4为等腰∵ABC的底边,则有b＝c,因为b、c恰是这个方程的两根,则2＝2k﹣1,解得k＝32,则三角形的三边长分别为：2,2,4,∵2+2＝4,这不满足三角形三边的关系,舍去；当a＝4为等腰∵ABC的腰,因为b、c恰是这个方程的两根,所以只能2k﹣1＝4,则三角形三边长分别为：2,4,4,此时三角形的周长为2+4+4＝10．所以∵ABC的周长为10．【点睛】本题考查了根的判别式,根与系数的关系,等腰三角形的性质,掌握根的判别式是解题的关键．23．(本题10分)（浙江·八年级期末）新冠疫情蔓延全球,口罩成了人们的生活必须品,某药店销售普通口罩和N95口罩,今年8月份的进价如下表：（1）计划N95口罩每包售价比普通口罩贵16元,7包普通口罩和3包N95口罩总售价相同,求普通口罩和N95口罩每包售价；（2）按（1）中售价销售一段时间后发现普通口罩的日均销售量为120包,当每包售价降价1元时,日均销售量增加20包,该药店秉承让利于民的原则,对普通口罩进行降价销售,但要保证当天的利润为320元,求此时普通口罩每包售价；（3）疫情期间,该药店进货2万包N95口罩,进价不变,店长向当地医院捐赠了a包()≤≤,该款口罩,剩余的N95口罩向市民销售,若这2万包口罩的利润等于a6000700010,则N95口罩每包售价是________元．（直接写出答案,售价为整数元）0【答案】（1）普通口罩和N95 口罩每包售价分别为12元和28元；（2）10元；（3）32【解析】【分析】（1）设普通口罩和N95 口罩每包售价分别为x 元和y 元,建立二元一次方程组,求解即可得到答案；（2）设普通口罩每包售价降低 a 元；根据当天的利润=每个普通口罩的利润⨯当日普通口罩销售量的关系,列出并求解方程,即可得到答案；（3）设N95口罩每包售价是x元；根据总售价-总成本=总利润的关系,列出方程,再结合a的取值范围,求解不等式,即可完成求解．【详解】（1）设普通口罩和N95 口罩每包售价分别为x 元和y 元由题意得,1673x yx y +=⎧⎨=⎩ 解得12x =,28y =∵普通口罩和 N95 口罩每包售价分别为 12 元和 28 元. （2）设普通口罩每包售价降低 a 元 由题意得()()12812020320a a --+= 解得：a=2,a=-4（舍去）∵此时普通口罩每包售价为 12-2=10元; （3）设N95口罩每包售价是x 元由题意得()200002000020200002010%x a --⨯=⨯⨯ ∵20000222220000=200001a x x ⨯⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ ∵60007000a ≤≤ ∵22200001-700022200001-6000x x ⎧⎛⎫≤ ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪≥ ⎪⎪⎝⎭⎩∵2271-202261-20x x ⎧≤⎪⎪⎨⎪≥⎪⎩∵1133133317x x ⎧≤⎪⎪⎨⎪≥⎪⎩即3113133713x ≤≤x=32或33．当x=33时,a 不是整数, ∵N95口罩每包售价是32元． 【点睛】本题考察了二元一次方程组、一元二次方程、分式方程和不等式的知识；求解的关键是熟练掌握二元一次方程组、一元二次方程、分式方程和不等式的性质,从而完成求解．。
第二章《一元二次方程》期末复习卷(含答案)2020-2021学年浙教版数学八年级下册
2021年浙教版数学八年级下册《一元二次方程》期末复习卷一、选择题1.下列方程中是一元二次方程的是( )A.3(x＋1)2=2(x－1)B.1x2＋1x－2=0 C.ax2＋bx＋c=0 D.x2＋2x=(x＋1)(x－1)2.下列方程是一元二次方程的一般形式的是（）A.（x﹣1）2=16B.3（x﹣2）2=27C.5x2﹣3x=0D. x2+2x=83.已知x=3是关于x的方程x2+kx﹣6=0的一个根，则另一个根是（）A.x=1B.x=﹣1C.x=﹣2D.x=24.方程(x+2)2=9的适当的解法是( )A.直接开平方法B.配方法C.公式法D.因式分解法5.一元二次方程2x2+3x+1=0用配方法解方程，配方结果是( )A. B.C. D.6.用公式法解方程4x2﹣12x=3所得的解正确的是( )A.x=B.x=C.x=D.x=7.方程9(x+1)2﹣4(x﹣1)2=0正确解法是( )A.直接开方得3(x+1)=2(x﹣1)B.化为一般形式13x2+5=0C.分解因式得[3(x+1)+2(x﹣1)][3(x+1)﹣2(x﹣1)]=0D.直接得x+1=0或x﹣l=08.下列方程中两实数根互为倒数有（）①x2﹣2x﹣1=0；②2x2﹣7x+2=0；③x2﹣x+1=0．A.0个B.1个C.2个D.3个9.若关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x+2=0有实数根，则整数a的最大值为（）A.0B.1C.2D.310.如图，某小区计划在一块长为32 m，宽为20 m的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为570 m2.若设道路的宽为x m，则下面所列方程正确的是( )A．(32－2x)(20－x)=570B．32x＋2×20x=32×20－570C．(32－x)(20－x)=32×20－570D．32x＋2×20x－2x2=57011.共享单车为市民出行带来了方便，某单车公司第一个月投放1 000辆单车，计划第三个月投放单车数量比第一个月多440辆.设该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为x，则所列方程正确的为( )A.1 000(1＋x)2=1 000＋440B.1 000(1＋x)2=440C.440(1＋x)2=1 000D.1 000(1＋2x)=1 000＋44012.三角形两边长分别为2和4，第三边是方程x2－6x+8=0的解,则这个三角形的周长是（）．A.8B.8或10C.10D.8和10二、填空题13.若关于x的一元二次方程(a－2)x2－(a2－4)x＋8=0不含一次项，则a= .14.已知m是关于x的方程x2﹣2x﹣3=0的一个根，则2m2﹣4m= ．15.已知x1,x2是关于x的方程x2+ax-2b=0的两实数根,且x1+x2=-2,x1·x2=1,则b a的值是 .16.若一元二次方程(m﹣1)x2﹣4x﹣5=0没有实数根，则m的取值范围是______.17.某药品原价每盒25元，为了响应国家解决老百姓看病贵的号召，经过连续两次降价，现在售价每盒16元，则该药品平均每次降价的百分率是．18.如图是一张长9cm、宽5cm的矩形纸板，将纸板四个角各剪去一个同样的正方形，可制成底面积是12cm2的一个无盖长方体纸盒，设剪去的正方形边长为xcm，则可列出关于x的方程为．三、计算题19.用直接开平方法解方程：(x﹣2)2=3；20.用配方法解方程：x2=3﹣2x21.用公式法解方程：6x2－11x＋4=2x－2；22.用因式分解法解方程：3x(x－2)=2(x－2).四、解答题23.已知关于x的一元二次方程x2﹣ax+2=0的两实数根x1、x2满足x1x2=x1+x2﹣2．（1）求a的值；（2）求出该一元二次方程的两实数根．24.已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+m=0.(1)若方程有实数根，求实数m的取值范围；(2)若方程两实数根为x1，x2，且满足5x1+2x2=2，求实数m的值.25.有一人患了流感，经过两轮传染后共有64人患了流感．(1)求每轮传染中平均一个人传染了几个人？(2)如果不及时控制，第三轮将又有多少人被传染？26.某汽车销售公司6月份销售某厂家的汽车，在一定范围内，每部汽车的进价与销售量有如下关系：若当月仅售出1部汽车，则该部汽车的进价为27万元，每多售出1部，所有售出的汽车的进价均降低0.1万元/部，月底厂家根据销售量一次性返利给销售公司，销售量在10部以内（含10部），每部返利0.5万元；销售量在10部以上，每部返利1万元．（1）若该公司当月卖出3部汽车，则每部汽车的进价为万元；（2）如果汽车的售价为28万元/部，该公司计划当月盈利12万元，那么需要售出多少部汽车？（盈利=销售利润+返利）参考答案1.答案为：A.2.答案为：C3.答案为：C4.答案为：A.5.答案为：B.6.答案为：D.7.答案为：C.8.答案为：B ．9.答案为：A.10.答案为：A11.答案为：A12.答案为：C13.答案为：-2.14.答案为：6．15.答案为：0.25.16.答案为：m ＜0.2.17.答案为：百分率为20%．18.答案为：（9﹣2x ）•（5﹣2x ）=12． 19.解：x ﹣2=±，∴，x 2=2﹣， 20.解：x 2+2x=3，配方得：x 2+2x+1=3+1，(x+1)2=4，开方得：x=﹣1±2，x 1=1，x 2=﹣3；21.解：原方程可化为6x 2－13x ＋6=0.a=6，b=－13，c=6.Δ=b 2－4ac=(－13)2－4×6×6=25. x=13±252×6=13±512， x 1=32，x 2=23. 22.解：原方程变形为3x(x －2)－2(x －2)=0，即(3x －2)(x －2)=0，∴x 1=23，x 2=2. 23.解：（1）∵x 1+x 2=a ，x 1x 2=2，又x 1x 2=x 1+x 2﹣2，∴a ﹣2=2，a=4；（2）方程可化为x 2﹣4x+2=0，∴（x ﹣2）2=2，解得：x ﹣2= 或x ﹣2=﹣，∴x 1=2+，x 2=2﹣． 24.解：(1)∵方程有实数根，∴△=(﹣4)2﹣4m=16﹣4m ≥0，∴m ≤4；(2)∵x 1+x 2=4，∴5x 1+2x 2=2(x 1+x 2)+3x 1=2×4+3x 1=2，∴x 1=﹣2，把x 1=﹣2代入x 2﹣4x+m=0得：(﹣2)2﹣4×(﹣2)+m=0，解得：m=﹣12.25.解：(1)设每轮传染中平均一个人传染了x 人，则1＋x ＋x(x ＋1)=64.解得x 1=7，x 2=-9(舍去)．答：每轮传染中平均一个人传染了7个人．(2)64×7=448(人)．答：第三轮将又有448人被传染．26.解：（1）∵若当月仅售出1部汽车，则该部汽车的进价为27万元，每多售出1部，所有售出的汽车的进价均降低0.1万元/部，∴若该公司当月售出3部汽车，则每部汽车的进价为：27−0.1×（3−1）＝26.8，故答案为：26.8；（2）设需要售出x 部汽车，由题意可知，每部汽车的销售利润为：28−[27−0.1（x −1）]＝（0.1x ＋0.9）（万元），当0≤x ≤10，根据题意，得x •（0.1x ＋0.9）＋0.5x ＝12，整理，得x 2＋14x −120＝0，解这个方程，得x 1＝−20（不合题意，舍去），x 2＝6，当x ＞10时，根据题意，得x•（0.1x＋0.9）＋x＝12，整理，得x2＋19x−120＝0，解这个方程，得x1＝−24（不合题意，舍去），x2＝5，因为5＜10，所以x2＝5舍去．答：需要售出6部汽车．。
第17章一元二次方程(基础、常考、易错、压轴)分类专项训练(解析版)
第17章一元二次方程（基础、常考、易错、压轴）分类专项训练【基础】一、单选题1．（2022·上海·八年级期末）下列关于x 的方程一定有实数根的是（ ）A ．0x a -=B ．210ax -=C ．10ax -=D ．20x a -=【答案】A【分析】分别根据方程的解得定义，从a 的取值出发进行判断．【详解】解：A 、0x a -=有实数解x a =，故符合；B 、210ax -=，当a=0时，等式不成立，即方程无实数解，故不符合；C 、10ax -=，当a=0时，等式不成立，即方程无实数解，故不符合；D 、20x a -=，当a ＜0时，等式不成立，即方程无实数解，故不符合；故选A ．【点睛】本题考查了方程的解，解题的关键是理解方程的解的定义，对a 值进行取值验证．2．（2022·上海松江·八年级期末）某果园今年栽种果树300棵，现计划扩大种植面积，使今后两年的栽种量都比前一年增长一个相同的百分数，这样三年（包括今年）的总栽种量为2100棵．若这个百分数为x ，则由题意可列方程为（ ）A ．2300(1)2100x +=B ．2300300(1)2100x ++=C ．2300(1)300(1)2100x x +++-D ．2300300(1)300(1)2100x x ++++=【答案】D【分析】先表示出各年栽种果树棵数，进而列出方程即可．【详解】解：设这个百分数为x ，今年栽种果树300棵，第二年栽种果树300（1+x ）棵，第三年栽种果树300（1+x ）2棵，根据题意列方程得，300+300（1+x ）+300（1+x ）2＝2100，故选：D ．【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，分别表示出各年的栽种数量是解题关键．3．（2022·上海徐汇·八年级期末）下列方程中，没有实数根的是（ ）A ．2310x x --=B ．230x x -=C ．2210x x -+=D ．2230x x -+=【答案】D【分析】利用一元二次方程根的判别式，即可求解．【详解】解：A 、()()2341130D =--´-=> ，所以方程有两个不相等的实数根，故本选项不符合题意；B 、()234090D =--´=>，所以方程有两个不相等的实数根，故本选项不符合题意；C 、()22410D =--´=，所以方程有两个相等的实数根，故本选项不符合题意；D 、()224380D =--´=-<，所以方程没有的实数根，故本选项符合题意；故选：D【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握二次函数()20y ax bx c a =++¹ ，当240b ac D =-> 时，方程有两个不相等的实数根；当240b ac D =-= 时，方程有两个相等的实数根；当240b ac D =-< 时，方程没有实数根是解题的关键．4．（2022·上海市刘行新华实验学校八年级阶段练习）关于x 的方程220x kx k -+-=，下列说法中正确的是（ ）A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．没有实数根D ．无法确定【答案】A【分析】计算出Δ=（-k ）2-4×1×（k -2）=（k -2）2+4＞0即可得出结论．【详解】解：Δ=（-k ）2-4×1×（k -2）=（k -2）2+4＞0，所以方程有两个不相等的实数根．故选：A ．【点睛】本题主要考查根的判别式，一元二次方程ax 2+bx +c =0（a ≠0）的根与Δ=b 2-4ac 有如下关系：①当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；②当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；③当Δ＜0时，方程无实数根．二、填空题5．（2022·上海市刘行新华实验学校八年级阶段练习）若方程3x 2－5x －2=0有一个根是a ，则6a 2－10a 的值为______【答案】4【分析】根据一元二次方程的解的定义，将x =a 代入方程3x 2-5x -2=0，列出关于a 的一元二次方程，通过变形求得3a 2-5a 的值后，将其整体代入所求的代数式并求值即可．【详解】解：∵方程3x2-5x-2=0的一个根是a，∴3a2-5a-2=0，∴3a2-5a=2，∴6a2-10a=2（3a2-5a）=2×2=4．故答案是：4．【点睛】此题主要考查了方程解的定义．此类题型的特点是，利用方程解的定义找到相等关系，再把所求的代数式化简后整理出所找到的相等关系的形式，再把此相等关系整体代入所求代数式，即可求出代数式的值．6．（2022·上海·八年级期中）现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高速发展，某快递公司今年3月份和5月份完成投送的快递件数分别是20万件和24.2万件，假设该公司每月投送快递件数的增长率相等，那么该公司每月的增长率是_____．【答案】10%【分析】设该快递公司投递快递总件数的月平均增长率为x，根据今年3月份和5月份完成投递的快递总件数分别为20万件和24.2万件即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．【详解】解：设该快递公司投递快递总件数的月平均增长率为x，由题意，得20（1+x）2=24.2，解得：x1=10%，x2=-210%（不合题意舍去）．答：该快递公司投递快递总件数的月平均增长率为10%．故答案是：10%．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是：根据3月份与5月份完成投递的快递总件数之间的关系列出关于x的一元二次方程．7．（2022·上海市崇明区横沙中学八年级期末）方程22x x=的解是________．8．（2022·上海市罗星中学八年级期末）方程222x x x -=-的根是______．【答案】121,2x x ==【分析】根据因式分解法解一元二次方程即可求解．【详解】解：222x x x -=-，()()220x x x ---=，()()120x x --=，解得121,2x x ==．故答案为：121,2x x ==．【点睛】本题考查了因式分解法解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．9．（2022·上海市罗南中学八年级阶段练习）用换元法解分式方程222232x x x x x x+=++时，如果设22x y x x=+，那么原方程化为关于y 的整式方程是_______________．10．（2022·上海市刘行新华实验学校八年级阶段练习）已知k 是方程2201810x x -+=的一个根，那么1kk +=______；2220182017k 1k k -++______．11．（2022·上海市崇明区横沙中学八年级期末）如果关于x的方程22(21)0x m x m--+=有两个不相等的实数根，那么m的取值范围是________．【答案】14m<##0.25m<12．（2022·上海市崇明区横沙中学八年级期末）如果m 是方程2340x x --=的一个根，那么代数式226m m -的值为________．【答案】8【分析】由方程的解的定义可知2340m m --=，即234m m -=．将226m m -变形为22(3)m m -，再整体代入求值即可．【详解】∵m 是方程2340x x --=的一个根，∴2340m m --=，∴234m m -=，∴22262(3)248m m m m -=-=´=．故答案为：8【点睛】本题考查一元二次方程的解的定义，代数式求值．利用整体代入的思想是解题关键．13．（2022·上海·八年级期末）疫情期间，某快递公司推出无接触配送服务，第一周的订单数是5万件，第三周的订单数比第一周增加2.8万件，如果设平均每周订单数的增长率为x ，那么符合题意的方程是 ___．【答案】5（1+x ）2=5+2.8【分析】根据该快递公司第一周及第三周订单总件数，即可得出关于x 的一元二次方程，此题得解．【详解】解：设平均每周订单数的增长率为x ，根据题意得：5（1+x ）2=5+2.8，故答案为：5（1+x ）2=5+2.8．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，找到等量关系是正确列出一元二次方程的关键．三、解答题14．（2022·上海·八年级专题练习）自“双减”政策推行以来，基层教师的工作时间持续增加，已知第一周平均工作时长为40小时，到第三周时，教师周工作时间为48.4小时，若这几周工作时间的增长率相同，求这个增长率．【答案】这个增长率为10%【分析】设这几周工作时间的增长率为x ，根据题意列方程求解即可．【详解】解：设这几周工作时间的增长率为x ，由题意可得：240(1)48.4x +=解得10.1x =，2 2.1x =-（舍去）答：这个增长率为10%【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意找到等量关系，列出方程．15．（2022·上海·八年级专题练习）为加快新旧动能转换，提高公司经济效益，某公司决定对近期研发出的一种电子产品进行降价促销，使生产的电子产品能够及时售出，根据市场调查：这种电子产品销售单价定为200元时，每天可售出300个；若销售单价每降低1元，每天可多售出5个．已知每个电子产品的固定成本为100元，问这种电子产品降价后的销售单价为多少元时，公司每天可获利32000元？【答案】销售单价为180元时，公司每天可获利32000元【分析】根据题意设降价后的销售单价为x 元，由题意得到1003005200[32000]x x -+-（）（）＝，则可得到答案.【详解】解：设降价后的销售单价为x 元，则降价后每天可售出3005200[]x +-（）个，依题意，得：1003005200[32000]x x -+-（）（）＝，整理，得：2360324000x x +﹣＝，解得：12180x x ＝＝．180200＜，符合题意．答：这种电子产品降价后的销售单价为180元时，公司每天可获利32000元．【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的实际应用.16．（2022·上海市罗南中学八年级阶段练习）已知2x =是关于x 的方程320x x ax --=的一个根，求a 的值并解此方程．【答案】1232021a x x x ====-，，，【分析】将2x =代入即可求出a 的值，再利用因式分解法求方程的解．【详解】解：将2x =代入320x x ax --=得：8420a --=，解得2a =，∴原方程为：3220x x x --=，∴(2)(1)0x x x -+=，∴123021x x x ===-，，．【点睛】本题考查方程的解，因式分解法解方程，熟练运用因式分解是解题的关键．17．（2022·上海市刘行新华实验学校八年级阶段练习）关于x 的一元二次方程()2104k kx k x +++=．(1)若该方程有两个不相等的实数根，求k 的取值范围；(2)若该方程有两个相等的实数根，求该方程的解．18．（2022·上海市刘行新华实验学校八年级阶段练习）解方程：2132-+=x x x 【答案】x 1=2，x 2=-0.5．【分析】先整理为一般式，再利用因式分解法求解可得．【详解】解：将方程整理为一般式为2x 2-3x -2=0，∵（x-2）（2x+1）=0，∴x-2=0或2x+1=0，解得x1=2，x2=-0.5．【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．19．（2022·上海市崇明区横沙中学八年级期末）解方程：21320 32x x-++-=20．（2022·上海·八年级专题练习）去年某商店第一季度营业额为120万元，第二季度的营业额比第一季度增长了25%，第三、第四季度营业额的增长率相同，且第四季度的营业额为216万元．求：（1）该店第二季度的营业额；（2）该店第三、第四季度营业额的增长率．（2）设该店第三、第四季度营业额的增长率为x ，150（1＋x ）2＝216，解得x 1＝0.2，x 2＝﹣2.2（舍去），答：该店第三、第四季度营业额的增长率是20%．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．21．（2022·上海·八年级专题练习）如图，某建筑工程队在一堵墙边上用20米长的铁栏围成一个面积为60平方米的长方形仓库，已知可利用的墙长是11米，铁栅栏只围三边，且在正下方要造一个2米宽的门．问：以上要求所围成长方形的两条邻边的长分别是多少米？【答案】仓库的长与宽分别为10米和6米【分析】仓库的宽为x 米，则可以知道该仓库的长为：()2022222x x -+=-米，然后根据长方形面积公式列出方程求解即可．【详解】解：设仓库的宽为x 米，根据题意，可以知道该仓库的长为：()2022222x x -+=-米由题意可列出方程：()22260x x -=整理，得211300x x -+=，解方程，得15=x ，26x =，当5x =时，长=22212x -=，不合题意舍去，当6x =时，长=22210x -=，符合题意，答：仓库的长与宽分别为10米和6米．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，解题的关键在于能够准确根据题意列出方程求解．22．（2022·上海·八年级专题练习）某纸箱厂要生产一批无盖纸盒，购进了长为20厘米，宽为16厘米的长方形硬纸板，将硬纸板的四个角剪掉四个小正方形（如图所示），剩下的部分正好做成无盖纸盒（不计损耗），若纸盒的底面面积为140平方厘米，则剪下的小正方形的边长是多少厘米？【答案】3厘米【分析】根据题意设小正方形的边长为x ，则底面为长为()202x -厘米，宽为()162x -厘米的长方形，根据其面积为140平方厘米，建立一元二次方程，解方程求解即可，并根据条件取舍结果．【详解】解：设设小正方形的边长为x ，根据题意得：()202x -()162x -140=解得123,15x x ==Q 宽为()162x -0>解得4x <3x \=答：剪下的小正方形的边长是3厘米【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程是解题的关键．23．（2022·上海·八年级专题练习）制造一种产品，原来每件成本价500元，销售价625元，经市场预测，两个月后销售价将下降15.2%，为保证利润不变，必须降低成本，问平均每个月下降成本的百分比是多少？【答案】平均每个月下降成本的百分比是10%．【分析】设平均每个月成本下降x ，分别表示出下降后的售价及成本即可列出方程求解．【详解】解：设平均每个月成本下降x ，根据题意得：625（1-15.2%）-500（1-x ）2=625-500，解得：x =-1.9（舍去）或x =0.1=10%，答：平均每个月下降成本的百分比是10%．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是表示出下降后的成本和售价，难度不大．24．（2022·上海·八年级期中）如图，在一块长为30米，宽为20米的长方形空地上，建两幢底部是长方形的小楼房，其余部分铺设草坪．要求这些草坪的宽都相等，并且两幢小楼房的底部面积的和与草坪的面积的比是1:3，求草坪的宽度．25．（2022·上海·八年级专题练习）如图，根据防疫的相关要求，学生入校需晨检，体温超标的同学须进入临时隔离区进行留观．我校要建一个面积为10平方米的长方形临时隔离区，隔离区的一面利用学校边墙（墙长4.5米），其它三面用防疫隔离材料搭建，与墙垂直的一边还要开一扇1米宽的进出口（不需材料），共用防疫隔离材料8米，求这个隔离区的长和宽分别是多少米？【答案】隔离区的长为4米和宽2.5米【常考】一、单选题1．（2021·上海·八年级期中）下列方程中，是一元二次方程的是（ ）A．ax2+bx+c＝0B．4x21＝0C．x2+4＝0D．3x2+x+1x＝02．（2021·上海·八年级期中）下列方程中，属于一元二次方程的是（）A．2356x x-=B．120x-=C．224x y+=D．610x+=【答案】A【分析】根据一元二次方程的定义逐一判断即可，只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程．二、填空题3．（2020·上海市格致初级中学八年级期中）某校八年级举行足球比赛，每个班级都要和其他班级比赛一次，结果一共进行了6场比赛，则八年级共有_____个班级．4．（2021·上海·八年级期中）若关于x 的方程()211270aa x x +-+-=是一元二次方程，则=a ___________．【答案】1-【分析】根据一元二次方程的定义得到由此可以求得a 的值．【详解】∵关于x 的方程（a ﹣1）xa 2+1﹣7＝0是一元二次方程，∴a 2+1＝2，且a ﹣1≠0，解得，a ＝﹣1．故答案为﹣1．【点睛】本题考查了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c=0（且a≠0）．三、解答题5．（2020·上海市格致初级中学八年级期中）用配方法解方程：x2＝4．6．（2022·上海·八年级专题练习）解方程：2-=-x x31213二次方程，一定要注意舍去不合理的根．【易错】一．选择题（共4小题）1．（2021秋•崇明区校级期末）下列方程中，属于一元二次方程的是（ ）A．32x﹣1＝0B．x+＝3C．x2＝（x﹣2）（x+1）D．（x﹣2）（x+2）+4＝0【分析】根据一元二次方程的定义判断即可．【解答】解：A．32x﹣1＝0，是一元一次方程，故A不符合题意；B．是分式方程，故B不符合题意；C．方程整理可得x+2＝0，是一元一次方程，故C不符合题意；D．（x﹣2）（x+2）+4＝0是一元二次方程，故D符合题意；故选：D．【点评】本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键，注意：只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程，叫一元二次方程．2．（2021秋•普陀区校级期中）若方程（m﹣1）x2+x＝1是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是（ ）A．m≠1B．m≥0C．m≥0且m≠1D．m为任何实数【分析】一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．结合二次根式有意义的条件，被开方数是非负数即可求得．【解答】解：根据题意得：解得：m≥0且m≠1．故选：C．【点评】本题主要考查两个知识点：一元二次方程的定义和二次根式有意义的条件，特别要注意二次项系数a≠0这一条件，当a＝0时，上面的方程就不是一元二次方程了．3．（2021春•浦东新区校级月考）若x＝1是方程（k﹣1）x2+（k2﹣1）x﹣k+1＝0的一个根，则k值满足（ ）A．k＝±1B．k＝1C．k＝﹣1D．k≠±1【分析】方程的根就是能够使方程左右两边相等的未知数的值；利用这一知识点求出未知字母系数后，要善于观察未知数的系数；将x＝1代入原方程即可解得k的值．【解答】解：把x＝1代入方程（k﹣1）x2+（k2﹣1）x﹣k+1＝0，可得k﹣1+k2﹣1﹣k+1＝0，即k2＝1，解得k＝﹣1或1；但当k＝1时k﹣1和k2﹣1均等于0，故应舍去；所以，取k＝﹣1；故选：C．【点评】此题应特别注意求出未知字母系数的值后，要代入原方程看是否符合题意．4．（2021春•浦东新区月考）某农机厂四月份生产零件50万个，第二季度共生产零件182万个．设该厂五、六月份平均每月的增长率为x，那么x满足的方程是（ ）A．50（1+x）2＝182B．50+50（1+x）+50（1+x）2＝182C．50（1+2x）＝182D．50+50（1+x）+50（1+2x）＝182【分析】主要考查增长率问题，一般增长后的量＝增长前的量×（1+增长率），如果该厂五、六月份平均每月的增长率为x，那么可以用x分别表示五、六月份的产量，然后根据题意可得出方程．【解答】解：依题意得五、六月份的产量为50（1+x）、50（1+x）2，∴50+50（1+x）+50（1+x）2＝182．故选：B．【点评】增长率问题，一般形式为a（1+x）2＝b，a为起始时间的有关数量，b为终止时间的有关数量．二．填空题（共4小题）5．（2021秋•普陀区校级月考）关于x的方程（m﹣3）x+（m﹣2）x+5＝0是一元二次方程，则m的值为 ﹣3 ．【分析】本题根据一元二次方程的定义解答，一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）只含有一个未知数．【解答】解：∵关于x的方程（m﹣3）x+（m﹣2）x+5＝0是一元二次方程，∴，解得m＝﹣3．故答案为：﹣3．【点评】本题利用了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c＝0（且a≠0）．特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．6．（2021秋•浦东新区校级月考）关于x的方程（m+5）x2﹣2mx﹣4＝0是一个一元二次方程，那么m的取值范围是 m≠﹣5 ．【分析】根据一元二次方程的定义可得m+5≠0，再解不等式即可．【解答】解：由关于x的方程（m+5）x2﹣2mx﹣4＝0是一个一元二次方程，得m+5≠0，解得m≠﹣5．故答案为：m≠﹣5．【点评】本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键，注意：只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程，叫一元二次方程．7．（2021秋•宝山区校级月考）当m ≠2 时，关于x的方程mx2+4x＝2x2﹣mx+6是一元二次方程．【分析】根据一元二次方程的定义（含有一个未知数，并且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程）进行解答即可．【解答】解：mx2+4x＝2x2﹣mx+6，mx2+4x﹣2x2+mx﹣6＝0，（m﹣2）x2+（m+4）x﹣6＝0，∵关于x的方程mx2+4x＝2x2﹣mx+6是一元二次方程，∴m﹣2≠0，解得m≠2．故答案为：≠2．【点评】本题考查了一元二次方程的定义，解题时，要注意两个方面：1、一元二次方程包括三点：①是整式方程，②只含有一个未知数，③所含未知数的项的最高次数是2；2、一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c＝0（a≠0）．8．（2022•普陀区二模）如果关于x的方程（x﹣1）2＝m没有实数根，那么实数m的取值范围是 m＜0 ．【分析】根据负数没有平方根，即可解答．【解答】解：如果关于x的方程（x﹣1）2＝m没有实数根，那么实数m的取值范围是：m＜0，故答案为：m＜0．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法，熟练掌握负数没有平方根是解题的关键．三．解答题（共2小题）9．（2022春•宝山区校级月考）解关于x的方程：mx2+4＝3（1﹣x2）（m≠﹣3）．【分析】先把方程变形为x2＝，然后讨论当m＞﹣3时，方程没有实数解；当m＜﹣3时，利用直接开平方法解方程，即可解答．【解答】解：mx2+4＝3（1﹣x2），mx2+4＝3﹣3x2，（m+3）x2＝﹣1，x2＝，当m＞﹣3时，方程没有实数解；当m＜﹣3时，x＝±＝±，∴m1＝，m2＝﹣．【点评】本题考查了一元二次方程的定义，解一元二次方程﹣直接开平方法，熟练掌握解一元二次方程﹣直接开平方法是解题的关键．10．（2021秋•虹口区校级期末）解关于x的方程：a2（x2﹣x+1）﹣a（x2﹣1）＝（a2﹣1）x．【分析】按x的降幂排列整理方程，根据字母系数的取值分类讨论求解．【解答】解：整理方程得（a2﹣a）x2﹣（2a2﹣1）x+（a2+a）＝0．（1）当a2﹣a≠0，即a≠0，1时，原方程为一元二次方程，[ax﹣（a+1）][（a﹣1）x﹣a]＝0，x1＝，x2＝；（2）当a2﹣a＝0时，原方程为一元一次方程，当a＝0时，x＝0；当a＝1时，x＝2．【点评】考查运用分类讨论的思想解字母系数的方程，难度适中．【压轴】一．填空题（共2小题）1．（2021•上海模拟）对于实数a，b，定义运算“*”：a*b＝．例如4*2，因为4＞2，所以4*2＝42﹣4×2＝8．若x1，x2是一元二次方程x2﹣5x+6＝0的两个根，则x1*x2＝ 3或﹣3 ．【分析】首先解方程x2﹣5x+6＝0，再根据a*b＝，求出x1*x2的值即可．【解答】解：∵x1，x2是一元二次方程x2﹣5x+6＝0的两个根，∴（x﹣3）（x﹣2）＝0，解得：x＝3或2，①当x1＝3，x2＝2时，x1*x2＝32﹣3×2＝3；②当x1＝2，x2＝3时，x1*x2＝3×2﹣32＝﹣3．故答案为：3或﹣3．【点评】此题主要考查了因式分解法解一元二次方程以及利用材料分析解决新问题，根据已知进行分类讨论是解题关键．2．（2021秋•浦东新区期中）已知关于x的方程x2﹣（a+2）x+a﹣2b＝0的判别式等于0，且x＝是方程的根，则a+b的值为 ．【分析】由Δ＝[﹣（a+2）]2﹣4×（a﹣2b）＝0得一关于a，b的方程，再将x＝代入原方程又得一关于a，b的方程．联立两个方程组成方程组，解方程组即可求出a、b的值．【解答】解：由题意可得：Δ＝[﹣（a+2）]2﹣4×（a﹣2b）＝0，即a2+8b+4＝0，再将x＝代入原方程得：2a﹣8b﹣3＝0，根据题意得：两方程相加可得a2+2a+1＝0，解得a＝﹣1，把a＝﹣1代入2a﹣8b﹣3＝0中，可得b＝，则a+b＝．故填空答案为．【点评】此题考查了根的判别式，以及方程的解的定义，把求未知系数的问题转化为解方程组的问题．二．解答题（共6小题）3．（2021秋•奉贤区校级期中）关于x的一元二次方程mx2﹣（3m﹣1）x+2m﹣1＝0，其根的判别式的值为1，求m的值及该方程的解．【分析】由一元二次方程的Δ＝b2﹣4ac＝1，建立m的方程，求出m的解后再化简原方程并求解．【解答】解：由题意知，m≠0，Δ＝b2﹣4ac＝[﹣（3m﹣1）]2﹣4m（2m﹣1）＝1∴m1＝0（舍去），m2＝2，∴原方程化为：2x2﹣5x+3＝0，解得，x1＝1，x2＝3/2．【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用．切记不要忽略一元二次方程二次项系数不为零这一隐含条件．4．（2021秋•徐汇区校级期中）如果关于x的方程mx2﹣2（m+2）x+m+5＝0没有实数根，试判断关于x的方程（m﹣5）x2﹣2（m﹣1）x+m＝0的根的情况．【分析】根据题意：要使方程mx2﹣2（m+2）x+m+5＝0没有实数根，必有Δ＜0，解可得m的取值范围，将其代入方程（m﹣5）x2﹣2（m﹣1）x+m＝0的Δ公式中，判断Δ的取值范围，即可得出答案．【解答】解：①∵当m≠0时，方程mx2﹣2（m+2）x+m+5＝0没有实数根，∴Δ＝[﹣2（m+2）]2﹣4m（m+5）＝4（m2+4m+4﹣m2﹣5m）＝4（4﹣m）＜0．∴m＞4．对于方程（m﹣5）x2﹣2（m﹣1）x+m＝0．当m＝5时，方程有一个实数根；当m≠5时，Δ1＝[﹣2（m﹣1）]2﹣4m（m﹣5）＝12m+4．∵m＞4，∴Δ1＝12m+4＞0，方程有两个不相等的实数根．②当m＝0时，方程mx2﹣2（m+2）x+m+5＝0有实数根，不符合题意，答：当m＝5时，方程（m﹣5）x2﹣2（m﹣1）x+m＝0有一个实数根；当m＞4且m≠5时，此方程有两个不相等的实数根．【点评】主要考查一元二次方程根与系数之间的关系及根的情况的判断公式的使用；要求学生熟练掌本题易错点是忽视对第二个方程是否是一元二次方程进行讨论，这个方程可能是一元一次方程．5．（2022春•金山区校级期中）某经销店为厂家代销一种新型环保水泥，当每吨售价为260元时，月销售量为45吨，每售出1吨这种水泥共需支付厂家费用和其他费用共100元．该经销店为扩大销售量、提高经营利润，计划采取降价的方式进行促销，经市场调查发现，当每吨售价每下降10元时，月销售量就会增加7.5吨．（1）填空：当每吨售价是240元时，此时的月销售量是 60 吨；（2）该经销店计划月利润为9000元而且尽可能地扩大销售量，则售价应定为每吨多少元？【分析】（1）因为每吨售价每下降10元时，月销售量就会增加7.5吨，可求出当每吨售价是240元时，此时的月销售量是多少吨．（2）设当售价定为每吨x元时，根据当每吨售价为260元时，月销售量为45吨，每售出1吨这种水泥共需支付厂家费用和其他费用共100元，当每吨售价每下降10元时，月销售量就会增加7.5吨，且该经销店计划月利润为9000元而且尽可能地扩大销售量，以9000元作为等量关系可列出方程求解．【解答】解：（1）45+×7.5＝60；（2分）（2）设当售价定为每吨x元时，由题意，可列方程（x﹣100）（45+×7.5）＝9000．（2分）化简得x2﹣420x+44000＝0．解得x1＝200，x2＝220．（6分）当售价定为每吨200元时，销量更大，所以售价应定为每吨200元．【点评】本题考查理解题意能力，关键是找出降价10元，却多销售7.5吨的关系，从而列方程求解．6．（2021秋•徐汇区校级期末）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围．【分析】一元二次方程有两个不相等的实数根，则Δ＝b2﹣4ac＞0，结合一元二次方程的定义，求出k 的取值范围．【解答】解：由题意得：1﹣2k≠0即k≠，k+1≥0，即k≥﹣1Δ＝b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×（1﹣2k）×（﹣1）＝8﹣4k＞0，综合所述，得﹣1≤k＜2且，【点评】1、一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）Δ＝0⇔方程有两个相等的实数根；（3）Δ＜0⇔方程没有实数根2、切记不要忽略一元二次方程二次项系数不为零这一隐含条件．7．（2021秋•金山区校级期中）如图，某工程队在工地互相垂直的两面墙AE、AF处，用180米长的铁栅栏围成一个长方形场地ABCD，中间用同样材料分割成两个长方形．已知墙AE长120米，墙AF长40米，要使长方形ABCD的面积为4000平方米，问BC和CD各取多少米？【分析】设BC＝x米，则CD＝（180﹣2x）米，然后根据长方形的面积公式列出方程求解即可．【解答】解：设BC＝x米，则CD＝（180﹣2x）米．由题意，得：x（180﹣2x）＝4000，整理，得：x2﹣90x+2000＝0，解得：x＝40或x＝50＞40（不符合题意，舍去），∴180﹣2x＝180﹣2×40＝100＜120（符合题意）．答：BC＝40米，CD＝100米．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是用x表示CD的长，然后根据长方形的面积公式列出方程．8．（2020秋•浦东新区校级期中）某公司投资新建了一商场，共有商铺30间．据预测，当每间的年租金定为10万元时，可全部租出．每间的年租金每增加5000元，少租出商铺1间．该公司要为租出的商铺每间每年交各种费用1万元，未租出的商铺每间每年交各种费用5000元．（1）当每间商铺的年租金定为13万元时，能租出多少间？（2）当每间商铺的年租金定为多少万元时，该公司的年收益（收益＝租金﹣各种费用）为275万元？【分析】（1）直接根据题意先求出增加的租金是6个5000，从而计算出租出多少间；。
八年级下期末真题练习《一元二次方程》
八下期末真题《一元二次方程》1．下列方程属于一元二次方程的是（）（A）x2－2x－1＝0 （B）3x2＋2x＝0（C）3(x－1)＋2x＝0 （D）x2－6y－3＝02．方程①3x＝1；②x2＝7；③x＋y＝1；④xy＝1．其中为一元二次方程的序号是（）（A）①（B）②（C）③（D）④3．把一元二次方程(x＋2)(x－2)＝5x化成一般形式，正确的是（）A．x2－5x－4＝0 B．x2－5x＋4＝0 C．x2＋5x－4＝0 D．x2＋5x＋4＝0 4．一元二次方程x2－4x－6＝0经过配方可变形为（）（A）(x－2)2＝10 （B）(x＋2)2＝10 （C）(x－4)2＝6 （D）(x－2)2＝2 5．用配方法解方程x2－4x＋2＝0，下列配方正确的是（）A．(x－2)2＝2 B．(x＋2)2＝2 C．(x－2)2＝－2 D．(x－2)2＝6 6．用配方法解方程x2－6x－10＝0时，下列变形正确的是（）A．(x－3)2＝19 B．(x－3)2＝10 C．(x－6)2＝19 D．(x－3)2＝17．某工厂四月份生产零件50万个，第二季度共生产零件182万个．设该厂第二季度每月的平均增长率为x，那么x满足的方程是（）A．50(1＋x)2＝182 B．50(1＋x)＋50(1＋x)2＝182C．50＋50(1＋x)＝182 D．50＋50(1＋x)＋50(1＋x)2＝1828．某校八年级要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排21场比赛，则参赛球队的个数是（）A．5个B．6个C．7个D．8个9．将一个容积为600cm3的长方体包装盒剪开、铺平，纸样如图所示．根据题意，列出关于x的方程为（）A．15(30－2x)•x＝600B．30(30－2x)•x＝600C．15(15－x)•x＝600D．x(15－x)•x＝60010．下列关于一元二次方程x2＋bx＋c＝0的四个命题：①当c＝0，b≠0时，这个方程一定有两个不相等的实数根；②当c≠0时，若p是方程x2＋bx＋c＝0的一个根，则1p是方程cx2＋bx＋1＝0的一个根；③若c＜0，则一定存在两个实数m＜n，使得m2＋mb＋c＜0＜n2＋nb＋c；④若p，q是方程的两个实数根，则p－q＝b2－4c．其中是假命题的序号是（）（A）①（B）②（C）③（D）④11．已知方程（1）ax2＋bx＋c＝0与方程（2）cx2＋bx＋a＝0，其中ac≠0且a≠c.下列说法：①方程（1）有两个不相等的实数根时，方程（2）也有两个不相等的实数根；②当两个方程均存在实数根时，它们的根一定相同；③当方程（1）有一个根是1时，方程（2）也有一个根是1；④当方程（1）有一个根是2时，方程（2）有一个根是12.其中正确的有（）A．①②B．①③C．①③④D．②③④12．一元二次方程x2－4＝0的解是___________．13．一元二次方程x(x－1)＝0的解是_________．14．若关于x的一元二次方程x2＋3x＋m＝0有实数根，则m的取值范围是_________．15．已知方程x2－3x＋m＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是____________．16．已知关于x的一元二次方程x2＋mx＋m2－4＝0有一个根是0，则m＝_________．17．某种药品原价75元/盒，经过连续两次降价后售价为45元/盒．设平均每次降价的百分率为x，根据题意可列方程为_______________．18．要在一个长为30米、宽为20米的矩形花园中开辟如图所示的小道，剩余的地方种植花草．若种植的花草的面积为532米2，则x的值为________米.19．已知关于x的方程x2＋bx－a2＋ab＝0有两个相等的实数根，则代数式a2－ab＋14b2＋2的值是_________．20．（1）x2＝4x（2）x2－5x＝0 （3）x2－2x－3＝0（4）x2－2x－2＝0 （5）x2－4x＋3＝0（6）x2－3x＋2＝021．某商品的进价为每件40元，售价每件不低于60元且不高于80元，当售价为每件60元时，每个月可卖出100件；经调查发现，每件商品每上涨1元，每月少卖出2件．设每件商品的售价为x元（x为正整数）．（1）求每个月的销售利润；（用含x代数式表示）（2）若每个月的利润为2250元，定价应为多少元？22．某工厂生产的某种产品按质量分为10个档次，第1档次（最低档次）的产品一天能生产100件，每件利润5元．每提高一个档次，每件利润增加1元，但一天产量减少4件．（1）求生产第5档次的产品一天的总利润为多少元？（2）若生产第x（其中x为正整数，且1≤x≤10）档次的产品一天的总利润为836元，求该产品的质量档次．23．某店出售一款衣服每件进价100元，经过试销发现：当每件衣服售价为120元时，每天可销售50件；当每件衣服售价高于120元时，每涨价1元，日销售量就减少1件．请解答下列为题：（1）当每件衣服售价定为160元时，每天可销售多少件衣服？该款衣服每天的获利是多少元？（2）店主想要此款衣服每天的获利达到1200元，则每件衣服的售价定为多少元？24．某农庄修建一个周长为120米的矩形休闲场所ABCD．矩形内筑一个正方形活动区EFGH和连结活动区到矩形四边的四条笔直小路（如图），正方形活动区的边长为6米，小路的宽均为2米．活动区与小路铺设鹅卵石，其它地方铺设草坪．已知草坪的造价为每平方米20元，鹅卵石的造价为每平方米100元．设AB为x米．（1）用含x的代数式表示BC；（2）求铺设鹅卵石区域的面积；（3）修筑这个矩形休闲场所的总费用2.784万元，求AB的长．。
人教版八年级下册数学期末试题包括一元二次方程(共三套,含答案)
ABCD EF班级 姓名 座号 成绩……………………………装…………………………订……………………………线………………………………4cm5cm第6题M PFE CBA人教版八年级下册数学 期末及一元二次方程试题（共三套，含答案）第一套试卷一、精心选一选：（每小题3分，共30分）． 1、下列计算正确的是（ ） A ．54332=+ B ．3412= C ． 4348=÷D ．2(3)3-=-1)12-=-（2、顺次连接对角线互相垂直的四边形的各边中点，所得图形一定是（ ） A ．矩形B ．直角梯形C ．菱形D ．正方形3、甲、乙、丙、丁四人进行射击测试，每人10次射击成绩的平均数均是9.2环，方差分别为0.56s =2甲，0.60s =2乙，20.50s =丙，20.45s =丁，则成绩最稳定的是（ ） A ．甲 B ．乙 C ．丙 D ．丁4、下列命题中的假命题是( )．A ．一组邻边相等的平行四边形是菱形B ．一组邻边相等的矩形是正方形C ．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；D ．一组对边相等且有一个角是直角的四边形是矩形5、若直线y=kx+b 经过第一、二、四象限，则k,b 的取值范围是（ ） (A) k>0, b>0 (B) k>0,b<0 (C) k<0,b>0 (D) k<0,b<06、如下图，左边是一个正方形，则此正方形的面积是 ( ).(A) 1cm 2(B) 3cm 2 (C) 6cm 2 (D) 9cm 27、分别以下列五组数为一个三角形的边长：①6，8，10；②13，5，12 ③1，2，3；④9，40，41；⑤321，421，521.其中能构成直角三角形的有（ ）组A.2B.3C.4D.58、如图，把直线L 沿x 轴正方向向右平移2个单位得到直线L ′，则直线L /的解析式为（ ）A.12+=x yB. 22+-=x yC. 42-=x yD. 22y x =-9、县化肥厂第一季度生产a 吨化肥，以后每季度比上一季度增产的百分率都是x ℅，则第三季度化肥增产的吨数为（ ）A 、2(1)a x +；B 、2(1)a x +%；C 、2(1%)x +；D 、2(%)a a x +． 10、若关于y 的一元二次方程ky 2-4y-3=3y+4有实根,则k 的取值范围是( )A.47->kB.047≠-≥k k 且C.47-≥kD.047≠->k k 且二、细心填一填：（每小题3分，共18分）．11、一直角三角形的一直角边长为6，斜边长比另一直角边长大2，则斜边的长为 12、、实数p 在数轴上的位置如图所示，化简22(1)(2)_______p p -+-=。
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期末复习——一元二次方程1. 一元二次方程的概念：（1）注意一元二次方程定义中的三个条件：有一个未知数，含未知数的最高次是2，整式方程，是判断一个方程是否是一元二次方程的依据。
（2）强调：要先把一元二次方程化为一般形式ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0），才能确定a 、b 、c 的值。
2. 一元二次方程的解法： （1）直接开平方法：()它是以平方根的概念为基础，适合于形如，类型的方程。
ax b c a c +=≠≥200()（2）配方法：()先把二次项系数化为，再对进行配方，即在方程两边同时加上一次项系数一半的平方，就能配出一个含有未知数的一次式的完全平方式，变形为：的形式，再直接开平方解方程。
1x px p x m n n 22220+⎛⎝ ⎫⎭⎪+=≥()（3）公式法：用配方法推导求根公式，由此产生了第三种解法公式法，它是解一元二次方程的主要方法，是解一元二次方程的通法。
关键是把方程整理成一元二次方程的一般形式，确认、、的值（特别要注意正、负号），求出的值（以便决定有无必要代入求根公式），若，则代入求根公式。
a b c b ac b ac x b b ac a∆=--≥=-±-22244042（4）因式分解法：适用于方程左边易于分解，而右边是零的方程。
我们在解一元二次方程时，要注意根据方程的特点，选择适当的解法，使解题过程简捷些。
一般先考虑直接开平方法，再考虑因式分解法，最后考虑公式法。
对于二次项系数含有字母系数的方程，要注意分类讨论。
3. 一元二次方程根的判别式()来判断。
即根的情况可以用判别式一元二次方程∆-≠=++ac b a c bx ax400 22当时，方程有两个不相等的实数根。
b ac 240->当时，方程有两个相等的实数根。
b ac 240-=当时，方程没有实数根。
bac 240-<根的判别式△＝b 2－4ac 的意义，在于不解方程可以判别根的情况，还可以根据根的情况确定未知系数的取值范围。
4. 一元二次方程根与系数关系。
()已知、是一元二次方程＋＋＝的两个根，那么，，，逆命题也成立。
x x ax bx c a x x bax x ca122121200≠+=-⋅=一元二次方程的两根和与两根积和系数的关系在以下几个方面有着广泛的应用：（1）已知方程的一根，求另一个根和待定系数的值。
（2）不解方程，求某些代数式的值。
（3）已知两个数，求作以这两个数为根的一元二次方程。
（4）已知两数和与积，求这两个数。
（5）二次三项式的因式分解。
……运用根与系数的关系，可以大大缩减了复杂的运算量，避免进行无理数的计算。
注意：在应用根与系数的关系时，不要忽略隐含条件。
∆≥≠⎧⎨⎩00a5. 分式方程的解法一般有两种：即去分母法和换元法。
解分式方程时，需要将方程的两边同时乘以各分式的最简公分母，从而约去各分母，把原来的分式方程转化为整式方程，在转化的过程中可能产生增根，所以在解分式方程时必须验根。
6. 二次三项式的配方判断一元二次方程根的情况时常用02≥m02≤-m()04322>++k ()04322<-+-k7. 十字相乘法3)2)(2x (x 67x 2x2++=++1)-3)(2x -(x 37x -2x2=+5)-1)(3x (2x 5-7x -6x 2+=典型例题例1. 判断下列方程是不是一元二次方程？()()（）；（）；（）；（）；（）；（）；（）150212031405150621712322222222x x x xx ax bx c a x ax x xy y x x x --=+-==++=+-+=-+=-=-例2. 用直接开平方法一元二次方程：1．9x 2-25＝0；2．(3x+2)2-4＝0；4．(2x+3)2＝3(4x+3) ．用配方法解一元二次方程：1．x 2-4x -3＝0； 2．6x 2+x ＝35；3．4x 2+4x+1＝7； 4．2x 2-3x -3＝0． 用公式法解一元二次方程：2．2x 2+7x -4＝0； 3 .2y2-y=5 4．3x 2+5(2x+1)=0用因式分解法解一元二次方程：1. )7(5)7(2+=+x x x2.223)(x 3)-(4x += 3．0822=--x x 4．06)23(2=---x x 四、用适当的方法解关于x 的方程1、095162=-+）（x 2、8)4(2=-x 3、8)32)(2(=++y y 4、02x 3x2=+- 5、04x 3x22=-+6、y249y162=+；7、0x 7)1x (52=-+ 8、（3 x-1）2-9x+3=4 9、（x-5）2+x 2=5 10、)7(5)7(2+=+x x x 11、01224=--x x 12、012222=--x x 13、012)(8)(222=+---x x x x 14、02)32(3)32(2=++-+x x x x例3.当k 为何值时，关于x 的方程()222123x k x k k --=-++⑴有两个不相等的实数根；⑵有两个相等的实数根；⑶没有实数根。
例4. m x mx mx m 为何值时，关于的方程有两个相等的实数根？并2350-++=求出这时方程的根。
例5. 已知方程的两实数根为、，不解方程求下列各式的值。
x x 2310+-=αβ()()（）；（）；（）；（）；（）；（）12341156343223322αβαβαββααβαβαβαββ+++---++解：αβ、是方程的两个实数根x x 2310+-= ∴+=-=-αβαβ31，αααα2231013+-==-，则；ββββ2231013+-==-，则。
()()()（）12321112222αβαβαβ+=+-=--⨯-=()()（）2111113322αβαβαβαβ+=+=-⨯=-（）31111122βααβαβαβ+=+=-=-()()()()()（）41111313αβαβαβ--=-++=---+= ()()()()（）5434113222αβαβαβαβ-=±-=±+-=±---=±（6）由根的定义代进去，构成关于根的方程再降次。
∴++34322αββ()()=-+-+3134133αββ ()=-+79αβ ()=-⨯-793 =34例6. ()已知关于的方程x x k x k 2220-++=（1）求证：无论k 取任何实数值，方程总有实数根。
（2）若等腰三角形的一边长为1，另两边长恰是这个方程的两个根，求三角形的周长。
解：()[]（）证明：12422∆=-+-⨯k k=++-k k k 2448=-+k k 244 ()=-k 22() k -≥202∴无论k 取任何实数值，方程总有实数根 （2）∵等腰三角形的一边长为1 ∴要分类讨论()①当腰为时，则另一腰长和底边是方程的两个根11x k x k 2220-++=则把代入方程，得：x k ==11则方程化为x x 2320-+= x x 1212==， 则底边为2三边为1，1，2，不符合三角形两边之和大于第三边，舍去。
②当底边为1时，则两个腰为方程的两个根，即方程有两个相等的根 ()[]()∴=-+-=-=∆k k k 282022∴=-+=k x x 24402，则方程化为 x x 122==三边为2，2，1，符合三角形三边关系定理。
∴三角形的周长为5选择题1．2008年爆发的世界金融危机，是自上世纪三十年代以来世界最严重的一场金融危机。
受金融危机的影响，某商品原价为200元，连续两次降价%a 后售价为148元，下面所列方程正确的是（ ） A ．2200(1%)148a +=B ．2200(1%)148a -=C ．200(12%)148a -=D ．2200(1%)148a -=2．如图，在宽为20米、长为30米的矩形地面上修建两条同样宽的道路，余下部分作为耕地．若耕地面积需要551米2，则修建的路宽应为（ ） A ．1米 B ．1.5米 C ．2米 D ．2.5米3．以3和1-为两根的一元二次方程是 （ ）A ．0322=-+x xB ．0322=++x xC ．0322=--x xD ．0322=+-x x4．某农机厂四月份生产零件50万个，第二季度共生产零件182万个．设该厂五、六月份 平均每月的增长率为x ，那么x 满足的方程是（ ） A ．182)1(502=+xB ．182)1(50)1(50502=++++x x C ．50(1+2x )＝182D ．182)21(50)1(5050=++++x x5．三角形两边的长是3和4，第三边的长是方程212350x x -+=的根，则该三角形的周长为（ ） A ．14 B ．12 C ．12或14 D ．以上都不对6．关于x 的方程ax 2－(a ＋2)x ＋2=0只有一解(相同解算一解)，则a 的值为( ) A ．a =0 B ．a =2 C ．a =1 D ．a =0或a =27．已知2x =是一元二次方程220x mx ++=的一个解，则m 的值是（ ） A ．3- B ．3 C ．0 D ．0或3 8．设方程x 2－4x －1=0的两个根为x 1与x 2，则x 1x 2的值是（ ） A ． －4 B ．－1 C ．1 D ．09．已知关于x 的方程260x kx --=的一个根为3x =，则实数k 的值为（ ） A ．1 B ．1- C ．2 D ．2-10．定义：如果一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠满足0a b c ++=，那么我们称这个方程为“凤凰”方程. 已知20(0)ax bx c a ++=≠ 是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是（ ）A ．a c =B ．a b =C ．b c =D ． a b c ==11．一元二次方程0624)2(2=-+--m mx x m 有两个相等的实数根，则m 等于 （ ）A ．6-B ．1C ．6-或1D ．212．关于x 的一元二次方程2210x mx m -+-=的两个实数根分别是12x x 、，且22127x x +=，则212()x x -的值是（ ） A ．1 B ．12 C ．13 D ．2513．某旅游景点三月份共接待游客25万人次，五月份共接待游客64万人次，设每月的平均增长率为x ，则可列方程为（ ）A ．225(1)64x +=B ．225(1)64x -=C ．264(1)25x +=D ．264(1)25x -=14．若12x x ，是一元二次方程2560x x -+=的两个根，则12x x +的值是（ ）A ．1B ．5C ．5-D ．615．已知关于x 的一元二次方程2610x x k -++=的两个实数根是12x x ，，且2212x x +=24，则k 的值是（ ） A ．8 B ．7- C ．6 D ．516．关于x 的方程2(6)860a x x --+=有实数根，则整数a 的最大值是（ ） A ．6 B ．7 C ．8 D ．9 17．设a b ，是方程220090x x +-=的两个实数根，则22a a b ++的值为（ ） A ．2006 B ．2007 C ．2008 D ．2009 18．下列方程是关于x 的一元二次方程的是（ ） A ．02=++c bx ax B ．2112=+xxC ．1222-=+x x xD ．)1(2)1(32+=+x x19．若方程2310x x --=的两根为1x 、2x ，则1211x x +的值为（ ） A ．3B ．－3C ．13D ．13-20．方程(3)(1)3x x x -+=-的解是（ ）A ．0x =B ．3x =C ．3x =或1x =-D ．3x =或0x =21．一元二次方程2520x x -=的解是（ ） A ．x 1 = 0 ，x 2 =25 B ． x 1 = 0 ，x 2 =52- C ．x 1 = 0 ，x 2 =52D ． x 1= 0 ，x 2 =25-22．用配方法解一元二次方程542=-x x 的过程中，配方正确的是（ ） A ．（1)22=+x B ．1)2(2=-x C ．9)2(2=+x D ．9)2(2=-x 23．用换元法解分式方程13101x x xx --+=-时，如果设1x y x-=，将原方程化为关于y 的整式方程，那么这个整式方程是（ ） A ．230y y +-= B ．2310y y -+=C ．2310y y -+=D ．2310y y --=24．方程0322=-+x x 的两根的情况是（ ）A ．没有实数根B ．有两个不相等的实数根C ．有两个相同的实数根D ．不能确定25．若关于x 的一元二次方程0962=+-x kx 有两个不相等的实数根，则k 的取值范围（ ）A ．k ＜1B ．k ≠0C ．k ＜1且k ≠0D ．k ＞1 26．对于一元二次方程01532=-+y y ，下列说法正确的是（ ） A ．方程无实数根 B ．方程有两个相等的实数根 C ．方程有两个不相等的实数根 D ．方程的根无法确定27．方程x x 220-+=根的情况是（ ）A .只有一个实数根B .有两个相等的实数根C .有两个不相等的实数根D .没有实数根 28．下列一元二次方程中，没有实数根的是（ ） A ．0122=-+x x B ．02222=++x x C ．0122=++x x D ．022=++-x x29．若1x ，2x 是一元二次方程0132=-+x x 的两个根，则2111x x +的值是（ ）A ．2B ．1C ．―1D ．330．如果方程022=++m x x 有两个同号的实数根，则m 的取值范围是（ ） A ．m ＜1 B ．0＜m ≤1 C ．0≤m ＜1 D ．m ＞0 31．一元二次方程0122=-+x x 的根的情况是( )A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．没有实数根D ．不能确定32．一元二次方程0252=+-x x 的两个根为1x ，2x ，则+1x 2x 等于（ ） A .-2 B .2 C .-5 D .5 33．用换元法解方程()()x xx x+-+=2212，设y x x=+2，则原方程可化为 （ ）A .y y 210--= B .y y 210++= C .y y 210+-= D .y y 210-+= 34．用换元法解方程：0132322=++-+xx x x .若设y x x =+32，则原方程可变形为（ ）A ．0122=+-y y B ．0122=-+y y C ．022=+-y y D ．022=-+y y35．直角三角形两边的长分别是8和6，第3边的长是一元二次方程060162=+-x x 的一个实数根，则该三角形的面积是（ ）A ．24B ．24或58C ．48D ．5836．如图，菱形ABCD 的边长是5，两条对角线交于O 点，且AO 、BO 的长分别是关于x 的方程03)12(22=++-+m x m x 的根，则m 的值为（ ）A ．-3B ．5C ．5 或-3D ．-5或337．用配方法将二次三项式542++a a 变形，结果是（ ） A .1)2(2+-a B .1)2(2++a C .1)2(2--a D .1)2(2-+a 38．已知实数x 满足+++x xx 22101=x,那么xx 1+的值为（ ）A .1或-2B .-1或2C .1D .-239．张老师和李老师同时从学校出发，步行15千米去县城购买书籍，张老师比李老师每小时多走1千米，结果比李老师早到半小时，两位老师每小时各走多少千米？设李老师每小时走x 千米，依题意得到的方程是（ ）A .2115115=-+x x B .2111515=+-x x C .2115115=--x x D .2111515=--x x40．党的十六大提出全面建设小康社会，加快推进社会主义现代化，力争国民生产总值到2020年比2000年翻两番。