第10讲 锐角三角函数的应用 教案讲义及练习
人教版九年级锐角三角函数全章教案
人教版九年级锐角三角函数全章教案【教案名称】：人教版九年级锐角三角函数全章教案【教学目标】：1. 了解锐角三角函数的概念和基本性质；2. 掌握锐角三角函数的定义和计算方法；3. 能够应用锐角三角函数解决实际问题；4. 培养学生的数学思维和解决问题的能力。
【教学内容】：本教案共包含以下内容：1. 锐角三角函数的引入和概念介绍；2. 正弦函数、余弦函数和正切函数的定义和计算方法；3. 锐角三角函数的性质和关系；4. 锐角三角函数的应用。
【教学步骤】：一、引入和概念介绍1. 通过引导学生观察直角三角形中的角度和边长关系，引入锐角三角函数的概念；2. 介绍正弦函数、余弦函数和正切函数的定义和符号表示；3. 通过实例演示和练习，让学生掌握锐角三角函数的计算方法。
二、正弦函数、余弦函数和正切函数的性质和关系1. 通过图像和表格展示正弦函数、余弦函数和正切函数的周期性、奇偶性和单调性；2. 引导学生观察和总结正弦函数、余弦函数和正切函数之间的关系，如正弦函数与余弦函数的关系、正切函数与正弦函数的关系等；3. 练习题目让学生巩固和应用正弦函数、余弦函数和正切函数的性质和关系。
三、锐角三角函数的应用1. 通过实际问题引导学生应用锐角三角函数解决实际问题，如测量高楼的高度、计算斜坡的坡度等；2. 练习题目和实例让学生掌握如何运用锐角三角函数解决实际问题。
【教学重点】：1. 锐角三角函数的定义和计算方法；2. 正弦函数、余弦函数和正切函数的性质和关系；3. 锐角三角函数的应用。
【教学扩展】：1. 引导学生探究其他三角函数（割函数、余割函数和余切函数）的定义和性质；2. 给予学生更多的应用题目和实例，提高学生运用锐角三角函数解决实际问题的能力；3. 鼓励学生自主学习和探索，拓宽数学知识的广度和深度。
【教学评估】：1. 课堂练习：通过课堂练习，检查学生对锐角三角函数的理解和掌握程度；2. 作业布置：布置相关的作业题目，让学生巩固和应用所学知识；3. 个人表现评估：评估学生在课堂讨论、问题解答和实际应用中的表现。
锐角三角函数教案
锐角三角函数教案1. 引言三角函数是高中数学中的重要概念，锐角三角函数是其中的一种特殊类型。
本教案旨在详细介绍锐角三角函数的定义、性质和应用，以帮助学生全面理解和掌握该知识。
2. 基本概念2.1 什么是锐角锐角是指小于90度的角度，在数学中经常出现的一种角度范围。
在直角三角形中，锐角可以是除了直角以外的任意角度。
2.2 锐角三角函数的定义锐角三角函数包括正弦函数（sin）、余弦函数（cos）和正切函数（tan），它们是通过直角三角形中的两边比值来定义的。
- 正弦函数：定义为对边与斜边的比值，即sinθ = 对边/斜边。
- 余弦函数：定义为邻边与斜边的比值，即cosθ = 邻边/斜边。
- 正切函数：定义为对边与邻边的比值，即tanθ = 对边/邻边。
3. 性质3.1 基本性质锐角三角函数具有一些基本性质：- 周期性：正弦函数和余弦函数的周期均为2π，正切函数的周期为π。
- 奇偶性：正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数，正切函数是奇函数。
- 定义域：锐角三角函数的定义域为所有实数。
3.2 关系式锐角三角函数之间存在一些重要的关系式，这些关系式可以帮助我们在计算中进行转化和简化：- 三角恒等式：包括和差公式、倍角公式、半角公式等，能够将一个角度的三角函数转化为其他角度的三角函数来计算。
- 三角函数的倒数关系：正弦函数和余弦函数的倒数关系为sinθ =1/cscθ，cosθ = 1/secθ，正切函数和余切函数的倒数关系为tanθ = 1/cotθ。
4. 应用锐角三角函数在几何学、物理学、工程学等领域中有广泛的应用：- 几何学：利用锐角三角函数可以计算不规则图形的面积和周长，解决与三角形、多边形等几何图形相关的问题。
- 物理学：在力学、波动学等方面的问题中，锐角三角函数可以帮助求解物体的运动轨迹、振动频率等。
- 工程学：在建筑设计、航空航天等工程领域，锐角三角函数可以用于计算角度、距离、力的分解等。
5. 总结通过本教案的学习，我们对锐角三角函数有了全面的了解。
锐角三角函数讲义
锐角三角函数讲义【知识点拨】知识点一：锐角三角函数的概念：锐角三角函数包括正弦函数，余弦函数，和正切函数，如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b ，c ． ∠A 的正弦=A asin A=c∠的对边，即斜边；∠A 的余弦=A b cos A=c∠的邻边，即斜边,∠A 的正切=A a tan=A b∠的对边，即∠的邻边注意：我们说锐角三角函数都是在直角三角形中讨论的！若没有直角，要想方设法构造直角。
课堂练习：1. 把Rt △ABC 各边的长度都扩大3倍得Rt △A ＇B ＇C ＇，那么锐角A.A ＇的余弦值的关系为（ ）．A.cosA ＝cosA ＇B.cosA ＝3cosA ＇C.3cosA ＝cosA ＇D.不能确定 2. 已知中，AC =4，BC =3，AB =5，则（ ）A ．B ．C ．D ．3. 三角形在正方形网格纸中的位置如图1所示，则sin α的值是（ ）Ａ．34 Ｂ．43 Ｃ．35 Ｄ．45α图14.在△ABC中，∠C＝90°，tan A＝，则sin B＝（）A． B． C． D．5.在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝2，b＝3，则cos A＝，sin B＝，tan B＝，6.⑴如图1－1－7①、②锐角的正弦值和余弦值都随着锐角的确定而确定，变化而变化，试探索随着锐角度数的增大，它的正弦值和余弦值变化的规律；⑵根据你探索到的规律，试比较18○、34○、50○、61○、88○这些锐角的正弦值的大小和余弦值的大小．知识点二：特殊角三角函数值的计算知识点三：运用三角函数的关系化简或求值 1．互为余角的三角函数关系．sin （90○－A ）=cosA ， cos （90○－A ）=sin A tan （900－A ）＝ctan A ； ctan （900－A ）＝tan A2．同角的三角函数关系． ①平方关系：sin 2A+cos 2A=l ② 商数关系：sin cos tan ,cot cos sin A AA A A A==sin cos a a += ③倒数关系： tgα·ctgα=1．课堂练习：1. 如α∠是等腰直角三角形的一个锐角，那么cos α的值等于（ ）Ａ．12Ｄ．12. 45cos 45sin +的值等于（ ） A. 1B. 2C. 3D.213+ 3. 下列计算错误的是（ ）A ．sin 60sin 30sin 30︒-︒=︒B ．22sin 45cos 451︒+︒=C ．sin 60cos 60cos 60︒︒=︒D ．cos30cos30sin 30︒︒=︒4. 已知a 为锐角，sina=cos500则a 等于（ ）A 20°B 30°C 40°D 50°5. 若tan(a+10°)=3，则锐角a 的度数是 ( ) A 、20° B 、30° C 、35° D 、50°6. (兰州市)如果sin 2α＋sin 230°＝１那么锐角α的度数是（ ）Ａ．１５° Ｂ．３０° Ｃ．４５° Ｄ．６０° 7. 已知α为锐角，且sin α－cos α=12 ，则sin α·cos α=___________8. cos 2α+sin 242○ =1，则锐角α=______.9. tan30°sin60°＋cos 230°－sin 245°tan45°10. 22sin30cos60tan 60tan30cos 45+-⋅+︒．11. 22sin 45cos30tan 45+-知识点四：锐角三角函数的增减性三角函数的单调性1． 正弦和正切是增函数，三角函数值随角的增大而增大，随角的减小而减小．2． 余弦是减函数，三角函数值随角的增大而减小，随角的减小而增大。
人教版九年级锐角三角函数全章教案
人教版九年级锐角三角函数全章教案教学目标：本课程旨在通过探究锐角三角函数，使学生掌握当锐角固定时，对边与斜边的比值是固定值的概念，并能正确进行计算。
同时，通过研究锐角三角函数，培养学生观察、比较、分析、概括等逻辑思维能力，以及独立思考、勇于创新的精神和良好的研究惯。
教学重点：理解认识正弦（sinA）概念，掌握当锐角固定时，对边与斜边的比值是固定值的概念。
教学难点：引导学生比较、分析并得出：对任意锐角，它的对边与斜边的比值是固定值的事实。
教学过程：一、复旧知、引入新课老师通过一个实际问题的引入，让学生了解锐角三角函数的实际应用。
例如，测量旗杆高度的问题。
二、探索新知通过问题引入的方式，让学生探索锐角三角函数的概念和应用。
活动一：问题的引入老师通过引入实际问题，让学生思考如何应用锐角三角函数来解决问题。
例如，在绿化荒山的问题中，通过计算斜坡与水平面所成角的度数和出水口的高度，求解需要准备多长的水管。
活动二：问题的探索老师通过问题的探索，让学生比较、分析并得出结论。
例如，在任意画一个Rt△ABC，使∠C=90o，∠A=45o的问题中，让学生计算∠A的对边与斜边的比，从而得出结论：在一个直角三角形中，如果一个锐角等于45o，那么不管三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比值都等于2.活动三：问题的拓展老师通过问题的拓展，让学生进一步探索锐角三角函数的应用。
例如，在∠A取其他一定度数的锐角时，让学生比较、分析并得出结论：对任意锐角，它的对边与斜边的比值是固定值。
三、总结归纳老师通过总结归纳，让学生掌握锐角三角函数的概念和应用，以及对边与斜边的比值是固定值的事实。
同时，让学生反思并总结研究锐角三角函数的方法和策略，以便更好地掌握和应用相关知识。
四、作业布置老师布置相关作业，让学生巩固和拓展所学知识。
例如，让学生通过计算和实际应用，进一步掌握锐角三角函数的概念和应用。
同时，让学生思考如何将锐角三角函数与其他数学知识和实际问题相结合，更好地应用所学知识。
锐角三角函数教案
锐角三角函数教案
一、教学内容
1. 锐角三角函数的概念
2. 正弦函数的图像和性质
3. 余弦函数的图像和性质
4. 正切函数的图像和性质
二、教学目标
1. 了解锐角三角函数的概念
2. 掌握正弦函数、余弦函数、正切函数的图像性质
3. 运用锐角三角函数求解相关问题
三、教学重点
1. 正弦函数、余弦函数和正切函数的性质
2. 锐角三角函数的应用
四、教学过程
1.思考题：让学生交流他对三角函数的认识，把三角函数的定义和变量概念讨论出来。
2.学生讨论关于正弦函数，余弦函数和正切函数的定义；它们的关系，观察它们在相等三角形中弧度和角度的关系；和定义域、图像、单调性和范围等。
3.学生结合实际例题，练习三角函数的小应用；继续对三角函数相连函数的使用。
4.学生进行习题训练，重点讨论正弦函数的变形，正弦函数的锐角度和余弦函数的钝角区别，正切函数的极值，以及锐角三角函数的图形解释。
5.学生分组综合积累应用题，运用各种应用题求解相关问题。
五、总结
1. 总结锐角三角函数的定义和变量概念；
2. 总结正弦函数、余弦函数和正切函数的性质；
3. 总结锐角三角函数的应用；
4. 最后总结重点概念。
六、板书设计
y=sin x， y=cos x， y=tan x。
九年级数学下册《锐角三角函数》教案、教学设计
2.教学方法：
采用讲解法、示例教学法，结合几何画板演示，帮助学生形象地理解锐角三角函数的定义和性质。
3.教学过程：
（1）通过回顾勾股定理，引导学生发现锐角三角函数的定义。
（2）利用几何画板，动态演示锐角三角函数随角度变化的规律，帮助学生理解其性质。
（4）注重情感教育，关注学生的学习情感，激发学生的学习兴趣和内在动力。
4.教学评价：
（1）过程性评价：关注学生在课堂上的参与程度、合作交流、问题解决等方面，全面评价学生的学习过程。
（2）终结性评价：通过测试、作业等方式，评价学生对本章知识的掌握程度。
（3）增值性评价：关注学生的进步，鼓励学生自我评价，激发学生的学习潜能。
九年级数学下册《锐角三角函数》教案、教学设计
一、教学目标
（一）知识与技能
1.理解锐角三角函数的概念，掌握正弦、余弦、正切函数的定义及其相互关系。
2.学会使用计算器或手工计算方法，解决直角三角形中锐角三角函数值的问题。
3.掌握用锐角三角函数解决实际问题的方法，如测量物体的高度、计算物体之间的距离等。
4.能够运用锐角三角函数的性质，解决一些简单的几何问题，如求角的度数、证明线段相等等。
3.利用计算器、几何画板等教学辅助工具，帮助学生直观地理解锐角三角函数的图像和变化规律，提高学生的数学思维能力。
4.设计丰富的例题和练习题，巩固学生对锐角三角函数知识的掌握，培养学生分析问题、解决问题的能力。
5.通过课堂小结，引导学生总结本章所学内容，形成知识体系，提高学生的概括和表达能力。
（三）情感态度与价值观
3.思考题：
（1）思考锐角三角函数的定义在解决实际问题中的作用，举例说明。
初中数学《锐角三角函数的应用》教案
初中数学《锐角三角函数的应用》教案教案：锐角三角函数的应用一、教学目标1.知识与技能目标：(1)理解锐角三角函数的定义及其性质。
(2)学会利用锐角三角函数计算实际问题。
2.过程与方法目标：(1)培养学生的观察能力和应用能力。
(2)通过实际问题的讨论，提高学生的合作能力和创新思维。
二、教学重点与难点1.教学重点：(1)锐角三角函数的定义及其性质。
(2)利用锐角三角函数计算实际问题。
2.教学难点：锐角三角函数的应用及解题方法。
三、教学过程1.导入活动（10分钟）(1)利用图片展示一个矩形房间的平面图。
(2)引导学生思考：如何测量矩形房间的对角线长度？(3)引导学生利用勾股定理，解答该问题。
2.学习新知（30分钟）(1)通过示意图，引入锐角三角函数的概念。
(2)分别介绍正弦函数、余弦函数、正切函数以及它们的定义。
(3)通过讲解示例题，帮助学生理解锐角三角函数的性质。
3.问题解决（40分钟）(1)分组研究讨论：利用锐角三角函数计算实际问题。
(2)学生自主提出问题，并利用所学知识进行解答。
(3)学生展示解题思路和解题方法。
(4)教师点评和补充。
4.小结归纳（10分钟）(1)教师对学生的表现进行总结评价。
(2)引导学生对今天的学习内容进行归纳。
5.课后拓展（20分钟）(1)学生复习所学知识，完成相应的练习题。
(2)学生可以根据自己的兴趣，进行更多的实际问题探究。
1.教学资源：(1)PPT课件。
(2)图片资源。
(1)《初中数学（新）》人民教育出版社。
(2)《数学课程标准》人民教育出版社。
五、教学评价1.教师评价：(1)观察学生在课堂中的参与度，包括提问、回答等。
(2)针对学生的解题思路和解题方法，给予评价和指导。
(3)对学生的课堂表现进行总结和评价。
2.学生评价：(1)学生可以通过小组讨论、展示等方式展示自己的成果。
(2)学生可以通过解答问题的准确性和速度来评价自己的学习效果。
(3)学生可以通过课后练习的结果来评价自己的掌握程度。
锐角三角函数数学教案
锐角三角函数数学教案标题：锐角三角函数数学教案一、教学目标：1. 理解并掌握正弦、余弦、正切等基本概念。
2. 学会利用直角三角形的边长关系求解三角函数值。
3. 能够运用锐角三角函数解决实际问题。
二、教学内容：1. 锐角三角函数的基本概念- 正弦、余弦、正切的定义- 特殊角的三角函数值2. 锐角三角函数的应用- 利用直角三角形的边长关系求解三角函数值- 利用三角函数解决实际问题三、教学过程：1. 引入新课：- 通过展示一些生活中常见的角度和比例问题，引入锐角三角函数的概念。
2. 讲授新知：- 介绍正弦、余弦、正切的定义，并举例说明。
- 介绍特殊角的三角函数值，并让学生记住这些基本的三角函数值。
3. 巩固练习：- 给出一些简单的直角三角形，让学生计算对应的三角函数值。
4. 拓展应用：- 给出一些实际的问题，让学生尝试使用锐角三角函数来解决。
5. 总结归纳：- 回顾本节课的主要知识点，强调锐角三角函数在实际生活中的应用。
四、教学方法：1. 直观演示法：通过实物或模型直观展示锐角三角函数的概念。
2. 启发引导法：通过提出问题，引导学生思考，激发他们的学习兴趣。
3. 实践操作法：让学生亲自参与实践活动，提高他们解决问题的能力。
五、教学评估：1. 过程评价：观察学生在课堂上的表现，包括他们的参与度、理解程度等。
2. 结果评价：通过作业和测试，检查学生对知识的掌握情况。
六、教学反思：1. 对于学生的反馈进行分析，找出教学中的不足，以便改进。
2. 根据学生的接受程度，调整教学进度和难度。
锐角三角函数教案设计
锐角三角函数教案设计作为一位杰出的老师，就有可能用到教案，教案有利于教学水平的提高，有助于教研活动的开展。
那么写教案需要注意哪些问题呢？下面是店铺整理的锐角三角函数教案设计，欢迎大家借鉴与参考，希望对大家有所帮助。
锐角三角函数教案设计篇1知识目标：1.理解锐角的正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数的意义。
2.会由直角三角形的边长求锐角的正、余弦，正、余切函数值。
能力、情感目标：1.经历由情境引出问题，探索掌握数学知识，再运用于实践过程，培养学生学数学、用数学的意识与能力。
2.体会数形结合的数学思想方法。
3.培养学生自主探索的精神，提高合作交流能力。
重点、难点：1.直角三角形锐角三角函数的意义。
2.由直角三角形的边长求锐角三角函数值。
教学过程：一、创设情境前面我们利用相似和勾股定理解决一些实际问题中求一些线段的长度问题。
但有些问题单靠相似与勾股定理是无法解决的。
同学们放过风筝吗？你能测出风筝离地面的高度吗？学生讨论、回答各种方法。
教师加以评论。
总结：前面我们学习了勾股定理，对于以上的问题中，我们求的是BC的长，而的AB的长是可知的，只要知道AC的长就可要求BC 了，但实际上要测量AC是很难的。
因此，我们换个角度，如果可测量出风筝的线与地面的夹角，能不能解决这个问题呢？学了今天这节课的内容，我们就可以很好地解决这个问题了。
（由一个学生比较熟悉的事例入手，引起学生的学习兴趣，调动起学生的学习热情。
由此导入新课）二、新课讲述在Rt△ABC中与Rt△A1B1C1中∠C=90°, C1=90°∠A=∠A1，∠A 的对边、斜边分别是BC、AB，∠A1的对边、斜边分别是B1C1、A1B2 （学生探索，引导学生积极思考，利用相似发现比值相等）（）若在Rt△A2B2C2中，∠A2=∠A，那么问题1：从以上的探索问题的过程，你发现了什么？（学生讨论）结论：这说明在直角三角形中，只要一个锐角的大小不变，那么无论这个直角三角形的大小如何，该锐角的对边与斜边的比值是一个固定值。
第10课锐角三角函数的增减性(学生版)
精品文档.第10课 锐角三角函数的增减性及取值范围学习目标：1. 知道锐角三角函数的增减性及取值范围，并能运用解题.2. 探究并掌握锐角三角函数的三个关系，并能运用解题. 学习过程：一、复习旧知：填表并观察：∠A30° 45° 60° sia A cos A tan A二、探究新知：探究一：锐角三角函数的增减性 1. 总结：（1）在0°－90°之间，锐角α的正弦值随角度的增大而 ； （2）在0°－90°之间，锐角α的余弦值随角度的增大而 ； （3）在0°－90°之间，锐角α的正切值随角度的增大而 . 2. 比较大小：（1）sin10° sin20° sin88° sin79°（2）cos10° cos20° cos88° cos79° （3）tan10° tan 20° tan 88° tan 79° 3. 确定下列各式的符号：（1）sin50°- sin49°； （2）cos79°- cos80°； （3）tan36°- tan40°. 4. 计算cos44°最接近的结果是（ ）A 、0.90B 、0.72C 、0.69D 、0.665. 已知 sin α=23，α是锐角，则下列答案正确的是（ ） A 、α＜30° B 、3045︒<α<︒； C 、4560︒<α<︒； D 、60α>︒探究二：锐角三角函数的取值范围:总结：0°＜α＜90°，则锐角α的正弦值的范围是 ；0°＜α＜90°，锐角α的余弦值的的范围是 ； 0°＜α＜90°，锐角α的正切值的的范围是 .例2. 若∠A 为锐角,那么sinA+cosA 的值正确的是（ ）A 、大于1B 、等于1C 、小于1D 、无法确定 探究三：锐角三角函数之间的关系:如图：sin α= ，cos α= ，tan α=sin β= ，cos β= ，tan β=1. 互余两角的正余弦之间的关系：若90α+β=︒，则：sin α= ；cos α= ； 2. 平方关系：22sin cos =α+α ；3. 商数关系：sin =cos αα ，即 .例3：化简：21sin 42sin 481-︒+︒-三、达标练习：1. 已知α为锐角，tan(90)3︒-α=，则α的度数是 ；2. 在△ABC 中，∠C=90°，tanA=1，那么cosB= .3. 若∠A 为锐角，且sinA=cosA ，则∠A = .4. 在△ABC 中，1sin B cos(90C)2=︒-=，那么△ABC 是 三角形. 5. 化简：︒+︒38os -π52cos -12c四、课堂小结：这节课你收获了什么？五、作业布置：在△ABC 中，∠C=90°，∠B=30°，∠ADC=45°， 点D 是BC 上的一点，且BD=10cm,求AC 的长三角函数值 三角 函数。
锐角三角函数的应用教学设计
锐角三角函数的应用（教学设计）乾县长留初中张莉教学目标：将已知元素和未知元素归结为直角三角形中元素之间的关系，运用直角三角形的有关知识（如三角函数等）解决问题。
过程与方法：经历把某些实际问题中量与量之间的关系转变成数学模型中量与量的关系，进一步培养学生的建模能力，在解决问题的过程中体会“数形结合”的思想方法。
情感与态度：感悟数学来源于生活，应用于生活的真理，培养实际操作能力和建构能力关注每一位学生参与数学活动的程度，自信心，使每位学生体验到成功的快乐。
一．知识回顾：直角三角形的边角关系：1）两锐角关系：————————2）三边之间的关系：——————————3）边角之间的关系———————————二．问题解决问题一：热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为30°，看这栋高楼底部的俯角为60°，热气球与高楼的水平距离为66 m，这栋高楼有多高？(结果精确到0.1 m，参考数据：≈1.73)问题二：如图所示，再一次课外实践活动中，同学们要测量某公园人工湖两侧A、B两个凉亭之间的距离，现测得AC=30m，BC=70m，∠CAB=120°，请计算A、B两个凉亭之间的距离。
变一变：如图，海上有一小岛A，它的周围8海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在B点测得小岛A在北偏东60°，航行12海里到达D点，在D点测得小岛A在北偏东30°，如果渔船继续向正东方向行驶，问是否有触礁的危险？解析：过A作AC⊥BD于点C，求出∠CAD、∠CAB的度数，求出∠BAD和∠ABD，根据等边对等角得出AD=BD=12，根据含30度角的直角三角形性质求出CD，根据勾股定理求出AD即可．解：只要求出A到BD的最短距离是否在以A为圆心，以8海里的圆内或圆上即可，如图，过A作AC⊥BD于点C，则AC的长是A到BD的最短距离，∵∠CAD=30°，∠CAB=60°，∴∠BAD=60°-30°=30°，∠ABD=90°-60°=30°，∴∠ABD=∠BAD，∴BD=AD=12海里，∵∠CAD=30°，∠ACD=90°，∴CD=12AD=6海里，由勾股定理得：AC=122-62=63≈10.392＞8，即渔船继续向正东方向行驶，没有触礁的危险．三、拓展延伸用本节课的知识怎样测量停留在空中的气球的高度呢？（仪器：卷尺测角仪）四：小结谈谈本节课你有哪些收获？五：作业布置锐角三角函数复习（说课稿）乾县长留初中张莉教材分析：锐角三角函数是九年级数学下册第一章内容，它是中招考试的重要考点，在中学数学中占有举足轻重的地位。
锐角三角函数教案
锐角三角函数教案教学目标:1. 理解锐角三角函数的定义及其在三角恒等式中的应用。
2. 学会根据给定角度的数值计算其相对应的锐角三角函数值。
3. 掌握使用锐角三角函数求解三角方程和解三角形问题的方法。
教学重点:1. 锐角三角函数的定义及其性质。
2. 使用锐角三角函数求解三角方程和解三角形问题。
教学难点:1. 理解锐角三角函数与三角恒等式之间的关系，能够在解题中正确应用锐角三角函数的性质。
2. 学会使用锐角三角函数解决实际问题。
教学过程:Step 1: 导入新知识引入锐角三角函数的概念，并与直角三角函数进行对比，引出锐角三角函数的定义。
Step 2: 锐角三角函数的定义及其性质1. 引导学生理解正弦、余弦和正切函数的定义。
2. 解释锐角三角函数的定义域和值域。
3. 介绍锐角三角函数的基本性质，例如正弦函数的周期性和对称性等。
Step 3: 锐角三角函数的计算1. 给出一个角度的数值，让学生计算其相对应的锐角三角函数值。
2. 引导学生根据定义和性质解决一些简单的计算问题。
Step 4: 三角恒等式1. 介绍三角恒等式的概念。
2. 使用锐角三角函数的定义和性质推导一些常见的三角恒等式，例如正弦函数、余弦函数和正切函数的平方和差恒等式等。
3. 引导学生通过三角恒等式简化复杂的三角表达式。
Step 5: 解三角方程1. 介绍三角方程的概念。
2. 引导学生通过应用锐角三角函数的定义和性质解决一些简单的三角方程。
3. 给出一些较复杂的三角方程，让学生尝试解决。
Step 6: 解三角形问题1. 引导学生理解解三角形问题的思路和方法。
2. 通过实例引导学生解决一些简单的解三角形问题。
Step 7: 拓展应用1. 引导学生通过锐角三角函数解决一些实际问题，例如测量不可到达的高度和距离等。
2. 让学生自主寻找和锐角三角函数相关的应用实例，并进行讨论。
Step 8: 总结归纳总结锐角三角函数的定义、性质和使用方法，并强调锐角三角函数在解决实际问题中的重要性。
初三数学——锐角三角函数的讲义
在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程，就是解直角三角形．
〈注〉解直角三角形，需把所有的边、角都求出来（不包括直角）．
2．解直角三角形的依据
在直角三角形中有6个元素（三边三角），它们具有如下关系：
（1）边之间的关系：（勾股定理）
（2）角之间的关系：（两锐角互余）
解：，
．
设，
则，，，
，
．
6．在四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，AB=2，CD=1， ∠A=60°，求AD、BC的长．
解：延长AD、BC相交于点E．
∠B=90°，∠A=60°，
，
；
同理，
，
；
；
．
方法3．如（方法2）图，，
，即．
．
如图，在中，于C，，，，
，，．作于E，
，
，
即．
．
【探究2】sin2α与sinα之间有什么关系？
解：易证∠BAC＝∠ADE＝a ，
在中，，
，
．
选B．
说明：可能有的同学会根据以前的知识，设，从而得出，最终算出，这样当然是很好的．但是，对于这种过去就比较熟悉的问题，应该尝试用新的观点去看待它、用新的方法去求解，逐渐形成使用锐角三角函数解题的意识．
（3）边、角之间的关系：
①；．
②；．
（4）其它：射影定理；直角三角形斜边中线等于斜边的一半；三角形面积公式等．
3．直角三角形的可解条件和基本类型
已知条件 解法
一条边和一个锐角 斜边c和锐角A ，，，
直角边a和锐角A ，，，
两条边 两条直角边a和b ，由求，，
锐角三角函数全章教案
锐角三角函数全章教案．1 锐角三角函数初三备课组教学目标1．知识与技能了解锐角三角函数的概念，能够正确应用sinA、表示直角三角形中两边的比；记忆30°、45°、60°的正弦函数值，并会一个特殊角的三角函数值说出这个角；能够正确地使用计算器，已知锐角求出它的三角函数值，已知三角函数值求出相应的锐角．2．过程与方法通过锐角三角函数的学习，进一步认识函数，体会函数的变化与对应的思想，逐步培养学生会观察、比较、分析、概括等逻辑思维能力．3．情感、态度与价值观引导学生探索、发现，以培养学生独立思考、勇于创新的精神和良好的学习习惯．重点与难点1．重点：正弦三角函数概念及其应用．2．难点：使学生知道当锐角固定时，它的对边与斜边的比值也是固定的这一事实．用含有几个字母的符号组sinA 表示正弦，正弦概念．教学过程情境引入比萨斜塔 1350 年落成时就已倾斜，其塔顶中心点偏离垂直中心线 m．至今，这座高 m 的斜塔仍巍然屹立．你能用“塔身中心线与垂直中心线所成的角θ”来描述比萨斜塔的倾斜程度吗？问题1 为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，在山坡上修建一座扬水站，对坡面的绿地进行喷灌．现测得斜坡与水平面所成角的度数是 30°，为使出水口的高度为 35 m，需要准备多长的水管？这个问题可以归结为:在 Rt△ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，BC=35 m，求 AB．在上面的问题中，如果出水口的高度为 50 m，那么需要准备多长的水管？思考：这些结果，你能得到什么结论？结论：在直角三角形中，如果一个锐角的度数是30°，那么不管三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比值是一个固定值，为．问题2：如图，任意画一个 Rt△ABC，使∠C=90°，∠A=45°，计算∠A 的对边与斜边的比．BA的对边BC2斜边AB2如图，任意画一个 Rt△ABC，使∠C=90°，∠A=60°，计算∠A 的对边与斜边的比A的对边BC3斜边AB2在直角三角形中，如果一个锐角的度数是 45°，那么不管三角形的大小如何，这个角2的对边与斜边的比是一个固定值，为 2 ． 450角的对边BC2斜边AB2在直角三角形中，如果一个锐角的度数是 60°，那么不管三角形的大小如何，这个角3的对边与斜边的比是一个固定值，为 2 ． 600角的对边BC3斜边AB2在直角三角形中，当锐角 A 的度数一定时，不管三角形的大小如何，它的对边与斜边的比是一个固定值．问题3 任意画 Rt△ABC 和 Rt△ABC，使得∠C =∠C＇=90°．∠A=∠A＇，那么'''B'C'BCAB与 A'B' 有什么关系．你能解释一下吗？解：∵∠C= ∠C＇=90°，∠A=∠A＇．∴ Rt △ABC ∽Rt △ABCBCBCAB ∴ABBCAB∴BCAB在 Rt△ABC 中，∠C=90°，我们把锐角 A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作 sin A，即A的对边a斜边c EMBED sin A=B1sin 30°=2，sin 45°=232，sin 60°=2例如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，求 sin A 和 sin B 的值．练习提高，提升能力练习1 如下三幅图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，求 sinA 和 sinB 的值练习2 判断下列结论是否正确，并说明理．在 Rt△ABC 中，锐角 A 的对边和斜边同时扩大 100 倍，sin A 的值也扩大 100AC10倍； 62BC如图所示，△ABC 的顶点是正方形网格的格点，则sin B= = 4．反思与小结 1．本节课我们学习了哪些知识？2．研究锐角正弦的思路是如何构建的？课后作业1．教科书第 64 页练习．2．课外探究：在直角三角形中，锐角 A 的邻边与斜边的比是否也是一个固定值．教学反思．2 锐角三角函数B 43 2 C C6 A AC教学目标1．知识与技能了解锐角三角函数的概念，能够正确应用sinA、tan A 表示直角三角形中两边的比；记忆30°、45°、60°的正弦函数值，并会一个特殊角的三角函数值说出这个角；能够正确地使用计算器，已知锐角求出它的三角函数值，已知三角函数值求出相应的锐角．2．过程与方法通过锐角三角函数的学习，进一步认识函数，体会函数的变化与对应的思想，逐步培养学生会观察、比较、分析、概括等逻辑思维能力．3．情感、态度与价值观引导学生探索、发现，以培养学生独立思考、勇于创新的精神和良好的学习习惯．重点与难点1．重点：正弦、正切三角函数概念及其应用．2．难点：使学生知道当锐角固定时，它的对边与斜边、对边与邻边的比值也是固定的这一事实．用含有几个字母的符号组sinA表示正弦、正切，正弦和正切概念．教学过程类比推理，提出概念请同学们回顾一下，我们是如何得到锐角正弦的概念的？在 Rt△ABC 中，∠C=90°，当∠A 确定时，∠A 的对边与斜边比随之确定．此时，其他边之间的比是否也随之确定呢？证明推理，引出概念如图：在△ABC 和△DEF 中，∠A=∠D，∠C=∠FACDFBCEF=90°， AB 与 DE 相等吗？ AC 与 DF 呢？证明推理，得到概念在 Rt△ABC 中，当锐角 A 的度数一定时，无论这个直角三角形大小如何，∠A 的邻边与斜边的比、对边与邻边的比都是一个固定值．在直角三角形中，锐角的邻边与斜边的比叫做这个锐角的余弦，记作 cos A ．在直角三角形中，锐角的对边与邻边的比叫做这个锐角的正切，记作tan A ．证明推理，得到概念∠A 的正弦、余弦、正切都是∠A的锐角三角函数．巩固概念如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AB=10，BC=6，求 sin A，cos A，tan A 的值. 小结反思1．通过本节课的学习，我们一共学习了哪几种锐角三角函数，它们是如何定义的？ 2．在本节课的学习中，我们用到了哪些数学思想方法？课后作业教科书第 68 页习题第 1 题．教学反思．4 锐角三角函数课型：习题课教学目标：1.主进一步认识锐角三角函数2.准确把握锐角的正弦、余弦和正切间的联系与区别，进而灵活运用锐角三角函数的概念解决问题．学习目标: 1．进一步认识锐角正弦、余弦和正切；2．能根据锐角三角函数的定义解决与直角三角形有关的简单计算．学习重点：根据锐角三角函数的定义解决与直角三角形有关的简单计算．知识梳理问题 1 锐角三角函数是如何定义的？总结锐角三角函数的定义过程，并写出如图所示的直角三角形中两个锐角的三角函数．问题2 借助两块三角尺说明 30°， 45°，60°角的三角函数值．典型例题例1 已知，如图，Rt△ABC 中，∠C＝90°，∠BAC=30°，延长 CA 至 D 点，使AD=AB．求∠D，tan D．例2 已知，如图，⊙O 的半径 OA=4，弦 AB= 43 ，求劣弧 AB 的长．1例3 已知，如图，钝角△ABC 中，AC=12 cm，AB=16 cm，sin A=3 ．求 tan B．小结与反思回顾上述三个例题的解题思路，思考：在解题过程中，求一个锐角的三角函数的实质是求什么？已知一个锐角的三角函数值可以转化为怎样的条件？在这一过程中应该注意什么？布置作业1．如图，在平面直角坐标系中，直径为 10 的⊙A 经过点C和点O，与x 轴交于另一点D，点 B 是优弧 ODC 上一点，求∠OBC 的余弦值．3 2．已知：如图，⊙O 的半径 OA=16 cm，OC⊥AB于 C 点，sin∠AOC=4 ，求 AB及 OC 的长．13．已知：如图△ABC 中，D 为 BC 中点，且∠BAD=90°，tan B=3 ，求∠CAD 三角函数值．教学反思y A O B A A O D C B x B C．1解直角三角形及其应用课型：新授课教学目标1.结合已学过的勾股定理和三角形内角和定理，研究解直角三角形的方法． 2．了解解直角三角形的意义和条件；3．能根据已知的两个条件，解直角三角形．教学重点、难点：解直角三角形的依据和方法．教学过程实例引入，初步体验问题1 设塔顶中心点为 B，塔身中心线与垂直中心线的夹角为∠A，过点 B 向垂直中心线引垂线，垂足为点 C．在Rt△ABC 中，∠C=90°，BC= m， AB= m，求∠A 的度数．概念一般地，在直角三角形中，除直角外，共有五个元素，即三条边和两个锐角．直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的过程，叫做解直角三角形．三边之间的关系a2+b2=c2 ；两锐角之间的关系∠A+∠B=90°；边角之间的关系aba sin A=c ， cos A=c ， tan A=b babsin B=c ， cos B=c ， tan B= a．问题3 从问题1 的解答过程看，在直角三角形中，知道斜边和一条直角边，可以求其余的三个元素．那么，“知道五个元素中的两个元素，可以求其余元素”，还有哪几种情况呢？例题示范，方法探究例1 在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=2 ，BC=6，解这个直角三角形．例2 如图，在 Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=35°，b=20，解这个直角三角形．应用迁移，巩固提高练习：编写一道解直角三角形的题并解答．归纳：在直角三角形中，知道五个元素中的两个元素，我们就可以解这个直角三角形．一般有两种情况：已知两条边；已知一条边和一个锐角．归纳交流，总结反思1．什么叫解直角三角形？直角三角形中，除直角外，五个元素之间有怎样的关系？ 2．两个直角三角形全等要具备什么条件？为什么在直角三角形中，已知一条边和一个锐角，或两边，就能解这个直角三角形？ 3．你能根据不同的已知条件，归纳相应的解直角三角形的方法吗？课后作业教科书第 74 页练习；教科书习题第 1 题．教学反思．2 解直角三角形及其应用课型：习题课教学目标1.利用解直角三角形进行几何图形的简单计算．2. 熟练掌握解直角三角形的方法；3. 能灵活运用解直角三角形解决与直角三角形有关的图形计算问题．教学重难点灵活运用解直角三角形解决与直角三角形有关的图形计算问题．知识梳理问题 1 什么叫解直角三角形？为什么在直角三角形中已知一条边和一个锐角，或已知两边，能够解这个直角三角形？问题2 根据不同的已知条件，归纳相应的解直角三角形的方法，完成下表填空.斜边 c 和一条边锐角∠A 和一个直角边 a 锐角和锐角∠A 两条直角边 a 和 b 两条边直角边 a 和斜边 c ∠B= ，a= ， b=______ ∠B=______，b=______，c=______ c=______，______ 求∠A=______，∠B=______ b=______，______ 求∠A=_____，∠B=______ 典型例题例1 在 Rt△ABC 中，∠C=90°，根据下列条件解直角三角形： a=3 ，c= 6 ；∠B=60°，b=4；∠A=60°，△ABC 的面积 S= 123 ．例2 在△ABC 中，∠C=90°，∠B=30°，AD 是∠BAC 的角平分线，与 BC 相交于点 D，且 AB=4，求 AD 的长．例3 在△ABC 中，∠B=30°，∠C=45°，AC=4，求 AB 和BC．布置作业1．已知在△ABC 中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为 D，若∠B=30°，CD=6，求 AB 的长．2．AD⊥CD，AB=10，BC=20，∠A=∠C=30°，求 AD，CD 的长．教学反思．3 解直角三角形及其应用教学目标1.能利用直角三角形中的这些关系解直角三角形．2.使学生把实际问题转化为解直角三角形问题，从而会把实际问题转化为数学问题来解决，进一步提高数学建模能力3.通过综合运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力．教学重点将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形元素之间的关系，从而利用所学知识解决实际问题．教学过程复习引入，知识储备问题1 如图，PA 切⊙O 于点 A，PO 交⊙O 于点 B，⊙O 的半径为 1 cm，PB= cm，则∠AOB= ，弧AB= ．问题2 平时观察物体时，我们的视线相对于水平线来说可有几种情况？三种：重叠、向上和向下．在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方时，视线与水平线所成的角叫仰角，视线在水平线下方时，视线与水平线所成的角叫俯角． A应用知识，解决问题问题3 20XX 年 6 月 18 日，“神舟”九号载人航天飞船与“天宫”一号目标飞行器成功实现交会对接．“神舟”九号与“天宫”一号的组合体在离地球表面 343 km 的圆形轨道上运行，如图，当组合体运行到地球表面 P 点的正上方时，从中能直接看到的地球表面最远的点在什么位置？最远点与 P 点的距离是多少？铅垂线视点视线P B O 仰俯水平线视线从组合体中能直接看到的地球表面最远的点在什么位置？从组合体中能直接看到的地球表面最远点，应是视线与地球相切时的切点．在平面图形中，用什么图形可表示地球，用什么图形表示观测点，请根据题中的相关条件画出示意图．如图，用⊙O 表示地球，点 F 是组合体的位置，FQ是⊙O 的切线，切点 Q 是从组合体观测地球时的最远点．问题中求最远点与 P 点的距离实际上是要求什么？需先求哪个量？怎样求？弧PQ的长就是地面上 P、Q 两点间的距离，为计算弧PQ 的长需先求出∠POQ．应用知识，解决问题问题4 热气球的探测器显示，从热气球看一栋楼顶部的仰角为 30°，看这栋楼底部的俯角为 60°，热气球与楼的水平距离为 120 m，这栋楼有多高？从热气球看一栋楼顶部的仰角为 30°→α=30°从热气球看一栋楼底部的俯角为 60°→β=60°热气球与高楼的水平距离为120 m→AD=120 m，AD⊥BC．这个问题可归纳为什么问题解决？怎样解决？在直角三角形中，已知一锐角和与这个锐角相邻的直角边，可以利用解直角三角形的知识求这个锐角所对的直角边，再利用两线段之和求解．归纳总结应用解直角三角形的方法解决实际问题的一般步骤：将实际问题抽象为数学问题；根据条件，适当选用锐角三角函数解直角三角形；得到数学问题的答案；得到实际问题的答案．如果问题不能归结为一个直角三角形，则应当对所求的量进行分解，将其中的一部分量归结为直角三角形中的量．布置作业教科书习题第 2，3，4 题教学反思．4 解直角三角形及其应用教学目标1.“在航海中确定轮船距离灯塔有多远”的实际问题理解解直角三角形的理论在实际中的应用，进一步领悟解直角三角形的知识也是解决实际问题的有效数学工具。
锐角三角函数教案
锐角三角函数教案教案名称：锐角三角函数教学教学目标：1. 理解正弦函数、余弦函数和正切函数的概念和性质。
2. 掌握锐角三角函数的求值方法。
3. 能够运用锐角三角函数解决实际问题。
教学重点：1. 正弦函数和余弦函数的定义和求值方法。
2. 正切函数的定义和求值方法。
教学难点：1. 正弦函数和余弦函数在锐角三角形中的应用。
2. 正切函数的图像和性质。
教学准备：1. 教材《数学高中必修一》。
2. 板书工具和黑板。
教学过程：步骤一：引入和导入（5分钟）教师可以通过询问学生铁塔的高度、房子的高度等问题引入正弦函数和余弦函数的概念，激发学生对三角函数的兴趣。
步骤二：介绍正弦函数和余弦函数（15分钟）1. 教师通过展示正弦函数和余弦函数的图像，让学生对两个函数的图像有初步了解。
2. 教师解释正弦函数和余弦函数的定义和性质，强调在锐角三角形中的应用。
步骤三：正弦函数和余弦函数的求值方法（20分钟）1. 教师教授正弦函数和余弦函数的求值方法，包括画图法和查表法，并通过例题进行讲解。
2. 学生进行课堂练习，巩固求值方法。
步骤四：引入正切函数（10分钟）1. 教师引入正切函数，让学生了解正切函数的定义和性质。
2. 教师介绍正切函数的图像，帮助学生理解正切函数的特点。
步骤五：正切函数的求值方法（15分钟）1. 教师教授正切函数的求值方法，包括画图法和查表法，并通过例题进行讲解。
2. 学生进行课堂练习，巩固求值方法。
步骤六：应用实际问题（10分钟）教师通过应用实际问题的方式，引导学生将锐角三角函数应用于实际生活中，提高学生的问题解决能力。
步骤七：课堂小结和答疑（5分钟）教师对本节课的重点内容进行总结，并解答学生提出的问题。
教学延伸：1. 练习相关的习题，巩固所学知识。
2. 进行实验和探究活动，让学生自己发现锐角三角函数的性质和求值方法。
3. 整理复习笔记，加深对锐角三角函数的理解。
评价方式：1. 教师观察学生课堂表现。
2. 练习题的完成情况和准确率。
中考一轮-第10讲-直角三角形与锐角三角函数(提高)-教案
学科教师辅导讲义学员编号：年级：九年级（下）课时数：3学员姓名：辅导科目：数学学科教师：授课主题第10讲-----直角三角形与锐角三角函数授课类型T同步课堂P实战演练S归纳总结教学目标①熟练掌握直角三角形的性质与判定；②熟练掌握特殊角的三角函数值；③熟练应用锐角三角函数计算高度。
授课日期及时段T（Textbook-Based）——同步课堂一、知识梳理二、知识概念（一）直角三角形的性质1．直角三角形的两锐角________．2．直角三角形中，30°角所对的边等于斜边的________．3．直角三角形斜边上的中线等于斜边的________．4．勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．（二）直角三角形的判定1．有一个角等于________的三角形是直角三角形．2．有两角________的三角形是直角三角形．3．如果三角形一边上的中线等于这边的________，则该三角形是直角三角形．体系搭建4．勾股定理的逆定理：如果三角形一条边的平方等于另外两条边的________，那么这个三角形是直角三角形．（三）锐角三角函数定义在Rt△ABC 中，∠C ＝90°，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别为a ，b ，C ．∠A 的正弦：sin A ＝∠A 的对边斜边＝________；∠A 的余弦：cos A ＝∠A 的邻边斜边＝________；∠A 的正切：tan A ＝∠A 的对边∠A 的邻边＝________.它们统称为∠A 的锐角三角函数．锐角的三角函数只能在直角三角形中使用，如果没有直角三角形，常通过作垂线构造直角三角形．（四）特殊角的三角函数值（五）解直角三角形1．定义：由直角三角形中除直角外的已知元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形．(直角三角形中，除直角外，一共有5个元素，即3条边和2个锐角) 2．直角三角形的边角关系：在Rt△ABC 中，∠C ＝90°，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别为a ，b ，C ． (1)三边之间的关系：____________； (2)锐角之间的关系：____________；(3)边角之间的关系：sin A ＝ac ，cos A ＝b c ，tan A ＝a b ，sin B ＝b c ，cos B ＝a c ，tan B ＝b a. 3．解直角三角形的几种类型及解法：(1)已知一条直角边和一个锐角(如a ，∠A )，其解法为：∠B ＝90°－∠A ，c ＝a sin A ，b ＝atan A(或b ＝c 2－a 2)；(2)已知斜边和一个锐角(如c ，∠A )，其解法为：∠B ＝90°－∠A ，a ＝c ·sin A ，b ＝c ·cos A (或b ＝c 2－a 2)；(3)已知两直角边a ，b ，其解法为：c ＝a 2＋b 2， 由tan A ＝ab，得∠A ，∠B ＝90°－∠A ；(4)已知斜边和一直角边(如c ，a )，其解法为：b ＝c 2－a 2，由sin A ＝a c，求出∠A ，∠B ＝90°－∠A ．（六）解直角三角形的应用（测高）1．仰角与俯角：在进行观察时，从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角；从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角．2．坡角与坡度：坡角是坡面与水平面所成的角；坡度是斜坡上两点________与水平距离之比，常用i 表示，也就是坡角的正切值，坡角越大，坡度越大，坡面________．考点一： 直角三角形的性质例1、△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别记为a ，b ，c ，由下列条件不能判定△ABC 为直角三角形的是（ ）A ．∠A +∠B=∠CB ．∠A ：∠B ：∠C=1：2：3C ．a 2=c 2﹣b 2D ．a ：b ：c=3：4：6 【解析】D ．例2、如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CD 为AB 边上的高，若点A 关于CD 所在直线的对称点E 恰好为AB 的中点，则∠B 的度数是（ ） A ．60°B ．45°C ．30°D ．75°【解析】C ．例3、如图，△ABC中，AB=AC=10，BC=8，AD平分∠BAC交BC于点D，点E为AC的中点，连接DE，则△CDE的周长为（）A．20B．12C．14D．13【解析】C．例4、如图，边长为6的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为S1、S2，则S1+S2的值为（）A．16B．17C．18D．19【解析】设正方形S1的边长为x，AB=BC，DE=DC，∠ABC=∠D=90°，∴sin∠CAB=sin45°==，即AC=BC，同理可得：BC=CE=CD，∴AC=BC=2CD，又∵AD=AC+CD=6，∴CD==2，∴EC2=22+22，即EC=2；∴S1的面积为EC2=2×2=8；∵∠MAO=∠MOA=45°，∴AM=MO，∵MO=MN，∴AM=MN，∴M为AN的中点，∴S2的边长为3，∴S2的面积为3×3=9，∴S1+S2=8+9=17．故选B．考点二：锐角三角函数例1、如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于点D，则下列结论不正确的是（）A．B．C．D．【解析】C．例2、一座楼梯的示意图如图所示，BC是铅垂线，CA是水平线，BA与CA的夹角为θ．现要在楼梯上铺一条地毯，已知CA=4米，楼梯宽度1米，则地毯的面积至少需要（）A．米2B．米2C．（4+）米2D．（4+4tanθ）米2【解析】在Rt△ABC中，BC=AC•tanθ=4tanθ（米），∴AC+BC=4+4tanθ（米），∴地毯的面积至少需要1×（4+4tanθ）=4+4tanθ（米2）；故选：D．例3、已知a是锐角，且sin（a+15°）=，计算﹣4cosα﹣（π﹣3.14）0+tanα+的值．【解析】∵sin60°=，∴α+15°=60°，∴α=45°，∴原式=2﹣4×﹣1+1+3=3．考点三：利用锐角三角函数测高例1、如图，为了测量某建筑物MN的高度，在平地上A处测得建筑物顶端M的仰角为30°，向N点方向前进16m到达B处，在B处测得建筑物顶端M的仰角为45°，则建筑物MN的高度等于（）A．8（）m B．8（）mC．16（）m D．16（）m【解析】A．例2、如图，某日，正在我国南海海域作业的一艘大型渔船突然发生险情，相关部门接到求救信号后，立即调遣一架直升飞机和一艘正在南海巡航的渔政船前往救援，当飞机到达海面3000m的高空C处时，测得A处渔政船的俯角为45°，测得B处发生险情渔船的俯角为30°，此时渔政船和渔船的距离AB是（）A．3000m B．3000（）mC．3000（）m D．1500m【解析】C．例3、如图，一渔船由西往东航行，在A点测得海岛C位于北偏东60°的方向，前进40海里到达B点，此时，测得海岛C位于北偏东30°的方向，则海岛C到航线AB的距离CD是（）A．20海里B．40海里C．20海里D．40海里【解析】C．例4、某校一栋教学大楼的顶部竖有一块“传承文明，启智求真”的宣传牌CD．小明在山坡的坡脚A处测得宣传牌底部D的仰角为45°，沿山坡向上走到B处测得宣传牌底部C的仰角为30°．已知山坡AB的坡度i=1：，AB=10米，AE=15米，求这块宣传牌CD的高度．【解析】过B作BF⊥AE，交EA的延长线于F，作BG⊥DE于G．在Rt△ABF中，i=tan∠BAF==，∴∠BAF=30°，∴BF=AB=5，AF=5．∴BG=AF+AE=5+15．在Rt△BGC中，∵∠CBG=30°，∴CG：BG=，∴CG=5+5．在Rt△ADE中，∠DAE=45°，AE=15，∴DE=AE=15，∴CD=CG+GE﹣DE=5+5+5﹣15=（5﹣5）m．答：宣传牌CD高约（5﹣5）米．P(Practice-Oriented)——实战演练实战演练➢课堂狙击1、如图，正方形网格中的△ABC，若小方格边长为1，则△ABC的形状为（）A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．以上答案都不对【解析】A．2、用两个完全相同的直角三角板，不能拼成下列图形的是（）A．平行四边形B．矩形C．等腰三角形D．梯形【解析】D．3、如图，一棵树在一次强台风中，从离地面5 m处折断，倒下的部分与地面成30°角，如图所示，这棵树在折断前的高度是（）A．10m B．15m C．5m D．20m【解析】B．4、如图，已知∠AOB=60°，点P在边OA上，OP=12，点M，N在边OB上，PM=PN，若MN=2，则OM=（）A．3B．4C．5D．6【解析】C．5、如图，△ABC中，AB=AC=5，BC=6，AE平分∠BAC交BC于点E，点D为AB的中点，连接DE，则△BDE的面积是（）A．3B．6C．10D．12【解析】∵△ABC中，AB=AC，AE平分∠BAC交BC于点E，∴AE⊥BC，且BE=CE，∴AE===4，∴S△ABC=×BC×AE=×6×4=12，∵点D为AB的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE∥AC，且DE=AC，∴==，∴S△BDE=S△ABC=×12=3，故选A．6、△ABC中，AB=AC=5，BC=8，点P是BC边上的动点，过点P作PD⊥AB于点D，PE⊥AC于点E，则PD+PE的长是（）A．4.8B．4.8或3.8 C．3. 8D．5【解析】过A点作AF⊥BC于F，连结AP，∵△ABC中，AB=AC=5，BC=8，∴BF=4，∴△ABF中，AF==3，∴×8×3=×5×PD+×5×PE，∴12=×5×（PD+PE）PD+PE=4.8．故选：A．7、如图，一艘轮船位于灯塔P的北偏东60°方向，与灯塔P的距离为30海里的A处，轮船沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东30°方向上的B处，则此时轮船所在位置B处与灯塔P之间的距离为（）A．60海里B．45海里C．20海里D．30海里【解析】D．8、如图，△ABC中，AB=AC，点D是BC上一点，DE⊥AB于E，FD⊥BC于D，G是FC的中点，连接GD．求证：GD⊥DE．【解析】∵AB=AC，∴∠B=∠C，∵DE⊥AB，FD⊥BC，∴∠BED=∠FDC=90°，∴∠1+∠B=90°，∠3+∠C=90°，∴∠1=∠3，∵G是直角三角形FDC的斜边中点，∴GD=GF，∴∠2=∠3，∴∠1=∠2，∵∠FDC=∠2+∠4=90°，∴∠1+∠4=90°，∴∠2+∠FDE=90°，∴GD⊥DE．9、如图，在大楼AB的正前方有一斜坡CD，CD=4米，坡角∠DCE=30°，小红在斜坡下的点C处测得楼顶B的仰角为60°，在斜坡上的点D处测得楼顶B的仰角为45°，其中点A、C、E在同一直线上．（1）求斜坡CD的高度DE；（2）求大楼AB的高度（结果保留根号）【解析】（1）在Rt△DCE中，DC=4米，∠DCE=30°，∠DEC=90°，∴DE=DC=2米；（2）过D作DF⊥AB，交AB于点F，∵∠BFD=90°，∠BDF=45°，∴∠BFD=45°，即△BFD为等腰直角三角形，设BF=DF=x米，∵四边形DEAF为矩形，∴AF=DE=2米，即AB=（x+2）米，在Rt△ABC中，∠ABC=30°，∴BC====米，BD=BF=x米，DC=4米，∵∠DCE=30°，∠ACB=60°，∴∠DCB=90°，在Rt△BCD中，根据勾股定理得：2x2=+16，解得：x=4+4，则AB=（6+4）米．➢课后反击1、如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的高线，图中与∠A互余的角有（）A．0个B．1个C．2个D．3个【解析】C．2、将一副直角三角尺如图放置，若∠AOD=20°，则∠BOC的大小为（）A．140° B．160°C．170°D．150°【解析】B．3、如图，有两棵树，一棵高10米，另一棵高4米，两树相距8米．一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行（）A．8米B．10米C．12米D．14米【解析】B．4、如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AD平分∠CAB交BC于点D，E为AB上一点，连接DE，则下列说法错误的是（）A．∠CAD=30°B．AD=BD C．BD=2CD D．CD=ED【解析】D．5、如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC=1，CE=3，H是AF的中点，那么CH的长是（）A．2.5B．C．D．2【解析】连接AC、CF，H是AF的中点，CH=AF=×2=．选：B．6、如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为点D，若AC=6，∠C=45°，tan∠ABC=3，则BD等于（）A．2B．3C．3D．2【解析】A．7、如图，点A为∠α边上的任意一点，作AC⊥BC于点C，CD⊥AB于点D，下列用线段比表示cosα的值，错误的是（）A．B．C．D．【解析】C．8、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的中线，DE⊥AB于点D，交AC于点E．（1）若BC=3，AC=4，求CD的长；（2）求证：∠1=∠2．【解析】（1）解：∵∠ACB=90°，BC=3，AC=4，∴AB==5，∵CD是AB边上的中线，∴CD=AB=2.5；（2）证明：∵∠ACB=90°，∴∠A+∠B=90°，∵DE⊥AB，∴∠A+∠1=90°，∴∠B=∠1，∵CD是AB边上的中线，∴BD=CD，∴∠B=∠2，∴∠1=∠2．9、如图，建筑物AB后有一座假山，其坡度为i=1：，山坡上E点处有一凉亭，测得假山坡脚C与建筑物水平距离BC=25米，与凉亭距离CE=20米，某人从建筑物顶端测得E点的俯角为45°，求建筑物AB的高．（注：坡度i是指坡面的铅直高度与水平宽度的比）【解析】过点E作EF⊥BC于点F，过点E作EN⊥AB于点N，∵建筑物AB后有一座假山，其坡度为i=1：，∴设EF=x，则FC=x，∵CE=20米，∴x2+（x）2=400，解得：x=10，则FC=10m，∵BC=25m，∴BF=NE=（25+10）m，∴AB=AN+BN=NE+EF=10+25+10=（35+10）m，答：建筑物AB的高为（35+10）m．直击中考1、【2014•泰州】如果三角形满足一个角是另一个角的3倍，那么我们称这个三角形为“智慧三角形”．下列各组数据中，能作为一个智慧三角形三边长的一组是（）A．1，2，3B．1，1，C．1，1，D．1，2，【解析】D．2、【2010•苏州】如图，在菱形ABCD中，DE⊥AB，，BE=2，则tan∠DBE的值（）A．B．2C．D．【解析】设菱形ABCD边长为t．∵BE=2，∴AE=t﹣2．∵cosA=，∴．∴=．∴t=5．∴AE=5﹣2=3．∴DE==4．∴tan∠DBE===2．故选B．3、【2015•日照】如图，在直角△BAD中，延长斜边BD到点C，使DC=BD，连接AC，若tanB=，则tan∠CAD的值（）A．B．C．D．【解析】：如图，延长AD，过点C作CE⊥AD，垂足为E，∵tanB=，即=，∴设AD=5x，则AB=3x，∵∠CDE=∠BDA，∠CED=∠BAD，∴△CDE∽△BDA，∴，∴CE=x，DE=，∴AE=，∴tan∠CAD==．故选D．4、【2016•攀枝花】如图，点D（0，3），O（0，0），C（4，0）在⊙A上，BD是⊙A的一条弦，则sin∠OBD=（）A．B．C．D．【解析】连接CD，∵∠OBD=∠OCD，∴sin∠OBD=sin∠OCD==．故选：D．5、【2014•威海】如图，在下列网格中，小正方形的边长均为1，点A、B、O都在格点上，则∠AOB的正弦值是（）A．B．C．D．【解析】D．6、【2011•黄石】计算：．【解析】2．7、【2012•淮安】如图，△ABC中，∠C=90°，点D在AC上，已知∠BDC=45°，BD=10，AB=20．求∠A的度数．【解析】sin∠A===，∴∠A=30°．8、【2016•深圳】某兴趣小组借助无人飞机航拍校园．如图，无人飞机从A处水平飞行至B处需8秒，在地面C处同一方向上分别测得A处的仰角为75°，B处的仰角为30°．已知无人飞机的飞行速度为4米/秒，求这架无人飞机的飞行高度．（结果保留根号）【解析】作AD⊥BC，BH⊥水平线，由题意得：∠ACH=75°，∠BCH=30°，AB∥CH，∴∠ABC=30°，∠ACB=45°，∵AB=32m，∴AD=CD=16m，BD=AB•cos30°=16m，∴BC=CD+BD=（16+16）m，则BH=BC•sin30°=（8+8）m．9、【2016•乐山】如图，禁止捕鱼期间，某海上稽查队在某海域巡逻，上午某一时刻在A处接到指挥部通知，在他们东北方向距离12海里的B处有一艘捕鱼船，正在沿南偏东75°方向以每小时10海里的速度航行，稽查队员立即乘坐巡逻船以每小时14海里的速度沿北偏东某一方向出发，在C处成功拦截捕鱼船，求巡逻船从出发到成功拦截捕鱼船所用的时间．【解析】设巡逻船从出发到成功拦截所用时间为x小时；由题意得：∠ABC=45°+75°=120°，AB=12，BC=10x，AC=14x，过点A作AD⊥CB的延长线于点D，在Rt△ABD中，AB=12，∠ABD=60°，∴BD=AB•cos60°=AB=6，AD=AB•sin60°=6，∴CD=10x+6．在Rt△ACD中，由勾股定理得：，解得：（不合题意舍去）．答：巡逻船从出发到成功拦截所用时间为2小时．S(Summary-Embedded)——归纳总结重点回顾1、直角三角形的性质与判定2、锐角三角函数及其应用名师点拨该部分是中考考查的热点之一，主要考查直角三角形的判定和性质的应用、运用勾股定理及其逆定理来解决实际问题的能力；运用解直角三角形的知识解决与现实生活相关的应用题是重中之重。
人教版九年级锐角三角函数全章教案
人教版九年级锐角三角函数全章教案九年级锐角三角函数全章教案一、教学目标：1. 了解锐角三角函数的概念和基本性质。
2. 掌握锐角三角函数的定义和计算方法。
3. 理解锐角三角函数的图像、性质和应用。
4. 能够运用锐角三角函数解决实际问题。
二、教学重点：1. 锐角三角函数的定义和计算方法。
2. 锐角三角函数的图像、性质和应用。
三、教学难点：1. 锐角三角函数的图像和性质。
2. 运用锐角三角函数解决实际问题。
四、教学准备：1. 教材：人教版九年级数学教材。
2. 教具：黑板、粉笔、计算器、投影仪等。
五、教学过程：第一课时：锐角三角函数的定义和计算方法1. 导入（5分钟）通过提问复习九年级学过的三角函数的概念和性质，引出本节课的内容。
2. 介绍（10分钟）讲解锐角三角函数的定义和计算方法，包括正弦、余弦和正切的定义，以及计算方法的示例。
3. 讲解（20分钟）详细讲解正弦、余弦和正切的计算方法，包括利用三角函数表和计算器进行计算的步骤和注意事项。
4. 练习（15分钟）让学生进行一些基础的计算练习，以巩固所学的知识。
5. 小结（5分钟）对本节课的内容进行小结，强调锐角三角函数的定义和计算方法。
第二课时：锐角三角函数的图像和性质1. 导入（5分钟）通过提问复习上节课学过的锐角三角函数的定义和计算方法，引出本节课的内容。
2. 介绍（10分钟）讲解锐角三角函数的图像和性质，包括正弦函数、余弦函数和正切函数的图像特点和周期性。
3. 讲解（20分钟）详细讲解正弦函数、余弦函数和正切函数的图像特点和性质，包括振幅、周期、对称轴等。
4. 练习（15分钟）让学生进行一些图像分析和性质探究的练习，以巩固所学的知识。
5. 小结（5分钟）对本节课的内容进行小结，强调锐角三角函数的图像和性质。
第三课时：锐角三角函数的应用1. 导入（5分钟）通过提问复习上节课学过的锐角三角函数的图像和性质，引出本节课的内容。
2. 介绍（10分钟）讲解锐角三角函数在实际问题中的应用，包括角度的测量、高度的计算等。
初中数学锐角三角函数应用题解析教案
初中数学锐角三角函数应用题解析教案一、引言数学中的三角函数是一类非常重要的函数，它们在几何图形的计算、物理学、工程学等领域都有广泛的应用。
锐角三角函数是三角函数中的一种特殊形式，其定义域限制在锐角范围内。
本教案旨在帮助学生更好地理解和应用锐角三角函数。
二、基础知识回顾在开始解析应用题之前，我们需要先回顾一些基础知识。
1. 锐角三角函数的定义在锐角三角函数中，我们有三个主要的函数：正弦函数（sin）、余弦函数（cos）和正切函数（tan）。
它们的定义如下：- 正弦函数：sinθ = 对边/斜边- 余弦函数：cosθ = 邻边/斜边- 正切函数：tanθ = 对边/邻边2. 三角函数在不同象限的值根据角度所处的象限不同，三角函数的值也不同。
在第一象限，三角函数的值为正；在第二象限，正弦函数为正，余弦函数为负，正切函数为正；在第三象限，正弦函数为负，余弦函数为负，正切函数为正；在第四象限，正弦函数为负，余弦函数为正，正切函数为负。
三、应用题解析下面我们将解析几个涉及锐角三角函数的应用题，以帮助学生更好地掌握其用法。
1. 例题一问题描述：一座山的高度为100米，山下与山顶之间的水平距离为200米。
请问山的斜率是多少？解题思路：斜率可以用正切函数来表示，即tanθ = 对边/邻边。
在这个问题中，对边为100米，邻边为200米。
因此，斜率为tanθ =100/200 = 1/2。
2. 例题二问题描述：一支旗杆的高度为10米，在旗杆的正东方向200米处有一观察点。
观察点的仰角为45°，请问旗杆的高度与观察点的水平距离之比是多少？解题思路：根据题意，我们可以使用正切函数来表示两者之间的关系，即tanθ = 对边/邻边。
在这个问题中，对边为10米，邻边为200米。
因此，旗杆的高度与观察点的水平距离之比为tanθ = 10/200 = 1/20。
3. 例题三问题描述：某物体从地面上的某一点开始以角度30°的角度上坡，已知上坡的水平距离为10米。
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适用学科
初中数学
适用年级
初三
适用区域
新人教版
课时时长（分钟）
120
知识点
1、仰角，俯角
2、坡角、坡度
3、方位角，方向角
教学目标
1、பைடு நூலகம்解仰角、俯角、坡角、方位角的概念
2、能够解决有关俯角、仰角的实际问题，体会数形结合的思想和转化的思想方法
3、深刻体会在生产和生活中很多事是可以相互转化的.
3．某商场为方便消费者购物，准备将原来的阶梯式自动扶梯改造成斜坡式自动扶梯．如图所示，已知原阶梯式自动扶梯AB长为10m，坡角∠ABD为30°；改造后的斜坡式自动扶梯的坡角∠ACB为15°，请你计算改造后的斜坡式自动扶梯AC的长度，（结果精确到0．lm．温馨提示：sin15°≈0.26，cosl5°≈0.97，tan15°≈0.27）
1.如图，两建筑物的水平距离为a米，从A点测得D点的俯角为α，测得C点的俯角为β，则较低建筑物的高为（ ）
A．a米B．acotα米C．acotβ米D．a（tanβ﹣tanα）米
2.在若太阳光线与地面成α角，30°＜α＜45°，一棵树的影子长为10米，则树高h的范围是（取 ）．
3.为加快城乡对接，建设全域美丽乡村，某地区对A、B两地间的公路进行改建．如图，A、B两地之间有一座山，汽车原来从A地到B地需途径C地沿折线ACB行驶，现开通隧道后，汽车可直接沿直线AB行驶．已知BC=80千米，∠A=45°，∠B=30°．
（1）解有关仰角，俯角的问题时，一般以水平线和建筑物的高分别为直角边，以视线为斜边，构造直角三角形.
（2）解有关方向角，方位角的问题时常利用正南，正北，正西，正东方向线构造直角三角形
（3）解有关坡角，坡度的问题时，要注意求坡度不是求角度，而是求坡角的正切值.
1.如图．在坡角为a的山坡上栽树，要求相邻两树之间的水平距离为5米，那么这两树在坡面上的距离AB为（ ）
知识拓展：（1）坡度也叫坡比，即 ,一般写成1：m的形式（比的前项是1，后项可以是整数，也可以是小数或根式）
（2）坡度 和坡角 的关系为 .
（3）坡角越大，坡度越大坡面越陡.
方位角：从某点的正北方向沿顺时针方向旋转到目标方向所形成的角叫方位角.如图；
∠NOA，∠NOB，∠NOC都是方位角.
如图；目标方向OA表示的方位角为北偏东30 ；目标方向OB表示的方位角为南偏东45 ；目标方向OC表示的方位角为南偏西60 .
A．30.6B．32.1C．37.9D．39.4
第1题第2题第3题
2.如图，为了测量某建筑物MN的高度，在平地上A处测得建筑物顶端M的仰角为30°，向N点方向前进16m到达B处，在B处测得建筑物顶端M的仰角为45°，则建筑物MN的高度等于（ ）
A．8（ ）mB．8（ ）mC．16（ ）mD．16（ ）m
知识拓展：仰角与附角都是视线与水平线的夹角.
如图；BC表示水平面，BC表示坡面，我们把水平面AB与坡面BC所形成的∠ABC称为坡角.
一般地，线段BC的长度称为斜坡AB的水平宽度，线段AC的长度称为斜坡AB的铅垂高度.如图；坡面的铅垂高度h和水平宽度L的比叫做坡面的坡度（或坡比），用 表示，记作 ,坡度通常写成1：m的形式，坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作 .于是 ，显然，坡度越大， 越大，坡面就越陡.
方向角：从正北方向或正南方向到目标方向所形成的小于90 得角叫方向角.如图；∠NOA，∠SOB，∠NOD，∠SOC都是方向角.
知识拓展：解决实际问题时，可利用正南，正北，正西，正东方向线构造直角三角形来求解.
类型一仰角、俯角
济南大明湖畔的“超然楼”被称作“江北第一楼”，某校数学社团的同学对超然楼的高度进行了测量，如图，他们在A处仰望塔顶，测得仰角为30°，再往楼的方向前进60m至B处，测得仰角为60°，若学生的身高忽略不计， ≈1.7，结果精确到1m，则该楼的高度CD是多少？
类型二坡角、坡度
一个公共房门前的台阶高出地面1.2米，台阶拆除后，换成供轮椅行走的斜坡，数据如图所示，则下列关系或说法正确的是（ ）
A．斜坡AB的坡度是10°B．斜坡AB的坡度是tan10°
C．AC=1.2tan10°米D．AB= 米
类型三方位角、方向角
如图，一艘海轮在A点时测得灯塔C在它的北偏东42°方向上，它沿正东方向航行80海里后到达B处，此时灯塔C在它的北偏西55°方向上．
小玲家对面新建了一栋图书大厦，小玲心想：“站在地面上可以通过解直角三角形测得图书大厦的高，站在自家窗口能利用解直角三角形测出大厦的高吗?他望着大厦顶端和大厦底部，可测出视线和水平线之间的夹角各一个，但这两个角如何命名呢?(如图所示)
∠BAC与∠DAC在测量中叫什么角?
上节课我们学习了解直角三角形，
直角三角形的边角关系：
A．8 B．9 C．6 D．7
3.已知一个斜坡的坡度i=1： ，那么该斜坡的坡角的度数是度．
4.如图，热气球的探测器显示，从热气球A处看一栋楼顶部B处的仰角为30°，看这栋楼底部C处的俯角为60°，热气球A处与楼的水平距离为120m，则这栋楼的高度是多少？
1.如图所示，某办公大楼正前方有一根高度是15米的旗杆ED，从办公楼顶端A测得旗杆顶端E的俯角α是45°，旗杆底端D到大楼前梯坎底边的距离DC是20米，梯坎坡长BC是12米，梯坎坡度i=1： ，则大楼AB的高度约为（ ）（精确到0.1米，参考数据： ≈1.41， ≈1.73， ≈2.45）
A．5cosaB． C．5sinaD．
第1题第2题第3题
2.如图，港口A在观测站O的正东方向，OA=6km，某船从港口A出发，沿北偏东15°方向航行一段距离后到达B处，此时从观测站O处测得该船位于北偏东60°的方向，则该船航行的距离（即AB的长）为（ ）
A．3 kmB．3 kmC．4 kmD．（3 ﹣3）km
3.如图，某高速公路建设中需要测量某条江的宽度AB，飞机上的测量人员在C处测得A，B两点的俯角分别为45°和30°．若飞机离地面的高度CH为1200米，且点H，A，B在同一水平直线上，则这条江的宽度AB为米（结果保留根号）．
4.如图，在航线l的两侧分别有观测点A和B，点B到航线l的距离BD为4km，点A位于点B北偏西60°方向且与B相距20km处．现有一艘轮船从位于点A南偏东74°方向的C处，沿该航线自东向西航行至观测点A的正南方向E处．求这艘轮船的航行路程CE的长度．（结果精确到0.1km）（参考数据： ≈1.73，sin74°≈0.96，cos74°≈0.28，tan74°≈3.49）
A．200tan20°米B． 米C．200sin20°米D．200cos20°米
2.已知B港口位于A观测点北偏东45°方向，且其到A观测点正北风向的距离BM的长为 km，一艘货轮从B港口沿如图所示的BC方向航行 km到达C处，测得C处位于A观测点北偏东75°方向，则此时货轮与A观测点之间的距离AC的长为（ ）km．
3.某水库堤坝的横断面如图所示，迎水坡AB的坡度是1： ，堤坝高BC=50m，则AB=m．
4.将点如图，放置在水平桌面上的台灯的灯臂AB长为42cm，灯罩BC长为32cm，底座厚度为2cm，灯臂与底座构成的∠BAD=60°．使用发现，光线最佳时灯罩BC与水平线所成的角为30°，此时灯罩顶端C到桌面的高度CE是多少cm？（结果精确到0.1cm，参考数据： ≈1.732）
在 中，∠C=90°，a,b,c分别为∠A,∠B，∠C的对边.
三边之间的关系： (勾股定理)
两锐角之间的关系：
边角之间的关系： .
本节课我们继续探究其如何应用于实际问题中.进行解决实际问题.
如图：OC为水平线，OD为铅垂线，OA,OB为视线，我们把视线OA与水平线OC所形成的∠AOC成为仰角；把视线OB与水平线OC所形成的∠BOC称为俯角.在视线与水平线所成的角中，当视线在水平线上方时，视线与水平线所成的角叫做仰角，当视线在水平线下方时，视线与水平线所成的角叫做俯角.
1.如图，某水渠的横断面是梯形，已知其斜坡AD的坡度为1：1.2，斜坡BC的坡度为1：0.8，现测得放水前的水面宽EF为3.8米，当水闸放水后，水渠内水面宽GH为6米．则放水后水面上升的高度是（ ）米．
第1题第3题
2.聊城“水城之眼”摩天轮是亚洲三大摩天轮之一，也是全球首座建筑与摩天轮相结合的城市地标，如图，点O是摩天轮的圆心，长为110米的AB是其垂直地面的直径，小莹在地面C点处利用测角仪测得摩天轮的最高点A的仰角为33°，测得圆心O的仰角为21°，则小莹所在C点到直径AB所在直线的距离约为（tan33°≈0.65，tan21°≈0.38）（ ）
A．169米B．204米C．240米D．407米
3.如图，一艘轮船以40海里/时的速度在海面上航行，当它行驶到A处时，发现它的北偏东30°方向有一灯塔B．轮船继续向北航行2小时后到达C处，发现灯塔B在它的北偏东60°方向．若轮船继续向北航行，那么当再过多长时间时轮船离灯塔最近？（ ）
4.在数学实践活动课上，老师带领同学们到附近的湿地公园测量园内雕塑的高度．用测角仪在A处测得雕塑顶端点C的仰角为30°，再往雕塑方向前进4米至B处，测得仰角为45°．问：该雕塑有多高？（测角仪高度忽略不计，结果不取近似值．）
教学重点
1、仰角，俯角
2、坡角、坡度
3、方位角，方向角
教学难点
1、仰角，俯角
2、坡角、坡度
【教学建议】
在运用解直角三角形的知识，灵活、恰当地选择关系式解决实际问题的过程中，会用数学建模思想和转化思想把一些实际问题转化为数学模型，从而提高分析问题和解决问题的能力.建议教师在教学过程中多与实际相结合.
【知识导图】
（1）求海轮在航行过程中与灯塔C的最短距离（结果精确到0.1）；
（2）求海轮在B处时与灯塔C的距离（结果保留整数）．
（参考数据：sin55°≈0.819，cos55°≈0.574，tan55°≈1.428，tan42°≈0.900，tan35°≈0.700，tan48°≈1.111）