高中解析几何求轨迹方程的常用方法(精华-例题和练习)

1 由l1 l 2，则直线l 2的方程为y 4 ( x 2) k 4 l1与x轴交点A的坐标为(2 ， 0)， k 2 l 2 与y轴交点B的坐标为(0， 4 )， k
∵M 为 AB 的中点，
4 2 k 1 2 x 2 k (k为参数) 2 4 k 2 1 y 2 k
化简，得 x＋2y－5＝0，此即 M 的轨迹方程。 分析 3： ：设 M（x，y） ，由已知 l1⊥l2，联想到两直线垂直的充要条件：k1k2＝－1，即 可列出轨迹方程，关键是如何用 M 点坐标表示 A、B 两点坐标。事实上，由 M 为 AB 的中点， 易找出它们的坐标之间的联系。 解法 3：设 M（x，y） ，∵M 为 AB 中点，∴A（2x，0） ，B（0，2y） 。 又 l1，l2 过点 P（2，4） ，且 l1⊥l2 ∴PA⊥PB，从而 kPA·kPB＝－1，
消去 k，得 x＋2y－5＝0。 另外，当 k＝0 时，AB 中点为 M（1，2） ，满足上述轨迹方程； 当 k 不存在时，AB 中点为 M（1，2） ，也满足上述轨迹方程。 综上所述，M 的轨迹方程为 x＋2y－5＝0。 分析 2：解法 1 中在利用 k1k2＝－1 时，需注意 k1、k2 是否存在，故而分情形讨论，能 否避开讨论呢？只需利用△PAB 为直角三角形的几何特性：
。
故所求轨迹方程为 2:一动圆与圆 O： x y 1 外切，而与圆 C： x y 6 x 8 0 内切，那么动圆的圆
2 2 2 2
心 M 的轨迹是： A：抛物线 B：圆 C：椭圆 D：双曲线一支 【解答】令动圆半径为 R，则有
| MO | R 1 ，则|MO|-|MC|=2，满足双曲线定义。故选 D。 | MC | R 1
40 4 2y ，k PB 2 2x 20 4 4 2y · 1，化简，得x 2 y 5 0 2 2x 2 而k PA
注意到 l1⊥x 轴时，l2⊥y 轴，此时 A（2，0） ，B（0，4） 中点 M（1，2） ，经检验，它也满足方程 x＋2y－5＝0 综上可知，点 M 的轨迹方程为 x＋2y－5＝0。 【点评】 1） 解法 1 用了参数法，消参时应注意取值范围。解法 2，3 为直译法，运用了 kPA·kPB＝ －1， | MP |
5 sin C , 求点 C 的轨迹。 4 5 5 【解析】由 sin B sin A sin C , 可知 b a c 10 ，即 | AC | | BC | 10 ，满足椭 4 4 sin B sin A
圆的定义。令椭圆方程为
x2 a
'2

y2 b
'2
1 ，则 a ' 5, c ' 4 b ' 3 ，则轨迹方程为
四：用代入法求轨迹方程 例 4.
x2 y 2 点B是椭圆 2 2 1上的动点 ，A(2a， 0)为定点 ，求线段 AB的中点 M的 a b
轨迹方程。
【变式】如图所示，已知 P(4，0)是圆 x2+y2=36 内的一点，A、B 是圆上两动点，且满足∠ APB=90°，求矩形 APBQ 的顶点 Q 的轨迹方程
高中解析几何求轨迹方程的常用方法
（一）求轨迹方程的一般方法： 1. 定义法：如果动点 P 的运动规律合乎我们已知的某种曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛 物线）的定义，则可先设出轨迹方程，再根据已知条件，待定方程中的常数，即可得到轨迹 方程。 2. 直译法：如果动点 P 的运动规律是否合乎我们熟知的某些曲线的定义难以判断，但点 P 满足的等量关系易于建立，则可以先表示出点 P 所满足的几何上的等量关系，再用点 P 的 坐标（x，y）表示该等量关系式，即可得到轨迹方程。 3. 参数法：如果采用直译法求轨迹方程难以奏效，则可寻求引发动点 P 运动的某个几何 量 t，以此量作为参变数，分别建立 P 点坐标 x，y 与该参数 t 的函数关系 x＝f（t） ， y＝g（t） ，进而通过消参化为轨迹的普通方程 F（x，y）＝0。 4. 代入法（相关点法） ：如果动点 P 的运动是由另外某一点 P'的运动引发的，而该点的 运动规律已知， （该点坐标满足某已知曲线方程） ，则可以设出 P（x，y） ，用（x，y）表示 出相关点 P'的坐标，然后把 P'的坐标代入已知曲线方程，即可得到动点 P 的轨迹方程。 5：交轨法：在求动点轨迹时，有时会出现要求两动曲线交点的轨迹问题，这种问题通常 通过解方程组得出交点（含参数）的坐标，再消去参数求得所求的轨迹方程（若能直接消去 两方程的参数，也可直接消去参数得到轨迹方程） ，该法经常与参数法并用。 一：用定义法求轨迹方程 例 1：已知 ABC 的顶点 A，B 的坐标分别为（-4，0） ， （4，0） ，C 为动点，且满足
sin B sin A
5 sin C , 求点 C 的轨迹。 4
【变式】 ：已知圆
的圆心为 M1，圆
的圆心为 M2，一动圆与
这两个圆外切，求动圆圆心 P 的轨迹方程。
二：用直译法求轨迹方程 此类问题重在寻找数量关系。 例 2： 一条线段两个端点 A 和 B 分别在 x 轴和 y 轴上滑动， 且 BM=a， AM=b， 求 AB 中点 M 的轨迹方程？
3.已知圆的方程为(x-1)2+y2=1,过原点 O 作圆的弦 0A，则弦的中点 M 的轨迹方程是
2 2
4.当参数 m 随意变化时， 则抛物线 y x 2m 1 x m 1 的顶点的轨迹方程为______。 5:点 M 到点 F （4， 0） 的距离比它到直线 x 5 0 的距离小 1， 则点 M 的轨迹方程为________。 6:求与两定点 O O1 ， 0 、A 3， 0 距离的比为 1：2 的点的轨迹方程为_____________ 7.抛物线 y 4 x 的通径（过焦点且垂直于对称轴的弦）与抛物线交于 A、B 两点，动点 C
x2 y2 。 1 （ x 5) ，图形为椭圆（不含左，右顶点） 25 9
【点评】熟悉一些基本曲线的定义是用定义法求曲线方程的关键。 （1） 圆：到定点的距离等于定长 （2） 椭圆：到两定点的距离之和为常数（大于两定点的距离） （3） 双曲线：到两定点距离之差的绝对值为常数（小于两定点的距离） （4） 到定点与定直线距离相等。 【变式 1】: 1:已知圆 的圆心为 M1，圆 圆与这两个圆外切，求动圆圆心 P 的轨迹方程。 解：设动圆的半径为 R，由两圆外切的条件可得： 。 ∴动圆圆心 P 的轨迹是以 M1、M2 为焦点的双曲线的右支，c=4，a=2，b2=12。 ， 的圆心为 M2，一动
【变式】 : 动点 P （x,y） 到两定点 A （－3， 0） 和B （3， 0） 的距离的比等于 2 （即 求动点 P 的轨迹方程？
| PA | ， 2） | PB |
三：用参数法求轨迹方程 此类方法主要在于设置合适的参数，求出参数方程，最后消参，化为普通方程。注意参数的 取值范围。 例 3．过点 P（2，4）作两条互相垂直的直线 l1，l2，若 l1 交 x 轴于 A 点，l2 交 y 轴于 B 点， 求线段 AB 的中点 M 的轨迹方程。
2




在抛物线上，求△ABC 重心 P 的轨迹方程。
8.已知动点 P 到定点 F（1，0）和直线 x=3 的距离之和等于 4，求点 P 的轨迹方程。
9.过原点作直线 l 和抛物线 y x 4 x 6 交于 A、B 两点，求线段 AB 的中点 M 的轨迹方 程。
2
参考答案
例 1：已知 ABC 的顶点 A，B 的坐标分别为（-4，0） ， （4，0） ，C 为动点，且满足
x 2 y 2 a, x 2 y 2 a 2
M 点的轨迹是以 O 为圆心，a 为半径的圆周. 【点评】此题中找到了 OM=
1 AB 这一等量关系是此题成功的关键所在。一般直译法有下 2
列几种情况： 1）代入题设中的已知等量关系：若动点的规律由题设中的已知等量关系明显给出，则采用 直接将数量关系代数化的方法求其轨迹。 2）列出符合题设条件的等式：有时题中无坐标系，需选定适当位置的坐标系，再根据题设 条件列出等式，得出其轨迹方程。 3）运用有关公式：有时要运用符合题设的有关公式，使其公式中含有动点坐标，并作相应 的恒等变换即得其轨迹方程。 4）借助平几中的有关定理和性质：有时动点规律的数量关系不明显，这时可借助平面几何 中的有关定理、性质、勾股定理、垂径定理、中线定理、连心线的性质等等，从而分析出其 数量的关系，这种借助几何定理的方法是求动点轨迹的重要方法. 【变式 2】 : 动点 P （x,y） 到两定点 A （－3， 0） 和B （3， 0） 的距离的比等于 2 （即 求动点 P 的轨迹方程？ 【解答】∵|PA|= ( x 3) y , | PB |
| MP |
1 | AB | 2
解法 2：设 M（x，y） ，连结 MP，则 A（2x，0） ，B（0，2y） ， ∵l1⊥l2，∴△PAB 为直角三角形
由直角三角形的性质， | MP |
1 | AB | 2
1 ( x 2) 2 ( y 4) 2 · (2 x) 2 (2 y ) 2 2
线交椭圆于 P1、P2，求 A1P1 与 A2P2 交点 M 的轨迹方程.
六、用点差法求轨迹方程 例 6. 已知椭圆
x2 y2 1， 2
（1）求过点 P ， 且被 P 平分的弦所在直线的方程； （2）求斜率为 2 的平行弦的中点轨迹方程； （3）过 A2， 1 引椭圆的割线，求截得的弦的中点的轨迹方程；
二：用直译法求曲线轨迹方程 此类问题重在寻找数量关系。 例 2： 一条线段 AB 的长等于 2a,两个端点 A 和 B 分别在 x 轴 和 y 轴上滑动，求 AB 中点 P 的轨迹方程？ 解 设 M 点的坐标为 ( x, y ) 由平几的中线定理：在直角三
角形 AOB 中，OM=
1 1 AB 2a a, 2 2
1 1 2 2
练习 1.在 ABC 中，B，C 坐标分别为（-3，0） ， （3，0） ，且三角形周长为 16，则点 A 的轨迹方 程是_______________________________. 2.两条直线 x my 1 0 与 mx y 1 0 的交点的轨迹方程是 __________ . _____
2 2
| PA | ， 2） | PB |
( x 3) 2 y 2
( x 3) 2 y 2 | PA | 2 ( x 3) 2 y 2 4( x 3) 2 4 y 2 代入 2得 | PB | ( x 3) 2 y 2
化简得（x－5）2+y2=16，轨迹是以（5，0）为圆心，4 为半径的圆. 三：用参数法求曲线轨迹方程 此类方法主要在于设置合适的参数，求出参数方程，最后消参，化为普通方程。注意参数的 取值范围。 例 3．过点 P（2，4）作两条互相垂直的直线 l1，l2，若 l1 交 x 轴于 A 点，l2 交 y 轴于 B 点， 求线段 AB 的中点 M 的轨迹方程。 【解析】 分析 1：从运动的角度观察发现，点 M 的运动是由直线 l1 引 发的，可设出 l1 的斜率 k 作为参数，建立动点 M 坐标（x，y）满 足的参数方程。 解法 1：设 M（x，y） ，设直线 l1 的方程为 y－4＝k（x－2） ， （k≠０）
新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/
特级教师 王新敞
wxckt@126.com
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y
B
Q R A
o
P
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
x
五、用交轨法求轨迹方程 例 5.已知椭圆
x2 y 2 1（a＞b＞o）的两个顶点为 A1 ( a, 0) , A2 (a, 0) ，与 y 轴平行的直 a 2 b2