5第五章补充题及答案
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3、答：大数定律给出了在试验次数很大时,频率和平均值的稳定性.从理论上肯定了用算术 平均值代替均值， 用频率代替概率的合理性.它既验证了概率论中一些假设的合理性， 又为数理统计中用样本推断总体提供了理论根据.所以说，大数定律是概率论中最重 要的基本定律. 4、答：我们知道，正态分布是现实生活中使用最多、最广泛、最重要的一种分布.许多随机 变量本身并不属于正态分布，但它们的极限分布是正态分布.中心极限定理阐明了在 什么条件下，原来不属于正态分布的一些随机变量其总和分布渐进地服从正态分布. 为我们利用正态分布来解决这类随机变量的问题提供了理论依据. 5、答：它们的相同点是，都是通过极限理论来研究概率问题，研究对象都是随机变量序列， 解决的都是概率论中的基本问题，因而在概率论中有重要的意义.所不同的是，大数 定律研究当 n 时，频率或平均值的极限，而中心极限定理则研究随机变量总和 的分布的极限.
二、计算题
1、 某药厂断言，该厂生产的某种药品对于医治一种疑难的血液病的治愈率为 0.8，医院检 验员任意抽查 100 个服用此药品的病人，如果其中多于 75 人治愈，就接受这一断言， 否则就拒绝这一断言.（1）若实际上此药品对这种疾病的治愈率是 0.8，问接受这一断 言的概率是多少？（2）若实际上此药品对这种疾病的治愈率是 0.7，问接受这一断言 的概率是多少？ 2、 独立测量一个物理量，每次测量产生的误差 Xi 都服从区间[-1，1]上的均匀分布.（1） 现对该物理量作 36 次独立测量，求其算术平均值与它的真值之差的绝对值小于 率； （2）要使上述概率不小于 0.95，至少应作多少次测量？ 3、 随机变量 X 的密度函数为 f ( x)
P{ X t}
m (t )
6、设某单位电话总机共有200台分机，每台分机都有5%的时间要使用外线通话。 假定每台分机是否使用外线是相互独立的，要保证每个用户有90%以上的把 握接通外线，试用中心极限定理求该单位总机要安装多少条外线？ 第五章 补充习题答案 一、问答题
1、 答：E (
A
n
A np
np (1 p )
|
n
p (1 p)
} )
n
p (1 p)
) ( )]
n
p(1 p)
n
p (1 p)
可以看出，用切比雪夫不等式估计，只给出了一个上限，而用中心极限定理，能给出一 个具体的估计值. 2、答：依概率收敛即依概率 1 收敛.随机变量序列 { X n } 依概率收敛于 A，说明对于任给的
0 ，当 n 很大时，事件“ | X n a | ”的概率接近于 1.但正因为是概率，所以
不排出小概率事件“ | X n a | ”发生.所以说依概率收敛是不确定现象中关于收 敛的一种说法.而高等数学中的收敛是确定的，对于任给的 0 ,只要 n>N，就必有
| X n a | ，绝无例外.
1 3
1 36 1 36 1 36 1 1 1 P Yi A P (Yi A) P X i 5 5 5 36 i 1 36 i 1 36 i 1 36 X i E (X i ) 36 36 36 1 P Xi P 5 36 5 12 i 1 3 36 2 1 2 (2.079) 1 2 0.9812 1 0.9624 5 12
1 ( 5 ) 1 (1.09) 1 0.8621 0.1379. 21
2、解：设该物理量真值为 A，测量值 Yi A X i （1） 、Xi～ f ( x) 2
i=1,2,„,36
1
1 x 1 其它
E(Xi)=0
0
D( X i )
1 ( 5 5 ) ( ) 0.8944 4 4
（2）p=0.7，由中心极限定理知
75 np X np 75 np P( X 75) 1 P( X 75) 1 P ) 1 ( npq npq npq
二、计算题
1、解：设 X 为 100 人中治愈的人数，则 X～B (n, p)其中 n=100
75 np X np 75 np （1）p=0.8， P( X 75) 1 P( X 75) 1 P ) 1 ( npq npq npq
) p, D (
A
n
)
p(1 p) p(1 p) ， 故由切比雪夫不等式 P{| A p | } n n n 2
用中心极限定理可得
P{|
A
n
p | } 1 P{|
A
n
p | }
1 P{| 1 ( 2[1 (
第五章 一、问答题
大数定律与中心极限定理
Fra Baidu bibliotek补充题
1、 利用切比雪夫不等式及中心极限定理估计下面的概率： P{|
A
n
p | } .比较它们的
结果有何不同.这里 A 是 n 次贝努里试验中成功的次数，p 是每次试验成功的概率. 2、依概率收敛的意义是什么？ 3、大数定律在概率论中有何意义？ 4、中心极限定理有何实际意义？ 5、大数定律与中心极限定理有何异同？
1 的概 5
1 | 1 x | 0 x 2 .对 X 作 100 次独立观察， 求事 其他 0
件{X≥E(X)}发生的次数超过 56 次的概率. 4、 保险公司某险种每年有 10000 人投保，每人每年付 12 元保险费.已知一年内投保人死亡 率为 0.006，如死亡一人，公司需付给 1000 元.求： （1）保险公司年利润不少于 60000 元概率； （2）保险公司发生亏损的概率. 5 、 设 随 机 变 量 X ～ f(x) ， x R ， ( x) 是 正 的 单 调 增 函 数 且 E[ ( X )] m ， 试 证
二、计算题
1、 某药厂断言，该厂生产的某种药品对于医治一种疑难的血液病的治愈率为 0.8，医院检 验员任意抽查 100 个服用此药品的病人，如果其中多于 75 人治愈，就接受这一断言， 否则就拒绝这一断言.（1）若实际上此药品对这种疾病的治愈率是 0.8，问接受这一断 言的概率是多少？（2）若实际上此药品对这种疾病的治愈率是 0.7，问接受这一断言 的概率是多少？ 2、 独立测量一个物理量，每次测量产生的误差 Xi 都服从区间[-1，1]上的均匀分布.（1） 现对该物理量作 36 次独立测量，求其算术平均值与它的真值之差的绝对值小于 率； （2）要使上述概率不小于 0.95，至少应作多少次测量？ 3、 随机变量 X 的密度函数为 f ( x)
P{ X t}
m (t )
6、设某单位电话总机共有200台分机，每台分机都有5%的时间要使用外线通话。 假定每台分机是否使用外线是相互独立的，要保证每个用户有90%以上的把 握接通外线，试用中心极限定理求该单位总机要安装多少条外线？ 第五章 补充习题答案 一、问答题
1、 答：E (
A
n
A np
np (1 p )
|
n
p (1 p)
} )
n
p (1 p)
) ( )]
n
p(1 p)
n
p (1 p)
可以看出，用切比雪夫不等式估计，只给出了一个上限，而用中心极限定理，能给出一 个具体的估计值. 2、答：依概率收敛即依概率 1 收敛.随机变量序列 { X n } 依概率收敛于 A，说明对于任给的
0 ，当 n 很大时，事件“ | X n a | ”的概率接近于 1.但正因为是概率，所以
不排出小概率事件“ | X n a | ”发生.所以说依概率收敛是不确定现象中关于收 敛的一种说法.而高等数学中的收敛是确定的，对于任给的 0 ,只要 n>N，就必有
| X n a | ，绝无例外.
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1 36 1 36 1 36 1 1 1 P Yi A P (Yi A) P X i 5 5 5 36 i 1 36 i 1 36 i 1 36 X i E (X i ) 36 36 36 1 P Xi P 5 36 5 12 i 1 3 36 2 1 2 (2.079) 1 2 0.9812 1 0.9624 5 12
1 ( 5 ) 1 (1.09) 1 0.8621 0.1379. 21
2、解：设该物理量真值为 A，测量值 Yi A X i （1） 、Xi～ f ( x) 2
i=1,2,„,36
1
1 x 1 其它
E(Xi)=0
0
D( X i )
1 ( 5 5 ) ( ) 0.8944 4 4
（2）p=0.7，由中心极限定理知
75 np X np 75 np P( X 75) 1 P( X 75) 1 P ) 1 ( npq npq npq
二、计算题
1、解：设 X 为 100 人中治愈的人数，则 X～B (n, p)其中 n=100
75 np X np 75 np （1）p=0.8， P( X 75) 1 P( X 75) 1 P ) 1 ( npq npq npq
) p, D (
A
n
)
p(1 p) p(1 p) ， 故由切比雪夫不等式 P{| A p | } n n n 2
用中心极限定理可得
P{|
A
n
p | } 1 P{|
A
n
p | }
1 P{| 1 ( 2[1 (
第五章 一、问答题
大数定律与中心极限定理
Fra Baidu bibliotek补充题
1、 利用切比雪夫不等式及中心极限定理估计下面的概率： P{|
A
n
p | } .比较它们的
结果有何不同.这里 A 是 n 次贝努里试验中成功的次数，p 是每次试验成功的概率. 2、依概率收敛的意义是什么？ 3、大数定律在概率论中有何意义？ 4、中心极限定理有何实际意义？ 5、大数定律与中心极限定理有何异同？
1 的概 5
1 | 1 x | 0 x 2 .对 X 作 100 次独立观察， 求事 其他 0
件{X≥E(X)}发生的次数超过 56 次的概率. 4、 保险公司某险种每年有 10000 人投保，每人每年付 12 元保险费.已知一年内投保人死亡 率为 0.006，如死亡一人，公司需付给 1000 元.求： （1）保险公司年利润不少于 60000 元概率； （2）保险公司发生亏损的概率. 5 、 设 随 机 变 量 X ～ f(x) ， x R ， ( x) 是 正 的 单 调 增 函 数 且 E[ ( X )] m ， 试 证