林寿数学史第三讲：中世纪的东西方数学I

大衍术
l 大衍类 l 天时类 l 田域类 l 测望类 l 赋役类 l 钱谷类 l 营建类 l 军旅类 l 市易类
v (1)大衍类，一次同余组的解法，大衍求一术； v (2)天时类，历法推算，雨雪量的计算； v (3)田域类，土地面积； v (4)测望类，勾股、重差等测量问题； v (5)赋役类，田赋、户税； v (6)钱谷类，征购米粮及仓储容积； v (7)营建类，建筑工程； v (8)军旅类，兵营布置和军需供应； v (9)市易类，商品交易和利息计算．
3. 中算发展的第三次高峰 数学全盛时期
社会背景
促进了数学著作 的保存与流传
贾宪三角
贾宪：《黄帝九章算术细草》(1050)
l 增乘开方法
l帕斯卡《论算术三角 形，以及另外一些类
l 开方作法本源图
似的小问题》 (1654)
古法七乘方图
帕斯卡(法, 1623-1662年)
贾宪三角
算术三角形(利比里亚，1999)
隙积术
沈括(北宋, 1030-1094 年)
隙积术
n 李约瑟：中国科学史的里程碑
l 会圆术
l 隙积术
《梦溪笔谈》(1093)
天元术
李冶(金、元, 1192-1279 年)
天元术
l 天元术 （一元高次方程） 列方程法 “立天元一为某某” “设x为某某”
天元术
李冶的天元术
大衍术
秦九韶(南宋, 约 1202-1261年)
《数书九章》
大衍术
秦九韶 ：《数书九章》(1247)
l 大衍求一术(中国剩余定理 )
l 《孙子算经》(约公元400年)
l 物不知数问题(孙子问题, 孙子剩余定理)
: 今有物不知其数，三
三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？
l 意大利斐波那契1202年 l 瑞士欧拉1743年 l 德国高斯1801年
v 宋元算法
v 隙积术 v 大衍术 v 开方术
《缀术》
l 古之九数，圆周率三，圆径率一，其术 疏舛。自刘歆、张衡、刘徽、王蕃、皮延 宗之徒，各设新率，未臻折衷。
l 宋末，南徐州从事史祖冲之，更开密法， 以圆径一亿为一丈，圆周盈数三丈一尺四 寸一分五厘九毫二秒七忽，朒数三丈一尺 四寸一分五厘九毫二秒六忽，正数在盈朒 二限之间。
l 密率，圆径一百一十三，圆周三百五十 五。约率，圆径七，周二十二。
l 衰分 l 均输 l 勾股
l 以筹算为基础的中国 古代数学体系正式形成
2. 中算发展的第二次高峰 数学稳步发展
魏晋南北朝时期 中国传统数学稳步发展
三国演义(中国，1998）
《九章算术注》
公元263年撰《九章算术注》 阐述了中国传统数学的理论体系与数
学原理
中国传统数学最具代表性的人物
刘徽(魏晋, 公元3世纪)
意大
正负开方术
利鲁 菲尼
1804
秦九韶 ：《数书九章》(1247) 年
l 正负开方术(秦九韶法)
英国 霍纳 1819 年
鲁菲 尼
(意, 17651822 年）
垛积术
杨辉(南宋, 公元 13世纪 )
垛积术
l 垛积术 l 杨Fra Baidu bibliotek三角
四元术
Ø 《算学启蒙》(1299) l 日用数学和商用数学通俗著作
（中国， 2002）
《九章算术注》
公元263年撰《九章算术注》。 割圆术：“割之弥细，所失弥 少，割之又割，以至于不可割， 则与圆周合体而无所失矣”
计算圆内接正3072边形 求出圆周率为3927/1250 即3.1416
徽率157/50即3.14
《九章算术注》
刘徽的割圆术
《九章算术注》
割圆术(6边形)
湖北江陵张家山出土)
l 勾股定理的普遍形式 求邪至日者，以日下为 勾，日高为股，勾股各 自乘，并而开方除之， 得邪至日。
l 陈子测日法 相似形方法
《九章算术》
l 六艺：礼、乐、射、御、书、数
《九章算术》
（东汉，公元100 年）
《周礼》
《九章算术》
世界数学古典名著
l 方田 l 粟米 l 少广 l 商功 l 盈不足 l 方程
内插法
l 大天文学家、数学家、 水利专家和仪器制造家
l 工部郎中、太史令、 都水监事和昭文馆大学士
内插法
在公元1280年完成的《授 时历》中使用三次内插公式 l 一年365.2425天 l 1281－1643年使用，计363年
内插法
简仪
内插法
仰议
内插法
登封观星台(元, 1276 )
嵩山(中国, 1995)
Ø 《四元玉鉴》 (1303) l 四元术(“天元”、“地元”、“人元”和“物
元” )
l 招差术(高次内插公式 )
四元术
四元术
四元术
四元术
四元术
莫若 ：《四元玉
罗士琳：汉卿在宋元间，与秦道古（九韶）、李仁卿 （冶）可称鼎足而三。道古正负开方，仁卿天元如积， 皆足上下千古，汉卿又兼包众有，充类尽量，神而明 之，尤超越乎秦李之上。 萨顿：
《九章算术注》
割圆术(12边形)
《九章算术注》
割圆术(24边形)
《九章算术注》
割圆术(48边形)
《九章算术注》
割圆术(96边形)
《九章算术注》
刘徽对π的估算值（密克罗尼西亚，1999）
《缀术》
祖冲之(南朝宋、 齐, 429-500年)
《缀术》
《缀术》
l 圆周率计算 l 球体体积公式
429-500
《缀术》
《隋书·律历志》
l 公元462年, 祖冲之算出 3.1415926<π<3.1415927密 率355/113，约率22/7 l 所著之书,名为《缀术》, 学官莫能究其深奥，是故废 而不理。 l 1913年起称355/113为祖率
《缀术》
u 圆内接正 12288边形和24576边形
u 3.14159261<π<3.14159271
《缀术》
祖氏原理 ：幂势既同则积不容异
卡瓦列里原理(1635)
不可分量原理
卡瓦列里 (意, 1598-1647年)
《算经十书》
《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》 《夏候阳算经》、《张邱建算经》、《缀术》、《五曹算经》 《五经算经》、《缉古算经》。
《算经十书》公元656
Ø 汉唐千余年间中国 数学发展的水平
第三讲 中世纪的东西方数学I 中国传统数学的兴盛
l 《周髀算经》与《九章算术》 l 刘徽与祖冲之 l 宋元数学
1. 中算发展的第一次高峰 数学体系的形成
秦汉时期形成中国传统数学体系
秦始皇陵兵马俑（中国, 1983）
《算数书》
中国现存最早的数学书 《算数书》(西汉, 约公元 前170年, 1983-1984年间