弯曲内力例题(0509)

弯矩 立柱弯矩图为抛物线，左侧受压，1、2截面的弯矩值为
M1 0,
qa2/2
3
qa/2
4
2M4 0
qa/2
1
FAy
材料力学
M
FAx
1 2 1 2 M 2 qa a qa qa , 2 2 1 2 M 3 qa , M 4 0 2
作弯矩图。
弯曲内力/平面刚架内力图
qa 2 2
qa 4
2
qa 2 2
例5- 6 已知静定组合梁受力如图所示。试作梁的剪力图、弯矩图。
q
qa2
D
a
B
A
a a
C
AB 载荷
q0
BC
q0
CD
q C 0
FQ 图
M 图
材料力学
斜直线
斜直线
例
试用叠加法作梁的弯矩图。
M0
l/2
P
l/2 l/2
P
l/2
M0
l
解：
M
Pl 4 M0 2 M 0 Pl 2 4
A
M ( x ) m P( x a ) 2 Pa Px (a x 2a)
2、作梁的剪力图和弯矩图
3、求 FQ
max
x
a
B a
C
x
和 M
(-)
max
FQ 图
-P
FQ
max
P（在BC段的各截面）
Pa
(+)
M 图
M max Pa （在AB段的各截面）
材料力学
弯曲内力/剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图 注意： 1、在列梁的剪力方程和弯矩方程时，参数x可以从坐标原点算
材料力学
弯曲内力/剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图 例5-4外伸简支梁受力如图所示。试列出梁的剪力方程和弯矩 方程，作出梁的剪力图和弯矩图。 y F=qa C
q B x 2a
x
A a FAy
x
FBy
解：
1、取参考坐标系Cxy。根据平衡条件求支座反力
M M
材料力学
A
0 0
B
1 FBy qa 2 5 FAy qa 2
a qa / 2
qa qa / 2
qa / 2
2 2
qa / 2
FQ
M
材料力学
qa / 2
qa / 8
q
qa
qa / 2
2
qa qa
a
a
a
FQ
qa
M
qa / 2
2
qa
材料力学
qa / 2
2
q
7qa a 4 7qa FQ 4
2qa
a
3qa 4
5qa 4
M
材料力学
5qa / 4 5qa 2 / 4
qa
弯曲内力/剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图
y
F=qa x A a FAy
q
2、列出梁的剪力方程和弯矩方程 CA段: B x
C
x
2a
FBy
FQ ( x) qa
(0 x a)
M ( x) qax (0 x a)
AB段 :
5 Fq ( x) qa FAy q( x a) qa qx 2 5 1 M ( x) qax qa ( x a) q( x a)2 2 2
FQ 图
1 2 qa 8
1 qa 2
dx
(+) (-)
材料力学
FQ ( x) 0 5 x a 2
2
qa2
5 1 2 M ( x a ) qa 2 8
弯曲内力/弯矩、剪力和分布荷载集度之间的关系
内力FQ 、M 的变化规律,归纳如下：
载荷
q ( x) 0
qC 0 qC 0
M Mo (一侧)
材料力学
（力和力偶）向截面形心简化所得 到的主矩。
弯曲内力/剪力和弯矩
例5-2 一外伸梁受力如图所示。试求C截面、
的内力。
M 0 8KN.m
q=2kN/m
B左 截面和 B右 上
P=2KN
A E C
1m 2m
F
FAy
解：
FBy
B
1m 1m
D
1m
1、根据平衡条件求支座反力
2、求C截面（跨中截面）上的内力
M1 2qa2
A
q CF
Mc
Qc
由 Fy 0, 得到：
FAy q 2a FQc 0 FQc FAy q 2a qa
FAy
a
由 MC 0, 得到：
（剪力 FQ的实际方向与假设方 向相反，为负剪力）
M C FAy 2a 2qa a M1 0 M C FAy 2a 2qa a M1 2qa2
材料力学
1 MC MC (左侧) FAy 2 M 0 q 1 2 3kN.m
弯曲内力/剪力和弯矩
M 0 8kN.m
q=2kN/m
P=2kN
A
F
E
1m 1m
C
2m
B
D
1m
FBy
FAy
1m
B左 截面：
FQB左 Fy (左侧) FAy q 3 3kN M B左
FBy
M
A
0
FBy 3.8kN
FAy 7.2kN M 0 由 F 0校核无误。
B y
材料力学
弯曲内力/弯矩、剪力和分布荷载集度之间的关系
F=3kN q=2kN/m
M 0 6kN.m
C
1m
A
4m
D
1m
B
2、由微分关系判断各段的 FQ , M形状。 CA 载荷
q0
FAy
FBy
节点处的平衡关系 F FQ Q FN
FQ FN FQ F Q FQ FN
AD
DB
q0
q C 0
FQ 图
M 图
材料力学
斜直线
斜直线
FAy 7.2kN
FBy 3.8kN
弯曲内力/弯矩、剪力和分布荷载集度之间的关系
F=3kN
q=2kN/m
M 0 6kN.m
3、作FQ-图。 B CA段： FQC右 3kN DA段： FQA右 FQA左 FAy
材料力学
(a x 3a) (a x 3a)
y 弯曲内力/剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图 F=qa q 3、作梁的剪力图和弯矩图 3 C 3 A x B FQ ( x a ) qa xE a 2 2 F F By a Ay 2a 1 FQ ( x 3a ) qa 3 2 qa 2 (+) dM 5 qa qa a( x a) (-) E (-) -qa
起，也可从另外的点算起，仅需要写清楚方程的适用范围
（x的区间）即可。 2、剪力、弯矩方程的适用范围，在集中力（包括支座反力）作 用处， FQ ( x)应为开区间，因在该处剪力图有突变；而在集中 力偶作用处，M(x)应为开区间，因在该处弯矩图有突变。 3、若所得方程为x的二次或二次以上方程时，则在作图时除计 算控制截面的值外，应注意曲线的凹凸向及其极值。
F
Mo
水平直线
FQ 图 +
or -
F
上斜直线 下斜直线
(剪力图 无突变)
Mo
斜直线
M 图
or
下凸 抛物线
上凸 抛物线
F处有尖角
材料力学
例：
P
l
q l
FQ ql
FQ
P
M
M
ql 2 2
Pl
材料力学
例：试画图示梁的剪力和弯矩图。
q
A
RA
l
q
C
3ql 8
B
RB
l 2
l 2
l 2
FQ
ql / 2
RA RB ql 8 5ql 8
M B右 M B左 FBy 0 M B左 5kN.m
亦可取梁的右侧的外力简化，但必须
材料力学
注意外力的符号变化。
弯曲内力/剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图 例5-3悬臂梁受力如图所示。试列出梁的剪力方程和弯矩方程， 作出梁的剪力图和弯矩图，并求出梁的 FQ 在截面位置。 解： 取参考坐标系Axy。
第五章 弯曲内力
材料力学
弯曲内力/剪力和弯矩
例5-1 一简支梁受力如图所示。试求C截面（跨中截面） 上的内力。
M1 2qa
A
2
q
C
M 2 2qa2
B a 4a
FAy
a
FBy
解：
1、根据平衡条件求支座反力
M
材料力学
A
0 0
FBy 3qa FAy qa
M
B
弯曲内力/剪力和弯矩
x 3.1m
1 M E F 3.1 FAy 2.1 q 2.12 2
(-)
材料力学
1.41kN.m (+)
-3kN.m
(-)
-2.2kN.m
1.41kN.m M D左 2.2kN.m
q
P qa q
qa qa
a
FQ
a
a 2qa qa
M
qa 2 qa / 2
3 M B (左侧) FAy 4 M 0 q 3 2
5kN.m
材料力学
弯曲内力/剪力和弯矩
M 0 8kN.m
q=2kN/m
P=2kN
A E
1m 1m
F C
2m
B
D
1m
FBy
FAy
1m
B右截面：
与 B 截面相比，该截面的内力只增加了约束反力 FBy，故有： 左
FQB右 FQB左 FBy 4kN
3qa 4
2
q
a
a
FQ
3qa / 4
a 7qa / 4 qa
M
qa 2 / 4
2
材料力学
3qa / 4
qa / 2
2
q
3qa
2qa 2qa
a
FQ
q a qa
2qa 2 3qa / 2
qa
qa
M
材料力学
qa q
a
FQ
a
qa
M
qa / 2
2
材料力学
qa
2
2q
q
a
FQ
a
qa
M
qa / 2
2
qa
材料力学
C
1m
A x
4m
D
1m
FAy
4.2kN
FBy
4.2kN
(+)
(-)
-3kN
FQ 图
FQD左 FBy 3.8kN DB段： FQD右 FQD左 3.8kN
4、作M-图。
E
(-)
-3.8kN 3.8kN.m
FQE 3 7.2 q ( x 1) 0
(+)
材料力学
（弯矩M的实际方向与假设方向相同，为正弯矩）
弯曲内力/剪力和弯矩
如以右侧梁作为研究对象，则：
FQc q 2a FBy
q
M 2 2qa2
B
a
qa
2qa2
Mc
FQc
C
M C FBy 2a 2qa a M 2
FBy
为了计算方便，通常取外力比较简单的一段梁作为研究对象。
qa / 2
材料力学
2
m a
m/l FQ l m/l b m/l
M
am l
材料力学
bm / l
P
m Pa
a
FQ
P
a
a
P
M
Pa
材料力学
m Pa
P
P
FQ
a
P
a
M
材料力学
Pa
2qa
C
2
q
A B
2qa
a
FQ
2a
a
D
qa qa
5qa
2qa
M 2qa
2
3qa
材料力学
2qa
2
qa / 2
2
q
q a
2
作轴力图。
弯曲内力/平面刚架内力图 剪力 求控制截面1、2、3、4上的剪力。
Fs1 FAx qa, Fs 2 FAx qa 0,
Fs 3 Fs 4 FBy qa 2
3 2
4
F F Q qa/2 F Q s
s
1
FAy
材料力学
FAx
qa
弯曲内力/平面刚架内力图
弯曲内力/剪力和弯矩
M1 2qa
A
2
q
M 2 2qa2
B
C
a a 4a
FAy
FBy
取左段梁为研究对象:
取右段梁为研究对象:
MC FAy 2a 2qa a M1
2qa
2
M C FBy 2a 2qa a M 2 2 2qa
截面左侧（或右侧）梁上的所有外力
材料力学
弯曲内力/剪力和弯矩
M1 2qa
A
2
q
M 2 2qa2
B
C
a a 4a
FAy
FBy
取左段梁为研究对象:
取右段梁为研究对象:
FQc FAy q 2a qa
FQ Fy (一侧)
材料力学
FQc q 2a FBy
qa
截面左侧（或右侧）梁上的所有外力 向截面形心简化所得到的主矢。
M M
材料力学
A
0 0
FBy 7kN
FAy 3kN
B
弯曲内力/剪力和弯矩
M 0 8kN.m
q=2kN/m
P=2kN
A
F
E
1m 1m
C
2m
B
D
1m
FBy
FΒιβλιοθήκη Baiduy
2、求指定横截面上的剪力和弯矩 C截面：
1m
（ ） q 1() FQC Fy (左侧) FAy
3 2 1kN
ql 8
FQ
3ql 8
ql / 8
M
M
9ql 2 128
ql 2 16
ql 8
ql 2 / 8
材料力学
弯曲内力/弯矩、剪力和分布荷载集度之间的关系 例5- 5一外伸梁受力如图所示。试作梁的剪力图、弯矩图。
F=3kN q=2kN/m
M 0 6kN.m
C
1m
A
4m
D
1m
B
解：
FAy
1、根据平衡条件求支座反力
l
M
Pl 4
l
M
M0
M0 2
x
x
x
M0
M
M0
x
弯曲内力/平面刚架内力图
例5-8 求作图示平面刚架的内力图。 解： 1、根据平衡条件求得
支座反力
C
FBy
FAx
qa(), FAy
qa ( ) 2
B
qa (), 2
FBy
FN
A
FAy
材料力学
FAx
2、作内力图 轴力 qa 立柱CA： FN FAy 横梁CB： FN 0
max
和
M max 及其所
P
y
m=Pa
1、列出梁的剪力方程和弯矩方程
AB段:
A
x
x a
B a
C
x
FQ ( x) 0
(0 x a )
M ( x) m Pa (0 x a)
材料力学
弯曲内力/剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图 BC段: m=Pa P
FQ ( x) P
( a x 2a )