弯曲内力例题(0509)
弯曲内力习题与答案
弯曲力1. 长l的梁用绳向上吊起，如图所示。
钢绳绑扎处离梁端部的距离为x。
梁由自重引起的最大弯矩|M|max为最小时的x值为：(A) /2l；(B) /6l；(C…) 1)/2l。
l；(D) 1)/22. 多跨静定梁的两种受载情况如图(a)、(b)所示。
下列结论中哪个是正确的？(A) 两者的剪力图相同，弯矩图也相同；(B) 两者的剪力图相同，弯矩图不同；(C) 两者的剪力图不同，弯矩图相同；(D….) 两者的剪力图不同，弯矩图也不同。
3. 图示(a)、(b)两根梁，它们的(A) 剪力图、弯矩图都相同；(B…) 剪力图相同，弯矩图不同；(C) 剪力图不同，弯矩图相同；(D) 剪力图、弯矩图都不同。
4. 图示梁，当力偶M e的位置改变时，有下列结论：(A) 剪力图、弯矩图都改变；(B…) 剪力图不变，只弯矩图改变；(C) 弯矩图不变，只剪力图改变；(D) 剪力图、弯矩图都不变。
5. 图示梁C截面弯矩M C = ；为使M C =0，则M e= ；为使全梁不出现正弯矩，则M e≥。
6. 图示梁，已知F、l、a。
使梁的最大弯矩为最小时，梁端重量P= 。
7. 图示梁受分布力偶作用，其值沿轴线按线性规律分布，则B端支反力为，弯矩图为 次曲线，|M |max 发生在 处。
8. 图示梁，m (x )为沿梁长每单位长度上的力偶矩值，m (x )、q (x )、F S (x )和M (x )之间的微分关系为：S d ();d F x x = d ()d M x x = 。
9. 外伸梁受载如图，欲使AB 中点的弯矩等于零时，需在B 端加多大的集中力偶矩（将大小和方向标在图上）。
10. 简支梁受载如图，欲使A 截面弯矩等于零时，则=e21e /M M 。
1-10题答案：1. C 2. D 3. B 4. B 5. 28e2M ql -；42ql ；22ql 6. ⎪⎭⎫⎝⎛-a l a F 24 7. m 0/2；二；l /28. q (x )；F S (x )+ m (x ) 9. 10. 1/211-60题. 作图示梁的剪力图和弯矩图。
材料力学典型例题及解析 4.弯曲内力典型习题解析
弯曲内力典型习题解析1 作图示简支梁的剪力图和弯矩图，并求出maxSF 和maxM。
解题分析：作剪力、弯矩图的基本方法是写出每一段梁上的剪力、弯矩方程，根据方程描点作图。
在能熟练地作剪力、弯矩图后，可采用如下简便作图法：在表中列出特殊截面（如有位移约束的截面、集中力作用截面等的剪力、弯矩值，再根据载荷集度与剪力、弯矩之间的微分关系判断各区段的内力图形状，连线相邻特殊截面对应的点。
下面按两种方法分别作图。
解I ：1、求支反力qa F Ay =，qa F Cy 2=2、将梁分成AB 、BC 和CD 三个区段 以A 为原点，向右取x 坐标。
AB 段，如图d ：qa F F Ay ==S ，()a x <<02qa(c)(b)(a)M(d)(e)MSSSM(f)题1图qax x F M Ay ==，()a x ≤≤0BC 段，如图e：)2()(S x a q a x q F F Ay −=−×−=，(a x a 2<<))/2()/2)((22a x q a x a x q x F M Ay +=−−+=，(a x a 2≤≤)CD 段，如图f：)()(S x a q F a x q F F Ay −=−−×−=，(a x a 32<<))/2()/2)((22a x q a x a x q x F M Ay +=−−+=，(a x a 32≤≤)3、按照步骤2所得各段梁的剪力、弯矩方程画出剪力图和弯矩图，如图b 和图c。
4、计算剪力和弯矩的最大值qa F 2maxS=， 2max23qa M=解II ：1、计算支反力qa F Ay =，qa F Cy2=2、将梁分为AB 、BC 、CD 三个区段，计算每个区段起点和终点的力值。
3、根据载荷情况及微分关系，判断各力区的内力图形状，并以相应的图线连接起来，得到剪力图和弯矩图。
力区 A 截面 AB B 截面 BC C 截面 CD D 截面 载荷 F Ay 向上 q =0无集中力q =负常数 F 向下 q =负常数 F Dy 向上F S突跳F Ay水平(+)连续 下斜线(+) 突减F 下斜线(-) 突跳F DyM 0 上斜线 相切上凸抛物线转折上凸抛物线4、计算剪力弯矩最大值qa F 2maxS=， 2max23qa M=讨论：利用剪力弯矩方程作图时，注意坐标轴x 的正向一般由左至右。
力学(弯曲)例题
AB段：由键力图上查得Q=－ qa＜0，由 知，M图斜率为负值。
BC段：因q＜0，由 知，Q图斜率为负值，在Q图上，随着x的增加，剪力由正值变为负值；因为 ，故M图的斜率由正值变为负值，当Q=0时，M取得最大值。
CD段:情况同AB段。
【例3】矩形截面松木梁两端搁在墙上，
承受由梁板传来的荷载作用如图所示。已知梁的间距a=1.2m，两墙的间距为L=5m，楼板承受均布荷载，起面集度为P=3KN/ ，松木的弯曲许用应力［σ］=10MPa。试选择梁的截面尺寸。设 。
(a)
解：此题可以采用下面四种不同方法求解。
解一：利用附录五上简支梁受集中载荷作用的解答。由查表可知，当简支梁上作用集中载荷P时，梁中点的挠度为
令梁在左半跨作用均布载荷,如图a所示,稍作变化即可得中点挠度
=-
解二：利用对称性求解。原题半跨均布载荷可分解为正对称载荷和反对称载荷两种情况的叠加(图b)。
解：梁计算简图如图所示荷载的线集中度为：q=
最大弯矩在跨中截面，其值
1．按正应力强度条件选择截面尺寸
h=1.5b,W =
b≥
取b=150mm，h=1.5b=225mm。
2．该梁为木梁，须校核剪应力强度。在邻近支座的截面上有
Q
矩形截面梁
剪切强度足够。故选定b=150mm，h=225mm。
【例4】简支梁在半个跨度上作用的均布载荷q，如图a所示，试求梁中点的挠度。
（d）（e）
4.对于3-3截面(图d)
∑Y=0Q3=YA－2qa－p=－30kN
∑MC=0M3=2YAa－2qa2－pa=20kN•m
5.对于4-4截面(图e)
∑Y=0Q4=YA－2qa－p=－30kN
05第五章 材料力学习题解答(弯曲内力)
a
a
(i)
解：(a) (1) 求约束反力
qa
2qa qa
C
A
B
q
a
a
a
a
(j)
MA
A x
2P
C
M0=Pa
B
RA
∑Y = 0 RA − 2P = 0
RA = 2P
∑ M A = 0 M A − 2Pa + M0 = 0
(2) 列剪力方程和弯矩方程
M A = Pa
Q(x)
⎧= ⎨⎩=
RA RA
= −
2P 2P
q
M2
C
a
求内力
P=qa
B
Q2 = P + qa = 2qa
M2
=
−P
×
a
−
qa
×
a 2
+
M
=
−
1 2
qa 2
(b) (1)求约束反力
P=200N
1
23
A
1C
DB
RA 200
23
200 200
RD
∑ MD = 0 RA × 400 − P × 200 = 0
RA = 100N
(2) 截开 1-1 截面，取左段，加内力
=
x 0
∈ (0,a) x ∈(a,
2a]
上海理工大学 力学教研室
3
M
(x)
⎧= ⎨⎩ =
RA RA
× ×
x x
+ +
MA MA
= −
2Px − Pa 2P × (x − a)
=
Pa
(3) 画 Q 图和 M 图
第5章-弯曲内力例题详解
剪力弯矩最大值: 剪力弯矩最大值
FS max = qa
M max
4. 讨论
作用处， 在 Me 作用处，左右横截面 上的剪力相同， 上的剪力相同，弯矩值突变
单辉祖,材料力学教程
M 右 − M左 = Me
5
例 5-4 载荷可沿梁移动，求梁的最大剪力与最大弯矩 载荷可沿梁移动， 解：1. FS 与 M 图 ：
3. 画剪力与弯矩图 剪力图:
FS1 = bF l FS2 = − aF l
弯矩图: 弯矩图
M1 =
bF x1 l
M2 =
aF x2 l Fab = l
最大值: 最大值
FS,max
bF = （b > a 时） l
M max
4. 讨论
作用处, 在 F 作用处 左右横截面上 的弯矩相,
∑M
A
= 0,
∑F
y
=0
FAx = qa, FCy = FAy = qa/2
2. 建立内力方程 BC 段：
qa FS1 = − , 2
qa M1 = x1 2
AB 段：
FS2 = qx 2 ,
qa q 2 M 2 = a − x2 2 2 qa FN2 = 2
单辉祖,材料力学教程
14
3. 画内力图
FSA+ = − FAy = −2F
单辉祖,材料力学教程
M A+ = M e − FAy ⋅ ∆ = Fl
M D− = F ⋅0=0 =
1
FSD− = F
例 题
例 5-2 建立剪力与弯矩方程，画剪力与弯矩图 建立剪力与弯矩方程，
FAy = bF l FBy = aF l
解：1. 支反力计算 ： 2. 建立剪力与弯矩方程
《材料力学》第4章弯曲内力 课后答案
0 ； FS−C
= b F， a+b
M
− C
=
ba a+b
F
FS+C
=
−a a+b
F
，
M
+ C
=
ba a+b
F ； FSB
=
−A a+b
F
,MB
=
0
d解
图（d1）， ∑ Fy
=
0，F
=
1 2
ql
，
∑
M
A
= 0，M A
=
− 3 ql 2 8
仿题 a 截面法得
FSA
=
1 2
ql
，MA
=
−
3 8
ql
2
；
FS−C
FS (x) = −F
⎜⎛ 0 < x < l ⎟⎞
⎝
2⎠
M (x) = −Fx ⎜⎛0 ≤ x ≤ l ⎟⎞
⎝
2⎠
FS (x) = F
⎜⎛ l < x < l ⎟⎞
⎝2
⎠
45
M (x) =
FA x +
FB
⎜⎛ ⎝
x
−
l 2
⎟⎞ ⎠
，
FB
= 2F
M (x) = Fx − Fl ⎜⎛ l ≤ x ≤ l ⎟⎞
( ) 解
∑MB
=
0 ， FA
⋅l
+
ql 2
×
3l 4
− ql 2
=
0
， FA
=
5 ql 8
↑
( ) ∑ Fy
= 0 ， FB
材料力学：第四章：弯曲内力习题课
Q M
弯曲内力课堂练习
1. 根据Q、M图的特征，试判断Q、M图的错误，作出 正确的Q、M图。
m A
2a
m / 2a
m / 2a
C
B
错误分析：
•CB段Q=0，Q图上不应有数值；
•CB段Q=0，CB段的M图应是水平 线（M是常数）;
m / 2a
Q图 m M图
m / 2a
•在支座C处有集中力作用（约束反
C
解： （1）求支反力RA、RB RA=2kN，RB=4kN
D
1m
RA
Q
1m
E 1m 1m
B
2kN
-2kN
M
（2） 作Q图 R AC：Q=RA CD：Q=RA DE：Q=RA-P=-2kN EB：QB-=RA-P-q1=-4kN x QB+=RA-P-q1+RB=0kN -4kN （3） 作M图
•DB段M图是二次曲线，凸 向由q(x)确定。
M图(kN . m)
5. 试判断Q、M图是否正确，画出正确的内力图。
P P
B
A a P P Q图 M图
C D a
P P a
x
错误分析：
① Q图的正负号 “左上右下为 正, 且反对称；
②M图画在受压的一侧，且 BC段不为零
Pa Pa P Q图 M图 Pa P
B
5kN.m 3kN.m 2kN.m
3kN.m
x
MA=0 MC-=RA 1=2kN.m MC+=MC-+m0=3kN.m MD= MC++12=5kN.m ME= MD-2.1=3kN.m
归纳：
1.根据微分关系作Q、M图步骤:
材料力学第2版 课后习题答案 第5章 弯曲内力
qa qa
qa
1 qa
qa
2
（a）Q 图
1 qa 2 8
（b）Q 图
1 qa 2 2
（c）Q 图
1 qa 2 2
3qa 2
1 qa 2 2
（a）M 图
qa 2
（b）M 图
qa 2
（c）M 图
8KN
qa
5KN
1KN
8KN
（d）Q 图
1 qa 2 2
3 qa 2 2
（e）Q 图
3KN
（f）Q 图
qa 2 1 KN ⋅ m 4
M3 = 0
（f） Q1 = 10KN
Q2 = 10KN
Q3 = 10KN
M1 = 5KN ⋅ m M 2 = 5KN ⋅ m
M 3 = −10KN ⋅ m
5-2 试写出下列各梁的剪力方程和弯矩方程，并作剪力图和弯矩图，确定|Fmax|和|Mmax|。
解 ：（ a） Q(x) = 3M 0 l
Qmax
2
8
2
4
0.5a
qa
1 qa
2
（j）Q 图
3a
5 ql
8
8
（k）Q 图
3P 4
（l）Q 图
1 qa 2
1 ql 2
1 Pa
2
128
4
qa 2
（j）M 图
1 ql 2 8
（k）M 图
（l）M 图
1 Pa 2
5-3 利用 q、 FS 、M 的微分关系作出下列各梁的剪力图和弯矩图，并求出| FSmax |和|Mmax|。
1 qa 2 4
（a）M 图
qa
（b）Q 图
材料力学第5章弯曲内力
(2)集中力偶 指作用在梁的纵向对称面内的力偶。 (3)分布载荷 指连续作用在梁的全长或部分长度内的载荷。分布载荷的大小用载荷集度表 示。设梁段Δ x上分布载荷的合力为Δ P，当Δ x趋于零时，Δ P/Δ x的极限即 称为分布载荷的载荷集度，用q表示，即
显然，梁上任一点处的载荷集度是该点坐标x的函数，即q=q(x)。若q(x)为
线。也就是说，载荷的作用平面、梁的弯曲平面与梁的纵向对称面重合，这
种弯曲称为对称弯曲，也称为平面弯曲。若梁不具有纵向对称面，或者梁虽 然具有纵向对称面但外力并非作用在纵向对称面内，则这种弯曲统称为非对
称弯曲。
图5.5
平面弯曲是最基本的弯曲问题。本章主要讨论受弯杆件发生平面弯曲时横截 面上的内力，它是弯曲强度和刚度计算的重要基础。 5.2受弯杆件的简化 工程中，受弯构件的几何形状、支承条件和载荷情况通常都比较复杂。为了 便于分析计算，需要作一些必要的简化，得到实际构件的计算简图，即力学 模型。下面就构件、载荷、支座的简化分别进行讨论。
图5.6
5.2.3支座的几种基本形式
工程中常见的梁的支座，按其对梁的约束情况可简化为以下３种形式：
(1)可动铰支座 可动铰支座也称滚动支座或辊轴支座，其构成如图5.7(a)所示，简图如图
5.7(b)所示。它限制支座处的梁截面沿垂直于支承面方向的移动，但允许截
面绕铰链中心的转动以及沿支承面内的移动。因此，其约束力F必然垂直于 支承面(见图5.7(c))，且通过铰链中心。桥梁、屋架等结构中经常采用这种
常数，则这种分布载荷称为均布载荷。例如，楼板传给大梁的载荷(见图
5.3(b))，作用在汽轮机叶片上的气体压力(见图5.4(b))等都可简化为均布 载荷。此外，桥式起重机大梁的自重、火车轮轴的自重等也是均布载荷。若
弯曲内力
第四章 截面图形几何性质1．由惯性矩的平行移轴公式，2Z I 的答案有四种： （A ）2Z I =1Z I +3bh / 4； （B ）2Z I =Z I +3bh / 4； （C ）2Z I =Z I +3bh ；（D ）2Z I =1Z I +3bh ；正确答案是。
2．c z 是形心轴，c z 轴以下面积对c z 轴的静矩Zc S 有四种答案： （A ）2/21ah ； （B ）2/12h a ；（C ）)2/(2a h ab +； （D ）)(2a h ab +；正确答案是 。
Z h h h Z 1 Z 21 z h 23．一空心圆外径为D ，内径为d ，一实心圆直径也是D ，证明空心圆惯性半径大于实心圆半径。
4．为使y 轴成为图形的形心轴，求出应去掉的a 值。
1010 10第五章 弯曲内力1．图示梁弯矩图中，maxM之值为：（A ）2/32qa ； （B ）22.1qa ；（C ）26.1qa ； （D ）2qa ； 正确答案是 。
2．梁受力如图，在B 截面处：（A ）Q 图有突变，M 图连续光滑； （B ）Q 图折角（或尖角），M 图连续光滑； （C ）Q 图有折角，M 图有尖角； （D ）Q 图有突变，M 图有尖角；正确答案是 。
3．悬臂梁受载如图弯矩图有三种答案 ：图（A ）、图（B ）、图（C ）。
正确答案是 。
q (-) (+) │M │maxqqa3qa 2/2qa 2(+)(A)(+)3qa 2/2 qa 2(C)(+)4qa 2/3qa 2(B)4．梁的内力符号与坐标系的关系是：（A ）剪力、弯矩符号与坐标系有关； （B ）剪力、弯矩符号与坐标系无关；（C ）剪力符号与坐标系有关，弯矩符号与坐标系无关； （D ）弯矩符号与坐标系有关，剪力符号与坐标系无关；正确答案是 。
5．图示梁BC 段的弯矩方程和x 的范围是：（A ）qax qx x M 22/)(2+-= a x a 2≤≤ （B ）)(22/)(2a x qa qx x M -+-= a x a 2≤≤ （C ）)(22/)(2a x qa qx x M -+-= a x a 3≤≤ （D ）qax qx x M 22/)(2+-= a x a 3≤≤正确答案是 。
材料力学答案4弯曲内力
O
0.89
M (kN.m)
1.5m
2kN
1.5m
1.5m
1.11
(+)
(-)
FBY
＝1.11 kN
建立 系
FS－x
和
M－x
坐标
4．应用截面法确定控制 x 面上的剪力和弯矩值，并
将其标在 FS－ x和 M－x
坐标系中。
5．根据微分关系连图线
O (-)
(-)
x
0.335
1.335
1.67
18
Mb / l
CB FS x2 ＝M / l 0 x2 b
M x2 ＝ Mx2 / l 0 x2 b
3. 依方程画出剪力图和弯矩图。
10
内力、内力方程与内力图
简支梁受均布载荷作用
y
q
试写出剪力和弯矩方程，并画
A xC
B 出剪力图和弯矩图。
x
FAy
l
FBy 解：1．确定约束力
1kN.m
4．从A截面左侧开始画
A
C D B 弯矩图。
FAY
1.5m
1.5m
2kN
1.5m
FBY
Fs（ kN）
0.89 M（ kN.m）
1.11
（+）
（-）
0.330
（-） （-）
1.330
1.665
从A左到A右 从A右到C左 从C左到C右 从C右到D左 从D左到D右 从D右到B左 从B左到B右
20
材料力学课程
第4章 弯曲内力
第4章 弯曲内力
弯曲的概念和实例 内力、内力方程与内力图 平衡微分方程 平面刚架和曲杆的内力 习题分析
弯曲内力和应力基本概念练习
弯曲内力和应力基本概念练习下卷材料力学 - 1 - 弯曲内力练习一、选择题1．外伸梁受均布载荷作用，如图所示。
以下结论中（）是错误的。
A．AB段剪力表达式为FQ(x)=-qx；B．AB段弯矩表达式为M(x)=-1qx2； 2Ｃ．BCqa2段剪力表达式为FQ(x)=2L2；(L-x)。
Ｄ．BC段弯矩表达式为M(x)=-qa2L题1图题2图2．外伸梁受集中力偶作用，如图所示，以下结论中（）是错误的。
A．当力偶作用点C位于支座B的右侧时，梁的弯矩图为梯形；Ｂ．当C点位于支座B的右侧时，梁上各截面的弯矩M(x)≥0；Ｃ．当C点在梁上移动时，梁的剪力图不改变；Ｄ．当C点在梁上移动时，梁的中央截面上弯矩不改变。
第 1 页共 6 页题3图下卷材料力学 - 2 -3．简支梁受集中力作用，如图所示，以下结论中（）是错误的。
A．AC段，剪力表达式为 FS(x)=Fb； LFbx；Ｂ．AC段,弯矩表达式为M(x)=LＣ．CB段，剪力表达式为 FS(x)=Fa； LFa(L-x)。
Ｄ．CB段,弯矩表达式为M(x)=L4．简支梁的四种受载情况如图，设M1、M2、M3、M4分别表示梁（a）、（b）、（c）、（d）中的最大弯矩，则下列结论中（）是正确的。
A．M1 >M2 = M3 >M4；Ｂ． M1 >M2 > M3 >M4；Ｃ．M1 >M2 >M3 = M4；Ｄ． M1 >M2 >M4> M3 。
（a）（b）（c）（d）5．外伸梁受均布载荷作用，如图所示。
以下梁的剪力、弯矩图第 2 页共 6 页下卷材料力学 - 3 - 中（）是正确的。
A．（a）；Ｂ．（b）；Ｃ．（c）；Ｄ．（d）。
F sFs弯曲应力一. 选择题1．在推导弯曲正应力公式σ=My时，假设纵向线段间无挤压，IZ 这是为了（）。
A．保证正应力合力FN = ∫A σdA=0；Ｂ．保证纵向线段为单向拉伸（压缩）；Ｃ．保证梁发生平面弯曲；Ｄ．保证梁不发生扭转变形。
工程力学--弯曲内力
基础篇之五第5章梁的弯曲问题（1）－剪力图与弯矩图杆件承受垂直于其轴线的外力或位于其轴线所在平面内的力偶作用时，其轴线将弯曲成曲线，这种受力与变形形式称为弯曲（bemding）。
主要承受弯曲的杆件称为梁（beam）。
在外力作用下，梁的横截面上将产生剪力和弯矩两种剪力和弯矩。
在很多情形下，剪力和弯矩沿梁长度方向的分布不是均匀的。
对梁进行强度计算，需要知道哪些横截面可能最先发生失效，这些横截面称为危险面。
弯矩和剪力最大的横截面就是首先需要考虑的危险面。
研究梁的变形和刚度虽然没有危险面的问题，但是也必须知道弯矩沿梁长度方向是怎样变化的。
本章首先介绍如何建立剪力方程和弯矩方程；怎样根据剪力方程和弯矩方程绘制剪力图与弯矩图，讨论载荷、剪力、弯矩之间的微分关系及其在绘制剪力图和弯矩图中的应用。
5－1 工程中的弯曲构件工程中可以看作梁的杆件是很多的。
例如，图5－1a所示桥式吊车的大梁可以简化为两端饺支的简支梁。
在起吊重量（集中力F P）及大梁自身重量（均布载荷q）的作用下，大梁图5－1 可以简化为简支梁的吊车大梁将发生弯曲，如图5－1b中虚线所示。
石油、化工设备中各种直立式反应塔（图5－2a），底部与地面固定成一体，因此，可以简化为一端固定的悬臂梁。
在风力载荷作用下，反应塔的变形如图5－2b所示。
火车轮轴支撑在铁轨上，铁轨对车轮的约束，可以看作铰链支座，因此，火车轮轴可以简化为两端外伸梁。
由于轴自身重量与车厢以及车厢内装载的人、货物的重量相比要小得多，可以忽略不计，因此，火车轮轴的受力和变形如图5－3所示。
5－2 梁的内力及其与外力的相互关系5－2－1 梁的内力与梁上外力的变化有关应用截面法和平衡的概念，不难证明，当梁上的外力（包括载荷与约束力）沿杆的轴线方向发生突变时，剪力和弯矩的变化规律也将发生变化。
所谓外力突变，是指有集中力、集中力偶作用，以及分布载荷间断或分布载荷集度发生突变的情形。
所谓剪力和弯矩变化规律是指表示剪力和弯矩变化的函数或变化的图线。
材料力学 第四章 弯曲内力
3－3截面
Fy 0; FA Fs 3 P 0
Fs3 7kN
M3 0; M 3 FA 2 0
M 3 10kN.m
F=12kN
1 A1
23 2D 3
2m
2m
q=2kN/m 4
B C4 2m
2
A FA
2 Fs2 M2
P=12kN
A
3 3
M3
FA
Fs3
F=12kN
建立剪力与弯矩方程，画剪力与弯矩图
解：1. 支反力计算
FCy qa,
MC
qa2 2
2. 建立剪力与弯矩方程
AB 段
BC 段
FS1 qx1
M1
qx12 2
(0 x1 a) (0 x1 a)
FS2 qa (0 x2 a)
M2
qax2
qa2 2
(0 x2 a)
§4–4 剪力、弯矩与分布荷载集度间的关系
AB 段
BC 段
FS1 qx1
M1
qx12 2
(0 x1 a) (0 x1 a)
FS2 qa (0 x2 a)
M2
qax2
qa2 2
(0 x2 a)
3. 画剪力与弯矩图
剪力图：
FS1 qx1
FS2 qa
弯矩图：
M1
qx12 2
M2
qax2
qa2 2
剪力弯矩最大值:
FS max qa
简单静定梁：
悬臂梁
简支梁
外伸梁
§4-2 剪力和弯矩
FS－剪力
M－弯矩
剪力－作用线位于所切横截面的内力。 弯矩－矢量位于所切横截面的内力偶矩。
第四章弯曲内力习题及答案
q 2qa a a a
A C
D
B
第四章 弯曲内力习题
一、填空题
1、如果一段梁内各横截面上的剪力Q 为零，而弯矩M 为常量，则该段梁的弯曲称为 ；如果该梁各横截面上同时存在剪力Q 和弯矩M ，则这种弯曲为 。
二、计算题
1、作下列两梁的弯矩图。
求出支座处的约束反力、弯矩的最大绝对值，并把该值标注在弯矩图上。
2、作下列梁的弯矩图。
求出支座处的约束反力、弯矩的最大绝对值，并把该值标注在弯矩图上。
3、下列梁的弯矩图。
第四章 弯曲内力习题答案
一、填空题
1 纯弯曲 横力弯曲（或剪切弯曲）
二、计算题
1、 图4.2.2 图4.2.4.1 图4.2.4.2
图4.2.4.3 Pa
25
6q a 22
3q a
2、
3、
22m ax 22B B ql R ql M ql M === 15.75kN 20.25kN 41kN.m
A D m ax R =R =M =m ax A
B R R P M P a
===⨯2m ax 716656A B R qa R qa M qa ==-
= 22q l。
材料力学：第五章 弯曲内力
回顾: 剪力、弯矩的计算步骤（截断法,静力平衡方程 ）
(1) 分析整个梁静力平衡, 求约束处支反力 (2) 假想地将梁切开，并任选一段为研究对象
(3) 画受力图(三种力: 约束力、外载荷、内力)，FS 与 M 宜均设为正 (4) 列静力平衡方程，
剪力与弯矩图
剪力图与弯矩图:表示 FS 与 M 沿杆轴（x轴）变化情况的图线
回顾:
弯梁内力：剪力、弯矩
外力主 矢FS’
外力 主矩M’
弯矩M 剪力FS
剪力－作用线位于所切横截面的内力 弯矩－矢量位于所切横截面的内力偶矩
弯曲内力
回顾:
剪力、弯矩的正方向记忆 2
回顾:
剪力、弯矩的正负符号规定
剪力
使微段沿顺时针方 向转动的剪力为正
弯矩
使微段弯曲呈凹 形的弯矩为正
使横截面顶 部受压的弯 矩为正
剪力、弯矩计算方法 1：平衡方程法
由截断梁的静力平衡方程求内力 对截断梁列出外力、内力平衡方程
例 题: 剪力、弯矩计算
例 5-1 集中力F及外力偶矩Me作用在外伸梁AD上,计算横截
面E、横截面A+与 D-的剪力与弯矩。
例 题: 剪力、弯矩计算
例 5-1 集中力F及外力偶矩Me作用在外伸梁AD上,计算横截
固定端
支反力 FRx , FRy与矩 为 M 的支反力偶
强度校核的前提：
剪力与弯矩计算 应力计算
弯梁内力：剪力、弯矩
外力主 矢FS’
外力 主矩M’
弯矩M 剪力FS
剪力－作用线位于所切横截面的内力 弯矩－矢量位于所切横截面的内力偶矩
弯曲内力
剪力、弯矩的正方向记忆 2
剪力、弯矩的正负符号规定
3. 剪力FS 图: 水平直线 4. 弯矩M 图: 斜线
10弯曲应力(0509)
M max
1 2 = qL ≤ W z [σ ] = π D ′3 (1 − α 4 )[σ ] 8 32
∴ q ≤ 4.0 KN .m
材料力学
弯曲应力/ 弯曲应力 纯弯曲时梁横截面上的正应力 图知： 例6-2 已知 材料的[σ + ] = [σ − ] = 70MPa ，由M图知： 图知 试校核其强度。 M max = 1.2 ×10 N.m ，试校核其强度。
Iz Wz = y max
——截面的抗弯截面模量，反映了截面 截面的抗弯截面模量 截面的抗弯截面模量， 的几何形状、尺寸对强度的影响。 的几何形状、尺寸对强度的影响。
矩形、圆形截面对中性轴的惯性矩及抗弯截面模量： 矩形、圆形截面对中性轴的惯性矩及抗弯截面模量：
竖放： 竖放： z h b
1 1 2 3 I z = bh , W z = bh 12 6
中性轴
中性轴
中性层
平面截面假设——横截面变形后保持为平面，只是 横截面变形后保持为平面， 4、平面截面假设 横截面变形后保持为平面 绕中性轴旋转了一角度。 绕中性轴旋转了一角度。
材料力学
弯曲应力/ 弯曲应力 纯弯曲时梁横截面上的正应力
5、理论分析 （1）变形分布规律
m
o1
o
n
o2
dx
ρ
a´ ´ b´ ´
M = ρ EI z
抗弯刚度。 抗弯刚度 EI z ——抗弯刚度。 正应力的计算公式为
1
ρ为常数，挠取轴 为常数， 是一条圆弧线
My σ = Iz
横截面上最大正应力为
σ max
材料力学
My max M M = = = Iz I z / y max W z
弯曲应力/ 弯曲应力 纯弯曲时梁横截面上的正应力
(修订)第8章 弯曲内力-习题解答
第8章 弯曲内力 习题解答题8 – 1 试计算下列各梁指定横截面的剪力和弯矩。
a ）解：（1）求截面内力1-1截面：qa qa qa F S 21=+= 21qa a qa M -=⨯-=2-2截面：qa F S =222qa a qa M -=⨯-= b ）解：（1）求支反力∑=0B M 02322=-⨯+⨯-qa a qa a F A qa F A 41= ∑=0yF 0=+-B A F qa F qa F B 43= （2）求截面内力 1-1截面：qa F S 431-= 2214143qa a qa qa M -=⨯+-= 2-2截面：qa F S 432-=B B2(a)(d)(e) (f)题8 – 1图224343qa a qa M =⨯= c ）解：（1）求截面内力1-1截面：qa F S =12212qa a qa qa M -=⨯--=2-2截面：qa F S =2022=⨯-=a qa qa M3-3截面：qa F S =323qa a qa M -=⨯-= d ）解：（1）求截面内力1-1截面：01=-=qa qa F S212qa a qa a qa M -=⨯-⨯-=2-2截面：02=-=qa qa F S22qa a qa M =⨯=3-3截面：qa F S =323qa a qa M -=⨯-=4-4截面：qa F S -=404=M5-5截面：05=S F05=M e ）解：（1）求支反力∑=0B M ()0=-+⨯Fb b a F A b a FbF A +=∑=0yF 0=+-B A F F F ba Fa F B += （2）求截面内力 1-1截面：ba Fbb a Fa F F S +=+-=1b a Fabb b a Fa b F M B +=⨯+=⨯=1 2-2截面：b a FaF F B S +-=-=2ba Fabb b a Fa b F M B +=⨯+=⨯=2 f ）（1）求支反力∑=0B M 022=-⨯+⨯-qa a qa a F A0=A F ∑=0yF0=+-B A F qa F qa F B =（2）求截面内力 1-1截面：01=S F01=M （取AC 段为研究对象）2-2截面：qa F S -=20222=⨯+-=⨯+-=a qa qa a F qa M B3-3截面：qa F S -=323qa M -=题8 – 2 试列出下列各梁的剪力及弯矩方程，作剪力图及弯矩图并求出maxSF 及maxM。
弯曲的内力与强度计算 习题
弯曲的内力与强度计算一、判断题1.如图1示截面上，弯矩M和剪力Q的符号是：M为正，Q为负。
（）图12.取不同的坐标系时，弯曲内力的符号情况是M不同，Q相同。
（）3、在集中力作用的截面处，Q图有突变，M连续但不光滑。
（）4、梁在集中力偶作用截面处，M图有突变，Q图无变化。
（）5.梁在某截面处，若剪力Q=0，则该截面的M值一定为零值。
（）6.在梁的某一段上，若无荷载作用，则该梁段上的剪力为常数。
（）7.梁的内力图通常与横截面面积有关。
（）8.应用理论力学中的外力定理，将梁的横向集中力左右平移时，梁的Q图，M图都不变。
（）9.将梁上集中力偶左右平移时，梁的Q图不变，M图变化。
（）10.图2所示简支梁跨中截面上的内力为M≠0，Q=0。
（）图 2 图 311.梁的剪力图如图3所示，则梁的BC段有均布荷载，AB段没有。
（）12.上题中，作用于B处的集中力大小为6KN，方向向上。
（）13.右端固定的悬臂梁，长为4m，M图如图示，则在x=2m处，既有集中力又有集中力偶。
（）图 4 图 514.上题中，作用在x=2m处的集中力偶大小为6KN·m，转向为顺时针。
（）15.图5所示梁中，AB跨间剪力为零。
（）16.中性轴是中性层与横截面的交线。
（）17.梁任意截面上的剪力，在数值上等于截面一侧所有外力的代数和。
（）18.弯矩图表示梁的各横截面上弯矩沿轴线变化的情况，是分析梁的危险截面的依据之一。
（）19.梁上某段无荷载作用，即q=0，此段剪力图为平行x的直线；弯矩图也为平行x轴的直线。
（）20.梁上某段有均布荷载作用，即q=常数，故剪力图为斜直线；弯矩图为二次抛物线。
（）21.极值弯矩一定是梁上最大的弯矩。
（）22.最大弯矩Mmax只可能发生在集中力F作用处，因此只需校核此截面强度是否满足梁的强度条件。
（）23.截面积相等，抗弯截面模量必相等，截面积不等，抗弯截面模量必不相等。
（）24.大多数梁都只进行弯曲正应力强度核算，而不作弯曲剪应力核算，这是因为它们横截面上只有正应力存在。
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和
M max 及其所
P
y
m=Pa
1、列出梁的剪力方程和弯矩方程
AB段:
A
x
x a
B a
C
x
FQ ( x) 0
(0 x a )
M ( x) m Pa (0 x a)
材料力学
弯曲内力/剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图 BC段: m=Pa P
FQ ( x) P
( a x 2a )
弯矩 立柱弯矩图为抛物线，左侧受压，1、2截面的弯矩值为
M1 0,
qa2/2
3
qa/2
4
2M4 0
qa/2
1
FAy
材料力学
M
FAx
1 2 1 2 M 2 qa a qa qa , 2 2 1 2 M 3 qa , M 4 0 2
作弯矩图。
弯曲内力/平面刚架内力图
x 3.1m
1 M E F 3.1 FAy 2.1 q 2.12 2
(-)
材料力学
1.41kN.m (+)
-3kN.m
(-)
-2.2kN.m
1.41kN.m M D左 2.2kN.m
q
P qa q
qa qa
a
FQ
a
a 2qa qa
M
qa 2 qa / 2
材料力学
弯曲内力/剪力和弯矩
M1 2qa
A
2
q
M 2 2qa2
B
C
a a 4a
FAy
FBy
取左段梁为研究对象:
取右段梁为研究对象:
FQc FAy q 2a qa
FQ Fy (一侧)
材料力学
FQc q 2a FBy
qa
截面左侧（或右侧）梁上的所有外力 向截面形心简化所得到的主矢。
3qa 4
2
q
a
a
FQ
3qa / 4
a 7qa / 4 qa
M
qa 2 / 4
2
材料力学
3qa / 4
qa / 2
2
q
3qa
2qa 2qa
a
FQ
q a qa
2qa 2 3qa / 2
qa
qa
M
材料力学
qa q
a
FQ
a
qa
M
qa / 2
2
材料力学
qa
2
2q
q
a
FQ
a
qa
M
qa / 2
2
qa
材料力学
第五章 弯曲内力
材料力学
弯曲内力/剪力和弯矩
例5-1 一简支梁受力如图所示。试求C截面（跨中截面） 上的内力。
M1 2qa
A
2
q
C
M 2 2qa2
B a 4a
FAy
a
FBy
解：
1、根据平衡条件求支座反力
M
材料力学
A
0 0
FBy 3qa FAy qa
M
B
弯曲内力/剪力和弯矩
3 M B (左侧) FAy 4 M 0 q 3 2
5kN.m
材料力学
弯曲内力/剪力和弯矩
M 0 8kN.m
q=2kN/m
P=2kN
A E
1m 1m
F C
2m
B
D
1m
FBy
FAy
1m
B右截面：
与 B 截面相比，该截面的内力只增加了约束反力 FBy，故有： 左
FQB右 FQB左 FBy 4kN
a qa / 2
qa qa / 2
qa / 2
2 2
qa / 2
FQ
M
材料力学
qa / 2
qa / 8
q
qa
qa / 2
2
qa qa
a
a
a
FQ
qa
M
qa / 2
2
qa
材料力学
qa / 2
2
q
7qa a 4 7qa FQ 4
2qa
a
3qa 4
5qa 4
M
材料力学
5qa / 4 5qa 2 / 4
qa
F
Mo
水平直线
FQ 图 +
or -
F
上斜直线 下斜直线
(剪力图 无突变)
Mo
斜直线
M 图
or
下凸 抛物线
上凸 抛物线
F处有尖角
材料力学
例：
P
l
q l
FQ ql
FQ
P
M
M
ql 2 2
Pl
材料力学
例：试画图示梁的剪力和弯矩图。
q
A
RA
l
q
C
3ql 8
B
RB
l 2
l 2
l 2
FQ
ql / 2
RA RB ql 8 5ql 8
M Mo (一侧)
材料力学
（力和力偶）向截面形心简化所得 到的主矩。
弯曲内力/剪力和弯矩
例5-2 一外伸梁受力如图所示。试求C截面、
的内力。
M 0 8KN.m
q=2kN/m
B左 截面和 B右 上
P=2KN
A E C
1m 2m
F
FAy
解：
FBy
B1m 1mD Nhomakorabea1m1、根据平衡条件求支座反力
材料力学
(a x 3a) (a x 3a)
y 弯曲内力/剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图 F=qa q 3、作梁的剪力图和弯矩图 3 C 3 A x B FQ ( x a ) qa xE a 2 2 F F By a Ay 2a 1 FQ ( x 3a ) qa 3 2 qa 2 (+) dM 5 qa qa a( x a) (-) E (-) -qa
材料力学
（弯矩M的实际方向与假设方向相同，为正弯矩）
弯曲内力/剪力和弯矩
如以右侧梁作为研究对象，则：
FQc q 2a FBy
q
M 2 2qa2
B
a
qa
2qa2
Mc
FQc
C
M C FBy 2a 2qa a M 2
FBy
为了计算方便，通常取外力比较简单的一段梁作为研究对象。
弯曲内力/剪力和弯矩
M1 2qa
A
2
q
M 2 2qa2
B
C
a a 4a
FAy
FBy
取左段梁为研究对象:
取右段梁为研究对象:
MC FAy 2a 2qa a M1
2qa
2
M C FBy 2a 2qa a M 2 2 2qa
截面左侧（或右侧）梁上的所有外力
材料力学
1 MC MC (左侧) FAy 2 M 0 q 1 2 3kN.m
弯曲内力/剪力和弯矩
M 0 8kN.m
q=2kN/m
P=2kN
A
F
E
1m 1m
C
2m
B
D
1m
FBy
FAy
1m
B左 截面：
FQB左 Fy (左侧) FAy q 3 3kN M B左
qa 2 2
qa 4
2
qa 2 2
例5- 6 已知静定组合梁受力如图所示。试作梁的剪力图、弯矩图。
q
qa2
D
a
B
A
a a
C
AB 载荷
q0
BC
q0
CD
q C 0
FQ 图
M 图
材料力学
斜直线
斜直线
例
试用叠加法作梁的弯矩图。
M0
l/2
P
l/2 l/2
P
l/2
M0
l
解：
M
Pl 4 M0 2 M 0 Pl 2 4
材料力学
弯曲内力/剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图 例5-4外伸简支梁受力如图所示。试列出梁的剪力方程和弯矩 方程，作出梁的剪力图和弯矩图。 y F=qa C
q B x 2a
x
A a FAy
x
FBy
解：
1、取参考坐标系Cxy。根据平衡条件求支座反力
M M
材料力学
A
0 0
B
1 FBy qa 2 5 FAy qa 2
qa / 2
材料力学
2
m a
m/l FQ l m/l b m/l
M
am l
材料力学
bm / l
P
m Pa
a
FQ
P
a
a
P
M
Pa
材料力学
m Pa
P
P
FQ
a
P
a
M
材料力学
Pa
2qa
C
2
q
A B
2qa
a
FQ
2a
a
D
qa qa
5qa
2qa
M 2qa
2
3qa
材料力学
2qa
2
qa / 2
2
q
q a
2、求C截面（跨中截面）上的内力
M1 2qa2
A
q CF
Mc
Qc
由 Fy 0, 得到：