生物数学-数理统计习题(一)

生物数学—-数理统计习题(前半部分)
一、抽样与抽样分布
1.设X 1,X 2,···,X n 为样本，
¯X n =1n n i =1X i ,S 2n =1n n i =1
(X i −¯X )2,X n +1为第n +1次的观测样本，试证：
¯X n +1=¯X n +1n +1
(X n +1−¯X n )2.设x 1,x 2,···,x n 及u 1,u 2,···,u n 为两个样本观测值，它们有如下关系：
u i =x i −a b
,b =0,a 都为常数，求样本平均值¯u 与¯x ，样本方差S 2u 与S 2x 之间的关系。

3.证明如下等式：
(1)
n i =1(X i −¯X )=0;(2)
n i =1(X i −C )2=n i =1(X i −¯X )2+n (¯X −C )2;(3)
n i =1(X i −¯X )2=n i =1X 2i −n ¯X,进而有S 2n =¯X 2−¯X 2，其中¯X 2=1n n i =1X 2i 。

4.若从总体中抽取容量为13的一个样本：
−2.1,3.2,0,−0.1,1.2,−4,2.22,2.01,1.2,−0.1,3.21,−2.1,0
试写出这个样本的次序统计量，中位数和极差。

5.设X ∼N (µ,σ2),求样本均值¯X
与总体期望µ的偏差不超过1.96
σ2n
的概率。

6.在总体N (52,633)中随机抽一容量为36的样本，求样本均值¯X 落在50.8和53.8之间的概率。

7.求总体N (20,3)的容量分别为10,15的两个独立样本均值差的绝对值大于0.3的概率。

8.设X 1,X 2,···,X 10为N (0,0.09)的一个样本，求P (10
i =1X 2i >1.44)。

9.设总体X ∼N (µ,4),X 1,X 2,···,X n 为一个样本，¯X
为样本均值，试问：样本容量n 应取多大，才能使P (|¯X
−µ|≤0.1)≥0.95。

10.设X 1,X 2,···,X n 是来自χ2(n )的样本，求E ¯X ,D ¯X 。

11.设X 1,X 2,X 3,X 4,X 5是总体X ∼N (0,1)的一个样本，求常数C ，使统计量C X 1+X 2√X 23+X 24+X 25
服从t 分布。

12.查分位数表，求Z 0.975,t 0.025(15),χ20.05(15),F 0.01(10,9).13.某食品厂生产听装饮料，从生产线上随机抽取5听饮料，称得其净重为(单位:g)351，347，355，344，351.试写出其经验分布函数。

二、矩估计与极大似然估计
14.(1)求总体X 的均值E (X )和D (X )的矩估计。

(2)灯泡厂从某天生产的一大批灯泡中随机抽取10只进行寿命试验，测得数据如下：1100,1050,1080,1120,1200,1250,1040,1130,1300,1200(单位：h)。

利用(1)的结果来估计该灯泡厂某天生产的整批灯泡的平均寿命与寿命分布的标准差。

15.设总体X ∼U [a,b ]，a,b 未知，X 1,X 2,···,X n 为其一个样本，求a,b 矩估计。

16.对容量为n 的样本，求密度函数f (x )=22(α−x ),0<x <α中参数α的矩估计
量。

17.某炸药制造厂，一天中发生的着火现象的次数X 服从参数为λ的Poisson 分布。

求λ的矩估计值。

着火次数k 0123456着火k 次的天数75905422621
18.为检验某种自来水消毒设备的效果，现从消毒后的水中随机抽取50升，化验每升水中大肠杆菌的个数(一升水中大肠杆菌的个数服从Poisson 分布)，化验结果如下：
大肠杆菌个数/升0123456
升数1720102100
试问平均每升水中大肠杆菌个数为多少时，才能使出现上述情况的概率为最大。

19.在密度函数f (x )=(α+1)x α,0<x <1中，求参数α的极大似然估计和矩估计。

20.设总体X 的密度函数为f (x )=12θexp −|x |θ
,−∞<x <∞,θ>0.求(1)θ的矩估计；(2)θ的极大似然估计.21.设总体X ∼U θ−12,θ+12
，X 1,···,X n 为一个样本(n >1)。

三、区间估计
22.从刚生产的一大堆钢珠中随机抽取9个，测得它们的直径(单位：mm)并求得其样本均值¯x =31.06，样本方差s 2=0.252，试求置信度为95%，µ的置信区间(假设钢珠直径X ∼N (µ,σ2).)
23.在大兴安岭林区，随机抽取120块面积为1公顷的样地，根据样地上全面测量的材积资料求得每公顷的平均出材量为88m 3，样本标准差S =10m 3，试求置信度为95%的平均每公顷出材量的置信区间。

24.某商店为了解居民对某种商品的需要，调查了100家住户，得出每户每月平均需要
量为10kg，方差为9，如果这种商品供应1万户，试就居民对该种商品的平均需求量进行区间估计(α=0.01)，并考虑最少要准备多少商品才能以0.99的概率满足需要？
25.从一台机床加工的轴中随机地抽取200根，测量其椭圆度，由测量值计算得平均值¯x=0.081mm，标准差s=0.025mm。

给定置信水平为95%，求此机床加工的轴平均椭圆度的置信区间。

26.投资的回收利润率常常用来衡量投资的风险，随机地调查了26个年回收利润率(%)，标准差s=15%，设回收利润率为正态分布，求它的方差的区间估计。

(置信系数为0.95)
27.在一次调查中，得到110名7岁儿童的体重的平均值为30kg，标准差为4.72kg，设儿童的体重服从正态分布，求7岁儿童的总体标准差95%的置信区间。

28.设超大牵伸纺机所纺的纱的断裂强度服从N(µ1,2.182)，普通纺纱机所纺的纱的断裂强度服从N(µ2,1.762)，现对前者抽取容量为200的样本，得¯x=5.32两；对后者抽取容量为100的样本，Y1,···,Y100，得¯y=5.76两，给定置信系数0.95，求µ1−µ2的估计区间。

29.在习题22的条件下，试求：
(1)µ的置信水平为95%的单侧置信下限；(2)σ2的置信水平为95%的单侧置信上限。

30.两正态总体N(µ1,σ2
1),N(µ2,σ2
2
)的参数均未知，依次取容量为13，10的两个独立
样本，测得样本方差s2
1=8.41，s2
2
=5.29，求两总体方差比σ21
σ2
2
的置信度为90%的置信区间。

四、假设检验
31.某厂方断言所生产的小型电动机在正常负载条件下平均电流不会超过0.84，随机抽取该型号电动机16台，发现其平均流量为0.92A，S=0.32A，假定这种电动机的工作电流X服从正态分布，并取显著水平α=0.05，(1)历史上看该厂有很好的信誉，问能否否定厂方断言？(2)如对该厂的产品持怀疑态度，能否否定厂方断言？
32.一种燃料的辛烷等级服从正态分布，其平均等级为98.0，标准差为0.8。

今有一批(25桶)新油每桶各作一次试验，得一容量为25的辛烷等级的样本，算得样本均值为97.7，假定标准差与原来一样，问新油辛烷平均等级是否比原燃料辛烷的平均等级底?(α=0.05)
33.有一批木材，其小头直径服从正态分布，且标准差为2.6cm，按规格要求，小头平均直径要在12cm以上才能算一等品。

现在随机从中抽取100根，测得其小头直径平均数为12.8cm，问在α=0.05的水平下，能否认为该批木材属于一等品？
34.某维尼龙厂根据长期积累资料知道，所生产的维尼龙纤度服从正态分布。

它的标准差为0.048，某日随机抽取5根纤维，测得其纤度为1.32,1.55,1.36,1.40,1.44。

问该日所生产的维尼龙纤度的标准差是否有显著变换？(α=0.05)
35.在甲厂抽10个样品，算出其样本方差为s2
1
=4.38，在乙厂抽12个样品，算出其样本
方差s2
2=1.56。

在α=0.05下，根据所得样本去检验假设H0:σ2
1
≤σ2
2
.(假定各厂产品质量
都服从正态分布)。