高二升高三暑期数学清北班学生卷

专题一：函数、导数专题选讲（一）

——函数性质、函数方程与函数图象、函数值域与最值、函数与不等式问题

1.函数性质应用

例1.（1）（14·全国16）若函数f(x)＝cos 2x ＋asin x 在区间⎝ ⎛⎭

⎪⎫π6，π2是减函数，则a 的取值范围是________。

（2）已知函数()323f x x tx x =-+，若对于任意的[]1,2a ∈，(]2,3b ∈，函数()f x 在区间(),a b 上单调递减，则实数t 的取值范围是（ ）

A.(],3-∞

B.(],5-∞

C.[)3,+∞

D.[)5,+∞

（3）设函数22()9f x x x ax =---（a 为实数），在区间(,3)-∞-和(3,)+∞上单调递增，则实数a 的)()3,+∞ C )()0,+∞ sin sin ααβ-．则下列结论正确的是（0> D.足：(3)1x -=，(2y -A ．恒大于0

B ．恒等于0

C ．恒小于0

D ．符号不确定

（5）定义在R 上的函数1ln )(2

++=x e x f x

，且)()(x f t x f ＞+在()∞+-∈，1x 上恒成立，则关于x 的方程(21)()f x f t e -=-的根的个数叙述正确的是( )

A ．有两个

B ．有一个

C ．没有

D ．上述情况都有可能 （6）（14·四川9）已知f(x)＝ln(1＋x)－ln(1－x)，x ∈(－1，1)。现有下列命题：

①f(－x)＝－f(x)；②f ⎝ ⎛⎭

⎪

⎫2x 1＋x 2＝2f(x)；③|f(x)|≥2|x|。

其中的所有正确命题的序号是( )

A ．①②③

B ．②③

C ．①③

D ．①②

（7）（14·湖北卷）已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f(x)＝12

(|x －a 2|＋|x －2a 2

|－

3a 2

)．若?x ∈R ，f(x －1)≤f(x)，则实数a 的取值范围为( )

A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－16，16

B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－66，66

C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，13

D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，33

（8）定义在（﹣1，1）上的函数f （x ）满足：对任意x ，y ∈（﹣1，1），()()1x y f x f y f xy ⎛⎫

--=

⎪-⎝⎭

恒成立．有下列结论：①f （0）=0；②函数f （x ）为（﹣1，1）上的奇函数；③函数f （x ）是定义域内的增函数；④若12

2()1n

n n a a n N a ++=

∈+，且a n ∈（﹣1，0）∪（0，1），则数列

{f （a n ）}为等比数列。

例8

②

其中正确的命题为________________。

（6）已知R 上的连续函数g(x)满足：①当0x >时，'()0g x >恒成立('()g x 为函数()g x 的导函数)

；②对任意的x R ∈都有

()()g x g x =-，又函数()f x 满足：对任意的x R ∈，都有)(f x f x =成立。当[x ∈时，3()3f x x x =-。若关于x 的不等式2

[()](2)g f x g a a ≤-+对

33

[22

x ∈--+恒成立,则a 的取值范围是（ ）

A.a R ∈

B.01a ≤≤

C.1122a -≤≤-+0a ≤或1a ≥

（7）定义域为R 的函数f(x)的图像关于直线x= 1对称，当x ∈[0,l]时，f(x) =x,且对任意R x ∈只

都有f(x+2) = -f(x),g(x)= ⎩

⎨⎧<--≥)0)((log )

0)((2013x x x x f ，则方程g(x)-g(-x) =0实数根的个数为（ ）

A.1006

B.1007

C.2012

D.2014

（8）已知函数()y f x =满足：4()()()()(,),f x f y f x y f x y x y R =++-∈且1

(1),4

f =

则 (2014)(2015)f f += 。

（9）定义在R 上的函数()f x 的图象关于点3(,0)4

-成中心对称，对任意的实数x 都有

3

()()2

f x f x

，且(1)1,f (0)2f ，则(1)(2)(3)(2012)f f f f 的值为（ ）

A ．2

B ．1

C ．0

D ．2

（(cos

2

g x =()f x g =A C （(f （①f ②f （()f x 的（①对任意x R ∈都有(6)()(3)f x f x f +=+成立； ②(5)1f -=-；

③当12,[0,3]x x ∈且12x x ≠时，都有

1212

()()

0f x f x x x ->-．

则：（Ⅰ）(2009)________f =；

（Ⅱ）若方程()0f x =在区间[,6]a a -上恰有3个不同实根，则实数a 的取值范围是________。 （15）已知()f x 是定义在[1,1]-上的奇函数，当12x x ≤时，12()()f x f x ≤。当[0,1]x ∈时，

2((),5

x

f f x =()1(1)f x f x =--，则