3.1.1《数系的扩充和复数的概念》导学案
《数系的扩充和复数的概念》 学历案
《数系的扩充和复数的概念》学历案一、学习目标1、了解数系扩充的必要性和数系扩充的基本过程。
2、理解复数的概念，包括实部、虚部、虚数单位等。
3、掌握复数相等的条件，并能运用其解决相关问题。
二、学习重难点1、重点（1）理解数系扩充的必要性和数系扩充的规则。
（2）掌握复数的概念及复数相等的条件。
2、难点（1）对虚数单位的理解和运用。
（2）理解复数的概念，特别是虚部的概念。
三、知识链接1、回顾从自然数到有理数，再到实数的数系扩充过程。
自然数：用于计数的数，如 0、1、2、3……整数：包括自然数、0 和负整数，如……－3、－2、－1、0、1、2、3……有理数：整数和分数的统称，可以表示为两个整数之比的数，如－2/3、05 等。
实数：有理数和无理数的统称，包括所有可以在数轴上表示的数。
2、思考实数在实际应用中是否能满足所有的数学需求。
四、学习过程（一）数系扩充的历史在人类文明的发展过程中，数的概念不断得到扩充。
最初，人们只认识自然数，用来计数物体的个数。
但随着生产和生活的需要，仅仅自然数是不够的。
比如，在分配物品时，如果不能正好平均分，就需要引入分数，这样数系就从自然数扩充到了有理数。
后来，人们又发现了一些不能表示为有理数的数，比如边长为 1 的正方形的对角线长度，它不能用有理数准确表示，于是无理数产生了，数系进一步扩充到了实数。
然而，即使是实数，在解决某些数学问题时，仍然存在不足。
例如，在求解方程 x²＋ 1 ＝ 0 时，在实数范围内没有解。
这就促使人们进一步思考数系的扩充。
（二）虚数单位 i 的引入为了解决上述方程没有实数解的问题，我们引入一个新的数 i，规定 i²＝－1。
i 被称为虚数单位，它是数系扩充的关键。
有了 i，我们就可以构建出形如 a ＋ bi 的数，其中 a 和 b 都是实数。
（三）复数的概念形如 a ＋ bi（a，b ∈ R）的数叫做复数，其中 a 叫做复数的实部，记作 Re(z)；b 叫做复数的虚部，记作 Im(z)。
高中数学 第三章 数系的扩充与复数的引入 3.1.1 数系的扩充和复数的概念学案 新人教A版选修1
2017-2018版高中数学第三章数系的扩充与复数的引入3.1.1 数系的扩充和复数的概念学案新人教A版选修1-2编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2017-2018版高中数学第三章数系的扩充与复数的引入3.1.1 数系的扩充和复数的概念学案新人教A版选修1-2）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为2017-2018版高中数学第三章数系的扩充与复数的引入3.1.1 数系的扩充和复数的概念学案新人教A版选修1-2的全部内容。
3。
1.1 数系的扩充和复数的概念1．了解数系的扩充过程。
2．理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件．（重点)3．掌握复数的代数形式、分类等有关概念并能够进行简单应用．(难点、易混点）［基础·初探］教材整理1 复数的有关概念及复数相等的充要条件阅读教材P50～P51“思考”以上内容，完成下列问题．1．复数（1）定义:形如a＋b i（a，b∈R）的数叫做复数，其中i叫做虚数单位，满足i2＝－1，a 叫做复数的实部,b叫做复数的虚部．（2）表示方法：复数通常用字母z表示,即z＝a＋b i（a，b∈R)，这一表示形式叫做复数的代数形式．2．复数集（1)定义:全体复数所构成的集合叫做复数集．(2)表示:通常用大写字母C表示．3．复数相等的充要条件设a,b，c，d都是实数,则a＋b i＝c＋d i⇔a＝c且b＝d，a＋b i＝0⇔a＝b＝0。
1．若复数2－b i（b∈R）的实部与虚部互为相反数，则b的值为( ）A．－2 B。
2 3C．－错误!D．2【解析】2－b i的实部为2,虚部为－b，由题意知2＝－(－b),所以b＝2。
北师大版数学- 数系的扩充和复数的概念导学案 选修1-2
青海师范大学附属第二中学高中数学 3.1.1 数系的扩充和复数的概念导学案 选修1-2【学习要求】1．了解引进虚数单位i 的必要性，了解数集的扩充过程.2．理解在数系的扩充中由实数集扩展到复数集出现的一些基本概念.3．掌握复数代数形式的表示方法，理解复数相等的充要条件．【学法指导】可以从实际需求和数系的扩充认识引入复数的必要性，认识复数代数形式的结构，从本质上理解复数和有序数对的对应关系.1．复数的有关概念(1)复数 ①定义：形如a ＋b i 的数叫做复数，其中a ，b ∈______，i 叫做__________．a 叫做复数的______，b 叫做复数的______．②表示方法：复数通常用字母____表示，即________．(2)复数集①定义：__________所构成的集合叫做复数集．②表示：通常用大写字母____表示．2．复数的分类及包含关系(1)复数(a ＋b i ，a ，b ∈R)⎩⎨⎧ 实数b ＝0虚数b ≠0⎩⎪⎨⎪⎧ 纯虚数a ＝0非纯虚数a ≠0(2)集合表示：3．复数相等的充要条件 设a ，b ，c ，d 都是实数，那么a ＋b i ＝c ＋d i ⇔__________. 探究点一 复数的概念问题1 为解决方程x 2＝2，数系从有理数扩充到实数；那么怎样解决方程x 2＋1＝0在实数系中无根的问题呢？问题2 如何理解虚数单位i?问题3 什么叫复数？怎样表示一个复数？问题4 什么叫虚数？什么叫纯虚数？例1 请说出下列复数的实部和虚部，并判断它们是实数，虚数还是纯虚数．①2＋3i ；②－3＋12i ；③2＋i ；④π；⑤－3i ；⑥0.跟踪1符合下列条件的复数一定存在吗？若存在，请举出例子；若不存在请说明理由．(1)实部为－2的虚数； (2)虚部为－2的虚数；(3)虚部为－2的纯虚数； (4)实部为－2的纯虚数．例2 当实数m 为何值时，复数z ＝m 2＋m －6m＋(m 2－2m )i 为 (1)实数； (2)虚数； (3)纯虚数．跟踪2 实数m 为何值时，复数z ＝m m ＋2m －1＋(m 2＋2m －3)i 是 (1)实数； (2)虚数； (3)纯虚数．探究点二 两个复数相等问题1 两个复数能否比较大小？问题2 两个复数相等的充要条件是什么？ 例3 已知x ，y 均是实数，且满足(2x －1)＋i ＝－y －(3－y )i ，求x 与y .跟踪3 已知x 2－x －6x ＋1＝(x 2－2x －3)i(x ∈R)，求x 的值．【达标检测】1．已知复数z ＝a 2－(2－b )i 的实部和虚部分别是2和3，则实数a ，b 的值分别是 ( )A ．2，1B ．2，5C ．±2，5D ．±2，12．下列复数中，满足方程x 2＋2＝0的是 ( )A ．±1B ．±IC ．±2iD ．±2i3．如果z ＝m (m ＋1)＋(m 2－1)i 为纯虚数，则实数m 的值为( )A ．1B ．0C ．－1D ．－1或14．下列几个命题：①两个复数相等的一个必要条件是它们的实部相等；②两个复数不相等的一个充分条件是它们的虚部不相等；③1－a i(a ∈R)是一个复数；④虚数的平方不小于0；⑤－1的平方根只有一个，即为－i ；⑥i 是方程x 4－1＝0的一个根；。
高中数学《3.1.1数系的扩充和复数的概念》导学案 新人教A版选修1-2
上述例1中，根据定义判断哪些是实数、虚数、纯虚数？
二合作探究，展示，点评
例2.求适合下列方程的 的值
.
例3实数x取何值时，复数 （1）是实数
（2）是虚数（3）是纯虚数
三总结
四检测
1．指出下列复数哪些是实数、虚数、纯虚数，是虚数的找出其实部与虚部。
2．判断①两复数，若虚部都是3，则实部大的那个复数较大( )
3.1.-1.2实数系与复数的引入
【使用说明】
1、课前完成导学案，牢记基础知识，掌握基本题型；
2、认真限时完成，规范书写；课上小组合作探究，答疑解惑。
【重点难点】复数的定义虚数单位;复数集的构成;复数相等的应用.
虚数单位;复数集的构成;复数相等的应用
【学习目标】
1、知识与技能：实数系的总结，复数定义
（1）通过实例分析复数的定义虚数单位;复数集的构成;复数相等的应用.
虚数单位;复数集的构成;复数相等的应用，
2、过程与方法：小组合作探究；
3、情感态度与价值观：以极度的热情，自动自发，如痴如醉，投入到学习中，充分享受学习的乐趣感受人类理性思维对数学发展所起的重要作用,进行历史唯物主义教育与辩证唯物主义教育.
② 复平面内，所有纯虚数都落在虚轴上，所有虚轴上的点都是纯虚数( )
3若 ，则 的值是________.
4．．知 是虚数单位，复数 ，当 取何实数时， 是：
（1）实数（2）虚数（3）纯虚数（4）零
5.已知复数 与 相等，且 的实部、虚部分别是方程 的两根，试求： 的值。（讨论 中，k取何值时是实数？
实数 与 相乘、相加的结果应如何？
4请对实数系进行分类
1.复数的概念：
①定义复数：复数代数形式
最新3.1.1数系的扩充与复数的概念(教案)
3.1.1数系的扩充与复数的概念(教案)------------------------------------------作者xxxx------------------------------------------日期xxxx３.１.1 数系的扩充与复数的引入【教学目标】1.了解解方程等实际需要也是数系发展的一个主要原因,数集的扩展过程以及复数的分类表;２.理解复数的有关概念以及符号表示;3.掌握复数的代数表示形式及其有关概念；4．在问题情境中了解数系得扩充过程,体会实际需求与数学内部的矛盾(数的运算规则、方程求根)在数系扩充过程中的作用，感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系。
【学情分析】学生为文科普通版班学生，基础较差,理解力一般,且个别学生学习积极性不够高。
【重点难点】教学重点:引进虚数单位i的必要性、对i的规定以及复数的有关概念．教学难点：复数概念的理解.【教学过程】【导入】知识形成过程1．对数集因生产和科学发展的需要而逐步扩充的过程进行概括(教师引导学生进行简明扼要的概括和总结）自然数→分数→负数→整数→有理数→无理数→实数2.提出问题我们知道,对于实系数一元二次方程210x+=,没有实数根。
我们能否将实数集进行扩充，使得在新的数集中，该问题能得到圆满解决呢?【活动】组织讨论，研究问题我们说，实系数一元二次方程210x+=没有实数根。
实际上,就是在实数范围内,没有一个实数的平方会等于负数。
解决这一问题,其本质就是解决一个什么问题呢？组织学生讨论，引导学生研究,最后得出结论：最根本的问题是要解决-１的开平方问题。
即一个什么样的数,它的平方会等于-1。
【讲授】引入新数1．引入新数i，并给出它的两条性质根据前面讨论结果，我们引入一个新数i,i叫做虚数单位,并规定:(1)21i=-;（２)实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时,原有的加、乘运算律仍然成立。
有了前面的讨论，引入新数i,可以说是水到渠成的事。
学案3：3.1.1-3.1.2数系的扩充和复数的概念
3.1.1 数系的扩充和复数的概念导学案新课导入1回顾数系的扩充过程①分数的引入，解决了在自然数集中不能整除的矛盾。
②无理数的引入，解决了开方开不尽的矛盾。
2方程x2-1=0的实根是多少？3方程x2+1=0的实根是多少(如何解决复数不能开偶次方根的问题)4引入的新数必须满足一定的条件，才能进行相关的运算，虚数单位i应满足什么条件呢？5根据这种规定，数的范围又扩充了，会出现什么形式的数呢？练习1:把下列运算的结果都化为a+bi（a、b R）的形式.2 -i = ；-2i = ；5= ；0= .讨论：出现了哪些相关的概念讨论：复数集C和实数集R之间有什么关系？练习2、实数m 取什么值时，复数 z =(m 2-3m -4)+(m 2-5m -6)i .(1) 是实数？(2)虚数？ (3) 纯虚数？6两个复数之间可以比较大小吗？练习3、已知（x +y ）+(y −1)i =(2x +3y)−(2y +1)i,其中x,y 为实数，求x,y练习4、若(2x 2−3x −2)+( x 2−5x +6)i =0，求x 的值.练习5、当a =？时，复数i a a a a a z )65(167222--+-+-=，（ a ∈R ）是 (1) 实数？(2)虚数？ (3) 纯虚数？练习6、已知 x 2+y 2-6 + (x -y -2)i =0,求实数 x 与 y 的值.练习7、z 1 =m +(4−m 2)i, z 2=2cos θ+(λ+3sin θ)i , λ,θ为实数，并且z 1 =z 2， 求λ的取值范围。
小结1.虚数单位i 的引入；2.复数有关概念：答案练习2(1) m=6或m=−1 (2) m≠6且m≠−1 (3) m=4练习3、x=y=0练习4、x=2练习5、(1) a=6 (2) a≠6且a≠±1(3)不存在练习6、{x=√2+1y=√2−1或{x=−√2+1y=−√2−1练习7、{m=2cosθ4−m2=λ+3sinθλ=4sin2θ−3sinθ sinθ∈[−1,1]λ∈[−916,7]。
3.1.1《熟悉的扩充和复数的概念》教案
课题：《数系的扩充和复数的概念》教案
一、教材分析
本课选自普通高中课程标准实验教科书选修2-2第三章第一节《数系的扩充和复数的概念》。
复数的引入是中学阶段数系的又一次扩充，这不仅可以使学生对于数的概念有一个初步的、完整的认识，也为进一步学习数学打下了基础。
通过本节课的学习，要使学生在问题情境中了解数系扩充的过程以及引入复数的必要性。
二、教学目标
1. 知识与技能：了解引进复数的必要性；理解并掌握虚数的单位i.
2. 过程与方法：理解并掌握虚数单位与实数进行四则运算的规律
3. 情感、态度与价值观：理解并掌握复数的有关概念(复数集、代数形式、虚数、纯虚数、实部、虚部)理解并掌握复数相等的有关概念
三、教学重点、难点：
复数的概念，虚数单位i，复数的分类(实数、虚数、纯虚数)和复数相等等概念是本节课的教学重点.
教学难点：虚数单位i的引进、复数的概念及复数相等是本节课的教学难点.
四、教学方法：
根据上述分析，贯彻启发性教学原则，结合本校学生实际水平，确定本节课主要使用两种教学方法：1、情景探究式教学；2、讲练结合教学。
五、教学过程：
六、板书设计：。
苏教版数学高二- 选修2-2导学案 3.1《数系的扩充与复数的概念》
3.1 数系的扩充与复数的概念导学案学习目标1、经历数的概念的发展和数系扩充的过程，体会数学发现和创造的过程，以及数学发生、发展的客观需求。
2、理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件。
学习重难点重点：复数的基本概念.难点：虚数单位i的引进及复数的概念。
学习过程一、课题引入1、思考：我们知道，对于实系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0，当b2－4ac＜0时，没有实数根．我们能否将实数集进行扩充，使得在新的数集中，该问题能得到圆满解决呢？2、引入一个新数i，i叫做虚数单位，并规定：(1)i2＝；(2)实数可以与i进行四则运算，进行四则运算时，原有的加、乘运算律仍然成立．3、复数的一般形式：4、叫做复数集，一般用字母C表示。
自然数集N、整数集Z、有理数集Q、实数集R以及复数集C之间有如下的关系：5、理解数的分类：6、注意对虚部(z＝a＋bi，b叫做z的虚部，它是一个实数)和纯虚数(z＝a＋bi，当a＝0，b≠0时，z＝bi叫做纯虚数)、零(z＝a＋bi，当a＝b＝0时，z＝0)和纯虚数以及虚数(z＝a＋bi，b≠0时，z叫做虚数)和纯虚数等相关概念容易混淆，请同学们辨析清楚。
7、若复数z1＝a＋bi，z2＝c＋di，则z1＝z2⇔这是复数相等的定义，也就是说，它是一项规定．由这个定义可以得出一个推论：二、练习检测1、说明下列数中，那些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数，并指出复数的实部与部。
0.618，0，5i+8，4，2－3i，0，i3421+-，i25+，6i.2、计算i＋i2＋i3＋i4．三、例题讲解例1、实数m取什么值时，复数z=m(m-1)+(m-1)i是(1)实数(2)纯虚数？(3)虚数？【拓展练习】当m为何实数时，复数。
（1）实数（2）虚数（3）纯虚数例2、已知(21)(3)x i y y i-+=--，其中,,x y R∈求x与y.,72+,72i,2i(),31-i,293i-immmZ)1(222-+-+=四、练习巩固1、若x ，y 24yi i =+，求x ，y.2、若(2x 2-3x-2)+(x 2-5x+6) =0，求x 的值.五、课堂小结1.虚数单位i 的引入；2.复数有关概念： 复数的代数形式: (,)z a bi a R b R =+∈∈复数的实部 、虚部虚数、纯虚数复数相等a bi c di +=+ ⇔a c b d=⎧⎨=⎩ 六、课后作业 同步检测。
高二数学必修二数系的扩充与复数的概念导学案
高二数学必修二数系的扩充与复数的概念导学案【课前预习】（1）预习目标：在问题情境中了解数系的扩充过程，体会实际需求在数系扩充过程中的作用（2）1) 结合实例了解数系的扩充过程2）引进虚数单位i的必要性及对i的规定3)对复数的初步认识及复数概念的理解【学习目标】（1）在问题情境中了解数系的扩充过程，体会实际需求在数系扩充过程中的作用理解复数的基本概念（2）理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件（3）了解复数的代数表示方法【问题探究】1.复数的概念：⑴虚数单位：数＿＿叫做虚数单位，具有下面的性质：①＿＿＿＿＿＿＿＿＿②＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿⑵复数：形如＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿叫做复数，常用字母＿＿＿表示，全体复数构成的集合叫做＿＿＿＿＿＿，常用字母＿＿＿表示．⑶复数的代数形式：＿＿＿＿＿＿＿＿＿，其中＿＿＿＿叫做复数的实部，＿＿＿叫做复数的虚部，复数的实部和虚部都是＿＿＿数．(4)对于复数a+bi(a,b∈R),当且仅当＿＿＿＿＿时,它是实数;当且仅当＿＿＿＿＿时,它是实数0;当＿＿＿＿＿＿＿时, 叫做虚数;当＿＿＿＿＿＿＿时, 叫做纯虚数;2.学生分组讨论⑴复数集C和实数集R之间有什么关系?⑵如何对复数a+bi(a,b∈R)进行分类?⑶复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系，可以用韦恩图表示出来吗？3.练习：(1).下列数中，哪些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数？并分别指出这些复数的实部与虚部各是什么？2+ 2i , 0.618, 2i/7 , 0, 5 i +8, 3-9 i【当堂训练】1. m ∈R ，复数z=（m-2）(m+5)+(m-2)（m-5）i ，则z 为纯虚数的充要条件是m 的值为 ( )A.2或5B.5C.2或-5D.-52、设a ∈R.复数a 2-a-6+(a 2-3a-10)i 是纯虚数,则a 的取值为 ( )(A)5或-2 (B)3或-2 (C)-2 (D)33、如果（2 x- y)+(x+3)i=0(x ，y ∈R)则x+y 的值是（）【教学反思】 A 18B C 3D 9． ． ． ．12-x y R (3x +2y)+(x y)i =i [ ]A 5B 5C D ，，且，则的值是 ． ． ． ．∈-+---x yx y 1515。
文科学案3.1.1数系的扩充和复数的引入
第三章 数系的扩充和复数的引入一、［课标要求］1．复数的概念① 理解复数的基本概念.② 理解复数相等的充要条件.③ 了解复数的代数表示法及其几何意义.二、［知识盘点］1.复数的有关概念（1）复数的单位为 ，它的平方等于 ，即 。
（2）复数：形如 的数（其中,a b R ∈），a 叫做复数的 ，b 叫做复数的 ，当0b =时，复数a bi +为实数，当0b ≠时，复数a bi +为虚数；当0a =且0b ≠时，复数a bi +为 。
（3）两个复数相等的定义a bi c di +=+⇔ （其中,,,abcd R ∈），特别地0a bi +=0.a b ⇔==（4）两个复数，如果不全为实数，就不能比较大小。
2．复数的几何意义（1）复数(,)z a bi a b R =+∈与复平面内的点 一一对应。
（2）在复平面内，实轴上的点都表示 ；除 外，虚轴上的点都表示 .（3）复数(,)z a bi a b R =+∈与平面向量OZ 一一对应（其中O 是坐标原点，(,)Z a b ）.（4）向量OZ 的模r 叫做复数(,)z a bi a b R =+∈的 ，记作 ，并且||______.z =（5）相等的向量表示 复数。
三、课前预习1．指出下列各数中，哪些是实数，试找出它们各自的实部和虚部？哪些是虚数，哪些是纯虚数，为什么？72+，618.0， i 72， 0， i ， 2i ， 85+i ， i 293-， )31(-i ， i 22-2．说出下列复数的实部与虚部，并思考它们之间能比较大小吗？i 312+-， i +2， 22， i 3-，0四、典型例题例1、实数x 取何值时，复数(2)(3)z x x i =-++：（1）是实数？（2）是虚数？（3）是纯虚数？【变式训练1】当m 为何实数时，复数226(215)3m m z m m i m --=+--+：（1）是实数？（2）是虚数？（3）是纯虚数？例2、求适合下列方程的x 和y (,)x y R ∈的值：（1）(2)6()x y i x x y i +-=+-；（2）(1)(2)0x y x y i ++--+=.【变式训练2】已知,x y 是实数，且2222x y xyi i -+=，求,x y 的值。
数系的扩充和复数的概念教案
变式再练：请说出复数 的实部和虚部。
探究二、复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系
对于复数 ：
当且仅当 时，复数 表示实数
当 时，复数 叫做虚数
当 时，复数 叫做纯虚数
你能用图表的形式将复数、实数、纯虚数的关系形象的表示出来吗？
例2指出下列各数中，哪些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数？
， ， ，0， ， ， ，
（3）z为纯虚数，则
（4）z为0则
变式再练2：若复数 为纯虚数，试求实数 的值.
提示：由复数 是纯虚数的条件可以确定实数 的值.
解：由题意：
探究三、复数集与其它数集之间的关系：N Z Q R C.
【总结提升】
1.复数的引入，体现了数系扩充的必要性及现实意义；给出的相关规定体现了数系扩充
后运算的封闭性，同时体现了规定的合理性；
2.复数的有关概念是学习复数的基础，学习时需根据复数是由其实部和虚部共同决定的这
一特征理解记忆.
【总结反思】
知识.
重点.
能力与思想方法.
【自我评价】你完成本学案的情况为( )
A.很好 B.较好 C.一般 D.较差
情感态度与价值观:1、虚数单位的引入，产生复数集，让学生体会在这个过程中蕴含的创新精神和实践能力，感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系;
2、初步学会运用矛盾转化，分与合，实与虚等辩证唯物主义观点看待和处理问题。
【重点难点】
重点:理解虚数单位 的引进的必要性及数的有关概念．难点：复数的有关概念及应用．
§3.1.1数系的扩充和复数的概念教案
李 志 文
【教学目标】
知识与技能：1.了解数系的扩充过程；2.理解复数的基本概念
过程与方法：1.通过回顾数系扩充的历史，让学生体会数系扩充的一般性方法.
人教A版选修1-2《3.1.1数系的扩充和复数的概念》教案设计
3．1.1 数系的扩充和复数的概念●三维目标1．知识与技能(1)了解数系的扩充过程．(2)理解复数的基本概念．2．过程与方法(1)通过回顾数系扩充的历史，让学生体会数系扩充的一般性方法．(2)类比前几次数系的扩充，让学生了解数系扩充后，实数运算律均可应用于新数系中，在此基础上，理解复数的基本概念．3．情感、态度与价值观(1)虚数单位的引入，产生复数集，让学生体会在这个过程中蕴含的创新精神和实践能力，感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系；(2)初步学会运用矛盾转化，分与合，实与虚等辩证唯物主义观点看待和处理问题．●重点难点重点：理解虚数单位i的引进的必要性及复数的有关概念．难点：复数的有关概念及应用．(教师用书独具)●教学建议建议本节课采用自主学习，运用自学指导法，通过创设问题情境，引导学生自学探究数系的扩充历程，体会数系扩充的必要性及现实意义，思考数系扩充后需考虑的因素，譬如运算法则、运算律、符号表示等问题，为本节学习奠定知识基础．本节内容比较简单，通过学生自学加讨论的方式，基本上可以解决基础内容的理解，教师可以启发引导学生辨析实数、虚数、纯虚数及复数相等的概念，达到透彻理解、触类旁通、学以致用的熟练程度．高考对该部分知识要求不高，练习要控制难度，以低中档题目为主．●教学流程创设问题情境，引出问题，引导学生认识虚数单位i，了解复数的概念、分类及复数相等的条件．让学生自主完成填一填，使学生进一步熟悉复数的有关概念，提炼出其中的关键因素、重点、难点．由学生自主分析例题1的各个选项，对应有关概念，确定出正确答案．教师只需指导完善解、答疑惑，并要求学生独立完成变式训练．学生分组探究例题2解法，找出实数、虚数、纯虚数的特征，总结求相关参数的方程、不等式的确定方法．完成互动探究．完成当堂双基达标，巩固所学知识及应用方法．并进行反馈矫正．归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节所学知识，强调重点内容和规律方法．学生自主完成例题3变式训练，老师抽查完成情况，对出现问题及时指导．让学生自主分析例题3，老师适当点拨解题思路，学生分组讨论给出解法．老师组织解法展示，引导学生总结解题规律．1．为解决方程x2＝2，数系从有理数扩充到实数；那么怎样解决方程x2＋1＝0在实数系中无根的问题？【提示】引入新数i，规定i2＝－1，这样i就是方程x2＋1＝0的根．2．设想新数i和实数b相乘后再与a相加，且满足加法和乘法的运算律，则运算的结果可以写成什么形式？【提示】a＋b i(a，b∈R)的形式．(1)复数的定义：把集合C＝{a＋b i|a，b∈R}中的数，即形如a＋b i(a，b∈R)的数叫做复数．(2)虚数单位：i，其满足i2＝－1.(3)复数集：全体复数构成的集合C.(4)复数的代数形式：z＝a＋b i(a，b∈R)．(5)实部、虚部：对于复数z＝a＋b i(a，b∈R)，a叫做复数的实部，b叫做复数的虚部．若a ，b ，c ，a ＝c 且b ＝d .(1)对于复数时，它是实数；当且仅当a ＝b ＝0时，它是实数0；当b ≠0时，叫做虚数；当a ＝0且b ≠0时，叫做纯虚数．这样，复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )可以分类如下：复数a ＋b i(a ，b ∈R )⎩⎨⎧实数b ＝，虚数b⎩⎪⎨⎪⎧纯虚数a ＝，非纯虚数a(2)集合表示．①若x ，y ∈C ，则x ＋y i ＝1＋i 的充要条件是x ＝y ＝1； ②若a ，b ∈R 且a >b ，则a ＋i>b ＋i ； ③若x 2＋y 2＝0，则x ＝y ＝0；④一个复数为纯虚数的充要条件是这个复数的实部等于零； ⑤－1没有平方根；⑥若a ∈R ，则(a ＋1)i 是纯虚数．A ．0B ．1C ．2D ．3 【思路探究】 根据复数的有关概念判断．【自主解答】 ①由于x ，y ∈C ，所以x ＋y i 不一定是复数的代数形式，不符合复数相等的充要条件，①是假命题．②由于两个虚数不能比较大小，∴②是假命题． ③当x ＝1，y ＝i 时，x 2＋y 2＝0也成立，∴③是假命题．④当一个复数实部等于零，虚部也等于零时，复数为0，∴④错． ⑤－1的平方根为±i，∴⑤错．⑥当a ＝－1时，(a ＋1)i ＝0是实数，∴⑥错．故选A. 【答案】 A正确理解复数的有关概念是解答复数概念题的关键，另外在判断命题的正确性时，需通过逻辑推理加以证明，但否定一个命题的正确性时，只需举一个反例即可，所以在解答这类题型时，可按照“先特殊，后一般”、“先否定，后肯定”的方法进行解答．已知下列命题： ①复数a ＋b i 不是实数； ②当z ∈C 时，z 2≥0；③若(x 2－4)＋(x 2＋3x ＋2)i 是纯虚数，则实数x ＝±2； ④若复数z ＝a ＋b i ，则当且仅当b ≠0时，z 为虚数；⑤若a ，b ，c ，d ∈C 时，有a ＋b i ＝c ＋d i ，则a ＝c ，且b ＝d .其中真命题的个数是________． 【解析】 根据复数的有关概念判断命题的真假．①是假命题，因为当a ∈R 且b ＝0时，a ＋b i 是实数．②假命题，如当z ＝i 时，则z 2＝－1<0.③是假命题，因为由纯虚数的条件得⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4＝0，x 2＋3x ＋2≠0，解得x ＝2，当x ＝－2时，对应复数为实数．④是假命题，因为没有强调a ，b ∈R .⑤是假命题，只有当a 、b 、c 、d ∈R 时，结论才成立．【答案】 0当实数m 为何值时，复数z ＝m＋(m 2－2m )i 是(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数． 【思路探究】 根据复数的分类标准→ 列出方程(不等式)组→解出m →结论【自主解答】 (1)当⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m ＝0，m ≠0，即m ＝2时，复数z 是实数． (2)当m 2－2m ≠0，且m ≠0， 即m ≠0且m ≠2时，复数z 是虚数．(3)当⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m －6m ＝0，m 2－2m ≠0，即m ＝－3时，复数z 是纯虚数．1．本例中，极易忽略对m ≠0的限制，从而产生增解，应注意严谨性．2．利用复数的代数形式对复数分类时，关键是根据分类标准列出实部、虚部应满足的关系式(等式或不等式)，求解参数时，注意考虑问题要全面．把题中的“z ”换成“z ＝lg m ＋(m －1)i”，分别求相应问题．【解】 (1)当⎩⎪⎨⎪⎧m ＞0，m －1＝0，即m ＝1时，复数z 是实数．(2)当m －1≠0且m ＞0，即m ＞0且m ≠1时，复数z 是虚数．(3)当lg m ＝0且m －1≠0时，此时无解，即无论实数m 取何值均不能表示纯虚数．已知x ＋1＝(x 2－2x －3)i(x ∈R )，求x 的值．【思路探究】 根据复数相等的充要条件转化成关于x 的方程组求解．【自主解答】 ∵x ∈R ，∴x 2－x －6x ＋1∈R ，由复数相等的条件得：⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －6x ＋1＝0，x 2－2x －3＝0，解得x ＝3.1．复数相等的充要条件是化复为实的主要依据，利用实部与实部、虚部与虚部分别相等列方程组求实数x ，y 的值．2．求解复数的有关问题时，务必注意参数x ，y 的范围．求使等式(2x －1)＋i ＝y －(3－y )i 成立的实数x ，y 的值．【解】 由⎩⎪⎨⎪⎧2x －1＝y ，1＝－－y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝52，y ＝4.因忽视虚数不能比较大小而出错求满足条件－2＋a －(b －a )i>－5＋(a ＋2b －6)i 的实数a ，b 的取值范围．【错解】 由已知，得⎩⎪⎨⎪⎧－2＋a >－5，－b －a a ＋2b －6，解得a >－3，b <2.【错因分析】 想当然的认为大的复数所对应的实部和虚部都大，忽视了只有实数才能比较大小的前提．两个复数，如果不全是实数，则不能比较大小．所以当两个复数能比较大小时，可以确定这两个复数必定都是实数．【防范措施】 当两个复数不全是实数时，不能比较大小，只可判定相等或不相等，但两个复数都是实数时，可以比较大小．细心审题，解题前明确每个参数的取值范围，牢记复数相等的充要条件，才能避免此类错误的出现．【正解】 由－2＋a －(b －a )i>－5＋(a ＋2b －6)i 知，不等号左右两边均为实数，所以⎩⎪⎨⎪⎧b －a ＝0，a ＋2b －6＝0，－2＋a >－5，解得a ＝b ＝2.1．对于复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，可以限制a ，b 的值得到复数z 的不同情况． 2．两个复数相等，要先确定两个复数实虚部，再利用两个复数相等的条件． 3．一般来说，两个复数不能比较大小．1．(2012·北京高考)设a ，b ∈R ，“a ＝0”是“复数a ＋b i 是纯虚数”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【解析】 “a ＝”D ⇒\“a ＋b i 为纯虚数”， “a ＋b i 为纯虚数”“⇒”“a ＝0”， ∴选B. 【答案】 B2．(1＋3)i 的实部与虚部分别是( ) A ．1， 3 B ．1＋3，0 C ．0,1＋ 3D ．0，(1＋3)i 【解析】 根据复数的代数形式的定义可知(1＋3)i ＝0＋(1＋3)i ， 所以其实部为0，虚部为1＋3，故选C. 【答案】 C3．下列命题中的假命题是( ) A ．自然数集是非负整数集 B ．实数集与复数集的交集为实数集 C ．实数集与虚数集的交集是{0} D ．纯虚数与实数集的交集为空集【解析】 本题主要考查复数集合的构成，即复数的分类．复数可分为实数和虚数两大部分，虚数中含有纯虚数，因此，实数集与虚数集没有公共元素，故选项C 中的命题是假命题．【答案】 C4．已知复数z ＝m ＋(m 2－1)i(m ∈R )满足z <0，则m ＝________.【解析】 ∵z <0，∴⎩⎪⎨⎪⎧m 2－1＝0，m <0，∴m ＝－1.【答案】 －1一、选择题1．若复数2－b i(b ∈R )的实部与虚部互为相反数，则b 的值为( ) A ．－2 B.23 C ．－23D ．2【解析】 2－b i 的实部为2，虚部为－b ，由题意知2＝－(－b )，∴b ＝2. 【答案】 D2．i 是虚数单位，1＋i 3等于( ) A ．i B ．－i C ．1＋i D ．1－i【解析】 由i 是虚数单位可知：i 2＝－1，所以1＋i 3＝1＋i 2×i＝1－i ，故选D. 【答案】 D3．(2012·陕西高考)设a ，b ∈R ，i 是虚数单位，则“ab ＝0”是“复数a ＋bi 为纯虚数”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】 ab ＝0⇒a ＝0或b ＝0，当a ≠0，b ＝0时，a ＋b i 为实数，当a ＋bi 为纯虚数时⇒a ＝0，b ≠0⇒ab ＝0，故“ab ＝0”是“复数a ＋bi为纯虚数”的必要不充分条件．【答案】 B4．若复数z ＝(x 2－1)＋(x －1)i 为纯虚数，则实数x 的值为( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．－1或1【解析】 由题意可知，当⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1＝0，x －1≠0，即x ＝－1时，复数z 是纯虚数．【答案】 A5．以3i －2的虚部为实部，以3i 2＋2i 的实部为虚部的复数是( ) A ．3－3iB ．3＋iC ．－2＋2iD ．2＋2i【解析】 3i －2的虚部为3,3i 2＋2i ＝－3＋2i 的实部为－3，则所求复数为3－3i.【答案】 A 二、填空题6．给出下列复数：2＋3，0.618，i 2,5i ＋4，2i ，其中为实数的是________． 【解析】 2＋3，0.618，i 2为实数，5i ＋4，2i 为虚数． 【答案】 2＋3，0.618，i 27．已知x －y ＋2x i ＝2i ，则x ＝________；y ＝________. 【解析】 根据复数相等的充要条件得⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝0，2x ＝2.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1.【答案】 1 1 8．给出下列几个命题：①若x 是实数，则x 可能不是复数； ②若z 是虚数，则z 不是实数；③一个复数为纯虚数的充要条件是这个复数的实部等于零； ④－1没有平方根； ⑤两个虚数不能比较大小． 则其中正确命题的个数为________．【解析】 因实数是复数，故①错；②正确；因复数为纯虚数要求实部为零，虚部不为零，故③错；因－1的平方根为±i，故④错；⑤正确．故答案为2.【答案】 2 三、解答题9．实数m 分别为何值时，复数z ＝2m 2＋m －3m ＋3＋(m 2－3m －18)i 是：(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．【解】 (1)要使所给复数为实数，必使复数的虚部为0.故若使z 为实数，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2－3m －18＝0m ＋3≠0，解得m ＝6.所以当m ＝6时，z 为实数．(2)要使所给复数为虚数，必使复数的虚部不为0. 故若使z 为虚数，则m 2－3m －18≠0，且m ＋3≠0， 所以当m ≠6且m ≠－3时，z 为虚数．(3)要使所给复数为纯虚数，必使复数的实部为0，虚部不为0. 故若使z 为纯虚数，则⎩⎪⎨⎪⎧2m 2＋m －3＝0m ＋3≠0m 2－3m －18≠0，解得m ＝－32或m ＝1.所以当m ＝－32或m ＝1时，z 为纯虚数．10．若m 为实数，z 1＝m 2＋1＋(m 3＋3m 2＋2m )i ，z 2＝4m ＋2＋(m 3－5m 2＋4m )i ，那么使z 1>z 2的m 值的集合是什么？使z 1<z 2的m 值的集合又是什么？【解】 当z 1∈R 时，m 3＋3m 2＋2m ＝0，m ＝0，－1，－2，z 1＝1或2或5.当z 2∈R 时，m 3－5m 2＋4m ＝0，m ＝0,1,4，z 2＝2或6或18.上面m 的公共值为m ＝0， 此时z 1与z 2同时为实数， 此时z 1＝1，z 2＝2.所以z 1>z 2时m 值的集合为空集，z 1<z 2时m 值的集合为{0}．11．已知关于x 的方程x 2＋(k ＋2i)x ＋2＋k i ＝0有实根x 0，求x 0以及实数k 的值． 【解】 x ＝x 0是方程的实根，代入方程并整理，得 (x 20＋kx 0＋2)＋(2x 0＋k )i ＝0. 由复数相等的充要条件，得⎩⎪⎨⎪⎧x 20＋kx 0＋2＝0，2x 0＋k ＝0，解得⎩⎨⎧x 0＝2，k ＝－22，或⎩⎨⎧x 0＝－2，k ＝2 2.∴方程的实根为x 0＝2或x 0＝－2，相应的k 值为k ＝－22或k ＝2 2.(教师用书独具)/若z 1＝m 2－(m 2－3m )i ，z 2＝(m 2－4m ＋3)i ＋10(m ∈R )，z 1＜z 2，求实数m 的取值．【思路探究】 由z 1<z 2推出z 1，z 2均为实数，利用复数为实数的条件列出参数m 的方程组，从而求出实数m 的值．【自主解答】 ∵z 1＜z 2，∴z 1，z 2均为实数．∴⎩⎪⎨⎪⎧ m 2－3m ＝0， ①m 2－4m ＋3＝0， ②∴⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝0或m ＝3m ＝1或m ＝3∴m ＝3.又z 1＝m 2＝9＜z 2，故m ＝3符合题意．∴m ＝3.复数z ＝a ＋b i 当且仅当其为实数时，才能比较大小，否则不能比较大小．若用“大于”或“小于”符号联系复数时，则只能是实数，故而本题需将复数问题转化到实数范围内研究讨论．已知集合M ＝{1,2，m 2－3m －1＋(m 2－5m －6)i}，N ＝{－1,3}，且M ∩N ＝{3}，求实数m 的值．【解】 ∵M ∩N ＝{3}，N ＝{－1,3}，∴3∈M ，且－1∉M .必有m 2－3m －1＋(m 2－5m －6)i ＝3.由复数相等的定义，得⎩⎪⎨⎪⎧ m 2－3m －1＝3，m 2－5m －6＝0.解得m ＝－1.。
3.1.1 数系的扩充和复数的概念 教案
3.1.1 数系的扩充和复数的概念教材分析复数的概念是复数这一章的基础，复数的有关概念都是围绕复数的代数表示形式展开的．虚数单位、实部、虚部的命名，复数相等的概念，以及虚数、纯虚数等概念的理解，教学中可结合具体例子，以促进对复数实质的理解.教材通过三个环节完成了对实数系的扩充过程：(1)提出问题(用什么方法解决方程x 2＋1＝0在实数集中无解的问题)，引发学生的认知冲突，激发学生扩充实数系的欲望；(2)回顾从自然数集逐步扩充到实数集的过程和特点(添加新数，满足原来的运算律)；(3)类比、设想扩充实数系的方向及引入新数i 所满足的条件(使i 2＝－1成立，满足原来的运算律)．由于学生对数系扩充的知识并不熟悉，教学中教师需多作引导．教学目标1．知识与技能目标了解引进复数的必要性；理解虚数单位i 以及i 与实数的四则运算规律．理解并掌握复数的有关概念(复数集、代数形式、虚数、纯虚数、实部、虚部、复数相等)．2过程与方法目标通过问题情境，了解扩充数系的必要性，感受数系的扩充过程，体会引入虚数单位i 和复数形式的合理性，使学生对数的概念有一个初步的、完整的认识．3．情感、态度与价值观在问题情境中了解数系得扩充过程，体会实际需求与数学内部的矛盾（数的运算规则、方程求根）在数系扩充过程中的作用，感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系．重点难点重点：复数的概念，虚数单位i ，复数的分类(实数、虚数、纯虚数)和复数相等等概念． 难点：虚数单位i 的引进及复数的概念．教学过程引入新课1.自然数、负数、分数、无理数这些概念是分别在一些什么样的社会生产背景下建立起来的？（1）自然数：计数的需要.（2）负数：表示相反意义的量、计数需要.（3）分数：整数集中不能整除.（4）无理数：开方开不尽.2.数系的扩充过程：用图形表示包含关系：自然数集N ，，整数集Z ，有理数集Q ，实数集R .3. 为什么要进行数系的扩充？①分数的引入，解决了在自然数集中不能整除的矛盾.②负数的引入，解决了在正有理数集中不够减的矛盾.③无理数的引入，解决了开方开不尽的矛盾. NZ Q R④在实数集范围内，负数不能开平方，我们要引入什么数，才能解决这个矛盾呢？例如，在实数范围内，方程210x+=无解，那么在什么范围内才有解？提出问题：从自然数集N扩充到实数集R每一次扩充的主要原因是什么？每一次扩充的共同特征是什么？活动设计：先让学生独立思考，然后小组讨论，师生共同归纳总结．活动成果：扩充原因：①满足解决实际问题的需要；②满足数学自身完善和发展的需要．扩充特征：①引入新的数；②原数集中的运算规则在新数集中得到保留和扩展，都满足交换律和结合律，乘法对加法满足分配律．探究新知提出问题：方程x2＋1＝0在R上有解吗？如何对实数集进行扩充，使方程x2＋1＝0在新的数集中有解？活动设计：小组讨论，类比猜想，设想新数的引进，师生共同完成．学情预测：学生讨论可能没有统一结果，无法描述．类比原来不同阶段数系的每一次扩充的特点，在实数集中方程x2＋1＝0无解，需要引进“新数”扩充实数集．让我们设想引入一个新数i，使i满足两个条件：(1)i是方程x2＋1＝0的根，即i2＝－1；(2)新数i与实数之间满足加法、乘法的交换律、结合律以及乘法对加法的分配律．提出问题：同学们设想，实数a与新数i相加，实数b与新数i相乘，结果如何表达？实数a与实数b和新数i相乘的结果相加，如何表示？．活动成果：形如a＋bi(a，b∈R)的数，包括所有实数，也包括新数bi和a＋bi，实数a 和新数i可以看作是a＋bi(a，b∈R)这样数的特殊形式，即a＝a＋0i，i＝0＋i.实数系经过上述扩充后，得到的新数集C＝{a＋bi|a，b∈R}．我们把形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位．全体复数所构成的集合C叫做复数集，即C＝{a＋bi|a，b∈R}．复数通常用字母z表示，即z＝a＋bi(a，b∈R)，这一表示形式叫做复数的代数形式．提出问题：你认为满足什么条件，可以说这两个复数相等？活动设计：学生讨论探究a＋bi＝c＋di时，实部和虚部应满足的条件，教师补充．活动结果：若a＋bi＝c＋di(其中a，b，c，d∈R)，则a＝b且c＝d，即两个复数相等的充要条件是实部和虚部分别相等．特别地，a＋bi＝0⇔a＝0且b＝0.理解新知提出问题：对于复数z＝a＋bi，当且仅当a，b满足什么条件时，z为实数，为0，为虚数，为纯虚数？活动设计：学生思考、讨论，师生总结．活动结果：当且仅当b＝0时，复数z＝a＋bi是实数；当且仅当a＝b＝0时，复数z＝a ＋bi为0；当且仅当b≠0时，复数z＝a＋bi是虚数；当且仅当a＝0且b≠0时，复数z＝a ＋bi为纯虚数．复数集、实数集、虚数集和纯虚数集之间的关系用图表示如下：提出问题：任意两个复数可以比较大小吗？若可以，请说明进行比较的方法；若不可以，请说明理由．活动设计：让学生思考，议论后发言，教师点拨．学情预测：学生可能不知所云，无法下结论，也可能类比实数的大小比较，认为可以比较大小．活动结果：若两个复数都是实数，则可以比较大小；否则就不能比较大小．因此，一般说来，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较其大小．运用新知例1请说出下列复数的实部和虚部，并判断它们是实数，虚数还是纯虚数．①2＋3i ；②－3＋12i ；③2＋i ；④ ；⑤－3i ；⑥0. 例2实数m 取什么数值时，复数z ＝m ＋1＋(m －1)i 是(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．完成练习册上的3个判断题在第二个问题上适当说明复数不比较大小，可以反正i 与0不能比较大小学生回顾本节课主要内容教学反思这节课我们学习了虚数单位i 及它的两条性质，复数的定义、实部、虚部及有关分类问题，复数相等的充要条件.基本思想是：利用复数的概念，联系以前学过的实数的性质，对复数的知识有较完整的认识，以及利用转化的思想将复数问题转化为实数问题 复数的概念如果单纯地讲解或介绍会显得较为枯燥无味，学生不易接受，教学时，我们采用讲解或体验已学过的数集的扩充的历史，让学生体会到数集的扩充是生产实践的需要，也是数学学科自身发展的需要；介绍数的概念的发展过程，使学生对数的形成、发展的历史和规律，各种数集中之间的关系有着比较清晰、完整的认识.从而让学生积极主动地建构虚数的概念、复数的概念、复数的分类 22(3)1)(32)1x x x i x -+++=±若（是纯虚数，则实数2,+i +i a b a b >>（）若则2(1)Z 0∈≥当Z C 时，2i。
高中数学 第三章 数系的扩充与复数的引入 3.1.1 数系的扩充和复数的概念导学案(无答案)新人教
河北省邢台市沙河市高中数学第三章数系的扩充与复数的引入 3.1.1 数系的扩充和复数的概念导学案（无答案）新人教A版选修2-2编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（河北省邢台市沙河市高中数学第三章数系的扩充与复数的引入 3.1.1 数系的扩充和复数的概念导学案（无答案）新人教A 版选修2-2）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为河北省邢台市沙河市高中数学第三章数系的扩充与复数的引入 3.1.1 数系的扩充和复数的概念导学案（无答案）新人教A版选修2-2的全部内容。
§3。
1。
1数系的扩充和复数的概念【学法指导】：认真自学，激情讨论，愉快收获。
●为必背知识【学习目标】:在问题的情境中让学生了解把实数系扩充到复数系的过程，理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件.【学习重点】：理解复数的基本概念。
【学习难点】：复数及其相关概念的理解【教学过程】:一：回顾预习案●1、复数的相关概念：(1）复数的概念：我们把集合中的数，即形如的数叫做复数。
其中i叫做,全体复数所成的集合C叫做.(2）复数的表示方法:复数通常用字母表示，即，这一表示形式叫做，其中a与b分别叫做复数z的和。
（3)复数相等的概念：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数.若R,,，我们规定⇔,ca∈dbbica。
+di+=注意：两复数不能比较大小，只有等与不等。
（4)复数的分类:对于复数bia+，当且仅当时，它是实数；当且仅当时，它是实数0；当时，叫做虚数；当时，叫做纯虚数;这样复数可以分类如下:画出图3。
1—1完成练习：口答,104页练习1,2二讨论展示案合作探究，展示点评例1、课本103页例1展示一、实数m取什么值时，复数i+-=1+(mmz)1是（1）实数；（2）虚数;（3)纯虚数。
3.1.1数系的扩充和复数的概念(导学案) (1)
数系的扩充和复数的概念3．1.1数系的扩充和复数的概念预习课本P102～103，思考并完成下列问题(1)实数系经过扩充后得到的新数集是什么？复数集如何分类？(2)复数能否比较大小？复数相等的充要条件是什么？纯虚数、虚数、实数、复数关系如何？[新知初探]1．复数的有关概念(1)复数①定义：形如a＋b i(a，b∈R)的数叫做复数，其中i叫做，满足i2＝，实部是a，虚部是b.②表示方法：复数通常用字母表示，代数形式为z＝a＋b i(a，b∈R)．(2)复数集①定义：所成的集合．②表示：通常用大写字母C表示．[点睛]复数概念的三点说明(1)复数集是最大的数集，任何一个数都可以写成a＋b i(a，b∈R)的形式，其中0＝0＋0i.(2)复数的虚部是实数b而非b i.(3)复数z ＝a ＋b i 只有在a ，b ∈R 时才是复数的代数形式，否则不是代数形式．2．复数相等在复数集C ＝{}a ＋b i|a ，b ∈R 中任取两个数a ＋b i ，c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R)，我们规定：a ＋b i 与c ＋d i 相等的充要条件是 .3．复数的分类对于复数a ＋b i ，当且仅当 时，它是实数；当且仅当a ＝b ＝0时，它是实数0；当 时，叫做虚数； 时，叫做纯虚数．这样，复数z ＝a ＋b i 可以分类如下：复数z ⎩⎨⎧实数(b ＝0)，虚数(b ≠0)(当a ＝0时为纯虚数). [点睛] 复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系[小试身手]1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若a ，b 为实数，则z ＝a ＋b i 为虚数．( )(2)若a 为实数，则z ＝a 一定不是虚数．( )(3)如果两个复数的实部的差和虚部的差都等于0，那么这两个复数相等．( )2．在2＋7，27i,8＋5i ，(1－3)i,0.68这几个数中，纯虚数的个数为( ) A ．0B ．1C ．2D ．33．若a －2i ＝b i ＋1，a ，b ∈R ，则a 2＋b 2＝________.4．设m ∈R ，复数z ＝－1－m ＋(2m －3)i.(1)若z 为实数，则m ＝________；(2)若z 为纯虚数，则m ＝________.复数的概念及分类[典例] (1)给出下列三个命题：①若z ∈C ，则z 2≥0；②2i －1的虚部是2i ；③2i 的实部是0.其中真命题的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3(2)当m 为何实数时，复数z ＝m 2－m －6m ＋3＋(m 2－2m －15)i.①是虚数；②是纯虚数．[一题多变]1．[变设问]本例(2)中条件不变，当m 为何值时，z 为实数？．2．[变设问]本例(2)中条件不变，当m 为何值时，z >0.3．[变条件]已知z ＝log 2(1＋m )＋ilog 12(3－m )(m ∈R)，若z 是虚数，求m 的取值范围．复数分类的关键(1)利用复数的代数形式，对复数进行分类，关键是根据分类标准列出实部、虚部应满足的关系式．求解参数时，注意考虑问题要全面，当条件不满足代数形式z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)时应先转化形式．(2)注意分清复数分类中的条件设复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)，则①z 为实数⇔b ＝0，②z 为虚数⇔b ≠0，③z 为纯虚数⇔a ＝0，b ≠0.④z ＝0⇔a ＝0，且b ＝0. 复数相等[典例] (1)已知x 2－y 2＋2xy i ＝2i ，求实数x ，y 的值；(2)关于x 的方程3x 2－a 2x －1＝(10－x －2x 2)i 有实根，求实数a 的值．复数相等问题的解题技巧(1)必须是复数的代数形式才可以根据实部与实部相等，虚部与虚部相等列方程组求解．(2)根据复数相等的条件，将复数问题转化为实数问题，为应用方程思想提供了条件，同时这也是复数问题实数化思想的体现．(3)如果两个复数都是实数，可以比较大小，否则是不能比较大小的．[活学活用]已知关于实数x ，y 的方程组⎩⎪⎨⎪⎧(2x －1)＋i ＝y －(3－y )i ，①(2x ＋ay )－(4x －y ＋b )i ＝9－8i ，②有实数解，则实数a ，b 的值分别为________．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
§3.1.1《数系的扩充和复数的概念》导学案
审核: 高二数学组 班级 组别 姓名
【学习目标】
1、了解数系的扩充过程；理解复数的基本概念；理解并掌握虚数的单位i 。
2、通过回顾数系扩充的历史，让学生体会数系扩充的一般性方法；让学生了解数系扩充后，实数运算律均可应用于新数系中，在此基础上，理解复数的基本概念。
3、虚数单位的引入，产生复数集，让学生体会在这个过程中蕴含的创新精神和实践能力，感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系；初步学会运用矛盾转化，分与合，实与虚等辩证唯物主义观点看待和处理问题。
【重点难点】
▲重点：1、理解虚数单位i 的引进的必要性及复数的有关概念。
2、复数的分类及相等。
▲难点：复数的有关概念及应用。
预习案
阅读课本第50页到51页的内容，尝试回答以下问题：
1、复数及有关概念：
⑴我们把形如 的数叫做复数，其中i 叫做 。
⑵全体复数所组成的集合叫做 ，常用大写．．
字母C 表示。
即C ＝ 。
2、复数的代数形式：
复数通常用小写字母z 表示，即z = ，这一表示形式叫做复数的代数形式，其中a 叫做复数z 的 ，b 叫做复数z 的 。
a ,b ∈ 。
3、复数相等的定义：
如果两个复数的 和 分别相等，那么这两个复数就相等。
即：如果a ，b ，c ，d ∈R ，那么a +bi ＝c +di ⇔ 。
一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小。
4、复数的分类：
对于复数a +bi （a ，b ∈R ），当且仅当 时，它是实数；当且仅当 时，它是实数0；当 时，叫做虚数；当 时，叫做纯虚数。
)a bi ⎧⎪+ ⎧⎨ ⎨⎪ ⎩⎩
实数（）复数（纯虚数（）虚数（）
非纯虚数（） 5、复数集与其它数集之间的关系：
【请你解答】
1、下列命题正确的是（ ）
A 、如果两个复数的实部的差和虚部的差都等于0，那么这两个复数相等。
B 、ai 是纯虚数。
C 、如果复数x+yi 是实数，则x=0，y=0。
D 、复数a+bi 不是实数。
2、若复数z=(x 2-1)+(x -1)i 为纯虚数，则实数x 的值为（ ）
A 、-1
B 、0
C 、1
D 、-1或1
3、说明下列数中，那些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数，并指出复数的实部与虚部。
270.618；27
i ；0；(13)i ；2i ；58i +；392i - 探究案
例1 实数m 取什么值时，复数1(1)z m m i =++-是⑴实数？⑵虚数？⑶纯虚数？
变式1、当m 为何实数时，复数222(1)z m m m i =+-+-是⑴实数？⑵虚数？⑶纯虚数？
例2 已知(21)(3)x i y y i -+=--，其中,x y R ∈， 求x 与y 。
变式2、若x ，y 为实数，且)24x yi i +=+，求x ，y
变式3、若22(232)(56)0x x x x i --+-+=，求x 的值。
【课堂小结】
训练案
【基础达标】
见练习册P 34课堂达标演练。
【当堂检测】
见课时作业P 67。
【课后反思】
我还存在的疑惑是。