高三 直线与圆专题

直线与圆

高考定位 高考对本内容的考查重点是直线间的平行和垂直的条件、与距离有关的问题、直线与圆的位置关系(特别是弦长问题)，此类问题难度属于中等，一般以填空题的形式出现，有时也会出现解答题，多考查其几何图形的性质或方程知识.多为B 级或C 级要求.

真 题 感 悟

1.(2015·江苏卷)在平面直角坐标系xOy 中，以点(1，0)为圆心且与直线mx －y －2m －1＝0(m ∈R)相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为________. 解析 直线mx －y －2m －1＝0恒过定点(2，－1)，由题意，得半径最大的圆的半径r ＝（1－2）2＋（0＋1）2＝

2. 故所求圆的标准方程为(x －1)2＋y 2＝2. 答案 (x －1)2＋y 2＝2

2.(2017·江苏卷)在平面直角坐标系xOy 中，A (－12，0)，B (0，6)，点P 在圆

O ：x 2＋y 2＝50上.若PA →·PB →≤20，则点P 的横坐标的取值范围是________. 解析 设点P (x ，y )，且A (－12，0)，B (0，6)，

则PA →·PB

→＝(－12－x ，－y )·(－x ，6－y )＝x (12＋x )＋y (y －6)≤20，又x 2＋y 2＝50，

∴2x －y ＋5≤0，则点P 在直线2x －y ＋5＝0上方的圆弧上(含交点).

联立⎩⎨⎧y ＝2x ＋5，x 2＋y 2

＝50，解得x ＝－5或x ＝1， 结合图形知，－52≤x ≤1.

故点P 横坐标的取值范围是[－52，1]. 答案 [－52，1]

3.(2016·江苏卷)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知以M 为圆心的圆M ：x 2＋y 2－12x －14y ＋60＝0及其上一点A (2，4).

(1)设圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，且圆心N 在直线x ＝6上，求圆N 的标准方程；

(2)设平行于OA 的直线l 与圆M 相交于B ，C 两点，且BC ＝OA ，求直线l 的方程； (3)设点T (t ，0)满足：存在圆M 上的两点P 和Q ，使得TA →＋TP →＝TQ →

，求实数t 的取值范围.

解 (1)圆M 的方程化为标准形式为(x －6)2＋(y －7)2＝25， 圆心M (6，7)，半径r ＝5，

由题意，设圆N 的方程为(x －6)2＋(y －b )2＝b 2(b ＞0). 且（6－6）2＋（b －7）2＝b ＋5.

解得b ＝1，∴圆N 的标准方程为(x －6)2＋(y －1)2＝1. (2)∵k OA ＝2，∴可设直线l 的方程为y ＝2x ＋m ， 即2x －y ＋m ＝0.

又BC ＝OA ＝22＋42＝2 5.

由题意，圆M 的圆心M (6，7)到直线l 的距离为

d ＝52

－⎝ ⎛⎭

⎪⎫BC 22

＝25－5＝2 5.

即

|2×6－7＋m |

22＋（－1）2

＝25，

解得m ＝5或m ＝－15.

∴直线l 的方程为y ＝2x ＋5或y ＝2x －15. (3)由TA →＋TP →＝TQ →，则四边形AQPT 为平行四边形， 又∵P ，Q 为圆M 上的两点，∴PQ ≤2r ＝10. ∴TA ＝PQ ≤10，即（t －2）2＋42≤10， 解得2－221≤t ≤2＋221.

故所求t 的范围为[2－221，2＋221].

考 点 整 合

1.两直线平行或垂直

(1)两条直线平行：对于两条不重合的直线l 1，l 2，其斜率分别为k 1，k 2，则有

l 1∥l 2⇔k 1＝k 2.特别地，当直线l 1，l 2的斜率都不存在且l 1与l 2不重合时，l 1∥l 2.

(2)两条直线垂直：对于两条直线l 1，l 2，其斜率分别为k 1，k 2，则有l 1⊥

l 2⇔k 1·k 2＝－1.特别地，当l 1，l 2中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为零时，l 1⊥l 2. 2.圆的方程

(1)圆的标准方程：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r ＞0)，圆心为(a ，b )，半径为r . (2)圆的一般方程：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F ＞0)，圆心为

⎝ ⎛⎭⎪⎫－D

2

，－E 2，半径为r ＝D 2＋E 2－4F 2；对于二元二次方程Ax 2＋Bxy ＋Cy 2＋Dx ＋

Ey ＋F ＝0表示圆的充要条件是⎩⎨⎧B ＝0，

A ＝C ≠0，D 2

＋E 2

－4AF ＞0.

3.直线方程的五种形式中只有一般式可以表示所有的直线.在利用直线方程的其他形式解题时，一定要注意它们表示直线的局限性.比如，根据“在两坐标轴上的截距相等”这个条件设方程时一定不要忽略过原点的特殊情况.而题中给出直线方程的一般式，我们通常先把它转化为斜截式再进行处理.

4.处理有关圆的问题，要特别注意圆心、半径及平面几何知识的应用，如弦心距、半径、弦长的一半构成直角三角形经常用到，利用圆的一些特殊几何性质解题，往往使问题简化.

5.直线与圆中常见的最值问题

(1)圆外一点与圆上任一点的距离的最值.

(2)直线与圆相离，圆上任一点到直线的距离的最值. (3)过圆内一定点的直线被圆截得弦长的最值.

(4)直线与圆相离，过直线上一点作圆的切线，切线长的最小值问题.

(5)两圆相离，两圆上点的距离的最值.

热点一直线与圆的基本问题

[命题角度1] 求圆的方程

【例1－1】(2016·天津卷)已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，点M(0，5)

在圆C上，且圆心到直线2x－y＝0的距离为45

5

，则圆C的方程为________.

解析因为圆C的圆心在x轴的正半轴上，设C(a，0)，且a＞0，所以圆心到

直线2x－y＝0的距离d＝2a

5

＝

45

5

，解得a＝2，所以圆C的半径r＝CM＝4＋5

＝3，所以圆C的方程为(x－2)2＋y2＝9.

答案(x－2)2＋y2＝9

探究提高求具备一定条件的圆的方程时，其关键是寻找确定圆的两个几何要素，即圆心和半径，待定系数法也是经常使用的方法，在一些问题中借助平面几何中关于圆的知识可以简化计算，如已知一个圆经过两个点时，其圆心一定在这两点连线的垂直平分线上，解题时要注意平面几何知识的应用.

[命题角度2] 圆的切线问题

【例1－2】 (1)在平面直角坐标系中，A，B分别是x轴和y轴上的动点，若以AB为直径的圆C与直线2x＋y－4＝0相切，则圆C面积的最小值为________.

(2)若⊙O：x2＋y2＝5与⊙O1：(x－m)2＋y2＝20(m∈R)相交于A，B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长度是________.

解析(1)由题意可知以线段AB为直径的圆C过原点O，要使圆C的面积最小(D 为切点)，只需圆C的半径或直径最小，又圆C与直线2x＋y－4＝0相切，所以由平面几何知识，当OC所在直线与l垂直时，OD最小(D为切点)，即圆C的直

径最小，则OD＝|2×0＋0－4|

5

＝

4

5

，所以圆的半径为

2

5

，圆C的面积的最小

值为S＝πr2＝4

5π.