高考数学抛物线的性质重点题型

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教学过程

课堂导入

太阳能是最清洁的能源．太阳能灶是日常生活中应用太阳能的典型例子．太阳能灶接受面是抛物线一部分绕其对称轴旋转一周形成的曲面．它的原理是太阳光线(平行光束)射到抛物镜面上，经镜面反射后，反射光线都经过抛物线的焦点，这就是太阳能灶把光能转化为热能的理论依据．

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师：抛物线有几个焦点？

【提示】一个．

师：抛物线的顶点与椭圆有什么不同？

【提示】椭圆有四个顶点，抛物线只有一个顶点．

师：抛物线有对称中心吗？

【提示】没有．

师：抛物线有对称轴吗？若有对称轴，有几条？

【提示】有；1条．

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一、复习预习

1、复习抛物线的定义及标准方程的内容

2、提问双曲线有哪些几何性质，获取的途径有哪些？

（从范围、对称性、顶点及离心率等研究抛物线的几何性质．）

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二、知识讲解

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考点1 抛物线性质

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考点2 直线与抛物线

1、通径：过抛物线)0(22>=p px y 的焦点且垂直于抛物线的轴的弦AB ，叫做抛物线的通径， 其长为叫做抛物线的2p ．

2、抛物线焦半径公式：设P （x 0,y 0）为抛物线y 2=2px(p>0)上任意一点，F 为焦点，则2

0p

x PF +=；y 2=2px(p ＜0＝上任意一点，F 为焦点，则2

0p x PF +

-=； 3、抛物线y 2=2px(p>0)的焦点弦（过焦点的弦）为AB ，A （x 1,y 1）、B(x 2,y 2),则有如下结论：（1）AB ＝x 1+x 2+p;（2）y 1y 2=

－p 2

，x 1x 2=4

2

p ;

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三、例题精析

【例题1】

【题干】已知拋物线的焦点F在x轴上，直线l过F且垂直于x轴，l与拋物线交于A、B两点，O为坐标原点，若△OAB的面积等于4，求此拋物线的标准方程．

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【答案】y 2＝±42x .

【解析】由题意，设拋物线方程为y 2＝ax (a ≠0)．

焦点F (a 4，0)，直线l ：x ＝a

4

，

∴A 、B 两点的坐标分别为(a 4，a 2)，(a 4，－a

2)，

∴AB ＝|a |， ∵△OAB 的面积为4，

∴12·|a

4

|·|a |＝4，∴a ＝±42，

∴拋物线的方程为y2＝±42x.

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【例题2】

【题干】已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴重合于椭圆x2

9

＋

y2

16

＝1短轴所在的直线，抛物线的焦点到顶点的距离为

5，求抛物线的方程．

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【答案】y 2＝20x 或y 2＝－20x .

【解析】 ∵椭圆x 29

＋y 2

16

＝1的焦点在y 轴上，

∴椭圆x 29＋y 2

16＝1短轴所在的直线为x 轴．

∴抛物线的对称轴为x 轴．

∴设抛物线的方程为y 2＝mx (m ≠0)． ∴|m

4

|＝5，∴m ＝±20.

∴所求抛物线的方程为y 2

＝20x 或y 2

＝－20x .

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【例题3】

【题干】已知抛物线方程为y2＝2px(p>0)，过此抛物线的焦点的直线与抛物线交于A、B两点，且AB＝5

p，求AB所在

2

直线的方程．

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【答案】y ＝2(x －p 2

)或y ＝－2(x －p

2

)．

【解析】法一 焦点F (p

2，0)，设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，若AB ⊥Ox ，则AB ＝2p <5

2

p .

所以直线AB 的斜率存在，设为k ，则直线AB 的方程为y ＝k (x －p 2

)，k ≠0.由⎩⎨⎧

y ＝k x －p

2y 2

＝2px

，消去x ，整理得

ky 2－2py －kp 2＝0.由韦达定理得，y 1＋y 2＝2p

k

，y 1y 2＝－p 2.

∴AB ＝

x 1－x 22

＋y 1－y 2

2

＝ 1＋

1

k

2

·y 1－y 2

2

＝1＋1

k

2

·y1＋y22－4y1y2

＝2p(1＋1

k2)＝

5

2

p，解得k＝±2.

∴AB所在直线方程为y＝2(x－p

2

)或y＝－2(x－

p

2

)．

法二如图所示，抛物线y2＝2px(p>0)的准线为x＝－p

2

，A(x1，y1)、B(x2，y2)，

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