2.3 z变换与z反变换
信号的Z变换与逆变换
信号的Z变换与逆变换信号处理是数字信号处理领域的重要内容，而Z变换是信号处理中常用的数学工具之一。
本文将介绍信号的Z变换及其逆变换的概念及应用。
一、Z变换的概念Z变换是一种在离散时间域中对信号进行频域分析的方法。
它可以将离散序列表示为复平面上的函数，其数学定义如下：给定一个离散时间序列x[n]，其Z变换表示为X(z)，其中z是一个复变量。
X(z)的定义如下：X(z) = ∑(n=-∞ to ∞) x[n] * z^(-n)Z变换将离散序列x[n]映射到复平面上的函数X(z)，其中z是z轴上的点，通过对X(z)的分析得到信号的频域特性。
二、Z变换的性质Z变换具有一系列重要的性质，这些性质有助于我们对信号的分析和处理。
以下是一些常见的性质：1. 线性性质：对于任意常数a和b，以及信号x1[n]和x2[n]，有X(a*x1[n] + b*x2[n]) = a*X(z1) + b*X(z2)，其中z1和z2是x1[n]和x2[n]的Z变换函数。
2. 延迟性质：对于一个有限长序列x[n-d]，其Z变换为X(z)*z^(-d)。
3. 卷积性质：对于两个序列x1[n]和x2[n]的卷积序列y[n]，其Z变换为Y(z) = X(z) * Z(z)，其中Z(z)是x2[n]的Z变换。
4. 初值定理：对于离散时间序列x[n]，其初始值x[0]等于X(z)在z=1处的极限值。
通过这些性质，我们可以根据Z变换函数来推导和分析信号的特性。
三、Z逆变换的概念Z逆变换是Z变换的逆运算，旨在将Z域中的函数转换回原始的离散时间信号。
Z逆变换的数学定义如下：设X(z)为一个Z变换函数，其Z逆变换表示为x[n]，满足以下公式：x[n] = (1/2πj)∮(C)X(z) * z^(n-1) * dz其中，C是包围Z平面上所有极点的闭合曲线，∮表示沿着C的积分。
通过计算这个积分，我们可以得到离散时间信号x[n]。
四、Z变换与离散时间系统Z变换在信号处理中广泛应用于离散时间系统的分析和设计。
第二章 Z变换
-
第2章 z变换
表 2 1 几 种 序 列 的 变 换
Z
第2章 z变换
2.3 Z反变换
已知函数X(z)及其收敛域，反过来求序列的变换称为Z反变 换，
x(n)=Z-1［X(z)］
Z
若
X (z) x(n)zn Rx | z | Rx
n
(2-10)
则
x(n) 1 X (z)zn1dz
2.5.2 傅氏变换与序列的Z变换
第2章 z变换
2.6 序列的傅里叶变换 2.7 傅里叶变换的一些对称性质 2.8 离散系统的系统函数，系统的频率响应
2.8.1 因果稳定系统 2.8.2 系统函数和差分方程的关系 2.8.3 系统频率响应的意义 2.8.4 频率响应的几何确定法 2.8.5 有理系统函数的单位脉冲响应（IIR，FIR）
2.2
2.2.1 Z变换的定义
Z变换
第2章 z变换
一个离散序列x(n)的Z变换定义为
X (z) x(n)zn
(2-1)
n
式中，z是一个复变量，它所在的复平面称为Z平面。我们常用
Z［x(n)］表示对序列x(n)进行Z变换，也即
Z[x(n)] X (z)
(2-2)
第2章 z变换
究收敛域的重要性。
第2章 z变换
（4） 双边序列： 一个双边序列可以看作一个右边序列和一个左边序列之和， 即
1
X (z) x(n)zn x(n)zn x(n)zn
n
n0
n
(1-62)
因而其收敛域应该是右边序列与左边序列收敛域的重叠部分。
等式右边第一项为右边序列，其收敛域为|z|>Rx-; 第二项为左边序列，
2.3z反变换
2.3 z反变换
一. z反变换的定义： 已知X(z)及其收敛域,反过来求序列x(n)的变换 称作z反变换。
即：z反变换是z变换的逆运算。
5
例：上一节课，我们算出 敛域是：
的z变换和收
现作逆运算，已知X(z)和它的收敛域，求x(n). 用什么方法求x(n)? 展开X(z)的定义:
X ( z ) ... x(2) z 2 x(1) z1 x(0) z 0 x(1) z 1 x(2) z 2 ...
1
第二章 z变换
2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8
引言 z变换的定义及收敛域 z反变换 z变换的基本性质和定理 z变换与拉普拉斯变换、傅立叶变换的关系 序列的傅里叶变换 傅里叶变换的一些对称性质 离散系统的系统函数及频率响应
2
回顾： 2.2 z变换的定义及收敛域
求x(n)，实质上是求X(z)的幂级数展开式的系数。
6
二、求z反变换的方法： 1、围线积分法（留数法）； 2、部分分式展开法； 3、长除法。
7
1、围线积分法（留数法） 根据复变函数理论，若函数X(z)在环状区域 内解析，则在此区域可展开 成罗朗级数的形式：
其中：
1 n 1dz, c ( R , R ) Cn X ( z ) z x x c 2j
Res[]表示极点处的留数。
10
所以：
注意：应用第二式计算时，要求 X ( z ) z n 1 的分母 多项式中z的阶次比分子多项式z的阶数高二阶或以上。
11
求留数的方法： 1、当Zr为一阶极点时的留数： 2、当Zr为l阶(多重)极点时的留数：
12
第二章z变换
ˆ ( s ) Lx (t ) L x(nT ) (t nT ) Xs s n
st ˆ s x t e st dt XS x(nT ) (t nT )e dt s n
解：
X 1 ( z ) Z x1[n] a n z n
n0
如果|z|>a, 则上面的级数收敛， 1 z n n X1 ( z) a z 1 za 1 az n0
X 2 ( z ) Z x2 [n]
n
z a
(a n ) z n
lim
n
an1 ρ an
2．根值判定法 即令正项级数的一般项 a n 的n次根的极限等于，
lim n a n
n
则
<1：收敛 =1：可能收敛也可能发散 >1：发散
例2.1
例已知两序列分别为x1[n]=anu[n]， x2[n]= -anu[-n-1]，分别 求它们的z变换，并确定它们的收敛域。
1
a z 1 (a 1 z ) n
n n n 1 n0
1 z 1 1 1 a z z a
za
两个不同的序列对应于相同的z变换，但它们的收敛域不同。
三 几类序列的Z变换收敛域
1、有限长序列 此序列只在有限的区间(n1n n2)具有非零的有限值， 此时，Z变换为： n2
n
b u ( n 1)z
n
n
= a z
n n 0
n
n
b
n 0
1
z
n
= a z
计算机控制技术-第2章 Z变换及Z传递函数
第2章 Z变换及Z传递函数
2.2 Z变换的性质和定理
1．线性定理 设a,a1,a2为任意常数，连续时间函数f(t),f1(t),f2(t) 的Z 变换分别为F(z),F1(z),F2(z)、及，则有
Z af(t)aF(z) Z a1f1(t)a2f2(t)a1F 1(z)a2F 2(z)
第2章 Z变换及Z传递函数
s i n t 1 ( e j t e j t ) 2j
F
(z)
Z
1 2
j
(e
j
t
e
j
t
)
1 2j
Z e j t Z e j t
1 z 2 j z e j T
z
z e j T
1 2j
z2
e (e
j T j T
e j T e j T ) z 1
z sin T z2 2 z cos T 1
F (z) Z f(t) Z [f* (t)] f(k T )z k k 0
第2章 Z变换及Z传递函数
求取离散时间函数的Z变换有多种方法，常用的有两种。 1．级数求和法
将离散时间函数写成展开式的形式
f* (t) f(k) T (t k)T k 0 f(0 )(t)f(T )(t T )f(2 T )(t 2 T ) f(k) T (t k)T 对上式取拉氏变换，得
1 1az1
z z a
z a
第2章 Z变换及Z传递函数
2．部分分式法 设连续时间函数的拉氏变换为有理函数，将展开成
部分分式的形式为
n
F(s)
ai
i1 s si
因此，连续函数的Z变换可以由有理函数求出
n
F(z)
ai z
数字信号处理,第二章 Z变换讲解
二、右边序列
例3：求序列 x(n) u(n)的Z变换及收敛域。
Z[x(n)] u(n)zn zn
n
n0
1 1 1 z z2
1 1 z 1
z z 1
Z[u(n)]的极点为1，零点为0 收敛域为|z|>1
零极相消
例：
Z[u(n) u(n 1)]
Z[u(n)] Z[u(n 1)]
s1in2zz1
1 sin(0 cos0
z 2
)
§2.3 z变换性质1
一、线性:
Z[a1x1(n)+a2x2(n)]=a1Z[x1(n)]+a2Z[x2(n)]
二、时移：
Z[x(n)]=X(z) Z[x(n-m)]=z-m·X(z)
意义：z-1：单位延迟器
z变换性质2
三、时域卷积：
即： x(n)z n M n
一、有限长序列
例1：求序列 x(n) RN (n) 的Z变换及收敛域。
Z[RN (n)]
RN (n)zn
n
N 1
z n
n0
1 zN 1 z1
收敛域为： 0 z ,
例2：求序列 x(n) (n)的Z变换及收敛域。
解：
Z[ (n)] (n)zn z0 1
z z1 z z 1 1
z 1
z 1 z 1
零、极点均为z=1,称为零极点相消。收敛域为整个z平面。
另：
u(n) u(n 1) (n), Z[ (n)] 1
例4：求序列 x(n) anu(n)的Z变换及收敛域。
解： X (z) anu(n)z n a n z n (az 1 )n
例2-4-2：
X
(
z)
《自动控制原理》z变换与z反变换
7-3 z 变换与z 反变换引言：● 连续系统的分析：拉氏变换 传递函数 ● 用拉氏变换的优点： ……● 离散系统：能否拉氏变换？有什么问题？如何改进？ ● 新理论/方法 如何产生？一、离散信号的拉氏变换及其问题设连续信号)(t e 是可拉氏变换的，则拉氏变换定义为⎰∞-=0)()(dt e t e s E st由于0<t 时，有0)(=t e ，故上式亦可写为⎰∞∞--=dt e t e s E st)()(对于采样信号)(*t e ，其表达式为∑∞=-=0*)()()(n nT t nT e t e δ故采样信号)(*t e 的拉氏变换])([)()]()([)()(0**⎰∑⎰∑⎰∞∞--∞=∞∞--∞=∞∞---=-==dt e nT t nT e dt e nT t nT e dt e t e s E stn stn stδδ（7-20）由广义脉冲函数的筛选性质⎰∞∞-=-)()()(nT f dt t f nT t δ故有snTst edt e nT t -∞∞--⎰=-)(δ于是，采样信号)(*t e 的拉氏变换可以写为nsTn enT e s E -∞=∑=0*)()( (7-21)和连续信号比较： ⎰∞-=0)()(dt e t e s E st)(1)(t t e =时: s dt e s E st1*1)(0==⎰∞-例7-3 设)(1)(t t e =，试求)(*t e 的拉氏变换。
解 由式(7-26)，有...1)()(20*+++==--∞=-∑TsTsn nsTeeenT e s E一个无穷等比级数，公比为Tse-，求和后得闭合形式1,111)(*<-=-=TsTsTsTs e e e e s E 比较： s dt e s E st1*1)(0==⎰∞-显然，)(*s E 是Tse 的有理函数。
但是s 的超越函数例7-4[没有] 设,0,)(≥=-t e t e at为常数，试求t e *的拉氏变换。
《自动控制原理》z变换与z反变换
《自动控制原理》z变换与z反变换自动控制原理是一门研究系统动态特性与控制方法的学科，其中涉及到了很多数学工具和方法，其中之一就是z变换和z反变换。
本文将对z 变换和z反变换进行详细的解释和介绍。
z变换是一种非常重要的数学工具，它是离散时间信号和系统分析中的一种常用方法。
z变换的定义如下：X(z)=Z[x(n)]=∑[x(n)*z^(-n)]其中，x(n)为离散时间信号，X(z)为z变换后的结果，z为变量。
z变换可以将离散时间信号从时域转换到z域，从而可以更方便地进行分析和处理。
z变换可以将离散时间信号表示为有理函数的形式，从而可以用于求解离散时间系统的频率响应、系统稳定性等问题。
z变换的性质有很多，这里只介绍其中几个重要的性质。
首先是线性性质，即线性系统的z变换可以表示为输入信号和系统冲激响应的z变换的乘积。
其次是时移性质，即输入信号的z变换与输入信号z变换乘以z^(-n)的结果相等。
最后是共轭对称性质，即输入信号为实数序列时，其z变换的共轭对称性质。
在进行z变换的计算时，可以使用z变换的表格、z变换的性质以及z变换的逆变换来简化计算。
z变换的逆变换可以将z域的信号重新转换回时域的信号，其定义如下：x(n) = Z^(-1)[X(z)] = (1/2πj) * ∮[X(z) * z^(n-1) * dz]其中，X(z)为z变换的结果，x(n)为z变换的逆变换结果。
z反变换可以将z域的信号转换为时域的信号，从而可以得到离散时间信号的具体数值。
z变换和z反变换在自动控制领域中有着广泛的应用。
例如，在系统建模和分析中，可以通过z变换将离散时间系统转换为z域的传递函数，从而可以方便地进行系统分析和控制器设计。
此外，在数字滤波器设计中，z变换也是一种常用的工具，可以将滤波器的差分方程转换为z域的传递函数，从而可以设计出满足要求的数字滤波器。
总结起来，z变换和z反变换是自动控制原理中的重要数学工具，可以方便地进行离散时间信号和系统的分析和处理。
第2章 Z变换及Z传递函数
第2章 Z变换及Z传递函数
8．位移定理 设a为任意常数，连续时间函数f(t)的Z变换为F(z)，则有
Z f (t )e
证明：
at
F (z e )
aT
at akT k Z f (t )e f (kT )e z k 0
f (kT )(e z )
f (kT ) f (kT T )
k 0 k 0
f (kT ) f (kT T )
k 0
f (0) f (T ) f (T ) f (0) f (2T ) f (T ) f ( )
第2章 Z变换及Z传递函数
F ( z ) e kaT z k
k 0
1 e aT z 1 e 2 aT z 2 1 aT 1 1 e z z aT z e
第2章 Z变换及Z传递函数
5．正弦信号 f (t ) sin t
1 sin t (e j t e j t ) 2j 1 j t j t F ( z) Z (e e ) 2 j 1 j t j t Z e Z e 2j
2.2 Z变换的性质和定理
1．线性定理 设a, a1, a2为任意常数，连续时间函数f(t), f1(t), f2(t) 的 Z变换分别为F(z), F1(z), 及F2(z)，则有
Z af (t ) aF ( z ) Z a1 f1 (t ) a2 f 2 (t ) a1 F1 ( z ) a2 F2 ( z )
( z 1)
第2章 Z变换及Z传递函数
3．单位速度信号
第二章Z变换
2n－
1 3
(0.5)n
u
(
n
)
由已知的收敛域 知道是因果序列
n0 n0
16
２、长除法
x(n)的z变换定义为z-1的幂级数，即
X (z )x ( n )z n x ( 1 )z x ( 0 ) x ( 1 )z 1 x ( 2 )z 2 n
因此只要在给定的收敛域内将X(z)展成幂级数， 则级数的系数就是序列x(n)。一般情况下，X(z)是 一个有理分式，分子分母都是z的多项式，则可直接 用分子多项式除以分母多项式，得到幂级数展开式， 从而得到x(n)。
[ x ( n ) ] X ( z ) R x |z | R x
[y (n ) ] Y (z ) R y |z| R y
则 [ a ( n ) b x ( n ) y a ] ( z ) b X ( z )Y R |z | R 其中RmaRx x,[Ry]，RmiR nx,[Ry]，即线性组合后的
zb
| z||b|
如果a=b，则此例与上例中右边序列的Z变换表达式 完全一样，所以只给出Z变换的闭合表达式是不够的， 不能正确得到原序列，必须同时给出收敛域范围， 才能惟一确定一个序列，这就说明了研究收敛域的
重要性。
10
４、双边序列
一个双边序列可以看做一个左边序列和一个右边 序列之和，因此双边序列Z变换的收敛域就应该是这 两个序列Z变换的公共收敛区间。
0 |z| , n 20
ROC
0
Re[z]
有限长序列的收敛域
5
例：矩形序列是一个有限长序列，x(n)=RＮ(n)，求其 X(z)。
解：
X(z)n x(n)znN n 0 1zn1 1 zz N 1
计算机控制技术-第2章 Z变换及Z传递函数
f (0) lim F ( z )
证明：
z
F ( z ) f (kT ) z k f (0) f (T ) z 1 f (2T ) z 2
k 0
所以
f (0) lim F ( z )
z
第2章 Z变换及Z传递函数
5．终值定理 设连续时间函数f(t)的Z变换为F(z)，则有 证明：
第2章 Z变换及Z传递函数
第2章 Z变换及Z传递函数
第2章 Z变换及Z传递函数
2.1 Z变换定义与常用函数Z变换
2.1.1 Z变换的定义 已知连续信号f(t)经过来样周期为T的采样开关后， 变成离散的脉冲序列函数f *(t)即采样信号。
f (t ) f (kT ) (t kT )
* k 0
*
1
2
k
第2章 Z变换及Z传递函数
例2.1 求f(t)=at/T 函数（a为常数）的Z变换。 解：根据Z变换定义有
F ( z ) f (kT ) z
k 0 1
k
1 az a z
2
2
a z
k
k
1 z 1 za 1 az
z a
第2章 Z变换及Z传递函数
f (kT ) f (kT T )
k 0 k 0
f (kT ) f (kT T )
k 0
f (0) f (T ) f (T ) f (0) f (2T ) f (T ) f ( )
第2章 Z变换及Z传递函数
aT k 0
k
F ( ze )
aT
第2章 Z变换及Z传递函数
(优选)z变换的基本性质和定理
X (z)H(z)
两者交集 序列的卷积和
1
2j
c
X
(v)H ( z v
)v 1dv
上下限对应相乘
序列相乘
x(n)为因果序列
且X(z)的极点落在单 位圆内部，最多在
z=1处有一极点
初值定理 终值定理
ax(n) by(n) aX (z) bY(z)
x(n m)
zm X (z)
两者交集 不变
线性性质 移位性质
an x(n)
X (z a) 上下限放大|a| 乘以指数序列
序列
nx(n) x* (n)
Z变换 z d X (z)
dz
X *(z*)
收敛域 不变 不变
说明 线性加权
共轭
x(n)
X (1 z)
部分分式的系数Ak，Ck分别为（留数定理求出）：
Ck
(r
1 d rk
k
)!
dz
r
k
[(z
zi )r
x(z zk
)
z
zi
,
k 1,2r
3、长除法 将X(z）分解成简单分式和的形式，每部分对应
一个因果序列或一个反因果序列。
对因果序列，分子、分母多项式按降幂排列相除；
对反因果序列，分子、分母多项式按升幂排列相除。
3、乘以指数序列（z域尺度变换） 如果 则有： 证明：根据z变换的定义证明
4、序列的线性加权（z域求导数） 如果 则有：
证明： （见下页，怎样证明？）从右至左证明。
5、共轭序列 如果 则有：
证明：
6、翻褶序列 如果 则有：
证明： （见下页）
证明：
7、初值定理 证明： （怎样证明？） 显然： lim X (z) x(0)
K2.03 z变换性质—线性、移序、反折
z变换性质-线性、移序、反折 K2.03 z变换的性质-线性、移序、反折
说明：z变换性质，若无特殊说明，对单边和双边z变换均适用。
1、线性
f1(k ) F1( z), f2 (k ) F2 (z),
1 | z | 1 2 | z | 2
a1 f1(k) a2 f2 (k) a1F1(z) a2F2 (z) a1 ,a2为任意常数
设
f (k ) F (z), | z |
则
f (k ) F ( z 1 ), 1 | z | 1
4
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z变换性质-线性、移序、反折 例1：2 (k) 3 (k) 2 3z , | z | 1
思考：why?
3
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z变换性质-线性、移序、反折 特例：若f(k)为因果序列，则 f (k m) zmF (z)
即：
f (k m) (k m) zmF (z)
3、k域反转(仅适用双边z变换）
m0
m0
1
1 z
N
zN
zN
, 1
z
1
例4： f (k) (k) ，求双边z变换。
解：
(k) z , | z | 1
z 1
(k)
z1 z1 1
1 1
z
,
| z |1
6
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信号与系统复习资料 第2章 z变换与离散时间傅里叶变换(DTFT
Z变换与DTFT
以下假设
n1<n2
•如果n2 ≤0 ，则收敛域不包括∞点
• 如果n1≥0 ，则收敛域不包括0点
• 如果n1<0<n2，收敛域不包括0 、∞点
1) n2 0( n1 0), 0 z
2) n1 0( n2 0)， 0 z
3) n1 0, n2 0， 0 z
Rx
当Rx Rx 时，Roc :
-10-
0
当Rx Rx 时，Roc : Rx z Rx
Z变换与DTFT
例1
[n]1, 0 z
ZT
[n]z
n
n
[0]z 1
0
收敛域应是整个z 的闭平面
-11-
Z变换与DTFT
Z变换与DTFT
第二章 z变换和DTFT
-1-
Z变换与DTFT
本章主要内容：
1. z变换：定义及收敛域，z变换的反变换
z变换的基本性质和定理 2. ZT 与连续信号LT、FT的关系
（信号）
3. 离散时间信号的DTFT（序列的傅立叶变换）
4. z变换与DTFT的关系 5. DTFT的一些性质 6. 周期性序列的DTFT 7. DTFT变换的对称性质
例2：求x(n)=RN(n)的z变换及其收敛域
解：X(z)= x(n ) z = RN (n ) z
n n n
N Z=1处零 z 1 极对消 z N 1 ( z 1)
1 z = z 1 z 1 n 0
N 1 n
n N
q n1 q n2 1 n q 1 q n n1
数字信号处理(程佩青)_第二章_Z变换
2. z变换的收敛域
一种最重要的右边序列：因果序列——是指在 n≥0时x(n)有值，n<0时x(n)=0的序列。其收敛
序列为：
在|z|=∞处z变换收敛是因果序列的特征。
18
2. z变换的收敛域
因果序列及其收敛域（包括z=∞ ）
19
2. z变换的收敛域
（3）左边序列
在 时 有值，在 时 的序列 。其z变换为：
有一个
一阶极点。所以
31
1.围线积分法（留数法）
(2)当n≤-2时：函数 有一个 4 一阶极点。所以 在围线C外只
综合可得：
32
2.部分分式展开法
当X(z)为有理函数时，可以表示成
X(z) 可以展成下面的部分分式形式：
其中zi是X(z)的一个r阶极点 ，zk是X(z)的单极点（k=1,2……N-r），Bn是 整式部分的系数（M≥N时存在，M=N时，只有B0 项；M<N时Bn =0）。
59
任一序列总能表示成一个共轭对称序列与 一个共轭反对称序列之和。
要证明这一点，需要找到xe(n) 和xo(n) ，这 只要令xe(n) 和xo(n)满足下式即可 ：
60
同样，一个序列x(n)的傅里叶变换也可以分 解成共轭对称分量与共轭反对称分量之和：
其中 ，是共轭对称的， 轭反对称的。
是共
61
(5)
若已知 X(z) = Z[x(n)] Rx_＜|z|＜Rx+
则有： Z [ x * (n)] X * ( z * )
(6)
若已知 则有： X(z) = Z[x(n)] Rx_＜|z|＜Rx+
1 Z [ x(n)] X ( ) z
48
2 Z变换
• 上式第一项是正幂级数,按阿贝尔定理,必存在收敛半径
Rx+ ,级数在以原点为中心,以 Rx+ 为半径的圆内任何点 都绝对收敛,收敛域为： 0≤|z|＜Rx+ • 第二项是有限长序列的 z 变换,收敛域为0＜|z|≤∞。 • 综合所述,左边序列z变换的收敛域为：0＜|z|＜Rx+ 。
• 左边序列及其收敛域如图 2-4 所示。
• 双边序列及其收敛域如图 2-5 所示，其收敛域是一个 环状区域。
• [例 2-2]
x(n)= anu(n), 求其 z 变换及收敛域。
• 解：这是一个右边序列,且是因果序列,其 z 变换为
• 这是一个无穷项的等比级数求和,只有在 |az-1|＜1 即 |z|＞|a| 处收敛,如图 2-7 所示。
2.3 z反变换
• 从给定的 z 变换闭合式 X(z) 中还原出原序列 x(n) 称为 z 反变换, 表示为：
• 求 z 反变换的方法通常有三种 : 围线积分法
( 留数法 ) 、部分分式展开法和长除法。
• 一、围线积分法(留数法) • 这是求z反变换的一种有用的分析方法。根据复变函数 理论, 若函数X(z)在环状区 Rx-＜|z|＜Rx+ （Rx-≥0，Rx+≤∞）
• 如果n2≤0, 则左边序列收敛域应包括 z=0,即0≤|z|＜Rx+
• 4. 双边序列 • 这类序列是指 n 为任意值时( 正、负、零 )x(n)皆有 值的序列,可以把它看成一个右边序列和一个左边序列 之和,即
• 其收敛域应是右边序列与左边序列收敛域的重叠部分, 其收敛域为 Rx-＜|z|＜Rx+
• 或写成
• 当 n≤-2 时,上面函数在围线 C 的外部只有一个一阶 极点 z=4, 且符合使用(2-18b)式的条件(X(z)zn-1的分 母阶次减去分子阶次结果是≥2的)。而在围线 C 的内 部则有 z=1/4 处一阶极点及 z=0 处 (n+1) 阶极点, 所以采用围线 C 的外部的极点较方便, 利用(2-18b) 式可得：
差分方程_z_变换___概述说明以及解释
差分方程z 变换概述说明以及解释1. 引言1.1 概述差分方程是描述离散时间系统行为的重要数学工具。
在现实生活中，许多系统的变化是按照离散时间步骤进行的，例如数字信号处理、数字滤波、通信系统等。
而差分方程则可以描述这些系统在每个时间步骤上的状态和演变。
与此同时，z变换是一种重要的数学工具，用于分析离散信号和离散系统。
它将差分方程从时域（自变量是时间）转换到z域（自变量是复平面上的复数z），并且能够提供更加简洁和便于分析的表达形式。
本文将概述差分方程z变换的基本概念以及其在离散系统分析和设计中的应用。
我们将解释差分方程z变换过程，并讨论其优势和局限性。
最后，我们将总结主要观点和结论，并对未来发展提出展望和建议。
1.2 文章结构本文共分为五个部分：引言、差分方程z变换概述、解释差分方程z变换过程、差分方程z变换的优势与局限性以及结论和总结。
1.3 目的本文的目的是介绍差分方程z变换的基本概念和原理，并探讨其在离散系统分析和设计中的应用。
通过阐述z变换与时域之间的关系，传递函数和频率响应描述以及求解差分方程的步骤与方法，读者将能够理解并运用这一重要数学工具。
同时，我们还将提供对差分方程z变换优势与局限性的考察，以及对未来发展的展望和建议。
2. 差分方程z 变换概述:2.1 差分方程基础知识:差分方程是离散时间系统建模和分析中的重要工具，它可以描述离散时间的动态过程。
差分方程以递推关系式的形式表示系统的行为，其中当前时刻输出值与过去一段时间内输入值和输出值之间存在着数学上的关系。
2.2 z 变换介绍:z 变换是一种用于将差分方程从时域转换到复平面上的方法。
在信号处理领域中，z 变换常被用于对离散系统进行频域分析和设计数字滤波器。
z 变换将离散时间信号表示成复变量z 的函数，使得我们可以通过对复平面上的频率响应进行分析来理解系统的特性。
2.3 z 变换的应用领域:z 变换在许多领域都有广泛的应用。
在控制系统工程领域，z 变换可用于建立数字控制器模型、设计数字滤波器以及实现各种控制算法。
第二章 Z变换1,2,3,4
§2.1引言 信号与系统的分析方法中，除时域分析方法外，还有变换域 分析方法。在离散时间信号与系统中，变换域分析方法为 z 变换 及傅里叶变换。z 变换在离散时间系统中的作用就如同拉普拉斯 变换在连续时间系统中的作用一样，它把描述离散系统的差分方 程转化为简单的代数方程，使其求解大大简化。因此对求解离散 时间系统而言，z 变换是一个极其重要的方法（数学工具）。
12
§2.3 z 反变换（IZT） z 反变换：从给定的 z 变换闭合式 X (z ) 中还原出原序列 x(n) 。 x(n) Z 1 X ( z ) 表示式为： 通常有三种方法求出IZT：围线积分法（留数法）、部分分 式展开法和长除法。这里仅介绍前两种。 一、围线积分法（留数法） 根据复变函数的理论，若函数 X (z ) 在环状区域 Rx z Rx
n 0
所以 z 处 z 变换收敛是因果序列的特征。 3．左边序列 x n 只在 n n2 时， (n) 有非零值， n2 时，x(n) 0 。其 z 变换 为： n2 n2 0 X ( z ) x ( n) z n x ( n) z n x ( n) z n
令 z Re j ， Rx R Rx 我们已经知道柯西积分定理： 1 1 z k 1dz R k 1e j ( k 1) d ( Re j ) 2 j c 2 j c
14
Rk 2
1 ，k 0 e d 0 ，k 0 ， k为整数
Rx z
如图所示。
5
x 因果序列：即n1 0的右边序列，或者说，在 n 0时， (n) 有 n 非零值， 0 时，x(n) 0 。这时其变换中只有 z 的零幂和负幂项， 因此级数收敛域可以包括 z ，即
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F(z)
1d
2 1! ds
(s
a)2
1 (s a)2
z z esT
sa
TzeaT (z eaT )2
3.3 z 变换的基本定理
1、线性定理
线性函数满足齐次性和迭加性，若
Z f1(t) F1(z) Z f2 (t) F2 (z)
（1）对于第1个极点 z1 2
Res[F (z)zk1]zz1 [(z z1)F (z)zk1]zz1
(z
2)
(z
5z 2)( z
1)
z
k
1
z2
5
2k
（2）对于第2个极点 z2 1
Res[F (z)zk1]zz2
(z
1)
F
(z)zk 1]zzi
式中 m ---不同极点个数; ni --- zi 的阶数
f *(t) f (kT ) (t kT ) k 0
例2.7 求
F(z)
z2
5z 3z
2
的z反变换。
解：由F(z)的表达式得到：
m 2, z1 2, n1 1, z2 1, n2 1
f * t f kT t kT k 0 f 0 t f T t T f kT t kT
然后利用公式直接展开
F (z) f (kT )zk
k 0
（1）
f 0 1 f T z1 f 2T z2 f kT zk
F *(s) f (kT )eskT k 0
时域 s域
引入一个新的复变量
z esT
Z[ f (t)] Z[ f *(t)] F (z) f (kT )zk
z域
k 0
序列时刻(时间信息)：
时间序列
单位延迟因子
(信号幅值信息)
关于z变换过程：
s变换 z 变换
f (t) f *(t) F *(s) F (z)
3)
z
z esT
]s3
2z(z
z
eT
)
z (2)(z
e3T
)
z(eT 2(z eT
e3T ) )(z e3T
)
例2.4 求
F(s) 1 (s a)2
的 z 变换。
解：上式有1个二重极点, 于是 m 1, s1 a, n1 2
的 z 反变换
解：将
F (z)除以z，并展开成部分分式，得
F(z) 1 1 z z 1 z 0.5
上式两边乘以z，得
F(z)
z
z 1
z
z 0.5
1 1 z1
1
1 0.5 z 1
于是得到
f (kT ) 1 (0.5)k k 0,1, 2,
f *(t) f (kT ) (t kT ) [1 (0.5)k ] (t kT )
F (z) A1 A2 An
z z z1 z z2
z zn
Ai
(z
zi )
F(z) z
z zi
F (z) A1z A2 z An z n Ai z
z z1 z z2
z zn i1 z zi
各个分式所对应的时间序列为通常熟悉的指数序列 ：
k 0
k 0
3、留数法
在留数法中，采样函数值 f (kT ) 等于 F (z)zk1 各个极点上留
数之和，即 其中：
m
f (kT ) Res[F (z)zk1]zzi i 1
Res[F (z)zk1]zzi
(ni
1 1)!
d ni 1 dzni 1
[( z
zi
)ni
F(z)
n
Ai
i1 1 eaiT z 1
例2.2 求
F(s) a s(s a)
的 z 变换
解： F (s) a 1 1
s(s a) s s a
于是得到： a1 0, A1 1 a2 a, A2 1
n
F(s)
Ai
i1 s ai
，而
lim F (z)
z
存在，则
f (0) lim F (z) z
5、终值定理
如果 f (t) 的z 变换为 F (z) ， 而 (1 z1)F (z) 在z 平面以原 点为圆心的单位圆上或圆外没有极点，则
lim f (t) lim f (kT ) lim(1 z1)F (z)
将式（2）两边乘以 z1 ，有：
z1F (z) z1 z2 zk
（3）
上两式相减，得：
F (z) z1F (z) 1
所以
F(z)
1 1 z1
z
z 1
2、部分分式法
设连续函数 f (t) 的拉氏变换为有理函数，具体形式如下：
F(s) M (s) N (s)
15z2 45z3 30z4 35z3 30z4
35z3 105z4 70z5 75z4 70z5
F (z) 5z1 15z2 35z3
相应的采样函数为
f *(t) 5 (t T ) 15 (t 2T ) 35 (t 3T )
式中，M (s) 与 N (s) 都是复变量s的多项式。
通常无重极点的 F (s) 能够分解成如下的部分分式形式：
n
F(s)
Ai
i1 s ai
其中： Ai (s ai )F (s) |sai
Ai e ai t
衰减指数函数
Ai 1 eaiT z 1
于是有：
Z (F (s))
3、超前定理
n1
Z f (t nT ) znF (z) zn f ( jT )z j j0
如果 f (0T ) f (T ) f (n 1)T 0
则 Z f (t nT ) znF(z)
4、初值定理
如果
f
(t) 的z
变换为 F (z)
k 0
k 0
例2.8
求
F
(z)
(z
z 2)( z
1)2
的z反变换。
解：F (z) 中有一个单极点和两个重极点 ：
m 2, z1 2, n1 1, z2 1, n2 2
（1）对于 z1 2 ，有
Res[F (z)zk1]zz1
( z
2)
(z
z 2)( z
mn
用F (z) 表达式的分子除以分母，得到 zk 升幂排列的 f (kT )zk f (0) f (1T )z1 f (2T )z2 f (kT )zk k 0 f *(t) f (0) f (1T ) (t T ) f (2T ) (t 2T ) f (kT ) (t kT ) f *(t) f (kT ) (t kT ) k 0
教学模块2 信号转换与z变换
教学单元3 z变换与z反变换
3.1 z 变换的定义
f (t) 的拉普拉斯变换式为 F(s) L f (t) f (t)estdt
f (t)的采样信号为 f *(t)
其拉普拉斯变换式为
f *(t) f (kT ) (t kT ) k 0
a 、b 为任意常数， f (t) af1(t) bf2 (t)
则
F (z) aF1(z) bF2 (z)
2、滞后定理
n
Z f (t nT ) znF (z) zn f ( jT )z j j 1
如果 t 0, f (t) 0 ，则
Z f (t nT ) znF (z)
例2.1 求单位阶跃函数 1(t) 的 z 变换 解：单位阶跃函数 1(t) 在任何采样时刻的值均为1
f (kT ) 1(kT ) 1, k 0,1, 2
代入式（1）中，得：
F (z) f (kT )zk 1z0 1z1 1z2 1zk （2） k 0
t
k
z 1
lim (z 1) F (z) lim(z 1)F (z)
z1 z
z 1
6、求和定理 7、复域位移定理 8、复域微分定理 9、复域积分定理 10、卷积定理
3.4 z 反变换定义及方法
定义：
从z变换 F (z) 求出的采样函数 f *(t) ，称为z反变
换，表示为 Z 1[F (z)] f *(t)
1) 2
z
k
1
z2
2k
（2）对于 z2 1 ，有
Res[F (z)zk1]zz2,3
1d
2 1! dz
(
2、部分分式法
将 F (z) 写成如下有理式标准形式：
F(z)
M (z) N(z)
b0 zm b1zm1 bm zn a1zn1 an
对 F (z) 的分母进行因式分解，即
N (z) (z z1)(z z2 )(z zn )
一般适合所有极点是互不相同的单极点的情况：
f (t) f *(t) F *(s) F (z)