线性代数基本定理-新版.pdf
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（ R2 ， R3 中共线）
R3 中，三个向量组线性相关，则它们共面
3 . 1, 2, … ,n 线性相关 AX=0 有非 0 解，当向量个数等
于向量维数时， det(A)=0
4. 向量个数大于向量维数，向量组一定线性相关。 未知量个数大于方程个数）
（相当于
5. 对于一个向量组，局部线性相关则整体相关，整体无关则 局部无关
面既过原点又与某个轴平行，那么它一定通过这个轴 截距式
x yz + + =1
abc
点法式和点向式化为截距式，算截距即可 三点式 一般不用
3. 直线的方程 点向式 m,n,p 哪个为 0，直线就与这个等式里面的哪个变量所对应的 轴垂直（在与那个轴平行的平面上） 。直线的方向余弦就是 方向向量的方向余弦。 参数式 用一个参数就可以确定 x,y,z 三个变量。 用在求直线与平面交 点中比较简单 ,其中 (m,n,p) 就是方向向量！ 还可以求过某一点 与另外一条已知直线垂直的直线
x
=
x 0
+
mt
y
=
y 0
+ nt
z = z0 + pt
一般式
用两个平面相交的方程组表示
方程的转化
参数式 =>点向式
t 的系数就是方向向量，加的常数就是定点。
点向式 =>一般式
目的是方便表示过这条直线的平面束。 变成两个方程。加括号变为方程组即可
三个等号， 两两联立，
参数式 =>一般式
参数式先变为点向式，再变为一般式
点向式 =>参数式
令三个比例 =t
一般式 =>点向式
方法 1：任取一满足方程的点，为定点。平面法向量叉乘为
直线方向向量。 方法 2：任取两点，直接求方程
一般式 =>参数式
方法 1：一般式先变为点向式，再变为参数式 方法 2（较简单）：对平面方程初等行变换，令自由变量 =t
4. 位置关系和向量关系的转化 平面与平面的位置关系
n3i > j 31
注意：
范德蒙德行列式第一行（列）从 1 开始到 n-1 次方，从上到
下或从左到右升幂
不同底数来说，右边减左边或下边减上边，这就是
i和j的
用处
4. 几种 n 阶行列式的巧算办法：见笔记本
5. 克拉默法则： 解决伴随矩阵问题的好方法。 还要了解行列 式按某行展开， 如果对被展开行的每列来说， 代数余子式
量不超过 k，特征向量的个数为 A 的维数与特征矩阵的秩之
差，为 n-R(l 0 I-A)
4. 如果 a 是 A 在特征值 l 下的特征向量，那么 a 是 f(A) 在特 征值 f( l ) 下的特征向量
5. 某矩阵特征值的和为矩阵的迹，积为矩阵的行列式。 特征值求行列式是一个知识点）因此有了以下命题：
6. 一组向量线性无关，多了一个变成线性相关，则多的哪一 个可以用其他向量线性表示，表示式唯一（解方程时，多 的那个向量系数肯定不是 0）
7. 向量组的任意两个最大无关组都等价（于原向量组）
8. 再求向量组的秩时初等变换线性相关性不变对应着方程 组的解不变
9. 设向量组
可由向量组
线性
表示，且
线性无关，则
3.常被忽略的矩阵运算规则
( A+ B)T = AT + BT
( l A)T = l AT
4.反称矩阵对角线元素全为 0
4.矩阵逆运算的简便运算
( diag( a1 ,a2
,...a, n
)) -
1
=
diag(
1 a1
1 , a2
1 ,...,
an
)
(kA)- 1 = 1 A- 1 k
方法 1. 特殊矩阵的乘法 A ．对角矩阵乘以对角矩阵，结果仍为对角矩阵。且：
把 2I 项挪到等式右边，左边凑出含有 A+2I 的一个多项式， 在确保 A 平方项与 A 项的系数分别为原式的系数情况下， 看 I 项多加或少加了几个。
5.矩阵的分块进行计算
加法 ：分块方法完全相同 矩阵乘法 （以 A*B 为例）： A 的列的分法要与 B 行的分法一 致，如：
é1 - 1 0 0 ùé 1 0 0 0 ù
（给
A 可逆 A 的任何一个特征值不为 0
6. 相似矩阵具有相同的特征多项式， 相同的特征值， 相同的
点到平面的距离
d = Ax0 + By0 + Cz0 + D A2 + B2 + C2
平面与直线的位置关系
直线与平面的夹角 —— 直线平面法向量夹角余弦值的绝对 值就是直线与平面夹角的正弦值 直线与平面相交，平行，过平面 —— 直线的方向向量与平面 法向量内积不为 0 相交，否则如果把直线经过的定点满足平 面方程，则线面平行，否则直线过平面 直线与平面垂直 —— 直线的方向向量与平面法向量平行
det(kA)= k n det(A)
det(AB)=det(A)det(B) 块对角行列式（用拉普拉斯展开定理证明）
Ann O
Ann *
=
= AB
* Bmm
O Bmm
O Ann = *
Ann = ( - 1)mn A B
Bmm *
Bmm O
n
? det( diag( A1 ,A2 ,...An )) = det( Ai ) i =1
五、特征值与特征向量
定理
1. 如果 a i 是 A 在特征值 l 下的几个特征向量，那么 a i 的线
性组合也是 A 在特征值 l 下的一个特征向量 .线性组合组成特
征子空间所以在求特征向量时，一定要有系数
k（多解）
2. 三角矩阵（包括对角矩阵）特征值就是对角线上元素
3.
l
是矩阵
0
A 的 k 重特征值， 则 l 对应的线性无关的特征向 0
若 Am*nBn*t = O,则 R(A)+R(B)<=n （和基础解系有关）
R(A+B)<=R(A)+R(B) （也和定理 9 的不等式有关）
R( AT A )=R(A) (方程的同解 )
12. AX=O 的解向量的线性组合仍为 AX=O 的解向量
方法
一、判断向量组线性相关性：
1. 向量矩阵其次方程的解 2. 至少有一个向量能用其他向量线性表示，
（系数矩阵
K 为 s*r ，必须让方程的个数多一些） 10 ．若向量组 I 可由向量组 II 线性表示则 R(I)<=R(II) ，如果 两个向量组等价，则它们的秩相等
11. 方程 AX=b 有解，则 R( A) = R( A)
11. 几个关于秩的四个不等式 R(AB)<=min(R(A),R(B)) （和定理 9 的不等式有关）
2. 一般行列式的计算原则
A.按 0 多的行或者列展开，进行行列式的降阶 B.行列式中一行（列）出现加法的，可变成两个行列式 C.行列式如果某一行（列）有公因子的，可以提出来 其中， B 点最容易被忽略掉！ ！！ 例题：已知 abcd=1
a2
+
1 a2
a11 a
D=
b2
+
1 b2
c2
+
1 c2
1
b
或者如下表示
定理
1. 可由 1， 2， ， m线性表示
向量方程 x1 1 x2 2
xm m 有解 .
有一个解 —— 唯一一种表示方法，有无数解 —— 无数表示方 法
2. 向量组等价 —— 其中一个向量组的每一个向量都可以用 另外一个向量组表示 等价具有自反性，传递性，对称性
3. 线性相关与线性无关 1.包含 0 向量或相同向量的任意一个向量组线性相关 2 ．两个向量组线性相关的充要条件是分量对应成比例
关，否则线性无关
则向量组线性相
二、判断向量组等价：
A=KB，同时 B=K’A，K 为线性表示的系数矩阵，如果 阵且唯一（线性表示法唯一） ，看 K 是否可逆即可
K 为方
经典题：
1. 向量组 a 1 ,a 2 ,a 3 线性无关 ,问常数 l,m 满足什么条件时 ,
向量组 la 1 +a 2 ,a 2 + a 3 , ma 3 +a 1线性无关．
直线与直线的位置关系
两直线夹角 —— 它们方向向量的夹角 两直线平行（包括重合） —— 方向向量平行。如果不重合， 则可在其中一条直线上任取两点，如果它们不都在或都不在 另一条直线上，呢么两直线不重合 两直线垂直 —— 方向向量垂直 两直线相交 —— 两直线共面，不平行 两直线间距离：先用两直线方向向量做叉乘构造公垂线的方 向向量，然后再把两直线上的定点做连线向刚刚构建的方向
投影：
外积与混合积得几何意义，注意，外积的模才是平行四边形 面积，而混合积的绝对值为平行六面体体积 外积用来构建与两个向量都垂直的向量，即法向量
混合积的记法
，向量共面，混合积为 0，a b c，bc
a， c a b 这三种顺序结果都相同
2．平面的方程
点法式，一般式：
xyz 谁系数为 0，就与哪个轴平行， D=0 平面过原点 ,如果平
1
b
1
Hale Waihona Puke Baidu
c
1
c
d
2
+
1 d2
d
1 d
1
11 a 1 a2 a
1
1
a2 a a 1
11
1
1
b 1 b2 b
b2 b b 1
= abcd
+
11
1
1
c 1 c2 c
c2 c c 1
11 d1
d2 d
1
1
d
1
d2
d
不用计算每一个行列式值为多少 ，观察发现此式正好得 0
3. 范德蒙德行列式
? =
( xi - x j )
线性代数基本定理
一、矩阵的运算
1.不可逆矩阵的运算不满足消去律
AB=O,A 也可以不等于 O
?1 è? - 1
1 ?? 1 - 1 ?֏? - 1
-1 1
? ?÷=
? è?
0 0
0? 0 ?÷
2.矩阵不可交换
( A+ B)2 = A2 + AB+ BA+ B2
( AB)k = ABABABAB...AB
平面与平面平行（包括重合）——
A1 = B1 = C1 A2 B2 C2
A1 = B1 = C1 = D1 如果重合，有： A2 B2 C2 D2
平面与平面相交 —— A1 :B1 :C1 1 A2 : B2 :C2
平面与平面垂直 —— 法向量垂直 平面与平面的夹角余弦（锐二面角） —— 法向量余弦的绝对 值 平面束 —— 过两平面交线的平面方程（如果参数为一个，不 包括参数后面的平面本身）
ê
úê
ú
ê3 - 1 0 0 úê- 1 0 0 0 ú
ê0 1 0 0 úê 0 1 3 - 1 ú
?ê0 0 2 - 1 ?ú?ê 0 2 1 4 ?ú
如红线所示：
左边矩阵列分块在第 2 列与第 3 列之间，那么，右边矩阵分
块在第二行与第三行之间
至于蓝线，如何画，画不画，只画在哪个矩阵里都无所谓， 分块数只决定了最后结果矩阵的行列，并不能决定矩阵是否 能做乘法的原则性问题。
求逆 ：
如果 A1 ,A2 ,...,Am均可逆，
若
，则
反块对角阵也一样，把反对角线上的矩阵求逆。
求转置 ：
块转置，每一块里面的也要转置
6. 把普通线性组合式写成矩阵形式
二、行列式的计算
计算一般行列式时需注意： A． 代数余子式的正负 B． 初等变换用等号，行列式的值可能变化
1. 特殊形状行列式 上下三角行列式、反上下三角行列式
乘的是其他行的代数余子式，则展开后值为
0，这样，线
性方程组的求解问题就可以证出来（把逆用伴随表示）
6. 矩阵的秩：可以回到定义，秩为 r，就说明至少存在一个 r 阶子式不为 0，所有 r+1 阶子式全为 0
三、空间解析几何
1. 易忽略的基础知识
点的坐标的实质：过一个点向几个轴做垂面 空间一点在线上的投影问题就可以做这条线的垂面，再连接 交点，同样，线和向量的在直线上的投影向量就是两点的投 影，注意，如果直接说投影，那么它是一个数，可以为负。 方向余弦：与坐标轴正方向的夹角的余弦
向量上投影
两直线共面，异面 —— 两个定点（ x0 , y0 ,z0）构成的一个向
量，两个方向向量。这三个向量混合积为
0，就共面反之异
面
点到直线的距离
M 为线上一点 M1 为线上另一点， M 0到直线的距离为：
,想那个平行四边形
四、 n 维向量空间
预备知识： AX=b 的矩阵表示和向量表示
x1a 1 + x2a 2 + ...+ xna n = b
B．上三角矩阵乘以上三角矩阵，结果为上三角矩阵 2.矩阵等价的判断
A@B ? R( A) = R(B)
任何矩阵等价于其标准型
3.左乘初等矩阵为行变换，右乘初等矩阵为列变换 如： m*n 的矩阵，左乘 m 阶为行变换，右乘 n 阶为列变换
4. 给矩阵多项式求矩阵的逆或证明某个矩阵可逆
如： A2 - A- 2I = O，证明 (A+2I) 可逆。
2. A 为 m*n 矩阵，B 为 n*m 矩阵，m>=n ，试证 det(AB)=0
设A是 m ′3矩 阵,且R(A) = 1.如 果非 齐 次线 性
3. 方程组 AX = b的 三个 解 向量 h 1,h 2 ,h 3满 足
1
0
1
1 2 2,
2
3
1,
3
1
，求 AX=b 通解
3
1
0
1
三、向量组的最大无关组 通过初等变换就可以求出最大无关组 判断最大无关组 向量组里的每一个向量均可由最大无关 组表出
R3 中，三个向量组线性相关，则它们共面
3 . 1, 2, … ,n 线性相关 AX=0 有非 0 解，当向量个数等
于向量维数时， det(A)=0
4. 向量个数大于向量维数，向量组一定线性相关。 未知量个数大于方程个数）
（相当于
5. 对于一个向量组，局部线性相关则整体相关，整体无关则 局部无关
面既过原点又与某个轴平行，那么它一定通过这个轴 截距式
x yz + + =1
abc
点法式和点向式化为截距式，算截距即可 三点式 一般不用
3. 直线的方程 点向式 m,n,p 哪个为 0，直线就与这个等式里面的哪个变量所对应的 轴垂直（在与那个轴平行的平面上） 。直线的方向余弦就是 方向向量的方向余弦。 参数式 用一个参数就可以确定 x,y,z 三个变量。 用在求直线与平面交 点中比较简单 ,其中 (m,n,p) 就是方向向量！ 还可以求过某一点 与另外一条已知直线垂直的直线
x
=
x 0
+
mt
y
=
y 0
+ nt
z = z0 + pt
一般式
用两个平面相交的方程组表示
方程的转化
参数式 =>点向式
t 的系数就是方向向量，加的常数就是定点。
点向式 =>一般式
目的是方便表示过这条直线的平面束。 变成两个方程。加括号变为方程组即可
三个等号， 两两联立，
参数式 =>一般式
参数式先变为点向式，再变为一般式
点向式 =>参数式
令三个比例 =t
一般式 =>点向式
方法 1：任取一满足方程的点，为定点。平面法向量叉乘为
直线方向向量。 方法 2：任取两点，直接求方程
一般式 =>参数式
方法 1：一般式先变为点向式，再变为参数式 方法 2（较简单）：对平面方程初等行变换，令自由变量 =t
4. 位置关系和向量关系的转化 平面与平面的位置关系
n3i > j 31
注意：
范德蒙德行列式第一行（列）从 1 开始到 n-1 次方，从上到
下或从左到右升幂
不同底数来说，右边减左边或下边减上边，这就是
i和j的
用处
4. 几种 n 阶行列式的巧算办法：见笔记本
5. 克拉默法则： 解决伴随矩阵问题的好方法。 还要了解行列 式按某行展开， 如果对被展开行的每列来说， 代数余子式
量不超过 k，特征向量的个数为 A 的维数与特征矩阵的秩之
差，为 n-R(l 0 I-A)
4. 如果 a 是 A 在特征值 l 下的特征向量，那么 a 是 f(A) 在特 征值 f( l ) 下的特征向量
5. 某矩阵特征值的和为矩阵的迹，积为矩阵的行列式。 特征值求行列式是一个知识点）因此有了以下命题：
6. 一组向量线性无关，多了一个变成线性相关，则多的哪一 个可以用其他向量线性表示，表示式唯一（解方程时，多 的那个向量系数肯定不是 0）
7. 向量组的任意两个最大无关组都等价（于原向量组）
8. 再求向量组的秩时初等变换线性相关性不变对应着方程 组的解不变
9. 设向量组
可由向量组
线性
表示，且
线性无关，则
3.常被忽略的矩阵运算规则
( A+ B)T = AT + BT
( l A)T = l AT
4.反称矩阵对角线元素全为 0
4.矩阵逆运算的简便运算
( diag( a1 ,a2
,...a, n
)) -
1
=
diag(
1 a1
1 , a2
1 ,...,
an
)
(kA)- 1 = 1 A- 1 k
方法 1. 特殊矩阵的乘法 A ．对角矩阵乘以对角矩阵，结果仍为对角矩阵。且：
把 2I 项挪到等式右边，左边凑出含有 A+2I 的一个多项式， 在确保 A 平方项与 A 项的系数分别为原式的系数情况下， 看 I 项多加或少加了几个。
5.矩阵的分块进行计算
加法 ：分块方法完全相同 矩阵乘法 （以 A*B 为例）： A 的列的分法要与 B 行的分法一 致，如：
é1 - 1 0 0 ùé 1 0 0 0 ù
（给
A 可逆 A 的任何一个特征值不为 0
6. 相似矩阵具有相同的特征多项式， 相同的特征值， 相同的
点到平面的距离
d = Ax0 + By0 + Cz0 + D A2 + B2 + C2
平面与直线的位置关系
直线与平面的夹角 —— 直线平面法向量夹角余弦值的绝对 值就是直线与平面夹角的正弦值 直线与平面相交，平行，过平面 —— 直线的方向向量与平面 法向量内积不为 0 相交，否则如果把直线经过的定点满足平 面方程，则线面平行，否则直线过平面 直线与平面垂直 —— 直线的方向向量与平面法向量平行
det(kA)= k n det(A)
det(AB)=det(A)det(B) 块对角行列式（用拉普拉斯展开定理证明）
Ann O
Ann *
=
= AB
* Bmm
O Bmm
O Ann = *
Ann = ( - 1)mn A B
Bmm *
Bmm O
n
? det( diag( A1 ,A2 ,...An )) = det( Ai ) i =1
五、特征值与特征向量
定理
1. 如果 a i 是 A 在特征值 l 下的几个特征向量，那么 a i 的线
性组合也是 A 在特征值 l 下的一个特征向量 .线性组合组成特
征子空间所以在求特征向量时，一定要有系数
k（多解）
2. 三角矩阵（包括对角矩阵）特征值就是对角线上元素
3.
l
是矩阵
0
A 的 k 重特征值， 则 l 对应的线性无关的特征向 0
若 Am*nBn*t = O,则 R(A)+R(B)<=n （和基础解系有关）
R(A+B)<=R(A)+R(B) （也和定理 9 的不等式有关）
R( AT A )=R(A) (方程的同解 )
12. AX=O 的解向量的线性组合仍为 AX=O 的解向量
方法
一、判断向量组线性相关性：
1. 向量矩阵其次方程的解 2. 至少有一个向量能用其他向量线性表示，
（系数矩阵
K 为 s*r ，必须让方程的个数多一些） 10 ．若向量组 I 可由向量组 II 线性表示则 R(I)<=R(II) ，如果 两个向量组等价，则它们的秩相等
11. 方程 AX=b 有解，则 R( A) = R( A)
11. 几个关于秩的四个不等式 R(AB)<=min(R(A),R(B)) （和定理 9 的不等式有关）
2. 一般行列式的计算原则
A.按 0 多的行或者列展开，进行行列式的降阶 B.行列式中一行（列）出现加法的，可变成两个行列式 C.行列式如果某一行（列）有公因子的，可以提出来 其中， B 点最容易被忽略掉！ ！！ 例题：已知 abcd=1
a2
+
1 a2
a11 a
D=
b2
+
1 b2
c2
+
1 c2
1
b
或者如下表示
定理
1. 可由 1， 2， ， m线性表示
向量方程 x1 1 x2 2
xm m 有解 .
有一个解 —— 唯一一种表示方法，有无数解 —— 无数表示方 法
2. 向量组等价 —— 其中一个向量组的每一个向量都可以用 另外一个向量组表示 等价具有自反性，传递性，对称性
3. 线性相关与线性无关 1.包含 0 向量或相同向量的任意一个向量组线性相关 2 ．两个向量组线性相关的充要条件是分量对应成比例
关，否则线性无关
则向量组线性相
二、判断向量组等价：
A=KB，同时 B=K’A，K 为线性表示的系数矩阵，如果 阵且唯一（线性表示法唯一） ，看 K 是否可逆即可
K 为方
经典题：
1. 向量组 a 1 ,a 2 ,a 3 线性无关 ,问常数 l,m 满足什么条件时 ,
向量组 la 1 +a 2 ,a 2 + a 3 , ma 3 +a 1线性无关．
直线与直线的位置关系
两直线夹角 —— 它们方向向量的夹角 两直线平行（包括重合） —— 方向向量平行。如果不重合， 则可在其中一条直线上任取两点，如果它们不都在或都不在 另一条直线上，呢么两直线不重合 两直线垂直 —— 方向向量垂直 两直线相交 —— 两直线共面，不平行 两直线间距离：先用两直线方向向量做叉乘构造公垂线的方 向向量，然后再把两直线上的定点做连线向刚刚构建的方向
投影：
外积与混合积得几何意义，注意，外积的模才是平行四边形 面积，而混合积的绝对值为平行六面体体积 外积用来构建与两个向量都垂直的向量，即法向量
混合积的记法
，向量共面，混合积为 0，a b c，bc
a， c a b 这三种顺序结果都相同
2．平面的方程
点法式，一般式：
xyz 谁系数为 0，就与哪个轴平行， D=0 平面过原点 ,如果平
1
b
1
Hale Waihona Puke Baidu
c
1
c
d
2
+
1 d2
d
1 d
1
11 a 1 a2 a
1
1
a2 a a 1
11
1
1
b 1 b2 b
b2 b b 1
= abcd
+
11
1
1
c 1 c2 c
c2 c c 1
11 d1
d2 d
1
1
d
1
d2
d
不用计算每一个行列式值为多少 ，观察发现此式正好得 0
3. 范德蒙德行列式
? =
( xi - x j )
线性代数基本定理
一、矩阵的运算
1.不可逆矩阵的运算不满足消去律
AB=O,A 也可以不等于 O
?1 è? - 1
1 ?? 1 - 1 ?֏? - 1
-1 1
? ?÷=
? è?
0 0
0? 0 ?÷
2.矩阵不可交换
( A+ B)2 = A2 + AB+ BA+ B2
( AB)k = ABABABAB...AB
平面与平面平行（包括重合）——
A1 = B1 = C1 A2 B2 C2
A1 = B1 = C1 = D1 如果重合，有： A2 B2 C2 D2
平面与平面相交 —— A1 :B1 :C1 1 A2 : B2 :C2
平面与平面垂直 —— 法向量垂直 平面与平面的夹角余弦（锐二面角） —— 法向量余弦的绝对 值 平面束 —— 过两平面交线的平面方程（如果参数为一个，不 包括参数后面的平面本身）
ê
úê
ú
ê3 - 1 0 0 úê- 1 0 0 0 ú
ê0 1 0 0 úê 0 1 3 - 1 ú
?ê0 0 2 - 1 ?ú?ê 0 2 1 4 ?ú
如红线所示：
左边矩阵列分块在第 2 列与第 3 列之间，那么，右边矩阵分
块在第二行与第三行之间
至于蓝线，如何画，画不画，只画在哪个矩阵里都无所谓， 分块数只决定了最后结果矩阵的行列，并不能决定矩阵是否 能做乘法的原则性问题。
求逆 ：
如果 A1 ,A2 ,...,Am均可逆，
若
，则
反块对角阵也一样，把反对角线上的矩阵求逆。
求转置 ：
块转置，每一块里面的也要转置
6. 把普通线性组合式写成矩阵形式
二、行列式的计算
计算一般行列式时需注意： A． 代数余子式的正负 B． 初等变换用等号，行列式的值可能变化
1. 特殊形状行列式 上下三角行列式、反上下三角行列式
乘的是其他行的代数余子式，则展开后值为
0，这样，线
性方程组的求解问题就可以证出来（把逆用伴随表示）
6. 矩阵的秩：可以回到定义，秩为 r，就说明至少存在一个 r 阶子式不为 0，所有 r+1 阶子式全为 0
三、空间解析几何
1. 易忽略的基础知识
点的坐标的实质：过一个点向几个轴做垂面 空间一点在线上的投影问题就可以做这条线的垂面，再连接 交点，同样，线和向量的在直线上的投影向量就是两点的投 影，注意，如果直接说投影，那么它是一个数，可以为负。 方向余弦：与坐标轴正方向的夹角的余弦
向量上投影
两直线共面，异面 —— 两个定点（ x0 , y0 ,z0）构成的一个向
量，两个方向向量。这三个向量混合积为
0，就共面反之异
面
点到直线的距离
M 为线上一点 M1 为线上另一点， M 0到直线的距离为：
,想那个平行四边形
四、 n 维向量空间
预备知识： AX=b 的矩阵表示和向量表示
x1a 1 + x2a 2 + ...+ xna n = b
B．上三角矩阵乘以上三角矩阵，结果为上三角矩阵 2.矩阵等价的判断
A@B ? R( A) = R(B)
任何矩阵等价于其标准型
3.左乘初等矩阵为行变换，右乘初等矩阵为列变换 如： m*n 的矩阵，左乘 m 阶为行变换，右乘 n 阶为列变换
4. 给矩阵多项式求矩阵的逆或证明某个矩阵可逆
如： A2 - A- 2I = O，证明 (A+2I) 可逆。
2. A 为 m*n 矩阵，B 为 n*m 矩阵，m>=n ，试证 det(AB)=0
设A是 m ′3矩 阵,且R(A) = 1.如 果非 齐 次线 性
3. 方程组 AX = b的 三个 解 向量 h 1,h 2 ,h 3满 足
1
0
1
1 2 2,
2
3
1,
3
1
，求 AX=b 通解
3
1
0
1
三、向量组的最大无关组 通过初等变换就可以求出最大无关组 判断最大无关组 向量组里的每一个向量均可由最大无关 组表出