土豆施肥量效果分析

产量 (t/ha) 11．02 12．70 14．56 16．27 17．75 22．59 21．63 19．34 16．12 14．11
K
施肥量 (kg/ha) 0 47 93 140 186 279 372 465 558 651
产量 (t/ha) 15．75 16．76 16．89 16．24 17．56 19．20 17．97 15．84 20．11 19．40
复相关系数：
பைடு நூலகம்
R SR 293.33 0.95
ST
328
由此观之，此多项式回归模型的拟合效果显然大大优 于线性回归模型。
注意：至此为止，我们并没有考虑两种肥料（氮和钾）的交叉作用，若要 反映交互作用，则公式中应该出现交叉项 x1x2 。
目录
3.含交叉项的多项式回归模型
3、含交叉项的多项式回归模型
X 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1
Y (48,37,49,44,42,52,49,43,59)
经计算得：
ˆ ( X X ) 1 X Y (47,2.83,3.16)
1、线性回归模型
故得回归方程：
yˆ 47 2.83x1 3.16 x2
偏差平方和： ST ( yi y)2 328
生菜施肥量与产量数据表
P
施肥量 (kg/ha) 0 24 49 73 98 147 196 245 294 342
产量 (t/ha) 33．46 32．47 36．06 37．96 41．04 40．09 41．26 42．17 40．36 42．73
N
施肥量 (kg/ha) 0 28 56 84 112 168 224 280 336 392
产量 (t/ha)
18．98 27．35 34．86 38．52 38．44 37．73 38．43 43．87 42．77 46．22
P
施肥量 (kg/ha)
0 49 98 147 196 294 391 489 587 685
产量 (t/ha)
6．39 9．48 12．46 14．33 17．10 21．94 22．64 21．34 22．07 24．53
施肥量与产量关系的实验数据如下：
土豆施肥量与产量数据表
N
施肥量 产量 (kg/ha) (t/ha)
0
15．18
34
21．36
67
25．72
101 32．29
135 34．03
202 39．45
259 43．15
336 43．46
404 40．83
471 30．75
K
施肥量 (kg/ha)
0 47 93 140 186 279 372 465 558 651
二. 简化后的题目
二、简化后的题目
在土豆生长期间，施用不同量的氮（N）和钾（K）肥，土豆 产量结果见附表，求土豆产量与施肥量之间的关系。
序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9
N(kg) 200 200 200 260 260 260 320 320 320
K(kg) 270 370 470 270 370 470 270 370 470
模型3： y 0 1 x1 2 x2 3 x12 4 x22 5 x1 x2
经过同样的计算可得回归方程：
yˆ 39.67 2.83x1 3.16 x2 1.5x12 9.5x22 2.25 x1x2
偏差平方和： ST ( yi y)2 328
i
回归平方和： SR ( yˆi y)2 313.7
2、多项式回归模型
故得回归方程：
yˆ 39.67 2.83x1 3.16 x2 1.5x12 9.5x22
偏差平方和： ST (yi y)2 328
i
回归平方和： SR (yˆi y)2 293.33
i
残差平方和： SE (yi yˆi )2 34.67
i
2、多项式回归模型
回归分析数学建模案例
土豆施肥效果分析（1992年全国数学建模竞赛）
目录
一. 原题简介 二. 简化后的题目
1. 线性回归模型 2. 多项式回归模型 3. 含交叉项的多项式回归模型
一. 原题简介
一、原 题
某研究所为了研究 N、P、K 三种肥料对于土豆和生菜的作用， 分别对每种作物进行了三组实验，实验中将每种肥料的施用量分为 10 个水平，在考察其中一种肥料的施用量与产量关系时，总是将 另二种肥料固定在第 7 个水平上，实验数据如下列表格所示，其中 ha 表示公顷，t 表示吨，kg 表示千克，试建立反映施肥量与产量关 系的模型，并从应用价值和如何改进等方面作出评价．
产量Y (t) 48 37 49 44 42 52 49 43 59
数据的中心标准化
首先，为了计算方便，对数据作中心标准化处理，即令
x1
N
260 ， 60
K 370 x2 100
注意：这里 260 和 370 是中位数，60 和 100 是极值差距。
如果说，施肥量 x1 , x2 与土豆产量 y 有很密切的关系，则应该有：
y f ( x1 , x2 )
其中 f (x1, x2 ) 可能是线性函数，也可能是多项式函数，或者是其他类型的函 数，探求 f (x1, x2 ) 的具体形式是本题的目的，需要用回归分析方法。
1. 线性回归模型
1、线性回归模型
模型1： y 0 1x1 2 x2
数据矩阵和向量： 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2. 多项式回归模型
2、多项式回归模型
模型2：
y
0
1 x1
2 x2
3 x12
4
x
2 2
数据矩阵：
1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 0 0 0 1 1 1
X 1 0 1 1 0 1 1 0 1
1
1
1
000
1 1 1
1 0 1 1 0 1 1 0 1
经计算得： ˆ ( X X )1 X Y (39.67,2.83,3.16,1.5,9.5)
i
回归平方和： SR ( yˆi y)2 108.33
i
残差平方和： SE ( yi yˆi )2 219.67
i
1、线性回归模型
复相关系数：
R S R 108.33 0.57
ST
328
显然，模型（1）对所给数据的拟合效果较差，由对数据 的直观观察亦可以看出，用线性模型去拟合所给数据是不合 适的。