数学建模指派问题论文

目录

一问题重述 (2)

二模型假设 (2)

三匈牙利法陈述 (2)

四问题分析 (3)

五问题实现 (5)

1问题重述 (5)

2 问题求解 (5)

2.1由匈牙利法构造目标函数 (5)

2.2模型建立 (6)

3 模型解析 (6)

4 程序实现 (7)

六结果显示及min求解 (17)

七模型深入 (17)

1 模型建立 (18)

2 进行求解 (18)

3程序分析 (20)

八模型检验 (20)

九整体总结 (20)

十参考文献 (21)

一问题重述

指派问题亦称平衡指派问题仅研究人数与事数相等、一人一事及一事一人的情形。现有的不平衡指派问题将研究范围扩大到人数与事数可以不等、一人一事或一人多事及一事一人的情形。日常活动中也不乏人数与事数可以不等、一人多事及一事多人的情形，这类事务呈现了广义指派问题的实际背景。平衡指派问题是特殊形式的平衡运输问题，可运用匈亚利法、削高排除法和缩阵分析法等特殊方法求解。另一方面，正是平衡指派问题的这种特殊性，使得不平衡指派问题不能按常规技术转化为平衡指派问题。因此，各种不平衡指派问题需要确立相应的有效解法１问题的提出及其数学模型广义指派问题并非奇特和抽象的构想，相反，该问题可以从司空见惯的日常事务中引出。

现在我们就运用匈牙利法，去实现n个人，n件工作的指派问题。

二模型假设

1 假设一共有n个人，n件工作，即人数与工作数相等。

2 假设每个人的都能从事某项工作，但是付出的代价不同。

3 假设求解代价最小的解。

4甲乙丙丁四个人，ABCD四项工作，要求每人只能做一项工作，每项工作只由一人完成，问如何指派总时间最短？

三匈牙利法陈述

第一步：找出矩阵每行的最小元素，分别从每行中减去这个最小元素；

第二步：再找去矩阵每列的最小元素，分别从各列减去这个最小元素；

第三步：经过这两步变换后，矩阵的每行每列至少都有了一个零元素，接着根据以下准则进行试指派，找出覆盖上面矩阵中所有零元素至少需要多少条直线；

（1）从第一行开始，若该行只有一个零元素打上（）号。对打（）号零元素所在列划一条直线。若该行没有零元素或有两个以上零元素（已划去的不计在内），则转下一行，一直到最后一行为止；

（2）从第一列开始，若该列只有一个零元素就对这个零元素打上（）号（同样不考虑已划去的零元素），对打（）号零元素所在行划一条直线。若该列没有

零元素或 还有两个以上零元素，则转下一列，并进行到最后一列； （3）重复（1）、（2）两个步骤，可能出现三种情况：

① 矩阵每行都有一个打（）号零元素，很显然，按照上述步骤得到的打（）的零元素都位于不同行不同列，因此就找到了问题的答案；

② 有多于两行或两列存在两个以上零元素，即出现了零元素的闭回路，这个时候可顺着闭回路的走向，对每个间隔的零元素打上（）号，然后对所有打（）号零元素或所有列或所在行划一条直线。

③ 矩阵中所有零元素或打上（）号，或被划去，但打（）号零元素个数小于m 。 第四步：为了设法使每行都有一个打（）的零元素，就要继续对矩阵进行变换；

（1）从矩阵未被直线覆盖的元素找出最小元素k ；

（2）对矩阵的每行，当该行有直线覆盖时，令i u =0，无直线覆盖的，令i u =k ； （3）对矩阵的每列，当该列有直线覆盖时，令j v =-k ，无直线覆盖的，令j v =0； （4）得列一个变换后的矩阵，其中每个元素ij b =ij a -i u -j v 。

第五步：回到第三步，反复进行，一直到矩阵中每一行都有一个打（）的零

元素为止，即找到最优分配方案为止。

四 问题分析

指派问题的标准形式（以人和事为例）如下。有n 个人和n 项任务，已知第i 个人做第j 件事的费用为

ij

c ，要求确定人和事之间的一一对应的指派方案，使

完成这n 项任务的费用最少。

一般把目标函数的系数写为矩阵形式，称矩阵

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥⎥

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡==⨯nn n n n n n

n ij c c c c c c c c c c C ..................)(212222111211

为系数矩阵（Coefficient Matrix ），也称为效益矩阵或价值矩阵。矩阵的元素

ij

c （i,j=1,2,…n ）表示分配第i 个人去完成第j 项任务时的效益。一般地，以

ij

x 表示给定的资源分配用于给定活动时的有关效益（时间，费用，价值等），且

n

j x ij ,...,2,1i,j i ,

1j i ,0=⎩⎨

⎧=，项活动单位资源用于第分配第项活动

单位资源用于第不分配第

然后我们求解最小（最大（这里不再讨论））代价和模型，

1111

min max (1)

..1,1,2,...,(2)1,

1,2,...,(3)01,

,1,2,...,(4)

n

n

ij ij

i j n

ij

j n ij

i ij z c x s t

x

i n x

j n x i j n

===========∑∑∑∑（）或

当然，作为可行解，矩阵的每列元素中都有且只有一个1，以满足约束条件式（3）。每行元素中也有且只有一个1，以满足约束条件（2）。指派问题n!个可行解。

如果要求解最大值11max

n

n

ij ij i j z c x ===∑∑时，我们将构造一个新的矩阵()ij

c '，使ij

ij c M c '=-，其中M 是一个足够大的常数。一般取ij c 中最大的元素作为M ，求解()11

min n n

ij ij i j z M c x =='=-∑∑，所得的解()ij x 就是原问题的解。

事实上，由

()11

1111

11

11

M Mn n n n n

ij ij

ij

ij i j i j n

n

n

n

ij

ij ij

i j i j n

n ij ij

i j c x M c x

x c x

c x =========='=-=

-=-∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑