11.1泛函和泛函的极值-武汉大学数学物理方法

∂ y '⋅ ∂y '
1 + ( y')2 y
2
−
1 + ( y')2 y y
=C
( y')
[1 + ( y ' ) 2 ] y
−
1 + ( y')2
=C
y ′2 ( y')4 1 + ( y')2 2 C ⇒ + − 2 = y y [1 + ( y ' ) 2 ] y 1 1 2 = C , 令 2 = C1 2 C [1 + ( y ' ) ] y
⎧ y (0) = 0 由⎨ 得 : yn = Cn sin nπx(n = 1,2 ⋅ ⋅⋅) ⎩ y (1) = 1 再由 ∫ y 2 dx = 1 得：Cn = ± 2 , ∴ yn = ± 2 sin nπx
0 1
d J [ y ( x)] = ∫ [ ± 2 sin nπx]2 dx = n 2π 2 dx 0 极小值为J [ y1 ( x)] = π 2
极限 , 略去了高阶小量此时， y ′( x ) = lim Δx→ 0
Δy Δ ( y + tη ) → lim = y ′( x ) + t η ′( x ) Δx→ 0 Δx Δx ( 2 ) 变分与微分可交换次序 ：
δ ( y ′) = tη ′( x ) =
d dx [ tη ( x )] = d dx
b
∂F d ∂F ∴ − ( ) = 0 → Euler 方程 ∂y dx ∂ y ′
§11.1 泛函和泛函的极值
三.泛函极值的必要条件
2.泛函取极值的条件- y ( x )满足 Euler 方程
(1) 对于 J[y(x)] = ∫ F ( x, y , y ' ) dx
有 ∂F ∂y − d dx ∂y ′ ( ∂F
三.泛函极值的必要条件
Q
对照 ( 4 ) : 极值条件 = 0 有
1.泛函极值的问题是变分问题 δ J
∫
a
b
∂F δ y ′dx = ∂y′
b
∫
a
b
∂F d ( δ y ) dx ∂ y ′ dx
b
d ∂F d ∂F ∂F b ( ) δ ydx = − ∫ ( ) δ ydx = δ y |a − ∫ dx ∂ y ′ dx ∂ y ′ ∂y′ a a 代如 ( 5 ) : d ∂F ∂F [ ( )] δ ydx = 0 − ∫ dx ∂ y ′ ∂y a
0 1
(3)
即
1 2 2 2 = (C 0 + C 0C1 + C1 ) ( 4), 3 5 φ = φ (C 0 , C1 )
§11.1 泛函和泛函的极值
五.里兹方法
1 2 2 2 代入 (2) : ∫ y dx = (C0 + C0C1 + C1 ) = 1 (5) 30 7 0
2 1
1 2 2 2 记 ψ = (C0 + C0C1 + C1 ) − 1 = 0 30 7 由拉格朗日乘子法：若 要求y(x) = f(x1，x 2 ...xn ) 在m个约束条件 : g k (x1，x 2 ...xn ) = 0 ,(k = 1,2...m) 下的极值只需考虑 F = y + ∑ λk g k
T [ y ( x )] =
xB xB
∫
1 + ( y ' ) 2 dx 2 gy =0 1 2g 1 + ( y' )2 y
xA
∴δ ∫ F=
1 + ( y ' ) 2 dx 2 gy 1 + ( y ' ) 2 dx 2 gy
xA
=
不显含x
§11.1 泛函和泛函的极值
三.泛函极值的必要条件
于是Euler方程
1
§11.1 泛函和泛函的极值
五.里兹方法
1.对于J[f(x)], 令 y(x) = f(ϕ1(x),ϕ2(x)...ϕn(x);C 1,C2...Cn )
则 J[f(x)] = φ(C1,C2...Cn ) ∂φ 于是当 = 0时, J[f(x)]取极值 , i = 1,2......n ∂Ci
2.注意 :
(1) f是近似解f(x) = lim f (ϕ1 , ϕ 2 ...ϕ n ; C1 , C 2 ...C n )
n →∞
(2)适当选ϕ , f
注 : 一般为多项式三角式为它们的线性组合, 满足边界条件
§11.1 泛函和泛函的极值
五.里兹方法
3.例 : 求 J[f(x)] = ∫ y ′ 2 dx (的极小值 ) (1)
a
∫ F ( x , y , y ' ) dx → (1)
F ( x , y , y ' ) 泛函的核
3.最速落径问题:求泛函T[y(x)]的极小值问题
§11.1 泛函和泛函的极值
二.泛函的极值
类似于上述的求极值问题,如光学中费马原 理,力学中最小作用问题,在物理中很多.我们 将会看到求泛函极值可归结为两种方法. 1.求泛函极值方法 (1).直接方法:从泛函直接求极值曲线 (2).间接法:化为解微分方程-与变分问题有 联系 为此,先建立有关变分的概念
三.泛函极值的必要条件 3.若 F 不显含 x 则
∂F ∂y − d dx ∂y ′ d dx ( ∂F )=0→ ∂F ∂y ′ − y′ ∂F ∂y ′ −F =C + y′ d ( ∂F )− ∂F ∂x − ∂F ∂y y′ − ∂F ∂y ′ y ′′
考虑
[ y′
− F ] = y ′′ d ( ∂F
a b
∂F ∂F = ∫ [ tη + tη ′ + t的高阶小量]dx ∂y ∂y′ a 记δJ
=
b
∫ ( ∂y δy + ∂y′ δy′)dx → (4)
a
b
∂F
∂F
—称为泛函 J [ y ( x)] 的第一次变分
§11.1 泛函和泛函的极值
三.泛函极值的必要条件
设 J [ y ( x )]的极值函数为 y ( x ), 且有变分 tη ( x ), 则 J [ y ( x ) + tη ( x )] = φ (t ) (因为 y ( x )已经设定 ) 由一元函数取极值条件 ，则 J极值条件 dφ |t = 0 = 0 → φ (t ) 极值条件 → dt b ∂J [ y ( x ) + tη ( x )] ∂F [ x , y + tη , y ′ + tη ′, ] |t = 0 = 0 , 即 , ∫ |t = 0 dx = 0 ∂t ∂t a
(4)多元函数 J [u ( x, y, z )] = ∫ F ( x, y, z; u ; u x , u y , u z )dxdydz
a
b
∂F ∂u
−
∂
∂x ∂u x
(
∂F
)−
∂
∂y ∂u y
(
∂F
)−
∂
∂z ∂u z
(
∂F
)=0
于是求泛函数极值问题→ 解Euler方程问题
§11.1 泛函和泛函的极值
1 ⎧ 2 ⎪ y dx = 1 ∫ 其中 ⎨ ( 2) 0 ⎪ y (0) = 0, y (1) = 0 ⎩
1
0
解 : 选ϕ n ( x) = Cn x n
令 y ( x ) = x ( x − 1)(C 0 + C1 x ) = C1 x 3 + (C 0 − C1 ) x 2 − C 0 x 代入 (1) : φ = J [ y ( x )] = ∫ [3C1 x 2 + 2(C 0 − C1 ) x − C 0 ]2 dx
A
B
v
dx2 + dy2
=
1+( y ') 2 dx
∴T =
∫
1+( y ') 2 dx 2 gy
B
即 T = T [ y( x)] = ∫
A
1+( y ') 2 dx ， 2 gy
—是函数的函数
§11.1 泛函和泛函的极值
一、泛函
1.定义： 泛函是函数的函数.记J=J[y(x)] 其中,J∈ B:复（实）；数集 y(x) ∈ C:复数集 注意: (1)不同于普通函数 (2)不同于复合函数 (3)定义域:y(x)可取类 b 2.典型表达方式: J[y(x)] =
§11.1 泛函和泛函的极值
三.泛函极值的必要条件
得 y' = C1 − y y , → x − C2 = ∫ y C1 − y dy
C1 ⎧ x= (θ − sin θ ) + C 2 ⎪ θ 2 令 y = C1 sin 2 , 则⎨ C1 2 ⎪ y= (1 − cos θ ) 2 ⎩ C1 是由半径为 的圆周上一固定点运动 产生的 . 2 在图中 x轴下方滚动 .存在一条且仅一条通过 原 点及点 ( x B , y B )的摆线 .适当选择 C1和 C 2可以给出 这条摆线
∫[
a
b
∂F ∂F η+ η ′] |t = 0 dx = 0, ∂ ( y + tη ) ∂ ( y ′ + tη ′)
b b
∂F ∂F ∂F ∂F 即 : ∫[ η + η ′]dx = 0 → ∫ [ δy + δy ′]dx = 0 ∂y ′ ∂y ∂y ′ ∂y a a
(5)
§11.1 泛函和泛函的极值
§11.1 泛函和泛函的极值
三.泛函极值的必要条件
(3)对于J [ y′(x),y′(x) ⋅ ⋅ ⋅ y (n)(x)]
b (n) = ∫ F ( x; y ; y ′ , y ′′ ⋅ ⋅ ⋅ y ) dx a 2 3 ∂F d ∂F d d ∂F 有 − ( )+ ( )=0 ( )− ∂y dx ∂y ′ dx 2 ∂y ′′ dx3 ∂y ′′′ ∂F
∂F ∂y ′
dx ∂y ′
= − y ′[
∂F ∂y
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dx ∂y ′ ∂F ∂x
)] −
∂F ∂x d dx [ y′ ∂F ∂y ′ − F ] = 0,
Q F不显含 x, 即
∴ 积分可得 y ′
=0⇒
∂F ∂y ′
− F = C ( B)
§11.1 泛函和泛函的极值
三.泛函极值的必要条件
例1.求最速落径
§11.1 泛函和泛函的极值
四.泛函的条件极值
b ⎧ ⎪ J [ y ( x)] = ∫ F ( x, y, y ′)dx ⎪ a , y (a ) = y0 , y (b) = y1 ⎨ b ⎪ G ( x, y , y ′)dx = l ∫ ⎪ ⎩ a 拉格朗日( Lagrange )乘子法 :
§11.1 泛函和泛函的极值
二、泛函的极值
2.变分
(1) : 函数的变分 : 若 y ( x ) 微变 y ( x ) + t η ( x ), t为小参数 , 则记
δ ( y ) = tη ( x ) ( 2 ) — 称 tη ( x )为 y ( x )的变分 . 注意 : δ y 不同于 dy , dy 有一取极值过程 , δ y 不取
考虑：δ ∫ [ F ( x, y, y′) + λG ( x, y, y′)]dx = 0
a
b
则→
∂F ∂y
+λ
∂G ∂y
−
d dx
[(
∂F ∂y ′
)+λ
d
dx ∂y ′
(
∂G
)] = 0
积分常数 C1 , C 2和λ可由附加条件定出
§11.1 泛函和泛函的极值
四.泛函的条件极值
1 ⎧ 2 ⎪ J [ y ( x )] = ∫ y ′ dx 0 ⎪ 1 ⎪ 2 例 2 .⎨ y dx = 1 ∫ ⎪ 0 ⎪ y ( 0 ) = 0， y (1 ) = 1 ⎪ ⎩
第十一章
变分法
The Variational Method
物理科学与技术学院
§11.1 泛函和泛函的极值 一.泛函
1696年,Basel大学 Bernoulli提出，最 速落径： ds v = = 2 gy ∴ 总的下降时间
dt T =∫
t2 ( B) dt t1 ( A ) B A
= ∫ ds ,由于ds =
δ ( y ) → y ′( x )的变分
即： δ ( y ′) ≡
d dx
δ ( y)
§11.1 泛函和泛函的极值
二、泛函的极值
(3) : 函数的变分 若(1)中F ∈ C 2 , y ∈ C 2 , 则当y → y + tη ΔJ = J [ y ( x) + tη ] − J [ y ] = ∫ [ F ( x, y + tη , y′ + tη ′) − F ( x, y, y′)]dx
a b
) = 0 → 二阶常微分方程 ⇒ y ′
∂F ∂y ′
−F =C
( 2) 对于 J [ y1(x),y 2(x) ⋅ ⋅ ⋅ y n(x)]
b ′ , y2 ′ ⋅ ⋅ ⋅ yn ′ ) dx = ∫ F ( x; y1 , y 2 ⋅ ⋅ ⋅ y n ; y1 a 有 ∂F ∂y i − d dx ∂y i′ ( ∂F ) = 0, (i = 0,1, 2......n )
考虑
δ ∫ ( y′2 + λy 2 )dx = 0
0
1
不显含x, 也可推出一阶Euler方程, 此处直接用二阶Euler d 也不困难 : 2λy − (2 y′) = 0 dx
§11.1 泛函和泛函的极值
四.泛函的条件极值
即 : y′′ − λy = 0 y = C1e
λx
+ C2 e −
λx