信号与系统第八章Z变换
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青岛大学信号与系统第八章离散时间系统的z域分析
则
Z [an x(n)] X ( z ) a
z , Rx1 a Rx2
特别地 Z [(1)n x(n)] X (z) , Rx1 z Rx2
例：Z
[cos(0n)u(n)]
z(z cos0 ) z2 2z cos0 1
, z 1
Z
[ n cos(0n)u(n)]
z
(z
cos0 )
2
2
nu(n)
z
d dz
z
z 1
(z
z 1)2
n2u(n)
z
d dz
(z
z 1)2
z(z 1) (z 1)3
X (z) 1 [ z z(z 1)] z2 2 (z 1)2 (z 1)3 (z 1)3
, z 1
（四）序列指数加权（ z 域尺度变换）
若 Z [x(n)] X (z) , Rx1 z Rx2
X (z) Z [x(nT )] x(nT )zn n
2T 0 T 3T
t
L [xs (t)] z esT Z [x(nT )]
z
esT
r eT
T 2
s
z re j s j
T—— 抽样间隔，
s
2
T
——
抽样角频率
z平面和 s平面的映射关系：
1. s平面原点 ( 0, 0) j
x(1) (n)
0
n
x(n 1)u(n) x(n 1)u(n 1)
x(0) (n 1)
0
n
x(n 1)u(n) x(n 1)u(n 1) x(1) (n) x(n 1)u(n) x(n 1)u(n 1) x(0) (n 1) x(n 2)u(n) x(n 2)u(n 2) x(2) (n) x(1) (n 1) x(n 2)u(n) x(n 2)u(n 2) x(0) (n 2) x(1) (n 1)
信号与系统 第八章 Z变换及分析
东北大学秦皇岛分校计算机工程系通信工程专业信号与系统201155东北大学秦皇岛分校计算机工程系通信工程专业信号与系统系统函数零极点分布与系统时域频域特性及稳定性的关系有抽样信号单边拉氏变换东北大学秦皇岛分校计算机工程系通信工程专业信号与系统单边z变换snt则有广义上
东北大学秦皇岛分校 计算机工程系通信工程专业
信号与系统
四
几类序列的收敛域
n2
（1）有限长序列：在有限区间内，有非零的有限值 的序列 x(n)
X ( z ) x(n) z
n n1
n
n1 n n2
n1 0, n2 0 收敛域为除了0和
j Im[z]
的整个 z 平面。
0 z
另,思考：
Re[z ]
n1 0, n2 0 n1 0, n2 0
n 0
X s ( s)
0
x(nT ) (t nT )e
n 0 0
st
dt
x(nT ) (t nT )e dt
st
x(nT )e
n 0
n 0
snT
东北大学秦皇岛分校 计算机工程系通信工程专业
信号与系统
X s ( s) x(nT )e snT
0 0 0
4.余弦序列
j0 n
j0n
0
z e 0 z e z ( z cos0 ) 2 z 2 z cos0 1
0
z sin 0 ZT [sin 0 n] 2 z 2 z cos0 1
5.正弦序列
说明： n 0, z 1
东北大学秦皇岛分校 计算机工程系通信工程专业
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信号与系统
四
几类序列的收敛域
n2
（1）有限长序列：在有限区间内，有非零的有限值 的序列 x(n)
X ( z ) x(n) z
n n1
n
n1 n n2
n1 0, n2 0 收敛域为除了0和
j Im[z]
的整个 z 平面。
0 z
另,思考：
Re[z ]
n1 0, n2 0 n1 0, n2 0
n 0
X s ( s)
0
x(nT ) (t nT )e
n 0 0
st
dt
x(nT ) (t nT )e dt
st
x(nT )e
n 0
n 0
snT
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信号与系统
X s ( s) x(nT )e snT
0 0 0
4.余弦序列
j0 n
j0n
0
z e 0 z e z ( z cos0 ) 2 z 2 z cos0 1
0
z sin 0 ZT [sin 0 n] 2 z 2 z cos0 1
5.正弦序列
说明： n 0, z 1
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信号与系统Z变换
X1(z) (n m)zn zm n
z 0
X 2 (z) (n m)zn zm n
z
(3) x(n)=u(n)
X (z) u(n)zn
z
n
z 1
|z|>1
信号与系统（信息工程）
(4) x(n)= -u(-n-1)
X (z) [u(n 1)]zn
z
n
z 1
(5) x(n) anu(n)(a为实数.虚数.复数).
dz
由于n2x(n)=n［nx(n)］，得
Z[n2 x(n)]
z d
dz
z
d dz
X
( z )
信号与系统（信息工程）
例：已知x(n)=nu(n),求其Z变换及其收敛域。
解 ：u(n)的Z变换
U(z)
1 1 z1
,
z
1
由z域微分特性可知，
x(n) nu(n) X (z) z d U (z) dz
则
ZT
ax1(n) bx2 (n) aX1(z) bX 2 (z)
max
R , R x11
x21
z
min
R , R x12
x22
信号与系统（信息工程）
例 ：已知x(n)= u(n) – 3nu(-n-1)，求x(n)的双边Z变换X(z)及 其收敛域。
ZT
u(n)
z
|z|>1
z 1
n n1
显然其收敛域为0≤|z|＜∞，是包括零点的半开域，即除z=∞ 外都收敛。
(3)n1＞0,n2＞0时，有
n2
X (z) x(n)zn
n n1
显然其收敛域为0＜|z|≤∞，是包括z=∞的半开域，即除z=0 外都收敛。
信号与系统_第八章 z变换、离散时间系统的z域分析
Re(z)
C是包围X(z)zn-1所有极点之逆时针闭合积分路线，通常选 择z平面收敛域内以原点为中心的圆。
➢ 求X(z)的反z变换的三种方法 ✓留数法 ✓幂级数展开和长除法 ✓部分分式展开法
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8.3 逆z变换
二、部分分式展开法求逆z变换（1）
✓ 步骤 （1）将X(z)除以z，得到X(z)/z=X1(z)； （2）将X1(z)按其极点展成部分分式（其方法与拉氏变换 的部分分式展开完全一致）；
3.x(n)为左边序列
x(n)是无始有终的序列，即当n n2 时, x(n)=0 。
X (z)
n2
x(n)
z
n
x(n)z n
jIm(z)
n
n n2
✓若n20，0z RX2
0
RX2 Re(z)
✓若n20，0z RX2
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8.2 z变换的收敛域
4.x(n)为双边序列
x(n)是从n =延伸到n = 的序列 。
（3）X(z)=zX1(z)，得到X(z)的部分分式展开式；
（4）对X(z)的每一个部分分式进行反z变换，就得到X(z) 对应的序列x(n)。
［例］求 X (z)
z2
( z 1) 的逆z变换。
(z 1)( z 0.5)
中国民航大学 CAUC
8.3 逆z变换
二、部分分式展开法求逆z变换（2）
［例］求收敛域分别为z1和 z1 两种情况下, X (z) 1 2z 1
➢X(z)收敛域的确定必须同时依赖于 ✓ 序列的性质（有限长，右边，左边，双边） ✓ 是对x(n)进行单边还是双边z变换 ✓ X(z)的极点
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[物理]《信号与线性系统分析》第8章 z变换
![[物理]《信号与线性系统分析》第8章 z变换](https://img.taocdn.com/s3/m/aee232f850e2524de4187e1a.png)
m
d 1 n m u( n) Z n m u( n) z 1 1 1 d z 1 z
1 d n x ( n) Z n x ( n) z X (z) 1 dz
m m
m
n是离散变量，所以对n没有微积分运算； z是连续变量，所以对z有微积分运算。
n
a
1
n n
z
z (a z ) 1 za n 0
1
za
n
n 1
14
• 收敛域的定义
X ( z ) Z [ x ( n)]
n n x ( n ) z 2
x (1) x ( 2) x ( 2) z x ( 1) z x ( 0) 2 z z
n1 0, n2 0 : 0 z
n1 0, n2 0 : z
j Im[z]
n1 0, n2 0 : z 0
Re[z ]
17
2．右边序列：只在n≥n1的区间内，有非零的 有限值的序列
x(n),
X (z)
n
n n1
n n1 n x ( n ) z
10
• 指数序列
x(n) a n u( n)
1 z X z a z 1 1 az za n 0
n n
za
当a e ,
b
则
当a e
当a e
j ω0
, 则
, 则
z z eb Z e u( n) z eb z jω0 n Z e u( n) z 1 jω0 ze
5
8.2 典型序列的z变换
d 1 n m u( n) Z n m u( n) z 1 1 1 d z 1 z
1 d n x ( n) Z n x ( n) z X (z) 1 dz
m m
m
n是离散变量，所以对n没有微积分运算； z是连续变量，所以对z有微积分运算。
n
a
1
n n
z
z (a z ) 1 za n 0
1
za
n
n 1
14
• 收敛域的定义
X ( z ) Z [ x ( n)]
n n x ( n ) z 2
x (1) x ( 2) x ( 2) z x ( 1) z x ( 0) 2 z z
n1 0, n2 0 : 0 z
n1 0, n2 0 : z
j Im[z]
n1 0, n2 0 : z 0
Re[z ]
17
2．右边序列：只在n≥n1的区间内，有非零的 有限值的序列
x(n),
X (z)
n
n n1
n n1 n x ( n ) z
10
• 指数序列
x(n) a n u( n)
1 z X z a z 1 1 az za n 0
n n
za
当a e ,
b
则
当a e
当a e
j ω0
, 则
, 则
z z eb Z e u( n) z eb z jω0 n Z e u( n) z 1 jω0 ze
5
8.2 典型序列的z变换
《信号与系统》第二版第八章：Z变换
x (1) = 3.5δ ( n − 1)
n ∴ x ( n ) = δ ( n ) + 3.5δ ( n − 1) + ⎡8 − 13 × ( 0.5 ) ⎤ u ( n − 2 ) ⎣ ⎦
部分分式展开法：
⎧ 1 ⎫ ⎧ z ⎫ n = Z −1 ⎨ Z −1 ⎨ ⎬ = d u ( n) −1 ⎬ ⎩1 − dz ⎭ ⎩z−d ⎭
= { z n −1 X ( z )( z − zm )} |z = zm
z3 + 2z 2 + 1 , z >1 z ( z − 1)( z − 0.5 )
当 n ≥ 2 时， z n −1 X ( z ) 的极点： z1 = 1, z2 = 0.5
⎧⎡ z 3 + 2 z 2 + 1 n−2 ⎤ ⎫ ⎡ z 3 + 2 z 2 + 1 n−2 ⎤ ⎪ ⎪ x ( n ) = ⎨⎢ z ⎥ +⎢ z ⎥ ⎬ u ( n − 2) z −1 ⎪ ⎦ z =1 ⎣ ⎦ z =0.5 ⎪ ⎩ ⎣ z − 0.5 ⎭
（8-30）
（8-31）
， z ∈ 收敛域 注：1） m > 0 ，右移（延迟） m 步； m < 0 ，左移（导前） m 步。
2）引入 m 步延迟算子，
z −m x ( n ) x (n − m)
Z { z − m x ( n )} = z − m X ( z )
9 因果序列单边 Z 变换右移性质：
9 双边序列：
x ( n ) , n ∈ {−∞, +∞}
（8-19）
−n
X ( z ) = ∑ x ( n) z −n +
n=0
+∞
n ∴ x ( n ) = δ ( n ) + 3.5δ ( n − 1) + ⎡8 − 13 × ( 0.5 ) ⎤ u ( n − 2 ) ⎣ ⎦
部分分式展开法：
⎧ 1 ⎫ ⎧ z ⎫ n = Z −1 ⎨ Z −1 ⎨ ⎬ = d u ( n) −1 ⎬ ⎩1 − dz ⎭ ⎩z−d ⎭
= { z n −1 X ( z )( z − zm )} |z = zm
z3 + 2z 2 + 1 , z >1 z ( z − 1)( z − 0.5 )
当 n ≥ 2 时， z n −1 X ( z ) 的极点： z1 = 1, z2 = 0.5
⎧⎡ z 3 + 2 z 2 + 1 n−2 ⎤ ⎫ ⎡ z 3 + 2 z 2 + 1 n−2 ⎤ ⎪ ⎪ x ( n ) = ⎨⎢ z ⎥ +⎢ z ⎥ ⎬ u ( n − 2) z −1 ⎪ ⎦ z =1 ⎣ ⎦ z =0.5 ⎪ ⎩ ⎣ z − 0.5 ⎭
（8-30）
（8-31）
， z ∈ 收敛域 注：1） m > 0 ，右移（延迟） m 步； m < 0 ，左移（导前） m 步。
2）引入 m 步延迟算子，
z −m x ( n ) x (n − m)
Z { z − m x ( n )} = z − m X ( z )
9 因果序列单边 Z 变换右移性质：
9 双边序列：
x ( n ) , n ∈ {−∞, +∞}
（8-19）
−n
X ( z ) = ∑ x ( n) z −n +
n=0
+∞
郑君里《信号与系统》(第3版)笔记和课后习题(含考研真题)详解-第8章 z变换、离散时间系统的z域分
（7）
X
z
1 2
n
u
n
u
n
10
z
n
9 n0
1 2
n
z
n
9 n0
1 2z
n
1
1 2z
1 1
10
z 0
2z
X（z）的零、极点分布图如图 8-2-1（g）所示。
（8）
8 / 75
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X
z
n台
1 2
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台
第 8 章 z 变换、离散时间系统的 z 域分析
8.1 复习笔记
从本章开始陆续讨论 Z 变换的定义、性质以及它与拉氏变换、傅氏变换的联系。在此 基础上研究离散时间系统的 z 域分析，给出离散系统的系统函数与频率响应的概念。通过 本章，读者应掌握对于离散时间信号与系统的研究，是先介绍 z 变换，然后引出序列的傅 里叶变换以及离散傅里叶变换（第九章）。
4 / 75
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台
于实轴的直线映射到 z 平面是负实轴；
（3）在 s 平面上沿虚轴移动对应于 z 平面上沿单位圆周期性旋转，每平移 ωs，则沿
单位圆转一圈。
2．z 变换与拉氏变换表达式
Z
x nT X z zesT X s Z
n
u
n
1 3
n
u
n
z
n
n
（3）
X
z
n
1 3
n
u
n
z
n
n0
第八章_离散时间系统的z域分析4_北京交通真题库_大学915916通信系统及原
z0
七阶极点
j Im[z]
z
1 3
一阶极点
Re[z]
z 0
27
§8.4 逆z变换
X (z) ZT[x(n)] x(n)zn n
x(n) ZT 1[ X (z)] 1 X (z)zn1dz
2 j C
C是包围X(z)zn-1所有极点的逆时针闭合积分路线，一
般取z平面收敛域内以原点为中心的圆。
n0
n
an zn 1 bn zn
n0
n0
z a, z b
X (z) z 1 b za zb zz
za zb
25
jIm(z)
a
0
Re(z)
jIm(z)
a
0 b
Re(z)
图8.1序列单边Z变换的收敛域
图8.2序列双边Z变换的收敛域
当 z a时，X (z) z 当a z b时，X (z) z z
d s j
j
)
!
d
zs
j
(z
zi )s
X (z)
z
zzi
32
或X (z)
A0
M m1
1
Am zm
z
1
s j 1
Cj (1 zi z1) j
A0
M m1
Am z z zm
C1z z zi
C2 z2 (z zi )2
Cs (z
zs zi )s
Cs
1 zi z1
s
X
(
z
)
z
6
§8.2 z变换的定义、典型序列的z变换
➢ 借助于抽样信号的拉氏变换引出。 ➢ 连续因果信号x(t)经均匀冲激抽样，则抽样信号xs(t)
信号与系统第八章 Z变换、离散时间系统的Z域分析
sin(0n)u(n)
ZT
1
z1 sin 0 2z1 cos0
z
2
z 1
由于z变换的定义式。是一个无限项求和式，这就有和是否存在 的问题。由上面常用信号的z变换的求解可以知道，其z变换能够用 一个封闭的式子表示，是有条件的，这个条件就是在此域内z变换 存在，此域就是z变换的收敛域。而序列z变换的收敛域，与序列的 形态有关。
z za
j Im{z}
j Im{z}
za
a Re{z}
a Re{z}
例如：已知序列 x(n) a n , a 1 ，试求z变换X(z)。
解：
1
X (z) x(n)z n an z n an z n
n
n
n0
其中
1 an z n
n
z z a1
当
z a1
j Im{z}
anzn
z
n0
za
当
所以
z
z
X (z) z a z a1
z a
a z a1
a 1 a Re{z}
例如：已知序列
x(n)
[(1)n
(
1 )
n
]u(n)
23
，试求z变换X(z)。
解：
X (z) x(n)z n ( 1 )n z n (1)n z n
1 1 az1
z za
z a
如果指数序列是n<0时的单边序列，其的z变换为
1
Z anu(n 1) anu(n 1) z n an z n
信号与系统-Z变换
1
X (z) xnzn bn zn
n
n
bnzn 1 bnzn
n1
n0
若公比|b-1 z|＜1，即|z|＜|b|时此级数收敛。此时
X (z)
1
1 1 b1z
z
z b
zb
信号与系统（信息工程）
jIm[z]
b
╳
Re[z] z b
收敛域零、极点分布
信号与系统（信息工程）
当n→±∞，序列x(n)均不为零时，称x(n)为双边序列， 它可以看作是一个左边序列和一个右边序列之和。对此 序列进行Z变换得到
1
X (z) Zxn x(n)zn x(n)zn x(n)zn
n
n0
n
右边序列
左边序列
信号与系统（信息工程）
jIm[z]
R1
R2
o
Re[z]
信号与系统（信息工程）
例 ：已知无限长双边序列x(k)为
x(n) anu(n) bnu(n 1)
式中，|b|>|a|。求x(k)的双边Z变换及其收敛域。
z
z 12
信号与系统（信息工程）
若
ZT
x1(n) X1(z)
Rx11 z Rx12
ZT
x2 (n) X 2 (z) Rx21 z Rx22
则
ZT
ax1(n) bx2 (n) aX1(z) bX 2 (z)
max
R , R x11
x21
z
min
R , R x12
x22
信号与系统（信息工程）
X (z)
n0
zn
1 1 z1
1 z
信号与系统（信息工程）
6.1.2 Z变换的收敛域
信号与系统第八章 Z变换、离散时间系统的Z域分析1
。
X z zesT X esT X a s
X z x n r n e jn n
• 序列xn的z变换可看成
该序列乘以r n后的傅立叶变换。
1. 在单位园上Z变换演变为离散序列的傅里叶变换（DTFT）
6
三．对z变换式的理解
X(z) x(n)zn x(2)z2 x(1)z1
n
• 某些文献中也称X z为x(n)的生成函数。
8
一．单位样值函数
(n)
1 0
n0 n0
X (z) (n)zn 1
n
(n)
1 n
O
u(n)
二．单位阶跃序列
1 u(n) 0
n0 n0
1 O 123
n
X(z)
1
z 1
z2
z3
1 1 z1
z
z 1
z 1
9
三．斜变序列的z变换
x(n) nu(n)，X (z) nzn ？
• S平面上的复变量s是直角坐标，
• z平面的复变量是极坐标形式,
• S中实部 为零对应于虚轴 j , z平面r=1对应于单位园
当s在 j 轴上取值，拉氏变换变为傅氏变换
• <0对应于s平面左半边， r<1对应于z平面单位园内
• 由s平面到z平面的映射不是单一的。
5
•当z esT时，抽样序列的Z变换就等于其理想抽样信号的拉斯变换
z za
za
当a eb, 设 z eb ,
则
Z
ebn u(n)
z z eb
当a ejωω0nu(n)
z z ejω0
2. 左边序列 xn anu n 1
X z z
za
za
X z zesT X esT X a s
X z x n r n e jn n
• 序列xn的z变换可看成
该序列乘以r n后的傅立叶变换。
1. 在单位园上Z变换演变为离散序列的傅里叶变换（DTFT）
6
三．对z变换式的理解
X(z) x(n)zn x(2)z2 x(1)z1
n
• 某些文献中也称X z为x(n)的生成函数。
8
一．单位样值函数
(n)
1 0
n0 n0
X (z) (n)zn 1
n
(n)
1 n
O
u(n)
二．单位阶跃序列
1 u(n) 0
n0 n0
1 O 123
n
X(z)
1
z 1
z2
z3
1 1 z1
z
z 1
z 1
9
三．斜变序列的z变换
x(n) nu(n)，X (z) nzn ？
• S平面上的复变量s是直角坐标，
• z平面的复变量是极坐标形式,
• S中实部 为零对应于虚轴 j , z平面r=1对应于单位园
当s在 j 轴上取值，拉氏变换变为傅氏变换
• <0对应于s平面左半边， r<1对应于z平面单位园内
• 由s平面到z平面的映射不是单一的。
5
•当z esT时，抽样序列的Z变换就等于其理想抽样信号的拉斯变换
z za
za
当a eb, 设 z eb ,
则
Z
ebn u(n)
z z eb
当a ejωω0nu(n)
z z ejω0
2. 左边序列 xn anu n 1
X z z
za
za
信号与系统PPT课件(共10章)第8章 离散时间信号与系统的z域分析
X3(z) = z +1+ z1 (z ，z 0)
7
8.1.2 z变换的收敛域
2．右边序列：
x[n] x[n]u[n n1]
x[n],
0,
n n1 z变换 X (z) x[n]zn
n n1
nn1
令 lim n x[n]zn 1 n
则ROC： z
lim n n
x[n]
R
离散序列： x[n] x1(t) tnT x1(nT )
采样信号： xs (t) x1(t) (t nT ) x1(nT ) (t nT )
n
n
2. 离散序列x[n] 的z变换与采样信号xs (t) 的拉氏变换
x[n]ZT X (z) x[n]zn n
xs (t)LT Xs (s)
an zn an1zn1 a1z a0
zn An1zn1 A1z A0
其中，系数 Bi和 Ai（或ai和bi，i = 0，1，…，m，…，n）
都是实数。一般情况下， n m。
单位圆
jImz
X (z) Bm (z z1)(z z2 ) (z zm ) (z p1)(z p2 ) (z pn )
0, n
x[n],
n1, n1
n n
n2 n2
z变换 X (z) n2 x[n]zn
nn1
——双边序列z变换的收敛域至少为：0 < | z | < 。
例1：x1[n] = [n+1] ]+ [n+2]； X1(z) = z + z2 (z ) x2[n] = [n1]+[n2]； X2(z) = z1 + z2 (z 0) x3[n] = [n+1] + [n]+ [n 1] ；
7
8.1.2 z变换的收敛域
2．右边序列：
x[n] x[n]u[n n1]
x[n],
0,
n n1 z变换 X (z) x[n]zn
n n1
nn1
令 lim n x[n]zn 1 n
则ROC： z
lim n n
x[n]
R
离散序列： x[n] x1(t) tnT x1(nT )
采样信号： xs (t) x1(t) (t nT ) x1(nT ) (t nT )
n
n
2. 离散序列x[n] 的z变换与采样信号xs (t) 的拉氏变换
x[n]ZT X (z) x[n]zn n
xs (t)LT Xs (s)
an zn an1zn1 a1z a0
zn An1zn1 A1z A0
其中，系数 Bi和 Ai（或ai和bi，i = 0，1，…，m，…，n）
都是实数。一般情况下， n m。
单位圆
jImz
X (z) Bm (z z1)(z z2 ) (z zm ) (z p1)(z p2 ) (z pn )
0, n
x[n],
n1, n1
n n
n2 n2
z变换 X (z) n2 x[n]zn
nn1
——双边序列z变换的收敛域至少为：0 < | z | < 。
例1：x1[n] = [n+1] ]+ [n+2]； X1(z) = z + z2 (z ) x2[n] = [n1]+[n2]； X2(z) = z1 + z2 (z 0) x3[n] = [n+1] + [n]+ [n 1] ；
清华大学信号与系统课件第八章、Z变换和离散时间系统的Z域分析培训资料
23
例 X (z) z32z21 (z1 ) x(n)? Z(z 1 )z(0.5)
解 z1 x(n) 必然是因果序列，右边序列
x(n) Res[X(z)zn1]zzm
n
Resz(zz31)2(zz201.5)
zn1 zzm
n2, z11, z2 0.5
n0, z11, z2 0.5, z3,4 0
n1, 2020/10/21 z1 1, z2 0.5课,件 z3 0
24
(1)n2x(n)zn2z3z 20 z.251z1zn2z3z2 z1 21z0.5 81(0 3.5)n
(2)n0 x(n)z2(zz312)zz(201.5)z081(30.5)0 681 31
(3)n1 x(n)z(zz312)zz(201.5)z081(30.5)1
课件
18
例
ZT
[ n e j 0n ]
z
z e j 0
ZT
[ n e ] j 0 n
z
z e j 0
ZT [ n cos 0 n ] ZT [ n ( e j 0 n e j 0 n ) / 2 ]
( z
z
e j 0
z
z
e j 0 ) / 2
z ( z cos 0 ) z 2 2 z cos 0 2
单边Z变换
2020/10/21
课件
3
例：
x(n)anu(n)
X(z) anzn (a z1)n
n0
n0
lim an1 az1
a n n
a
z
a
z
a
z
limn az1n az1
n
2020/10/21
信号与系统第八章Z变换及分析
信号与系统第八章Z变换及分析第八章Z变换及分析是信号与系统课程的重要内容之一、本章主要介绍了Z变换的定义、性质以及在信号与系统分析中的应用。
下面将详细介绍这些内容。
首先，Z变换是一种将离散时间信号转换为复变量函数的方法。
Z变换的定义如下：$$X(z) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n]z^{-n}$$其中，$X(z)$为Z变换，$x[n]$为离散时间信号，$z$为复变量。
Z变换具有线性性质、时移性质、尺度变换性质等。
通过这些性质，可以简化信号与系统的分析。
在信号与系统的分析中，Z变换具有以下几个重要的应用：1.离散时间系统的表示和分析：通过Z变换，可以将离散时间系统的差分方程表示为系统函数的乘积形式，从而方便地分析系统的稳定性、频率响应等性质。
2.离散时间信号的频域表示：Z变换将离散时间信号转换为复变量函数，可以通过计算Z变换的幅频特性、相频特性等来分析信号的频域性质。
3.离散时间信号与连续时间信号的转换：通过将连续时间信号进行采样，并进行Z变换，可以将连续时间信号转换为离散时间信号进行分析。
此外，本章还介绍了常用的离散时间信号的Z变换和逆Z变换公式，包括单位脉冲序列、单位阶跃序列、指数序列等。
最后，本章还介绍了Z变换的收敛域和极点零点的求解方法。
通过求解Z变换的收敛域，可以确定系统的稳定性；通过求解Z变换的极点和零点，可以确定系统的频率响应和相位特性。
综上所述，第八章Z变换及分析是信号与系统课程的重要内容。
通过学习Z变换的定义、性质以及在信号与系统分析中的应用，可以更好地理解离散时间信号与系统的特性，并且为进一步学习信号处理和系统设计打下坚实的基础。
第8章 z变换离散时间系统的z变换分析
1 z Z[u( n)] u( n)z z -1 1 z z 1 n 0 n 0
-n -n
收敛域 为 z >1
3. 斜变序列
间接求 解方法 已知 两边对(z -1)求导
两边乘(z -1)
∴
同理，两边再求导，得
…
4. 指数序列
x(n) a n u(n)
运用留数定理来进行运算。又称为留数法，即
f (n) Res[F ( z )z n1 ]z pm
m
略！
二、幂级数展开法（长除法）
F ( z ) f (n)z n f (0) f (1)z 1 f ( 2)z -2
n 0
！
一般为变量z的有理分式，可用长除法，
例
s = 2，
例题 解
求x(n) = ?
∴
∴
见P60~61，表8-2、8-3、8-4（逆z变换表） 作业：P103，8-5 （1）（2）
8.5 z变换的基本性质
一、线性 若 x(n) ←→ X(z) y(n) ←→ Y(z)
则
Rx1 < |z| < Rx2 Ry1 < |z| < Ry2
ax(n) + by(n) ←→ aX(z) + bY(z)
F ( z ) f (0) f (1) z 1 f (2) z 2
所以
f (0) 0, f (1) 1, f (2) 0, f (3) 3, f (4) 4,
重点！
三、部分分式展开法
一般Z变换式是有理函数
以下研究因果序列的逆变换，即
X(z) （|z|>R） ← Z → x(n)
对于N阶LTI离散系统的差分方程:
-n -n
收敛域 为 z >1
3. 斜变序列
间接求 解方法 已知 两边对(z -1)求导
两边乘(z -1)
∴
同理，两边再求导，得
…
4. 指数序列
x(n) a n u(n)
运用留数定理来进行运算。又称为留数法，即
f (n) Res[F ( z )z n1 ]z pm
m
略！
二、幂级数展开法（长除法）
F ( z ) f (n)z n f (0) f (1)z 1 f ( 2)z -2
n 0
！
一般为变量z的有理分式，可用长除法，
例
s = 2，
例题 解
求x(n) = ?
∴
∴
见P60~61，表8-2、8-3、8-4（逆z变换表） 作业：P103，8-5 （1）（2）
8.5 z变换的基本性质
一、线性 若 x(n) ←→ X(z) y(n) ←→ Y(z)
则
Rx1 < |z| < Rx2 Ry1 < |z| < Ry2
ax(n) + by(n) ←→ aX(z) + bY(z)
F ( z ) f (0) f (1) z 1 f (2) z 2
所以
f (0) 0, f (1) 1, f (2) 0, f (3) 3, f (4) 4,
重点！
三、部分分式展开法
一般Z变换式是有理函数
以下研究因果序列的逆变换，即
X(z) （|z|>R） ← Z → x(n)
对于N阶LTI离散系统的差分方程:
第八章z变换
收 敛 域 的 说 明 ： 单 边 变 换 中 序 列 与 变 换 式 、 收 敛 域 唯 一 对 应 ； 双 边 变 换 中 序 列 与 变 换 式 、 收 敛 域 不 唯 一 对 应 。
Z变换的收敛域
级 数 收 敛 的 充 分 条 件 ：
x(n)z-n
n=-
(1)比值判定法：设一个正项级数an , n=- 令其lni m aann+1 则当1时，级数收敛； 当1时，级数发散。
则 X ( z ) Z 1 x (n )=1 X ( z ) zn 1 d z 2j C
其 中 C是 包 围X(z)zn-1所 有 极 点 的 逆 时 针 闭 合 路 线
二、求逆Z变换方法
逆Z变换
1 ) 围 线 积 分 法 ： 借 助 复 变 函 数 的 留 数 定 理
X ( z ) Z 1 x ( n ) =R e s X ( z ) z n 1
二、 典型序列的Z变换
(n)
1 单 位 样 值 序 列 ( n )Z 1
1
2 单 位 阶 跃 序 列 u (n )Z z , z1
z1
0
n
u (n)
1
3 斜 变 序 列 n u (n )Z zz12 , z1 0
n
典型序列的Z变换
4 单 边 指 数 序 列 a n u ( n ) Z z
则 该 级 数 收 敛 .其 中 R x10,R x2< . 可 见 ,
双 边 序 列 的 收 敛 域 是 以 半 径 为 R x 1 和 R x 2 之 间 的 圆 环 部 分 .
作业
P103 8-1，8-2，8-3，8-12
第四节 逆z变换
一、逆Z变换
逆Z变换定义：
Z变换的收敛域
级 数 收 敛 的 充 分 条 件 ：
x(n)z-n
n=-
(1)比值判定法：设一个正项级数an , n=- 令其lni m aann+1 则当1时，级数收敛； 当1时，级数发散。
则 X ( z ) Z 1 x (n )=1 X ( z ) zn 1 d z 2j C
其 中 C是 包 围X(z)zn-1所 有 极 点 的 逆 时 针 闭 合 路 线
二、求逆Z变换方法
逆Z变换
1 ) 围 线 积 分 法 ： 借 助 复 变 函 数 的 留 数 定 理
X ( z ) Z 1 x ( n ) =R e s X ( z ) z n 1
二、 典型序列的Z变换
(n)
1 单 位 样 值 序 列 ( n )Z 1
1
2 单 位 阶 跃 序 列 u (n )Z z , z1
z1
0
n
u (n)
1
3 斜 变 序 列 n u (n )Z zz12 , z1 0
n
典型序列的Z变换
4 单 边 指 数 序 列 a n u ( n ) Z z
则 该 级 数 收 敛 .其 中 R x10,R x2< . 可 见 ,
双 边 序 列 的 收 敛 域 是 以 半 径 为 R x 1 和 R x 2 之 间 的 圆 环 部 分 .
作业
P103 8-1，8-2，8-3，8-12
第四节 逆z变换
一、逆Z变换
逆Z变换定义：
第八章1Z变换
第七章主要内容：
1.离散时间信号-序列 2.离散时间系统的数学模型 3.常系数线性差分方程的求解 4.离散时间系统的单位样值（冲激）响应 5.卷积 6.反卷积
差分方程与微分方程的转换
差分方程与微分方程：
对连续y(t ), 若在t nT 各点取样值y(nT ), 且T 足够小
y(nT ) n 1 T dy(t ) y 则 dt T
小结
j Im[z]
有限长序列
Re[z ]
1 例：已知 x(n) [u (n) u (n 8)] 3 求其Z变换，并作出极零点图 ，画出收敛域。
n
j Im[z]
右边序列
Rx1
Re[z ]
1 例：已知 x(n) u (n) 3 求其Z变换，并作出极零点图 ，画出收敛域。
例：RC低通滤波器
dy(t ) Rc y (t ) x (t ) dt y (n 1) y (n ) RC y (n) x(n) T T T y (n 1) (1 ) y (n ) x(n) RC RC
课后习题7-26
差分方程可以解决很多实际中的离散问题 习题7-27：海诺塔问题
y(10) 1023
N-1个移动 N-1个移动
汉诺塔：汉诺塔（又称河内塔）问题是源于印度一个 古老传说的益智玩具（也说起源于越南河內附近一個 不知名小村庄的寺庙）。
在印度，有这么一个古老的传说：在世界中心贝拿勒斯（在印度北 部）的圣庙里，一块黄铜板上插着三根宝石针。印度教的主神梵天 在创造世界的时候，在其中一根针上从下到上地穿好了由大到小的 ６４片金片，这就是所谓的汉诺塔。不论白天黑夜，总有一个僧侣 在按照下面的法则移动这些金片：一次只移动一片，不管在哪根针 上，小片必须在大片上面。僧侣们预言，当所有的金片都从梵天穿 好的那根针上移到另外一根针上时，世界就将在一声霹雳中消灭， 而梵塔、庙宇和众生也都将同归于尽。
1.离散时间信号-序列 2.离散时间系统的数学模型 3.常系数线性差分方程的求解 4.离散时间系统的单位样值（冲激）响应 5.卷积 6.反卷积
差分方程与微分方程的转换
差分方程与微分方程：
对连续y(t ), 若在t nT 各点取样值y(nT ), 且T 足够小
y(nT ) n 1 T dy(t ) y 则 dt T
小结
j Im[z]
有限长序列
Re[z ]
1 例：已知 x(n) [u (n) u (n 8)] 3 求其Z变换，并作出极零点图 ，画出收敛域。
n
j Im[z]
右边序列
Rx1
Re[z ]
1 例：已知 x(n) u (n) 3 求其Z变换，并作出极零点图 ，画出收敛域。
例：RC低通滤波器
dy(t ) Rc y (t ) x (t ) dt y (n 1) y (n ) RC y (n) x(n) T T T y (n 1) (1 ) y (n ) x(n) RC RC
课后习题7-26
差分方程可以解决很多实际中的离散问题 习题7-27：海诺塔问题
y(10) 1023
N-1个移动 N-1个移动
汉诺塔：汉诺塔（又称河内塔）问题是源于印度一个 古老传说的益智玩具（也说起源于越南河內附近一個 不知名小村庄的寺庙）。
在印度，有这么一个古老的传说：在世界中心贝拿勒斯（在印度北 部）的圣庙里，一块黄铜板上插着三根宝石针。印度教的主神梵天 在创造世界的时候，在其中一根针上从下到上地穿好了由大到小的 ６４片金片，这就是所谓的汉诺塔。不论白天黑夜，总有一个僧侣 在按照下面的法则移动这些金片：一次只移动一片，不管在哪根针 上，小片必须在大片上面。僧侣们预言，当所有的金片都从梵天穿 好的那根针上移到另外一根针上时，世界就将在一声霹雳中消灭， 而梵塔、庙宇和众生也都将同归于尽。
信号与系统-Z变换
解：
X (z) x(n)zn [u(n 1) u(n 1)]zn
n
n
1
zn z 1 z1
n1
x(k)zn 1 zn z 1 1
n
n1
z
所以，当 0 z 时，上式级数收敛。于是得
X (z) z 1 z1 z2 z 1 0 z
z
信号与系统（信息工程）
Z变换为
x(n)
令
，Xs(s)变为X(z)，得
X (z) x(nT )zn
n
取T=1，得
X (z) x(n)zn n
信号与系统（信息工程）
当0≤n≤∞时，得单边Z变换
X (z) x(n)zn n0
单边Z变换
2、从离散时间序列直接定义
设x(n)为离散序列，x(n)={x(0)，x(1)，…， x(n) ，…}，则 x(n)的单边Z变换定义为：
解 x(n)的双边Z变换为
X (z) anu(n) b n u(n 1) zn
n
1
an z n bn z n
n0
n
信号与系统（信息工程）
X (z)
anzn
1
bnzn
a n
1
b
n
n0
n
n0 z n z
z z 2z (a b)z |a|<|z|<|b|
z1 0
jIm[z] a
Re[z]
例：求指数序列x(n)=anu(n) 的Z变换。
解：显然指数序列是一个 因果序列
X (z) x(n)zn
n0
an zn (az1)n
n0
n0
1 az1 (az1)2
X (z)
1 1 az1
第八章 Z变换与Z域分析
z (k ) z 1 z k 3 ( k 1) z 3
由线性性质得
|z|>1 |z|<3
z z 2z 4z F ( z) z 1 z 3 ( z 1)( z 3)
2
1<|z|<3
2、移位特性 (1)双边z变换 若f (k )是双边序列，其双边z变换为 f (k ) F ( z )
3<|z|<∞
根据时域乘ak性质，得
1 k F ( z ) Z [ f（k） Z f1 (k ) F1 (2 z ) ] 2 3 (2 z )2 4z2 2z 3 2z 3
2 k 0 1 k 2
z
k
z
2
z a 2 a 1 z 1 za
或者
a 2 z za
|z|>|a|
a 2 z F ( z ) Z [a k 2 ] Z [a a
例 8.2-3 已知f(k)=3k［ε(k+1)-ε(k-2)］，求f(k)的双边Z变换
例
ZT [ e
n
z e j 0 z n j 0 n ZT [ e ] z e j 0 ZT [ cos0 n] ZT [ (e
n n j 0 n
j 0 n
]
z
e
j 0 n
) / 2]
z ( )/2 j 0 j 0 z e z e z ( z cos0 ) 2 z 2 z cos0 2 ( z )
Rx 2
6、双边序列 F ( z)
k
f (k ) z
k
f (k ) z
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第六章 变换与离散系统的频域分析
第八章 Z变换与离散系统的Z域分析
8.1 Z变换的定义 8.2 Z变换收敛区及典型序列Z变换 8.3逆Z变换 Z变换的性质定理
8.4 Z变换的性质定理
8.5 离散系统的复频域分析
第六章 变换与离散系统的频域分析
8.1 Z变换的定义
Z变换的定义可由抽样信号的拉氏变换引出。连续信号的理
x(n)
若满足
即
lim
n
n
x ( n) z n 1
n
n n1
z lim
n
x(n) Rx1
n1
0
n
图8.2-2 右边序列示意图
右边序列的收敛域为一个圆外的部分：Rx1 | z | 当n1≥0时，X(z)的和式中没有z的正幂项，收敛域为
Rx1 | z |
第六章 变换与离散系统的频域分析
例8.2-3 已知序列
1 x(n) u(n), 求X(z)。 3
n
n
解
1 1 1 z n 3 1 n X ( z ) z lim n 1 1 n 0 3 1 z 3 1 1 | z | 1 1 (1 / 3) z 3
的圆外， 而X2(z)的收敛区是以|a|为半径的圆内。
此例说明，收敛区与x(n)有关，并且对于双边Z变
换，不同序列的ZT表示式有可能相同，但各自的收敛
区一定不同。 所以为了惟一确定 Z 变换所对应的序列， 双边 Z 变换除了要给出 X(z) 的表示式外，还必须标明
X(z)的收敛区。
第六章 变换与离散系统的频域分析
1. 有限长序列
x ( n) x ( n) 0 n1 n n2 其它
n X ( z ) x ( n ) z Z变换为 ： n n1
n2
X(z)是有限项级数，级数每项有界，则有限项之和亦有界。
x(n)
当x(n)有界时， n1≤n≤n2,Z变换的收敛区 取决于|z|-n，
1 (az1 ) n 1 1 lim | az | 1 1 1 n 1 az 1 az z 收敛域为： | z || a | za
第六章 变换与离散系统的频域分析
（2）
X 2 ( z)
n
n n 1 n ( a ) z ( a z ) n 1
X ( z)
n
n x ( n ) z
单边Z变换的定义式
X ( z ) x ( n) z n
n 0
只有当级数收敛时，Z变换才有意义 即：
n
| x(n) z
n
|
第六章 变换与离散系统的频域分析
8.2 Z变换收敛域及典型序列Z变换
对于任意给定的有界序列x(n),使z变换定义式级数收敛 的所有z值得集合，称为z变换X(z)是收敛域（region of convergence,简写为ROC） 例8.2-1 已知序列
例8.2-2 已知序列x(n)=RN(n)，求X(z)。 解
X ( z ) z n 1 z 1 z 2 z ( N 1)
n 0
N 1
1 z N 1 z 1
收敛域为0<|z|≤ ∞
第六章 变换与离散系统的频域分析
2. 右边序列是有始无终的序列，即n2→∞，如图6.2-2所示。 右边序列的Z变换为 X ( z ) x(n) z n
1
1 (a 1 z ) n
n 0
1 (a z ) 1 1 1 lim 1 | a z | 1 1 1 n 1 a z 1 az z 收敛域为： | z || a | za
1
n
第六章 变换与离散系统的频域分析
X1(z)与X2(z)相同，但X1(z)的收敛区是以|a|为半径
想抽样信号为
xs ( t ) x ( t ) T ( t )
n
x(nT ) (t nT )
式中, T为抽样间隔。对上式取双边拉氏变换，得到
X s ( S ) L{xs (t )} xs (t )est dt [ x(nT ) (t nT )est dt
第六章 变换与离散系统的频域分析 交换运算次序， 并利用冲激函数的抽样性， 得到抽样信号
X s (s)
令z=T或
n
x(nT )
(t nT )e st dt
(8.1-1)
n
snT x ( nT ) e
1 s 1nz ，引入新的复变量，式(8.1-1)可写为 T
X s ( s)
n
x(nT ) z
n
(8.1-2)
第六章 变换与离散系统的频域分析 式(8.1-2)是复变量Z的函数（T是常数）， 可写成
X ( z)
n
n x ( n ) z
x( 2) z 2 x( 1) z x(0) x(1) z 1 x(2) z 2
式(8.1-3)是双边Z变换的定义。 (8.1-3)
如果x(n)是因果序列，则式(6.1-3)的Z变换为
X ( z ) x ( n ) z n
n 0
(8.1-4)
x(0) x(1) z 1 x(2) z 2
第六章 变换与离散系统的频域分析
总结 ：
双边Z变换的定义式
n n0 a x1 (n) , 0 n 0
0 x2 (n) n a
n0 n0
分别求它们的Z变换及收敛域。
第六章 变换与离散系统的频域分析 解 （1）
X 1 ( z ) a n z n (az1 ) n
n 0 n 0
(1)0
≤ n1 ， X(z)只有z的负幂项,收敛区为
n1
0
n2
n
0< |z|≤≦
(2)n2 ≤ 0, X(z)只有z的正幂项，收敛区为 图 8.2-1 有限长序列示意图 0≤|z|<≦
（3）n1≤0,n2 ≥ 0,收敛区为 0<|z|<≦ (4)x(n)=aδ(n)
X(z)=a，0≤|z|≤∞
第六章 变换与离散系统的频域分析
第八章 Z变换与离散系统的Z域分析
8.1 Z变换的定义 8.2 Z变换收敛区及典型序列Z变换 8.3逆Z变换 Z变换的性质定理
8.4 Z变换的性质定理
8.5 离散系统的复频域分析
第六章 变换与离散系统的频域分析
8.1 Z变换的定义
Z变换的定义可由抽样信号的拉氏变换引出。连续信号的理
x(n)
若满足
即
lim
n
n
x ( n) z n 1
n
n n1
z lim
n
x(n) Rx1
n1
0
n
图8.2-2 右边序列示意图
右边序列的收敛域为一个圆外的部分：Rx1 | z | 当n1≥0时，X(z)的和式中没有z的正幂项，收敛域为
Rx1 | z |
第六章 变换与离散系统的频域分析
例8.2-3 已知序列
1 x(n) u(n), 求X(z)。 3
n
n
解
1 1 1 z n 3 1 n X ( z ) z lim n 1 1 n 0 3 1 z 3 1 1 | z | 1 1 (1 / 3) z 3
的圆外， 而X2(z)的收敛区是以|a|为半径的圆内。
此例说明，收敛区与x(n)有关，并且对于双边Z变
换，不同序列的ZT表示式有可能相同，但各自的收敛
区一定不同。 所以为了惟一确定 Z 变换所对应的序列， 双边 Z 变换除了要给出 X(z) 的表示式外，还必须标明
X(z)的收敛区。
第六章 变换与离散系统的频域分析
1. 有限长序列
x ( n) x ( n) 0 n1 n n2 其它
n X ( z ) x ( n ) z Z变换为 ： n n1
n2
X(z)是有限项级数，级数每项有界，则有限项之和亦有界。
x(n)
当x(n)有界时， n1≤n≤n2,Z变换的收敛区 取决于|z|-n，
1 (az1 ) n 1 1 lim | az | 1 1 1 n 1 az 1 az z 收敛域为： | z || a | za
第六章 变换与离散系统的频域分析
（2）
X 2 ( z)
n
n n 1 n ( a ) z ( a z ) n 1
X ( z)
n
n x ( n ) z
单边Z变换的定义式
X ( z ) x ( n) z n
n 0
只有当级数收敛时，Z变换才有意义 即：
n
| x(n) z
n
|
第六章 变换与离散系统的频域分析
8.2 Z变换收敛域及典型序列Z变换
对于任意给定的有界序列x(n),使z变换定义式级数收敛 的所有z值得集合，称为z变换X(z)是收敛域（region of convergence,简写为ROC） 例8.2-1 已知序列
例8.2-2 已知序列x(n)=RN(n)，求X(z)。 解
X ( z ) z n 1 z 1 z 2 z ( N 1)
n 0
N 1
1 z N 1 z 1
收敛域为0<|z|≤ ∞
第六章 变换与离散系统的频域分析
2. 右边序列是有始无终的序列，即n2→∞，如图6.2-2所示。 右边序列的Z变换为 X ( z ) x(n) z n
1
1 (a 1 z ) n
n 0
1 (a z ) 1 1 1 lim 1 | a z | 1 1 1 n 1 a z 1 az z 收敛域为： | z || a | za
1
n
第六章 变换与离散系统的频域分析
X1(z)与X2(z)相同，但X1(z)的收敛区是以|a|为半径
想抽样信号为
xs ( t ) x ( t ) T ( t )
n
x(nT ) (t nT )
式中, T为抽样间隔。对上式取双边拉氏变换，得到
X s ( S ) L{xs (t )} xs (t )est dt [ x(nT ) (t nT )est dt
第六章 变换与离散系统的频域分析 交换运算次序， 并利用冲激函数的抽样性， 得到抽样信号
X s (s)
令z=T或
n
x(nT )
(t nT )e st dt
(8.1-1)
n
snT x ( nT ) e
1 s 1nz ，引入新的复变量，式(8.1-1)可写为 T
X s ( s)
n
x(nT ) z
n
(8.1-2)
第六章 变换与离散系统的频域分析 式(8.1-2)是复变量Z的函数（T是常数）， 可写成
X ( z)
n
n x ( n ) z
x( 2) z 2 x( 1) z x(0) x(1) z 1 x(2) z 2
式(8.1-3)是双边Z变换的定义。 (8.1-3)
如果x(n)是因果序列，则式(6.1-3)的Z变换为
X ( z ) x ( n ) z n
n 0
(8.1-4)
x(0) x(1) z 1 x(2) z 2
第六章 变换与离散系统的频域分析
总结 ：
双边Z变换的定义式
n n0 a x1 (n) , 0 n 0
0 x2 (n) n a
n0 n0
分别求它们的Z变换及收敛域。
第六章 变换与离散系统的频域分析 解 （1）
X 1 ( z ) a n z n (az1 ) n
n 0 n 0
(1)0
≤ n1 ， X(z)只有z的负幂项,收敛区为
n1
0
n2
n
0< |z|≤≦
(2)n2 ≤ 0, X(z)只有z的正幂项，收敛区为 图 8.2-1 有限长序列示意图 0≤|z|<≦
（3）n1≤0,n2 ≥ 0,收敛区为 0<|z|<≦ (4)x(n)=aδ(n)
X(z)=a，0≤|z|≤∞
第六章 变换与离散系统的频域分析