信号与系统第八章Z变换

X s ( s)
n
x(nT ) z

n
(8.1-2)
第六章 变换与离散系统的频域分析 式(8.1-2)是复变量Z的函数（T是常数）， 可写成

X ( z)
n
n x ( n ) z
x( 2) z 2 x( 1) z x(0) x(1) z 1 x(2) z 2
例8.2-2 已知序列x(n)=RN(n)，求X(z)。 解
X ( z ) z n 1 z 1 z 2 z ( N 1)
n 0
N 1
1 z N 1 z 1
收敛域为0<|z|≤ ∞
第六章 变换与离散系统的频域分析
2. 右边序列是有始无终的序列，即n2→∞，如图6.2-2所示。 右边序列的Z变换为 X ( z ) x(n) z n
n n0 a x1 (n) , 0 n 0
0 x2 (n) n a
n0 n0
分别求它们的Z变换及收敛域。
第六章 变换与离散系统的频域分析 解 （1）
X 1 ( z ) a n z n (az1 ) n
n 0 n 0


1

1 (a 1 z ) n
n 0
1 (a z ) 1 1 1 lim 1 | a z | 1 1 1 n 1 a z 1 az z 收敛域为： | z || a | za
1
n
第六章 变换与离散系统的频域分析
X1(z)与X2(z)相同，但X1(z)的收敛区是以|a|为半径
的圆外， 而X2(z)的收敛区是以|a|为半径的圆内。
此例说明，收敛区与x(n)有关，并且对于双边Z变
换，不同序列的ZT表示式有可能相同，但各自的收敛
区一定不同。 所以为了惟一确定 Z 变换所对应的序列， 双边 Z 变换除了要给出 X(z) 的表示式外，还必须标明
X(z)的收敛区。
第六章 变换与离散系统的频域分析
第六章 变换与离散系统的频域分析
第八章 Z变换与离散系统的Z域分析
8.1 Z变换的定义 8.2 Z变换收敛区及典型序列Z变换 8.3逆Z变换 Z变换的性质定理
8.4 Z变换的性质定理
8.5 离散系统的复频域分析
第六章 变换与离散系统的频域分析
8.1 Z变换的定义
Z变换的定义可由抽样信号的拉氏变换引出。连续信号的理
1. 有限长序列
x ( n) x ( n) 0 n1 n n2 其它
n X ( z ) x ( n ) z Z变换为 ： n n1
n2
X(z)是有限项级数，级数每项有界，则有限项之和亦有界。
x(n)
当x(n)有界时， n1≤n≤n2,Z变换的收敛区 取决于|z|-n，
例8.2-3 已知序列
1 x(n) u(n), 求X(z)。 3
n
n
解
1 1 1 z n 3 1 n X ( z ) z lim n 1 1 n 0 3 1 z 3 1 1 | z | 1 1 (1 / 3) z 3
想抽样信号为
xs ( t ) x ( t ) T ( t )
n
x(nT ) (t nT )


式中, T为抽样间隔。对上式取双边拉氏变换，得到
X s ( S ) L{xs (t )} xs (t )est dt [ x(nT ) (t nT )est dt
X ( z)
n
n x ( n ) z

单边Z变换的定义式
X ( z ) x ( n) z n
n 0
只有当级数收敛时，Z变换才有意义 即：
n
| x(n) z

n
|
第六章 变换与离散系统的频域分析
8.2 Z变换收敛域及典型序列Z变换
对于任意给定的有界序列x(n),使z变换定义式级数收敛 的所有z值得集合，称为z变换X(z)是收敛域（region of convergence,简写为ROC） 例8.2-1 已知序列
式(8.1-3)是双边Z变换的定义。 (8.1-3)
如果x(n)是因果序列，则式(6.1-3)的Z变换为
X ( z ) x ( n ) z n
n 0

(8.1-4)
x(0) x(1) z 1 x(2) z 2
第六章 变换与离散系统的频域分析
总结 ：
双边Z变换的定义式
1 (az1 ) n 1 1 lim | az | 1 1 1 n 1 az 1 az z 收敛域为： | z || a | za
第六章 变换与离散系统的频域分析
（2）
X 2 ( z)
n
n n 1 n ( a ) z ( a z ) n 1

x(n)
若满足
即
lim
n
n
x ( n) z n 1
n
n n1
z lim
n
x(n) Rx1
n1
0
n
图8.2-2 右边序列示意图
右边序列的收敛域为一个圆外的部分：Rx1 | z | 当n1≥0时，X(z)的和式中没有z的正幂项，收敛域为
Rx1 | z |
第六章 变换与离散系统的频域分析
(1)0
≤ n1 ， X(z)只有z的负幂项,收敛区为
n1
0
n2
n
0< |z|≤≦
(2)n2 ≤ 0, X(z)只有z的正幂项，收敛区为 图 8.2-1 有限长序列示意图 0≤|z|<≦
（3）n1≤0,n2 ≥ 0,收敛区为 0<|z|<≦ (4)x(n)=aδ(n)
X(z)=a，0≤|z|≤∞
第六章 变换与离散系统的频域分析


第六章 变换与离散系统的频域分析 交换运算次序， 并利用冲激函数的抽样性， 得到抽样信号
X s (s)
令z=esT或
n


x(nT )


(t nT )e st dt
(8.1-1)
n
snT x ( nT ) e
1 s 1nz ，引入新的复变量，式(8.Biblioteka Baidu-1)可写为 T