数理方程与特殊函数教学大纲

数理方程与特殊函数
课程简介：本课程为电子与通信工程类专业的基础课。

学分2，周学时2。

本课程由“数学物理方程”与“特殊函数”两大部分组成。

“数学物理方程”讲授物理学的一个分支——数学与物理所涉及的偏微分方程。

主要介绍物理学中常见的三类偏微分方程及其有关的定解问题和这些问题的几种常用解法。

“特殊函数”讲授贝塞尔函数与勒让德多项式，以及如何利用这两种特殊函数来解决数学物理方程的一些定解问题的过程。

教学目的与基本要求：通过数理方程与特殊函数课程的学习，使学生系统的掌握工程数学中数学物理方法的知识和技能，培养学生分析问题解决问题的能力，为后续课程的学习及研究奠定重要的数学基础。

本课程的先修课程为：高等数学，复变函数，积分变换
主要教学方法：课堂讲授与课外习题。

第零章预备知识（4学时）
复习先修课程中相关的一些内容，主要包括：二阶线性常微分方程解的结构以及常系数情形解的求法；积分学中的一些重要公式和技巧；傅里叶（Fourier）分析；解析函数的极点及其留数；拉普拉斯（Laplace)变换。

第一章典型方程和定解条件的推导（４学时）
在讨论数学物理方程的求解之前，应建立描述某种物理过程的微分方程，再把一个特定物理现象所具有的具体条件用数学形式表达出来。

本章学习的重点和难点是了解数学物
理方程的推导及定解问题的确定过程，学会推导一些简单物理过程的微分方程并能确定某些具体物理现象的定解条件。

第一节基本方程的建立
通过几个不同的物理模型，推导出数学物理方程中的三种典型偏微分方程：波动方程、电磁场方程和热传导方程。

第二节初始条件与边界条件
方程决定了物理规律的数学形式，但具体的物理问题所具有的特定条件也应用数学形式表达出来。

用以说明某一具体物理现象的初始状态的条件称为初始条件，用以说明其边界上约束情况的条件称为边界条件。

第三节定解问题的提法
由于每一个物理过程都处在特定的条件之下，所以我们要求出偏微分方程适合某些特定条件的解。

初始条件和边界条件都称为定解条件。

把某个偏微分方程和相应的定解条件结合在一起，就构成了一个定解问题。

本章习题：3-5题
第二章分离变量法（8学时）
本章主要介绍在求解偏微分方程的定解问题时，如何设法把它们转化为常微分方程来求解。

本章学习的重点和难点是掌握分离变量法这一“化繁为简”的典型方法的实质，学会求解常见的定解问题。

第一节有界弦的自由振动
通过有界弦的自由振动问题，介绍用分离变量法求解齐次波动方程的全过程。

特别应提醒学生，随着定解条件的不同，固有值和固有函数不同，定解问题的解也会有不同的形式。

第二节有限长杆上的热传导
通过运用分离变量法求解热传导方程，总结分离变量法求解定解问题的一般步骤。

第三节圆域内的二维拉普拉斯方程的定解问题
通过运用分离变量法求解圆域内二维拉普拉斯方程的定解问题，指出针对不同的边界形状，应在不同的坐标系内求解定解问题才能获得事半功倍的效果。

第四节非齐次方程的解法
非齐次方程的定解问题，可分解为该方程对应的齐次方程在原定解问题下的解与该方程在零定解条件下的解的叠加。

利用分离变量法先求解齐次方程的定解问题后，再将获得的固有函数用于对非齐次方程在零定解条件下的解。

这种方法称为固有函数法。

第五节非齐次边界条件的处理
当边界条件为非齐次时，应利用函数代换，将边界条件化为齐次的，然后总结分离变量法求解定解问题的步骤。

本章习题：10-15题
第三章行波法与积分变换法（4学时）
求解无界域内的波动方程时，行波法是一个有效的方法。

而积分变换法则不受方程类型的限制，主要用于无界域，但有时也能用于有界域。

本章学习的重点和难点是熟练掌握积分变换法的基本解题方法和行波法在波动方程求解中的应用。

第一节一维波动方程的达朗倍尔公式
在一根无界的弦上的任意扰动，总是以左行波和右行波的形式向两端进行传播的。

即一维无界域上的波动方程的通解为左右行波函数之和。

通过定解条件即可定出行波函数的形式，从而获得该定解问题的解，称为达朗倍尔公式。

第二节三维波动方程的泊松公式
在研究交变电磁场等问题时，需要求解在三维无限空间里的波动方程。

则上述左右行波的通解形式通过适当的变形后仍然适用。

所得定解问题的解称为泊松公式。

第三节积分变换法举例
积分变换可将未知函数对自变量的求导运算消去，从而将常微分方程化成象函数的代数方程。

因此，在偏微分方程两端对某个自变量作积分变换就能消去未知函数对该自变量的求偏导运算，得到象函数的较为简单的微分方程。

本章习题：4-6题
第四章拉普拉斯方程的格林函数法（５学时）
拉普拉斯方程是描述静电场分布的重要方程。

格林函数法可以提供该方程的积分形式解。

本章学习的重点和难点是掌握拉普拉斯方程的基本特点，了解该方程积分形式解的推导过程，学会用格林函数法求解一些特殊区域内的拉普拉斯方程。

第一节拉普拉斯方程边值问题的提法
拉普拉斯方程的连续解叫做调和函数。

拉普拉斯方程的第一边值问题称为狄利克莱问题，而第二边值问题称为牛曼问题。

第二节格林公式
求拉普拉斯方程边值问题的解，就是要求在已知调和函数在边界上的值的情况下，推得调和函数在边界内每一点的值。

为此需要先从线面积分中的奥－高公式推导得到格林公式，并进一步得到调和函数的积分表达式。

第三节格林函数
调和函数的积分表达式表明，调和函数在某区域内的值可用该函数在区域边界上的值及其在边界上的法向导数来确定。

但这个表达式并不能用于求解狄利克莱问题或牛曼问题，因为他们分别只提供调和函数在边界上的值或者在边界上的法向导数。

若要求解狄氏问题，就要从调和函数的积分
表达式中消去“已知调和函数在边界上的法向导数”这一要求。

这就需要引进格林函数的概念。

第四节两种特殊区域的格林函数及狄氏问题的解
对于一般的区域，获得格林函数并不是容易的事。

但对某些特殊形状的区域，则可用初等的办法获得。

在求取半空间和球域的格林函数中，就可用非常直观的电像法。

由于格林函数仅依赖于区域，一旦求得该区域的格林函数，则该区域上的一切边界条件下的狄氏问题就能全部得到求解。

本章习题：5题
第五章贝塞尔函数（７学时）
在求解某些热传导方程的过程中，会遇到一种特殊类型的常微分方程，称为贝塞尔方程。

在一般情况下，这种方程的解不能用初等函数表出，从而引出一类特殊函数，称为贝塞尔函数。

本章学习的重点和难点是掌握贝塞尔函数的基本性质和递推公式，能将函数展开为贝塞尔函数的级数，从而顺利求解以贝塞尔函数为固有函数的定解问题。

第一节贝塞尔方程的引出
从求解圆盘瞬时温度的分布的过程中，引出贝塞尔方程。

第二节贝塞尔方程的求解
通过对贝塞尔方程的求解，得到n阶第一类贝塞尔函数
的级数表达式并构造出n阶第二类贝塞尔函数，最后得到贝塞尔方程的通解。

第三节当n为整数时贝塞尔方程的通解
证明无论n是否为整数，贝塞尔方程的通解都有相同的形式。

第四节贝塞尔函数的递推公式
不同阶的贝塞尔函数之间是有联系的，可用递推公式就反映了这种关系。

这意味着如果我们掌握了少数几阶贝塞尔函数的分布，就可以利用递推公式得到其他n阶的贝塞尔函数。

第五节函数展成贝塞尔函数的级数
利用贝塞尔函数的正交性，将函数展开成为贝塞尔函数的级数是求解以贝塞尔函数为固有函数的定解问题的必经步骤。

本章习题：6-10题
第六章勒让德多项式（4学时）
在球坐标系中求解拉普拉斯方程定解问题的过程中，会引出另一类特殊的常微分方程—勒让德方程，其解是另一类特殊函数—勒让德多项式。

本章学习的重点和难点是掌握勒让德多项式的基本特性，学会将函数展开为勒让德多项式的级数，从而求解以勒让德多项式为固有函数的定解问题。

第一节勒让德方程的引出
求解球坐标系内的拉普拉斯方程就可引出勒让德方程。

第二节勒让德方程的求解
求解的过程与求解贝塞尔方程类似。

第三节勒让德多项式
介绍勒让德多项式的特点。

第四节函数展成勒让德多项式的级数
利用勒让德多项式的正交性，将函数展开成为勒让德多项式的级数是求解以勒让德多项式为固有函数的定解问题的必经步骤。

本章习题：4-8题
教材：《数学物理方程与特殊函数》，东南大学数学系王元明，高等教育出版社，第三版，2004
参考书目：
1、郭玉翠．《数学物理方法第2版》．清华大学出版社．2006
2、梁昆淼．《数学物理方法第2版》．高等教育出版社．1996
3、王竹溪，郭敦仁．《特殊函数概论》北京大学出版社．2000。