弹塑性力学

ij 0 橡皮和铁盒之间无摩擦力 1 2 q, 3 q max 1 3 (1 2 ) q 1 2 2(1 )
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3-3 3 3 Tresca和Mises屈服条件
研究塑性变形和作用力之间的关系及在塑性变形后 物体内部应力分布规律的学科称为塑性力学。 塑性力学问题的特点（4点） 应力与应变之间的关系（本构关系）是非线性的， 其非线性性质与具体材料有关； 应力与应变之间没有一一对应的关系，它与加载 历史有关； 在变形体中有弹性变形区 和塑性变形区，而在求 解问题时需要找出弹性区和塑性区的分界线；
xy yz
zx
xy
G
1 2 E 1 2 0 0 E
yz zxG NhomakorabeaG
1 1 1 2 [ x 0 ] x 0 [(1 ) x ] 0 E E E ex 应变偏量分量 sx 1 2G 应力偏量分量
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不考虑材料强化性质
考虑材料强化性质
①理想弹塑性模型
E s ( s ) 韧性 ( s ) 材料
②线性强化弹塑性模型
( s ) E s E ( s ) ( s )
双线性强化模型
力学问题中各量间关系
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• 本构关系
–反映应力应变之间的联系 映 –材料的固有特性：每一种材料，应力、应变有 着固有的关系 –广义Hook定律：线性 –增量理论：非线性，应变与应力状态和变形历 增量理论 非线性 应变与应力状态和变形历 史有关，研究应力和应变增强之间的关系
E
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对于各向同性材料，根据实验结果可知，在小变形 的情况下， 正应力只与线应变有关； 剪应力只与剪应变有关； 应力的叠加原理是适用的
平面应力时的胡克定律
纯剪应力状态
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平面应力时的胡克定律
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纯剪应力状态 在纯剪应力状态下，由实验 在 剪 力状 实 结果可知，在线弹性阶段应 力与应变的关系
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屈服条件的发展：
伽利略（Galilieo）：最大主应力 圣维兰（Saint-Venant）：最大主应变能 实验否定： 各向等压状态，压应力可以远远超过材 料屈服极限，但并未进入塑性状态 贝尔特拉密（Beltrami B lt i）：弹性能达到某一极限值 （包括形状变形能和体积变形能），与 实验结果也不一致 1864年，特雷斯卡（Tresca），法国——最大剪应力 1913年，米泽斯（Von-Mises），德国——最大变形能
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Tresca屈服条件
1864年，H. Tresca (法国) 在做了一系列金属挤压实 验的基础上，发现了在变形的金属表面有很细的痕 纹，而这些痕纹的方向很接近最大剪应力的方向。 金属的塑性变形是由剪应力引起晶体滑移而形成的 1 3 k 当 1 2 3 时 max
2
如果不知道主应力的大小和次序
1 2 2k , 2 3 2k , 3 1 2k
只要有一个式子成立，材料便已进入屈服状态
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Tresca 屈服条件的几何表示： 通过坐标原点 o 的等倾面— 平面 平面上的屈服曲线为正六边形
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需要区分是加载过程还是卸载过程，在塑性区， 加载过程中要使用塑性的应力应变关系，而卸 载过程中则应使用广义胡克定律。 由此可见，塑性力学要比弹性力学更为复杂，问 题求解更为困难，因而更需要和实验相联系。
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屈服条件
屈服条件（塑性条件）：它是判断材料处于弹性阶段还是 处于塑性阶段的准则 简单应力状态（单向）
s
压缩
一般认为是由多晶材料晶界间的残余应力引起的。 Bauschinger效应使材料具有各向异性性质。
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真实应力和真实应变
塑性变形较大时，σε曲线不能真正反映 加载和变形的状态。 例如颈缩阶段， σ-ε 曲线上试件的应变增 加而应力反而减小， 与实际情况不符 颈缩后，由于局部的实际横截面积的减小，局部 拉应力仍在增加。
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P P 真实应力 T A A0
材料不可压缩
名义应力
A—瞬时截面积 l—瞬时杆长
A0l0 Al P Pl l T 1 1 A A0l0 l ε—名义应变
？ 真实应力－应变曲线
名义应力－应变曲线
n
l dl li l ~ 对数应变 ln ln(1 ) l0 l l0 i 1 li
T e (1 )
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~
弹塑性力学中常用的简化力学模型
对于不同的材料，不同的应用领域，应该采用 不同的变形体模型。 选取力学模型的原则 符合材料的实际情况 反映结构或者构件中真实的应力、应变情况 数学表达时足够简单 求解具体问题，不会出现较大的数学困难
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应力空间：以应力为坐标轴的空间
在应力空间中的每一点都代表一个应力状态 应力空间中，应力变化曲线称为应力路径
在应力空间中，屈服条件将表示一个曲面。
（弹性区和塑性区的分界面）
f ( ij ) 0
应力点位于曲面内 f<0 应力点位于曲面上 f=0 弹性状态 塑性状态
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A (n 1) A (n 0)

以上五种模型中，理想弹塑性力学模型、理想刚 塑性力学模型、幂强化力学模型应用最为广泛。 ★ 其它力学模型 等向强化模型，随动强化模型
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3-2 3 2 广义胡克定律
1678 678年，R. . Hooke oo e发表了固体受力后应力和应变关系的定 律—胡克定律。“有多大伸长，就有多大力” 材料拉伸曲线在应力小于弹性比例极限时应力和应 变之间关系是线弹性的 应力与应变之间的关系可以用虎克定律表示
s 弹性状态 s 塑性状态
复杂应力状态（二、三向）

f ( ij ) 0
一点的应力状态由6个分量确定 不能选取某一个应力分量的数值作为判断材料是否进入 塑性状态的标准 应该考虑这些应力分量对于材料进入塑性状态的影响 采用应力或者应力组合作为判读是否进入塑性的准则
各向同性体的胡克定律还可以用应变表示应力。 xy G xy x 2G x
y 2G y z 2G z yz G yz zx G zx
E (1 )(1 2 ) 拉梅（Lamé） 弹性常数
1 2 E
2
平面
2
2
v
3
o
o’
1
o
1
3
3
1
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平面应力状态： 3 0
1 2k 2 2k 1 2 2k
3 0平面 2
2k
o
2k
1
k值的确定： 单向拉伸实验 1 s , 2 3 0 纯剪切实验 1 s , 2 0, 3 s
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1 1 1 ex sx ey s y ez sz 2G 2G 2G yz zx ex e y ez xy 1 s x s y s z 2 xy 2 yz 2 zx 2G
主应力偏量和主 应变偏量表示：
e1 e2 e3 1 s1 s2 s3 2G
xy yz
zx
xy
G
yz
G
zx
G
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1 2 x y z ( x y z ) E 3 0 3 0
体应变 体应力
广义Hook 定律的表达
1 x [(1 ) x ] E 1 y [(1 ) y ] E 1 z [(1 ) z ] E
第3章 弹性与塑性应力应变关系
概述 广义胡克定律 Tresca和Mises屈服条件 塑性应力应变关系 Drucker公设
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3-1 3 1 概述
• 静力平衡条件和几何位移条件都与物体的材料特性无关。
体力和面力 本构关系
位移（3） 几何方程 6个 应变（6）
平衡方程 3个 应力（6）
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4
单向拉伸应力 应变曲线 单向拉伸应力--应变曲线
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5
包辛格Bauschinger效应： g 效应： J.Bauschinger(德国)
材料按弹性规律进行卸载
s s s
s
拉伸
具有强化性质的材料随着 塑性变形的增加，屈服极 限在一个方向上提高，而 在相反方向上降低
s 2 s
k
s
2
k s
多数材料，近似成立
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3 K
体积胡克定律
E K 3(1 2 )
体积弹性模量
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例题3-1
图示橡皮立方体放在同样大小的铁盒内，其上用铁盖封闭， 铁盖上受压力q的作用。设铁盖与铁盒可以作为刚体看待， 假设橡皮与铁盒之间无摩擦阻力。 试求铁盒内侧面受的压力，橡皮块的体积应变和橡皮块中 最大的剪应力。 q z q