山东新教材第四章数列的概念第二课时导学案
选择必修第二册 第四章 4.1 数列的概念(第2课时) 课件(共21张PPT)
1
,
(+1)
1
; 3
1×2
− 2 =
以上各式累加，得
1
1
− 1 =
+
+
1
(
−1
1
− )
1×2
=1
2×3
1
− .
1
; 4
2×3
1
+
3×4
∵a1＝－1， − 1 = 1
⋯+
1
− ,
当n=1时，a1＝－1，符合上式.
− 3 =
1
(−1)
∴ =
1
; ⋯ ;
3×4
1
2
1
2
− −1 =
1
3
1
3
1
.
(−1)
1
4
= (1 − ) + ( − ) + ( − ) + ⋯ +
1
− (
≥ 2).
∴数列{an}的通项公式为 =
1
− .
初试身手
3.设数列{an}中，a1＝1，an＝(1 −
1
) (n≥2)，求数列{an}的通项公式an.
−1
解： ∵a1＝1，an＝(1 − 1 )−1 (n≥2)，
=2n.
并且当n=1时，a1=2×1=2依然成立.
∴{an} 的通项公式是an=2n.
初试身手
2.已知数列{an}的前几项和公式为Sn =-n2+5 ，求{an}的通项公式.
解：当n=1时，a1=S1=-1+5=4;
当n≥2时， an=Sn-Sn-1=-(n2+5)-[-(n-1)2+5]=-2n+1.
《数列的概念》 导学案
《数列的概念》导学案一、学习目标1、理解数列的概念，了解数列的分类。
2、掌握数列的通项公式，能根据通项公式写出数列的项。
3、理解数列的递推公式，能根据递推公式写出数列的前几项。
二、学习重点1、数列的概念及数列的通项公式。
2、利用数列的通项公式求数列的项。
三、学习难点1、根据数列的前几项归纳出数列的通项公式。
2、理解数列的递推公式，并能运用递推公式求出数列的项。
四、知识梳理（一）数列的定义按一定次序排列的一列数叫做数列。
数列中的每一个数都叫做这个数列的项。
排在第一位的数称为这个数列的第 1 项（通常也叫做首项），排在第二位的数称为这个数列的第 2 项，……，排在第 n 位的数称为这个数列的第 n 项。
（二）数列的分类1、按项数分类：（1）有穷数列：项数有限的数列。
（2）无穷数列：项数无限的数列。
2、按项的大小变化分类：（1）递增数列：从第 2 项起，每一项都大于它的前一项的数列。
（2）递减数列：从第 2 项起，每一项都小于它的前一项的数列。
（3）常数列：各项都相等的数列。
（4）摆动数列：从第 2 项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列。
（三）数列的通项公式如果数列\（＼｛a_{n}＼｝＼）的第\（n\）项\（a_{n}＼）与\（n\）之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式。
（四）数列的递推公式如果已知数列\（＼｛a_{n}＼｝＼）的第 1 项（或前几项），且从第二项（或某一项）开始的任一项\（a_{n}＼）与它的前一项\（a_{n 1}＼）（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式。
五、典型例题例 1：写出下面数列的一个通项公式，使它的前 4 项分别是下列各数：（1）1，3，5，7；（2）2，4，6，8；（3）1，4，9，16。
解：（1）观察数列 1，3，5，7，发现各项都是奇数，且都是从 1开始的连续奇数，所以通项公式可以是\（a_{n} ＝ 2n 1\）。
数列的概念第二课时教学设计-高中数学人教A版2019选择性必修第二册教案
数列的概念第2课时（一）教学内容数列的概念（二）教学目标1.了解数列递推公式的定义，能根据数列的递推公式求该数列的项.了解数列前n项和公式的定义，掌握通项公式与前n项和公式的关系，能根据数列前n项和公式求该数列的通项公式.2.经历递推公式概念的形成过程，提高观察、归纳、猜想的能力，体会一个数列递推公式与通项公式的区别与联系.3.体验“汉诺塔游戏”的过程和探索的乐趣，感悟数列递推公式引入的必要性，体会数学的应用价值，提高数学学习的兴趣.（三）教学重点及难点教学重点：数列的递推公式与前n项和公式的定义.教学难点：数列递推公式的意义和价值.师生活动：教师引导学生先数各图中着色三角形的个数，从而得到数列的前四项：1，3，9，27.教师启发学生：求这个数列的通项公式，就要找项与序号之间的关系.学生发现第1项是03，第2项是13，第3项23，第4项是33.这些数都是3的指数幂，指数为序号-1.因此，学生得出这个数列的一个通项公式就是13-=n n a .追问：你能用数学语言归纳出后一项与前一项的关系吗？师生活动：教师给学生以提示：当不能明显看出数列的项的取值规律时，我们可以尝试通过运算来寻找规律．如依次取出数列的某一项，减去或除以它的前一项，再对差或商加以观察.教师强调这是一种通过运算发现规律的思想，在数列的研究中有重要作用.学生按照教师的提示，发现这个数列的后一项等于前一项的3倍.教师接着帮助学生通过图形解释这个问题：每个图形中的着色三角形都在下一个图形中分裂为３个着色小三角形和１个无色小三角形．于是从第２个图形开始，每个图形中着色三角形的个数都是前一个图形中着色三角形个数的３倍．学生接着把发现的规律用数学语言归纳出来，得出13-=n n a a .教师提醒学生注意：13-=n n a a 这个式子是在n ≥2的前提下才成立的，n =1的情况我们只能单独讨论.于是写成⎩⎨⎧≥==-23111n a n a n n ，，.教师总结：同样一个数列，从两个不同的角度去观察，就发现了不同的规律.通项公式反映的是项与序号之间的关系.而13-=n n a a （n ≥2）这个式子反映的是后一项与前一项之间的关系.根据这个式子，我们已知第1项就能推出第2项，已知第2项就能推出第3项，以此类推.学习新知问题3什么是一个数列的递推公式？师生活动：教师呈现数列递推公式的定义：“如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式.”学生根据前面对递推公式的认识，对教师呈现的数列递推公式的定义进行理解.教师提醒学生：知道了首项和递推公式，就能求出该数列的每一项了.追问（1）：相邻多项之间的关系能用递推公式表示吗？师生活动：教师提到大名鼎鼎的斐波那契数列1，1，2，3，5，8，13，21，34，…引导学生通过观察，发现这个数列第n 项等于它的前一项（第n -1项）加上再往前一项（第n -2项）.学生认识到这其实就是相邻三项之间的关系：21--+=n n n a a a .教师提醒学生注意：因为下标最小是1，所以这里n ≥3.这个数列的递推公式反映的是相邻三项之间的关系.教师向学生介绍：这个数列由意大利数学家斐波那契于1202年提出，它有很多有趣的性质.追问（2）：一个数列的通项公式和递推公式有何联系与区别？师生活动：学生将通项公式和递推公式相比较，发现和上节课学习的通项公式一样，递推公式也是数列的一种表示方法.只不过通项公式反映的是项与序号之间的对应关系，而递推公式反映的则是相邻两项或多项之间的关系.学生在教师的引导下认识到通项公式和递推公式各有利弊，在数列的研究中都发挥着巨大的作用.例1已知数列{}n a 的首项为11=a ，递推公式为111-+=n n a a （n ≥2），写出这个数列的前5项.师生活动：教师引导学生根据递推公式，令n =2，就得到2a .同理，于解释中国传统文化中的太极衍生原理．数列中的每一项，都代表太极衍生过程中曾经经历过的两仪数量总和，是中国传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题．其前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，…，则下列说法正确的是()A．此数列的第20项是200B．此数列的第19项是200C．此数列偶数项的通项公式为a2n＝2n2D．此数列的前n项和为Sn＝n(n－1)解析：观察此数列，偶数项通项公式为a2n＝2n2，奇数项是后一项减去后一项的项数，a2n－1＝a2n－2n，由此可得a20＝2×102＝200，A正确，C正确；a19＝a20－20＝180，B错误；Sn＝n(n－1)＝n2－n是一个等差数列的前n项和，而题中数列不是等差数列，不可能有Sn＝n(n－1)，D错误．故选A、C．[典例2](多选)我国天文学和数学著作《周髀算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气的晷长损益相同(晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度)．二十四节气及晷长变化如图所示，相邻两个节气晷长减少或增加的量相同，周而复始．已知每年冬至的晷长为一丈三尺五寸，夏至的晷长为一尺五寸(一丈等于十尺，一尺等于十寸)，则下列选项正确的有()A．相邻两个节气晷长减少或增加的量为一尺B．春分和秋分两个节气的晷长相同C．立冬的晷长为一丈五寸D．立春的晷长比立秋的晷长短解析：由题意可知夏至到冬至的晷长构成等差数列{an}，其中a1＝15寸，a13＝135寸，公差为d寸，则135＝15＋12d，解得d＝10寸，同理可知由冬至到夏至的晷长构成等差数列{bn}，首项b1＝135，末项b13＝15，公差d＝－10(单位都为寸)．故A正确；∵春分的晷长为b7，∴b7＝b1＋6d＝135－60＝75，∵秋分的晷长为a7，∴a7＝a1＋6d＝15＋60＝75，故B正确；∵立冬的晷长为a10，∴a10＝a1＋9d＝15＋90＝105，即立冬的晷长为一丈五寸，故C正确；∵立春的晷长，立秋的晷长分别为b4，a4，∴a4＝a1＋3d＝15＋30＝45，b4＝b1＋3d＝135－30＝105，∴b4>a4，故D错误．故选A、B、C．。
《数列的概念》教学设计新部编版(张伟)
北京市中小学第一届 “京教杯”青年教师教学基本功展示活动
教学设计
学校：北京市十一学校
年级：
高一
学科：
数学
姓名：
张伟
2016 年 9 月
育人犹如春风化雨，授业不惜蜡炬成灰
精品教学教案设计 | Excellent teaching plan
数列的概念
一、 指导思想与理论依据
皮亚杰的建构主义理论认为，知识不是通过教师传授得到，而必须由主体通 过与周围环境的相互作用实现其自我建构． 本节课是一节概念课， 教师作为教学 过程的组织者和意义构建的促进者， 希望能够通过不断创设情境， 让学生接触数 列这一概念的外延， 包括有穷数列和无穷数列， 遵循一定的规律生成的数列和随 机生成的数列等等， 从而让学生从这些实例中寻找共同特征， 抽象、 概括数列的 概念，并对概念的内涵有产生较为深刻的理解， 从而实现数列这一概念的自我建 构．
本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本 本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本 本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本本
育人犹如春风化雨，授业不惜蜡炬成灰
精品教学教案设计 | Excellent teaching plan
另外，由于学习者的学习能力较强，基本上可以通过课下思考与讨论抽象、 归纳出一些特殊数列的通项公式， 所以在本节课的设计中， 教师并没有将这部分 内容作为教学重点呈现， 而是希望将更多的精力放在加深学生对于数列这一概念 的理解这一教学目标之上．
三、 教学目标与重点、难点设计
1. 教学目标 A. 知识与技能： （ 1）理解数列的概念与表示，对于一个给定数列，能够选择恰当的方法将其表 示出来； （ 2）理解“集合”、“数列”、“函数”这三个概念之间的区别与联系 . B. 过程与方法： （ 1）让学生通过对于实例的观察与分析，提炼它们共同的本质的东西，从而亲 历数列概念的构建过程； （ 2）通过比较“数列”与“函数”这两个概念的异同，培养学生类比、联想、 迁移的能力，并在数列的学习中继续渗透函数思想这一贯穿于高中数学始终的基 本思想． C. 情感、态度和价值观 （ 1）体会数列与现实生活中一系列问题的联系，感受数学既是对于现实生活的 高度抽象，又应用于现实问题的求解这一学科特征，培养学生的数学建模能力； （ 2）在不断发现问题、思考问题、解决问题的过程中体验思考的乐趣，感受成 功的喜悦，增强学习的兴趣； （ 3）通过体会“离散”与“连续”的辩证关系，感受数学中的哲学之美． 2. 教学重点和难点 A. 教学重点：数列的概念，“集合”、“数列”、“函数”三个概念间的联系与区别； B. 教学难点：数列的函数特性带来的研究方法上的共性，数列的特殊性带来的 研究方法上的不同（递推关系） ．
数列概念教案
数列概念教案教案标题：数列概念教案教学目标：1. 理解数列的概念和特点；2. 能够识别并分析不同类型的数列；3. 能够利用数列的特点解决实际问题；4. 培养学生的逻辑思维和数学推理能力。
教学准备：1. PowerPoint演示文稿；2. 白板、黑板和彩色粉笔；3. 学生练习册和教材；4. 数列相关的练习题和实际问题。
教学步骤：引入活动：1. 利用一个简单的实例引导学生思考数列的概念，例如：1，3，5，7，9...请学生观察并尝试找出规律。
2. 引导学生讨论数列的特点，例如：有序排列、有规律、按照一定的规则增减等。
概念讲解：1. 通过PPT演示，向学生介绍数列的定义和表示方法。
2. 解释等差数列和等比数列的概念，并举例说明。
示范与练习：1. 在黑板上给出几个数列，让学生根据规律补充下一个数，并解释规律。
2. 给学生发放练习册，让他们完成一些基本的数列练习题。
拓展与应用：1. 引导学生思考数列在实际生活中的应用，例如：金融、物理、计算机等领域。
2. 给学生提供一些实际问题，让他们利用数列的概念解决问题。
总结与评价：1. 总结数列的概念和特点，并强调数列在数学学科中的重要性。
2. 对学生的表现进行评价，鼓励他们在课后继续练习和探索数列的应用。
教学延伸：1. 鼓励学生自主学习更多关于数列的知识，并尝试解决更复杂的数列问题。
2. 提供更多数列的应用实例，让学生进一步理解数列的实际价值。
教学反思：1. 教师应根据学生的理解情况，调整教学步骤和内容的难易程度。
2. 教师应及时纠正学生的错误理解，并鼓励他们多思考、多实践。
苏教版高中数学必修5-2.1《数列(第2课时)》导学案
数列（第2课时）【学习导航】知识网络学习要求1．进一步理解数列概念，了解数列的分类；2．理解数列和函数之间的关系，会用列表法和图象法表示数列；3．了解递推数列的概念。
【自学评价】1．数列的一般形式： ,,,,,321n a a a a ，或简记为{}n a ，其中n a 是数列的第n 项。
2．数列的分类：按n a 的增减分类：（i ）递增数列：n N *∈任意，总有1n n a a +>；（ii ）递减数列：n N *∈任意，总有1n n a a +<；(iii) 摆动数列：l N *∈任意k,，有1k k a a +>，也有1l l a a +<，例如1,2,4,6,8,---；（iv ）常数列：n N *∈任意，1n n a a +=；（v ）有界数列：存在正整数M 使||n a M ≤；（vi ）无界数列：对任意正整数M 总存在n a 使||n a M >。
3．递推数列：如果已知数列{}n a 的前一项（或前几项），且任意一项n a 与它的前一项1n a -（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，则这个数列叫递推数列，这个公式叫这个数列的递推公式。
递推公式是给出数列的一种重要方式。
【精典范例】【例1】写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：（1）222221314151,,,2345----； （2）12341,2,3,42345； （3）9，99，999，9999。
【解】（1）这个数列的前4项的分母都是序号加上1，分子都是分母的平方减去1，所以它的一个通项公式是：2(1)11n n a n +-=+； （2）这个数列的前4项每一项都可以分为整数部分n 与分数部分1n n +的和，所以它的一个通项公式是：1n n a n n =++； （3）这个数列的前4项每一项加1后变成10,100,1000,10000，所以它的一个通项公式是：101n n a =-。
数列的导学案
数列的导学案一、引言数列是数学中常见的概念，它在各个领域都有广泛的应用。
本导学案将带领大家系统了解数列的定义、性质以及求解方法，以便能够更好地应用数列解决实际问题。
二、数列的定义1. 数列的概念：数列是按照一定规律排列的一系列数的集合。
其中，每个数称为数列的项，用a₁、a₂、a₃……表示。
2. 等差数列：当数列中任意两个相邻的数之差都相等时，这个数列称为等差数列。
公差是指等差数列中任意两项之间的差。
等差数列的通项公式为aₙ = a₁ + (n - 1)d。
例如，1, 3, 5, 7, 9就是一个等差数列，其公差d为2，其通项公式为aₙ = 1 + (n - 1)2。
3. 等比数列：当数列中任意两个相邻的数之比都相等时，这个数列称为等比数列。
公比是指等比数列中任意两项之比。
等比数列的通项公式为aₙ = a₁ * r^(n - 1)。
例如，1, 2, 4, 8, 16就是一个等比数列，其公比r为2，其通项公式为aₙ = 1 * 2^(n - 1)。
三、数列的性质1. 数列的有界性：数列可能是有界的，也可能是无界的。
当数列的所有项都不超过一个定值时，称其为有上界的数列；当数列的所有项都不小于一个定值时，称其为有下界的数列。
同时，有界数列中必然存在最大值和最小值。
2. 数列的单调性：数列可以是递增的，也可以是递减的。
当数列中任意两项的大小关系保持不变时，称其为单调数列。
3. 数列的递推关系：数列中的每一项都可以通过前一项来确定。
通过发现数列中项与项之间的关系，可以得到递归公式或递推关系式。
四、常见数列的求和方法1. 等差数列的求和：等差数列的求和可以通过求出数列的首项、末项和项数，利用求和公式来计算。
等差数列的求和公式为Sn =(n/2)(a₁ + aₙ)。
2. 等比数列的求和：等比数列的求和可以通过求出数列的首项、末项和项数，利用求和公式来计算。
等比数列的求和公式为Sn = a₁(1 - r^n) / (1 - r)，其中r不等于1。
导学案028数列的概念与简单表示方法
数列的概念与简单表示方法考纲要求了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式).考情分析1.本部分主要考查数列的基本概念及表示方法、通项公式的求法以及数列的性质．2.题型多以选择、填空题为主，有时也作为解答题的一问，难度不大.教学过程基础梳理一、数列的定义按照排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的．排在第一位的数称为这个数列的第1项(通常也叫做)．二、数列的分类三、数列与函数的关系1．从函数观点看，数列可以看成是以为定义域的函数an＝f(n)，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列．2．数列同函数一样有解析法、图象法、列表法三种表示方法．四、数列的通项公式如果数列{an}的第n项an与之间的关系可以用一个公式an＝f(n)来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．五、数列的递推公式如果已知数列{an }的首项(或前几项)，且 与 (n ≥2)(或前几项)间的关系可用一个公式来表示，那么这个公式叫数列的递推公式．双基自测1．(教材习题改编)数列1，23，35，47，59…的一个通项公式是 ( )A ．a n ＝n 2n ＋1 B ．a n ＝n2n －1C ．a n ＝n 2n －3D ．a n ＝n2n ＋32．已知数列{an }的通项公式为an ＝n ＋1，则这个数列是( ) A ．递增数列B ．递减数列C ．常数列D ．摆动数列3．在数列{an }中，an ＋1＝an ＋2＋an ，a 1＝2，a 2＝5， 则a 6的值是( )A ．－3B ．－11C ．－5D ．194．(教材习题改编)已知数列{a n }的通项公式是a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2·3n －1(n 为偶数)，2n －5(n 为奇数)则a 4·a 3＝________.5．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝pn ＋q n ，且a 2＝32a 4＝32，则a 8＝________.典例分析考点一、由数列的前几项求数列的通项公式[例1] (2012·天津南开中学月考)下列可作为数列{a n }：1,2,1,2,1,2…的通项公式的是 ( )A ．a n ＝1B ．a n ＝(－1)n ＋12C ．a n ＝2－|sin n π2|D ．a n ＝(－1)n －1＋32变式1．(2012·绍兴模拟)已知数列2，7，10，13，4，…，则27是该数列的 ( )A ．第7项B ．第8项C ．第9项D ．第10项变式2．写出下面各数列的一个通项公式：(1)3,5,7,9，…；(2)12，34，78，1516，3132(3)－1，32，－13，34，－15，36，….1.根据数列的前几项求它的一个通项公式，要注意观察每 一项的特点，可使用添项、还原、分割等办法，转化为一些常见数列的通项公式来求．2.根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是不完全归纳法，它蕴含着“从特殊到一般”的思想，由不完全归纳 得出的结果是不可靠的，要注意代值检验，对于正负符号变化，可用(－1)n 或(－1)n ＋1来调整．3.观察、分析问题的特点是最重要的，观察要有目的，观察出项与n 之间的关系、规律，利用我们熟知的一些基本数列(如自然数列、奇偶数列等)建立合理的联 想、转换而使问题得到解决.考点二、由数列的前n 项和a n n S 求[例2] (2011·四川高考)数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝1，a n ＋1＝3S n (n ≥1)，则a 6＝( )A ．3×44B ．3×44＋1C ．45D ．45＋1变式3．已知数列{an }的前n 项和为Sn ，求{an }的通项公式．(1)Sn ＝2n 2－3n ； (2)Sn ＝4n ＋b .数列的通项a n 与前n 项和S n 的关系是：a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2.此公式经常使用，应引起重视．当n ＝1时，S 1若适合a n ＝S n －S n －1，则n ＝1的情况可并入n ≥2时的通项a n 中；当n ＝1时，S 1若不适合a n ＝S n －S n －1，则用分段函数的形式表示.考点三、由数列的递推公式求通项公式[例3] (2012·郑州质检)已知数列{a n }满足a 1＝33，a n ＋1－a nn＝2，则an n 的最小值为( ) A ．9.5 B ．10.6 C ．10.5D ．9.6变式4.若本例条件变为：数列{an }满足下列条件：a 1＝1，且对于任意的正整数n (n ≥2，n ∈N*)，有2an ＝2nan －1，则a 100的值为________．变式5．(2012·沈阳模拟)已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝a n －1－1n (n －1) (n ≥2)，则a 16＝________.变式6.．分别求出满足下列条件的数列的通项公式．(1)a 1＝0，a n ＋1＝a n ＋(2n －1)(n ∈N *)； (2)a 1＝1，a n ＝nn －1n －1(n ≥2，n ∈N *)．由a 1和递推关系求通项公式，可观察其特点，一般常利用“化归法”、“累加法”、“累乘法”等．1．对于形如“an ＋1＝an ＋f (n )”型的递推关系式求通项公式，只要f (n )可求和，便可利用累加的方法． 2．对于形如“a n ＋1a n＝g (n )”型的递推关系式求通项公式，只要g (n ) 可求积，便可利用累积或迭代的方法．3．对于形如“a n ＋1＝Aa n ＋B (A ≠0且A ≠1)”型递推关系求通项公 式，可用迭代法或构造等比数列法．[考题范例](2011·江西高考)已知数列{an }的前n 项和Sn 满足：S n ＋S m＝S m n ，且a 1＝1.那么a 10＝( )A ．1B ．9C ．10D ．55[高手点拨]本题欲求a 10，则要先求an ，而题目提供的是Sn 的关系式，联想到an 与Sn 的关系，则只要求出Sn 即可．本题提供关系式表面上显得复杂，但考虑到我们需要的，只要令m ＝1，问题便可轻松解决．一个联系数列是一种特殊的函数，即数列是一个定义在非零自然数集或其子集上的函数，当自变量依次从小到大取值时所对应的一列函数值，就是数列．因此，在研究函数问题时既要注意函数方法的普遍性，又要考虑数列方法的特殊性． 两个区别(1)若组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的两个数列，这有别于集合中元素的无序性．(2)数列中的数可以重复出现，而集合中的元素不能重复出现． 三种方法由递推式求通项a n 的方法： (1)a n ＋1－a n ＝f (n )型，采用叠加法； (2)a n ＋1a n＝f (n )型，采用叠乘法； (3)a n ＋1＝pa n ＋q (p ≠0,1，q ≠0)型，采用待定系数法转化为等比数列解决．本节检测1．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2(a n －1)，则a 2等于( ) A ．4 B ．2 C ．1D ．－22．已知数列{a n }满足a 1>0，a n ＋1a n ＝12，则数列{a n }是( )A ．递增数列B ．递减数列C ．常数列D ．不确定3．下面有四个命题：①如果已知一个数列的递推公式及其首项，那么可以写出这个数列的任何一项； ②数列23，34，45，56，…的通项公式是a n ＝nn ＋1；③数列的图象是一群孤立的点；④数列1，－1,1，－1，…与数列－1,1，－1,1，…是同一数列．其中正确命题的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．44．数列{a n }中，a n ＝－2n 2＋29n ＋3，则此数列最大项的值是( ) A ．103 B ．10818C ．10318D ．1085．数列54，109，17a ＋b ，a －b 25，…中，有序数对(a ，b )可以是__________． 6．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝(n ＋2)(78)n ，则当a n 取得最大值时，n 等于________．自我反思。
数列概念教案
数列概念教案
教学目标
理解数列的概念及其特点
掌握数列的表示方法和求解方法
能够利用数列的性质进行问题求解
教学内容
1.数列的定义
数列是由一系列有序的数按照一定规律排列而成的，可以用一个公式或者递归关系来表示。
2.数列的表示方法
通项公式：用一个表达式表示数列的第n项。
递推公式：通过前一项或多个前项与常数之间的关系来表示数列的第n项。
3.数列的分类
根据递增或递减规律分为等差数列和等比数列。
等差数列：数列中相邻两项之差保持恒定。
等比数列：数列中相邻两项之比保持恒定。
根据首项和公差或公比可以确定一个数列。
4.数列的性质和运算
数列的和：根据数列的特点，可以求出数列的部分和或无穷级数的和。
数列的乘积：对于等比数列，可以求出数列的部分乘积或无穷乘积。
教学步骤
步骤1：引入数列的概念
通过一个生活中的例子，引导学生认识数列的概念和特点。
步骤2：数列的表示方法
介绍数列的通项公式和递推公式，并通过具体的数列示例进行说明和计算。
步骤3：数列的分类
分别介绍等差数列和等比数列的定义、特点和常见表示方法。
步骤4：数列的性质和运算
介绍数列的和与乘积的计算方法，并通过实例进行演示。
教学资源
PowerPoint演示文稿
数列练习题集
教学评估
布置数列练习题，检查学生对数列概念的理解和运用能力。
利用小组讨论或个人报告的方式，要求学生运用数列的性质解决一些实际问题。
扩展阅读
《高中数学数列》（教材）
《数列与数学归纳法》（参考书）。
人教版高中数学《数列》(两课时)教学设计新部编版
教师学科教案[ 20 – 20 学年度第__学期]任教学科：_____________任教年级：_____________任教老师：_____________xx市实验学校3.1《数列》(两课时)教学设计一、教材分析1.在教材中的地位与作用“数列”是中学数学的重要内容之一。
不仅在历年的高考中占有一定的比重，而且在实际生活中也经常要用到数列的一些知识。
例如：储蓄、分期付款中的有关计算就要用到数列知识。
本节的内容，一方面是前面函数知识的延伸及应用，可以使学生加深对函数概念的理解；另一方面也可以为后面学习等差数列、等比数列的通项、求和等知识打下铺垫。
所以本节在教材中起到了“承上启下”的作用。
本节的学习中，要经常观察、分析、归纳、猜想，还要综合前面的知识解决数列中的一些问题，有助于学生数学能力的提高。
2．内容与要求本节主要介绍数列的概念、分类，以及给出数列的两种方法。
关于数列的概念，先给出了一个描述性定义，尔后又在此基础上，给出了一个在函数观点下的定义，指出：“从函数的观点看，数列可以看作是一个定义域为正整数集(或它的有限子集)的函数当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值”。
这样就可以将数列与函数联系起来，不仅可以加深对数列概念的理解，而且有助于运用函数的观点去研究数列。
关于给出数列的两种方法，其中数列的通项公式，教材已明确指出它就是相应函数的解析式。
点破了这一点，数列与函数的内在联系揭示得就更加清楚。
此外，正如并非每一函数均有解析表达式一样，也并非每一数列均有通项公式(有通项公式的数列只是少数)，因而研究递推公式给出数列的方法可使我们研究数列的范围大大扩展。
递推是数学里的一个非常重要的概念和方法，数学归纳法证明问题的基本思想实际上也是“递推”。
在数列的研究中，不仅很多重要的数列是用递推公式给出的，而且它也是获得一个数列的通项公式的途径：先得出较为容易写出的数列的递推公式，然后再根据它推得通项公式。
人教版高中数学选择性必修第二册4.1数列的概念(第2课时)【教学课件】
A．6
B．7
C．8
D．9
B 解析：已知数列{an}的前 n 项和 Sn＝n2＋1， 所以 S1＝a1＝2，S2＝a1＋a2＝5，S3＝a1＋a2＋a3＝10，所以 a2＝3， a3＝5，所以 a1＋a3＝7.故选 B.
3．已知数列{an}中，an＝3n＋4，若 an＝13，则 n 等于( )
A．3
公式为________．
an＝ 12，n－n＝3，1，n≥2
解析：an＝SS1n，－nS＝n－11，，n≥2， 而 S1＝1－2
＋2＝1，
当 n≥2 时，Sn－Sn－1＝n2－(n－1)2－2＝2n－3，
当 n＝1 时，不满足上式，故 an＝12，n－n＝3，1，n≥2.
4．已知数列{an}的第一项 a1＝1，以后的各项由公式 an＋1＝a2n＋an2给 出，试写出这个数列的前 5 项． 解：∵a1＝1，an＋1＝a2n＋an2，∴a2＝a21＋a12＝23， a3＝a22＋a22＝322× ＋232＝21，
5．已知数列{an}的通项公式为 an＝n2－n－30. (1)求数列的前三项，60 是此数列的第几项？ (2)n 为何值时，an＝0，an>0，an<0? 解：(1)由 an＝n2－n－30，得 a1＝1－1－30＝－30， a2＝22－2－30＝－28，a3＝32－3－30＝－24. 设 an＝60，则 60＝n2－n－30， 解得 n＝10 或 n＝－9(舍去)． ∴60 是此数列的第 10 项．
a4＝a23＋a32＝221× ＋122＝52， a5＝a24＋a42＝522× ＋252＝31. 故该数列的前 5 项为 1，23，12，25，13.
【例 1】已知数列{an}的通项公式为 an＝3n2－28n. (1)写出数列的第 4 项和第 6 项． (2)－49 和 68 是该数列的项吗？若是，是第几项？若不是，请说 明理由．
2.1数列的概念导学案
§2.1 数列的概念与简单表示法编者：1. 理解数列及其有关概念，了解数列和函数之间的关系；了解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项；对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的个通项公式。
2. 通过对一列数的观察、归纳，写出符合条件的一个通项公式，培养学生的观察能力和抽象概括能力．3.通过本节课的学习，体会数学来源于生活，提高数学学习的兴趣。
重点：数列及其有关概念，通项公式及其应用.难点：根据一些数列的前几项抽象、归纳数列的通项公式使用说明：（1）预习教材，用红色笔画出疑惑之处，并尝试完成下列问题，总结规律方法；（2）用严谨认真的态度完成导学案中要求的内容；（3）不做标记的为C 级，标记★为B 级，标记★★为A 级。
预习案（20分钟）一．知识链接1. ①三角形数：1，3，6，10，…②正方形数：1，4，9，16，25，… 你能找到规律并写出后面三个数吗？探究案（30分钟）二．新知探究⒈ 数列的定义：按一定 排列的 叫做数列.反思：⑴ 如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们是相同的数列？⑵ 同一个数在数列中可以重复出现吗？（3）和集合中的元素有什么区别？⒉ 数列的项：数列中的 都叫做这个数列的项. 各项依次叫做这个数列的第1项（或首项），第2项，…，第n 项，….例如，上述例子均是数列，其中①中，“1”是这个数列的第1项（或首项），“10”是这个数列中的第4项.⒊数列的一般形式： ,,,,,321n a a a a ，或简记为{}n a ，其中n a 是数列的第n 项组长评价： 教师评价：结合上述例子，帮助学生理解数列及项的定义. ②中，这是一个数列，它的首项是“1”，“9”是这个数列的第“3”项，等等下面我们再来看这些数列的每一项与这一项的序号是否有一定的对应关系？这一关系可否用一个公式表示？（引导学生进一步理解数列与项的定义，从而发现数列的通项公式）对于下面的数列，第一项与这一项的序号有这样的对应关系： 项 151413121↓ ↓ ↓ ↓ ↓序号 1 2 3 4 5这个数的第一项与这一项的序号可用一个公式：na n 1=来表示其对应关系即：只要依次用1，2，3…代替公式中的n ，就可以求出该数列相应的各项结合上述其他例子，练习找其对应关系⒋ 数列的通项公式：如果数列{}n a 的第 项 与n 之间的关系可以用一个公式 来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式. 反思：⑴是不是所有数列都能写出其通项公式？⑵一个数列的通项公式是唯一的？⑶数列与函数有关系吗？如果有关，是什么关系？注意：（1）数列通项公式的作用：①求数列中任意一项；②检验某数是否是该数列中的一项. 数列的通项公式具有双重身份，它表示了数列的第 项，又是这个数列中所有各项的一般表示．通项公式反映了一个数列项与项数的函数关系，给了数列的通项公式，这个数列便确定了，代入项数就可求出数列的每一项．（2）数列可以看成以正整数集N *（或它的有限子集{1，2，3，…，n}）为定义域的函数()n a f n =，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值。
数列的概念与简单表示法教案
数列的概念与简单表示法教案一、教学目标知识与技能：1. 理解数列的概念，掌握数列的表示方法。
2. 学会用数列表示一些常见数列，并能运用数列的表示方法解决实际问题。
过程与方法：1. 通过观察、分析、归纳等方法，引导学生发现数列的规律。
2. 培养学生运用数列表示数的能力，提高学生的数学思维能力。
情感态度与价值观：1. 培养学生对数学的兴趣，激发学生学习数学的积极性。
2. 培养学生团队协作、交流分享的良好学习习惯。
二、教学重点与难点重点：1. 数列的概念及其表示方法。
2. 运用数列表示一些常见数列。
难点：1. 数列的规律的发现与运用。
2. 数列表示方法的灵活运用。
三、教学方法情境教学法、引导发现法、讨论法相结合。
四、教学准备教师准备数列的相关实例和练习题，制作PPT。
学生准备笔记本、笔。
五、教学过程1. 导入新课教师通过PPT展示一些生活中的数列实例，如阶梯价格、比赛排名等，引导学生观察并思考这些数列有什么共同特点。
2. 自主学习学生通过阅读教材，理解数列的概念，掌握数列的表示方法。
3. 课堂讲解教师讲解数列的概念，阐述数列的表示方法，并结合实例进行讲解。
4. 课堂练习5. 拓展提高教师出示一些数列题目，学生独立完成，并交流解题思路。
6. 课堂小结7. 课后作业教师布置相关数列的练习题，让学生巩固所学知识。
8. 教学反思教师在课后对自己的教学进行反思，看是否达到教学目标，学生是否掌握了数列的概念和表示方法。
9. 学生评价学生对自己的学习进行评价，看自己在数列学习方面的进步。
10. 教学改进教师根据教学反思和学生的评价，调整教学方法，为下次教学做好准备。
六、教学内容与要求教学内容：1. 数列的通项公式及其应用。
2. 等差数列与等比数列的概念及其性质。
教学要求：1. 学生能理解数列的通项公式的含义，并能运用通项公式解决实际问题。
2. 学生能掌握等差数列和等比数列的概念及其性质，并能运用这些性质解决相关问题。
【新教材教案】4.1数列的概念(2) 教学设计- (人教A版 高二 选择性必修第二册)
4.1数列的概念（2）
本节课选自《2019人教A 版高中数学选择性必修二》第四章《数列》，本节课主要学习数列的递推公式及数列的前n 项和与通项的关系。
“数列的概念与简单表示法”，主要涉及数列的概念、表示方法、分类、通项公式、数列和函数之间的关系、数列的递推公式及数列的前n 项和与通项的关系等。
有着重要的应用.学习数列对深化函数的学习有着积极地意义，数列是以后学习极限的基础，因此，数列在高中数学中占有重要位置。
数列的概念是学习数列的起点与基础，因而建立数列的概念是本章教学的重点，更是本节课教学的重点。
学生主动自我建构概念，需要经历辨析、抽象、概括等过程，影响概念学习过程的因素又是多样的，所以，数列特征的感知和描述，函数意义的概括和理解，是教学的难点.
课程目标
学科素养
A. 理解数列递推公式的含义,会用递推公式解决有关问题.
B.会利用数列的前n 项和与通项的关系求通项公式. 1.数学抽象：数列递推公式
2.逻辑推理：数列的前n 项和与通项的关系
3.数学运算：用递推公式求数列的特定项及通项
重点：数列递推公式及数列的前n 项和与通项的关系
难点：用递推公式解决有关问题、用数列的前n 项和与通项的关系求通项公式
多媒体
教学过程
教学设计意图 核心素养目标
四、小结
五、课时练
数列概念的学习并不需要很多的知识基础，可以说学习数列的概念并无知识上的困难.这些都是数列概念教学的有利条件.刚开始高中数学学习的学生，自己主动地建构概念的意识还不够强，能力还不够高.同时，在建立概念的过程中，学生的辨别各种刺激模式、抽象出观察对象或事物的共同本质特征，概括形成概念，并且用数学语言（符号）表达等方面，会表现出不同的水平，从而会影响整体的教学.。
山东省郯城县高二数学《数列的概念与简单表示法》教案(2)
高中二 年级 数学 备课组主备人王春生 课型新授课 验收结果： 合格/需完善 时间 2011年 11 月 7 日分管领导 课时 1 第 12 周 第 4 课时 总第37 课时教学目标：1. 了解数列的递推公式，明确递推公式与通项公式的异同；2. 会由递推公式写出数列的前几项，并掌握求简单数列的通项公式的方法. 重点：根据数列的递推公式写出数列的前几项。
难点：理解递推公式与通项公式的关系。
教 学 过 程教师活动学生活动一．复习1：什么是数列？2：什么是数列的通项公式？3：数列如何分类？二、新课导学 数列的表示方法1．通项公式法：问题：观察钢管堆放示意图，寻找每层的钢管数n a 与层数n 之间有何关系？试一试：上图中每层的钢管数n a 与层数n 之间关系的一 个通项公式是 .2．图象法：数列的图形是 ，因为横坐标为 数，所以这些点都在y 轴的 侧，而点的个数取决于数列的 ．从图象中可以直观地看到数列的项随项数由小到大变化而变化的趋势．3. 递推公式法：递推公式：如果已知数列{}n a 的第1项（或前几项），且任一项n a 与它的前一项1n a -（或前n 项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式.生思考后回答：1.按一定次序排列的一列数叫做数列.2.如果数列{}n a 的第n 项n a 与n 之间的关系可用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式.3.根据数列项数的多少分：有穷数列，无穷数列。
根据数列中项的大小变化情况分为：递增数列，递减数列，常数数列，摆动数列。
选一代表回答： n a =n(21-n)/2生思考后回答： 孤立的点 项数，右 项数生思考后尝试解答。
不一定。
试试：上图中相邻两层的钢管数n a 与1n a +之间关系的一个递推公式是 . 4. 列表法：试试：上图中每层的钢管数n a 与层数n 之间关系的用列表法如何表示？所有数列都能有四种表示方法吗？例 1 设数列{}n a 满足11111(1).nn a a n a -=⎧⎪⎨=+>⎪⎩写出这个数列的前五项.变式：已知12a =，12n n a a +=，写出前5项，并猜想通项公式n a .例 2 已知数列{}n a 满足10a =，12n n a a n +=+， 那么2007a =（ ）.A. 2003×2004B. 2004×2005C. 2007×2006D. 22004练 1. 已知数列{}n a 满足11a =，223a =，且111120n n n n n n a a a a a a -+-++-=（2n ≥），求34,a a .练2.（2005年湖南）已知数列{}n a 满足10a =， 1331n n n a a a +-=+ （*n N ∈），则20a =（ ）.A ．0 B.－3 C.3 D.32. 练3. 在数列{}n a 中，12a =，1766a =，通项公式是项数n 的一次函数.⑴ 求数列{}n a 的通项公式；生分组讨论后解 前五项.为：1，2，3/2,5/3,8/5. 师生共同总结： 由递推公式求数列的项，只要让n 依次取不 同的值代入递推公式 就可求出数列的项.前5项为：2,4,8,16,32. 通项公式n a =2 ^n生分组讨论后解 数列{}n a 为:0,2,6,12,20,…猜想通项公式n a =(n-1)n 2007a =(2007-1) ×2007. 选C师生共同总结：由递推公式求数列的通项公式，适当的变形与化归及归纳猜想都是常用方法.生小组合作练习，师巡视时可视具体情况给予提示。
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例1
跟踪训练
例2已知数列{an}的前n项和为Sn＝n2＋n，求这个数列的通项公式
跟踪训练2已知数列{an}的前n项和为Sn＝-2n2，求这个数列的通项公式
跟踪训练3已知数列{an}的前n项和为Sn＝2an+1，求这个数列的递推关系式，并写出前5项。
3、达标检测
1、
四、小结（你的收获？）
4.1数列的概念（2）
课程目标
学科素养
1、理解数列的递推公式
2、掌握数列前n项和的定义
3、根据前n项和定义推导出 与 的关系，
4、 与 的关系的应用
1.数学抽象：理解数列的递推公式
2.逻辑推理：根据前n项和定义推导出 与 的关系，
3.数学运算：数列的计算
4.数学建模： 与 的关系的应用
教学重点
根据前n项和定义推导出 与 的关系
教学难点
与 的关系的应用
课型
新授
教学过程
札记
一、探究新知
1、递推公式的定义___________________________________________________
知道了数列的________和_____________，就能求出数列的每一项
2、我们把_________________________________________________称为数列的前n项和，记作______
3、 与 的关系
对于一般数列{a一关系对任何数列都适用.
(2)若由an＝Sn－Sn－1(n≥2)中令n＝2求得a1与利用a1＝S1求得的a1相同，则说明an＝Sn－Sn－1(n≥2)也适合n＝1的情况，数列的通项公式用an＝Sn－Sn－1表示.
若由an＝Sn－Sn－1(n≥2)中令n＝2求得的a1与利用a1＝S1求得的a1不相同，则说明an＝Sn－Sn－1(n≥2)不适合n＝1的情况，数列的通项公式采用分段形式.