【高中数学选修2-3课件】1.3.2杨辉三角与二项式系数的性质

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选修2-3第一章1-3-2“杨辉三角”与二项式系数的性质

增减性：当 k＜ n ＋1 时，二项式系数是逐渐增大的；当 k＞ 2
增减性与最大值
n＋1 时，二项式系数是逐渐减小的．最大值：当 n 为偶数时， 2
n
中间一项的二项式系数 Cn2最大，当 n 为奇数时，中间两项
n－1 n＋1
的二项式系数 Cn
2
，Cn
2
相等，且同时取得最大值
各二项式系数的和
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自学导引
1．杨辉三角的特点 (1)在同一行中每行两端都是 1，与这两个 1 等距离的项的系相等；数 _____ (2)在相邻的两行中，除 1 外的每一个数都等于它“肩上” r－1 r r C ＋ C 和 n n．两个数的 ___，即 Cn＋1＝ _________
想一想：二项式系数表与杨辉三角中对应行的数值都相同吗？提示不是．二项式系数表中第一行是两个数，而杨辉三
角的第一行只有一个数．实际上二项式系数表中的第n行
与杨辉三角中的第n＋1行对应数值相等．
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二项式系数的性质 2．
对称性
“等距离” 在(a＋b)n 展开式中，与首末两端 _________的两个二－ n m C n 项式系数相等，即 Cm ＝ ______ n
1.3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质
【课标要求】
了解杨辉三角，并能由它解决简单的二项式系数问题． 1．
了解二项式系数的性质并能简单应用． 2．掌握“赋值法”并会灵活应用． 3．
【核心扫描】
1．杨辉三角的特点．(难点) 2．二项式系数性质的应用．(重点) “赋值法”的应用．(易错点) 3．
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人教A版高中数学选修2-3课件《1.3.2杨辉三角与二项式系数的性质(二)》

3 100
•
2 8 ( x 2) 例2、在的展开式中， x 1）系数的绝对值最大的项是第几项？
2）求二项式系数最大的项； 3）求系数最大的项； 4）求系数最小的项。
练习： 7 (1)求（x+2y）展开式中系数最大的项；
7 (2)求（x-2y）展开式中系数最大的项。 •
例3、求证： 3
2n2
C 7 C 0 99 1 （ 7 C100 7 C ）余数是1，所以是星期六
•
•
•
5.求值：
(1)1 C 2 C 2 C 2 C 2 C 2
1 5 2 2 5 4 3 5 7 6 4 5 8 5 5
10
(2)3 3 C 3 C 3 C 3 Cห้องสมุดไป่ตู้ 3 C
10 9 1 10 8 2 10 3 10 6 4 10 5
5 10
3 C 3 C 3 C 3C
4 6 10 3 7 10 2 8 10
9 10
•
8n 9(n N )能被64整除。
*
例4、今天是星期五，那么天后的这一天是 8 1000 那么3 天后星期几？是星期几？ 100 100
100
8
（7 1）
C 7
0 100 100
C 7 C 7
1 100 99
99 1 100 100 100 99 100
r 100 r 100
（ 4）
0 n 1 n
C
•
n 1 2 n
n n
C
n 1 2 n
n
C C C 2
( x+ ) 例1、若展开式中前三项系数成等差 2 x

高中数学选修2-3课件1.3.2《“杨辉三角”与二项式系数的性质》课件

2.在(a＋b)20展开式中，与第五项二项式系数相同的项是 A.第15项 B.第16项 C.第17项 D.第18项
2.在(a＋b)n展开式中，与第k项二项式系数相同的项是
A. 第n-k项
B. 第n-k-1项
C. 第n-k+1项 C. 第n-k+2项
观察杨辉三角
(a b)1
1.增减性？
(a b)2
C
1 n
x1
C
2 n
x
2
Cnk x k
C
n n
x
n
问题1：此展开式二项式系数之和
_______________________________.
问题2：此展开式系数之和赋值法求 _____________________________系__数. 和
（a+x)n的二项式展开各项的系数和求法：只要令自变量为1即可。
C0n
C1n
C
2 n
Cnn
2n
这就是说，(a b)n的展开式的各二项式系
数的和等于：2n
同时由于C
0 n
1，上式还可以写成：
C1n
C2n
C3n
C
n n
2n
1
这是组合总数公式．
一般地，(a b)n 展开式的二项式系数
Cn0 ,Cn1,Cnn 有如下性质：
（1）
Cnm
C nm n
（2）
左增右减
(a b)3 (a b)4
2.在何处取得最大值？(a b)5
11 12 1 13 3 1 14 6 4 1 1 5 10 10 5 1
性质2：
当n是偶数时，展开式有n+1项（ n+1是奇数），中间项

人教a版数学【选修2-3】1.3.2《“杨辉三角”与二项式系数的性质》课件

„„
k C n 第 k＋1 类：取 n－k 个 1，k 个 x，共_____种取法；
1 2 n 2n (5)C0 n＋Cn＋Cn＋„＋Cn＝_______ 1 2 2 n n 由(1＋x)n＝C0 ＋ C x ＋ C x ＋„＋ C n n n nx .令 x＝1 得出．
此证法所用赋值法在解决有关组合数性质，二项式展开式中系数问题中很有用，应重点体会掌握． (1＋x)n 展开式的组合数解释为：展开式左边是 n 个(1＋x) 的乘积，按照取 x 的个数可以将乘积中的项按 x 的取法分为
k n k－1 n－k＋1 Cn · .
k
第一章
1.3
1.3.2
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所以
k Cn 相对于
n－k＋1 k－1 C n 的增减情况由决定，故当 k
n－k＋1 n＋1 n－k＋1 增大 >1，即 k< 2 时，二项式系数__________ ．而当 k k n＋1 k 递减 ≤1(即 k≥ 2 )时，Cn 的值转化为__________ ．又因为与首末
相等两端“等距离”的两项的二项式系数__________ ，所以二项式
系数增大到某一项时就逐渐减小，且二项式系数最大的项必在
中间 __________ ．
第一章
1.3
1.3.2
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当 n 是偶数时，n＋1 是奇数，展开式共有 n＋1 项，所以
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路漫漫其修远兮吾将上下而求索
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最新高中数学人教A版选修2-3课件：1.3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质

-3-
1.3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质
首页
X 新知导学 D答疑解惑
INZHIDAOXUE
AYIJIEHUO
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ANGTANGJIANCE
1.杨辉三角 (a+b)n展开式的二项式系数在当n取正整数时可以表示成如下形式:
上面的二项式系数表称为“杨辉三角”. 特点:(1)在同一行中,每行两端都是1,与这两个1等距离的项的系数相等. (2)在相邻的两行中,除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数 �� -1 �� 的和,即 C�� +1 = C�� + C�� .
-8-
1.3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质
探究一探究二探究三规范解答
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X 新知导学 D答疑解惑
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探究一与杨辉三角有关的问题【例1】导学号78430028如图所示,在杨辉三角中,斜线AB上方箭头所指的数组成一个锯齿形的数列:1,2,3,3,6,4,10,…,记这个数列的前n项和为Sn,求S19.
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做一做2 在(a+b)8的展开式中,二项式系数最大的项为在(a+b)9的展开式中,二项式式中有9项,所以中间一项的二项式系数最大, 4 4 4 该项为C8 a b =70a4b4. (a+b)9的展开式中有10项,所以中间两项的二项式系数最大, 4 5 4 5 4 5 这两项分别为C9 a b =126a5b4,C9 a b =126a4b5. 答案：70a4b4 126a5b4与126a4b5

人教A版数学选修2-3配套课件：1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质

1.3.2
问题导学
“杨辉三角”与二项式系数的性质
当堂检测
课前预习导学
KEQIAN YUXI DAOXUE
课堂合作探究
KETANG HEZUO TANJIU
5 6 解:T6=C�� (2x)5,T7=C�� (2x)6,依题意有 5 5 6 6 C�� 2 =C�� 2 ⇒ n=8.
1.3.2
问题导学
“杨辉三角”与二项式系数的性质
当堂检测
课前预习导学
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课堂合作探究
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二、二项式系数的性质
活动与探究问题:根据杨辉三角的第 1 个规律,同一行中与两个 1 等距离的项的系数相等,你可以得到二项式系数的
B.第三项 D.第五项和第七项
C.第三项和第六项
解析:由二项式定理可知,展开式中,二项式系数与对应的项的系数的绝对值相等. 由于二项式系数的最大项为 T6,且而
4 T5=C10 ·x6· 5 5 T6=C10 x
1 5 5 =-C10 中的二项式 ��
6 = C10 ·x-2,且
0 �� 1 �� 系数相等,即C�� = C�� , C�� = C�� ,…,C�� = C�� . �� -1 �� -��
(2)增减性与最大值:当 k<
��+1 时,二项式系数是逐渐增大的,由对称 2
课堂合作探究
KETANG HEZUO TANJIU
例3
1 设(3�� 3
+

「精品」人教A版高中数学选修2-3课件1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质-精品课件

探究一
探究二
探究三
探究四
探究一与杨辉三角有关的问题
解决与杨辉三角有关的问题的一般思路.
探究一
探究二
探究三
探究四
【典型例题 1】下列是杨辉三角的一部分.
(1)你能发现组成它的相邻两行数有什么关系吗? (2)从图中的虚线上的数字你能发现什么规律?
探究一
探究二
探究三
探究四
解:(1)杨辉三角的两条腰都是由数字 1 组成的,其余的数都等于它肩上的两个数之和.
∴第四项 T4=C63·(2 3 ��)3·(-1)3=-160x.
答案:-160x
12345
5.若(3x-1)7=a7x7+a6x6+…+a1x+a0,求: (1)a7+a6+…+a1;(2)a7+a5+a3+a1; (3)a6+a4+a2+a0;(4)|a7|+|a6|+…+|a1|.
等式组 AAkk++11≥≥AAkk+,2确定 k 的值.
探究一
探究二
探究三
探究四
解:T6=��n5·(2x)5,T7=��n6·(2x)6,依题意有��n5·25=��n6·26⇒ n=8.
∴(1+2x)8 的展开式中,二项式系数最大的项为 T5=��84·(2x)4=1 120x4. 设第 k+1 项系数最大,则有 ��8k ·2�� ≥ ��8k-1·2��-1, ��8k ·2�� ≥ ��8k+1·2��+1, 解得 5≤k≤6.∴k=5 或 k=6(∵k∈{0,1,2,…,8}).

2019-2020人教A版高中数学选修2-3课件1.3.2杨辉三角与二项式系数的性质优质课件

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“杨辉三角”与二项式系数的性质
把（a+b)n展开式的二项式系数取出
来，当n依次取1，2，3，…时，可列成下表：
1
在我国,很早
(a+b)1→
11
就有人研究过二
(a+b)2→
12 1
项式系数表,南
(a+b)3→ (a+b)4→ (a+b)5→
1 3 3 1 宋数学家杨辉在
m n

C m1 n
(3)增减性与最大值.
增减性的实质是比较
C
k n
与
C
k n
1的大小.
从第一项起至中间项,二项式系数逐渐增大,随后
又逐渐减小.
Cnk

k
n! !(n
k)!

n
k k

1

(k

n! 1)!(n
k
1)!nk k1
C k1 n
(4)各二项式系数的和.
Cn0 Cn1 Cn2 Cnr Cnn 2n
思考2
求证:(Cn0
)2

(Cn1
)2

(C
2 n
)2

(C
n n
)2

C
n 2n
.
略证：由(1+x)n(1+x)n=(1+x)2n，两边展开
后比较xn的系数得
C
C0 n
nn

C
C1 n1
nn

Cn2Cnn2

Cnn1Cn1

CnnCn0

C

高中数学选修2(新课标)课件1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质

解析：根据二项式系数的性质进行判断，由二项式系数的性质知：二项式系数之和为 2n，故 A 正确；当 n 为偶数时，二项式系数最大的项是中间一项，故 B 正确，C 错误；D 也是正确的，因为展开式中第 6 项的系数是负数，所以是系数中最小的．
答案：C
2．已知(a＋b)n 展开式中只有第 5 项的二项式系数最大，则 n 等于( )
－1，可解出 a0＋a2＋a4＋…＋a12. (2)令 x＝1，由各项系数和先求出 n，再求常数项．
方法归纳
二项展开式中系数和的求法 (1)对形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b，c∈R，m，n∈N*)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令 x＝1 即可；对(ax＋by)n(a，b∈R，n∈N*)的式子求其展开式各项系数之和，只需令 x＝y＝1 即可． (2)一般地，若 f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则 f(x)展开式中各项系数之和为 f(1)，奇数项系数之和为 a0＋a2＋a4＋…＝f1＋2f－1，偶数项系数之和为 a1＋a3＋a5＋…＝f1－2f－1.
解析：(1)令 x＝1，
得 a0＋a1＋a2＋…＋a2 018＝(－1)2 018＝1. (2)令 x＝－1，得
a0－a1＋a2－…－a2 017＋a2 018＝32 018. ①＋②得
2(a0＋a2＋a4＋…＋a2 018)＝1＋32 018，
所以
a0＋a22.
1.3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质
知识点一杨辉三角的特点
(1)在同一行中，每行两端都是____1____，与这两个 1 等距离的数___相__等___．
(2)在相邻的两行中，除 1 以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的____和____，即 Cnr＋1＝Crn－1＋Crn.

人教A版高中数学选修2-3课件：1.3.2杨辉三角与二项式系数的性质(二)

3n 1
2
2．在的x展2 开3式x 中2x5的系数为（）
A．160B．240C．360D．800
3n 1 2
3.求(1 x) (1 x)2 (1 x)16
的展开式中项x3的系数.
4．已知(1 x) (1 x)2 (1 x)n
a0 a1x a2 x2 an xn , a1 a2 an1
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1.3.2“杨辉三角” 与二项式系数的性
质(二)
一般地，展开式(a的二b)项n 式系数
有C如C nm n
（对称性）
（2）
Cnm
C m1 n
Cm n1
n
（3）当n为偶数时，最大C
2 n
n1 n1
当n为奇数时，=且最大
C
2 n
71
C100 100
（7 C1000 799 C19090） 1
余数是1，所以是星期六
变式引申：填空
1）除23以0 7的3余数是；
2）5除55以5 81的5余数是。
例5、求精1.确9到9705.001的近似值。
课堂练习：
1.等C于n1 （ 2）Cn2
4Cn3
2
n1
C
n n
A.B.C3.Dn . 3n 1
那29么的n(展n 开N式,中n 含1)项, 的系(1数是y).6
yn
5.求值：
(1)1 C51 22 C52 24 C53 26 C54 28 C55 210 (2)310 39 C110 38 C120 37 C130 36 C140 35 C150
34 C160 33C170 32 C180 3C190
Cn2
（4） Cn0 Cn1 Cnn 2n

数学：1.3.2《“杨辉三角”与二项式系数的性质》课件(新人教A版选修2-3)

1 1
8
1 1 1 1 1 1 1 7
28 6 3
1 2
3 6
1 1 4 1
4
5 10
15 21 35 56
10 5 1 20 15 6 1 35 70
图2
21 7
56 28 8
1 1
除了这几个数的排列规 , 你还能再找出其他一些律数的排列规律吗? 与同学交流一下 !
作业：P37(A组7—8和B组)
n 0 n n 1 n 1 n 2 n2 2 n
C C C , 1 3 5 偶数项二项式系数的和 Cn Cn Cn , 为
0 n 2 n 4 n
n n n
0 2 C b 中, 令a 1, b 1, 则得 1 1 Cn C1 Cn n 0 2 3 n n 3 即 0 Cn Cn C1 Cn , n Cn 1 Cn , n n n n

对于a b 展开式的二项
n
f r
20 15 10
式系数 C , C , C , , C , 我们还可以从函数角度来
0 n 1 n 2 n n n r n
分析它们.C 可看成是以r 为自变量的函数f r , 其定 o 1 2 3 4 5 6 图1.3 2 义域是 0,1 2, , n .对于确 , 定的n, 我们还可以画出它的图 .例如n 6, 象其图象是7个孤立点图1.3 2). (
1.3 二项式定理
1.3.2 " 杨辉三角与二项式系数的性质 "
探究用计算器计算 a b 展开式的二项式系数并填入下表 .
n
n
1 2 3 4 5 6

选修2-3.1.3.2杨辉三角与二次项系数的性质

2019/4/10
v:pzyandong
19
知识点
二项式系数的性质
[问题] (a＋b)n的展开式的二次项系数，当n取正整数时可以表示成
如下形式：
2019/4/10
v:pzyandong
20
问题1：从上面的表示形式可以直观地看出什么规律？
提示：在同一行中，每行两端都是1，与这两个1等距离的项的系
数相等；在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它“肩上”
①每行两端都是1 Cn0= Cnn=1 ②从第二行起，每行除1以外的每一个数都等于它肩上的两个数的和 Cn+1m= Cnm + Cnm-1
2019/4/10 v:pzyandong 5
类似上面的表,早在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里就已经出现了，这个表称为杨辉三角。在书中，还说明了表里“一”以外的每一个数都等于它肩上两个数的和，杨辉指出这个方法出于《释锁》算书，且我国北宋数学家贾宪（约公元11
13
知识对接测查2 1.在(1+x)4的展开式中，二项式系数最大的项是二项式系数最大的项是第 3 项. 在(1-x)11的展开式中，二项式系数最大为，；
C
6 11
.
2. 在二项式(x-1)11的展开式中,求系数最小的项的系数。
C 462
5 11
6 最大的系数呢？ C11
462
2019/4/10
2019/4/10
n1
倒序相加法
v:pzyandong
18
0 1 n ( a b ) C , C , C 一般地，展开式的二项式系数 n n n 有如下性质：
n
（ 1） C C

人教版高中数学选修2-3课件：第一章1-3-1-3-2“杨辉三角”与二项式系数的性质

（2＋9）×8 10×9×8 ＋＝164. 2 3×2×1
答案：C
归纳升华解决与杨辉三角有关的问题的一般思路是：先通过观察找出每一行数据间的相互联系以及行与行间数据的相互联系，然后将数据间的这种联系用数学式子表达出来，使问题得解．注意观察方向：横看、竖看、斜看、连续看、隔行看、从多角度观察．
C1 9.
2 1 2 1 2 1 1 所以 S16＝C1 ＋ C ＋ C ＋ C ＋ … ＋ C ＋ C ＝ (C ＋ C 2 2 3 3 9 9 2 3 2 2 2 3 ＋ … ＋ C1 ) ＋ (C ＋ C ＋ … ＋ C ) ＝ (2 ＋ 3 ＋ … ＋ 9) ＋ C 9 2 3 9 10 ＝
)
C．展开式中第 5 项或第 7 项的二项式系数最大 D．展开式中第 6 项的系数最小
解析：根据二项式系数的性质进行判断，由二项式系数的性质知：二项式系数之和为 2n，故 A 正确；当 n 为偶数时，二项式系数最大的项是中间一项，故 B 正确，C 错误； D 也是正确的，因为展开式中第 6 项的系数是负数，所以是系数中最小的．答案：C
m n m C ＝ C 数相等，它反映了组合数性质_________ n n ．
－
n＋1 (2)增减性与最大值．当 k＜时，二项式系数是逐 2 渐增大的，由对称性知它的后半部分是逐渐减少的，且在中间取得最大值．当 n 为偶数时，中间一项的二项式系 n 数 C2n 取得最大值；当 n 为奇数时，中间的两项
＋…＋Cn n.(
)
解析：(1)对，由杨辉三角观察可知结论正确． (2)错，二项式展开式中系数与二项式系数是不同的两个概念，所以最大项也不相同．
1 2 (3)错，二项展开式的二项式系数和为 C0 ＋ C ＋ C n n n r ＋…＋Cn ＋…＋Cn n.

原创1：1.3.2 杨辉三角与二项式系数的性质

例1 已知 (1 2x)7 a0 a1x a2 x2 a6 x6 a7 x7
求（1）a0
（2） a1 a2 a6 a7
赋值法
解：设 f (x) (1 2x)（7 1）令x=0,即 f (0) (1 2 0)7 1 展开式右边即为 a0 所以 a0 f (0) 1 （2）令x=1, f (1) (1 2 1)7 1 a0 a1 a2 a6 a7
0 6
C
1 6
C
2 6
C
3 6
C
4 6
C
5 6
C
6 6
6 15 20 15 6 1
(a+b)n Cn0 Cn1 Cn2 … Cnr … Cnn
当n为偶数如2、4、6时，中间一项最大
当n为奇数如1、3、5时，中间两项最大
最大项与增减性
增减性的实质是Cnk 与 Cnk1 比较的大小.
C
k n
n! k ! (n
课堂小结
二项展开式中的二项式系数都是一些特殊的组合数，它有三条性质，要理解和掌握好，同时要注意 “系数”与“二项式系数”的区别，不能混淆，只有二项式系数最大的才是中间项，而系数最大的不一定是中间项，尤其要理解和掌握“取特值”法，它是解决有关二项展开式系数的问题的重要手段.
4.在定理中，令a=1，b=x，则
(1 x)n Cn0 Cn1 x Cn2 x2 Cnr x r
Cnn x n
思考探究
1.展开式的二项式系数 Cn0,Cn1,Cn2 Cnr , Cnn 有什么变化规律？ 2.二项式系数最大的是哪一项？
新课引入
(a+b)1 (a+b)2 (a+b)3 (a+b)4 (a+b)5