高等传热学作业修订版
高等传热第四章习题答案
4-1用二分法编程求解课本中公式（4-1-11）()()20exp s m erf ηη-=(4.1)()()2exp erf ηη-=(4.2)当Ste=0.1，0.2，0.3，…1.0，时求解的η值如下表所示 表 4-1根据表1中数据绘出Ste η-的关系曲线如下图所示η A x i s T i t l eSte Axis Title图 4-14-2这里把固定在铜丝上的坐标系称作定坐标系x y z --，把固定在拉丝模上的坐标系称作动坐标系ξηζ--，假设铜丝自右向左移动则以铜丝为定坐标系，拉丝模相当于一自左向右移动的移动热源，其温度场与课本中移动热源在细杆中形成的温度场一样，在动坐标系中的温度场 当0ξ≤时1exp 2u A a θξ⎧⎫⎤⎪⎪⎥=-⎨⎬⎥⎪⎪⎦⎩⎭(4.3)当0ξ≥时2exp 2u B a θξ⎧⎫⎤⎪⎪⎥=-⎨⎬⎥⎪⎪⎦⎩⎭(4.4)其中x u ξτ=-4-3这里把固定在流体上的坐标系称作定坐标系x y z --，把固定在滤网上的坐标系称作动坐标系'''x y z --，假设流体自右向左移动则以流体为定坐标系，滤网相当于一自左向右移动的移动热源，其在动坐标系中温度场与课本中移动热源在细杆中形成的温度场一样 当'0x ≤时'1exp 2u A x a θ⎧⎫⎤⎪⎪⎥=-⎨⎬⎥⎪⎪⎦⎩⎭(4.5)当'0x ≥时'2exp 2u B x a θ⎧⎫⎤⎪⎪⎥=-⎨⎬⎥⎪⎪⎦⎩⎭(4.6)其中'x x u ξτ=--4-41）无量纲温度场在用焊条焊接两块很薄的金属平板表面时，如果表面的散热损失与热源的发热量相比可以忽略，则可以忽略薄板在厚度方向的温差；在这里也忽略相变和物性随温度的变化等复杂因素，则把该问题简化为二维瞬态导热问题来处理，相当于无限大介质中的移动线热源问题。
课本给出了无限大介质中移动线热源准稳定状态（即动坐标系中）温度场的解0exp 22l q u t t K a ξθπλ∞⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦(4.7)其中线热源的强度l Qq δ=，2Q kW =为焊接消耗功率，3mm δ=为钢板厚度。
传热学平时作业
设平板材料导热系数按 变化（其中t为局部温度）。为了确定上述温
度范围内 及b值，还需要补充测定什么量？给出此时确定 及b的计算式。
解：由 得
补充测定中心位置的温度为
又
所以 （1）
代入数据解得 （2）
将（2）代入（1）得到
2-37设某种材料的局部导热系数按 的关系式来变化，对于由该材料做成的一块厚为 的无内热源的平板，试：
解：依据题意，有
，解得：
2-4一烘箱的炉门由两种保温材料A及B组成，且 (见附图)。已知 , ,烘箱内空气温度 ℃，内壁面的总表面传热系数 。为安全起见，希望烘箱炉门的外表面温度不得高于50℃。设可把炉门导热作为一维问题处理，试决定所需保温材料的厚度。环境温度 25℃，外表面总传热系数 。
解：热损失为
内胆外壁外胆内壁涂了反射率很低的银则通过内外胆向外辐射的热量很少抽真空是为了减少内外胆之间的气体介质以减少其对流换热的作用
第一章
1-4对于附图所示的两种水平夹层，试分析冷、热表面间热量交换的方式有何不同？如果要通过实验来测定夹层中流体的导热系数，应采用哪一种布置？
解：（a）中热量交换的方式主要为热传导。
解：如下图：
边界层概念及分析
（b）热量交换的方式主要有热传导和自然对流。
所以如果要通过实验来测定夹层中流体的导热系数，应采用（a）布置。
1-5一个内部发热的圆球悬挂于室内，对于附图所示的三种情况，试分析：（1）圆球表面散热的方式；（2）圆球表面与空气之间的换热方式。
解：（2）圆球为表面传热方式散热。
（1）换热方式：（a）自然对流换热；（b）自然对流与强制对流换热相当的过渡流传热；（c）强制对流换热；
解：由
传热大作业 第4版4-23
东南大学能源与环境学院课程作业报告课程名称：传热学作业名称：传热学大作业——利用matlab程序解决热传导问题院（系）：能源与环境学院专业：热能与动力工程姓名：姜学号：完成时间：2012 年11 月8日评定成绩：审阅教师：目录一．题目及要求 (3)二．各节点离散化的代数方程..............................3&13 三．源程序......................................................5&16 四．不同初值时的温度分布情况...........................7&18 五．冷量损失的计算.......................................12&24 六．计算小结 (27)传热大作业——利用matlab 程序解决复杂热传导问题姓名:姜 学号: 班级:成绩：____________________一、题目及要求计算要求：一个长方形截面的冷空气通道的尺寸如附图所示。
假设在垂直于纸面的方向上冷空气及通道墙壁的温度变化很小，可以忽略。
试用数值方法计算下列两种情况下通道壁面中的温度分布及每米长度上通过壁面的冷量损失：（1） 内、外壁面分别维持在10℃及30℃；（2） 内、外壁面与流体发生对流传热，且有110f t C =︒、2120/()h W m K =⋅，230f t C =︒、224/()h W m K =⋅。
(取管道导热系数为0.025/()W m K λ=⋅)二、各节点的离散化的代数方程1、基本思想：将导热问题的温度场，用有限个离散点上的值的集合来代替，通过求解按一定方法建立起来的关于这些值的代数方程，来获得离散点上被求物理量的值。
2、基本步骤：(1)建立控制方程以及定解条件：对于(1)问有：2.2m3m 2m1.2m h 1、t f1h 1、t f2导热微分方程22220t t x y ∂∂+=∂∂定解条件为第一类边界条件对(2)问有： 导热微分方程22220t t x y ∂∂+=∂∂定解条件为第三类边界条件(2)区域离散化：如下图所示，用一系列与坐标轴平行的网格线把求解区域划分成许多子区域，以网格线的交点作为需要确定温度值的空间位置，称为节点。
高等传热学
高等传热学问题及答案1. 简述三种基本传热方式的传热机理并用公式表达传热定律；传热问题的边界条件有哪两类？2. 有限元法求解传热问题的基本思想是什么？基本求解步骤有哪些？同有限差分方法相比其优点是什么？3. 什么是形函数？形函数的两个最基本特征是什么？4. 加权余量法是建立有限元代数方程的基本方法，请描述四种常见形式并用公式表达。
5. 特征伽辽金法（CG ）在处理对流换热问题时遇到什么困难？特征分离法（CBS ）处理对流换热问题的基本思想是什么？第一题：（1）热传导传热传导模式是因为从一个分子到另一个分子的能量交换，没有分子的实际运动，如果自由电子存在，也可能因为自由电子的运动。
因此，这种形式的热输送在很大程度上取决于介质的性质，如果存在温度差，热传导发生在固体，液体和气体。
书上补充：当两个物体有温差，或者物体内部有温度差时，在物体各部分之间不发生相对位移的情况下，物体微粒（分子，原子或自由电子）的热运动传递了热量。
（2）热对流()a w T T h q -=（牛顿冷却定律） 存在于液体和气体中的分子具有运动的自由，它们随身携带的能量（热量），从热区域移动到冷区域。
由于在液体或气体的宏观运动，热量传递从一个地区到另一个地方 ,加上流体内的热传导能量传递,称为对流换热。
对流可能是自然对流、强制对流，或混合对流。
百度补充：对流仅发生于流体中，它是指由于流体的宏观运动使流体各部分之间发生相对位移而导致的热量传递过程。
由于流体间各部分是相互接触的，除了流体的整体运动所带来的热对流之外，还伴生有由于流体的微观粒子运动造成的热传导。
在工程上，常见的是流体流经固体表面时的热量传递过程，称之为对流传热。
（3）辐射4w T q εσ= （ 斯蒂藩-玻耳兹曼定律）任何（所有）物体和任何（所有）温度都能产生热辐射。
（绝对零度以上）这是唯一一种发生热传递不需要介质的方式。
热辐射本质上是从物体的表面发射电磁波，由电磁波携带能量进行能量传输。
高等传热第二章习题答案
2-1首先对铝导线进行分析求出铝导线的温度场，这是一个一维稳态有内热源的问题 在圆柱坐标系中建立其导热微分方程得10v d dt r q λ⎛⎫⎪⎝⎭+= (2.1)其中λ按常物性处理解导热微分方程得212ln 4v q t r c r c λ=-++ (2.2)把边界条件带入上式求解两个常数0r =，0tr∂=∂求得10c =，所以（2.2）式变为224v qt r c λ=-+(2.3)r R =，w t t =求得224v w q c t R λ=+(2.4)铝导线内温度场为()224v w q t t R r λ=+- (2.5)铝导线单位长度发热量： 222l v I Q q R R ρππ==，所以224v I q Rρπ=横截面积2A R π=，所以0.977R mm ===， 1.954D mm =1R R =为裸线直径；2R 为塑胶线的外径对于裸线：()12l w f Q h t t R π=-(2.6)12lw f Q t t h R π=+(2.7)把（2.7）式带入（2.5）式得()2211124l v f Q qt t R r h R πλ=++-(2.8)把lQ 、vq 带入得（2.8）式得()22221232411124f I I t t R r h R R ρρπλπ=++- (2.9)对于塑胶线：21221122ln w fl D D h R t t Q πλπ-=+ (2.10)222111ln 22w f l D t t Q h R D ππλ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭(2.11)把lQ 代入得222122111ln 22w f D I t t R h R D ρπππλ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭(2.12)把（2.12）式带入（2.5）式得 ()2222121221111ln 224v f q D I t t R r R h R D ρπππλλ⎛⎫=+++- ⎪⎝⎭即()2222212412211111ln 224f D I I t t R r R h R D R ρρπππλλπ⎛⎫=+++- ⎪⎝⎭ (2.13)设导线内部0r =时温度为0t ，根据题目要求导线内部最高温度与环境温度的温差不得超过 80℃，即080f t t -=℃时通过导线的电流取到最大值。
高等传热学自学及作业安排
《高等传热学》课程自学及作业安排2014届硕士研究生适用本课程教学方式：以自学为主，教师指导为辅。
考核方法：开卷笔试（50%）+平时成绩（作业及讲课30%）+两次大作业（20%）一、教学资料1.教材孙德兴编.高等传热学—导热与对流的数理解析.北京：中国建筑工业出版社，2005（图书馆均可借到）2.主要参考书张靖周编.高等传热学.北京：科学出版社，2009*王瑞金等编.Fluent技术基础与应用实例.北京：清华大学出版社，20073.参考资料[1]杨强生，高等传热学.上海：上海交通大学出版社，1996[2][美]E.R.G.埃克特，R.M.德雷克著，航青译.传热与传质分析.北京：科学出版社，1983[3][美]M. N.奥齐西克,俞昌铭主译.热传导.北京：高等教育出版社，1983[4]杨强生.对流传热与传质.北京：高等教育出版社，1985[5]赵镇南译.对流传热与传质（第4版）.北京：高等教育出版社，2007*[6][美]E.M.斯帕罗，R.D.塞斯著，顾传保，张学学译.辐射传热.北京：高等教育出版社，1982*[7]陶文铨编著.数值传热学.西安:西安交通大学出版社，1988[8]周俊杰等编. FLUENT工程技术与实例分析.北京：中国水力水电出版社，2010（除*外，均提供电子版）4.课件、教案、FLUENT软件及其他提供光盘！二、自学、收集整理资料及讲课1.自学根据教案及课件提前查资料并自学相关内容。
如：2.收集整理资料及讲课每三位同学负责一至二次课内容，具体分工自行商量。
内容包括：(1)收集整理资料按照教案要求，收集、整理、加工相关教学资料，如“典型一维稳态导热现象（参考文献[1]PP27-40）”，形成电子版提交到qq群，供全班同学共享。
(2)讲课其中一位同学讲解该次课教学内容，时间为45分钟，重点讲解教案中提出的“重点需要理解的问题”；另一位同学讲解作业，时间15分钟，重点讲解分析思路。
传热学第四版课后习题与思考题答案高等教育出版社
第一章思考题1.试用简练的语言说明导热、对流换热及辐射换热三种热传递方式之间的联系和区别。
答：导热和对流的区别在于：物体内部依靠微观粒子的热运动而产生的热量传递现象，称为导热；对流则是流体各部分之间发生宏观相对位移及冷热流体的相互掺混。
联系是：在发生对流换热的同时必然伴生有导热。
导热、对流这两种热量传递方式，只有在物质存在的条件下才能实现，而辐射可以在真空中传播，辐射换热时不仅有能量的转移还伴有能量形式的转换。
2.以热流密度表示的傅立叶定律、牛顿冷却公式及斯忒藩-玻耳兹曼定律是应当熟记的传热学公式。
试写出这三个公式并说明其中每一个符号及其意义。
r dt dtq ——九——答：① 傅立叶定律：dx，其中，q —热流密度；导热系数；dx —沿x方向的温度变化率，“一”表示热量传递的方向是沿着温度降低的方向。
q = h(t w -tf)，其中，q —热流密度；h —表面传热系数；t w —固体表面温度；t f—流体的温度。
②牛顿冷却公式：4③斯忒藩—玻耳兹曼定律：q =°T，其中，q—热流密度；忘—斯忒藩—玻耳兹曼常数；T —辐射物体的热力学温度。
3.导热系数、表面传热系数及传热系数的单位各是什么？哪些是物性参数，哪些与过程有关？答：① 导热系数的单位是：W/(m.K):② 表面传热系数的单位是：W/(m2.K):③ 传热系数的单位是：W/(m2.K)。
这三个参数中，只有导热系数是物性参数，其它均与过程有关。
4.当热量从壁面一侧的流体穿过壁面传给另一侧的流体时，冷、热流体之间的换热量可以通过其中任何一个环节来计算(过程是稳态的)，但本章中又引入了传热方程式，并说它是“换热器热工计算的基本公式”。
试分析引入传热方程式的工程实用意义。
答：因为在许多工业换热设备中，进行热量交换的冷、热流体也常处于固体壁面的两侧，是工程技术中经常遇到的一种典型热量传递过程。
5.用铝制的水壶烧开水时，尽管炉火很旺，但水壶仍然安然无恙。
传热大作业-数值解法-清华-传热学
一维非稳态导热的数值解法一、导热问题数值解法的认识（一）背景所谓求解导热问题，就是对导热微分方程在规定的定解条件下的积分求解。
这样获得的解称为分析解。
近100年来，对大量几何形状及边界条件比较简单的问题获得了分析解。
但是，对于工程技术中遇到的许多几何形状或边界条件复杂的导热问题，由于数学上的困难目前还无法得出其分析解。
另一方面，在近几十年中，随着计算机技术的迅速发展，对物理问题进行离散求解的数值方法发展十分迅速，并得到日益广泛的应用。
这些数值方法包括有限差分法、有限元法及边界元法等。
其中，有限差分法物理概念明确，实施方法简便，本次大作业即采用有限差分法。
（二）基本思想把原来在时间、空间坐标系中连续的物理量的场，如导热物体的温度场，用有限个离散点上的值的集合来代替，将连续物理量场的求解问题转化为各离散点物理量的求解问题，将微分方程的求解问题转化为离散点被求物理量的代数方程的求解问题。
（三）基本步骤（1）建立控制方程及定解条件。
根据具体的物理模型，建立符合条件的导热微分方程和边界条件。
（2）区域离散化。
用一系列与坐标轴平行的网格线把求解区域划分成许多子区域，以网格线的交点作为需要确定温度值的空间位置，称为节点。
每一个节点都可以看成是以它为中心的一个小区域的代表，将小区域称之为元体。
（3）建立节点物理量的代数方程。
建立方法主要包括泰勒级数展开法和热平衡法。
（4）设立迭代初场。
（5）求解代数方程组。
（6）解的分析。
对于数值计算所获得的温度场及所需的一些其他物理量应作仔细分析，以获得定性或定量上的一些结论。
对于不符合实际情况的应作修正。
二、问题及求解（一）题目一厚度为0.1m 的无限大平壁，两侧均为对流换热边界条件，初始时两侧流体温度与壁内温度一致，1205f f t t t ===℃；已知两侧对流换热系数分别为h 1=11 W/m 2K 、h 2=23W/m 2K ，壁的导热系数λ=0.43W/mK ，导温系数a=0.3437×10-6 m 2/s 。
高等传热学导热练习题
高等传热学导热练习题1. 试求圆柱坐标),,(z r φ的拉梅系数。
圆柱坐标(,,)r z φ和直角坐标(,,)x y z 的 关系是：cos x r φ=，sin y r φ=，z z = 解：由题目条件得：2222221cos sin 1x y z a r r r φφ∂∂∂⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=+= ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭得：11a =()()22222222sin cos x y z a r r r φφφφφ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∂∂∂=++=−+= ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭得：2a r =222231x y z a z z z ∂∂∂⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++= ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭得：31a =123a a a a r ==3. 一维无限大平板，0≤x ≤L ，初始温度为F(x)。
当时间0>τ时，x=0处与x=L 处的边界温度维持零度。
试求时间0>τ时，平板内温度),(τx t 的表达式。
并求当初始温度F(x)=t 0=常数这种特殊情况下的温度),(τx t 。
解：该导热问题的数学描写为：()()()()()()22,,1,0,00,0,0,0t x t x x L x t t L t x F x τττατττ⎧∂∂=<<>⎪∂∂⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪=⎩ 分离变量：()()(),t x X x ττ=⋅Γ 代入温度微分方程得：()()()()22211d X x d const X x dx d τβαττΓ==−=Γ得时间函数：()2e αβττ−Γ=空间变量的特征值问题为：()()()()222000d X x X x dxX X L β⎧+=⎪⎨⎪==⎩查表得：()(),sin m m X x x ββ=，()12m N Lβ=，m β是()sin 0m L β=的正根 温度通解为：()()21,,m m m m t x c X x e αβττβ∞−==∑代入初始条件可得：()()(),Lm mm X x F x dxc N ββ=⎰将上式代入温度的通用级数解，可得：()()()()2012,sin sin m L m m m t x x F x dx x e Lαβττββ∞−='''=⋅⋅∑⎰ 对于()0F x const t ==的情形，可得：()()()2011cos 2,sin m m m m m L t t x x e Lαβτβτββ∞−=−=⋅∑4. 一维无限大平板，0≤x ≤L ，初始温度为F(x)。
高等传热学-课后作业-部分
1-5 椭球坐标系（),,ϕθη由η=常数的椭球面，θ=常数的双曲线面和ϕ=常数的平面组成。
如果椭球坐标系与直角坐标系的关系为：θηϕθηϕθηcos sin sin cos sin Ach z Ash y Ash x === 试证明该椭球坐标系的拉梅系数为：1H =ηH =2222cos sin θηθηsh ch A + θH H =12222cos sin θηθηsh ch A += ψH H =1θηsin Ash =并证明椭球坐标系中拉普拉斯算子的表达式为：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂+∂∂+=∇θθθηηηθηθηt t t cth t sh ch A t cot )cos sin (12222222222ψθη22222sin 1∂∂+tsh A 解：（1）由式1 -2-18知 2221)()()(ηηηη∂∂+∂∂+∂∂==zy x H H 22222222222sin sin cos cos cos θηψθηψθηch A sh A sh A ++=θηsin Ash =（2）由式1 -2 - 25知ψθηθθθηηηθηθηψθηθθηθηθηθηθηηθηθηψθθθηηηψψψθθθηηηψψηθηη22222222222222222222222222222223332233222122321321223322333212322212312sin 1cot )cos sin (1sin 1sin cos sin sin )cos sin (11]11[1])([1)( )()([1)3,2,1()(1∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂+∂∂+=∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂+∂∂+=∂∂+∂∂∂∂+∂∂+∂∂∂∂+∂∂=∂∂+∂∂∂∂+∂∂+∂∂∂∂+∂∂+∂∂∂∂=∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂==∂∂∂∂=∇∑=tsh A t t t cth t sh ch A tsh A t Ash Ach t t Ash Ach t sh ch A t H t H H t t H H t H H t H H H t H H H t H t H t H t H H H H tH H t H H t H H H i x t H H x Ht ii i i3-2 大平壁的初始温度均匀为0t ，从某一时刻起其两表面的温度突然降为w t 并保持不变，试求:（1）写出该导热问题的数学描述； （2）用分离变量法求解平壁中的温度场。
高等传热学课程作业1教材
Homework 5.21. Slug flow in a tube(u(r) = V) with a fully developed temperature profile:- Constant heat flux - What is T(r)?·Remember dT m /dx = constant·Use dT/dr = 0 at r = 0 and T w at r = R to get ingration constants - What is Nu? A: 根据能量方程，221p p T T T T c u c v k rk r x r r rx ρρ∂∂∂∂∂⎛⎫+=+ ⎪∂∂∂∂∂⎝⎭(1) 对于充分发展的管内弹状流，u=0, 且由于mdT T x dx∂=∂= constant ，因此(1)式可化简为： 1m p dT Tc Vk r dx r r rρ∂∂⎛⎫= ⎪∂∂⎝⎭(2) 解之可得，212(r)ln 4p m V c dT T r C r C k dxρ=⋅⋅++ (3) 根据边界条件，0,, T(r)=T w Tr rr R ∂==∂= 代入(3)中，得到C 1=0, 224p m w V c dT C T R k dxρ=-⋅平均温度201()2Rm T T r rdr R ππ=⎰ 28()m w m p dT kT T dx V c Rρ=- 因此，得到22222(r)(1)22()4m w m w w m dT VR r r T T T T T T dx R Rα=+⋅⋅-=-+-2288q''h()()()222p p m w m w m w m p mc c R V dT k kT T T T T T R dx R V c R Rρπππρ=-=⋅=⋅-=- 28h d h R Nu k k⋅⋅===2. Fully developed Poiseuille flow between parallel plates- Constant heat flux- Top and bottom at the same temperature - Neglect viscous dissipation - What is T(y)?·Remember dT m /dx = constant·Use T w at y = 0 and y = h to get integration constants - What is Nu? A: 根据能量方程，2222()p p T T T T c u c v k x y x yρρ∂∂∂∂+=+∂∂∂∂ (1)对于x 方向充分发展的Poiseuille 流，v=w=0 由于mdT T x dx∂=∂= constant ，(1)式可化为： 22p T T c u k x yρ∂∂=∂∂ (2)根据01()hm u u y dy h =⎰，且22()6()m u y y y u h h=-，代入得到22226()m m p dT y y Tu c k h h dx yρ∂-=∂解得温度分布为34122()()2p m m c u dT y y T y C y C k dx h h ρ=⋅-++ (3)根据Poiseuille 流边界条件：0,w y T T == ,w y h T T ==带入(3)式中解得，12p m mc u dT C h kdxρ=-, 2w C T =因此，得到温度分布为342()()22p m p m m m w c u c u dT dT y y T y y T k dx h h k dxρρ=⋅--⋅+ 根据342220011()()6()22h hp m p m m m m w m m m c u c u dT dT y y y y T T y udy y T u dy hu hu k dx h h k dx h h ρρ⎡⎤⎡⎤==⋅--+-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰⎰∴2140()17m w m m p dT kT T dx u c hρ=- ∴ 140q''h()()17p m w m w m mc dT kT T T T L dx L =-=⋅=- Nu 14017=Homework 5.31. Find the equation for the boundary layer thickness δ and for C f for:23()u y a b c d Uηηη=+++ Compare to the exact values and the fourth order equation solutions. A: 对于23()u y a b c d Uηηη=+++，根据边界条件， 0, u=0y =，∴ a = 0,y u U δ==，∴ 1 = b + c + d 对于平板，有220y uy =∂=∂，∴ c = 0根据0y u yδ=∂=∂，∴ b + 3d = 0由此可得，a = 0, b = 1.5, c = 0, d = -0.5.3()3122u y U ηη=- 2200333()222w y y u y UU yμτμμδδδ==∂=-=-⋅-=-∂1039(1)280i u u y d U U δδδ=-=⎰ 对于U = constant ，23-2i w UU x δδμρτδδ∂==∂积分后得到，xδ=与精确解相差7.2%，与4级近似解相差20.5%02223=1122y f uy U C U U U μτμδρρρ=∂∂==，且x δ=f C ==与精确解相差2.6%，与4级近似解相差5.5%2. Derive the ordinary differential equation and the boundary conditions for the Blasius solution energy equation for flow over a flat plate. (See pages 29-30) A: 根据能量方程，22()k p T T T c u v x y yρ∂∂∂+=∂∂∂w w T T T T θ∞-=-，22()k p c uv x y y θθθρ∂∂∂+=∂∂∂ 常壁温边界条件：0,0,1y y θθ===∞=根据Blasius solution δη≈===3/22222221122x x x x y y U y y y x θθηθθηηηηθθηθηηθθηθθηηνη∂∂∂∂-∂⎛⎫⎛⎫===⋅-⋅ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭∂∂∂∂==∂∂∂∂⎛∂∂∂∂∂∂==⋅=⋅ ∂∂∂∂∂∂⎝代入能量方程中得到，)1'''''2p p U c f U c f f k x vx ηρθρηθθ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭即 2''Pr '0f θθ+= 边界条件为00;1ηθηθ===∞=，，3. Start from the local friction coefficient for flow over a flat plate, C f , on slide 31 andderive the average friction coefficient over the entire plate, C L . Show your work. A:2(x)12f C U τρ===01LL C L ==⎰4. A projectile in the form of a bluff-ended cylinder 20 cm in diameter and 60 cm long, moves through the air in the direction of its long axis at a velocity U of 100 m/s.212Dfrontal F C A U ρ=The drag coefficient, C, is equal to 1.0 for this object. Frontal area=πD 2/4, F D = total dragAssuming that the boundary layer thickness over the cylindrical surface of the projectile at a distance x from the leading edge is given by:xδ=and that the momentum thickness of the boundary layer is given by:772i δδ=Find what proportion of the total drag on the projectile is attributable to skin friction over the curved surface, assuming no pressure gradient in the boundary layer in the streamline direction.Data. Air kinematic viscosity is 0.15 cm 2/s Air density is 1.15 Kg/m 3Assumptions: Assume this is like a flat plate, then use the equation on slide 15.A: 22*()i w U dU U x dxδρρδτ∂+=∂ 若将圆柱表面看成平板，U = constant,0dUdx=，则22()772i w U U x xδδτρρ∂∂==∂∂因为xδ=∴4155x x x δ-⎛⎫⎛⎫∂∂∂=== ⎪ ⎪∂∂∂⎝⎭125772w U τρ-=1125500070.131372LLL w f dx U dx x dx τρ--====⎰⎰⎰12.16N22142D F D U πρ=⋅=180.64N DfF =6.7%Homework 5.41. Derive the equation relating q” to the temperature difference for natural convection driven flow in a round tube (like on slide 19 for parallel plates). - water properties at 25 C - tube length = 100 cm - tube diameter = 1 mm - constant heat flux- fully developed flow in a tube (from the first homework)a) Plot ∆T and Q (m 3/s) versus heat flux for fluxes of 500 to 5000 W/m 2 b) Is the assumption of fully developed flow valid? - hint: is L/(D Re) > 0.05c) Is the Boussinesq approximation valid here? A: 圆管内充分发展的流体，其速度分布为 22214R p r u z R μ⎛⎫∂=- ⎪∂⎝⎭平均速度2222201(1)2r 48RR p r R p u dr R z R zππμμ∂∂=⋅⋅-=-⋅∂∂⎰体积流量为44288R p R pQ R u z Lπππμμ∂∆===∂()()()22L LL L Lp gdy g T T dy g T T g T ρρρβρβρβ∞∞∞∞∞∞∆=-=-=-=∆⎰⎰ 根据能量平衡，''2p Qc T q RL ρπ∆=即4''28p R pc T q RL L πρπμ∆∆=将p ∆代入，得到()232''32p c gR q T Lρβμ∞=∆Pr ''''32R cond Gr q q =，''cond T q R λ∆= a) 根据以上推导过程可以得到，T ∆=Q =分别作出当2''500~5000/q W m =时T ∆与Q 随q’’变化的曲线，如下图所示。
高等传热学答案参考
7.4 常物性流体在两无限大平行平板之间作稳态层流流动，下板静止不动，上板在外力作用下以恒定速度U 运动，试推导连续性方程和动量方程。
解：按照题意0,0=∂∂=∂∂=xv y v v 故连续性方程0=∂∂+∂∂y v x u 可简化为0=∂∂xu因流体是常物性，不可压缩的，N-S 方程为 x 方向：)(12222yu x u v y p F y u v x u u x ∂∂+∂∂+∂∂-=∂∂+∂∂ρρ 可简化为022=∂∂+∂∂-yv x p F x ηy 方向)(12222yv x v v y p F y v v x v u y ∂∂+∂∂+∂∂-=∂∂+∂∂ρρ 可简化为0=∂∂=ypF y8-3，试证明，流体外掠平壁层流边界层换热的局部努赛尔特数为1212Re Pr x Nu r =证明：适用于外掠平板的层流边界层的能量方程22t t t u v a x y y∂∂∂+=∂∂∂ 常壁温边界条件为0w y t t y ∞==→∞时，时，t=t引入量纲一的温度wwt t t t ∞-Θ=-则上述能量方程变为22u v a x y y∂Θ∂Θ∂Θ+=∂∂∂引入相似变量1Re ()y yx x ηδ===有11()(()22x x xηηηηη∂Θ∂Θ∂''==Θ-=-Θ∂∂∂()y y ηηη∂Θ∂Θ∂'==∂∂∂；22()U y x ηυ∞∂Θ''=Θ∂ 将上三式和流函数表示的速度代入边界层能量方程，得到1Pr 02f '''Θ+Θ=当Pr 1时，速度边界层厚度远小于温度边界层厚度，可近似认为温度边界层内速度为主流速度，即1,f f η'==，则由上式可得Pr ()2d f d η''Θ'=-'Θ，求解可得 1212()()Pr 2Pr(0)()erf ηηπΘ='Θ=则12120.564Re Pr x xNu = 8-4，求证，常物性不可压缩流体，对于层流边界层的二维滞止流动，其局部努赛尔特数满足10.4220.57Re Pr x Nu =⋅证明：对于题中所给情况，能量方程可表示为22u v x y yθθθα∂∂∂+=∂∂∂其中，,,()u v y x ψψψθθηθ∂∂==-===∂∂故上式可转化为Pr02θζθ'''+⋅⋅= 经两次积分，得到0000Pr [exp()]2()Pr [exp()]2d d d d ημμζηηθμζηη∞-=-⎰⎰⎰⎰ 定义表面传热系数s x s q h T T ∞=-，则(0)q '= 进一步，进行无量纲化处理，引入局部努赛尔特数12(0)Re x x x h x x Nu k ⋅'===其中1200Re (0)Pr [exp()]2xd d μθζηη∞'=-⎰⎰ 针对层流边界层的条件，查由埃克特给出的计算表如下：不同Pr 数下，常物性层流边界层，12Re x Nu -⋅的值故可看出，12Re x Nu -⋅=常数，进而，12()=x h xu k υ-∞⋅=1常数C ， 由1m u C x ∞=⋅，得11212m C khxυ-=⋅对于二维滞止流，m=1，则h 也为常数，从x=0到x 处的平均热导率h m 定义为1xm h hdx x =⎰故11112212120121m m x m C k C k h x dx x x m υυ--=⋅=⋅⋅+⎰， 则21m h h m =+，由此可看出，在m=1时，努赛尔特数的近似解可以很好的表示为10.4220.57Re PrxNu=⋅同样的，我们也可以得到三维滞止流的近似解10.4220.76Re PrxNu=⋅。
高等传热习题答案全部
1-21）推导柱坐标系中的导热微分方程因为cos x r ϕ=，sin y r ϕ=，z z =所以有111cos sin 0x xx r y yx r z zx r ϕϕ⎧∂∂==⎪∂∂⎪⎪∂∂==⎨∂∂⎪⎪∂∂==⎪∂∂⎩ 222sin cos 0x xr x y yr x z zx ϕϕϕϕϕ⎧∂∂==-⎪∂∂⎪⎪∂∂==⎨∂∂⎪⎪∂∂==⎪∂∂⎩ 333001x xx z y yx z z zx z ⎧∂∂==⎪∂∂⎪⎪∂∂==⎨∂∂⎪⎪∂∂==⎪∂∂⎩ 由上面关系式我们可得11r H H ===(1.1)2H H r ϕ===(1.2)31z H H ==(1.3)由（1.1）、（1.2）、（1.3）得H r =32211V i i i i H t t q Hx H x =⎛⎫∂∂∇=+ ⎪∂∂⎝⎭∑ (1.4)把（1.1）、（1.2）、（1.3）代入式（1.4）中得柱坐标系中的导热微分方程22222211t t tt r r r r r zϕ∂∂∂∂⎛⎫∇=++ ⎪∂∂∂∂⎝⎭ (1.5)2）推导球坐标系中的导热微分方程因为sin cos x r θϕ=，sin sin y r θϕ=，cos z r θ=所以有111sin cos sin sin cos x xx r y yx r z zx r θϕθϕθ⎧∂∂==⎪∂∂⎪⎪∂∂==⎨∂∂⎪⎪∂∂==⎪∂∂⎩ 222c o s c o s c o s s i n sin x xr x y yr x z zr x θϕθθϕθθθ⎧∂∂==⎪∂∂⎪⎪∂∂==⎨∂∂⎪⎪∂∂==-⎪∂∂⎩ 222s i n s i n s i n c o s 0x xr x y yr x z zx θϕϕθϕϕϕ⎧∂∂==-⎪∂∂⎪⎪∂∂==⎨∂∂⎪⎪∂∂==⎪∂∂⎩ 由上面关系式我们可得11r H H === (1.6)2H H r θ===(1.7)3sin H H r ϕθ===(1.8)由（1.1）、（1.2）、（1.3）得2sin H r θ=把（1.6）、（1.7）、（1.8）代入式（1.4）中得球坐标系中的导热微分方程22222222111sin sin sin t t tt r r r r r r θθθθθϕ∂∂∂∂∂⎛⎫⎛⎫∇=++ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭ (1.9)1-4设,,r θϕ为导热系数主轴则sin rr tq r t q r t q r θθϕϕλλθλθϕ⎧∂=-⎪∂⎪∂⎪=-⎨∂⎪∂⎪=-⎪∂⎩(1.10)在非稳态导热微分方程中311i i i i H q q Hx H =⎛⎫∂∇=⎪∂⎝⎭∑ (1.11)其中球坐标系中11H =，2H r =，3sin H r θ=，2sin H r θ=，由（1.10），（1.11）得22222111sin sin sin r t t t q r r r r r r θϕλλθλθθθθϕϕ⎛⎫∂∂∂∂∂∂⎛⎫⎛⎫-∇=++ ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭(1.12) 非稳态导热微分方程为V tcq q ρτ∂=-∇+∂ (1.13)将（1.12）代入（1.13）得各向异性介质在球坐标系中(),,r θϕ中的非稳态导热方程22222111sin sin sin r v t t t t cr q r r r r r θϕρλλθλτθθθθϕϕ⎛⎫∂∂∂∂∂∂∂⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭(1.14)1-5有题目中的给定的已知条件得sin cos sin sin cos xAch yAch zAsh ηθϕηηθϕηηθη⎧∂=⎪∂⎪⎪∂=⎨∂⎪⎪∂=⎪∂⎩c o s c o s c o s s i n s i n xA s hyA s h zA c hηθϕθηθϕθηθη⎧∂=⎪∂⎪∂⎪=⎨∂⎪∂⎪=-⎪∂⎩s i ns i n s i n c o s 0xAsh yAsh zηθϕϕηθϕϕϕ⎧∂=-⎪∂⎪⎪∂=⎨∂⎪⎪∂=⎪∂⎩由以上公式可得椭球坐标系的拉梅系数为sin H H H Ash ηθϕηθ⎧=⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩(1.15)()32222sin sin cos H A sh ch sh ηθηθηθ=+(1.16)把式（1.15）、（1.16）代入（1.4）中得()22222222222222211cot sin sin cos t t t t tt cth A sh A ch sh ηθηηθθηθϕηθηθ⎛⎫∂∂∂∂∂∇=++++⎪∂∂∂∂∂+⎝⎭(1.17)2-1首先对铝导线进行分析求出铝导线的温度场，这是一个一维稳态有内热源的问题 在圆柱坐标系中建立其导热微分方程得10v d dt r q λ⎛⎫⎪⎝⎭+= (2.1)其中λ按常物性处理解导热微分方程得212ln 4v q t r c r c λ=-++ (2.2)把边界条件带入上式求解两个常数0r =，0tr∂=∂求得10c =，所以（2.2）式变为224v qt r c λ=-+(2.3)r R =，w t t =求得224v w q c t R λ=+(2.4)铝导线内温度场为()224v w q t t R r λ=+- (2.5)铝导线单位长度发热量： 222l v I Q q R R ρππ==，所以224v I q Rρπ=横截面积2A R π=，所以0.977R mm ===， 1.954D mm =1R R =为裸线直径；2R 为塑胶线的外径对于裸线：()12l w f Q h t t R π=-(2.6)12lw f Q t t h R π=+(2.7)把（2.7）式带入（2.5）式得()2211124l v f Q qt t R r h R πλ=++-(2.8)把lQ 、vq 带入得（2.8）式得()22221232411124f I I t t R r h R R ρρπλπ=++- (2.9)对于塑胶线：21221122ln w fl D D h R t t Q πλπ-=+ (2.10)222111ln 22w f l D t t Q h R D ππλ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭(2.11)把lQ 代入得222122111ln 22w f D I t t R h R D ρπππλ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭(2.12)把（2.12）式带入（2.5）式得 ()2222121221111ln 224v f q D I t t R r R h R D ρπππλλ⎛⎫=+++- ⎪⎝⎭即()2222212412211111ln 224f D I I t t R r R h R D R ρρπππλλπ⎛⎫=+++- ⎪⎝⎭ (2.13)设导线内部0r =时温度为0t ，根据题目要求导线内部最高温度与环境温度的温差不得超过 80℃，即080f t t -=℃时通过导线的电流取到最大值。
《高等传热学》作业
《高等传热学》作业1．试写出如下热传导问题的数学描述：⑴一块平板，0≤x≤l，初始温度为f(x)。
当时间τ>0时，x=0处的边界始终绝热，x=l处的边界以对流方式将热量传给温度为零度的介质。
⑵一半无限大物体，0≤x<∞，初始温度为f(x)。
当时间τ>0时，物体内产生速率为常数q0[W/m3]的热量，而x=0处的边界始终为零度。
⑶一实心圆柱体，0≤r≤b，初始温度为f(r)。
当时间τ>0时，物体内产生速率为q(r)[W/m3]的热量，而r=b的边界处，以对流方式将热量传给温度为零度的介质。
⑷一实心球，0≤r≤b，初始温度为f(r)。
当时间τ>0时，物体内产生速率为q(r)[W/m3]的热量，而r=b处始终保持均匀温度t0。
2．一半无限大物体，0≤x<∞，初始温度为零度。
当时间τ>0时，x=0的边界始终维持恒温t0。
试求时间τ>0时平板内温度分布t(x,τ)、渗透深度δ(τ)和x=0边界处热流密度q(0,τ)的表达式。
3．一维无限大物体，-∞<x<∞，初始时，区域a<x<b处于恒温t0，在该区域外均为零度。
试求时间τ>0时物体内温度分布t(x,τ)的表达式。
4．试写出一口油井投产、关井、再投产三个不同阶段的井温计算公式。
5．试导出埋地热力管道内流体沿程温度分布计算公式。
6．一长方柱体，两相邻面维持200℃，另两相邻面维持100℃，试用蒙特卡洛法编程计算长方柱体中心线的温度。
要求两个方向各等分成十份，给出源程序，并测试随机试验次数对计算结果的影响。
7. 试根据边界层微分方程组导出普朗特数为1的流体沿恒壁温平板对流换热时对流换热系数与壁面摩擦系数的关系。
8．概念解释：紊流强度、边界层厚度、位移厚度、动量厚度、壁面通用速度型、壁层、辐射密度、辐射压力、总辐射温度、表观单色温度、色温度。
9．试用热力学方法导出斯蒂芬—玻尔兹曼定律。
高等传热学对流练习题
hx
=
qw Tw − Tb
=
35 17b
Nux
=
hx
( 4b )
=
140 17
=
8.235
5. Pr 1，常物性不可压缩流体的惯性力相对很小，可以忽略不计。若采用无量纲坐标
=
y x
Grx 4
14
Pr
，
f
=
4(Grx Pr
4)1
4
a
，
=
T Tw
− T − T
证明：描述该流体竖壁自然对流边界层流动和换热的常微分方程为：
qw = const ，求热充分发展时壁面 Nu。
解：由于对称性，取两平板中心线为 x 轴，垂直平板方向为 y 轴。对于充分发展的均匀热流边界条件问题，
轴向导热为零， T x
=
dTb dx
= const
， 2T x2
= 0 。可得能量方程和边界条件为：
能量方程：
T 2T u x = cp y2
边界条件：
3
4
y
2
b
−
1 8
y b
2
−
5
8
由面平均概念得：
b
b
udy udy
ub =
−b b
dy
=
−b
2b
−b
b
Tb =
uTdy
−b b
udy
=
1 2bub
b
uTdy
−b
−b
将 u、T 代入上式：
Tb
=
1 2bub
b −b
3 2 ub
1 −
y b
2
Tw
传热作业答案
对流换热设备与工具
对流换热设备：包括加热器、散热器、空气预热器等，用于实现热量的传递和交换。
对流换热工具：包括温度计、压力表、流量计等，用于测量和控制对流换热过程中的各种参数。
注意事项：在使用对流换热设备与工具时，需要注意设备的选型、安装和使用方法，以确保换热效 果和安全性。
维护保养：定期对设备进行维护保养，包括清洗、更换损坏的部件等，以保证设备的正常运行和使 用寿命。
辐射换热设备与工具
辐射换热设备：包括辐射换热器、辐射加热器等，用于将热量通过辐射形式传递给物体 辐射换热工具：包括红外线测温仪、红外线热像仪等，用于测量物体表面的温度和热像
辐射换热原理：介绍辐射换热的物理原理，包括黑体辐射定律、普朗克辐射定律等 辐射换热应用：介绍辐射换热在工业、农业、医学等领域的应用情况
智能化和自动化：利用 人工智能、大数据等先 进技术，实现传热作业 的智能化和自动化，提 高生产效率和质量。
环保和可持续发展：注 重环保和可持续发展， 采用清洁能源和低碳技 术，减少对环境的影响 。
多领域融合：将传热技 术与其他领域的技术融 合，拓展应用领域，提 高传热作业的附加值。
感谢您的耐心观看
换热原理：阐述对 流换热的原理，包 括流体流动、热量 传递等
案例分析：详细分析 案例中的对流换热过 程，包括换热器的设 计、选型、运行等
案例总结：总结案 例中的经验教训， 提出改进措施和建 议
辐射换热案例分析
案例背景：介绍辐射换热的基本原理和概念 案例描述：详细描述辐射换热的具体案例，包括设备、操作过程等 案例分析：对案例进行深入的分析，包括传热过程、热量传递方式等 案例总结：总结案例的优点和不足，提出改进意见和建议
传热作业可以通过不同的方式 实现，如热传导、热对流和热
传热学作业题
=1 .0 4W / (m K ), tw1 5 2 0 o C , tw 2 5 0 o C ,
t 2 4 h , q 煤 = 2 .0 9 1 0 4 kJ / kg， 求 Q 损 , m 煤
解 ： 由 导 热 公 式 ： = - A d t ， dx
d x = - A d t
18油气储运工程oilgasstoragetransportationengineering传热学传热学油气储运工程100mm01m20kgm5016340050003300023003300023225008475由附录表查得对应温度下的导热系数为19油气储运工程oilgasstoragetransportationengineering传热学传热学油气储运工程314008475400501630310120油气储运工程oilgasstoragetransportationengineering传热学传热学油气储运工程226附图所示储罐用厚为20mm的塑料制成其导热系数15w储罐内装满工业用油油中安置了一电热器使罐的内表面温度维持在400k
传热学
第四版 主讲教师：邵宝力
1-10
• 一炉子的炉墙厚 13cm，总面积为 20m2，平均导热 系数为 1.04w/(m·k)，内外壁温分别是 520℃及 50℃。试计算通过炉墙的热损失。 如果所燃用的 煤的发热量是 2.09× 104kJ/kg， 问每天因热损失要 用掉多少千克煤？
1 - 1 0 . 已 知 条 件 ： h =1 3cm = 0 .1 3 m ， S = 2 0 m 2 ,
2-14
• 外径为 100mm 的蒸气管道，覆盖密度为 20kg/m3 的超细玻璃棉毡保温。已知蒸气管道外壁温度为 400℃，希望保温层外表面温度不超过 50℃。且每 米长管道上散热量小于 163W，试确定所需的保温 层厚度。
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高等传热学作业修订版 IBMT standardization office【IBMT5AB-IBMT08-IBMT2C-ZZT18】第一章1-4、试写出各向异性介质在球坐标系)(ϕθ、、r 中的非稳态导热方程，已知坐标为导热系数主轴。
解：球坐标微元控制体如图所示：热流密度矢量和傅里叶定律通用表达式为：→→→∂∂+∂∂+∂∂-=∆-=k T r k j T r k i r T k T k q r ϕθθϕθsin 11'' （1-1）根据能量守恒：st out g in E E E E ••••=-+ϕθθρϕθθϕϕθθϕθd drd r tT c d drd r q d q d q dr r q p r sin sin 22∂∂=+∂∂-∂∂-∂∂-• （1-2） 导热速率可根据傅里叶定律计算：ϕθθθθd r dr Tr k q sin ⋅∂∂-= （1-3） 将上述式子代入（1-4-3）可得到)51(sin sin )sin ()sin (sin )(222-∂∂=+⋅⋅∂∂∂∂+⋅⋅∂∂∂∂+⋅⋅∂∂⋅∂∂⋅ϕθθρϕθθϕθϕθϕϕθθθθϕθθϕθd drd r t T c d drd r q d rd dr T r k rd d dr T r k d d dr r T r k r p r 对于各向异性材料，化简整理后可得到：tTc q T r k T r k r T r r r k pr ∂∂=+∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂⋅ρϕθθθθθϕθ2222222sin )(sin sin )( （1-6）第二章2-3、一长方柱体的上下表面(x=0，x=δ)的温度分别保持为1t 和2t ，两侧面(L y ±=)向温度为1t 的周围介质散热，表面传热系数为h 。
试用分离变量法求解长方柱体中的稳态温度场。
解：根据题意画出示意图：（1）设f f f t t t t t t -=-=-=2211,,θθθ，根据题意写出下列方程组⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=+∂∂==∂∂======∂∂+∂∂00000212222θθλθθθδθθθθh y L y y y x x y x （2-1）解上述方程可以把θ分解成两部分I θ和∏θ两部分分别求解，然后运用叠加原理∏+=θθθI 得出最终温度场，一下为分解的I θ和∏θ两部分： （2）首先求解温度场I θ用分离变量法假设所求的温度分布),(y x I θ可以表示成一个x 的函数和一个y 的函数的乘积，即)()(),(11y Y x X y x I =θ （2-2）将上式代入I θ的导热微分方程中，得到012121212=+X dy Y d Y dx X d ，即21''11''1ε=-=Y Y X X ，上式等号左边是x 的函数，右边是y 的函数，只有他们都等于一个常数时才可能成立，记这个常数为2ε。
由此得到一个待定常数的两个常微分方程001221212212=+=-Y dyY d X dx X d εε （2-3） 解得)()()(1x Bsh x Ach x X εε+= （2-4） )sin()cos()(1y D y C y Y εε+= （2-5）把边界条件0,0=∂∂=yy Iθ代入（2-3-4）得到A=0，所以有 )()(1x Bsh x X ε= （2-6）把边界条件0,=∂∂=yL y Iθ代入（2-3-5）得到D=0，所以有 )cos()(1y C y Y ε= （2-7）把边界条件0,=+∂∂=I Ih yL y θθλ联立（2-3-7）得到 λεε/)cot(hL LL =（2-8）设Bi hL L ==λβε/,，则有i B /)cot(ββ=，这个方程有无穷多个解，即常数β有无穷多个值，即)3,2,1( =n n β，所以对应无穷多个ε，即)3,2,1( =n n ε，所以有)cos()(1y C y Y n n ε= （2-9）联立（2-3-6）可得∑∞==1)()cos(),(n n n n I x sh y K y x εεθ （2-10）把边界条件2,θθδ==I x 代入上式可得⎰⎰=Ln n n Ln dy y sh K dy y 0202)(cos )()cos(εδεεθ （2-11）解得])cos())[sin(/()sin(22n n n n n n L sh K βββδββθ+=（2-12）其中L n n εβ=)()cos(])cos())[sin(/()sin(2),(12x L sh y L L sh y x n n n n n n n n I βββββδββθθ∑∞=+= （2-13）（3）求解温度场∏θ与解I θ一样用分离变量法，假设所求温度分布),(y x ∏θ可以表示成一个x 的函数和一个y 的函数的乘积)()(),(22x Y x X y x =∏θ （2-14）将该式子代入∏θ的导热微分方程中得到022222222=+X dyY d Y dx X d ，即22''22''2ε=-=Y Y X X ，由此可得到两个常微分方程02222=-X dxX d ε （2-15） 022222=+Y dyY d ε （2-16）解式（2-3-15）时根据x 的边界条件可以把解的形式写为)]([)]([)(2x Bsh x Ach x X -+-=δεδε （2-17） 把边界条件0,==∏θδx 代入上式，得到A=0，所以有)]([)(2x Bsh x X -=δε （2-18） 其中i n n n n B L /)cot(,βββε==)]([)cos(),(1x sh y k y x n n n n I -=∑∞=δεεθ （2-19）把边界条件1,0θθ==∏x 代入上式可得⎰⎰-=LLn n nn dy y x sh K dy y 02'1)(cos )]([)cos(εδεεθ （2-20） ])cos())[sin(/()sin(21'n n n n n nL sh K βββδββθ+= （2-21）)]([)cos(])cos())[sin(/()sin(2),(11x L sh y L L sh y x n n n n n n n n -+=∑∞=∏δβββββδββθθ （2-22）（4）最终求得稳态温度场2-5、地热换热器是管中流动的流体与周围土地之间的换热，可应用于热能的储存、地源热泵等工程实际。
一种布置方式是把管子埋设在垂直于地面的钻孔中。
由于管子的长度远大于钻孔的直径，可把管子的散热简化为一个有限长度的线热源。
当运行的时间足够长以后，系统可以达到基本稳定的状态。
设土地是均匀的半无限大介质，线热源单位长度的发热量为ql ，地表面的温度均匀，维持为t0。
使用虚拟热源法求解土地中的稳态温度场。
解：根据题意画出示意图如下：设有限长热源长度为H ，单位长度热源发热量为l q ，电源强度为)(0w dz q l ⨯，设地面温度维持恒定温度00,t t t -=θ。
（1）求解点热源dz0产生的温度场有限长线热源在某点产生的温度可以看做是许多点源在该点产生的温度场的叠加，因此我们先来看下无限大介质中点源产生的温度场，这是一个球坐标系中的无内热源的稳态导热问题，其导热微分方程为：0)(122=drd r dr d r θ（3-1） 解微分方程可得rc c 12-=θ （3-2） 把边界条件0,=∞→θr 代入上式得到02=c ，所以有 rc 1-=θ （3-3） 在球坐标系点热源0dz 单位时间内的发热量等于它在任意球面上产生的热流量Q ，即01244dz q c r drd Q l =-=-=λππθλ（3-4） 所以得到014dz q c lπλ-=由此可得到球坐标系中点热源0dz 产生的温度场为 0*14dz rq l πλθ=（3-5） （2）分别求出两个线热源产生的温度场线热源产生的温度场可以看作是点热源产生的温度场的叠加，因此有地下有限长线热源产生的温度场00114dz rq Hl ⎰=πλθ （3-6） 对称的虚拟热源产生的温度场为00214dz rq Hl ⎰--=πλθ （3-7） （3）虚拟热源法求解的地热换热器产生的温度场⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-++++++++-+-=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡++--+=-+=⎰⎰⎰-z z z z z H z H z H z H q dz z z z z q dz rq dz r q l H l H lHl 22222222002022020000)()(ln 4)(1)(141414ρρρρπλρρπλπλπλθ （3-8） 第三章3-1、用热电偶测量呈简谐波周期变化的气流温度，热电偶的感温节点可看作直径为1mm 的圆球，其材料的密度为8900kg/m3，比热容为390J/(Kg?K)，测温记录最高和最低温度分别为130℃和124℃，周期为20s 。
若已知气流与热电偶间的对流换热的表面传热系数为20W/(m2?K)，试确定气流的真实温度变化范围。
解：气流温度按简谐波变化时，热电偶的温度响应为)cos(*ϕτθ+=w B （4-1）式中)arctan(122r rf w w A B τϕτ-=+=按题目要求102022πππ===T w ，shA cvr 925.2820610139089003=⨯⨯⨯⨯==-ρτ，)/(202k m w h ⋅=，根据题目提供的热电偶测量的最高温度、最低温度，求出热电偶测量的温度变化的振幅如下式32124130122=-=+r f w A τ （4-2） 把r w τ,的数据代入上式中得到气流温度变化的振幅4.27=f A ，所以真实气体温度变化的最大值、最小值为C t 0max 4.1544.272124130=++=（4-3） C t 0min 6.994.272124130=-+=（4-4）3-6、已知初始温度均匀的无限大介质中由连续恒定发热的线热源所引起的温度场由式子)4(4),(2τπλτa r E q r t i l --=确定。
若线热源的加热不是连续的而是间歇的，即从0=τ的时刻起，线热源进行周期性的间歇加热，周期为T ，其中加热的时段为T1，其余的T-T1时间不加热。
试利用线性叠加原理确定介质中的温度响应。
解：无限大介质连续恒定发热的线热源引起的温度场：)4(4),(2τπλτa r E q t r t i i --=-∞ （5-1） 其中：du ue z E zui ⎰∞-=)( 对于随时间变化的热流可以用一系列连续的矩形脉冲热流来近似如图所示：由叠加原理得到τ时刻的温度变化为：)0(,])(4[)(4101121=----=--=∞-∑l i i l l ni q a r E q q t t i i ττπλ （5-2）对于间歇性的脉冲，令T T C l /=为运行份额，如果在整个运行期间的平均热负荷为l q ，则脉冲加热的强度为C q l /，具体见下图： 由叠加原理得到：∑∑∑∞=∞=∞=∞⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡---⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=--------=-0222020)(4(44])(4[4])(4[4n i l i lli n l i n l nT a r E T nT a rE C q T nT a r E q nT a r E q t t ττπλτπλτπλ （5-3）即温度响应为∑∞=∞⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡---⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=-=022)(4(41)(4n i l i l nT a r E T nT a r E C q t t ττπλθ （5-4）第四章4-1、处在x>0的半无限大空间内的一固体，初始温度为溶解温度t m 。