初中数学中考 实数的运算及大小比较
实数大小比较的常用方法
用作差法比较实数的大小的依据是：对任意实数a、b有：
例6比较 与 的大小。
析解：设 ，
则
所以
七、作商法
用作商法比较实数的大小的依据是：对任意正数a、b有：
例7比较 与 的大小。
析解：设 ，
，则
即
八、放缩法
用放缩法比较实数的大小的基本思想方法是：把要比较的两个数进行适当的放大或缩小，使复杂的问题得以简化，来达到比较两个实数的大小的目的。
A.c＜a＜d＜b B.b＜d＜a＜c C.a＜c＜d＜b D.b＜c＜a＜d
分析 可以分别求出a、b、c、d的具体值，从而可以比较大小.
解 因为a＝20＝1，b＝(－3)2＝9，c＝ ＝－ ，d＝ ＝2，而－ ＜1＜2＜9，所以c＜a＜d＜b.故应选A.
除以上七种方法外，还有利用数轴上的点，右边的数总比左边的数大；以及绝对值比较法等比较实数大小的方法。对于不同的问题要灵活用简便合理的方法来解题。能快速地取得令人满意的结果。
解 ∵1-（-2）
=1-+2
=3-﹥0。（3=，﹥）
∴1﹥-2，
∴﹥。
说明：若a、b为实数， a-b﹥0则a﹥b；a-b=0则a=b； a-b﹤0则a﹤b。以后做题时遇到同分母或同分子的问题时可用上面的方法。
二、求商法
例2 ：有两个数A=、 B=比较A、B的大小。
分析：本题在不用计算器的前提下对于初中生来说并不容易。通过观察可以发现分子、分母都可以分解因数。分子含有公因数：111，分母含有公因数：1111。因此可采用两数相除的方法，问题就迎刃而解了。
十一、法则比较法
正数大于0，0大于负数，正数大于负数。两个正数，绝对值大的数较大；两个负数，绝对值大的数反而较小。
八年级数学上册 3.3 实数 第2课时 实数的运算和大小比较课件 (新版)湘教版.pptx
(b+c)a = ba + ca （乘法对于加法的分配律） ；
（9）实数的减法运算规定为 a -b = a + (-b)
；
（10）实数的除法运算（除数b≠ a ÷ b = a·
0)1，规定为 b
；
（11）实数有一条重要性质：如果a≠0，b≠0，那么
ab
≠
0.
4
小提示
实数也可以比较大小：对于实数a，b，如果a-b>0， 则a大于b（或者b小于a），记作a>b（或b<a）；
3.
9
2 5(精确到小数点6, 精确到小数点后面第二位得：3.16.
10
用正方形比较
不用计算器，估计 5 与2哪个大.
解： 5 ，2 分别是5，4的正方形的边长. 容易说明，面积大的正方形，它的边长也大. 因此， 5 > 2 .
5
2
11
小提示
在实数运算中，如果遇到无理数，并且要 求出结果的近似值时，可按要求的精确度用相 应的近似有限小数代替无理数，再进行计算.
12
练习
计算（精确到小数点后面第二位）.
（1） 2 + 3； （2） 5 -1 ； （3） 5 .
≈1.414+1.732≈3.15.
≈2.236-1≈1.24. ≈2.236×3.14≈7.02.
同样地，如果a-b<0，则a<b.还可以得出：正实数大 于一切负实数；两个负实数，绝对值大的数反而小.
从而数轴上右边的点表示的实数比左边的点表示的 实数大.
负实数
原点
正实数
0
<
5
结论
每个正实数有且只有两个平方根，它们互 为相反数;
七年级数学下册《实数的运算及大小比较》优秀教学案例
三、教学策略
（一）情景创设
为了让学生更好地理解实数的运算及大小比较，我将采用情景创设的教学策略。通过设计贴近学生生活的具体情境，让学生在情境中感受数学知识的应用，从而提高他们的学习兴趣和积极性。
1.创设购物情境：如在超市购物时，如何比较不同商品的价格，如何计算购买多件商品的总价等，让学生在实际操作中掌握实数的运算及大小比较。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
1.通过回顾上一节课学习的有理数的运算及大小比较，为学生引入实数的概念作铺垫。
2.提问：“我们已经学习了有理数的运算及大小比较，那么有理数可以涵盖所有的数吗？还有没有其他的数？”引导学生思考实数的概念。
3.利用数轴上的点表示有理数，进而引出无理数的存在，从而导入实数的定义。
2.创设长度比较情境：如比较两条绳子、两本书的长度，让学生在实际测量中学会实数的大小比较。
3.创设故事情境：通过讲述数学家发现无理数的故事，引导学生了解实数的起源，激发他们对数学知识的探索欲望。
（二）问题导向
问题导向教学策略是引导学生主动探究、发现问题、解决问题的有效方法。我将设计一系列具有启发性的问题，引导学生深入探讨实数的运算及大小比较。
4.布置一篇学习心得，让学生反思本节课的学习过程，总结自己的收获和不足。
五、案例亮点
1.情境教学法的巧妙运用
本教学案例充分运用情境教学法，将抽象的实数概念与生活实例相结合，让学生在实际情境中感受数学知识的应用。这种教学方法不仅激发了学生的学习兴趣，还提高了他们的实践操作能力。
2.问题驱动的探究式学习
（四）反思与评价
反思与评价是教学过程中的重要环节，有助于学生巩固知识、提高能力。在本章节的教学中，我将注重以下几个方面：
初中数学实数中考考点分析
初中数学实数中考考点分析一、实数的定义与性质：1.实数的定义：实数包括有理数和无理数，其中有理数包括整数、分数和整数部分为零的小数，无理数包括无限不循环小数和无意义的开方数。
2.实数集的性质：实数集是一个无限的集合，实数集按大小可以分为正数、负数和零三部分，并满足有序性、稠密性和连续性等性质。
二、实数的四则运算：1.实数的加法和减法：实数加法满足交换律和结合律，并可以通过加法逆元进行减法运算。
2.实数的乘法和除法：实数乘法满足交换律和结合律，并可以通过乘法逆元进行除法运算。
3.实数的混合运算：实数的四则运算可以通过运算法则进行混合运算。
三、绝对值与数轴问题：1.绝对值的定义：绝对值是一个非负实数，表示实数与零之间的距离。
2.绝对值的性质：绝对值的值域为非负实数，绝对值为0的实数只有零本身。
3.数轴与实数的表示：实数可以通过数轴上的点来表示，数轴可以用于表示实数的大小关系和计算实数的距离等问题。
四、实数的比大小：1.实数的比较：实数大小比较可以通过比较实数的绝对值来进行。
2.实数的大小关系：实数的大小关系可以通过实数在数轴上的位置来判断。
五、实数的分数表示：1.实数的分数表示：实数可以通过有理数的分数表示，可以将无限循环小数表示为有限小数或分数。
2.实数的分数运算：实数的分数可以通过分数的四则运算进行运算。
六、根式与开方：1.根式的概念：根式是指形如√a的式子，其中a为非负实数。
2.平方根与立方根：平方根是指形如√a的根式，立方根是指形如∛a的根式。
3.根式的四则运算：根式的四则运算可以通过运算法则进行化简。
七、应用题：实数的应用题是指将实数的概念和运算与实际问题相结合的题目，如利用实数表示长度、面积和体积等物理量的问题，以及应用实数进行问题求解等。
这些内容是初中数学实数的一些重点内容，也是中考数学中的重要考点。
在备考中，学生需要熟练掌握实数的定义和性质，加强实数的四则运算能力，掌握绝对值和数轴的使用方法，能够比较和判断实数的大小关系，熟练运用分数和根式进行计算和化简，并能够将实数运用于实际问题的解答中。
实数初中数学知识点总结
实数初中数学知识点总结一、实数的定义与分类实数是数学中最基本的数系之一，包括有理数和无理数两大类。
有理数可以表示为两个整数的比值，形式为a/b，其中a和b为整数，b不为零。
无理数则不能表示为有理数的形式，例如圆周率π和黄金比例φ。
1.1 有理数有理数包括整数和分数。
整数包括正整数、负整数和零，分数则是整数的比值形式。
有理数可以表示为有限小数或无限循环小数。
1.2 无理数无理数是无限不循环小数，常见的无理数有圆周率π、自然对数的底数e等。
无理数不能表示为分数形式。
二、实数的性质实数具有以下性质：- 封闭性：实数的加法、减法、乘法和除法（除数不为零）都是封闭的。
- 有序性：实数集是一个有序集，任何两个实数都可以比较大小。
- 完备性：实数集中的任何有界数列都有一个极限，这个极限也是实数集中的数。
三、实数的运算3.1 加法实数的加法满足交换律和结合律。
两个实数相加，和的符号由绝对值大的数决定，同号相加取原来的符号，异号相加取绝对值大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。
3.2 减法实数的减法可以转化为加法，即a - b = a + (-b)。
减法的顺序改变会改变结果的符号。
3.3 乘法实数的乘法满足交换律、结合律和分配律。
两个正实数相乘得正，两个负实数相乘得正，正实数与负实数相乘得负。
3.4 除法实数的除法可以转化为乘法，即a ÷ b = a × (1/b)。
除以一个非零实数，相当于乘以它的倒数。
四、实数的比较实数的大小比较遵循以下规则：- 正实数都大于零。
- 零大于所有的负实数。
- 负实数都小于零。
- 两个负实数比较大小，其绝对值大的反而小。
五、实数的平方根与立方根5.1 平方根实数a的平方根是一个数b，使得b² = a。
正实数有两个平方根，一个正数和一个负数；零的平方根是零；负数没有实数平方根。
5.2 立方根实数a的立方根是一个数b，使得b³ = a。
七年级上册数学实数知识点
七年级上册数学实数知识点本文对于七年级上册数学实数知识点进行了详细的阐述。
针对初中数学课程中的实数知识点，为了让同学们更好地掌握并应用，本文进行了整理和总结，详细讲解了实数的概念、性质、大小比较、集合的概念与运算等内容。
一、实数的概念实数指的是包括有理数和无理数在内的所有实数的集合，用符号R表示。
其中，有理数包括整数、分数和小数。
无理数指的是不能表示为有理数的数，例如π、√2等。
二、实数的性质1. 一切整数都是实数。
2. 一切分数都是实数。
3. 实数具有传递性，即如果a<b，b<c，则a<c。
4. 实数具有比较性，即任意两个实数都可以进行大小比较。
5. 实数具有相反数性质，即对于任意的实数a，在实数集合中存在唯一的一个实数-b，使得a+b=0。
称-b为a的相反数。
6. 实数具有相加性质，即对于任意的实数a、b，在实数集合中存在一个唯一的实数c，使得a+b=c。
7. 实数具有相乘性质，即对于任意的实数a、b，在实数集合中存在一个唯一的实数c，使得a×b=c。
三、实数的大小比较1. 整数大小比较：对于任意两个整数a、b，如果a<b，则称a 小于b。
反之，如果a>b，则称a大于b。
2. 有理数大小比较：对于任意两个有理数a、b，如果a-b>0，则称a大于b。
如果a-b=0，则称a等于b；如果a-b<0，则称a小于b。
3. 无理数大小比较：无理数大小比较可以采用数轴上的方法。
对于两个无理数a、b，如果它们对应数轴上的点在同一侧，则可以以这两个无理数对应线段的长度来判断大小。
即长度较大的线段所对应的无理数大于长度较小的线段所对应的无理数。
四、实数集合的概念与运算1. 实数集合的概念：实数集合就是由实数构成的集合，它可以用花括号{}括起来表示。
2. 实数集合的分类：（1）有理数集合：由有理数构成的集合，用符号Q表示。
（2）无理数集合：由无理数构成的集合，用符号I表示。
初一实数知识点
初一实数知识点实数是数学中重要的一种数集，其包括有理数和无理数两个部分。
在初中数学中，学生将接触到很多实数知识点。
本文将从实数的性质、大小关系、运算及应用等角度，详细介绍初一实数知识点。
一、实数的性质1. 有序性：对于任意两个实数a和b，存在以下三种关系中的一种：a<b，a=b或者a>b，且这种关系具有传递性，即如果a<b，b<c，则有a<c。
2. 密闭性：如果对于实数集合中的任意两个实数a和b，其和a+b和积ab也必然属于该集合，则称该实数集合是密闭的。
3. 稠密性：对于任意两个实数a和b(a<b)，存在一个实数c，使得a<c<b。
4. 无处不在：实数集合无限延展，其中的数无限多。
无论多小的实数，都存在。
二、实数的大小关系1. 基本不等式：对任意两个实数a和b，有不等式$$2ab≤a^2+b^2$$2. 绝对值：绝对值表示实数与0之间的距离，通常用竖线“| |”表示。
对于任意实数a，则其绝对值定义如下：当a≥0时，$|a|=a$；当a<0时，$|a|=-a$。
3. 实数的比较：对于任意两个实数a和b，若a-b>0，则有a>b；若a-b=0，则有a=b；若a-b<0，则有a<b。
4. 实数的符号：实数a>0时，a为正数；a<0时，a为负数；a=0时，a为零。
三、实数的运算1. 四则运算：实数的四则运算与我们平时的计算方法一致。
其中，加法运算即为两个实数的和；减法运算即为两个实数的差；乘法运算即为两个实数的积；除法运算即为两个实数的商。
2. 平方运算：对于任意实数a，其平方表示为a^2。
3. 立方运算：对于任意实数a，其立方表示为a^3。
4. 乘方运算：对于任意实数a和正整数n，其乘方表示为a^n。
5. 乘方根运算：对于任意正整数n和正实数a，其乘方根表示为$a^{1/n}$，记为$\sqrt[n]{a}$。
初中实数重点难点内容
初中实数重点难点内容初中实数是数学学科中的重要内容，也是初中数学学习的基础。
实数是指包括有理数和无理数的数的集合，其中有理数是可以用分数表示的数，而无理数则不能用分数表示。
初中实数的重点难点内容包括实数的性质、实数的运算、实数的大小比较以及实数的应用等方面。
实数的性质是初中实数的重点内容之一。
实数具有可加性、可乘性和可比性等基本性质。
其中可加性指实数之间可以进行加法运算，两个实数的和仍为实数；可乘性指实数之间可以进行乘法运算，两个实数的积仍为实数；可比性指任意两个实数之间必然存在大小关系，可以进行大小比较。
这些性质是实数运算的基础，也是解决实际问题的关键。
实数的运算是初中实数的难点内容之一。
实数的运算包括加法、减法、乘法和除法四种基本运算。
在进行加法和减法运算时，需要注意实数的符号和数值的运算规律；在进行乘法和除法运算时，需要注意实数的符号以及有理数的分数形式和无理数的近似表示形式。
此外，还需要掌握实数的混合运算，即同时进行多种运算的能力。
实数的大小比较是初中实数的重点内容之一。
实数的大小比较可以通过数轴上的位置关系来进行判断。
对于有理数，可以直接比较大小，而对于无理数，则需要进行近似比较。
在进行大小比较时，还需要注意实数的符号以及绝对值的概念，以确保比较的准确性。
实数的应用是初中实数的重点内容之一。
实数的应用主要体现在实际问题的解决中。
例如，通过实数的运算和大小比较，可以解决各种涉及实际情境的问题，如时间、距离、温度等。
此外，实数的应用还包括在代数方程中的使用，通过求解实数解来解决代数方程的问题。
初中实数的重点难点内容主要包括实数的性质、实数的运算、实数的大小比较以及实数的应用等方面。
掌握这些内容对于初中数学学习的深入理解和解决实际问题具有重要意义。
通过系统学习和实践运用，可以提高对实数的理解和运用能力，为进一步学习数学打下坚实的基础。
初中数学03-实数的运算及有效数字-教师版
知识点1：实数比较大小正数＞0＞负数；比较两数大小是中学数学中的基本类型．基本技能，以下介绍几种常用的方法：1．近似值法：借用两个数的不足和过剩近似值来判别两个数大小的方法；2．平方法：将两个数先平方，再来判定两个数大小的方法；3．求差法：先求两个数的差，用差与0作比较来判定两个数大小的方法．即a b-大于、等于、小于0可判定a大于、等于、小于b；4．求商法：先求两个数的商，用商与1作比较判定两个数大小的方法．即ab大于、等于、小于1，可判定正数a大于、等于、小于正数b；5．求倒数法：先求两个数的倒数，用倒数的大小来判定两个数大小的方法．即对于符号相同的a，b两数，若11a b<，则a b>；若11a b>，则a b<．实数的运算知识结构模块一实数的运算知识精讲知识点2：数轴上两点的距离公式在数轴上，如果点A ．点B 所对应的数分别为a ．b ，那么A ．B 两点的距离AB a b =-． 知识点3：实数的运算在实数范围内，可以进行加减乘除乘方等运算，而且有理数的运算法则和运算律在实数范围内仍然成立．实数混合运算的运算顺序与有理数运算顺序基本相同，先乘方．开方．再乘除，最后算加减，同级按从左到右顺序进行，有括号先算括号里的．实数运算的结果是唯一的．实数运算常用到的公式有：第一组：2()(0)a a a =≥；2a a =； 第二组：(00)ab a b a b =≥≥g ，；(00)a aa b b b=≥>，．【例1】 填空：1．在数轴上，原点左边是实数，原点右边是实数，原点为0；2．数轴上右边的点所表示的数 左边的点所表示的数．【难度】★【答案】1．负，正；2．大于． 【解析】考查实数的大小比较的最基本方法．【例2】 化简：（1）6242-+； （2）33-；（3）3242g ； （4）22⎛÷- ⎪⎝⎭；（5）()332-；（6）()232-．【难度】★【答案】（1）22-； （2）3-；（3）24；（4）2-；（5）2-；（6）18． 【解析】（2）原式=333233-=-=-； （4）原式=()222⨯-=-； （6）原式=()()323218-⨯-=．【例3】 下列各式计算正确的是（ ）A ．382=±B ．()()6363222-=-=-例题解析C 12D ．(2【难度】★【答案】C【解析】A 、原式=2；B 、原式2==；D 、左边=2-，右边=2，所以不相等．【总结】考查实数的基本运算，注意法则的准确运用．【例4】 比较下列各数的大小（填“＞”．“＝”或“＜”）（1）；（2）(2)-； （3（4； （5） （6）．【难度】★★【答案】（1）<； （2）>； （3）< ； （4）< ； （5）> ； （6）<．【解析】（1）(212=<(218= ； （2）()224-=>2-=（3）625=<627=； （44=；（5）(220=>(218=； （6） 3.1415π≈< 3.1622≈．【总结】考查实数的比较大小，注意平方法是最常用的方法，一些常用的近似数要熟记．【例5】 比较大小：（1）2；（2（取倒法）．【难度】★★【答案】（1）< ； （2）<．【解析】（1）∵(224610+=++=+211=+∴2<+（；（2=> =， ∴<． 【总结】考查利用平方法比较实数的大小．【例6】 下列说法正确的是（） A ．若a b =，则1122a b = B ．若22a b >，则a b >C ．若2a =，则a b =D 15b =，则a b =【难度】★★【答案】D【解析】A 、a 、b 可能一个为正一个位负，错；B 、错；C 、a 可能是负数，错；D 、正确． 【总结】考查实数的相关概念及运算，注意从多个角度去分析．【例7】 如果4a =，2b =，且0ab <，则a b +=________． 【难度】★★【答案】0．【解析】∵2b =，∴b =4，又∵ab <0，∴a =-4，∴0a b +=． 【总结】考查实数的基本运算，注意判定a 、b 的符号．【例8】 化简：（1）如果在数轴上表示,a b 两个实数的点的位置如图所示，化简：a b a b -++（2）如图，实数a 在数轴上所对应的点是P ，化简代数式12a a +++． 【难度】★★【答案】（1）2a -； （2）1．【解析】（1）由图易知00a b a b <>>，且， ∴a b a b -++=2b a a b a ---=-； （2）由图易知21a -<<-，∴原式12121a a a a +++=--++=．【总结】本题主要考查含绝对值的代数式的化简，注意判定绝对值里的数的正负．【例9】 计算：（1）31627--；（2）31148-+． 【难度】★★【答案】（1）7； （2）0．【解析】（1）原式=4(3)7--=； （2）原式=11022-+=．【总结】考查实数的基本运算，注意符号的变化． 【例10】 计算：（1）()()5353-+；（2）()253-；（3）16666⎛⎫-+ ⎪⎝⎭；（4）()331651254⨯-⨯．【难度】★★a b0 -2 P -1 0 1【答案】（1）4-； （2）14-； （37； （4）40．【解析】（1）原式=2234-=-； （2）原式=5914+-=-（3）原式617-=； （4）原式=5840-⨯=． 【总结】考查实数的基本运算，能简便运算时要简便运算．【例11】 计算：（1）⎛- ⎝；（2）37；（3 （42【难度】★★【答案】（1）（2）； （3） （4）．【解析】（1）原式=1533⎛=-+ ⎝（2）原式=()4278⨯--⨯--（3）原式==；（4）原式11--- 【总结】考查实数的基本运算，注意公式及法则的准确运用．【例12】 设5的小数部分为a ，5b ，求5ab b +的值． 【难度】★★【答案】2．【解析】∵23<<， ∴758<， 253<<，∴57+，52，∴572a =+=，523b ==-∴)((52537615ab b +=+=-+-2=．【总结】本题综合性较强，主要考查了求一个无理数的整数部分和分数部分，要注意对方法的归纳总结．【例13】 5x y -=，则1yx -=_________．【难度】★★．【解析】由二次根式的定义得：20202x x x -≥-≥∴=，，，3y =-，∴1113322yx ---===【总结】本题主要考查平方根性质的运用及实数的基本运算．【例14】 310=110-=，且2a x x b=，求x 的值．【难度】★★★【答案】10．【解析】由题意，得：631010a b -==，，又∵2a x x b=， ∴3310x ab ==，∴x =10．【总结】本题主要考查开方与乘方的综合运用，注意两者的区别．【例15】 化简下列各式：（123a +；（2）1-（其中12x <<）；（3）23x x -+-．【难度】★★★【答案】（1）23a +； （2）2x -； （3）见解析．【解析】（1）原式=2233a a =+；（2）原式=1122x x x --=-=-； （3）当3x ≥时，原式2325x x x =-+-=-； 当2<x <3时，原式231x x =--+=； 当x 2≤时，原式2352x x x =--+=-．【总结】考查实数的基本计算及含绝对值的化简，注意要分类讨论．【例16】 0=，求7()20x y +-的立方根．【难度】★★★【答案】5-．【解析】由题意，知：22025050y x x x -=-=->，，，∴510x y =-=-，． ∴7()207(510)20125x y +-=⨯---=-， ∴7()20x y +-的立方根是5-． 【总结】考查非负数的和为零的基本模型以及求实数的立方根的运算．【例17】 =________；=________．【难度】★★★【答案】（1）1； （21．【解析】（11=；（2）原式1．【总结】考查复合二次根式的化简，综合性较强，注意方法的总结，教师讲解时选择性讲解．【例18】 已知：15a a -+=，求（1）22a a -+；（2）1122a a-+；（3）1122a a --．【难度】★★★【答案】（1）23； （2）7； （3）3± 【解析】（1）()22211225223a a a a aa ---+=+-=-=；（2）∵2111222527a a a a --⎛⎫+=++=+= ⎪⎝⎭，且11220a a -+>， ∴11227a a -+=；（3）∵221111112222224743a a a a a a ---⎛⎫⎛⎫-=+-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴11223a a --=±．【总结】考查完全平方公式在实数运算中的运用，注意对符号的判定．【例19】 已知2201720172017a a a a -+-=-，求的值。
初中数学 实数的大小关系有哪些
初中数学实数的大小关系有哪些实数的大小关系是指对于任意给定的两个实数，我们可以比较它们的大小。
在数学中，实数的大小关系可以通过比较运算符（>、<、≥、≤、=）来表示。
下面我们将详细介绍实数的大小关系以及其相关性质。
1. 实数的大小关系：-大于（>）：如果一个实数a 大于另一个实数b，则记作a > b。
这表示a 比b 更大。
-小于（<）：如果一个实数a 小于另一个实数b，则记作a < b。
这表示a 比b 更小。
-大于等于（≥）：如果一个实数a 大于等于另一个实数b，则记作a ≥ b。
这表示a 不小于b。
-小于等于（≤）：如果一个实数a 小于等于另一个实数b，则记作a ≤ b。
这表示a 不大于b。
-等于（=）：如果一个实数a 等于另一个实数b，则记作a = b。
这表示a 和b 相等。
2. 实数的大小关系的性质：实数的大小关系具有以下性质：-反对称性：如果a > b，则不成立b > a。
即，如果一个实数大于另一个实数，则后者不大于前者。
-传递性：如果a > b，且b > c，则a > c。
即，如果一个实数大于另一个实数，而后者又大于第三个实数，则第一个实数一定大于第三个实数。
-对称性：如果a > b，则b < a。
即，如果一个实数大于另一个实数，则后者小于前者。
-三角不等式：对于任意实数a、b 和c，有|a + b| ≤ |a| + |b|。
即，两个实数的绝对值之和不大于它们的绝对值的和。
-加法性质：对于任意实数a、b 和c，如果a > b，则a + c > b + c。
即，如果一个实数大于另一个实数，则它们分别加上同一个实数后的大小关系保持不变。
-乘法性质：对于任意正实数a、b 和c，如果a > b，则a × c > b × c。
即，如果一个正实数大于另一个实数，则它们分别乘以同一个正实数后的大小关系保持不变。
数学实数知识点总结
数学实数知识点总结数学实数是数学中的一种数系，包括有理数和无理数。
实数是一种可以表示在数轴上的点的数，它们可以精确地描述和计算连续和无限的数量。
实数是数学中的基础，无论是在初中数学还是高中数学中都有很重要的地位。
下面是对数学实数知识点的总结。
1. 实数的分类：实数可以分为有理数和无理数两大类。
有理数是可以表示为两个整数的比例的数，如正整数、负整数、分数和小数等。
无理数是不能表示为两个整数的比例的数，如根号2、圆周率π和自然对数的底数e等。
2. 实数的表示方法：实数可以用十进制、分数、小数、百分数等形式来表示。
在十进制表示中，无论整数部分是正整数、负整数还是0，小数部分均可以是有限的或者无限的循环小数。
3. 实数的性质：实数具有传递性、相容性、反对称性、存在性等基本性质。
传递性指的是如果a<b，并且b<c，则a<c；相容性指的是对于任意的a≠b，要么a<b，要么a>b；反对称性指的是对于任意的a≠b，要么a<b，要么b<a；存在性指的是在实数中，存在一个最小的正数（0不是最小的正数）以及一个最大的负数（0不是最大的负数）。
4. 实数的运算：实数的四则运算包括加法、减法、乘法和除法。
在实数的加法和乘法中，满足交换律、结合律和分配律。
在实数的减法和除法中，减法可以转化为加法，除法可以转化为乘法。
5. 实数的大小比较：在实数中，可以通过比较大小符号（<、>、≤、≥）来比较两个实数的大小。
当a<b时，称a小于b，记作a<b；当a>b时，称a大于b，记作a>b；当a≤b时，称a小于等于b，记作a≤b；当a≥b时，称a大于等于b，记作a≥b。
6. 实数的绝对值：实数的绝对值是该实数到0的距离，用|a|表示。
实数a的绝对值的定义如下：当a≥0时，|a|=a；当a<0时，|a|=-a。
7. 实数的相反数和倒数：实数a的相反数为-b，满足a+b=0；实数a的倒数为1/a，满足a*(1/a)=1。
(完整word版)2019年中考专题复习第二讲实数的运算(含详细参考答案)
2019年中考专题复习 第二讲 实数的运算【基础知识回顾】一、实数的运算.1、基本运算：初中阶段我们学习的基本运算有 、 、 、 、 、 和 共六种，运算顺序是先算 ，再算 ，最后算 ，有括号时要先算 ，同一级运算,按照 的顺序依次进行. 2、运算法则：加法：同号两数相加,取 的符号，并把 相加，异号两数相加，取 的符号,并用较大的 减去较小的 ，任何数同零相加仍得 。
减法，减去一个数等于 。
乘法：两数相乘，同号得 ，异号得 ,并把 相乘。
除法：除以一个数等于乘以这个数的 。
乘方：(-a ）2n +1= (—a ) 2n=3、运算定律：加法交换律：a+b= 加法结合律：（a+b ）+c= 乘法交换律:ab= 乘法结合律：（ab ）c= 分配律： （a+b ）c= 二、零指数、负整数指数幂。
0a = （a≠0) a -p= （a≠0)【名师提醒：1、实数的混合运算在中考考查时经常与0指数、负指数、绝对值、锐角三角函数等放在一起,计算时要注意运算顺序和运算性质。
2、注意底数为分数的负指数运算的结果，如：（31)-1= 】三、实数的大小比较：1、比较两个有理数的大小，除可以用数轴按照的原则进行比较以外，，还有比较法、比较法等，两个负数大的反而小。
2、如果几个非负数的和为零，则这几个非负数都为。
【名师提醒：比较实数大小的方法有很多，根据题目所给的实数的类型或形可以式灵活选用。
22的大小，可以先确定10和65的取值范围，然后得结论：10+2 65—2。
】【重点考点例析】考点一：实数的大小比较。
例1 （2018•福建）在实数|-3|，—2,0，π中,最小的数是（）A．｜-3| B．-2 C．0 D．π【思路分析】直接利用利用绝对值的性质化简，进而比较大小得出答案．解：在实数｜—3｜，-2，0,π中，|—3｜=3,则-2＜0＜|-3|＜π，故最小的数是：—2．故选:B．【点评】此题主要考查了实数大小比较以及绝对值，正确掌握实数比较大小的方法是解题关键．考点二:估算无理数的大小例2 （2018•南京)下列无理数中，与4最接近的是（）A B C D【点评】此题主要考查了估算无理数的大小，正确得出接近4的无理数是解题关键． 考点三：实数与数轴例3（2018•北京）实数a,b,c 在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（ ) A ．|a ｜＞4 B ．c —b ＞0 C ．ac ＞0 D ．a+c ＞0【思路分析】本题由图可知，a 、b 、c 绝对值之间的大小关系，从而判断四个选项的对错． 解：∵—4＜a ＜-3,∴|a ｜＜4，∴A 不正确； 又∵a ＜0，c ＞0,∴ac ＜0，∴C 不正确; 又∵a ＜—3，c ＜3，∴a+c ＜0，∴D 不正确； 又∵c ＞0，b ＜0,∴c-b ＞0，∴B 正确; 故选：B ．【点评】本题主要考查了实数的绝对值及加减计算之间的关系，关键是判断正负． 考点四：实数的混合运算例4 （2018•怀化）计算：0112sin 3022|31|π-︒--+-+（）（）【思路分析】直接利用特殊角的三角函数值以及零指数幂的性质和负指数幂的性质分别化简得出答案．【解答】解：原式=1213122⨯-+-+ =1+3．【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键． 考点五：实数中的规律探索。
中考数学复习指导：初中数学中常用的比较大小方法例谈
初中数学中常用的比较大小方法例谈为使同学们简捷、准确地解答比较大小这种数学中常见题型，下面介绍几种方法:一、 利用减法比较两个数a 、b 的大小，最常用的就是利用减法——看其差： 若a －b>0，则a>b ； 若a －b=0，则a=b ；若a －b<0，则a<b 。
例1、 已知：a 、b 、x 都是实数，且a=12+x ， b=2x ，试比较a 、b的大小。
解：a －b=12+x －2x=(x －1)2.需分两种情况讨论：①当x=1时，(x －1)2=0，则a=b ；②当x ≠1时，(x －1)2>0.则a>b 。
∴a ≥b 。
例2、 已知 a 、b 、c 为不等边△ABC 的三条边，x=a 2+b 2+c 2,y=ab+ac+bc 试证明x>y 。
证明：x －y= a 2+b 2+c 2－ab －ac －bc =21(2 a 2+2b 2+2c 2－2ab －2ac －2bc) = 21〔(a －b) 2+(a －c) 2+(b －c) 2〕∵a 、b 、c 为不等边△ABC 的三条边 ∴21〔(a －b) 2+(a －c) 2+(b －c) 2〕>0∴x>y二、 利用除法比较两个数的大小，有时利用除法看其商也是常用之法。
若a 、b 都是正数，当b a >1时，则a>b ；当b a =1时，则a=b ； 当b a <1时，则a<b 。
例3：已知a=x 3+1，b= x 2－x+1，其中x>0，试判断a 、b 的大小。
解：∵x>0∴a=x 3+1>0; b= x 2－x+1= x 2－x+41+43=(x －21)2+43>0 又b a =1+x - x 1x 23+=1+x - x 1)+x - x )(1(x 22+=x+1>1 ∴a>b;三、 利用绝对值两个正数比较大小，绝对值大的原数大；两个负数比较大小，绝对值大的反而小。
初中数学知识归纳实数的运算
初中数学知识归纳实数的运算实数的运算是初中数学中的重要内容之一。
实数的四则运算包括加法、减法、乘法和除法，对实数的运算要求熟练掌握，并能正确运用于实际问题的解决中。
一、实数的加法运算实数的加法运算是指将两个实数相加，得到一个新的实数。
对于任意实数a、b和c，有以下性质：1. 交换律：a + b = b + a2. 结合律：(a + b) + c = a + (b + c)3. 存在零元：a + 0 = 0 + a = a4. 存在相反元：a + (-a) = (-a) + a = 0二、实数的减法运算实数的减法运算是指将一个实数减去另一个实数，得到一个新的实数。
对于任意实数a、b和c，有以下性质：1. a - b = a + (-b)2. 减去0不变：a - 0 = a三、实数的乘法运算实数的乘法运算是指将两个实数相乘，得到一个新的实数。
对于任意实数a、b和c，有以下性质：1. 交换律：a * b = b * a2. 结合律：(a * b) * c = a * (b * c)3. 存在单位元：a * 1 = 1 * a = a4. 存在相反元：a * (1/a) = (1/a) * a = 1 (其中a ≠ 0)四、实数的除法运算实数的除法运算是指将一个实数除以另一个实数，得到一个新的实数。
对于任意非零实数a、b和c，有以下性质：1. a / b = a * (1/b) (其中b ≠ 0)2. 除以1不变：a / 1 = a除法运算要注意除数不能为零，否则运算结果没有意义。
实数的运算还涉及到运算顺序的规定。
在计算实数的四则运算时，按照以下的顺序进行：1. 先进行括号内的运算；2. 其次是乘法和除法运算，按照从左到右的顺序进行；3. 最后进行加法和减法运算，也是按照从左到右的顺序进行。
在实际应用中，我们常常需要进行实数的运算来解决各种问题。
例如，计算商品总价、计算时间的差值、计算运动员的速度等等。
初中数学知识点之实数
初中数学知识点之实数中考中的数学考试是拉分项目。
学好数学，第一要抱着浓厚的爱好去学习数学。
下面是作者给大家带来的初中数学知识点之实数，欢迎大家浏览参考，我们一起来看看吧!初中数学知识点：实数无理数：无穷不循环小数叫无理数平方根：①如果一个正数X的平方等于A，那么这个正数X就叫做A的算术平方根。
②如果一个数X的平方等于A，那么这个数X就叫做A的平方根。
③一个正数有2个平方根/0的平方根为0/负数没有平方根。
④求一个数A的平方根运算，叫做开平方，其中A叫做被开方数。
立方根：①如果一个数X的立方等于A，那么这个数X就叫做A的立方根。
②正数的立方根是正数、0的立方根是0、负数的立方根是负数。
③求一个数A的立方根的运算叫开立方，其中A叫做被开方数。
实数：①实数分有理数和无理数。
②在实数范畴内，相反数，倒数，绝对值的意义和有理数范畴内的相反数，倒数，绝对值的意义完全一样。
③每一个实数都可以在数轴上的一个点来表示。
中考数学知识点：实数的运算1、加法交换律2、加法结合律3、乘法交换律4、乘法结合律5、乘法对加法的分配律6、实数的运算顺序1.先算乘方开方，再算乘除，最后算加减，如果有括号，就先算括号里面的。
2.(同级运算)从左到右(如55);(有括号时)由小到中到大。
实数大小的比较知识1、数轴规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴(画数轴时，要注意上述规定的三要素缺一不可)。
解题时要真正掌控数形结合的思想，知道实数与数轴的点是一一对应的，并能灵活运用。
知识2、实数大小比较的几种常用方法(1)数轴比较：在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。
(2)求差比较：设a、b是实数，(3)求商比较法：设a、b是两正实数，(4)绝对值比较法：设a、b是两负实数，则。
(5)平方法：设a、b是两负实数，则。
中考数学知识点：实数一、重要概念1.数的分类及概念数系表：说明：“分类”的原则：1)相称(不重、不漏)2)有标准2.非负数：正实数与零的统称。
初中数学实数大小进行比较的10种方法大全解析
初中数学实数大小进行比较的10种方法大全解析比较实数大小是数学中一项基本的运算，掌握不同方法进行实数大小的比较对于学习数学和解题非常重要。
下面将详细介绍初中数学中比较实数大小的10种方法，并附上解析。
方法一：整数比较法整数比较法适用于比较两个整数大小的情况。
首先比较整数的位数，位数相同从高位开始比较，如果出现不同的位数则较大的整数就是更大的数。
如果位数相同且各个位上的数字也相同，则两个整数相等。
方法二：小数比较法小数比较法适用于比较两个小数的大小。
首先比较小数的整数部分，整数部分大的小数就是更大的数。
如果整数部分相同，则比较小数部分，小数部分大的小数就是更大的数。
如果整数部分和小数部分均相同，则两个小数相等。
方法三：分数比较法分数比较法适用于比较两个分数的大小。
首先将两个分数的分母通分，然后比较分子的大小，分子大的分数就是更大的数。
如果分子相同，则比较分母的大小，分母小的分数就是更大的数。
如果分子和分母均相同，则两个分数相等。
方法四：百分数比较法百分数比较法适用于比较两个百分数的大小。
首先将两个百分数转换为小数，然后比较小数的大小即可。
方法五：绝对值比较法绝对值比较法适用于比较两个实数的大小。
首先求出两个实数的绝对值，然后比较绝对值的大小，绝对值大的数就是更大的数。
如果绝对值相同，则比较原实数的符号，正数较大于负数，绝对值相同的正数比较各位数的大小，位数大的数较大。
方法六：万分比比较法方法七：科学计数法比较法科学计数法比较法适用于比较两个使用科学计数法表示的数的大小。
首先将两个数都转换为标准的科学计数法表示，然后比较指数的大小，指数大的数就是更大的数。
如果指数相同，则比较尾数的大小，尾数大的数就是更大的数。
方法八：符号比较法符号比较法适用于比较两个实数的大小。
首先比较两个实数的符号，正数大于负数，正数大于零，负数小于零。
如果两个实数符号相同，则比较两个数的绝对值大小来确定大小关系。
方法九：数轴比较法数轴比较法适用于比较多个实数的大小关系。
实数大小的比较方法
要
本例若将各数化成同分母 ， 运算量很大 ， 过程复杂烦琐 ， 可考
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精 析
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再 根 据两个 负 数绝对 值 大 的反而 小 ， 到 ： 得
常用 方 法
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供 同学们 参考
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、
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一
一
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利 用 数 形 结 合来进 行 比较 这 种
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八 年级数学 配 合华 师大教材
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云南中考数学 2_第2讲 实数的大小比较及运算
预学案·记易
考点一 考点二 考点三 精讲案·学易 类型一
平方根、算术平方根、立方根 实数的运算 实数的大小比较
平方根、算术平方根、立方根
类型二 实数运算法则的判断
类型三 实数的大小比较
类型四 与实数有关的计算题 试真题·练易
命题点一 平方根、算术平方根、立方根
命题点二 实数相关的计算题（高频考点）
7.(2014曲靖,17,6分)计算:|-2|-
1 4
1+( 2
-1.414)0+ 9
.
解 原式=2-4+1+3=2.
探疑难·知易
1.“三根”转变先化简 易错题1(2018安顺) 4 的算术平方根为 ( B ) A.± 2 B. 2 C.±2 D.2 解析 4=2,2的算术平方根是 2,选B. 错解 C或D
1 2
2
=4,∴原式=3-1+1-4=-1.
6.(2014昆明,15,5分)计算:| 2
|+(π-3)0+
1 2
1
-2cos
45°.
解
| 2
|= 2
,(π-3)0=1,
1 2
1
=-2,2cos
45°= 2
,∴原式= 2
+1-2- 2 =-1.
8.计算: 9
+|1- 5
|+( 5
+1)0-
1 4
2
.
解
9
=3,|1- 5
|= 5
-1,( 5
初中实数知识点全总结
初中实数知识点全总结一、实数的定义实数是由有理数和无理数组成的数的集合。
有理数包括整数、分数和正整数；无理数则是无法用有理数来表示的数，例如π和√2等。
二、实数的分类1. 有理数有理数包括整数、分数和正整数。
整数包括正整数、负整数和零。
分数是整数和整数的比值，可以是正数、负数或零。
2. 无理数无理数是无法用有理数来表示的数，是不可约分的分数或者是无限不循环小数。
例如π和√2都是无理数。
三、实数的运算1. 加法和减法实数的加法和减法遵循有理数的运算规律，即同号相加或相减为同号，异号相加或相减为两数之差的绝对值，并且符号取两数中绝对值较大的数的符号。
2. 乘法和除法实数的乘法和除法也遵循有理数的运算规律，即同号相乘为正，异号相乘为负，除法则是分子与分母的正负来决定商的正负。
3. 求幂和开方实数的幂指数法则：a^m * a^n = a^(m+n)，a^m / a^n = a^(m-n)。
实数的开方是幂的逆运算，例如√a * √a = a。
四、实数的大小比较实数的大小比较是由实数的大小和符号来决定的。
绝对值大的数大，同号的数比较绝对值，异号的数大小关系取决于绝对值的大小。
五、实数的绝对值实数的绝对值是一个非负数，它表示一个数到原点的距离，负数的绝对值是去掉符号得到的正数。
六、实数的有序性实数具有有序性，即任意两个实数之间可以进行大小比较，并且它们之间有顺序。
有理数的有序性遵循数轴上从左到右递增的规律，而无理数也满足这一规律。
七、实数的数轴实数的数轴是用来表示有序性和进行实数的几何意义的工具。
数轴上每一个点都表示一个实数，它们按照大小关系排列在数轴上。
八、实数的近似值实数的近似值是指用一个近似的数来代替真实的数，常用的方法有四舍五入和截断法。
九、实数的应用实数在数学中的应用非常广泛，包括代数、几何、概率统计和数学分析等方面都离不开实数。
以上就是初中实数知识点的全面总结，实数是数学的基础知识，对于学习进阶数学课程和应用数学知识都有着重要的意义。
初中数学实数知识点
初中数学实数知识点实数是数学中的一个基本概念，它包括有理数和无理数两部分。
初中数学中的实数知识点主要包括实数的基本性质、实数间的大小关系、实数的运算和实数的表示等。
下面我将为您详细介绍这些知识点。
1. 实数的基本性质（1）实数可以按照大小顺序排列，任意两个实数之间都可以比较大小。
（2）实数满足传递性，即若a≤b，b≤c，则a≤c。
（3）实数满足三角不等式，即对于任意实数a和b，有|a+b|≤|a|+|b|。
2. 实数间的大小关系（1）实数中有正数、零和负数三种，其中零是最小的数。
（2）对于两个正数，越大的数大；对于两个负数，越大的数小。
（3）对于一个正数和一个负数，正数大于负数。
（4）绝对值大的数更大。
3. 实数的运算（1）实数的加法运算：加法满足交换律、结合律和消去律。
即对于任意实数a、b和c，有a+b=b+a，(a+b)+c=a+(b+c)，a+0=a和a+(-a)=0。
（2）实数的减法运算：减法可以转换为加法，即a-b=a+(-b)。
（3）实数的乘法运算：乘法满足交换律、结合律和分配律。
即对于任意实数a、b和c，有a×b=b×a，(a×b)×c=a×(b×c)，a×(b+c)=a×b+a×c。
（4）实数的除法运算：若b≠0，则a÷b=a×(1/b)。
4. 实数的表示（1）实数可以用小数表示，小数位是无线多的，可以是有限的也可以是无限循环的。
（2）实数可以用分数表示，分数可以是真分数、假分数和整数。
（3）实数可以用带根号形式表示，其中无理数是指不能写成两个整数比的形式，常见的无理数有π和√2等。
（4）实数可以用数字和字母的运算式表示，用代数式表示实数的运算过程。
以上是初中数学中关于实数的知识点。
实数是数学中的重要概念，不仅在初中数学中有重要的应用，还是后续高中数学和大学数学中的重要基础。