20-21第2章§1算法的基本思想
2022年四川大学计算机科学与技术专业《数据结构与算法》科目期末试卷A(有答案)
2022年四川大学计算机科学与技术专业《数据结构与算法》科目期末试卷A（有答案）一、选择题1、将两个各有N个元素的有序表归并成一个有序表，其最少的比较次数是（）。
A.NB.2N-1C.2ND.N-12、从未排序序列中依次取出一个元素与已排序序列中的元素依次进行比较，然后将其放在已排序序列的合适位置，该排序方法称为（）排序法。
A.插入B.选择C.希尔D.二路归并3、以下数据结构中，（）是非线性数据结构。
A.树B.字符串C.队D.栈4、在下列表述中，正确的是（）A.含有一个或多个空格字符的串称为空格串B.对n（n>0）个顶点的网，求出权最小的n-1条边便可构成其最小生成树C.选择排序算法是不稳定的D.平衡二叉树的左右子树的结点数之差的绝对值不超过l5、向一个栈顶指针为h的带头结点的链栈中插入指针s所指的结点时，应执行（）。
A.h->next=sB.s->next=hC.s->next=h;h->next=sD.s->next=h-next;h->next=s6、排序过程中，对尚未确定最终位置的所有元素进行一遍处理称为一趟排序。
下列排序方法中，每一趟排序结束时都至少能够确定一个元素最终位置的方法是（）。
Ⅰ．简单选择排序Ⅱ．希尔排序Ⅲ．快速排序Ⅳ．堆排Ⅴ．二路归并排序A．仅Ⅰ、Ⅲ、Ⅳ B．仅Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ C．仅Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ D．仅Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ7、下列选项中，不能构成折半查找中关键字比较序列的是（）。
A．500，200，450，180 B．500，450，200，180C．180，500，200，450 D．180，200，500，4508、每个结点的度或者为0或者为2的二叉树称为正则二叉树。
n个结点的正则二叉树中有（）个叶子。
A.log2nB.（n－1）/2C.log2n+1D.（n＋1）/29、有关二叉树下列说法正确的是（）。
A.二叉树的度为2B.一棵二叉树的度可以小于2C.二叉树中至少有一个结点的度为2D.二叉树中任何一个结点的度都为210、对n个记录的线性表进行快速排序为减少算法的递归深度，以下叙述正确的是（）。
C语言程序设计第五版谭浩强 ppt课件
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Ctrl+KY-------块删除 Ctrl+KH--------块隐藏
窗口操作：
F5-----窗口缩放 F6-----窗口切换
程序调试：
<>
F8-----Step over
F7-------Trace into
/* example1.1 calculate the sum of a and b*/
#include <stdio.h>
预处理命令
/* This is the main program */
void main() { int a,b,sum; /*定义变量*/ 函数
注释
的
a=10;
和
b=24;
sum=add(a,b);
空类型void
短整型short 整型int 长整型long 单精度型float
双精度型double
<
定义类型typedef
C语言程序设计
第一章 C语言概述
§1.3 简单的C程序介绍
例1.1 第一个程序This is a c program .
/* example1.1 The first C Program*/
第一章 C语言概述
C语言结构特点
❖函数与主函数
程序由一个或多个函数组成
必须有且只能有一个主函数main()，可以放在程序中任一 位置
程序执行从main开始，在main中结束，其它函数通过嵌 套调用得以执行。
❖程序语句
C程序由语句组成 用“;”作为语句终止符
❖注释
/* */为注释,不能嵌套
C语言运算符丰富（附录C）
第2章 1框 图
框图
• 18世纪在哥尼斯堡城(今俄罗斯 加里宁格勒)的普莱格尔河上有7 座桥，将河中的两个岛和河岸连 接，如图1所示．城中的居民经 常沿河过桥散步，于是提出了一 个问题：能否一次走遍7座桥， 而每座桥只许通过一次，最后仍 回到起始地点．这就是七桥问题 ，一个著名的图论问题．
• 这个问题看起来似乎不难，但人们始终没有能找到答案， 最后问题到了大数学家欧拉那里．欧拉以深邃的洞察力很 快证明了这样的走法不存在．欧拉是这样解决问题的：既 然陆地是桥梁的连接地点，不妨把图中被河隔开的陆地看 成4个点，7座桥表示成7条连接这4个点的线，如图2所示 ．
→ 离开超市
A．退换物品
B．归还货车
C．取回包裹
D．参加抽奖
[解析] 由于进入超市后存放了包裹，所以离开超市前需“取回包裹”．
• 3．(2019·北京理，2)执行如图所示的程序框 图，B输出的s值为( )
• A．1 B．2
• C．3 D．4
• [解析] k＝1，s＝1；第一次循环：s＝2，判 断k<3，k＝2；第二次循环：s＝2，判断k<3 ，k＝3；第三次循环：s＝2，判断k＝3，故 输出2.故选B．
• 4．(2019·江苏，3)如图是一个算法流程图，则输出5 的S的 值是______.
[解析] 第一次循环，S＝12，x＝2；第二次循环，S＝12＋22＝32，x＝3；第三 次循环，S＝32＋32＝3，x＝4；第四次循环，S＝3＋42＝5，满足 x≥4，结束循环．故 输出的 S 的值是 5.
互动探究学案
• [辨析] 商家采集信息讲究快速、准确、有效，如果按照 以上流程调研，周期长，信息容易过时，不易安排生产， 因此要缩短调研时间，应同时对这三地进行调研，以便提 早结束调研，尽快投产占领市场．
2024-2025学年高中数学第2章算数初步§1算法的基本思想(教师用书)教案北师大版必修3
-时间复杂度：评估算法执行时间与输入规模之间的关系。
-空间复杂度：评估算法执行过程中所需存储空间与输入规模之间的关系。
5.算法实例分析
-冒泡排序：通过相邻元素的比较和交换，实现数组的升序或降序排列。
-欧几里得算法：利用递推关系求解最大公约数。
-斐波那契数列：通过递推法求解斐波那契数列的第n项。
教师活动：
-发布预习任务：通过学校课程管理系统，发布关于算法基本概念的预习资料，明确预习目标和要求。
-设计预习问题：围绕算法的特征和描述方法，设计问题如“什么是算法？它有哪些基本特征？”引导学生自主思考。
-监控预习进度：通过系统跟踪和学生的反馈，确保学生按时完成预习任务。
学生活动：
-自主阅读预习资料：学生按照要求阅读预习资料，理解算法的定义和基本特征。
举例：通过分析不严谨的算法可能导致的问题，如重复计算、无法终止等，使学生体会严谨性的重要性。
（2）算法的时间复杂度与空间复杂度：学生在分析算法效率时，往往难以理解时间复杂度和空间复杂度的概念，以及它们对算法性能的影响。
举例：比较不同排序算法的时间复杂度，如冒泡排序、快速排序等，让学生了解复杂度对算法效率的影响。
核心素养目标分析
本节课的核心素养目标旨在培养学生的逻辑推理能力、数学建模能力以及数据分析能力。通过学习算法的基本思想，学生能够：
1.逻辑推理能力：学生能够运用逻辑思维分析问题，设计合理的算法步骤，理解算法的正确性与效率，从而提高解决问题的逻辑推理能力。
2.数学建模能力：学生能够将现实生活中的问题抽象为数学模型，运用算法思想对模型进行求解，从而培养数学建模的能力。
5.算法的应用
-排序算法
-查找算法
-图算法
高中数学新教材同步必修第一册 第2章 §2.2 第1课时 基本不等式
由于CD小于或等于圆的半径， 故用不等式表示为 ab≤a＋2 b， 由此也可以得出圆的半径不小于半弦.
知识梳理
最值定理 已知x，y都为正数，则(1)如果积xy等于定值P，那么当且仅当x＝y时， 和x＋y有最小值 2 P ；(2)如果和x＋y等于定值S，那么当且仅当x＝y时， 积xy有最大值 14S2 ，简记为：积定和最小，和定积最大. 注意点： (1)三个关键点：一正、二定、三相等.①一正：各项必须为正；②二定： 各项之和或各项之积为定值；③三相等：必须验证取等号时的条件是 否具备.(2)探求过程中常需依据具体的问题进行合理的拆项、凑项、配 项等变换.
故原式的最大值为－4.
2.当 x>1 时，求 x＋x－4 1的最小值.
解 因为x>1，故有x－1>0， 所以 x＋x－4 1＝x－1＋x－4 1＋1≥2 x－1·x－4 1＋1＝5， 当且仅当 x－1＝x－4 1，即 x＝3 时等号成立. 因此所求最小值为5.
反思感悟 在利用基本不等式求最值时要注意三点 一是各项均为正；二是寻求定值，求和式最小值时应使积为定值，(恰 当变形，合理拆分项或配凑因式是常用的解题技巧)；三是考虑等号成 立的条件是否具备，检验多项式取得最值时的x的值是否为已知范围内 的值，故三点缺一不可.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
8.下列不等式：①a2＋1>2a；②x＋1x≥2；③a＋abb≤2；④x2＋x2＋1 1≥1.其 中正确的个数是___2__. 解析 由基本不等式可知②④正确.
2022年榆林学院计算机科学与技术专业《数据结构与算法》科目期末试卷A(有答案)
2022年榆林学院计算机科学与技术专业《数据结构与算法》科目期末试卷A（有答案）一、选择题1、下述文件中适合于磁带存储的是（）。
A.顺序文件B.索引文件C.哈希文件D.多关键字文件2、下列说法不正确的是（）。
A.图的遍历是从给定的源点出发每个顶点仅被访问一次B.遍历的基本方法有两种：深度遍历和广度遍历C.图的深度遍历不适用于有向图D.图的深度遍历是一个递归过程3、链表不具有的特点是（）。
A.插入、删除不需要移动元素B.可随机访问任一元素C.不必事先估计存储空间D.所需空间与线性长度成正比4、在用邻接表表示图时，拓扑排序算法时间复杂度为（）。
A.O(n)B.O(n+e)C.O(n*n)D.O(n*n*n)5、下面关于串的叙述中，不正确的是（）。
A.串是字符的有限序列B.空串是由空格构成的串C.模式匹配是串的一种重要运算D.串既可以采用顺序存储，也可以采用链式存储6、循环队列放在一维数组A中，end1指向队头元素，end2指向队尾元素的后一个位置。
假设队列两端均可进行入队和出队操作，队列中最多能容纳M－1个元素。
初始时为空，下列判断队空和队满的条件中，正确的是（）。
A．队空：end1＝＝end2；队满：end1＝＝（end2＋1）mod MB．队空：end1＝＝end2；队满：end2＝＝（end1＋1）mod （M－1）C．队空：end2＝＝（end1＋1）mod M；队满：end1＝＝（end2＋1） mod MD．队空：end1＝＝（end2＋1）mod M；队满：end2＝＝（end1＋1） mod （M－1）7、下列选项中，不能构成折半查找中关键字比较序列的是（）。
A．500，200，450，180 B．500，450，200，180C．180，500，200，450 D．180，200，500，4508、一棵哈夫曼树共有215个结点，对其进行哈夫曼编码，共能得到（）个不同的码字。
A.107B.108C.214D.2159、已知一棵二叉树的前序遍历结果为ABCDEF，中序遍历结果为CBAEDF，则后序遍历结果为（）。
海底两万里1～24章概括50字
海底两万里1～24章概括50字1、第一章：飞逝的巨礁1866年起，出现了一件大怪事。
海洋中发现一个庞然大物，就像飞逝的巨礁，多艘航船莫名其妙的被撞裂了。
公众坚决要求把着头怪物从海洋里清除掉。
2、第二章：赞成与反对对怪物主要有两派看法，一派认为是一种力大无穷的怪物，另一派则认为是一艘动力强大的“海下船”。
我（法国巴黎自然史博物馆教授阿罗纳克斯）认为，怪物是一种力量大得惊人的“独角鲸”。
美国海军部组织了一艘名为亚伯拉罕林肯号的快速驱逐舰，准备去清除“怪物”。
我应邀随行。
3、第三章：随先生尊便我的仆人孔塞伊不假思索的说：“随先生尊便。
”跟我一同上了以法拉格特为舰长的驱逐舰。
驱逐舰从布鲁克林码头扬帆起锚，向大西洋全速前进。
4、第四章：内德·兰德舰长和全体海员同仇敌忾，决心一定要捕获独角鲸。
只有加拿大人捕鲸手内德兰德对独角鲸的存在表示怀疑。
5、第五章：向冒险迎去舰只在太平洋上游弋。
大家的眼睛睁得大大的，努力地观察海面。
三个月过去了，海员们开始泄气了，开始怀疑自己这次搜寻行动的意义。
半年后，海员们要求返航。
舰长许诺最后搜寻三天，三天后如果还无结果就将回去。
到了规定期限的最后时刻，一向无动于衷的内德兰德突然喊叫起来，他发现了怪物。
6、第六章：尼德·兰的怒火潜水艇浮出海面更换新鲜的空气。
三人仍被关在铁屋子里，尼德·兰怒气冲天，他想逃跑，又想夺取这条艇。
一个侍者进来时被他出其不意地打倒在地掐得半死。
这时候，一个说法语的人出现了。
7、第七章：海洋人讲法语的就是这艘鹦鹉螺号潜水艇上的尼摩（意为“不存在的人）艇长。
他说第一次见面保持沉默是为了了解我们，其实那四种语言他都听的懂。
尼摩船长对于林肯号追捕和炮击潜水艇很不满。
他答应我们在船上我们是自由的，但有个条件就是遇到某些意外情况时会把我们关起来一段时间。
我们从此将与人类断绝往来。
否则将置我们于死地。
我们勉强答应。
尼摩艇长带我们吃饭，食物完全来自于海洋。
算法概论
1.3 描述算法
2.Java数据类型 2.Java数据类型 Java
基本数据类型：详见下页表1-1
数据类型
非基本数据类型：如 Byte, Integer, Boolean, String等。
Java对两种数据类型的不同处理方式：
对基本数据类型：在声明一个具有基本数据类型的变量时，自 动建立该数据类型的对象（或称实例）。如:int k; 对非基本数据类型：语句 String s; 并不建立具有数据类型 String的对象，而是建立一个类型String的引用对象， 数据类型为String的对象可用下面的new语句建立。 s = new String String(“Welcome”); String(“Welcome”); String s = new String
20
1.4 算法复杂性分析
• 目的：
– 分析算法就是估计算法所需资源（时间，空间， 通信带宽等） ，以便选取有效的算法。
• 计算模型：
– 单 处 理 机 ， 随 机 存 取 机 （ Random-Access Machine，RAM）计算模型，其中指令是顺序执 行的，无并发操作
• 涉及的知识基础：
算法设计与分析
云南大学旅游文化学院信科系
主讲：周华君
1
主要内容介绍
• • • • • • 第1章 第2章 第3章 第4章 第5章 第6章 算法引论 递归与分治策略 动态规划 贪心算法 回溯法 分支限界法
2
主要内容介绍（续）
• • • • 第7章 第8章 第9章 第10章 概率算法 NP完全性理论 近似算法 算法优化策略
– 离散组合数学、概率论、代数等（分析）、程 序设计、数据结构（算法设计）
1.4 算法复杂性分析
C语言复习资料 第二章重点内容
11
2。 对上述已经定义的实型常量指数形式的说明：
(1)在此的digits是一位或多位十进制数字(0—9)组成。 (2)小数点之前是整数部分，之后是小数部分。 (3)小数点在没有小数时可以省略。如：3E+6 (4)指数部分用E或者e开头，幂指数可以为负，当没有符号时，视为正 指数，且其基数都为10。 (5)在不加说明的情况下，实型常量为正值，如果要表示负值，必须在 常量前使用负号。如：-2.5E-5 (6)字母E或e之前必须有数字，且E或e之后指数必须为整数。 如：e3，2.3e9.5，.e3等都是不合法的。
上述各类型整型变量占用的内存字节数随系统而异。在16位操作系 统中，一般用２字节表示一个int型变量，且long型（４字节）≥int型 （２字节）≥short型（２字节）。
2.占用内存字节数与值域
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显然，不同类型的整型变量，其值域不同。占用内存字 节数为n的（有符号）整型变量，其值域为：-2n*8-1~（2n*8-11）；无符号整型变量的值域为：0~（2n*8-1）。(同样适合于 各种不同的类型 ) 例如，PC机中的一个int型变量，其值域为-22*8-1~（22*8-11），即-32768~32767；一个unsigned型变量的值域为：0~ （22*8-1），即0~65535。 2.4.2 整型常量 １.三种表示形式 整型常量即整常数，在Ｃ语言中可用三种形式表示： （1）十进制。例如10、36。 （2）八进制（以数字０开头）。例如012。 （3）十六进制（以数字０+小写字母x开头）。例如0x36。
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２.分类 （1）基本整型。在16位机中，用2字节存储，其数据范 围与int型变量一样。 （2）长整型（在数值后面加“L（l）”）。对超出基 本整型值域的整型常量，可使用长整型常量表示，其取值 范围可达-２31-（２31-１）。例如，123l、315Ｌ等。 ３.类型匹配规则 类型匹配规则为：一个整型常量，可以赋给能容纳下其 值的整型变量。 例如，其值在-２１５--（２１５-１）的整型常量，可以赋 给int型变量和long int型变量；其值在-２31--（２31-１）的整 型常量，就只能赋给long int型变量。 注意：常量无unsigned型。但一个非负整型常量，只要 它的值不超过相应变量的值域（即取值范围），也可以赋 给unsigned型变量。
北师大版数学必修三课件：第2章§1 算法的基本思想
4、如果水未开，重复过程 “3”，直至水开.
小结：
1、其实大部分事情都是按照一定的程序执行的，因此
要理清事情的每一步. 2、判断水是否烧开与是否继续烧火的过程是一个反馈 与判断的过程，因此有必要不断重复过程“3”.
事实上，我们完成任何事，都要有步骤，合理安排步
骤，会达到事半功倍的效果.从我们数学的意义来讲，在解
解：具体算法步骤如下： （1）首先确定最小的满足除以3余2的正整数：2. （2）依次加3就得到所有除以3余2的正整数：2，5，8， 11，14，17，20，23，26，29，32，35，38，41，44，47， 50，53，56„„
（3）在上列数中确定最小的满足除以5余3的正整数：8.
（4）然后依次加上15，得到8，23，38，53„„，显然这 些数既满足除以3余2，又满足除以5余3.
例3
设计一个算法，求840与1764的最大公因数.
解：算法步骤如下： 1.先将840进行素因数分解：840 23 3 5 7；
2.然后将1764进行素因数分解： 1764 22 32 72 ； 3.确定他们的公共素因数2,3,7； 4.确定公共素因数的指数：公共素因数2,3,7的指数分别为 2,1,1; 5.最大公约数为: 22 31 71 84.
5.判断234是否为素数：否.
6.确定234的最小素因数：2. 936=2×2×2×117
7.判断117是否为素数：否. 8.确定117的最小素因数：3. 9.判断39是否为素数：否. 10.确定39的最小素因数：3. 936=2×2×2×3×3×13 936=2×2×2×3×39
判断13是否为素数：13是素数，所以分解结束. 分解结果是： 936=2×2×2×3×3×13
第2章 插值法(1)
现要构造一个二次函数
φ(x)=P2(x)=ax2+bx+c 近似地代替f(x),并满足插值原则(4―2)
《 数 值 分 析 》
(2―6) (2―7)
P2(xi)=yi, i=0,1,2,… 由(2―7)式得
2 ax0 bx0 c y0 2 ax1 bx1 c y1 ax 2 bx c y 2 2 2
(2―5)
第2章 插值法
2.2 二次插值
二次插值又称为抛物线插值,也是常用的代数多项 式 插 值 之 一 。 设 已 知 函 数 f(x) 的 三 个 互 异 插 值 基 点
《 数 值 分 析 》
x0,x1,x2的函数值分别为y0,y1,y2,见下表所示:
x y
xo y0
x1 y1
x2 y2
第2章 插值法
(2―15)
第2章 插值法
显然
0, j i li ( x j ) , i, j 0,1,2, 1, j i
,n
《 数 值 分 析 》
(2―14)式的Pn(x)是n+1个n次多项式li(x)(i=0,1,2,…,n)的 线性组合,因而Pn(x)的次数不高于n。我们称形如多项式 (2―14)的Pn(x)为拉格朗日插值多项式。Pn(x)还可以写成下 列较简单的形式:
f ( n ) ( x0 ) ( x x0 ) n n!
第2章 插值法
取前n+1项的部分和Pn(x)作为f(x)的近似式,也即
Pn ( x ) f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 )
《 数 值 分 析 》
f ( n ) ( x0 ) ( x x0 ) n n!
第2章内弹道部分-part4内弹道解法(二)
全弹道划分 100～200 个点即可。
四 . 内弹道数值解法
⑶ 初值计算
内弹道的解法
1 1 p p0 ， 0 0 v0 0 0 ， 0 f f / p ( 1 / p )
4 0 1 x 2
Z0
1
⑷ 弹道循环计算 中间最大压力搜索，特征点的判断。 ⑸ 输出
内弹道部分
V 1/V 1/V
｀
0
｀ l
lg l
内弹道部分
内弹道部分
§4 内弹道的解法
装填条件对弹道的影响 为了改进武器的弹道性能，必须了解装填条件对弹道 性能的影响。影响弹道性能的因素诸多，最终体现在最大
压力和初速。而且武器 -弹药系统体现出来的弹道性能不是
单一因素的效果，而是多种因素的综合效果。
装填条件包括：火药的形状、装药量、火药力、火药的
压力全冲量、弹重、药室容积、挤进压力、拔弹力和点火 药量等。
§4 内弹道的解法
内弹道部分
装填条件对弹道的影响 1)火药的形状变化的影响
2)装药量变化的影响
3)火药力变化对各弹道诸元的影响 4)火药压力全冲量对弹道诸元的影响 5) 弹重变化的影响
6) 药室容积变化对弹道诸元的影响 7) 挤进压力变化的影响
'
取为常量时，可以
p( Z ) ，进而给出p 和v 以V 为自变量的表达式： 得出v( Z ) ， V (Z ) ，
内弹道部分
§4 内弹道的解法
1 ' B B V f V p 1 1 1 V1 V1 V1
8) 拔弹力变化对弹道诸元的影响 9) 点火药对弹道诸元的影响
哈代21世纪二盖一叫牌体系摘要
哈代21世纪二盖一叫牌体系摘要第一章牌力估算与开叫第一节关于牌力估算一、基本算法1、大牌点：A=4，K=3，Q=2，J=1；2、防守赢墩：A=1个，K=半个，AK=2个，AQ=1个半，KQ=1个；3、双张价值1点，单张2点，缺门3点；4、比4张每多1张加1点。
计算牌力将以上因素综合考虑。
二、计点法的扩充应用1、大牌组合时的价值比孤立时高。
2、长套中的大牌比短套中的价值高。
3、对不被计算大牌点的中间张给予重视，良好的中间张会增加赢墩潜力。
4、均型牌的价值要下调，而好牌型的价值要上调。
5、仔细聆听叫牌，当你的上家或下家叫过该套时，你在该套中的大牌会增值或减值。
6、配合带来赢墩，配合的程度决定赢墩数，而不是点。
7、配合的程度决定着给短套加点。
三、运用斯普令特约定叫的条件1、对同伴所叫花色有很好的配合。
2、斯普令特花色为单张或缺门。
1、在搭档间约定好的进程中表示单缺。
2、没有其他含义的不寻常跳叫。
四、开叫的优先原则成局定约选择次序：第一选择高花定约，第二选择无将，最后选择低花定约。
第二节开叫概述作为开叫人，你的目标是将牌情描述给同伴，以便找到合适的定约。
牌情包括牌型和牌力。
牌型分为均型和非均型。
一手牌有单张和缺门为非均型，否则为均型。
均型牌为4333、4432、5332，半均型为5422、6322、7222。
其它为非均型。
一、均型牌的开叫1、12—14点：开叫一阶花色后再叫1NT（否定4张高花）。
2、15—17点：开叫1NT。
3、18—19点：开叫1花色，再跳叫2NT或将同伴的1NT应叫加叫到2NT （不否定4张高花）。
4、20—21点：开叫2NT，允许有5张高花，6张低花甚至单张大牌。
5、22—24点：开叫2，再叫2NT。
6、25—27点：开叫2，再叫3NT。
7、28—30点：开叫4NT。
允许有5张高花开叫无将要求三个条件同时具备：一是另一高花通常3张，二是双张套至少有一个J，三是软点力较多。
半均型（5422，6322）双张有大牌作均型看，无大牌作非均型看。
第二十一章 一元二次方程数学九年级上册单元复习一遍过(人教版)
每天的销售价为x元.
单件利润 销售量（件）正源自销售432涨价销售
x-20
32-2(x-24)
其等量关系是：总利润=单件利润×销售量.
每星期利润（元） 128 150
课堂检测
考点4 实际问题与一元二次方程—销售利润问题
某机械公司经销一种零件，已知这种零件的成本为每件20元，调查发现 当销售价为24元，平均每天能售出32件，而当销售价每上涨2元，平均每天就 少售出4件.
解：(1)2.6(1+x)² (2)由题意可得4+2.6(1+x)²=7.146 解得，x1=10%,x2=-2.1(不合题意，舍去)
答：可变成本平均每年增长10%.
课堂检测
考点4 实际问题与一元二次方程—增长(降低)率问题
菜农小王种植的某种蔬菜，计划以每千克5元的价格对外批发销售. 由于部分菜农盲目扩大种植，造成该种蔬菜滞销.小王为了加快销售， 减少损失，对价格经过两次下调后，以每千克3.2元的价格对外批发销 售.求平均每次下调的百分率是多少？
答：售价应当为25元.
知识梳理
考点4 实际问题与一元二次方程—面积问题
如图：要利用一面墙（墙长为25米）建羊圈，用100米的
围栏围成总面积为400平方米的三个大小相同的矩形羊圈，求
羊圈的边长AB和BC的长各是多少米？ 解：设AB长是xm，依题意得： (100-4x)x=400.
25米
A
D
解得x1=20，x2=5.
B
C
当x=20时,100-4x=20<25
当x=5时,100-4x=80>25 x=5(舍去).
答：羊圈的边长AB和BC的长各是20m,20m.
课堂检测
Java常用排序算法程序员必须掌握的8大排序算法
分类：1）插入排序（直接插入排序、希尔排序）2）交换排序（冒泡排序、快速排序）3）选择排序（直接选择排序、堆排序）4）归并排序5）分配排序（基数排序）所需辅助空间最多：归并排序所需辅助空间最少：堆排序平均速度最快：快速排序不稳定：快速排序，希尔排序，堆排序。
先来看看8种排序之间的关系：1.直接插入排序（1）基本思想：在要排序的一组数中，假设前面(n-1)[n>=2] 个数已经是排好顺序的，现在要把第n个数插到前面的有序数中，使得这n个数也是排好顺序的。
如此反复循环，直到全部排好顺序。
（2）实例（3）用java实现12345678911121314151617181920package com.njue;publicclass insertSort {public insertSort(){inta[]={49,38,65,97,76,13,27,49,78,34,12,64,5,4,62,99,98,54,56,17,18,23,34,15,35,2 5,53,51};int temp=0;for(int i=1;i<a.length;i++){int j=i-1;temp=a[i];for(;j>=0&&temp<a[j];j--){a[j+1]=a[j]; //将大于temp的值整体后移一个单位}a[j+1]=temp;}for(int i=0;i<a.length;i++){System.out.println(a[i]);}2. 希尔排序（最小增量排序）（1）基本思想：算法先将要排序的一组数按某个增量d（n/2,n为要排序数的个数）分成若干组，每组中记录的下标相差 d.对每组中全部元素进行直接插入排序，然后再用一个较小的增量（d/2）对它进行分组，在每组中再进行直接插入排序。
当增量减到1时，进行直接插入排序后，排序完成。
（2）实例：（3）用java实现123456789101112131415161718192122232425262728293031publicclass shellSort { publicshellSort(){int a[]={1,54,6,3,78,34,12,45,56,100}; double d1=a.length;int temp=0;while(true){d1= Math.ceil(d1/2);int d=(int) d1;for(int x=0;x<d;x++){for(int i=x+d;i<a.length;i+=d){int j=i-d;temp=a[i];for(;j>=0&&temp<a[j];j-=d){a[j+d]=a[j];}a[j+d]=temp;}}if(d==1){break;}for(int i=0;i<a.length;i++){System.out.println(a[i]);}}3.简单选择排序（1）基本思想：在要排序的一组数中，选出最小的一个数与第一个位置的数交换；然后在剩下的数当中再找最小的与第二个位置的数交换，如此循环到倒数第二个数和最后一个数比较为止。
疾病分类icd-10第20、21章
一、使用本章的编码主要有下 列情况： 列情况：
1、广义上讲，凡来医院接受服务的都是“病 人”。因此，本章分类了因某种原因而与医疗 机构接触的健康“病人”。这些“病人”并没 有疾病，例如：捐献器官或组织，身体健康检 查等。 2、病人的疾病情况已得到解决，但仍存在影 响健康的问题，例如：人工造口的维护，放疗 ，化疗等。
三、活动编码
活动编码用于指出导致损伤的某些活动，例如： 参加体育活动时引起的损伤。它是作为选择性使 参加体育活动时引起的损伤。它是作为选择性使 用的细目，用于分类于V01-Y34的类目，说明事件 用的细目，用于分类于V01-Y34的类目，说明事件 发生时，受伤者当时的活动状态。
三、活动编码
活动编码表示受伤者当时的状态，发生场所的编 码只代表了事件发生的地点，两者编码完全不同 ，因而不可混淆，更不可替代W00-Y34的亚目使 ，因而不可混淆，更不可替代W00-Y34的亚目使 用。 例如：踢球时被球击伤W21.30，四位数的.3的编 例如：踢球时被球击伤W21.30，四位数的.3的编 码是表明事故的发生场所在体育场，五位数细目.0 码是表明事故的发生场所在体育场，五位数细目.0 的编码是表明受伤的状态是在体育活动时。
第二十章 疾病和死亡的外因 V01-Y98） （V01-Y98）
首都医科大学宣武医院 张丽
这一章即是原来ICD这一章即是原来ICD-9的E编码部分。其虽作为ICD编码部分。其虽作为ICD10核心分类的一部分，但在使用方面仍不能作为主要 10核心分类的一部分，但在使用方面仍不能作为主要 编码。它与第十九章一起使用。按照ICD-10第二卷的 编码。它与第十九章一起使用。按照ICD-10第二卷的 指导，只是选择性附加编码，但在我国，为了与ICD指导，只是选择性附加编码，但在我国，为了与ICD9一致，还是应当对所有S00-T98的情况编一个第二十 一致，还是应当对所有S00-T98的情况编一个第二十 章的附加编码，并用于疾病分类外部原因的统计分类 。 本章的编码对于第十九章以外的各章的外因情况，可 作为选择性附加编码。
第2章-线性规划
第2章 线性规划§2.1 线性规划的基本定理2.1.1 线性规划发展简史• 19世纪末，康特罗维奇和F. L. Hitchcock 等研究运输问题，但其工作长期未被人们所知。
由于战争的需要，T. C. Koopmans 重新独立研究了运输问题。
• 1947年，G . B. Dantzig 发表单纯形法，应用于与国防有关的问题。
该法实用而有效。
单纯形法被认为是20世纪10大算法之一（其中还有快速Fourier 变换算法等）。
• 但1972年，V. Kell 和G. Minty 给出病态例子，用单纯形法求解可能要检查遍所有的顶点才能得到最优解，所用时间为)2(nO . 故单纯形法为指数时间算法。
• 1979年，前苏联数学家提出了一种求解LP 的椭球算法，计算复杂性为)(26L n O (L 为输入长度)。
该算法在理论上很重要，但计算效率远不如单纯形法有效。
• 能否找到有效的多项式时间算法？在此背景下，1984年，在美国贝尔实验室工作的印度数学家Karmarkar 给出了一个求解线性规划的新的多项式时间算法，计算复杂性为)(23.5L n O 。
通过例题试算，收敛到较好效果，人们希望借助这种算法解决一些领域中的大规模问题的计算。
• 对于现实生活中的大多数实际问题，单纯形法仍然有效. 基于单纯形法可以方便地讨论线性规划的对偶理论，而基于对偶理论可以设计求解LP 的对偶单纯形法和原始－对偶算法及其它算法，因此单纯形法是目前应用最广泛的算法之一。
• LP 之所以重要有以下方面的原因： ■ 理论算法发展较完善■ 现实生活中许多问题可用LP 近似建模■ 在非线性规划的求解中，将问题局部线性化处理2.1.2 标准形式与基本定理LP 标准形：n n x c x c x c +++ 2211mins.t. m i b x a x a x a i n in i i ,,1 ,2211 ==+++ n j x j ,,1 ,0 =≥LP 向量形式： x c Tmin s.t. b Ax = 0≥x 其中m n nm R b R x c RA ∈∈∈⨯ ,, ,.约定：j x 为决策变量，j c 为费用（价格）系数，x c T为目标函数，ij a 为技术系数，ib 为右端项.各种形式的线性规划都可以化为标准形：(i) cx max →x c )min(-(ii) i n in i i b x a x a x a ≤+++ 2211→(引入松弛变量)0' ,'2211≥=++++i i i n in i i x b x x a x a x a(iii) i n in i i b x a x a x a ≥+++ 2211→(引入剩余变量)0' ,'2211≥=-+++i i i n in i i x b x x a x a x a(iv) j x 无非负限制，令0'' ,0' ,'''≥≥-j j j j j y y y y x ＝ (v) )0(≠≥j j j h h x ，令0 ,≥-j j j j y h x y ＝(平移变换) 例 2121m in m ax x x x x --+s.t. 0 6323321≥+≤x x x x ，，＋ 0 ,474421≥≥x x x x ，－＋ 3221=-x x01≥x 令0'' ,0' ,'''22222≥≥-=y y y y x 标准形： '''m in 221y y x +--s.t. 6''3'323221，＋=+-x y y x 4''7'74221，＋=--x y y x3'''2221=+-y y x01≥x ，0 ,0 ,0'' ,0' 4322≥≥≥≥x x y y 图解法例 2152m ax x x +s.t. 8221≤+x x 41≤x 32≤x0 ,021≥≥x x有唯一最优解)3,2(。
定位第20章和第21章读后感
定位第20章和第21章读后感《第20章和第21章读后感篇一》读了这两章内容，真的是像坐过山车一样，心情那叫一个跌宕起伏啊。
在第20章里，我仿佛跟着主角走进了一个迷雾重重的森林。
这里面的情节就像一团乱麻，让人摸不着头脑，也许这就是作者故意设下的圈套吧。
我记得有个场景特别深刻，主角在黑暗中摸索着前进，周围那种寂静啊，就像能把人的耳朵给吞噬了一样。
他每走一步，我都感觉自己的心也跟着提了起来，生怕他一脚踩空掉进什么陷阱里。
这时候我就在想，这作者可真够狠的，把气氛渲染得这么紧张，就像在我的小心肝上系了根绳子，时不时地拽一下。
然后到了第21章呢，情节突然来了个大反转，就像本来乌云密布的天空突然放晴了一样。
之前那些看似毫无头绪的线索，就像拼图一样一块一块地拼凑起来了。
我那悬着的心啊，也稍微放下了一点。
可是我又有点不甘心，感觉这转变有点太快了，就像坐火箭似的。
我心里就犯嘀咕，作者是不是在赶进度啊？这就好比你在吃一道美食，前面还在慢慢品味那些复杂的味道呢，突然就给你来个一口闷，总感觉少了点什么。
这两章也让我联想到自己的生活经历。
有一次我参加一个解谜游戏，刚开始的时候也是一头雾水，那些谜题就像第20章里的情节一样让人迷茫。
我当时就在那抓耳挠腮的，心里想着这可咋整啊，就像热锅上的蚂蚁一样。
可是当我找到一个关键线索的时候，就像打开了第21章的大门，一下子豁然开朗了。
不过呢，我也在想，生活中的事情有时候是不是也会像这样，在最困惑的时候突然就柳暗花明了，但又会让人觉得有些突然呢？从这两章里，我还琢磨出一个有点争议的观点。
我觉得有时候作者故意把情节弄得很复杂，是不是有点在炫耀自己的写作技巧呢？就像有些厨师做菜，放了一堆高级食材和复杂的调料，最后做出来的菜虽然看起来高大上，但味道却不一定是大家都能接受的。
可是呢，反过来想，也许这就是文学作品的魅力所在，它可以让读者在困惑和恍然大悟之间来回穿梭，就像在冒险一样。
要是所有的情节都平铺直叙，那读起来可能就像喝白开水一样无味了。
第2章可计算性理论基础
第2章可计算性理论基础可计算性理论(computability theory) 是研究计算的一般性质的数学理论，也称算法理论或能行性理论. 可计算理论的重要课题之一就是通过建立计算的数学模型给出“计算”这一直观概念的数学描述，并明确区分哪些是可计算的，哪些是不可计算的.“计算”是人类基本的思维活动和行为方式, 也是人们认识世界与改造世界的基本方法. 随着计算机的诞生和计算机科学技术的发展, 计算技术作为现代技术的标志, 已成为世界各国许多经济增长的主要动力, 计算领域也已成为一个极其活跃的领域. “计算”作为一门学科是在上个世纪末才为人们真正认识的，这要归功于美国计算机学会（简称ACM）和美国电气和电子工程师学会计算机分会（简称IEEE-CS）组成的联合攻关组成员的艰苦卓绝的工作①. 目前，计算学科正以令人惊异的速度发展, 并大大延伸到传统的计算机科学的边界之外, 成为一门范围极为宽广的学科②. 如今, “计算”已不再是一个一般意义上的概念, 而是“各门科学研究的一种基本视角、观念和方法, 并上升为一种具有世界观和方法论特征的哲学范畴”③.可计算性理论是计算机软件与理论的重要组成部分之一，也是计算机科学的理论基础. 20世纪30年代图灵在可计算性理论方面取得的研究成果，对后来出现的存储程序计算机(即冯·诺伊曼型计算机) 的设计思想产生了重要影响. 目前，可计算性理论的基本概念、思想和方法已被广泛应用于计算机科学的各个领域，如算法设计与分析、计算机体系结构、数据结构、编译方法与技术、程序设计语言语义分析等.在本章中, 我们不仅能了解到计算概念的形成与发展, 弄清计算的本质, 而且能感受数学的魅力和数学家们在建立可计算性理论基础过程中所展现出的聪颖与智慧. 通过本章的学习, 要充分认识可计算性概念本质, 深入理解可计算性概念数学表示和定义的基本思想方法, 初步弄清各类可计算性函数之间的关系, 重点掌握递归函数的基本概念与基本性质.§1 计算概念的形成与发展计算概念的形成与发展经历了漫长的历史，它是计算科学思想史研究的主要线索之一. 尽管目前我们还无法考证人类究竟是从什么时期开始计数和进行数的运算，但从现有的考古发现和有文字记载的史料中，我们仍然可以捕捉到早期人类在计算领域取得的成就以及从中体现出的人类智慧. 在《力量—改变人类文明的50大科学定理》一书中，作者将公式“1+1=2”列为之首是有充分道理的，人类对数的可加性的发现和推广应用正是数学科学的全部根基④. 计算概念的形成与发展目前尚无系统的研究结果，我们不妨从以下几个方面加以认识.一、计算概念的初识—抽象思维的进步人类的计算是伴随着人类文明的起源和进步而产生和发展的. 最初计算的表现形式是“计数”，“数”的概念是人们通过计数认识的. 在漫长的进化和发展过程中，人类的大脑逐渐具有了①Denning P J, et al. Computing as a discipline. Communications of the ACM [J]. 1989, V ol.32(1).②董荣胜, 古天龙. 计算机科学技术与方法论[M]. 北京: 人民邮电出版社, 2002.③郝宁湘. 计算: 一个新的哲学范畴. 哲学动态[J]. 2000年第11期.④李啸虎, 田廷彦, 马丁玲. 力量—改变人类文明的50大科学定理[M]. 上海: 上海文化出版社, 2005.一种特殊的本领，这就是把直观的形象变成抽象的数字，进行抽象思维活动. 正是由于能够在“象”和“数”之间互相转换，人类才真正具备了认识世界的能力. 从“计数”到“数”的概念形成，是人类在抽象思维领域中迈出的辉煌一步.考古发现最早人类留有计数痕迹的东西是一些带有刻痕的骨头，这些骨头出土于欧洲西部，距今已有2万至3万年的历史，当时生活在这一地区的是奥里尼雅克（Aurignacian）时期（法国旧石器时代前期）的克罗麦昂（Cro-Magnon）人. 把形象事物以刻痕的形式表示并记录在骨头上，表明当时的人类已或多或少地认识了“映射”的概念，而这一概念却是数学科学中最为基本也是十分重要的一个概念. 人类最早使用计数系统的证据，是1937年在捷克斯诺伐克（Czechoslovakia）出土的2万年前的狼的颚骨，颚骨上“逢五一组”，共有55条刻痕. 这样的计数方式被人类延用至今，“正”字计数法便是例证.研究地球的构造和历史的地质学家和观察人类的体质和社会特征的人类学家向我们提供了早期人的种种遗迹，他们通过地层里各时期的堆积物的相对位置来估测远古至今各个时代的顺序，并以此来探索人类科学的起源①. 另一方面，研究科学思想史的科学家们则倾向于从自然科学最初形成的学科体系中寻觅人类科学思想史的根源，认为：“古代科学最先发展起来的是天文学与数学，其次是力学，此外还有一些生物学与医学方面的研究，因为这几个学科同古代人类的生产与生活关系最为密切.”②然而，如果没有更早期人类对数的认识、数的表示和数的计算等方面取得的成就，无论是在古埃及通过人们反复测量土地诞生的最初的几何学，还是古巴比伦人最早认识的“金星运动周期”和对日食、月食的预报，都是不可能的，这是一个可想而知的事实. 令人遗憾的是，在如今的诸多科学史和科学思想史研究的著作中，这一点往往被忽视了.二、计算概念的定义—计算本质的揭示在数学科学领域，与“计算”密切相关的概念之一是“算法”，任何计算都是在一定算法支持下进行的. 公元前3世纪，古希腊和中国的数学家就有了算法的概念，象当时的欧几里得辗转相除法就是最好的例子. 大约在公元9世纪初期，阿拉伯著名数学家、天文学家和地理学家花剌子密就给出了现在人们所熟悉的自然数运算规则. 在一个相当长的时期里，人们把“确定关于数学对象（如整数、实数、连续函数等）的各种命题是否正确”作为数学的基本任务. 随着社会的发展以及生产实际的需要，人们逐步开始关心另一类数学任务，“其中之一是在数学发展早期就被认为有极大的重要性，而且至今还在产生着具有重大数学意义的问题，即解决各种问题的算法或能行的计算过程的存在性问题.”③然而，要想真正解决这一问题，就必须对“计算”的概念有一个清楚的认识. 到了20世纪30-40年代，一些著名的数学家几乎同时完全独立地给出了相当于能行可计算函数概念的各种确切定义，其中包括Church的 -可定义性概念④，Herbrand-Gödel-Kleene的一般递归性概念⑤，Turing的可计算性概念⑥等, 经证明，这些形式上完全不同的概念是等价的. 随着计算机的出现和计算机程序设计语言的发展，到了20世纪50-60年代，人们又从不同的角度给出了可计算性函数的一些定义，其中有基于基本字符集算法的Markov①丹皮尔著, 李珩译. 科学史及其与哲学与宗教的关系（第四版）[M]. 北京: 商务出版社, 1987.②林德宏. 科学思想史[M]. 南京: 江苏科学技术出版社, 1985.③戴维斯著, 沈泓译. 可计算性与不可解性[M]. 北京: 北京大学出版社, 1984.④Church A. The Calculi of Lambda-conversion [M]. Princeton : Princeton University Press, 1941.⑤Kleene S C. General Recursive Function’s of Natural Numbers. Mathematische Ann.[J]. 1936 (112): 727-742.⑥Turing A M. On Computable Numbers, with an Application to the Entscheidungs problem. Proceedings of LondonMathematical Society [J]. 1936-1937(45-46): 230-256, 544-546.可计算函数，以及基于URM理想计算机的Shepherdson-Sturgis可计算函数等. 同样，后两者所描述的可计算函数类与前面所提到的是相一致的①.三、计算概念的发展—计算方式的进化人们在计算领域的探索和追求，导致了计算工具的发展，而计算机工具的发展，特别是电子计算机的出现以及它在各个领域的广泛应用，又促进了计算方式的不断进化. 人类的计算方式已由早期的手工和机械方式，进化到了现代的电子计算方式. 计算理论如何发展，计算方式如何进一步演变，是当今人类十分关注的问题. 20世纪90年代，美国计算机科学家Adleman博士在美国《科学》杂志上发表文章，针对组合数学的有关问题，提出了分子计算模型，即DNA计算模型，并以解决7个结点的Hamilton问题为实例，成功地在DNA溶液的试管中进行了运算实验②. 与此同时，量子计算在理论上取得重大进展. 量子计算概念是由美国阿冈国家实验室的Paul Benioff 在20世纪80年初提出的③. 到了1994年，Bell实验室的应用数学家Peter Shor于当年IEEE基础计算理论年会发表突破性工作——快速整数因数分解方法④，使量子计算的潜在应用实力迅速引起广泛关注. 虽然DNA计算和量子计算目前在理论上尚在雏形，但是我们相信，随着历史的前进和人类科技的进步，人们在新型计算机理论研究与应用方面必将取得辉煌的成就, 这些成就将表明：人类在计算领域的探索是永无止境的，其前景是广阔的.在本章接下来的小节和段落中，我们将从基于URM理想计算机的Shepherdson-Sturgis可计算性函数描述和Herbrand-Gödel-Kleene一般递归函数的定义两个方面来介绍可计算性理论的基本知识.§2 算法与能行过程“计算”是解决问题的最基本手段. 随着计算机科学与技术的发展，“计算”的内涵与外延均发生了巨大的变化，其应用范围涉及到了社会发展的各个领域. “计算”离不开计算的规则与方法，正确的计算规则建立与可行的计算方法设计是正确地解决问题的关键所在. 这其中便涉及到“算法”的概念.一、算法概念的由来“算法”在中国古代文献中称为“术”，最早在《周髀算经》、《九章算术》等数学名著中均有充分体现，如《九章算术》中给出的四则运算，求最大公约数、最小公倍数、开平方根、开立方根的方法，求素数的埃拉托斯特尼筛法以及线性方程组求解方法等等，都是为现代人所熟悉的算法.现代人们普遍使用的英文算法Agorithem一词与阿拉伯数学家花剌子密以及他在代数和算术领域作出的重要贡献密切相关. 花剌子密是生活在8世纪末9世纪初波斯的一位数学家、天文学家及地理学家，也是当时巴格达智慧之家的学者. 花拉子米在数学领域最主要贡献是他在9世纪①Cutland N. Computability-An introduction to recursive function theory [M]. London: Cambridge Uni. Press, 1980.②Adleman L. Molecular computation of solutions to combinatorial problems. Science[J]. 1994(266-11): 1021-1024.③Benioff P. The computer as a physical system: A microscopic quantum mechanical Hamiltonian model of computersas represented by Turing machines, Journal of Stat. Phys.[J]. 1980(22): 563-591.④Shor P W. Algorithms for quantum computation: discrete log and factoring. Proc. of the 35th Annual Symposium onFoundations of Computer Science ( IEEE Computer Society Press, Los Alamitos, CA), 1994: 12.30年代完成的著作《代数学》，该书首次系统地给出了解决一次方程及一元二次方程的理论与方法，大为扩阔了此前的数学概念，为数学的发展开辟了一条新路径. 正是因为在代数领域的特殊贡献，是他获得了“代数创造者”的殊荣，这一美誉与较之早500多年的古希腊数学家丢番图所获得的“代数之父”美称齐名. 花剌子密在数学领域的另一项重要贡献是关于“算术”的. 在825年他所著的《印度数字算术》一书中，采用了印度-阿拉伯数字系统，即十进制进位制的记数系统，并给出了数的运算规则. 花剌子密在印度数字方面的著作被翻译成拉丁文，并在中世纪时传入中东和西方，对西方中世纪的科学发展起了重要的作用. 《印度数字算术》的拉丁语翻译是“Algoritmi de numero Indorum”，而花剌子密的拉丁文音译则为Algorithm，其中包含了“花剌子密”运算法则之意，此便是英文中“算法”一词的由来. 如今Algorithm已由一个数学家名字的音译变成了一个十分重要的数学概念.二、算法概念的描述迄今为止，尚无算法概念的确切定义，这是因为几乎所有问题的解决方法都可由所谓的算法来描述. 面对问题的多样性和复杂性，当我们试图用语言对“变化莫测”的算法给出一个系统而又明确的定义的时候，总有“此消彼长”或“顾此失彼”的感觉. 对此，人们通常以“共性”的特征给出算法的一般性描述，而在特定的学科或应用领域将相关的算法概念具体化.算法（Algorithm）是解决一类问题方法，可以理解为由基本运算及规定的运算顺序所构成的完整和有限的解题步骤. 算法的执行过程是针对一类问题中的特例而进行的，即能够对一定规范的特定输入，在有限时间内获得所要求的输出结果，从而达到解决问题的目的.算法的表示方法很多，通常有自然语言、伪代码、流程图、程序设计语言、控制表等. 用自然语言描述算法往往显得冗长且容易引起歧义，因此很少用于在技术层面上较为复杂的算法描述；伪代码、流程图和控制表等以结构化的方法来表示算法，可以避免自然语言描述中普遍存在的二义性问题，因而是算法表示的常用工具；用程序设计语言的主要目的就是通过对算法进行编程使之在计算机上得以实现.在实际应用中，算法应具有以下几个方面的特征:（1）输入项：一个算法有0个或多个输入，是算法执行的初始状态，一般由人为设定. 0输入的情形通常发生在算法的初始状态由算法本身来设定的情况下.（2）输出项：一个算法必须有一个或多个输出，以反映算法对输入数据加工后的结果. 没有输出的算法是毫无意义的.（3）明确性：算法的描述必须无歧义并且每一步骤都有确切的定义，以保证算法的实际执行结果是正确的并能符合人们的希望和要求.（4）可行性：也称有效性或能行性. 算法中描述的任何计算步骤都是通过可以实现的基本运算的有限次执行来完成的，或从直观上讲，每个计算步骤至少在原理上能由人用纸和笔在有限的时间内完成.（5）有穷性：算法有穷性是指算法的执行过程必须在有限的步骤和时间内终止.注意：满足前四个特征的一组指令序列在实际应用中不能称为算法，只能称为计算过程. 例如：计算机的操作系统就是一个典型的计算过程，操作系统用来管理计算机资源，控制作业的运行，没有作业运行时，计算过程并不停止，而是处于“等待”状态.在计算机应用技术领域，算法通常是针对实际问题而设计并且通过编程的手段实现的，其目的是运用计算机解决实际问题，在此情况下，一个无休止运行而无结果的算法是毫无意义的. 因此，在计算机应用领域，掌握算法分析与设计的理论与方法是十分重要的. 一方面，要求我们针对实际问题设计出正确的算法: 如果一个算法有缺陷，或不适合于某个问题，执行这个算法将不会解决这个问题; 另一方面，又要求我们学会选择和改进已有的算法: 同样的问题可以有不同的算法，算法的优劣可以用空间复杂度与时间复杂度来衡量，不断提高算法的效率始终是人们不懈努力的追求. 随着存储技术的发展，最能反映算法效率的时间复杂度已成为人们在算法设计与分析过程中关注的最主要方面之一.注意:算法设计与分析已形成一套较为完整的理论与方法体系, 对于从事计算机应用与开发的工作和技术人员来说, 这些理论与方法是必须掌握的. 目前有大量关于算法设计与分析的文献、专著和教材，然而作为算法设计与分析的基础，我们必须首先要弄清楚的问题是：计算的本质是什么？“可计算”的确切定义是什么？究竟哪些问题是可计算的？这便是“可计算性理论”要回答的问题.三、能行过程与可计算性在数学与计算机科学中，算法又可以说成是一个“能行过程”(effective procedure) 或“能行方法”(effective method). 能行过程是针对“问题”的，通常的说法是“解决某某问题的能行过程”.解决问题的过程是一个问题状态变化的过程，如果我们用参数的形式来描述问题的状态，那么解决问题的过程就可以看成是一个参数变化的过程. 解决问题开始时的状态称为“初始状态”，初始状态的参数称为“输入参数”；解决问题结束时的状态称为“结果状态”，结果状态的参数称为“输出参数”或“输出结果”.对一个问题而言，其“输出结果”与“输入参数”之间的关系应该是明确的. 但允许有下述情形: 有这样的“问题”，它们对输入范围内的有些“输入参数”（有效输入）有明确的“输出结果”，而对有些“输入参数”（无效输入）则没有明确的“输出结果”，甚至“结果”根本就不存在. 对这类“问题”，我们在考虑其能行解决方法时，只要针对有效的输入便可.如果存在解决某问题的能行过程，那么该问题称为是“可解的”或“可计算的”.注意：如果要说明一类问题是“不可解”或“不可计算的”，那么就必须给出该类问题不存在能行过程的证明.我们将通过实例进一步认识“能行过程”的概念.. 求m和n的最大公因子的欧几里得算法可以通过例2-1. 设m和n是两个正整数，且m n下列过程表示:步骤1. 以n除m得余数r. //求余数步骤2. 若0r =, 则输出答案n ，过程终止; 否则转到步骤3. //判断余数是否为0步骤3. 把m 的值变为n , n 的值变为r ，重复上述步骤. //变换参数值分析：上述过程由3个步骤组成，输入参数为正整数m 和n ；每个步骤的描述是明确的并且可以证明过程终止时输出数据为m 和n 的最大公因子；过程的每一步骤都是可以通过一些可实现的基本运算（判断）完成；整个过程经过有穷步后终止. 因此，求m 和n 的最大公因子的欧几里得算法是一个能行过程. 因此，求m 和n 的最大公因子问题是可计算的.例2-2. 考虑函数1()0n g n π⎧=⎨⎩如果小数部分有个连续的数字7； 否则. (2.1)绝大多数数学家会接受g 是合法定义的函数，同时也存在能行的过程逐位生成π小数点后面的数子①. 用k π（）表示π小数点后面第k 位数字，C 作为计数器，则可以采用下面的过程来计算()g n ： 给定n ，首先令()0g n =，计数器0C =，参数1k =.步骤1. 计算()k π. //求π小数点后第k 位数字步骤2. 如果()7k π=，则1C C ←+；否则0C ←. //计数器逢“7”加1，否则清0步骤3. 如果C n =，则输出()1g n =，过程终止；如果C n <，则1k k ←+重复上述步骤. 分析：上述过程同样由3个步骤组成，对给定的输入n ，如果π小数点后面有n 个连续的7，那么过程一定会在有限步终止并输出()1g n =. 问题是：如果π小数点后面没有n 个连续的7，那么上述过程将无休止地运行下去, 而且在任何时候都无法得到我们想要的()0g n =的结论. 因此，上述过程不是能行过程.注意：在例2-2中，虽然我们给出的函数g 的计算过程不是能行过程，但却不能以此断言没有计算函数g 的能行过程. 也许有计算函数g 的能行过程，然而至今尚无人知晓. 有趣的是：如果把例2-2中定义的函数改成如下函数*1()n g n π⎧=⎨↑⎩如果小数部分有个连续的数字7； 否则. (2.2)其中，*()g n =↑表示函数*g 在输入n 时无定义. 那么计算函数g 的过程对于*g 来说就是一个能行的过程. 这是因为对给定的输入n ，如果π小数点后面有n 个连续的7，那么过程一定会在有限步终止并输出()1g n =；如果π小数点后面没有n 个连续的7，那么*()g n 是没有定义的，无需考虑什么“输出结果”的问题.四、停机问题算法也好，能行过程也罢，它们的基本表达形式都可以用一组合适指令（well-defined①Cutland N. Computability-An introduction to recursive function theory [M]. London: Cambridge Uni. Press, 1980: 69.instructions ）的有穷序列来描述. 即在计算机科学领域，他们都可以表示为计算机“程序”. 在第一章中（命题1.17）我们证明了所有的计算机程序之多是可数的，因此可以把所有的程序枚举如下:012,,,,,e P P P P (2.3)其中e P 中的下标e 可视为该程序的编号或编码. 通过上面的分析我们知道，对任意的程序e P 而言，它对某些输入是有明确输出的，运行有穷步后“停机”并给出结果；而对另一些输入可能是没有结果的，并因此进入“死循环”而“不停机”. 因此，我们自然会关心这样的问题:停机问题: 是否存在一个能行过程H ，对任意的程序e P 和输入x ，H 能判断e P 对输入x 是否停机？为了回答这一问题，我们首先要对程序输入与输出的概念做些处理. 程序通常有输入和输出，如果一个程序e P 的输入是x ，那么经运行后e P 的输出可表示为()x e P .运用编码技术，我们可以将程序的输入和输出用自然数表示，因此任何程序都可以视为自然数上的“函数”.命题2.1. 停机问题是不可解的.即不存在能行过程H ，对任意的程序e P 和输入x ，H 能判断e P 对输入x 是否停机.证明: 运用反证法：如果停机问题是可解的，那么就存在能行过程H ，对任意程序e P 和输入x , 当e P 对输入x 停机时有(,)1x e H P =；当e P 对输入x 不停机时有(,)0x e H P =，其中“1”和“0”分别表示“停机”和“不停机”之意.利用H ，我们定义计算过程F 满足: 对任意自然数n ，如果(,)1n H P n =则()()1n F n P n =+；如果(,)0n H P n =则()0F n =.因为过程H 是能行的，所以过程F 也是能行可计算的, 因此计算F 的程序一定会在所有程序的枚举中出现. 设计算F 的程序编号（或编码）为0e ，则F 可表示为0e P ，即对任意的n 均有0()()e F n P n =. 接下来我们考察程序0e P 关于输入0e 的停机情况: 如果程序0e P 关于输入0e 停机，则有00(,)1e H P e =，此时有00000()()1()e e F e P e P e =+≠；如果程序0e P 关于输入0e 不停机，则00()e P e 无定义，由00(,)0e H P e =却可以得到000()0()e F e P e =≠，这和0e P 是计算F 的能行过程矛盾. 此矛盾表明判定停机问题的能行过程是不存在的. ■注意: 需要指出的是：计算过程是可以用“程序”来表述的，一个计算过程是否是能行在于相应 “程序”的运行是否能得到人们所需要的计算结果，所以“能行过程”的概念是针对“程序”的，即能行过程的考察对象是“程序”. 但是，“停机问题”是针对所有“程序”的，它的考察对象因该是所有“程序”的汇集. 据此我们认为，在一般意义下考虑的“能行过程”不能与所谓“停机问题”同“域”而论，否则引起矛盾就难以避免.§3 可计算性概念的数学描述在20世纪以前，人们普遍认为，所有的问题类都是有算法的，人们关于计算问题的研究就是找出解决各类问题的算法来. 随着时间的迁移，人们发现有许多问题虽然经过长期的研究仍然找不到算法，于是人们开始怀疑，是否对有些问题来说根本就不存在算法，即它们是不可计算的.那么什么是可计算，什么又是不可计算的呢？要回答这一问题，最关键的就是要给出“可计算性”概念的精确的定义.到了20世纪30年代，一些著名的数学家和逻辑学家从不同的角度分别给出了“可计算性”概念的确切定义，为计算科学的研究与发展奠定了重要基础. 随着计算机的出现和计算科学的发展，科学家们将“可计算性”概念与“程序设计”思想有机结合，从而使“可计算性”的能行过程更加明显，进一步促进了人们对“可计算性”概念理解和认识. 本节将选择其中的一些描述方法做简单的介绍.因为计算问题均可通过自然数编码的方法用所谓“函数”的形式加以表示，所以我们可以通过对定义在自然数集上的“可计算性函数”的认识来理解“可计算性”的概念.一、递归函数递归函数是递归论这门学科中最基本的概念，其产生可以追溯到原始递归式的使用，如我们现在所熟知的数的加法与乘法. 现代计算机应用技术中，大量的计算过程都是运用递归的形式来描述的，可以说递归技术已经成为计算机科学与技术领域重要的方法工具之一. 递归函数最早的形式是“原始递归函数”（primitive recursive function ）, 因此, 我们首先介绍原始递归函数的概念.1. 原始递归函数原始递归函数是定义在自然数集上的函数，其值域是自然数集的子集. 一般我们用1(,,)n f x x 表示函数f 在变量1,,n x x 处的取值，并称f 为n -元函数. 有时为书写之方便，我们可令1(,,)x n x x =，则函数值1(,,)n f x x 可表示为()x f . 下面是原始递归函数的定义. 按下述规则产生的函数称为原始递归函（I ） 基本函数：下列基本函数是原始递归函数（a ）零函数O ，即对任意的,O()0N x x ∈=；（b ）后继函数S ，即对任意的,S()1N x x x ∈=+；（c ）投影函数P n i ，即对任意的11,,,,0,1,P (,,)N n n i n i n x x n i n x x x ∈≥≤≤=. （II ）合成模式：设1(,,)k f y y 和1(),,()x x k g g 是原始递归函数，其中1(,,)x n x x =. 则运用合成模式产生的函数1()((),,())x x x k h f g g =是原始递归函数.（III ）递归模式：设()x f 和(,,)x g y z 是原始递归函数，其中1(,,)x n x x =. 则运用递归模式产生的函数(,0)(),(,1)(,,(,))x x x x x h f h y g y h y =+=是原始递归函数.1931年，哥德尔在证明其著名的不完全性定理时，给出了原始递归函数的描述，并以原始递归式为主要工具，运用编码技术把所有元数学的概念进行了算术化表示. 原始递归函数的重要性一直受到数学家和逻辑学家的关注和重视. 通常，人们把能够用“纸”和“笔”在有限步里可以计算的函数称为“直观可计算函数”或“可计算函数”. 显然，原始递归函数都是可计算的.例3-1. 证明自然数加法(,)f x y x y =+是原始递归函数.证明: 首先我们注意到自然数集上的恒等函数I()x x =是原始递归函数，因为11I()P ()x x =.。