幂函数知识点及典型题

幂函数

知识点

一、幂函数的定义 一般地，形如y x α

=（R x ∈）的函数称为幂孙函数，其中x 是自变量，α是常数.如1

12

3

4

,,y x y x y x -===等

都是幂函数 二、幂函数的图像

幂函数n

y x =随着n 的不同，定义域、值域都会发生变化，可以采取按性质和图像分类记忆的方法．熟练掌握n

y x =，当11

2,1,,,323

n =±±±

的图像和性质，列表如下．

① 它们都过点()1,1，除原点外，任何幂函数图像与坐标轴都不相交，任何幂函数图像都不过第四象限．

② 11

,,1,2,332a =时，幂函数图像过原点且在[)0,+∞上是增函数．

③ 1

,1,22

a =---时，幂函数图像不过原点且在()0,+∞上是减函数．

④ 任何两个幂函数最多有三个公共点．

三、幂函数基本性质

（1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都过点（1，1）；

（2）α＞0时，幂函数的图象都通过原点，并且在[0，+∞]上，是增函数 （3）α＜0时，幂函数的图象在区间（0，+∞）上是减函数. 四、解题方法总结

1．在研究幂函数的性质时，通常将分式指数幂化为根式形式，负整指数幂化为分式形式再去进行讨论； 2．对于幂函数y ＝α

x ，我们首先应该分析函数的定义域、值域和奇偶性，由此确定图象的位置，即所在象

限，其次确定曲线的类型，即α＜0，0＜α＜1和α＞1三种情况下曲线的基本形状，还要注意α＝0，±1三个曲线的形状；对于幂函数在第一象限的图象的大致情况可以用口诀来记忆：“正抛负双，大竖小横”，即α＞0（α≠1）时图象是抛物线型；α＜0时图象是双曲线型；α＞1时图象是竖直抛物线型；0＜α＜1时图象是横卧抛物线型．

典型题

类型一、求函数解析式

例1.已知幂函数2

223

(1)m m y m m x --=--，当(0)x ∈+，

∞时为减函数，则幂函数y =__________． 类型二、比较幂函数值大小 例2.比较下列各组数的大小. (1)4

3

3.14

-与43

π

-

(2)35

(-

与35

(-

(3）比较0.5

0.8

，0.5

0.9，0.5

0.9

-的大小

类型三、求参数的范围

例3.已知幂函数2

()m y x m -=∈N 的图象与x y ，轴都无交点，且关于y 轴对称，求m 的值，并画出它的图象．

例4.若()

()2

2

132a a --+>-，求实数a 的取值范围

五、讨论函数性质

例5.求函数y=

3221)3()2(x x -

+的定义域.

例6.讨论函数32

4

(23)

y x x -

=--的单调性.

例7.讨论函数2

1

1

()()m m f x x m *++=∈N 的定义域、奇偶性和单调性．

课后作业

1.已知幂函数f ( x )图像过点（2，

2

2），则f ( 4 ) = 2.函数()y f x =与2()log g x x =的函数图象关于直线y x =对称，则(2)f -= 3.求函数1

42

3x

x y +=-+的值域.

4、设3.0log ,3.0,222

3

.0===c b a ，则c b a ,,的大小关系是 5.1(),12

x A y y x ⎧⎫==>⎨⎬⎩

⎭

，{}

ln ,1B y y x x ==>，则A B ⋂=

6、若函数)1,0()(≠>=a a a x f x

的反函数是)(x g ，且)(x g 在[1，2]上的最大值与最小值之和为1-，则

=a .

7、若2

log 15

a

<，则实数a 的取值范围是___________ 8、已知幂函数()f x

的反函数的图像过，求函数()f x 解析式为 9

、()f x =

定义域是

；()f x =定义域是

10、函数223

12x x y -+⎛⎫=

⎪⎝⎭

的单调递增区间是 ，值域为

11、已知[]3,2x ∈-，求11

()142

x

x f x =-+的最小值与最大值。