幂函数知识点及典型题

合集下载

二次函数与幂函数典型例题(含答案)

二次函数与幂函数1．求二次函数的解析式．2．求二次函数的值域与最值．3．利用幂函数的图象和性质分析解决有关问题．【复习指导】本节复习时，应从“数”与“形”两个角度来把握二次函数和幂函数的图象和性质，重点解决二次函数在闭区间上的最值问题，此类问题经常与其它知识结合命题，应注重分类讨论思想与数形结合思想的综合应用．基础梳理1．二次函数的基本知识(1)函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)叫做二次函数，它的定义域是R.(2)二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象是一条抛物线，对称轴方程为x＝－，顶点坐标是.①当a＞0时，抛物线开口向上，函数在上递减，在上递增，当x＝－时，f(x)min ＝；②当a＜0时，抛物线开口向下，函数在上递增，在上递减，当x＝－时，f(x)max ＝.③二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)当Δ＝b2－4ac＞0时，图象与x轴有两个交点M1(x1,0)、M2(x2,0)，|M1M2|＝|x1－x2|＝.(3)二次函数的解析式的三种形式：①一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)；②顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋h(a≠0)；③两根式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．2．幂函数(1)幂函数的定义形如y＝xα(α∈R)的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数．(2)幂函数的图象(3)幂函数的性质第一象限一定有图像且过点（1，1）；第四象限一定无图像；当幂函数是偶函数时图像分布第一二象限，奇函数时图像分布第一三象限；第一象限图像的变化趋势；当a<0时，递减，a>0时，递增，其中a>1时，递增速度越来越快，0<a<1时，递增速度越来越慢。

y＝x y＝x2y＝x3y＝x y＝x－1定义域R R R[0，＋∞){x|x∈R且x≠0}值域R[0，＋∞)R[0，＋∞){y|y∈R且y≠0}奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性增x∈[0，＋∞)时，增，x∈(－∞，0]时，减增增x∈(0，＋∞)时，减，x∈(－∞，0)时，减定点(0,0)，(1,1) (1,1)一条主线二次函数、一元二次方程和一元二次不等式是一个有机的整体，要深刻理解它们之间的相互关系，能用函数与方程、分类讨论、数形结合思想来研究与“三个二次”有关的问题，高考对“三个二次”知道的考查往往渗透在其他知识之中，并且大都出现在解答题中．两种方法二次函数y＝f(x)对称轴的判断方法：(1)对于二次函数y＝f(x)对定义域内x1，x2，都有f(x1)＝f(x2)，那么函数y＝f(x)图象的对称轴方程为x＝；(2)对于二次函数y＝f(x)对定义域内所有x，都有f(a＋x)＝f(a－x)成立，那么函数y＝f(x)图象的对称轴方程为x＝a(a为常数)．两种问题与二次函数有关的不等式恒成立问题：(1)ax2＋bx＋c＞0，a≠0恒成立的充要条件是(2)ax2＋bx＋c＜0，a≠0恒成立的充要条件是双基自测1．下列函数中是幂函数的是()．A．y＝2x2B．y＝C．y＝x2＋x D．y＝－2．(2011·九江模拟)已知函数f(x)＝4x2－mx＋5在区间[－2，＋∞)上是增函数，则f(1)的范围是()．A．f(1)≥25 B．f(1)＝25C．f(1)≤25 D．f(1)＞253．(2011·福建)若关于x的方程x2＋mx＋1＝0，有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是()．A．(－1,1)B．(－2,2)C．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)4．(2011·陕西)函数的图象是()．5．二次函数y＝f(x)满足f(3＋x)＝f(3－x)(x∈R)且f(x)＝0有两个实根x1，x2，则x1＋x2＝________.考向一求二次函数的解析式【例1】?已知函数f(x)＝x2＋mx＋n的图象过点(1,3)，且f(－1＋x)＝f(－1－x)对任意实数都成立，函数y＝g(x)与y＝f(x)的图象关于原点对称．求f(x)与g(x)的解析式．【训练1】已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8.试确定此二次函数的解析式．考向二幂函数的图象和性质【例2】?幂函数y＝xm2－2m－3(m∈Z)的图象关于y轴对称，且当x＞0时，函数是减函数，则m的值为()．A．－1＜m＜3 B．0C．1 D．2【训练2】已知点(，2)在幂函数y＝f(x)的图象上，点在幂函数y＝g(x)的图象上，若f(x)＝g(x)，则x＝________.考向三二次函数的图象与性质【例3】?已知函数f(x)＝x2－2ax＋1，求f(x)在区间[0,2]上的最值．【训练3】已知f(x)＝1－(x－a)(x－b)(a＜b)，m，n是f(x)的零点，且m＜n，则a，b，m，n从小到大的顺序是________．双基自测1．(人教A版教材习题改编)下列函数中是幂函数的是()．A．y＝2x2B．y＝C．y＝x2＋x D．y＝－解析A，C，D均不符合幂函数的定义．答案 B2．(2011·九江模拟)已知函数f(x)＝4x2－mx＋5在区间[－2，＋∞)上是增函数，则f(1)的范围是()．A．f(1)≥25 B．f(1)＝25C．f(1)≤25 D．f(1)＞25解析对称轴x＝≤－2，∴m≤－16，∴f(1)＝9－m≥25.答案 A3．(2011·福建)若关于x的方程x2＋mx＋1＝0，有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是()．A．(－1,1)B．(－2,2)C．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)解析依题意判别式Δ＝m2－4＞0，解得m＞2或m＜－2.答案 C4．(2011·陕西)函数的图象是()．解析由幂函数的性质知：①图象过(1,1)点，可排除A，D；②当指数0＜α＜1时为增速较缓的增函数，故可排除C.答案 B5．二次函数y＝f(x)满足f(3＋x)＝f(3－x)(x∈R)且f(x)＝0有两个实根x1，x2，则x1＋x2＝________.解析由f(3＋x)＝f(3－x)，知函数y＝f(x)的图象关于直线x＝3对称，应有＝3?x1＋x2＝6.答案6考向一求二次函数的解析式【例1】?已知函数f(x)＝x2＋mx＋n的图象过点(1,3)，且f(－1＋x)＝f(－1－x)对任意实数都成立，函数y＝g(x)与y＝f(x)的图象关于原点对称．求f(x)与g(x)的解析式．[审题视点]采用待定系数法求f(x)，再由f(x)与g(x)的图象关于原点对称，求g(x)．解依题意得解得：∴f(x)＝x2＋2x.设函数y＝f(x)图象上的任意一点A(x0，y0)，该点关于原点的对称点为B(x，y)，则x0＝－x，y0＝－y.∵点A(x0，y0)在函数y＝f(x)的图象上，∴y0＝x＋2x0，∴－y＝x2－2x，∴y＝－x2＋2x，即g(x)＝－x2＋2x.二次函数解析式的确定，应视具体问题，灵活地选用其形式，再根据题设条件列方程组，即运用待定系数法来求解．在具体问题中，常常会与图象的平移、对称，函数的周期性、奇偶性等知识有机地结合在一起．【训练1】已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8.试确定此二次函数的解析式．解法一利用二次函数的一般式．设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．由题意得解之得∴所求二次函数的解析式为y＝－4x2＋4x＋7.法二利用二次函数的顶点式．设f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，∵f(2)＝f(－1)．∴此二次函数的对称轴为x＝＝.∴m＝，又根据题意，函数有最大值8，即n＝8.∴y＝f(x)＝a2＋8，∵f(2)＝－1，∴a2＋8＝－1，解之得a＝－4.∴f(x)＝－42＋8＝－4x2＋4x＋7.考向二幂函数的图象和性质【例2】?幂函数y＝xm2－2m－3(m∈Z)的图象关于y轴对称，且当x＞0时，函数是减函数，则m的值为()．A．－1＜m＜3 B．0C．1 D．2[审题视点]由幂函数的性质可得到幂指数m2－2m－3＜0，再结合m是整数，及幂函数是偶函数可得m的值．解析由m2－2m－3＜0，得－1＜m＜3，又m∈Z，∴m＝0,1,2.∵m2－2m－3为偶数，经验证m＝1符合题意．答案 C根据幂函数的单调性先确定指数的取值范围，当α＞0时，幂函数在(0，＋∞)上为增函数，当α＜0时，幂函数在(0，＋∞)上为减函数，然后验证函数的奇偶性．【训练2】已知点(，2)在幂函数y＝f(x)的图象上，点在幂函数y＝g(x)的图象上，若f(x)＝g(x)，则x＝________.解析由题意，设y＝f(x)＝xα，，则2＝()α，得α＝2，设y＝g(x)＝xβ，则＝(－)β，得β＝－2，由f(x)＝g(x)，即x2＝x－2，解得x＝±1.答案±1考向三二次函数的图象与性质【例3】?已知函数f(x)＝x2－2ax＋1，求f(x)在区间[0,2]上的最值．[审题视点]先确定对称轴，再将对称轴分四种情况讨论．解函数f(x)＝x2－2ax＋1＝(x－a)2＋1－a2的对称轴是直线x＝a，(1)若a＜0，f(x)在区间[0,2]上单调递增，当x＝0时，f(x)min＝f(0)＝1；当x＝2时，f(x)max＝f(2)＝5－4a；(2)若0≤a＜1，则当x＝a时，f(x)min＝f(a)＝1－a2；当x＝2时，f(x)max＝f(2)＝5－4a；(3)若1≤a＜2，则当x＝a时，f(x)min＝f(a)＝1－a2；当x＝0时，f(x)max＝f(0)＝1；(4)若a≥2，则f(x)在区间[0,2]上单调递减，当x＝0时，f(x)max＝f(0)＝1；当x＝2时，f(x)min＝f(2)＝5－4a.解二次函数求最值问题，首先采用配方法，将二次函数化为y＝a(x－m)2＋n(a≠0)的形式，得顶点(m，n)或对称轴方程x＝m，分三个类型：①顶点固定，区间固定；②顶点含参数，区间固定；③顶点固定，区间变动．【训练3】已知f(x)＝1－(x－a)(x－b)(a＜b)，m，n是f(x)的零点，且m＜n，则a，b，m，n从小到大的顺序是________．解析由于f(x)＝1－(x－a)(x－b)(a＜b)的图象是开口向下的抛物线，因为f(a)＝f(b)＝1＞0，f(m)＝f(n)＝0，可得a∈(m，n)，b∈(m，n)，所以m＜a＜b＜n.答案m＜a＜b＜n考向四有关二次函数的综合问题【例4】?设函数f(x)＝ax2－2x＋2，对于满足1＜x＜4的一切x值都有f(x)＞0，求实数a的取值范围．[审题视点]通过讨论开口方向和对称轴位置求解．解当a＞0时，f(x)＝a＋2－.∴或或∴或或∴a≥1或＜a＜1或?，即a＞；当a＜0时，解得a∈?；当a＝0时，f(x)＝－2x＋2，f(1)＝0，f(4)＝－6，∴不合题意．综上可得，实数a的取值范围是a＞.含有参数的二次函数与不等式的结合问题是高考的热点，通过围绕二次函数的开口方向、对称轴，不等式的恒成立等基本问题展开，重点考查学生分类讨论的思想、函数与方程的思想，以及分析、解决问题的能力．【训练4】已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋1(a＞0)，F(x)＝若f(－1)＝0，且对任意实数x均有f(x)≥0成立．(1)求F(x)的表达式；(2)当x∈[－2,2]时，g(x)＝f(x)－kx是单调函数，求k的取值范围．解(1)∵f(－1)＝0，∴a－b＋1＝0，∴b＝a＋1，∴f(x)＝ax2＋(a＋1)x＋1.∵f(x)≥0恒成立，∴∴∴a＝1，从而b＝2，∴f(x)＝x2＋2x＋1，∴F(x)＝(2)g(x)＝x2＋2x＋1－kx＝x2＋(2－k)x＋1.∵g(x)在[－2,2]上是单调函数，∴≤－2，或≥2，解得k≤－2，或k≥6.所以k的取值范围为k≤－2，或k≥6.规范解答3——如何求解二次函数在某个闭区间上的最值【问题研究】二次函数在闭区间上的最值问题，一定要根据对称轴与区间的相对位置关系确定最值，当函数解析式中含有参数时，要根据参数的取值情况进行分类讨论，避免漏解．【解决方案】对于二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)而言，首先确定对称轴，然后与所给区间的位置关系分三类进行讨论．【示例】?(本题满分12分)(2011·济南模拟)已知f(x)＝－4x2＋4ax－4a－a2在区间[0,1]内有最大值－5，求a的值及函数表达式f(x)．求二次函数f(x)的对称轴，分对称轴在区间的左侧、中间、右侧讨论．[解答示范]∵f(x)＝－42－4a，∴抛物线顶点坐标为.(1分)①当≥1，即a≥2时，f(x)取最大值－4－a2.令－4－a2＝－5，得a2＝1，a＝±1＜2(舍去)；(4分)②当0＜＜1，即0＜a＜2时，x＝时，f(x)取最大值为－4a.令－4a＝－5，得a＝∈(0,2)；(7分)③当≤0，即a≤0时，f(x)在[0,1]内递减，∴x＝0时，f(x)取最大值为－4a－a2，令－4a－a2＝－5，得a2＋4a－5＝0，解得a＝－5或a＝1，其中－5∈(－∞，0]．(10分)综上所述，a＝或a＝－5时，f(x)在[0,1]内有最大值－5.∴f(x)＝－4x2＋5x－或f(x)＝－4x2－20x－5.(12分)求解本题易出现的问题是直接利用二次函数的性质——最值在对称轴处取得，忽视对称轴与闭区间的位置关系，不进行分类讨论．【试一试】设函数y＝x2－2x，x∈[－2，a]，求函数的最小值g(a)．[尝试解答]∵函数y＝x2－2x＝(x－1)2－1，∴对称轴为直线x＝1，而x＝1不一定在区间[－2，a]内，应进行讨论．当－2＜a＜1时，函数在[－2，a]上单调递减，则当x＝a时，y min＝a2－2a；当a≥1时，函数在[－2,1]上单调递减，在[1，a]上单调递增，则当x＝1时，y min＝－1.综上，g(a)＝。

幂函数知识点笔记总结

幂函数知识点笔记总结一、基本概念1. 幂函数的定义幂函数是指以底数为自变量，指数为常数的函数，一般形式为 f(x) = a*x^n，其中a为常数，n为整数。

特殊情况下，指数可以是分数或负数。

2. 幂函数的图像特征当底数为正数且指数为正整数时，幂函数为增函数，图像从左下到右上逐渐上升；当底数为正数且指数为负整数时，幂函数为减函数，图像从左上到右下逐渐下降；当底数为负数且指数为奇数时，幂函数为增减函数，图像在原点对称；当底数为负数且指数为偶数时，幂函数为非定义域。

3. 幂函数的定义域和值域幂函数的定义域为实数集合R，值域取决于底数a的正负和指数n的奇偶性，可以是整个实数集合、正实数集合或负实数集合。

4. 幂函数的奇偶性当指数n为奇数时，幂函数为奇函数，具有原点对称性；当指数n为偶数时，幂函数为偶函数，具有y轴对称性。

二、函数性质1. 增减性当指数n为正数时，幂函数为增函数，图像从左下到右上逐渐上升；当指数n为负数时，幂函数为减函数，图像从左上到右下逐渐下降。

2. 奇偶性当指数n为奇数时，幂函数为奇函数，具有原点对称性；当指数n为偶数时，幂函数为偶函数，具有y轴对称性。

3. 定义域和值域幂函数的定义域为实数集合R，值域取决于底数a的正负和指数n的奇偶性。

4. 图像特征底数为正数且指数为正整数时，幂函数为增函数；底数为正数且指数为负整数时，幂函数为减函数；底数为负数且指数为奇数时，幂函数为增减函数；底数为负数且指数为偶数时，幂函数为非定义域。

5. 渐近线当底数a为正数且指数n为正数时，幂函数的渐近线为y=0（x轴）；当底数a为正数且指数n为负数时，幂函数的渐近线为x=0（y轴）；其他情况下，幂函数没有渐近线。

三、常见变形1. 幂函数的平移对于幂函数f(x) = a*x^n，当a>0时，平移y轴时，可以通过加减常数来实现；当a<0时，平移x轴时，也可以通过加减常数来实现。

2. 幂函数的伸缩对于幂函数 f(x) = a*x^n，当a>0时，伸缩x轴时，可以通过系数a来实现；当a<0时，伸缩y轴时，也可以通过系数a来实现。

(word完整版)幂函数的性质

教学过程：一、幂函数1．幂函数的定义⑴一般地，形如y x α=(x ∈R ）的函数称为幂函数，其中x 是自变量，α是常数; ⑵11234,,y x y x y x -===等都是幂函数，在中学里我们只研究α为有理数的情形； ⑶幂函数与一、二次函数，正、反比例函数及指、对数函数一样，都是基本初等函数. 2．幂函数的图像⑵归纳幂函数的性质：① 当0α>时:ⅰ)图象都过()()0,0,1,1点。

ⅱ）在第一象限内图象逐渐上升，都是增函数,且α越大，上升速度越快。

ⅲ）当1α>时，图象下凸；当01α<<时,图象上凸。

21x1-=x② 当0α<时：ⅰ)图象都过()1,1点。

ⅱ)在第一象限内图象逐渐下降,都是减函数，且α越小，下降速度越快。

思考1：如何判断一个幂函数在其他象限内是否有图象？思考2：如何作出一个幂函数在其他象限内是否有图象？例题讲解：例1 写出下列函数的定义域和奇偶性(1)4y x = (2）14y x = （3）3y x -= （4）2y x -=例2 比较下列各组中两个值的大小：（1）11662,3 ；（2)4314.3-与43-π;（3）35)88.0(-与53(0.89)-．思考：.比较下列各数的大小：(1)2333441.1,1.4,1.1； (2) 3338420.16,0.5,6.25.--例3 已知函数()()2212.m m f x m m x +-=+则当m 为何值时，()f x 是（1）正比例函数；（2）反比例函数；（3）幂函数？例4 已知函数画出23y x -=的大致图象。

⑴求其定义域、值域；⑵判断奇偶性和单调性；⑶画出23y x -=的大致图象。

二、方程的根与函数的零点 1、函数零点的概念对于函数y=f（x)，我们把使f(x）=0的实数x叫做函数y=f(x）的零点(zero point）。

方程f（x）=0有实数根函数y=f(x）的图象与x轴有交点函数y=f(x）有零点连续函数在某个区间上存在零点的判别方法:如果函数y=f（x)在区间［a，b]上的图象是连续不断一条曲线,并且有f(a）·f(b)〈0，那么，函数y=f（x）在区间(a，b)内有零点.即存在c∈（a,b)，使得f（c ）=0，这个c也就是方程f(x）=0的根。

幂函数

幂函数、指数函数和对数函数上海市嘉定一中杨思源一、幂函数掌握幂函数1,10,0)(><<<==n n n x x f y n 的主要性质及三种情况下幂函数图像的主要特征。

高中阶段，n 仅限于在集合}3,2,1,21,31,21,1,2{---∈α中取值。

典型题：分别指出幂函数αx x f y ==)(图像具有下列特点时的α的值，其中}3,2,1,21,31,21,1,2{---∈α。

（1）过原点，递增；（2）不过原点，不与坐标轴相交；（3）关于y 轴对称，并与坐标轴相交；（4）关于y 轴对称，不与坐标轴相交；（5）关于原点对称，且通过原点；（6）关于原点对称，但不通过原点。

解：.1)6(;3,1,31)5(;2)4(;2)3(;2,21,1)2(;3,1,21,31)1(-==-==---==αααααα （一）选择题 1．幂函数),,,,()1(互质n m N p n m x y mnp∈=-的图像在第一、二象限，且不过原点，则有（ A ）为偶数；为奇数，n m p A ,. 为偶数；为奇数，m n p B ,. 为奇数；为偶数，n m p C ,. 为奇数。

为偶数，m n p D ,. 分析与解：因为函数的图像在第一、二象限，且不过原点；故函数的定义域p mny p∴<->+∞-∞,0)1(,0),0()0,(因此必有且必为奇数，此时函数变形为.,,0,1A m n m n y xxy mnmn 必为奇数，故选互质，必为偶数，又∴∴>==-.2．当a x y x y x 的下方，则的图像在直线时，函数==+∞∈α),1(的取值范围是（） ;10.<<αA ;0.<αB ;1.<αC .1.>a D分析与解：当0),,1(10<==+∞∈<<ααα的下方；当的图像在时，对于x y x y x 时，对于αααx y x y x y ====时，的下方；当的图像也在0的图像也符合条件。

高考数学知识点幂函数知识点总结

高考数学知识点幂函数知识点总结幂函数是高考数学中的重要知识点之一。

它在求解各类问题中具有广泛的应用。

本文将对幂函数的定义、性质以及解题技巧进行总结，以帮助考生全面掌握相关知识。

一、幂函数的定义与性质1. 定义：幂函数是指形如f(x) = a^x的函数，其中a为实数且a>0且a≠1。

2. 幂函数的基本性质：(1) 当a>1时，幂函数是递增函数；(2) 当0<a<1时，幂函数是递减函数；(3) 幂函数的图象是关于y轴对称的；(4) 当x取整数时，幂函数的函数值为恒定值。

3. 幂函数的特殊情况：(1) 当a>1时，幂函数的图象在x轴正半轴上逼近y轴；(2) 当0<a<1时，幂函数的图象在x轴正半轴上逼近x轴；(3) 当a=1时，幂函数为常数函数。

二、幂函数的常见解题技巧1. 求解幂函数的零点：对于幂函数f(x) = a^x = 0，可以通过求解a^x = 0的条件来得到幂函数的零点。

由于指数函数a^x的定义域为实数集，而等式0^x没有意义，因此幂函数的零点不存在。

2. 求解幂函数的最值：当幂函数f(x) = a^x存在最值时，可以通过导数法求解。

具体步骤为：(1) 求得f'(x) = a^x * ln(a)，其中ln(a)表示以e为底的对数；(2) 令f'(x) = 0，解得x = ln(a)；(3) 将x = ln(a)带入幂函数，得到最值点或者端点的函数值；(4) 比较得到最值。

3. 幂函数与其他函数的复合：幂函数和其他常见函数的复合，如幂函数与线性函数、指数函数、对数函数的复合等，可以通过替换变量或者利用函数关系进行求解。

具体步骤需要根据题目的要求和已知条件进行灵活运用。

4. 幂函数在实际问题中的应用：幂函数在生活和工作中有广泛的应用，比如指数增长与衰减问题，利润与销售量关系的建模，物理中的涉及到指数增长和衰减的问题等，需要考生能够将幂函数与实际问题相结合，进行建模和求解。

幂函数知识点

Page 1对数函数典型例题例1．求下列函数的定义域：（1）2logx y a=；（2）)4(logx y a-=；（3）)9(log 2x y a -=．分析：此题主要利用对数函数x y alog =的定义域(0,)+∞求解。

例2．求函数251-⎪⎭⎫⎝⎛=x y 和函数22112+⎪⎭⎫ ⎝⎛=+x y )0(<x 的反函数。

例3．已知log 4log 4m n <，比较m ，n 的大小。

例4．求下列函数的值域：（1）2log (3)y x =+；（2）22log (3)y x =-；（3）2log (47)a y x x =-+（0a >且1a ≠）．例5．判断函数22()log (1)f x x x =+-的奇偶性。

例6．求函数2132log (32)y x x =-+的单调区间。

分析：利用对数函数性质判断函数单调性时，首先要考察函数的定义域，再利用复合函数单调性的判断方法来求单调区间。

例7．若函数22log ()y x ax a =---在区间(,13)-∞-上是增函数，a 的取值范围。

§2.3 幂函数1．幂函数的概念一般地，形如y ＝x α (α∈R )的函数称为幂函数，其中x 是自变量，α是常数．幂函数的特征：(1)以幂的底为自变量，指数为常数(高中阶段只学习指数为有理数的幂函数)； (2)x α前的系数为1，项数只有1项．要注意幂函数与指数函数y ＝a x(a >0，且a ≠1)的区别，这里底数a 为常数，指数为变量．2．五个具体幂函数的图象与性质当α＝1,2,3，12，－1时，在同一坐标平面内作这五个幂函数的图象如图所示．结合图象我们可以得到以上五个幂函数的性质如下：(1)在区间(0，＋∞)上都有定义，并且图象都通过点(1,1)；(2)如果α>0，则幂函数的图象通过原点，并且在区间[0，＋∞)上是增函数； (3)如果α<0，则幂函数在区间(0，＋∞)上是减函数，在第一象限内，当x 从右边趋向原点时，图象在y 轴右方无限地逼近y 轴；当x 趋于＋∞时，图象在x 轴上方无限地逼近x 轴；(4)当α＝1,3，－1时，幂函数为奇函数；当α＝2时，幂函数为偶函数；当α＝12时，幂函数既不是奇函数也不是偶函数．说明：对于五个具体的幂函数在第一象限的图象的大致情况可以归纳为“正抛负双，大竖小横”这一记忆的口诀．即α>0(α≠1)时的图象是抛物线型，α>1时的图象是竖直抛物线型，0<α<1时的图象是横卧抛物线型，α<0时的图象是双曲线型一、理解幂函数的概念例1 函数f (x )＝(m 2－m －1)xm 2＋m －3是幂函数，且当x ∈(0，＋∞)时，f (x )是增函数，求f (x )的解析式．二、幂函数性质的综合应用例2 已知幂函数y ＝x 3m －9 (m ∈N *)的图象关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上函数值随x 的增大而减小，求满足(a ＋1)－m 3<(3－2a )－m3的a 的范围。

指数函数、对数函数及幂函数知识总结+典型考题

指数函数、对数函数及幂函数知识总结+典型考题指数函数、对数函数及幂函数知识总结一、知识框图二、知识要点梳理函数名称指数函数定义函数且叫做指数函数图象定义域值域过定点图象过定点，即当时，.奇偶性非奇非偶单调性在上是增函数在上是减函数函数值的变化情况变化对图象的影响在第一象限内，从逆时针方向看图象，逐渐增大；在第二象限内，从逆时针方向看图象，逐渐减小.常见性质n次方根的性质：(1)当为奇数时，；当为偶数时，(2)分数指数幂的意义：；注意：0的正分数指数幂等与0，负分数指数幂没有意义.有理数指数幂的运算性质：(1) (2) (3)函数名称对数函数定义函数且叫做对数函数图象定义域值域过定点图象过定点，即当时，.奇偶性非奇非偶单调性在上是增函数在上是减函数函数值的变化情况变化对图象的影响在第一象限内，从顺时针方向看图象，逐渐增大；在第四象限内，从顺时针方向看图象，逐渐减小.常见性质几个重要的对数恒等式，，.常用对数与自然对数常用对数：，即；自然对数：，即(其中…).对数的运算性质如果，那么①加法：②减法：③数乘：④⑤⑥换底公式：幂函数形如的函数，叫做幂函数，其中为常数.三、考题训练1.（2012·新课标全国高考文科·Ｔ11）当0<x ≤12时，4x<log a x ，则a 的取值范围是（）（A ）(0，22) （B ）(22，1) （C ）(1，2) （D ）(2，2) 2.（2012·安徽高考文科·Ｔ3）（2log 9）·（3log 4）=（）（A ）14 （B ）12（C ）2 （D ）4 3.（2012·天津高考文科·Ｔ6）下列函数中，既是偶函数，又在区间（1,2）内是增函数的为（）2x （A ）y=cos ，x R ∈ 2||x （B ）y=log ， 0x R x ∈≠且 2x xe e --（C ）y=， x R ∈ 3+x （D ）y=1， x R ∈4.（2012·北京高考文科·Ｔ12）已知函数f （x ）=lgx ，若f （ab ）=1，则f （a 2）+f （b 2）=___________.5.（2012·江苏高考·Ｔ5）函数6()12log f x x=-的定义域为 .6.（2012·山东高考文科·Ｔ15）若函数()(0,1)x f x a a a =>≠在［－1，2］上的最大值为4，最小值为m ，且函数()(14)g x m x =-在[0,)+∞上是增函数，则a ＝ .7.函数y=(31)x -2x 在区间[-1, 1]上的最大值为 .8.记函数13x y -=+的反函数为()y g x =，则(10)g = A ． 2 B ． 2- C ． 3 D ． 1-9.若函数f （x ）=log x a 在[2，4]上的最大值与最小值之差为2，则a=___ 10．函数y =的定义域是____________10．f （x ）=⎪⎩⎪⎨⎧〉〈-)1(log )1(281x x xx 则满足f （x ）=41的x 的值是_______________3 11．设)(1x f-是函数)1(log )(2+=x x f 的反函数,若8)](1)][(1[11=++--b fa f,则f (a +b )的值为A. 1B. 2C. 3D. 3log 2 12．函数)(log )(2x ax x f a -=在]4,2[∈x 上是增函数，则a 的取值范围是（） A. 1>a B. 1,0≠>a a C. 10<<a D. φ∈a . 13.方程lg()lg lg 4223x x +=+的解是___________________14.21-=a 是函数ax e x f x ++=)1ln()(为偶函数的c（A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件15.已知函数)(log )(221a ax x x f --=的值域为R ，且f (x )在（)31,-∞-上是增函数，则a的范围是 .16.函数y=log 2(1-x)的图象是（A ）（B ）（C ）（D ）16.已知9x -10.3x +9≤0，求函数y=（41）x-1-4·（21）x +2的最大值和最小值17.设函数,241)(+=xx f （1）求证：对一切)1()(,x f x f R x -+∈为定值；（2）记*),()1()1()2()1()0(N n f nn f n f n f f a n ∈+-++++=K 求数列}{n a 的通项公式及前n 项和.。

专题24：幂函数、指数函数、对数函数知识点与典型例题(解析版)-2022年高考数学一轮复习

（2）自然对数：以无理数 e 为底的对数的对数 , loge N记为ln N ．
3、对数式与指数式的互化
x loga N a x N
对数式
指数式
对数底数← a → 幂底数
对数← x → 指数
真数← N → 幂
结论：（1）负数和零没有对数
（2）logaa=1, loga1=0 特别地， lg10=1,
2
3
10 49 5 3
3
3
47
10．化简
（1）
2
5 3
0
22
2
1 4
1
2
1
0.01 2
4
3
（2） 3 8 4 3 2 3 2 3
16
【答案】（1）；（2）-2.
15
【分析】
（1）利用指数幂的运算性质即可求解.
（2）利用指数幂的运算性质即可求解.
【详解】
1
1
（1）原式 1
当 x 0 时， 0 y 1 ；
当 x 0 时， 0 y 1 。
当 x 0 时， y 1。
在 , 上是增函数。在 , 上是减函数。
11．函数 y 3 x 的大致图像是（）
A．
B．
C．
D．
【答案】C 【分析】根据函数的最大值排除 A B D 可得答案. 【详解】
因为 | x | 0 ，所以 y 3|x| 30 1，排除 A B D.
log a M N log a M log a N
16．已知 a log3 2 1 ，则 2a （）
专题 24：幂函数、指数函数、对数函数知识点与典型例题（解析版）
幂函数图像及性质分析
y1 x

幂函数的典型例题

经典例题透析类型一、求函数解析式例1.已知幂函数2223(1)m m y m m x --=--，当(0)x ∈+，∞时为减函数，则幂函数y =__________．解析：由于2223(1)mm y m m x --=--为幂函数，所以211m m --=，解得2m =，或1m =-．当2m =时，2233m m --=-，3y x -=在(0)+，∞上为减函数；当1m =-时，2230m m --=，01(0)y x x ==≠在(0)+，∞上为常数函数，不合题意，舍去．故所求幂函数为3y x -=．总结升华：求幂函数的解析式，一般用待定系数法，弄明白幂函数的定义是关键．类型二、比较幂函数值大小例2.比较下列各组数的大小. (1)433.14-与43π-； (2)35(2)-与35(3)-.解:(1)由于幂函数43y x -=(x>0)单调递减且3.14π<，∴44333.14π-->.(2)由于35y x -=这个幂函数是奇函数. ∴f(-x)=-f(x)因此，3355(2)2)--=-，3355(3)3)--=-，而35y x-=(x>0)23<，∴ 333355552)3)2)3)---->⇒-<-.即3355(2)(3)---<. 总结升华：(1)各题中的两个数都是“同指数”的幂，因此可看作是同一个幂函数的两个不同的函数值，从而可根据幂函数的单调性做出判断.(2)题(2)中，我们是利用幂函数的奇偶性，先把底数化为正数的幂解决的问题.当然，若直接利用x<0上幂函数的单调性解决问题也是可以的.举一反三【变式一】比较0.50.8，0.50.9，0.50.9-的大小.思路点拨：先利用幂函数0.5y x =的增减性比较0.50.8与0.50.9的大小，再根据幂函数的图象比较0.50.9与0.50.9-的大小.解：0.5y x =在(0)+，∞上单调递增，且0.80.9<，0.50.50.80.9∴<.作出函数0.5y x =与0.5y x-=在第一象限内的图象，易知0.50.50.90.9-<.故0.50.50.50.80.90.9-<<.例 3.已知幂函数1ny x =， 2ny x =， 3ny x =， 4ny x =在第一象限内的图象分别是C 1，C 2，C 3，C 4，(如图)，则n 1，n 2，n 3，n 4，0，1的大小关系?解:应为n 1<n 2<0<n 3<1<n 4. 总结升华：对于幂函数()y x R αα=∈的图象，其函数性质的正确把握主要来源于对图象的正确处理，而幂函数的图象，最重要的是搞清第一象限的图象类型及分布；反过来，也能通过第一象限的图象判断指数的取值范围.举一反三【变式一】（2011 陕西文4）函数13y x =的图像是（）思路点拨：已知函数解析式和图像，可以用取点验证的方法判断．解：取11,88x =-，则11,22y =-，选项B ，D 符合；取1x =，则1y =，选项B 符合题意．类型三、求参数的范围例4.已知幂函数2()m y x m -=∈N 的图象与x y ，轴都无交点，且关于y 轴对称，求m 的值，并画出它的图象．解：图象与x y ，轴都无交点， 2m ∴-≤0，即2m ≤．又m ∈N ，012m ∴=，，．幂函数图象关于y 轴对称，0m ∴=，或2m =．当0m =时，函数为2y x -=，图象如图1；当2m =时，函数为01(0)y x x ==≠，图象如图2．举一反三【变式一】若()()22132a a --+>-，求实数a 的取值范围.解法1：∵()()22132a a --+>-，考察2y x -=的图象，得以下四种可能情况:(1)⎪⎩⎪⎨⎧+>->+>-12301023a a a a (2)⎪⎩⎪⎨⎧+<-<+<-12301023a a a a (3)⎪⎩⎪⎨⎧+->-<+>-)1(2301023a a a a (4)⎪⎩⎪⎨⎧+>-->+<-1)23(01023a a a a分别解得:(1)213a -<<. (2)无解. (3)1a <-. (4)4a >.∴a 的取值范围是()()21143⎛⎫-∞--+∞ ⎪⎝⎭，，，. 解法2：画出2y x -=的图象，认真观察图象，可得:越接近y 轴，y 值越大，即|x|越小，y 值越大，∴要使()()22132a a --+>-，即10320|1||32|a a a a +≠⎧⎪-≠⎨⎪+<-⎩，解得:()()21143⎛⎫-∞--+∞ ⎪⎝⎭，，，. 总结升华：以上两种方法都是运用函数的单调性，但显然第二种方法更好.而这种方法的应用，必须对图象的特征有深刻的认识.可见，能很好地运用数形结合是解决函数问题的重要途径.【变式二】当m 为何值时，幂函数y=(m 2-5m+6)322--m mx 的图象同时通过点(0，0)和(1，1).解:∵y=(m 2-5m+6)322--m mx 是幂函数.∴m 2-5m+6=1.得:m=255±，又∵函数图象过(0，0)和(1，1)点，∴m 2-2m-3>0，得m>3或m<-1， ∴ m=255-(舍去) 即:m=255+. 类型四、讨论函数性质例5.求函数y=3221)3()2(x x -+的定义域.解:原函数可化为 y=32)3(2x x -+ ⎩⎨⎧≠-≥+0302x x ∴x ∈[-2，3)∪(3，+∞). 总结升华：正确判断函数的定义域是完成函数的图象，讨论函数的性质的前提，必须加以重视. 例6.讨论函数324(23)y x x -=--的单调性.解:324(23)y x x -=--可看作是由34y u-=与u=x 2-2x-3复合而成，∵34y u -=中，u ∈(0，+∞).∴ x 2-2x-3>0，得到x>3或x<-1.当x>3时，∵u=(x-1)2-4， ∴随着x 的增大u 增大，又∵34y u-=在定义域内为减函数，∴y 随着u 的增大而减小，即()3x ∈+∞，时，324(23)y x x -=--是减函数，而()1x ∈-∞-，时，原函数为增函数.总结升华：1.复合函数的讨论一定要理清x ，u ，y 三个变量的关系.2.对于这样的幂函数与二次函数的复合，要先考虑幂函数的定义域对自变量x 的限制.举一反三【变式一】讨论函数211()()m m f x x m *++=∈N 的定义域、奇偶性和单调性．解：（1）2(1)()m m m m m *+=+∈N 是正偶数，21m m ∴++是正奇数． ∴函数()f x 的定义域为R ．（2）21m m ++是正奇数，221111()()()m m m m f x x xf x ++++∴-=-=-=-，且定义域关于原点对称．()f x ∴是R 上的奇函数．（3）2101m m >++，且21m m ++是正奇数， ∴函数()f x 在()-+，∞∞上单调递增．。

高三数学一轮复习知识点专题2-4二次函数与幂函数

精品基础教育教学资料，仅供参考，需要可下载使用！专题2-4二次函数与幂函数【核心素养分析】1.了解幂函数的概念；结合函数y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝x 12，y ＝1x 的图象，了解它们的变化情况；2.理解二次函数的图象和性质，能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题.3.培养学生逻辑推理、直观想象、数学运算的素养。

【重点知识梳理】知识点一幂函数 (1)幂函数的定义一般地，形如y ＝x α的函数称为幂函数，其中x 是自变量，α为常数. (2)常见的5种幂函数的图象(3)幂函数的性质①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；②当α>0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递增； ③当α<0时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递减. 知识点二二次函数(1)二次函数解析式的三种形式：一般式：f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0).顶点式：f (x )＝a (x －m )2＋n (a ≠0)，顶点坐标为(m ，n ). 零点式：f (x )＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)，x 1，x 2为f (x )的零点. (2)二次函数的图象和性质【特别提醒】1.二次函数的单调性、最值与抛物线的开口方向和对称轴及给定区间的范围有关.2.若f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，则当⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ<0时恒有f (x )>0，当⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ<0时，恒有f (x )<0.【典型题分析】高频考点一幂函数的图象与性质例1.(2018·上海卷)已知α∈⎩⎨⎧－2，－1，－12，⎭⎬⎫12，1，2，3.若幂函数f (x )＝x α为奇函数，且在(0，＋∞)上递减，则α＝______.【答案】－1【解析】由题意知α可取－1，1，3.又y ＝x α在(0，＋∞)上是减函数， ∴α<0，取α＝－1.【方法技巧】(1)幂函数y ＝x α的形式特点是“幂指数坐在x 的肩膀上”，图象都过点(1,1)．它们的单调性要牢记第一象限的图象特征：当α>0时，第一象限图象是上坡递增；当α＜0时，第一象限图象是下坡递减．然后根据函数的奇偶性确定y 轴左侧的增减性即可．(2)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，既不同底又不同次数的幂函数值比较大小：常找到一个中间值，通过比较幂函数值与中间值的大小进行判断．准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键．【变式探究】（2020·山东临沂一中质检）幂函数y ＝x (m ∈Z)的图象如图所示，则m 的值为( )A ．－1B ．0C ．1D ．2【答案】C【解析】从图象上看，由于图象不过原点，且在第一象限下降，故m 2－2m －3＜0，即－1＜m ＜3；又从图象看，函数是偶函数，故m 2－2m －3为负偶数，将m ＝0,1,2分别代入，可知当m ＝1时，m 2－2m －3＝－4，满足要求．高频考点二求二次函数的解析式例2.（2020·河北衡水中学调研）已知二次函数f (x )满足f (2)＝－1，f (－1)＝－1，且f (x )的最大值是8，求二次函数f (x )的解析式．【答案】f (x )＝－4x 2＋4x ＋7.【解析】法一：(利用二次函数的一般式) 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)．由题意得⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋2b ＋c ＝－1，a －b ＋c ＝－1，4ac －b 24a ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝4，c ＝7.故所求二次函数为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7. 法二：(利用二次函数的顶点式) 设f (x )＝a (x －m )2＋n (a ≠0)．∵f (2)＝f (－1)，∴抛物线对称轴为x ＝2＋(－1)2＝12.∴m ＝12，又根据题意函数有最大值8，∴n ＝8，∴y ＝f (x )＝a ⎝⎛⎭⎫x －122＋8. ∵f (2)＝－1，∴a ⎝⎛⎭⎫2－122＋8＝－1，解得a ＝－4， ∴f (x )＝－4⎝⎛⎭⎫x －122＋8＝－4x 2＋4x ＋7. 2-2-3mm法三：(利用二次函数的零点式)由已知f (x )＋1＝0的两根为x 1＝2，x 2＝－1，故可设f (x )＋1＝a (x －2)(x ＋1)，即f (x )＝ax 2－ax －2a －1. 又函数有最大值y max ＝8，即4a (－2a －1)－a 24a ＝8.解得a ＝－4或a ＝0(舍去)，故所求函数解析式为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7. 【方法技巧】求二次函数解析式的策略（1）已知三点坐标，选用一般式（2）已知顶点坐标、对称轴、最值，选用顶点式（3）已知与x 轴两点坐标，选用零点式【变式探究】（2020·湖南湘潭二中模拟）已知二次函数f (x )的图象的顶点坐标是(－2，－1)，且图象经过点(1,0)，则函数的解析式为f (x )＝________.【答案】19x 2＋49x －59【解析】法一：(一般式)设所求解析式为f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)．由已知得⎩⎨⎧－b2a＝－2，4ac －b24a＝－1，a ＋b ＋c ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝19，b ＝49，c ＝－59，所以所求解析式为f (x )＝19x 2＋49x －59.法二：(顶点式)设所求解析式为f (x )＝a (x －h )2＋k . 由已知得f (x )＝a (x ＋2)2－1，将点(1,0)代入，得a ＝19，所以f (x )＝19(x ＋2)2－1，即f (x )＝19x 2＋49x －59.高频考点三二次函数的图象及应用例3.（2020·吉林长春实验中学模拟）对数函数y＝log a x(a>0且a≠1)与二次函数y＝(a－1)x2－x在同一坐标系内的图象可能是()【答案】A【解析】若0<a<1，则y＝log a x在(0，＋∞)上单调递减，y＝(a－1)x2－x开口向下，其图象的对称轴在y轴左侧，排除C，D.若a>1，则y＝log a x在(0，＋∞)上是增函数，y＝(a－1)x2－x图象开口向上，且对称轴在y轴右侧，因此B项不正确，只有选项A满足.【方法技巧】1.研究二次函数图象应从“三点一线一开口”进行分析，“三点”中有一个点是顶点，另两个点是抛物线上关于对称轴对称的两个点，常取与x轴的交点；“一线”是指对称轴这条直线；“一开口”是指抛物线的开口方向.2.求解与二次函数有关的不等式问题，可借助二次函数的图象特征，分析不等关系成立的条件.【变式探究】（2020·河南商丘一中模拟）已知abc＞0，则二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象可能是()A BC D【答案】D【解析】A项，因为a＜0，－b2a＜0，所以b＜0.又因为abc＞0，所以c＞0，而f(0)＝c＜0，故A错．B项，因为a＜0，－b2a＞0，所以b＞0.又因为abc＞0，所以c＜0，而f(0)＝c＞0，故B错．C项，因为a＞0，－b2a＜0，所以b＞0.又因为abc＞0，所以c＞0，而f(0)＝c＜0，故C错．D项，因为a＞0，－b2a＞0，所以b＜0，因为abc＞0，所以c＜0，而f(0)＝c＜0，故选D。

专题20 幂函数(原卷版)

专题20 幂函数【知识点梳理】知识点一：幂函数概念形如()yx R αα=∈的函数，叫做幂函数，其中α为常数.知识点诠释：幂函数必须是形如()yx R αα=∈的函数，幂函数底数为单一的自变量x ，系数为1，指数为常数.例如：()2423,1,2y x y x y x ==+=-等都不是幂函数.知识点二：幂函数的图象及性质 1.作出下列函数的图象：(1)x y =；(2)21x y =；(3)2x y =；(4)1-=x y ；(5)3x y =．知识点诠释：幂函数随着α的取值不同，它们的定义域、性质和图象也不尽相同，但它们有一些共同的性质： (1)所有的幂函数在(0，+∞)都有定义，并且图象都过点(1，1)；(2)0>α时，幂函数的图象通过原点，并且在区间),0[+∞上是增函数．特别地，当1>α时，幂函数的图象下凸；当10<<α时，幂函数的图象上凸；(3)0<α时，幂函数的图象在区间),0(+∞上是减函数．在第一象限内，当x 从右边趋向原点时，图象在y 轴右方无限地逼近y 轴正半轴，当x 趋于∞+时，图象在x 轴上方无限地逼近x 轴正半轴．2.作幂函数图象的步骤如下: (1)先作出第一象限内的图象；(2)若幂函数的定义域为(0)+∞，或[0)+∞，，作图已完成；若在()0-∞，或(]0-∞，上也有意义，则应先判断函数的奇偶性如果为偶函数，则根据y 轴对称作出第二象限的图象；如果为奇函数，则根据原点对称作出第三象限的图象.3.幂函数解析式的确定(1)借助幂函数的定义，设幂函数或确定函数中相应量的值． (2)结合幂函数的性质，分析幂函数中指数的特征．(3)如函数()af x k x =⋅是幂函数，求()f x 的表达式，就应由定义知必有1k =，即()af x x =．4.幂函数值大小的比较(1)比较函数值的大小问题一般是利用函数的单调性，当不便于利用单调性时，可与0和1进行比较．常称为“搭桥”法．(2)比较幂函数值的大小，一般先构造幂函数并明确其单调性，然后由单调性判断值的大小． (3)常用的步骤是：①构造幂函数；②比较底的大小；③由单调性确定函数值的大小．【题型归纳目录】题型一：幂函数的概念题型二：幂函数的图象的应用题型三：幂函数的单调性题型四：幂函数的奇偶性题型五：幂值大小的比较题型六：定点问题题型七：定义域问题题型八：值域问题【典型例题】题型一：幂函数的概念1．（2022·河北沧州·高一期末）下列函数是幂函数的是（） A ．2y x = B ．21y x =- C ．3y x = D ．2x y =2．（2022·吉林·梅河口市第五中学高一期末）下列函数是幂函数的是（） A ．22y x = B ．1y x -=- C ．31y x = D ．2x y =3．（2022·河南新乡·高一期末）已知幂函数()()2311mf x m x =-在()0,∞+上单调递减，则()4f =（）A ．2B ．16C ．12D ．1164．（2022·四川·什邡中学高一阶段练习）已知点4)在幂函数()y f x =的图象上，则(2)f =_______．5．（2022·甘肃·甘南藏族自治州合作第一中学高一期末）幂函数()y f x =的图象经过点(14,2)，则1()4f =____.6．（2022·新疆·乌市一中高一期末）已知幂函数()f x 的图象过点18,2⎛⎫⎪⎝⎭，则127f ⎛⎫= ⎪⎝⎭________7．（2022·广东·深圳科学高中高一期中）若幂函数()21my m m x =--为偶函数，则m = ________ .8．（2022·甘肃庆阳·高一期末）已知幂函数()f x 的图象过点13,3⎛⎫ ⎪⎝⎭，则此函数的解析式为______．9．（2022·湖北·宜昌市夷陵中学高一期中）已知幂函数()2()1mf x m m x =--的图象关于y 轴对称，则()f m =___________．10．（2022·宁夏·青铜峡市宁朔中学高二期中（文））已知幂函数()()a f x x a R =∈过点A （4，2），则f （14）=___________.11．（2022·湖南·高一课时练习）已知()m x 是幂函数，若()()9271m m =，求()25m 和()8m ．题型二：幂函数的图象的应用1．（2021·河北省博野中学高一开学考试）函数2,y x y x ==和1y x=的图象如图所示，有下列四个说法： ①如果21a a a>>，那么01a <<； ②如果21a a a>>，那么1a >； ③如果21a a a>>，那么10a -<<； ④如果21a a a>>时，那么1a <-. 其中正确的是（）.A ．①④B ．①C ．①②D ．①③④2．（2020·上海市晋元高级中学高一期中）已知幂函数()y f x =的图象经过点14,2P ⎛⎫⎪⎝⎭，则()y f x =的大致图象是（）A ．B ．C ．D ．3．（2022·四川凉山·高一期末）如图，①②③④对应四个幂函数的图像，其中①对应的幂函数是（）A ．3y x =B ．2y xC ．y x =D ．58y x =4．（2022·宁夏吴忠区青铜峡市教育局高一开学考试）已知幂函数()f x 的图象过点()9,3，则函数()f x 的图象是（）A ．B ．C ．D ．5．（2022·辽宁大连·高一期末）已知幂函数a y x =与b y x =的部分图像如图所示，直线2x m =，()01x m m =<<与a y x =，b y x =的图像分别交于A ，B ，C ，D 四点，且AB CD =，则a b m m +=（）A ．12B ．1CD ．26．（2021·福建·高三学业考试）函数y = ）A ．B ．C ．D ．7．（2021·全国·高一单元测试）图中C 1、C 2、C 3为三个幂函数y x α=在第一象限内的图象，则解析式中指数α的值依次可以是（）A ．12、3、1-B ．1-、3、12C ．12、1-、3D ．1-、12、38．（2021·全国·高一课时练习）若幂函数m y x =与n y x =在第一象限内的图像如图所示，则（）A ．101n m -<<<<；B ．1n <-，01m <<；C ．10n -<<，1m ；D ．1n <-，1m ．9．（2021·陕西·咸阳市实验中学高一阶段练习）若幂函数,a b y x y x ==在同一坐标系中的部分图象如图所示，则a ､b 的大小关系正确的是（）A ．1a b >>B ．1b a >>C ．0a b >>D ．0b a >>（多选题）10．（2021·全国·高一课时练习）下列关于幂函数y x α=的性质说法正确的有（） A ．当1α=-时，函数在其定义域上递减 B ．当0α=时，函数图象是一条直线 C ．当2α=时，函数是偶函数D ．当3α=时，函数的图象与x 轴交点的横坐标为0（多选题）11．（2022·广东·韶关市田家炳中学高一期末）如果幂函数()22233m m y m m x--=-+的图象不过原点，则实数m 的取值为（） A ．0 B ．2 C ．1 D ．无解12．（2022·湖南·高一课时练习）对幂函数y x α=，填空：（1）当1α>，0x ≥时，图象恒过______和______两点；其中当01x <<时，幂函数图象在y x =图象的______方；当1x >时，幂函数图象在y x =图象的______方．（2）当01α<<，0x ≥时，图象也恒过______和______两点；其中当01x <<时，幂函数图象在y x =图象的______方；当1x >，幂函数图象在y x =图象的______方．（3）当0α<，0x >时，图象恒过点______．题型三：幂函数的单调性1．（2022·四川成都·高一开学考试）下列幂函数中，既是奇函数又在区间()0,∞+单调递增的是（）A ．()3f x x =B ．()2f x x =C ．()12f x x =D ．()1f x x -=2．（2022·湖南·株洲二中高一阶段练习）已知函数()22my m m x =+幂函数，且在其定义域内为单调函数，则实数m =（） A ．12B ．1-C ．12或1-D ．12-3．（2022·四川凉山·高一期末）已知0a ≠，若()2021202120a b a a b ++++=，则ba=（） A ．－2 B ．－1C ．12-D ．2（多选题）4．（2022·安徽·泾县中学高一阶段练习）已知函数()a f x x 的图象经过点1,33⎛⎫⎪⎝⎭则（）A ．()f x 的图象经过点(3,9)B ．()f x 的图象关于y 轴对称C ．()f x 在(0,)+∞上单调递减D ．()f x 在(0,)+∞内的值域为(0,)+∞5．（2022·全国·池州市第一中学高一开学考试）已知幂函数()()213m f x m x -=-在()0,∞+内是单调递减函数，则实数m =______．6．（2022·北京房山·高一期末）试写出函数()f x ，使得()f x 同时()f x 满足以下条件： ①定义域为[)0,∞+；②值域为[)0,∞+；③在定义域内是单调增函数．则函数()f x 的解析式可以是_______（写出一个满足题目条件的解析式）．7．（2022·湖南·高一课时练习）已知2.4α>2.5α，则α的取值范围是________．8．（2022·湖南·高一课时练习）已知幂函数()f x x α=的图象经过点3,19⎛⎫ ⎪⎝⎭，求函数的解析式，并作出该函数图象的草图，判断该函数的奇偶性和单调性．9．（2022·湖南·高一课时练习）结合图中的五个函数图象回答问题：(1)哪几个是偶函数，哪几个是奇函数？ (2)写出每个函数的定义域、值域； (3)写出每个函数的单调区间； (4)从图中你发现了什么？10．（2022·湖南·高一课时练习）已知幂函数()f x x α=的图象经过点1(8,)2，求函数的解析式，并作出该函数图象的草图，判断该函数的奇偶性和单调性．11．（2022·全国·高一课时练习）求函数2()(2)f x x -=+的定义域，并指出其单调区间.题型四：幂函数的奇偶性1．（2022·北京丰台·高一期末）下列函数中，图象关于坐标原点对称的是（）A ．y =B ．3y x =C ．y x =D ．2x y =2．（2022·江西·景德镇一中高一期末）已知幂函数()y f x =的图象过，则下列结论正确的是（）A ．()y f x =的定义域为[0,)+∞B ．()y f x =在其定义域内为减函数C ．()y f x =是偶函数D ．()y f x =是奇函数3．（2022·四川雅安·高一期末）已知幂函数()()2133a f x a a x +=-+为偶函数，则实数a 的值为（）A ．3B ．2C ．1D ．1或2（多选题）4．（2022·安徽阜阳·高一期中）已知函数()21m my m x -=-为幂函数，则该函数为（）A ．奇函数B ．偶函数C ．区间()0,∞+上的增函数D ．区间()0,∞+上的减函数（多选题）5．（2022·广东深圳·高一期末）若函数()2()3104m f x m m x =-+是幂函数，则()f x 一定（）A ．是偶函数B ．是奇函数C ．在(,0)x ∈-∞上单调递减D ．在(,0)x ∈-∞上单调递增（多选题）6．（2022·广西钦州·高一期末）若函数()2231()69m m f x m m x-+=-+是幂函数且为奇函数，则m的值为（） A ．1 B ．2 C ．3 D ．47．（2022·湖南·湘潭一中高一期末）已知幂函数()()221m f x m m x +=-+是奇函数，则m =___________.8．（2022·湖南怀化·高一期末）写出一个同时具有下列三个性质的函数：()f x =________.①()()f x x R αα=∈；②()f x 在R 上单调递增；③()()f x f x -=-.9．（2022·河南南阳·高一期末）写出一个同时具有下列三个性质的函数：()f x =___________. ①()f x 为幂函数；②()f x 为偶函数；③()f x 在(),0∞-上单调递减.10．（2022·黑龙江绥化·高一期末）已知幂函数f (x )是奇函数且在(0,)+∞上是减函数，请写出f (x )的一个表达式________．11．（2022·山东·济南一中高一阶段练习）已知幂函数()223m m y xm N --*=∈的图象关于y 轴对称，且在()0,∞+上单调递减，则满足()()33132mma a --+<-的a 的取值范围为________.12．（2022·重庆巫山·高一期末）若幂函数()f x 过点()2,8，则满足不等式()()310f a f a -+-≤的实数a 的取值范围是______13．（2022·上海·同济大学第二附属中学高一期末）已知α∈112,1,,,1,2,322⎧⎫---⎨⎬⎩⎭.若幂函数f (x )＝xα为奇函数，且在(0，＋∞)上递减，则α＝______.14．（2022·北京房山·高一期末）已知幂函数()f x x α=的图象经过点2)． (1)求函数()f x 的解析式；(2)若函数()f x 满足条件(2)(1)f a f a ->- ，试求实数a 的取值范围．15．（2022·上海市第三女子中学高一期末）已知幂函数()()24Z m mf x x m -+=∈的图象关于y 轴对称，且在区间()0,+∞上是严格增函数． (1)求m 的值；(2)求满足不等式()()211f a f a -<+的实数a 的取值范围．16．（2022·全国·高一课时练习）判断函数3y x -=与2y x 的奇偶性.题型五：幂值大小的比较1．（2022·湖北·华中师大一附中高一期末）已知幂函数a y x =的图象过点13,9⎛⎫⎪⎝⎭，则下列两函数的大小关系为：()224ax x -+（）(3)a - A ．≤ B ．≥ C ．< D ．>2．（2021·山东聊城一中高一期中）设幂函数()f x 的图像经过点12⎛ ⎝，若实数1m ，则()f m 与()1f m -的大小关系是（）A ．()()1f m f m ->B ．()()1f m f m -<C ．()()1f m f m -=D ．以上都有可能3．（2021·江苏·高一专题练习）下列比较大小中正确的是（）. A ．0.50.532()()23<B ．1123()()35---<-C ．3377( 2.1)( 2.2)--<-D ．443311()()23-<4．（2022·湖南·高一课时练习）已知()()1230m a a -=+≠，13n -=，则m 与n 的大小关系为________．5．（2022·全国·高一）比较下列各组数的大小．（1）11331.5 1.71,,；（2）22433310(,,1.()17-－－；（3）2235353.()8 3.9 1.8-－，，；6．（2021·全国·高一课前预习）求出函数2245()44x x f x x x ++=++的单调区间，并比较()f π-与f ⎛ ⎝⎭的大小．7．（2021·全国·高一课时练习）已知幂函数()0,R my xm m =<∈.(1)求证：该函数在区间()0,∞+上是严格减函数； (2)利用（1）的结论，比较1ca ⎛⎫ ⎪⎝⎭与1cb ⎛⎫⎪⎝⎭()0,0a b c >>>的大小关系.8．（2021·江苏·高一课时练习）比较下列各组数中两个数的大小（0a >）：（1）560.31，560.35；（2）13-，13-；（3） 1.5(1)a +， 1.5a ；（4）23(2)a -+，232-.9．（2021·全国·高一课时练习）已知223()m m f x x +-=（m ∈Z ）的图像关于y 轴对称且在(0,)+∞上()f x 随着x 值的增大而减小，求()f x 的解析式及其定义域、值域，并比较(2)f -与(1)f -的大小.10．（2021·全国·高一课时练习）比较下列各组中两个数的大小，并说明理由．（1）120.75，120.76；（2）()30.95-，()30.96-．11．（2021·全国·高一专题练习）比较下列各组数的大小：（1）5-23和523.1-；（2）788--和781()9-；（3）232()3--和23()6π--；题型六：定点问题1．（2022·全国·高一）下列命题中正确的是（） A ．幂函数的图象一定过点（0，0）和点（1，1）B ．若函数f （x ）＝xn 是奇函数，则它在定义域上单调递增C ．幂函数的图象上的点一定不在第四象限D ．幂函数的图象不可能是直线2．（2022·全国·高三专题练习）下列结论正确的是（） A ．幂函数图象一定过原点B ．当0α<时，幂函数y x α=是减函数C ．当1α>时，幂函数y x α=是增函数D ．函数2y x 既是二次函数，也是幂函数3．（2021·全国·高一课时练习）下列命题中正确的是（） A ．当0α=时，函数y x α=的图像是一条直线； B ．幂函数的图像都经过()0,0和()1,1点； C ．幂函数32y x -=的定义域为[)0,∞+； D ．幂函数的图像不可能出现在第四象限．（多选题）4．（2022·福建漳州·高一期末）已知幕函数()f x x α=的图象经过点()4,2，则（）A ．函数()f x 是偶函数B ．函数()f x 是增函数C ．函数()f x 的图象一定经过点()0,1D ．函数()f x 的最小值为0（多选题）5．（2022·全国·高三专题练习）下列关于幂函数图象和性质的描述中，正确的是（） A ．幂函数的图象都过(1,1)点B ．幂函数的图象都不经过第四象限C ．幂函数必定是奇函数或偶函数中的一种D ．幂函数必定是增函数或减函数中的一种6．（2022·全国·高三专题练习）如图是幂函数i y x α=（αi ＞0，i ＝1，2，3，4，5）在第一象限内的图象，其中α1＝3，α2＝2，α3＝1，412α=，513α=，已知它们具有性质： ①都经过点（0，0）和（1，1）； ②在第一象限都是增函数．请你根据图象写出它们在（1，+∞）上的另外一个共同性质：___________．7．（2021·湖南·衡阳市田家炳实验中学高一期中）若幂函数()221()1m f x m m x -=--的图象经过点()0,0，则m =________．8．（2022·北京·高一期末）幂函数()y f x =的图象恒过点_________，若幂函数()y f x =的图象过点()2,4，则此函数的解析式是____________．9．（2022·湖南·高一课时练习）对幂函数y x α=，填空：（1）当1α>，0x ≥时，图象恒过______和______两点；其中当01x <<时，幂函数图象在y x =图象的______方；当1x >时，幂函数图象在y x =图象的______方．（2）当01α<<，0x ≥时，图象也恒过______和______两点；其中当01x <<时，幂函数图象在y x =图象的______方；当1x >，幂函数图象在y x =图象的______方．（3）当0α<，0x >时，图象恒过点______．题型七：定义域问题1．（2022·山西吕梁·高一期末）已知幂函数()f x 的图象过点(，则()f x 的定义域为（） A ．R B ．()0,∞+ C ．[)0,∞+ D ．()(),00,∞-+∞2．（2022·全国·高一课时练习）设α∈11,132⎧⎫-⎨⎬⎩⎭，，，则使函数y ＝xα的定义域为R 的所有α的值为（）A ．1,3B ．－1,1C ．－1,3D ．－1,1,33．（2022·黑龙江绥化·高一期末）函数4()(1)f x x =- ） A ．()1，∞+ B ．(2,)-+∞C ．()()211∞-⋃+，，D ．R4．（2021·河北·石家庄市藁城区第一中学高一阶段练习）已知幂函数()y f x =的图象过点⎛ ⎝⎭，则下列关于()f x 说法正确的是（） A ．奇函数B ．偶函数C ．在(0,)+∞单调递减D ．定义域为[0,)+∞5．（2021·陕西·西安市第三中学高一期中）幂函数a y x =中a 的取值集合C 是11,0,,1,2,32⎧⎫-⎨⎬⎩⎭的子集，当幂函数的值域与定义域相同时，集合C 为（） A ．11,0,2⎧⎫-⎨⎬⎩⎭B ．1,1,22⎧⎫⎨⎬⎩⎭C ．11,,32⎧⎫-⎨⎬⎩⎭D ．1,1,2,32⎧⎫⎨⎬⎩⎭（多选题）6．（2022·海南鑫源高级中学高一期末）若函数()f x x α=的定义域为R 且为奇函数，则α可能的值为（） A ．1- B ．1 C ．2 D ．37．（2022·内蒙古·赤峰红旗中学松山分校高一期末）已知幂函数()1*4n y x n N -=∈的定义域为()0,∞+，且单调递减，则n =________.8．（2022·辽宁丹东·高一期末）写出一个具有性质①②③的函数()f x =______． ①()f x 定义域为{}0x x ≠；②()f x 在(),0∞-单调递增；③()()()f ab f a f b =⋅．9．（2022·全国·高一课时练习）求函数2()(2)f x x -=+的定义域，并指出其单调区间.题型八：值域问题1．（2022·安徽·歙县教研室高一期末）已知幂函数()f x x α=的图象过点2⎫⎪⎪⎝⎭，则下列说法中正确的是（）A ．()f x 的定义域为RB ．()f x 的值域为[)0,∞+C ．()f x 为偶函数D ．()f x 为减函数2．（2022·广东·广州六中高一期末）幂函数()y f x =的图象过点(，则函数()y x f x =-的值域是（） A ．(),-∞+∞ B ．1,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．1,4⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭D ．1,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭（多选题）3．（2022·江西省丰城中学高一开学考试）已知函数()f x x α=图像经过点(4,2)，则下列命题正确的有（） A ．函数为增函数 B ．函数为偶函数 C ．若1x >，则()1f x > D ．若120x x <<，则()()121222f x f x x x f ++⎛⎫< ⎪⎝⎭4．（2022·北京房山·高一期末）试写出函数()f x ，使得()f x 同时()f x 满足以下条件： ①定义域为[)0,∞+；②值域为[)0,∞+；③在定义域内是单调增函数．则函数()f x 的解析式可以是_______（写出一个满足题目条件的解析式）．5．（2021·江苏·高一专题练习）函数213324y x x =++，其中8x ，则其值域为___________.6．（2021·全国·高一课时练习）已知函数2(),x af x x x a=>⎪⎩，若函数()f x 的值域为R ，则实数a 的取值范围为__________．7．（2022·湖南·高一课时练习）已知幂函数()()226Z m m f x x m --=∈在区间()0,∞+上是减函数．(1)求函数()f x 的解析式；(2)讨论函数()f x 的奇偶性和单调性； (3)求函数()f x 的值域．8．（2022·全国·高一课时练习）写出函数53y x =与15y x =的定义域和值域.9．（2021·全国·高一课时练习）（1）使用五点作图法，在图中画出()23f x x =的图象，并注明定义域．（2）求函数()423323h x x x =--的值域．10．（2021·江苏·高一专题练习）已知幂函数()2()1()kf x k k x k R =--∈，且在区间(0,)+∞内函数图象是上升的．（1）求实数k 的值；（2）若存在实数a ，b 使得函数f （x ）在区间[a ，b ]上的值域为[a ，b ]，求实数a ，b 的值．11．（2019·全国·高一课时练习）已知幂函数()()22421m m f x m x -+=-在()0,∞+上单调递增.（1）求m 的值；（2）当[]1,2x ∈时，记()f x 的值域为集合A ，若集合[]2,4B k k =--，且A B A ⋃=，求实数k 的取值范围.。

幂的运算及幂函数

幂的运算及幂函数1.几个公式 (1)α-a=αa 1 (2)m n nma a =(互质n m N n m a ,,,,0∈>) (3) mnnm aa1=-(互质n m N n m a ,,,,0∈>)2.运算法则________=*n m a a ________=÷n m a a ________)(=n m a ________)(=m ab ________)(=m ba当n 为奇数时,a a n n=,当n 为偶数时{0,0,||≥<-==a a a a n na a3、幂函数的定义4、幂函数的图像及性质掌握31,3,2,1,21,31,21,3,2-=-=-=-=-=====n n n n n n n n n 的图象 0>n 时，在+∞,0[）上递增，图象过（0，0）、（1，1） 0<n 时，在+∞,0[）上递减，图象过（1，1）幂函数为偶函数图象在一、二象限幂函数为奇函数图象在一、三象限幂函数为非奇非偶函数，图象只在第一象限二、基础练习1．下列函数中是幂函数的是（）A xx y = B 2131x y = C x y )31(= D 3x y =2．下列函数定义域为非负实数集的是（） A 513-=xy B 21-=xy C 43x y = D 72x y =3．函数35y x =是 A ．奇函数B ．偶函数 C ．非奇非偶函数 D ．既是奇函数又是偶函数 4．函数32y x-=的定义域是，值域是 .5．比较下列各组值的大小.（1） 1.23， 1.24 （2）0.41()3-，0.41()4- 6. ____________2733443= 2._________)7(33=-__________)5(44=- 4_________)21(1212=- 三、典型例题例1、化简(1) 215.13241)6449()91(270001.0---+-+ (2))(1124--∙∙xy xy xy xy(3)833)(4160625.0304---π （4）)41()3()2(324132213141-----÷-∙b a b a b a练习1：计算（1）31021)6427(.)5(lg )972(-++ （2）、（8）32-2932)10(⨯÷510（3）332baab ba例2（1）、、已知nx y =的图象如图，则n=___________A 31-B 31C 32- D 32（2）31-=xy 的图象是（）练习1有3个幂函数的图象如图，则c b a ,,的大小关系为__________2幂函数322--=m m x y ，Z m ∈的图象如图，则m=________3122)2()(-++=m mx m m x f ,当m=______时，)(x f 为正比例函数，当m=_______时)(x f 为反比例函数。

高考数学复习典型题型专题讲解与练习13 幂函数

高考数学复习典型题型专题讲解与练习专题13 幂函数题型一幂函数的定义域和值域1．函数()()123421x x y +=-的定义域为__________．【答案】[)2,1-【解析】函数解析式为()()123421y x x ==-+，则2010x x +≥⎧⎨->⎩，解得21x .因此，函数()()123421x x y +=-的定义域为[)2,1-.故答案为：[)2,1-.2．讨论函数23y x =的定义域、奇偶性，并作出它的简图，根据图象说明它的单调性．【答案】定义域R ；偶函数；图象见解析；在区间(-∞,0]上是减函数，[0,+∞)上是增函数．【解析】函数23y x ==R=，所以函数为偶函数，作出函数图象可知，在(],0-∞单减，在[0,+∞)上单增.3．已知幂函数()()21*m mfx xx N +=∈.(1)试确定该函数的定义域，并指明该函数在其定义域上的单调性；(2)若该函数还经过点(2)，试确定m 的值，并求满足条件f (2－a )＞f (a －1)的实数a 的取值范围．【答案】(1)详见解析;(2)详见解析.【解析】(1)先判断幂函数的指数的奇偶,由m 与m ＋1中必定有一个为偶数,可知m 2＋m 为偶数,可得函数开偶次方,即函数定义域为[0，＋∞),且在定义域内单调递增;(2)由过点(2)和m∈N *求出m 的值,进而得出函数的定义域和单调性,列出不等式解出a 的范围即可. 试题解析:（1）m 为正整数，则：m 2+m ＝m （m +1）为偶数，令m 2+m ＝2k ，则：()f x =[0，+∞），函数在定义域内单调递增．（2）由题意可得：()122m m -+=求解关于正整数m 的方程组可得：m ＝1（m ＝﹣2舍去），则：()f x f （2﹣a ）＞f （a ﹣1）脱去f 符号可得： 2﹣a ＞a ﹣1≥0，求解不等式可得实数a 的取值范围是：312a ≤＜．4．已知幂函数f (x )=(m -1)22-42m m x +在区间(0，+∞)上单调递增，函数g (x )=2x -k .（1）求实数m 的值；（2）当x ∈(1，2]时，记ƒ(x )，g (x )的值域分别为集合A ，B ，若A ∪B =A ，求实数k 的取值范围.【答案】（1）m =0；（2）[0，1].【解析】（1）依题意得(m -1)2=1.∴m =0或m =2.当m =2时，f (x )=x -2在区间(0，+∞)上单调递减，与题设矛盾，舍去.∴m =0.（2）由（1）可知f (x )=x 2，当x ∈(1，2]时，函数f (x )和g (x )均单调递增. ∴集合A =(1，4]，B =(2-k ，4-k ]. ∵A ∪B =A ，∴B ⊆A .∴2-14- 4.k k ≥⎧⎨≤⎩，∴0≤k ≤1.∴实数k 的取值范围是[0，1].5．已知幂函数()()22421m m f x m x -+=-在()0,∞+上单调递增.（1）求m 的值；（2）当[]1,2x ∈时，记()f x 的值域为集合A ，若集合[]2,4B k k =--，且A B A ⋃=，求实数k 的取值范围.【答案】（1）0；（2）[]0,1【解析】（1）∵()f x 为幂函数，∴()211m -=，∴0m =或2.当0m =时，()2f x x =在()0,∞+上单调递增，满足题意.当2m =时，()2f x x -=在()0,∞+上单调递减，不满足题意，舍去.∴0m =.（2）由（1）知，()2f x x =.∵()f x 在[]1,2上单调递增，∴[]1,4A =.∵[]2,4B k k =--，A B A ⋃=，∴B A ⊆，∴21,44,k k -≥⎧⎨-≤⎩解得01k ≤≤.故实数k 的取值范围为[]0,1. 题型二幂函数的图像问题1．函数()12f x x -=的大致图象是（）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】由题意得，()12f x x-==，所以函数的定义域为{}0x x >，因为102-<，根据幂函数的性质，可知函数()12f x x -=在第一象限为单调递减函数，故选：A ．2．下列结论正确的是（） A ．幂函数图象一定过原点B ．当0α<时，幂函数y x α=是减函数C ．当1α>时，幂函数y x α=是增函数D ．函数2y x 既是二次函数，也是幂函数【答案】D【解析】由题意，函数1y x -=的图象不过原点，故A 不正确；函数1y x -=在(,0)-∞及(0,)+∞上是减函数，故B 不正确；函数2y x 在(,0)-∞上是减函数，在(0,)+∞上是增函数，故C 不正确；根据幂函数的定义，可得函数2y x 是二次函数，也是幂函数，所以D 正确. 故选：D.3．若幂函数mn y x =（*,m n ∈N 且,m n 互素）的图象如下图所示，则下列说法中正确的是（）A ．0<1mn<B ．m 是偶数，n 是奇数 C ．m 是偶数，n 是奇数，且1m n <D ．m 、n 是偶数，且1mn> 【答案】ABC【解析】图象在(1,1)右侧上升但上升幅度比y x =小，01mn<<，A 正确；图象关于y 轴对称，函数为偶函数，m 是偶数，n 是奇数，B 正确；则C 也正确，D 错误．故选：ABC ．4．函数()()110y x αα=-+<恒过定点______．【答案】()2,2【解析】当11x -=，即2x =时，2y =，∴函数恒过定点()2,2. 故答案为：()2,2.5．在同一平面直角坐标系中画出函数()f x ()1g x x =-的图象，并利用图象求不等1x >-的解集．【答案】作图见解析；0⎡⎢⎣⎭．【解析】由题意，函数()f x ()1g x x =-，画出图象，如图所示：1x =-，解得x =1x >-的解集0⎡⎢⎣⎭．6．已知幂函数()21*()()f x x m m m N ∈－＝＋，经过点(2，试确定m 的值，并求满足条件(2)(1)f a f a >－－的实数a 的取值范围．【答案】31,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭【解析】∵()f x 的图象过点21()2m m -+=，∴22m m +=，又*m N ∈，∴1m =.即12()f x x =，其定义域为0x ≥，且在定义域上函数为增函数， ∴由(2)(1)f a f a ->-得012a a ≤-<-，解得312a ≤<. 题型三幂函数的单调性及应用1．幂函数y =f （x ）的图象经过点（4，2），若0<a <b <1，则下列各式正确的是A ．f （a ）<f （b ）<f （1b ）1f a ⎛⎫< ⎪⎝⎭B ．11f f a b ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭<f （b ）<f （a ） C ．f （a ）<f （b ）11f f a b ⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．()()11f f a f f b a b ⎛⎫⎛⎫<<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】A【解析】设幂函数y =f （x ）=x α，∵该幂函数的图象经过点（4，2），∴4α=2，解得12α=，∴f （x ）=12x ，∵0<a <b <1，∴1110b a a b>>>>>，∴f （a ）<f （b ）<f （1b ）1f a ⎛⎫< ⎪⎝⎭．故选A ．2．幂函数()()2231m m f x a x --=-(),a m N ∈为偶函数，且在()0,∞+上是减函数，则a m +=____．【答案】3【解析】∵幂函数()()2231m m f x a x --=-(),a m N ∈为偶函数，且在()0,∞+上是减函数，∴2230m m --<，且223m m --为偶数，m N ∈，且1=1a -. 解得13m -<<，0m =，1，2，且=2a ,只有1m =时满足223=4m m ---为偶数. ∴1m =.3a m +=故答案为：3.3．若幂函数()2222m y m m x -+=--在()0∞，+上为减函数，求实数m 的值；【答案】3m =【解析】因为函数为幂函数，则2221m m --=，得1m =-或3m =，当3m =时，1y x -=；当1m =-时，3y x =. 又函数在()0∞，+上为减函数，所以3m =.4．已知2()f x x =(0x ≠)，2()g x x -=，若定义(),()(),()(),()(),f x f xg xh x g x f x g x ⎧=⎨>⎩求函数()h x 的最大值及单调区间.【答案】1，单调递增区间为(,1]-∞-，(0,1]，单调递减区间为[1,0)-，[1,)+∞.【解析】由题意，得22,11,(),1001,x x x h x x x x -⎧-=⎨-<<<⎩或或根据题中图象可知函数()h x 的最大值为1，单调递增区间为(,1]-∞-，(0,1]，单调递减区间为[1,0)-，[1,)+∞.5．已知幂函数223()(22,)m m f x x m m z --+=-<<∈满足：（1）在区间()0,∞+上为增函数（2）对任意的x ∈R ，都有()()0f x f x --=，求同时满足（1）（2）的幂函数()f x 的解析式，并求当[]0,4x ∈时，()f x 的值域．【答案】()4f x x =；值域是[]0,256．【解析】因为函数在()0,∞+上递增，所以2230m m --+>，解得31m -<<，因为22m -<<，m Z ∈，所以，1m =-，或0m =．又因为()()f x f x -=，所以()f x 是偶函数，所以223m m --+为偶数．当1m =-时，2234m m --+=满足题意；当0m =时，2233m m --+=不满足题意，所以()4f x x =,又因为()4f x x =在[]0,4上递增．所以()()min 00f x f ==，()()max 4256f x f ==，故函数的值域是[]0,256 ．题型四幂函数的奇偶性及应用1．设11,2,3,,12a ⎧⎫∈-⎨⎬⎩⎭，则使函数a y x =的定义域为R 且函数a y x =为奇函数的所有a 的值为（） A ．1,3-B ．1,1- C ．1,3D ．1,1,3- 【答案】C【解析】1a =时，函数解析式为y x =满足题意；2a =时，函数解析式为2y x ，偶函数，不符合题意；3a =时，函数解析式为3y x =满足题意；12a =时，函数解析式为12y x =，定义域为[)0,+∞，不符合题意；1a =-时，函数解析式为1y x -=，定义域为(,0)(0,)-∞+∞，不符合题意. 故选：C.2．已知幂函数()y f x =的图象过(2,2，则下列结论正确的是（）A ．()y f x =的定义域为[0,)+∞B ．()y f x =在其定义域内为减函数C ．()y f x =是偶函数D ．()y f x =是奇函数【答案】B【解析】设幂函数f （x ）＝x α，因为幂函数y ＝f （x ）的图象过点⎛ ⎝⎭，所以1222a-==，解得12a =-，所以()12f x x -=，所以y ＝f （x ）的定义域为（0，+∞），且在其定义域上是减函数，故A 错误；B 正确，因为函数定义域为（0，+∞），不关于原点对称，所以不具有奇偶性，故选项C ，D 错误，故选：B ．3．已知幂函数()()2151m h x m m x +=-+为奇函数．（1）求实数m 的值；（2）求函数()()102g x h x x ⎫⎡⎫=∈⎪⎪⎢⎣⎭⎭，的值域．【答案】（1）0m =；（2）112⎛⎤ ⎥⎝⎦，．【解析】（1）∵函数()()2151m h x m m x +=-+为幂函数，2511m m ∴-+=，解得0m =或5，当0m =时，()h x x =，()h x 为奇函数，当5m =时，()6h x x =，()h x 为偶函数，函数()h x 为奇函数，0m ∴=；（2）由（1）可知，()h x x =，则()g x x =102x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，，t =，则21122x t =-+，(]01t ∈，，则()22111(1)1222f t t t t =-++=--+，(]01t ∈，，函数()f t 为开口向下，对称轴为1t =的抛物线，∴当0t =时，函数()102f =，当1t =，函数()f t 取得最大值为1，∴()f t 的值域为112⎛⎤ ⎥⎝⎦，，故函数()g x 的值域为112⎛⎤ ⎥⎝⎦，．4．已知幂函数21322()()p p f x x p -++=∈N 在(0,)+∞上是增函数，且在定义域上是偶函数.（1）求p 的值，并写出相应的函数()f x 的解析式.（2）对于（1）中求得的函数()f x ，设函数()[()](21)()1g x qf f x q f x =-+-+，问是否存在实数(0)q q <，使得()g x 在区间(,4]-∞-上是减函数，且在区间(4,0)-上是增函数？若存在，请求出q ；若不存在，请说明理由.【答案】（1）当0p =或2p =时，32()f x x =；当1p =时，2()f x x =；（2）存在，130-. 【解析】（1）由于已知()f x 在(0,)+∞上是增函数，因而213022p p -++>，解得13p -<<.又p ∈N ，因而0p =或1或2.当0p =或2p =时，32()f x x =，不是偶函数；当1p =时，2()f x x =，符合题意.（2）存在.理由如下：由（1）知2()[()](21)()1()(21)()1g x qf f x q f x qf x q f x =-+-+=-+-+.由于2()0f x x =，因而当(,4]x ∈-∞-时，2()[16,)f x x =∈+∞，此时，函数()g x 单调递减，而函数()t f x =在(,4]-∞-上单调递减，则外层函数2(21)1y qt q t =-+-+在[16,)+∞上单调递增；当(4,0)∈-x 时，2()(0,16)f x x =∈，此时，函数()g x 单调递增，而函数()t f x =在(4,0)-上单调递减，则外层函数2(21)1y qt q t =-+-+在(0,16)上单调递减. 所以211620q q q -⎧-=⎪-⎨⎪->⎩，即130q =-. 所以存在130q =-满足题设条件.。

幂函数典型例题选解

幂函数典型例题选解为帮助同学们加深理解幂函数有关内容，特就一些典型问题选解如下．例1 确定m 的值，使幂函数()f x = (m 2－m ＋1)x221m m --的图象在第一象限内呈下降趋势．分析：对于带字母参数的函数是幂函数时，一定要使系数为1，而幂指数按题设情况而定．解：依题意有：2211210m m m m ⎧-+=⎪⎨--<⎪⎩⇒0111m m m ==⎧⎪⎨<<+⎪⎩或⇒m= 0或m = 1．例2 如果幂函数()f x = x α(α∈Q)为奇函数，且图象过原点，求证()f x = x α(α∈Q)在(－∞，＋∞)上为增函数．证明：由幂函数()f x = x α的图象过坐标原点，从而有α＞0，(0)f = 0．由幂函数的特性知()f x 在(0，＋∞)上是递增函数，又据()f x 是奇函数可知，()f x 在(－∞，0)上也是递增函数，设x 1＜0＜x 2，则1()f x ＜(0)f ＜2()f x ．故()f x = x α(α∈Q)在(－∞，＋∞)上为增函数．例3 已知幂函数()f x = x 21m-(m ∈Z)的图象与x 、y 轴都无交点，且关于原点对称．⑴求函数()f x = x 21m -的解析式；⑵讨论函数()F x=－()b f x 的奇偶性．解：⑴因为函数图象与x 轴、y 轴都无交点，所以m 2－1≤0，解得－1≤m ≤1，又图象关于原点对称，且m ∈Z ，所以m = 0．∴()f x = x 1-．⑵()F x =()b f x =||a x －bx ．因此，()F x 的奇偶性，由参数a 、b 是否为零决定． ①当a ≠0且b ≠0时，()F x 是非奇非偶函数； ②a = 0且b ≠0时，()F x 是奇函数； ③当a ≠0且b = 0时，()F x 是偶函数； ④当a = 0且b = 0时，()F x 既是奇函数又是偶函数．。

幂函数知识点大一

幂函数知识点大一幂函数知识点幂函数是数学中的一种基本函数，其形式为$f(x) = a^x$，其中a为常数且a ≠ 0。

在大一的数学学习中，我们需要了解幂函数的一些重要概念和性质，下面将逐一介绍。

一、幂函数的定义域和值域1. 定义域：幂函数的定义域为实数集R，即幂函数在整个实数轴上都有定义。

2. 值域：当指数为实数时，若a > 1，则幂函数的值域为(0, +∞)，即正实数集；若0 < a < 1，则幂函数的值域为(0, 1)，即开区间(0, 1)；若a = 1，则幂函数的值域为{1}，即只有一个取值。

二、幂函数的图像特点1. 当a > 1时，幂函数为增函数：- 当指数x趋近于负无穷大时，幂函数的值趋近于0；- 当指数x趋近于正无穷大时，幂函数的值趋近于正无穷大。

2. 当0 < a < 1时，幂函数为减函数：- 当指数x趋近于负无穷大时，幂函数的值趋近于正无穷大； - 当指数x趋近于正无穷大时，幂函数的值趋近于0。

3. 当a = 1时，幂函数为常函数：- 不论指数x的取值如何变化，幂函数的值始终为1。

三、幂函数的性质1. 偶次幂函数和奇次幂函数：- 当幂函数的指数为偶数时，其图像关于y轴对称；- 当幂函数的指数为奇数时，其图像关于原点对称。

2. 幂函数的性质：- 幂函数f(x) = a^x与指数函数g(x) = b^x（a, b > 0）具有相同的图像性质；- 幂函数中，底数a为实数且a ≠ 0，指数x为实数。

四、求解幂函数相关问题1. 求幂函数的零点：当幂函数$f(x) = a^x$等于零时，即$a^x = 0$，此时幂函数没有实数解。

2. 求幂函数的解析式：当已知幂函数通过两个点$(x_1, y_1)$和$(x_2, y_2)$时，可以根据这两个点的坐标来求解幂函数的解析式。

五、典型例题例题1：已知幂函数$y = 3^x$，求函数在x = 2处的函数值。