参数方程及其应用
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极坐标与参数方程
一、极坐标与直角坐标之间的转换
(,)(cos ,sin )A A r q r q r q ® cos ,sin x y r q r q == 222x y r +=
a r =：表示半径为a 圆心为原点的圆
r q =：表示顶点在原点，与x 轴的正半轴夹角为q 的射线
2cos ()22
a p p
r q q =-
＃表示圆心为(,0)a ，半径为a 的圆（注意角的取值范围，范围不同表示曲线不同）
2sin (0)a r q q
p =＃表示圆心为(0,)a ，半径为a 的圆（注意角的取值范围，范围不同表示曲线不同）
二、常见的参数方程 1、直线的参数方程 形式一：（倾斜角）
00cos sin x x t y y t q q
ì=+ïí=+ïî（t 为参数）
形式二：（向量式）
00x x mt
y y lt ì=+ïí=+ïî
（t 为参数）
过定点00(,)P x y ，直线斜率sin cos l
k m
q q =
= 两种形式的转化方法：0
0x x mt y y lt ì=+ïí=+ïî（t
为参数）00x x y y ì=ïïï®íï=ïïî
（t 为参数）
2、圆的参数方程
cos sin x r y r q
q
ì=ïí=ïî（q 为参数）
cos sin x a r y b r q
q
ì=+ïí
=+ïî（q 为参数） 3、椭圆的参数方程
cos sin x a y b q
q ì=ïí=ïî
（q 为参数）
00cos sin x x a y y b q
q ì=+ïí
=+ïî
（q 为参数） 4、双曲线的参数方程
sec tan x a y b q q ì=ïí=ïî
（q 为参数）
00sec tan x x a y y b q
q ì=+ïí
=+ïî
（q 为参数） 5、抛物线的参数方程
2
2y px =? 2
2t x p y t
ìï=ïíï=ïî（t 为参数）
222x pt
y pt
ì=ïí
=ïî（t 为参数）
三、直线参数方程中t 的几何意义的应用
00cos sin x x t y y t q
q
ì=+ïí
=+ïî（t 为参数）
t 表示直线上任意一点到定点00(,)P x y 的距离.
直线参数方程00cos sin x x t y y t q q ì=+ïí=+ïî
（t 为参数），椭圆方程2222:1x y C a b +=，相交于,A B 两点，直线上定点00(,)P x y
将直线的参数方程带入椭圆方程，得到关于t 的一元二次方程，则：
12AB t t =-=
12121212120
t t t t PA PB t t t t t t ì+>ï+=+=í
-<ïî‥‥‥‥
12
PA PB
t t ??
若M 为AB 的中点，则12
2
t t PM +=
1、以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，且两个坐标系取相同的长度单位.已知直线l 经过点(1,1)P ，倾斜角6
p
a
=
，圆的极坐标方程为2cos 6sin r q q =+. （1）写出直线l 的参数方程，并将圆的极坐标方程化成直角坐标方程； （2）设l 与圆相交于A B 、两点，求弦AB 的长.
答案：（1
）12112x y t ì
ï=+ïíï=+ï
î
（t 为参数），22260x y x y +--= （2
）AB =
同类型题1：在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为2324x t
y t ì=--ïí=-ïî
（t 为参数），它与曲线
22:(2)1C y x --=交于A B 、两点.
（1）求
AB 的长；
（2）以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点P
的极坐标为3)4
p
，求点P 到线段AB 中点M 的距离.
答案：（1
）7
AB =
（2）307
同类型题2：（2010福建）在直角坐标系xOy 中，直线l
的参数方程为322x y ì
ï=-ïíï=+ïî
（t 为参数）.在极坐标系（与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，圆C
的方程为
r q =.
（1）求圆C 的直角坐标方程；
（2）设圆C 与直线l 交于点,A B .若点P
的坐标为，求PA PB +.
答案：（1
）2
2(5x y +-
= （2
）
四、极坐标方程和参数方程的应用
1、已知曲线14cos :3sin x t C y t ì=-+ïí=+ïî（t 为参数），28cos :3sin x C y q
q
ì=ïí=ïî（q 为参数）.
（1）化12C C 、的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；
（2）若1C 上的点P 对应的参数为2t p =，Q 为2C 上的动点，求PQ 中点M 到直线332:2x t
C y t ì=+ïí=-+ïî
（t 为参
数）距离的最小值.
答案：（1）1C 为圆心是(4,3)-，半径是1的圆；2C 为中心是坐标原点，焦点在x 轴上，长轴长为16，短轴
长为6的椭圆. （2
）最小值为5
同类型题1：以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，且两个坐标系取相同的长度
单位.已知直线l 的参数方程为31
cos :2
sin x t C y t a
a ì=+ïíï
=î（t 为参数0a p <<），曲线C 的极坐标方程为22cos sin q
r q
=
.
（1）求曲线C 的直角坐标方程；
（2）设直线l 与曲线C 相交于A B 、两点，当a 变化时，求
AB
的最小值.
答案：（1）2
2y x = （2）当2
p
a =
时，AB 的最小值为2.