2021学年高中数学1.2排列与组合1.2.1第2课时排列二练习含解析人教A版选修2_3
2021学年高中数学1.2排列与组合1.2.2第2课时组合二练习含解析人教A版选修2_3
第一章 1.2 1.2.2 第2课时A级基础巩固一、选择题1．12名同学合影，站成前排4人后排8人，现摄影师要从后排8人中抽2人调整到前排，若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的总数是( C )A．C28A23B．C28A66C．C28A26D．C28A25[解析] 第一步从后排8人中抽2人有C28种抽取方法，第二步前排共有6个位置，先从中选取2个位置排上抽取的2人，有A26种排法，最后把前排原4人按原顺序排在其他4个位置上，只有1种安排方法，∴共有C28A26种排法．2．(2020·山西一模)某天的值日工作由4名同学负责，且其中1人负责清理讲台，另1人负责扫地，其余2人负责拖地，则不同的分工共有( B )A．6种B．12种C．18种D．24种[解析] 根据题意，分3步分析：①，在4人中选出1人负责清理讲台，有C14＝4种情况，②，在剩下的3人中选出1人负责扫地，有C13＝3种情况，③，剩下的2人负责拖地，有1种情况，则有4×3＝12种不同的分工；故选B．3．把0、1、2、3、4、5这六个数，每次取三个不同的数字，把其中最大的数放在百位上排成三位数，这样的三位数有( A )A．40个B．120个C．360个D．720个[解析] 先选取3个不同的数有C36种方法，然后把其中最大的数放在百位上，另两个不同的数放在十位和个位上，有A22种排法，故共有C36A22＝40个三位数．4．某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方式共有( B )A．4种B．10种C．18种D．20种[解析] 分两类：第一类，取出两本画册，两本集邮册，从4人中选取2人送画册，则另外两人送集邮册，有C24种方法．第二类，3本集邮册全取，取1本画册，从4人中选1人送画册，其余送集邮册，有C14种方法，∴共有C14＋C24＝10种赠送方法．5．(2018·浙江卷，16)从1,3,5,7,9中任取2个数字，从0,2,4,6中任取2个数字，一共可以组成____________个没有重复数字的四位数．( D )A．720 B．560C．540 D．1 260[解析] 不含有0的四位数有C25×C23×A44＝720(个)．含有0的四位数有C25×C13×C13×A33＝540(个)．综上，四位数的个数为720＋540＝1 260．6．如图，用4种不同的颜色涂入图中的矩形A、B、C、D中，(四种颜色可以不全用也可以全用)要求相邻的矩形涂色不同，则不同的涂法有( A )A．72种B．48种C．24种D．12种[解析] 解法一：(1)4种颜色全用时，有A44＝24种不同涂色方法．(2)4种颜色不全用时，因为相邻矩形不同色，故必须用三种颜色，先从4种颜色中选3种，涂入A、B、C中，有A34种涂法，然后涂D，D可以与A(或B)同色，有2种涂法，∴共有2A34＝48种，∴共有不同涂色方法24＋48＝72种．解法二：涂A有4种方法，涂B有3种方法，涂C有2种方法，涂D有3种方法，故共有4×3×2×3＝72种涂法．二、填空题7．在直角坐标平面xOy上，平行直线x＝n(n＝0,1,2，…，5)与平行直线y＝n(n＝0,1,2，…，5)组成的图形中，矩形共有__225__个．[解析] 在垂直于x轴的6条直线中任取2条，在垂直于y轴的6条直线中任取2条，四条直线相交得出一个矩形，所以矩形总数为C26×C26＝15×15＝225个．8．将7支不同的笔全部放入两个不同的笔筒中，每个笔筒中至少放两支笔，有__112__种放法(用数字作答)．[解析] 设有A，B两个笔筒，放入A笔筒有四种情况，分别为2支，3支，4支，5支，一旦A笔筒的放法确定，B笔筒的放法随之确定，且对同一笔筒内的笔没有顺序要求，故为组合问题，总的放法为C27＋C37＋C47＋C57＝112．9．(2020·浙江模拟)分配4名水暖工去3个不同的居民家里检查暖气管道，要求4名水暖工全部分配出去，并每名水暖工只能去一个居民家，且每个居民家都要有人去检查，那么分配的方案共有__36__种(用数字作答)．[解析] 根据题意，分2步分析：①，将4名水暖工分成3组，有C24＝6种分组方法，②，将分好的三组全排列，对应3个不同的居民家，有A33＝6种分配方法，则有6×6＝36种不同的分配方案；故答案为36．三、解答题10．已知平面α∥平面β，在α内有4个点，在β内有6个点．(1)过这10个点中的3点作一平面，最多可作多少个不同的平面？(2)以这些点为顶点，最多可作多少个三棱锥？(3)(2)中的三棱锥最多可以有多少个不同体积？[解析] (1)所作出的平面有三类．①α内1点，β内2点确定的平面，最多有C14·C26个．②α内2点，β内1点确定的平面，最多有C24·C16个．③α，β本身，有2个．故所作的平面最多有C14·C26＋C24·C16＋2＝98(个)．(2)所作的三棱锥有三类．①α内1点，β内3点确定的三棱锥，最多有C14·C36个．②α内2点，β内2点确定的三棱锥，最多有C24·C26个．③α内3点，β内1点确定的三棱锥，最多有C34·C16个．故最多可作出的三棱锥有C14·C36＋C24·C26＋C34·C16＝194(个)．(3)当等底面积、等高时，三棱锥的体积相等．所以体积不相同的三棱锥最多有C36＋C34＋C26·C24＝114(个)．故最多有114个体积不同的三棱锥．B级素养提升一、选择题1．编号为1,2,3,4,5,6,7的七盏路灯，晚上用时只亮三盏灯，且任意两盏亮灯不相邻，则不同的开灯方案有( C )A．60种B．20种C．10种D．8种[解析] 四盏熄灭的灯产生的5个空档中放入三盏亮灯，即C35＝10．2．编号为1、2、3、4、5的五个人，分别坐在编号为1、2、3、4、5的座位上，则至多有两个号码一致的坐法种数为( D )A．120 B．119C．110 D．109[解析] 5个人坐在5个座位上，共有不同坐法A 55种，其中3个号码一致的坐法有C 35种，有4个号码一致时必定5个号码全一致，只有1种，故所求种数为A 55－C 35－1＝109．二、填空题3．将6名党员干部分配到4个贫困村驻村扶贫，每个贫困村至少分配1名党员干部，则不同的分配方案共有__1_560__．[解析] 依题意，6人分成每组至少一人的4组，可以分为3,1,1,1或2,2,1,1两种 分为3,1,1,1四组时，有C 36×A 44＝480种， 分为2,2,1,1四组时，有C 26×C 24A 22×A 44＝1 080种，故共有480＋1 080＝1 560种．4．以正方体的顶点为顶点的四面体共有__58__个．[解析] 先从8个顶点中任取4个的取法为C 48种，其中，共面的4点有12个，则四面体的个数为C 48－12＝58个．三、解答题5．(2020·泰州高二检测)男运动员6名，女运动员4名，其中男女队长各1名，选派5人外出比赛，在下列情形中各有多少种选派方法？(1)男运动员3名，女运动员2名； (2)至少有1名女运动员； (3)既要有队长，又要有女运动员．[解析] (1)第一步：选3名男运动员，有C 36种选法；第二步：选2名女运动员，有C 24种选法，故共有C 36·C 24＝120种选法．(2)解法一：(直接法)：“至少有1名女运动员”包括以下几种情况，1女4男，2女3男，3女2男，4女1男．由分类加法计数原理知共有C 14·C 46＋C 24·C 36＋C 34·C 26＋C 44·C 16＝246种选法．解法二：(间接法)，不考虑条件，从10人中任选5人，有C 510种选法，其中全是男运动员的选法有C 56种，故“至少有1名女运动员”的选法有C 510－C 56＝246(种)．(3)当有女队长时，其他人选法任意，共有C 49种选法；不选女队长时，必选男队长，共有C 48种选法，其中不含女运动员的选法有C 45；故不选女队长时共有C 48－C 45种选法．所以既有队长又有女运动员的选法共有C 49＋C 48－C 45＝191(种)．6．四个不同的小球，全部放入编号为1,2,3,4的四个盒子中． (1)随便放(可以有空盒，但球必须都放入盒中)有多少种放法？ (2)四个盒都不空的放法有多少种？ (3)恰有一个空盒的放法有多少种？ (4)恰有两个空盒的放法有多少种？(5)甲球所放盒的编号总小于乙球所放盒的编号的放法有多少种？[解析] (1)由于可以随便放，故每个小球都有4种放法，所以放法总数是：4×4×4×4＝44＝256种．(2)将四个小球全排列后放入四个盒子即可，所以放法总数是：A 44＝24种．(3)由题意知，必然是四个小球放入三个盒子中．分三步完成：选出三个盒子；将四个小球分成三堆；将三堆小球全排列后放入三个盒子．所以放法总数是：C 34·C 24·A 33＝144种．(4)由题意，必然是四个小球放入2个盒子中．分三步完成：选出两个盒子；将四个小球分成两堆；将两堆小球全排列放入两个盒子．所以放法总数是：C 24·(C 24·C 22A 22＋C 14·C 33)·A 22＝84种．(5)分三类放法．第一类：甲球放入1号盒子，即，则乙球有3种放法(可放入42种放法．故此类放法的种数是3×42；第二类：甲球放入2号盒子，即，则乙球有2种放法(可放入42种放法．故此类放法的种数是2×42；第三类：甲球放入3号盒子，即，则乙球只有1种放法(放入42种放法，故此类放法的种数是1×42．综上，所有放法的总数是：(3＋2＋1)×42＝96种．。
高中数学第一章计数原理1.2排列与组合1.2.2组合优化练习新人教A版选修2-3(2021年整理)
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2 组合［课时作业]［A组基础巩固]1．某中学一年级有5个班，二年级有8个班，三年级有3个班，分年级举行班与班之间的篮球单循环赛，总共需进行比赛的场数是（）A．C错误!＋C错误!＋C错误!B．C错误!C错误!C错误!C．A错误!＋A错误!＋A错误!D．C错误!解析：分三类:一年级比赛的场数是C错误!，二年级比赛的场数是C错误!，三年级比赛的场数是C2，3，再由分类加法计数原理可求．答案：A2．已知平面内A,B，C，D这4个点中任何3点均不共线，则以其中任意3个点为顶点的所有三角形的个数为( )A．3 B．4C．12 D．24解析：C错误!＝4。
答案：B3．将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有( ）A．12种B．10种C．9种D．8种解析：分两步：第一步，选派一名教师到甲地，另一名到乙地，共有C错误!＝2（种）选派方法；第二步,选派两名学生到甲地，另外两名到乙地,共有C错误!＝6(种)选派方法．由分步乘法计数原理得不同的选派方案共有2×6＝12（种）．答案:A4．C错误!＋C错误!＋C错误!＋C错误!＋…＋C错误!的值为（）A．C错误!B．C错误!C．C420D．C错误!解析：原式＝（C错误!＋C错误!）＋C错误!＋C错误!＋…＋C错误!＝(C错误!＋C错误!)＋C错误!＋…＋C17，20＝（C错误!＋C错误!)＋…＋C错误!＝C错误!＝C错误!＝C错误!。
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1 排列[课时作业］[A组基础巩固］1．已知A错误!＝7A错误!，则n的值为（)A．6 B．7C．8 D．2解析：由排列数公式得：n（n－1）＝7(n－4）(n－5)，∴3n2－31n＋70＝0，解得n＝7或错误!（舍去)．答案：B2．有4名司机、4名售票员分配到4辆汽车上，使每辆汽车上有一名司机和一名售票员，则可能的分配方案种数为( )A．A88B．A错误!C．A错误!A错误!D．2A错误!解析：安排4名司机,有A错误!种方案，安排4名售票员，有A错误!种方案．司机与售票员都安排好，这件事情才算完成,由分步乘法计数原理知共有A4，4A错误!种方案．故选C。
答案：C3．有3名男生和5名女生站成一排照相，如果男生不排在最左边且两两不相邻，则不同的排法有（）A．A错误!·A错误!种B．A错误!·A错误!种C．A错误!·A错误!种D．A错误!·A错误!种解析:插空法，注意考虑最左边位置.5名女生先排，有A错误!种排法,除去最左边的空共有5个空位供男生选，有A错误!种排法，故共有A错误!·A错误!种不同的排法．故选C.答案：C4．一排9个座位坐了3个三口之家，若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为（）A．3×3! B．3×（3！)3C．（3！）4D．9!解析：把一家三口看作一个排列,然后再排列这3家，所以有（3！）4种．答案：C5．一个长椅上共有10个座位，现有4人去坐，其中恰有5个连续空位的坐法共有（)A．240种B．600种C．408种D．480种解析:将四人排成一排共有A错误!种排法；产生5个空位，将五个空椅和一个空椅构成的两个元素插入共有A25种方法；由分步乘法计数原理，满足条件的坐法共有A44·A错误!＝480种．答案:D6．在书柜的某一层上原来共有5本不同的书,如果保持原有书的相对顺序不变，再插进去3本不同的书，那么共有________种不同的插入法．(用数字回答)解析：试想原来的5本书与新插入的3本书已经放好，则这3本新书一定是这8本书中的某3本，因此“在5本书中插入3本书"就与“从8本书中抽出3本书”对应，故符合题意的插法共有A错误!＝336种．答案:3367．把5件不同产品摆成一排．若产品A与产品B相邻，且产品A与产品C不相邻，则不同的摆法有________种．解析：记5件产品为A、B、C、D、E,A、B相邻视为一个元素，先与D、E进行排列，有A错误! A错误!种方法;再将C插入，仅有3个空位可选，共有A错误!A错误!×3＝2×6×3＝36种不同的摆法．答案：368．从集合{0,1,2，5，7，9，11}中任取3个元素分别作为直线方程Ax＋By＋C＝0中的系数A，B，C,所得直线经过坐标原点的有________条．解析:易知过原点的直线方程的常数项为0，则C＝0，再从集合中任取两个非零元素作为系数A、B，有A2，种，而且其中没有相同的直线，所以符合条件的直线有A2，6＝30(条）．6答案：309．用0,1,2，3，4,5这六个数字可以组成多少个无重复数字的（1）六位奇数；(2）个位数字不是5的六位数．解析：(1）解法一（从特殊位置入手)分三步完成，第一步先填个位，有A错误!种填法，第二步再填十万位，有A错误!种填法，第三步填其他位,有A错误!种填法，故共有A错误!A错误!A错误!＝288个六位奇数．解法二（从特殊元素入手）0不在两端有A错误!种排法，从1,3，5中任选一个排在个位有A错误!种排法,其他各位上用剩下的元素做全排列有A4，4种排法，故共有A错误!A错误!A错误!＝288个六位奇数．解法三（排除法)6个数字的全排列有A错误!个，0，2,4在个位上的排列数为3A错误!个，1，3，5在个位上，0在十万位上的排列数有3A4，4个,故对应的六位奇数的排列数为A6，6－3A55－3A错误!＝288个．（2）解法一(排除法)0在十万位和5在个位的排列都不对应符合题意的六位数．故符合题意的六位数共有A错误!－2A错误!＋A错误!＝504个．解法二（直接法）个位不排5，有A错误!种排法，但十万位数字的排法因个位上排0与不排0而有所不同．因此需分两类．第一类：当个位排0时,有A错误!个．第二类：当个位不排0时，有A错误!A错误!A错误!个．故共有符合题意的六位数A错误!＋A错误!A错误!A错误!＝504个．10．某次文艺晚会上共演出8个节目，其中2个歌曲,3个舞蹈,3个曲艺节目，求分别满足下列条件的节目编排方法有多少种?（1）一个歌曲节目开头，另一个放在最后压台;(2)2个歌曲节目互不相邻;（3)2个歌曲节目相邻且3个舞蹈节目不相邻．解析：(1)先排歌曲节目有A2，2种排法,再排其他节目有A错误!种排法，所以共有A错误!A错误!＝1 440种排法．(2)先排3个舞蹈节目，3个曲艺节目有A错误!种排法，再从其中7个空（包括两端)中选2个排歌曲节目,有A错误!种插入方法,所以共有A错误!A错误!＝30 240种排法．(3)把2个相邻的歌曲节目看作一个元素，与3个曲艺节目排列共有A错误!种排法，再将3个舞蹈节目插入，共有A错误!种插入方法，最后将2个歌曲节目互换位置，有A错误!种排法，故所求排法共有A错误!A错误!A错误!＝2 880种排法．［B组能力提升]1．某台小型晚会由6个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前两位，节目乙不能排在第一位，节目丙必须排在最后一位．该台晚会节目演出顺序的编排方案共有（）A．36种B．42种C．48种D．54种解析:分两类：第一类:甲排在第一位，共有A错误!＝24种排法;第二类：甲排在第二位，共有A13·A错误!＝18种排法，所以共有编排方案24＋18＝42种，故选B。
2021学年高中数学1.2排列与组合1.2.2第1课时组合一课堂练习含解析人教A版选修2_3
第一章 1.2 1.2.2 第1课时1．下列问题不是组合问题的是( D )A ．10个朋友聚会，每两人握手一次，一共握手多少次？B ．平面上有2015个不同的点，它们中任意三点不共线，连接任意两点可以构成多少条线段？C ．集合{a 1，a 2，a 3，…，a n }的含有三个元素的子集有多少个？D ．从高三(19)班的54名学生中选出2名学生分别参加校庆晚会的独唱、独舞节目，有多少种选法？[解析] 组合问题与次序无关，排列问题与次序有关，D 选项中，选出的2名学生，如甲、乙，其中“甲参加独唱、乙参加独舞”与“乙参加独唱、甲参加独舞”是两个不同的选法，因此是排列问题，不是组合问题，选D ．2．已知C 7n ＋1－C 7n ＝C 8n (n ∈N *)，则n 等于( A )A ．14B ．12C ．13D ．15 [解析] 因为C 8n ＋C 7n ＝C 8n ＋1，所以C 7n ＋1＝C 8n ＋1．∴7＋8＝n ＋1，∴n ＝14，故选A ．3．把三张游园票分给10个人中的3人，分法有( B )A ．A 310种B ．C 310种 C ．C 310A 310种D ．30种[解析] 三张票没区别，从10人中选3人即可，即C 310，故选B ．4．若C 4n >C 6n ，则n 的集合是__{6,7,8,9}__．[解析] ∵C 4n >C 6n ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ C 4n >C 6n ，n ≥6，⇒⎩⎪⎨⎪⎧ n ！4！n －4！>n ！6！n －6！，n ≥6⇒ ⎩⎪⎨⎪⎧ n 2－9n －10<0，n ≥6，⇒⎩⎪⎨⎪⎧ －1<n <10，n ≥6. ∵n ∈N *，∴n ＝6,7,8,9.∴n 的集合为{6,7,8,9}．5．在6名内科医生和4名外科医生中，现要组成5人医疗小组送医下乡，依下列条件各有多少种选派方法？(1)有3名内科医生和2名外科医生；(2)既有内科医生，又有外科医生．[解析] (1)先选内科医生有C36种选法，再选外科医生有C24种选法，故有C36C24＝120种选派方法．(2)既有内科医生，又有外科医生，正面思考应包括四种情况，内科医生去1人，2人，3人，4人，有C16C44＋C26C34＋C36C24＋C46C14＝246种选派方法．若从反面考虑，则有C510－C56＝246种选派方法．。
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第一章 1.2 1.2.1 第1课时请同学们认真完成练案[3]A级基础巩固一、选择题1．甲、乙、丙三名同学排成一排，不同的排列方法有( C )A．3种B．4种C．6种D．12种[解析] 由排列定义得，共有A33＝6种排列方法．2．从1,2,3,4中任取两个不同数字组成平面直角坐标系中一个点的坐标，则组成不同点的个数为( C )A．2 B．4C．12 D．24[解析] 本题相当于从4个元素中取2个元素的排列，即A24＝12．3．(2020·东安区校级期末)A59＋A49A610－A510＝( D )A．415B．715C．310D．320[解析]A59＋A49A610－A510＝9×8×7×6×5＋9×8×7×610×9×8×7×6×5－10×9×8×7×6＝5＋110×5－10＝320．故选D．4．下列问题属于排列问题的是( A )①从10个人中选2人分别去种树和扫地；②从10个人中选2人去扫地；③从班上30名男生中选出5人组成一个篮球队；④从数字5,6,7,8中任取两个不同的数作log a b中的底数与真数．A．①④B．①②C．④D．①③④[解析] 根据排列的概念知①④是排列问题．5．从4名男生和3名女生中选出3人，分别从事三项不同的工作，若这3人中至少有1名女生，则选派方案共有( B )A．108种B．186种C ．216种D ．270种[解析] 从全部方案中减去只选派男生的方案数，所有不同的选派方案共有A 37－A 34＝186(种)，选B ．6．有4名司机、4名售票员分配到4辆汽车上，使每辆汽车上有一名司机和一名售票员，则可能的分配方案有( C )A ．A 88种 B ．A 48种 C ．A 44A 44种D ．2A 44种[解析] 安排4名司机有A 44种方案，安排4名售票员有A 44种方案．司机与售票员都安排好，这件事情才算完成，由分步乘法计数原理知共有A 44A 44种方案．二、填空题7．(2020·天津模拟)由1,2,3,4,5,6组成没有重复数字的六位数，要求奇数不相邻，且4不在第四位，则这样的六位数共有__120__个．[解析] 1,2,3,4,5,6组成没有重复数字的六位数，奇数不相邻，有A 33A 34＝144个， 4在第四位，则前3位是奇偶奇，后两位是奇偶或偶奇，共有2A 33A 22＝24个， ∴所求六位数共有120个．故答案为120．8．将A 、B 、C 、D 、E 、F 六个字母排成一排，且A 、B 均在C 的同侧，则不同的排法共有__480__种(用数字作答)．[解析] A 、B 两个字母与C 的位置关系仅有3种：同左、同右或两侧，各占13，∴排法有23A 66＝480． 9．(2020·烟台一模)上合组织峰会于2018年6月在青岛召开，组委会预备在会议期间将A ，B ，C ，D ，E 这五名工作人员分配到两个不同的地点参与接待工作．若要求A ，B 必须在同一组，且每组至少2人，则不同分配方法的种数为__8__．[解析] 根据题意，分2种情况讨论：①A ，B 在一组，C ，D ，E 都分在另一组，将两组全排列，对应两个地点即可，有A 22＝2种分配方法；②C ，D ，E 中取出1人，与A 、B 一组，剩下2人一组，再将两组全排列，对应两个地点， 有3A 22＝6种分配方法； 故一共有2＋6＝8种分配方法． 故答案为8． 三、解答题10．(2020·深圳高二检测)用一颗骰子连掷三次，投掷出的数字顺序排成一个三位数，此时：(1)各位数字互不相同的三位数有多少个？(2)可以排出多少个不同的三位数？ [解析] (1)三位数的每位上数字均为 1,2,3,4,5,6之一．第一步，得首位数字，有6种不同结果， 第二步，得十位数字，有5种不同结果， 第三步，得个位数字，有4种不同结果， 故可得各位数字互不相同的三位数有 6×5×4＝120(个)．(2)三位数，每位上数字均可从1,2,3,4,5,6六个数字中得一个，共有这样的三位数6×6×6＝216(个)．B 级 素养提升一、选择题1．从集合{1,2,3，…，11}中任选两个元素作为椭圆方程x 2m 2＋y 2n2＝1中的m 和n ，则能组成落在矩形区域B ＝{(x ，y )||x |<11，且|y |<9}内的椭圆个数为( B )A ．43B ．72C ．86D ．90[解析] 在1、2、3、4、…、8中任取两个作为m 、n ，共有A 28＝56种方法；可在9、10中取一个作为m ，在1、2、…、8中取一个作为n ，共有A 12A 18＝16种方法，由分类加法计数原理，满足条件的椭圆的个数为：A 28＋A 12A 18＝72．2．给出下列4个等式： ①n ！＝n ＋1！n ＋1；②A m n ＝n A m －1n －1；③A mn ＝n ！n －m ！；④A m －1n －1＝n －1！m －n ！．其中正确的个数为( C ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4[解析] 由排列数公式逐一验证，①②③成立，④不成立．故选C ． 二、填空题3．(1)7个人站成一排，若甲必须站在正中间的站法有__720__种； (2)7个人站成一排，若甲、乙2人必须站在两端的站法有__240__种；(3)7个人站成两排，其中3个女孩站在前排，4个男孩站在后排的站法有__144__种； (4)7个人站成两排，其中前排站3人，后排站4人的站法有__5_040__种． [解析] (1)甲站中间后，剩下的人的位置排列数为A 66＝720．(2)甲、乙必须站两端，剩下的人的位置排列数为A55，甲、乙站两端的站法有A22，故共有A55·A22＝240．(3)女孩和男孩的排列相互独立，故为A44·A33＝144．(4)先排前排，再排后排，故为A37·A44＝5 040．4．如果A m n＝15×14×13×12×11×10，那么n＝__15__，m＝__6__．[解析] 15×14×13×12×11×10＝A615，故n＝15，m＝6.三、解答题5．(2020·宝鸡市金台区高二检测)“渐降数”是指每一位数字比其左边的数字小的正整数(如632)，那么比666小的三位渐降数共有多少个？[解析] 百位是6，十位是5比666小的渐降数有654,653,652,651,650共5个，百位是6，十位是4比666小的渐降数有643,642,641,640共4个，百位是6，十位是3比666小的渐降数有632,631,630共3个，百位是6，十位是2比666小的渐降数有621,620共2个，百位是6，十位是1比666小的渐降数有610，所以百位是6比666小的渐降数有1＋2＋3＋4＋5＝15个，同理：百位是5比666小的渐降数有1＋2＋3＋4＝10个，百位是4比666小的渐降数有1＋2＋3＝6个，百位是3比666小的渐降数有1＋2＝3个，百位是2比666小的渐降数有1个，所以比666小的三位渐降数共有15＋10＋6＋3＋1＝35个．。
高中数学1.2.1.1排列与排列数公式课时作业(含解析)新人教A版选修23
高中数学1.2.1.1排列与排列数公式课时作业（含解析）新人教A版选修23知识点一排列的概念1.下列问题是排列问题吗？(1)从1,3,5,7四个数字中，任选两个做乘法，其结果有多少种不同的可能？(2)从1,2,3,4四个数字中，任选两个做除法有多少种不同的可能？(3)会场有50个座位，要求选出3个座位有多少种方法？若选出3个座位安排3位客人入座，又有多少种方法？解(1)从1,3,5,7四个数字中，任选两个做乘法，其结果与顺序无关，不是排列问题．(2)从1,2,3,4四个数字中，任选两个做除法，其结果与顺序有关，是排列问题．(3)会场有50个座位，选出3个座位不是排列问题，而选出3个座位安排3位客人入座，是排列问题．知识点二排列的列举问题2.写出下列问题的所有排列：(1)北京、广州、南京、天津4个城市相互通航，应该有多少种机票？(2)A、B、C、D四名同学排成一排照相，要求自左向右，A不排第一，B不排第四，共有多少种不同的排列方法？解(1)列出每一个起点和终点情况，如图所示．故符合题意的机票种类有：北京广州，北京南京，北京天津，广州南京，广州天津，广州北京，南京天津，南京北京，南京广州，天津北京，天津广州，天津南京，共12种．(2)因为A不排第一，排第一位的情况有3类(可从B、C、D中任选一人排)，而此时兼顾分析B的排法，列树形图如图．所以符合题意的所有排列是： BADC ，BACD ，BCAD ，BCDA ，BDAC ，BDCA ，CABD ，CBAD ，CBDA ，CDBA ，DABC ，DBAC ，DBCA ，DCBA 共14种.知识点三 排列数的计算3.A 67－A 56A 45＝( ) A ．12 B ．24 C ．30 D ．36答案 D解析 A 67＝7×6×A 45，A 56＝6×A 45，所以原式＝36A 45A 45＝36. 4．已知A 2n ＝7A 2n －4，则n ＝________.答案 7 解析 原方程可化为n (n －1)＝7(n －4)(n －5)．解得n ＝7⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＝103舍去. 5．若3A 3n ＝2A 2n ＋1＋6A 2n ，求n .解 由3A 3n ＝2A 2n ＋1＋6A 2n ，得3n (n －1)(n －2)＝2(n ＋1)n ＋6n (n －1)．因为n ≥3且n ∈N *，所以3n 2－17n ＋10＝0.解得n ＝5或n ＝23(舍去)． 所以n ＝5.6．求证：A m n －1＋m A m －1n －1＝A m n .证明 A m n －1＋m A m －1n －1＝n －1！n －1－m ！＋m ·n －1！n －m ！ ＝n －1！n －m ＋m n －m ！＝n ！n －m ！＝A m n .一、选择题1．下列问题中：(1)10本不同的书分给10名同学，每人一本；(2)10位同学去做春季运动会志愿者；(3)10位同学参加不同项目的运动会比赛；(4)10个没有任何三点共线的点构成的线段．属于排列的有( )A．1个 B．2个 C．3个 D．4个答案 B解析由排列与顺序是否有关决定，可知(1)(3)是排列，(2)(4)不是排列，故选B.2．20×19×18×…×9＝( )A．A1220 B．A1120 C．A1020 D．A920答案 A解析∵20×19×18×…×9是从20开始，表示12个数字的乘积，∴20×19×18×…×9＝A1220.3．已知A2n＝132，则n等于( )A．11 B．12 C．13 D．14答案 B解析A2n＝n(n－1)＝132，即n2－n－132＝0，解得n＝12或n＝－11(舍去)．4．若M＝A11＋A22＋A33＋…＋A20142014，则M的个位数字是( )A．3 B．8 C．0 D．5答案 A解析∵当n≥5时，A n n＝1×2×3×4×5×…×n＝120×6×…×n，∴当n≥5时A n n的个位数字为0，又∵A11＋A22＋A33＋A44＝1＋2＋6＋24＝33，∴M的个位数字为3.5．从a，b，c，d，e 5个人中选出1名组长和1名副组长，但a不能当副组长，则不同的选法种数是( )A．20 B．16 C．10 D．6答案 B解析不考虑限制条件有A25种选法，若a当副组长，有A14种选法，故a不当副组长，有A25－A14＝16种不同的选法．二、填空题6．A66－6A55＋5A44＝________.答案120解析原式＝A66－A66＋A55＝A55＝5×4×3×2×1＝120.7．乒乓球队的10名队员中有3名主力队员，要派5名队员参加比赛，其中3名主力队员安排在第一、三、五位置，其余7名队员选2名安排在第二、四位置，那么不同的出场安排共有________种．答案 252解析 三名主力队员排在第一、三、五位置有A 33种排法，其余7名队员选2名排在第二、四位置有A 27种排法，故共有A 33·A 27＝252种出场安排．8．两个家庭的4个大人与2个小孩一起到动物园游玩，购票后排队依次入园．为安全起见，首尾一定要排2个爸爸，另外，2个小孩一定要排在一起，则这6人入园顺序的排法种数为________．答案 24解析 第一步：将2个爸爸排在两端，有2种排法；第二步：将2个小孩视为一人与2个妈妈任意排在中间的三个位置上，有A 33种排法；第三步：将2个小孩排序有2种排法．故总的排法有2×2×A 33＝24种．三、解答题9．解下列各式中的n 值．(1)90A 2n ＝A 4n ；(2)A 4n ·A n －4n －4＝42A n －2n －2.解 (1)∵90A 2n ＝A 4n ，∴90n (n －1)＝n ·(n －1)(n －2)(n －3)，∴n 2－5n ＋6＝90， n 2－5n －84＝0即(n －12)(n ＋7)＝0，n ＝12或n ＝－7.由排列数定义知n ≥4，n ∈N *，∴n ＝12.(2)∵A 4n ·A n －4n －4＝42A n －2n －2，∴n ！n －4！·(n －4)！＝42(n －2)！， ∴n (n －1)＝42， 即n 2－n －42＝0解得n ＝7或n ＝－6.由排列数定义知n ≥4，n ∈N *.∴n ＝7.10．从1到9这9个数字中取出不同的5个数进行排列．问：(1)奇数的位置上是奇数的有多少种排法？(2)取出的奇数必须排在奇数位置上有多少种排法？解 (1)奇数共5个，奇数位置共有3个；偶数共有4个，偶数位置有2个．第一步先在奇数位置上排上奇数共有A 35种排法；第二步再排偶数位置，4个偶数和余下的2个奇数可以排，排法为A 26种，由分步乘法计数原理知，排法种数为A 35·A 26＝1800.(2)因为偶数位置上不能排奇数，故先排偶数位，排法为A 24种，余下的2个偶数与5个奇数全可排在奇数位置上，排法为A 37种，由分步乘法计数原理知，排法种数为A 24·A 37＝2520种．。
2021学年高中数学1.2排列与组合1.2.2第1课时组合一练习含解析人教A版选修2_3
第一章 1.2 1.2.2 第1课时请同学们认真完成练案[5]A 级 基础巩固一、选择题1．由C x ＋110＋C 17－x10可得不相同的值的个数是( B ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4[解析] ∵⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≤1017－x ≤10x ＋1≥017－x ≥0，∴7≤x ≤9，又x ∈Z ，∴x ＝7,8,9．当x ＝7时，C 810＋C 1010＝46；当x ＝8时，C 910＋C 910＝20； 当x ＝9时，C 1010＋C 810＝46．2．下面几个问题中属于组合问题的是( C )①由1,2,3,4构成的双元素集合；②5个队进行单循环足球比赛的分组情况；③由1,2,3构成两位数的方法；④由1,2,3组成无重复数字的两位数的方法．A ．①③B ．②④C ．①②D ．①②④[解析] ①②取出元素与顺序无关，③④取出元素与顺序有关．3．某研究性学习小组有4名男生和4名女生，一次问卷调查活动需要挑选3名同学参加，其中至少一名女生，则不同的选法种数为( C )A ．120种B ．84种C ．52种D ．48种[解析] 间接法：C 38－C 34＝52种．4．平面上有12个点，其中没有3个点在一条直线上，也没有4个点共圆，过这12个点中的每三个作圆，共可作圆( A )A ．220个B ．210个C ．200个D ．1320个[解析] C 312＝220，故选A ．5．(2020·潍坊高二检测)5个代表分4张同样的参观券，每人最多分一张，且全部分完，那么分法一共有( D )A ．A 45种 B ．45种 C ．54种D ．C 45种[解析] 由于4张同样的参观券分给5个代表，每人最多分一张，从5个代表中选4个即可满足，故有C 45种．6．(2020·佛山高二检测)将标号为A 、B 、C 、D 、E 、F 的6张卡片放入3个不同的信封中，若每个信封放2张卡片，其中标号为A 、B 的卡片放入同一信封，则不同的放法共有( B )A ．12种B ．18种C ．36种D ．54种[解析] 由题意，不同的放法共有C 13C 24＝3×4×32＝18种．二、填空题7．(2020·遂宁市高二)如图所示，机器人亮亮从A 地移动到B 地，每次只移动一个单位长度，则亮亮从A 移动到B 最近的走法共有__80__种．[解析] 分步计算，第一步A →C 最近走法有2种；第二步C →D 最近走法有C 36＝20种；第三步D →B 最近走法有2种，故由A →B 最近走法有2×20×2＝80种． 故答案为80．8．已知C 4n ，C 5n ，C 6n 成等差数列，则C 12n ＝__91__． [解析] ∵C 4n ，C 5n ，C 6n 成等差数列，∴2C 5n ＝C 4n ＋C 6n ， ∴2×n ！5！n －5！＝n ！4！n －4！＋n ！6！n －6！整理得n 2－21n ＋98＝0，解得n ＝14，n ＝7(舍去)， 则C 1214＝C 214＝91．9．对所有满足1≤m <n ≤5的自然数m ，n ，方程x 2＋y 2C mn ＝1所表示的不同椭圆的个数为__6__．[解析] ∵1≤m <n ≤5，所以C m n 可以是C 12，C 13，C 23，C 14，C 24，C 34，C 15，C 25，C 35，C 45，其中C 13＝C 23，C 14＝C 34，C 15＝C 45，C 25＝C 35，∴方程x 2＋C m n y 2＝1能表示的不同椭圆有6个．三、解答题10．平面内有10个点，其中任何3个点不共线， (1)以其中任意2个点为端点的线段有多少条？(2)以其中任意两个点为端点的有向线段有多少条？ (3)以其中任意三个点为顶点的三角形有多少个？[解析] (1)所求线段的条数，即为从10个元素中任取2个元素的组合，共有C 210＝10×92×1＝45(条)，即以10个点中的任意2个点为端点的线段共有45条．(2)所求有向线段的条数，即为从10个元素中任取2个元素的排列，共有 A 210＝10×9＝90(条)，即以10个点中的2个点为端点的有向线段共有90条．(3)所求三角形的个数，即从10个元素中任选3个元素的组合数，共有C 310＝120(个)．B 级 素养提升一、选择题1．集合{0,1,2,3}含有3个元素的子集的个数是( A ) A ．4 B ．5 C ．7D ．8[解析] 由于集合中的元素是没有顺序的，一个含有3个元素的子集就是一个从{0,1,2,3}中取出3个元素的组合，这是一个组合问题，组合数是C 34＝4．2．某施工小组有男工7名，女工3名，现要选1名女工和2名男工去支援另一施工小组，不同的选法有( D )A ．C 310种 B ．A 310种 C ．A 13A 27种D ．C 13C 27种[解析] 每个被选的人都无顺序差别，是组合问题．分两步完成：第一步，选女工，有C 13种选法；第二步，选男工，有C 27种选法．故共有C 13C 27种不同的选法．二、填空题3．甲、乙、丙三地之间有直达的火车，相互之间的距离均不相等，则车票票价的种数是__3__．[解析] 甲、乙、丙三地之间的距离不等，故票价不同，同距离两地票价相同，故该问题为组合问题，不同票价的种数为C 23＝3×22＝3．4．若1C 3n －1C 4n <2C 5n ，则n 的取值集合为__{5,6,7,8,9,10,11}__．[解析] 由6n n －1n －2－24n n －1n －2n －3<240n n －1n －2n －3n －4，可得n 2－11n －12<0，解得－1<n <12．又n ∈N ＋，且n ≥5，所以n ∈{5,6,7,8,9,10,11}． 三、解答题5．(2020·遵义高二检测)现有5名男司机，4名女司机，需选派5人运货到某地． (1)如果派3名男司机、2名女司机，共有多少种不同的选派方法？ (2)至少有两名男司机，共有多少种不同的选派方法？ [解析] (1)利用分步乘法计数原理得C 35C 24＝60种．(2)利用分类加法与分步乘法计数原理C 25C 34＋C 35C 24＋C 45C 14＋C 55C 04＝121种． 6．已知⎩⎪⎨⎪⎧C x n ＝C 2xn ，C x ＋1n ＝113C x －1n ，试求x 和n 的值．[解析] 由C xn ＝C 2xn 得x ＝2x 或x ＋2x ＝n ， 即x ＝0或n ＝3x ， 显然x ＝0时C x －1n 无意义，把n ＝3x 代入C x ＋1n ＝113C x －1n 得C x ＋13x ＝113C x －13x ，即3x ！x ＋1！2x －1！＝113·3x ！x －1！2x ＋1！∴1x ＋1＝1162x ＋1，解得x ＝5.∴n ＝15．。
2021学年高中数学1.2排列与组合1.2.2第1课时组合一课件人教A版选修2_3.ppt
命题方向 2
组合数公式
典例 2 (1)计算：①3C38－2C25＋C88；②C91800＋C129090． (2)证明：mCmn ＝nCmn－－11．
[思路分析] (1)先考虑利用组合数的性质对原式进行化 简，再利用组合数公式展开计算．(2)式子中涉及字母，可 以用阶乘式证明．
[解析] (1)①3C38－2C25＋C88＝3×83× ×72× ×61－2×52× ×41＋1＝149． ②C19080＋C129090＝C2100＋C1200＝1020××199＋200＝5 150． (2)证明：∵左边＝m·m！nn！ －m！＝m－n1·n！－n1－！m！＝n·m－1n－ ！1n－！m！ ＝nCmn－－11＝右边， ∴mCmn ＝nCmn－－11．
(5)是排列问题，因为 3 个人担任哪一科的课代表是有区别的，排列数为 A310＝ 720．
『规律总结』 1.组合的特点是只选不排，即组合只是 从n个不同的元素中取出m(m≤n)个不同的元素即可．
2．只要两个组合的元素完全相同，不管顺序如何，这两 个组合就是相同的组合．
3．判断组合与排列的依据是看是否与顺序有关，与顺序 有关的是排列问题，与顺序无关的是组合问题．
B．14 D．14 或 2
[解析]
由题意知2x＝x－24x－≤41，4，或x2＝x－144－ ≤124x，－4，
x≤14
x≤14，
解得 x＝4 或 6．
(C )互动探究·攻重难互动探究解疑 命题方向 1
组合概念的理解与应用
典例 1 判断下列问题是排列问题还是组合问题，并 求出相应的排列数或组合数．
新课标导学
数学
选修2-3 ·人教A版
第一章
计数原理 1.2 排列与组合
2021-2022年高中数学课后提升训练四1.2排列与组合1.2.1.2新人教A版
2021-2022年高中数学课后提升训练四1.2排列与组合1.2.1.2新人教A版一、选择题(每小题5分,共40分)1.(xx·太原高二检测)89×90×91×…×100可表示为( )A. B.C. D.【解析】选C.由排列数公式得89=100-m+1,所以m=12,n=100.即其表示为.2.与·不等的是( )A. B.81C.10D.【解析】选B.由·=3 628 800,81=3265920,=3628800,10=3628800,=3628800.3.计算2+3!的值为( )A.100B.123C.126D.128【解析】选C.原式=2×5×4×3+3×2×1=126.4.若=2,则m的值为( )A.5B.3C.6D.7【解析】选A.由=2得m(m-1)(m-2)(m-3)(m-4)=2×m×(m-1)(m-2),故(m-3)(m-4)=2,即m2-7m+10=0,解得m=5或m=2(舍).5.乘积m(m+1)(m+2)…(m+20)可表示为( )A. B. C. D.【解析】选D.(m+20)-m+1=21,共有21项相乘,所以乘积为.6.给出下列四个关系式:①n!=;②=n;③=;④=.其中正确的个数为( )A.1个B.2个C.3个D.4个【解析】选C.由=可知:=,故④不正确.7.不等式+n≤10的解为( )A.n=3B.n=4C.n=3或n=4D.n=3或n=4或n=5【解析】选C.原不等式化为(n-1)(n-2)+n≤10,即n2-2n-8≤0,解得-2≤n≤4,又n-1≥2,且n∈N*,所以3≤n≤4,所以n=3或n=4.8.若S=++++…+,则S的个位数字是( )A.8B.5C.3D.0【解析】选C.由排列数公式知,,,…中均含有2和5的因子,故个位数均为0,所以S的个位数字应是+++的个位数字,而+++=1+2×1+3×2×1+4×3×2×1=33,故个位数字为3.二、填空题(每小题5分,共10分)9.不等式-n<7的解集为________.【解析】由-n<7,得(n-1)(n-2)-n<7,整理,得n2-4n-5<0,解得-1<n<5.又n-1≥2且n∈N*,即n≥3且n∈N*,所以n=3或n=4.答案:{3,4}10.已知=12,则m=________.【解析】由=12,整理得=12·,解得m=7或m=14,又⇒m≤9,所以m=7.答案:7三、解答题11.(10分)解不等式<6.【解析】原不等式可化为,<6×,即1<6×,化简得m2-15m+50<0,即(m-5)(m-10)<0,解得5<m<10,又即m≤6,且m∈N*,所以m=6.【误区警示】忽视限定条件导致错解(1)本题易忽视公式中条件“m≤n”,易得到“5<m<10且x∈N*,即m=6,7,8,9”的错误结论.(2)在解答排列数的方程或不等式时,要注意排列数,m,n∈N*且m≤n这些限定条件,要注意含排列数的方程和不等式未知数的取值范围.【能力挑战题】求证:+2+3+…+n=(n+1)!-1.【证明】因为n=n·n!=(n+1)!-n!所以+2+3+…+n=2!-1!+3!-2!+4!-3!+…+(n+1)!-n!=(n+1)!-1. 29352 72A8 犨O29521 7351 獑K20953 51D9 凙29968 7510 甐%36219 8D7B 赻 28182 6E16 渖>26758 6886 梆226396 671C 朜。
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第一章 1.2 1.2.1 第2课时请同学们认真完成练案[4]A级基础巩固一、选择题1．5人站成一排，甲、乙两人之间恰有1人的不同站法的种数为( C )A．18 B．24C．36 D．48[解析] 5人站成一排，甲、乙两人之间恰有1人的不同站法有3A33×A22＝36(种)．2．某单位安排7位员工在10月1日至7日值班，每天安排1人，每人值班1天．若7位员工中的甲、乙排在相邻两天，丙不排在10月1日，丁不排在10月7日，则不同的安排方案共有( C )A．504种B．960种C．1 008种D．1 108种[解析] 甲、乙相邻的所有方案有A22A66＝1 440种；其中丙排在10月1日的和丁排在10月7日的一样多，各有：A22A55＝240种，其中丙排在10月1日且丁排在10月7日的有A22A44＝48种，故符合题设要求的不同安排方案有：1 440－2×240＋48＝1 008种，故选C．3．停车站划出一排12个停车位置，今有8辆不同的车需要停放，若要求剩余的4个空车位连在一起，则不同的停车方法有( D )A．A812种B．2A88A44种C．8A88种D．9A88种[解析] 将4个空车位视为一个元素，与8辆车共9个元素进行全排列，共有A99＝9A88种．4．六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有( B )A．192种B．216种C．240种D．288种[解析] 分两类：最左端排甲有A55＝120种不同的排法，最左端排乙，由于甲不能排在最右端，所以有4A44＝96种不同的排法，由分类加法原理可得满足条件的排法共有120＋96＝216种．5．甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五的5天中参加某项志愿者活动，要求每人参加一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外两位前面，不同的安排方法共有( A ) A．20种B．30种C．40种D．60种[解析] 分类完成，甲排周一，乙、丙只能从周二至周五这4天中选2天排，有A24种安排方法；甲排周二，乙、丙有A23种安排方法；甲排周三，乙、丙只能排周四和周五，有A22种安排方法．由分类加法计数原理可知，共有A24＋A23＋A22＝20种不同的安排方法．6．(2020·广元模拟)在航天员进行一项太空实验中，要先后实施6个程序，其中程序A 只能出现在第一或最后一步，程序B和C在实施时必须相邻，问实验顺序的编排方法共有( C )A．34种B．48种C．96种D．144种[解析] 根据题意，程序A只能出现在第一步或最后一步，则从第一个位置和最后一个位置选一个位置把A排列，有A12＝2种结果，又由程序B和C实施时必须相邻，把B和C看作一个元素，同除A外的3个元素排列，注意B和C之间还有一个排列，共有A44A22＝48种结果，根据分步计数原理知共有2×48＝96种结果，故选C．二、填空题7．(2020·和平区高三)现有6个人排成一横排照相，其中甲不能被排在边上，则不同排法的总数为__480__．[解析] 假设6个人分别对应6个空位，甲不站在两端，有4个位置可选，则其他5人对应其他5个位置，有A55＝120种情况，故不同排列方法种数4×120＝480种．故答案为480．8．将序号分别为1,2,3,4,5的5张参观券全部分给4人，每人至少1张，如果分给同一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是__96__．[解析] 先分组后用分配法求解，5张参观券分为4组，其中2个连号的有4种分法，每一种分法中的排列方法有A44种，因此共有不同的分法4A44＝4×24＝96(种)．9．2020年某地举行博物展，某单位将展出5件艺术作品，其中不同书法作品2件、不同绘画作品2件、标志性建筑设计1件，在展台上将这5件作品排成一排，要求2件书法作品必须相邻，2件绘画作品不能相邻，则该单位展出这5件作品不同的方案有__24__种．(用数字作答)[解析] 将2件书法作品排列，方法数为2种，然后将其作为1件作品与标志性建筑设计作品共同排列有2种排法，对于其每一种排法，在其形成的3个空位中选2个插入2件绘画作品，故共有不同展出方案：2×2×A23＝24种．三、解答题10．一场晚会有5个演唱节目和3个舞蹈节目，要求排出一个节目单．(1)3个舞蹈节目不排在开始和结尾，有多少种排法？(2)前四个节目要有舞蹈节目，有多少种排法？[解析] (1)先从5个演唱节目中选两个排在首尾两个位置有A25种排法，再将剩余的3个演唱节目，3个舞蹈节目排在中间6个位置上有A66种排法，故共有不同排法A25A66＝14 400种．(2)先不考虑排列要求，有A88种排列，其中前四个节目没有舞蹈节目的情况，可先从5个演唱节目中选4个节目排在前四个位置，然后将剩余四个节目排列在后四个位置，有A45A44种排法，所以前四个节目要有舞蹈节目的排法有A88－A45A44＝37 440种．B级素养提升一、选择题1．(2020·濮阳三模)《红海行动》是一部现代化海军题材影片，该片讲述了中国海军“蛟龙突击队”奉命执行撤侨任务的故事．撤侨过程中，海军舰长要求队员们依次完成六项任务，并对任务的顺序提出了如下要求：重点任务A必须排在前三位，且任务E、F必须排在一起，则这六项任务的不同安排方案共有( D )A．240种B．188种C．156种D．120种[解析] 根据题意，由于任务A必须排在前三位，分3种情况讨论：①A排在第一位，任务E、F必须排在一起，则任务E、F相邻的位置有4个，考虑两者的顺序，有2种情况，将剩下的3个任务全排列，安排在其他三个位置，有A33＝6种安排方法，则此时有4×2×6＝48种安排方案；②A排在第二位，任务E、F必须排在一起，则任务E、F相邻的位置有3个，考虑两者的顺序，有2种情况，将剩下的3个任务全排列，安排在其他三个位置，有A33＝6种安排方法，则此时有3×2×6＝36种安排方案；③A排在第三位，任务E、F必须排在一起，则任务E、F相邻的位置有3个，考虑两者的顺序，有2种情况，将剩下的3个任务全排列，安排在其他三个位置，有A33＝6种安排方法，则此时有3×2×6＝36种安排方案；则符合题意要求的安排方案有36＋36＋48＝120种．故选D．2．(多选题)某地为了迎接2021年城运会，某大楼安装了5个彩灯，它们闪亮的顺序不固定．每个彩灯只能闪亮红、橙、黄、绿、蓝中的一种颜色，且这5个彩灯所闪亮的颜色各不相同，记这5个彩灯有序地各闪亮一次为一个闪烁．在每个闪烁中，每秒钟有且仅有一个彩灯闪亮，而相邻两个闪烁的时间间隔均为5秒．如果要实现所有不同的闪烁，那么需要的时间可以是( ABC )A．1 205秒B．1 200秒C．1 195秒D．1 190秒[解析] 由题意每次闪烁共5秒，所有不同的闪烁为A55个，相邻两个闪烁的时间间隔为5秒，因此需要的时间至少是5A55＋(A55－1)×5＝1 195秒，故选ABC．二、填空题3．6人站成一排，甲、乙、丙3个人不能都站在一起的排法种数为__576__．[解析] “不能都站在一起”与“都站在一起”是对立事件，由间接法可得A66－A33A44＝576．4．有语文、数学、英语、物理、化学、生物6门课程，从中选4门安排在上午的4节课中，其中化学不排在第四节，共有__300__种不同的安排方法．(用数字回答) [解析] 法一：(分类法)分两类．第1类，化学被选上，有A13A35种不同的安排方法；第2类，化学不被选上，有A45种不同的安排方法．故共有A13A35＋A45＝300种不同的安排方法．法二：(分步法)第1步，第四节有A15种排法；第2步，其余三节有A35种排法，故共有A15A35＝300种不同的安排方法．法三：(间接法)从6门课程中选4门安排在上午，有A46种排法，而化学排第四节，有A35种排法，故共有A46－A35＝300种不同的安排方法．三、解答题5．用0、1、2、3、4五个数字：(1)可组成多少个五位数；(2)可组成多少个无重复数字的五位数；(3)可组成多少个无重复数字的且是3的倍数的三位数；(4)可组成多少个无重复数字的五位奇数．[解析] (1)各个数位上的数字允许重复，故由分步乘法计数原理知，共有4×5×5×5×5＝2 500(个)．(2)解法一：先排万位，从1,2,3,4中任取一个有A14种填法，其余四个位置四个数字共有A44种，故共有A14·A44＝96(个)．解法二：先排0，从个、十、百、千位中任选一个位置将0填入有A14种方法，其余四个数字全排有A44种方法，故共有A14·A44＝96(个)．(3)构成3的倍数的三位数，各个位上数字之和是3的倍数，按取0和不取0分类：①取0，从1和4中取一个数，再取2进行排，先填百位A12，其余任排有A22，故有2A12·A22种．②不取0，则只能取3，从1或4中再任取一个，再取2然后进行全排为2A33，所以共有2A12A22＋2A33＝8＋12＝20(个)．(4)考虑特殊位置个位和万位，先填个位，从1、3中选一个填入个位有A12种填法，然后从剩余3个非0数中选一个填入万位，有A13种填法，包含0在内还有3个数在中间三位置上全排列，排列数为A33，故共有A12·A13·A33＝36(个)．6．4个男同学，3个女同学站成一排．(1)3个女同学必须相邻，有多少种不同的排法？(2)任何两个女同学彼此不相邻，有多少种不同的排法？(3)三位女同学站在中间三个位置上的不同排法有多少种？(4)甲、乙两人相邻，但都不与丙相邻，有多少种不同的排法？(5)若3个女生身高互不相等，女同学从左到右按高矮顺序排，有多少种不同的排法？[解析] (1)3个女同学是特殊元素，她们排在一起，共有A33种排法；我们可视排好的女同学为一整体，再与男同学排队，这时是5个元素的全排列，应有A55种排法，由分步乘法计数乘法原理，有A33A55＝720种不同排法．(2)先将男生排好，共有A44种排法，再在这4个男生之间及两头的5个空档中插入3个女生有A35种方案，故符合条件的排法共有A44A35＝1 440种不同排法．(3)三位女同学站在中间三个位置上的不同排法有A33·A44＝144种．(4)先排甲、乙和丙3人以外的其他4人，有A44种排法；由于甲、乙要相邻，故再把甲、乙排好，有A22种排法；最后把排好的甲、乙这个整体与丙分别插入原先排好的4人的空档中有A25种排法．这样，总共有A44A22A25＝960种不同排法．(5)从7个位置中选出4个位置把男生排好，则有A47种排法．然后再在余下的3个空位置中排女生，由于女生要按身体高矮排列，故仅有一种排法．这样总共有A47＝840种不同排法．。