清华大学概率论论文_关于经典寓言的概率分析模型

关于经典寓言的概率分析模型

班级:电13

姓名:苗键强

学号:2011010645

摘要:

经典寓言故事中往往隐含了与数学相关的知识,本文就经典寓言故事《狼来

了》中置信概率的变化做相关分析,通过搭建的几个不同模型来对于实际问题做理

论解释?

关键词:

贝叶斯公式概率估计

引言:

伊索寓言《狼来了》向我们讲述了这样一个故事:

从前,有个放羊娃,每天都去山上放羊?

一天,他想了个捉弄大家寻开心的主意?他向着山下正在种田的村民大声

喊:“狼来了!狼来了!救命啊!”村民气喘吁吁地赶到山上帮忙,然而却发现被骗了?

第二天,放羊娃故伎重演,又欺骗了村民一次?

过了几天,狼真的来了?放羊娃再次呼救,然而村民再也不理他了。问题分析:

在这个故事中我们可以看到放羊娃的言语在村民心中的置信度是随着他说谎

的次数增加而逐渐降低的,因此本文就此构建与之相关的几个模型来对此进行相应

的解释?

模型构建:

模型一:(无视小孩模型)

记事件A为“小孩说谎”,事件B为“小孩可信”,假设村子中有N个村民(N

视为一个很大的数)?

在此模型中不考虑小孩的说谎的概率与其言语可信度之间的关系,且认为村民

之间相互不交流,其对于小孩的印象仅取决于他的初始印象和是否上过小孩的当?假

设初始状态下,村民对孩子的印象为P1(B)=0.8?同时若某一名村民上过小孩的当,

则他对于小孩的印象下降至P2(B)=0.2,若他上过两次当,则再也不会相信该小孩了?

则当小孩第一次说谎时,村民去帮忙的期望值为E1=0.8N

同时这这些村民对小孩的印象下降为P2(B)=0.2,而其余的0.2N 的村民对小

孩的印象不变?

同理可得,小孩第二次说谎时,村民去帮忙的期望值为

E2=0.8N*0.2+0.2N*0.8=0.32N,即小孩的置信度下降为0.32?

小孩第三次说谎时,村民去帮忙的期望值为

E3=(0.8*0.8+0.2*0.8)N*0.2+0.04N*0.8=0.192N,即小孩的置信度下降为0.192?

所以在此模型中,小孩说过一次谎后,村民对他的印象下降最大(E1-E2=0.48,

下降一半以上),此后则逐步下降?

模型二:(书本模型)

此模型与书本上相同,在此仅为下面的模型过渡,因此不再复述?

模型三:(最终模型)

在此模型中,我们认为当小孩说过一次谎后,未过上山的村民根据这个其他村

民传递的信息,对小孩的可信程度改变服从模型而中的规律?同时,亲身经历过此事件的村民对小孩的可信程度则服从模型一中的规律,即上过一次当的村民自己对小孩的相信程度降为0.2,上过

两次当则不会再相信小孩?而假如该村民既上过山又有未上山的遭遇,则他对

小孩的印象为此时其他从未上过山的村民的印象与他的遭遇而带来的印象的乘积?

假设初始状态下村民对孩子的印象为P(B)=0.8?

则小孩说了一次谎言时,上山的0.8N的村民对他的印象降为0.2,而其他的未上山的0.2N的村民对他的印象改变为P(B|A)=P(B)P(A|B)/[P(B)P(A|B)+P(B-

)/P(A|B-)]=0.444?故此时村民对他的总体平均印象为

P(B)=0.444*0.2+0.8*0.2=0.2488?

在小孩说了两次谎言时,上山的村民为0.8N*0.2+0.2N*0.444=0.2488N?这其

中有0.16N的村民对小孩的印象降为P1(B)=0?

而对于这时未上山的村民而言,有两部分:

对于一部分自始至终未曾上过山的0.2N-0.888N=0.112N的村民,他们此时对

小孩的印象变化为:P2(B)=0.2488*0.1/(0.2488*0.1+0.7512*0.5)=0.0613;

而对于上过一次山,同时有一次未上山的(1-0.16-0.112)N=0.728N的村民,他们此时对小孩的印象变化为:P3(B)=0.0613*0.2=0.0123;

所以此时村民对他的总体印象为P(B)=0.0123*0.64+0.0613*0.728=0.0525?

结论:

我们可以将以上的三个模型进行一个实际的描述:

模型一描述的情况是村民善于“记仇”,但相互之间交流不充分?因而他们对于小孩的印象仅仅来源于自己的初始认识以及经历?那么他们对于说谎的小孩的印象变化依次为P1(B)=0.8,P2(B)=0.32,P3(B)=0.192?因此小孩说谎一次对自身的影响十分大?

模型二描述的情况是村民不会记仇,即同一时间所有的村民对小孩的印象都一样,而他们之间的交流和沟通很充分,因此在此时计算村民对于小孩的印象可以运用贝叶斯公式得到P1(B)=0.8,P2(B)=0.444,P3(B)=0.138?可以看到这一种情况下,村民对小孩的印象基本上处于一种递降的趋势?

模型三描述的情况是村民即善于“记仇”,同时相互之间交流还很充分?因此他们除了参考自己的历史经历外,还注意他人对于小孩的评价?而在这一种情况下,通过计算得到了P1(B)=0.8,P2(B)=0.2488,P3(B)=0.0525?这一种情况下,小孩的信誉下降地是最快的,而且假若小孩说过两次谎,则他的信誉几乎下降为0?而在现实生活中我们对他人的评价主要与模型三相类似,既会参考他人的观念,也会有自己的开始看法?比如我们现在的银行业,不仅银行会记录用户的诚信信息,而且会提交到相应的系统中去,供其他银行在对用户办理相关手续时参考。因而假若用户有过一次不良信用记录,则再向银行贷款就几乎是一件不可能的事件?

通过以上分析我们可以看到,在近似于实际生活的场景中,只要我们曾经说过一次谎言,那么我们言语的可信程度就会大大降低,因

此我们要珍惜自己的名誉,做到为人诚信。