【师说系列】2021届高考数学(北师大版)一轮复习讲义课件：选修4-1几何证明
系列高考数学一轮复习讲义课件选修4-1几何证明共51张
变式迁移 2 在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，CD⊥AB 于点 D，CD＝2，BD ＝3，则 AC 的长为________．
答案
2 13 3
解析 如图所示，由射影定理得 CD2＝AD·BD，∵CD＝2，BD
AHA－HMH，
∴x4＝
3－ 23x 3
＝2－2 x，解得
x＝43.
题型二 射影定理
例 2.如图所示，已知 BD、CE 是△ABC 的两条高，过点 D 的 直线交 BC 和 BA 的延长线于 G、H，交 CE 于 F，且∠H＝∠BCF.
求证：GD2＝GF·GH.
证明 ∵CE⊥AB， ∴∠H＋∠HFE＝90°. 又∵∠BCF＝∠H，∠HFE＝∠CFG， ∴∠BCF＋∠CFG＝90°. ∴FG⊥GC，∴△BGH∽△FGC.
(9)圆的切线 ①直线与圆的位置关系 当直线与圆有 2 个公共点时，直线与圆相交； 当直线与圆只有 1 个公共点时，直线与圆相切，公共点称为切点； 当直线与圆没有公共点时，直线与圆相离． ②切点与圆心的连线与圆的切线垂直，同时经过切点且与圆的切 线垂直的直线过圆心． (10)弦切角定理 ①弦切角的度数等于所夹弧的度数的一半． ②推论：同弧(或等弧)上的弦切角相等，同弧(或等弧)上的弦切 角与圆周角相等．
＝3，∴AD＝43，得 AB＝AD＋BD＝133.
又 AC2＝AD·AB＝43·133，
∴AC＝2
13 3.
题型三 相似三角形的判定定理的应用 例 3.如图所示，AE、AF 分别为△ABC 的内、外角平分线，O 为 EF 的中点．
求证：
2021年高考数学一轮总复习 几何证明选讲课时训练 理(选修4-1)
2021年高考数学一轮总复习 几何证明选讲课时训练 理（选修4-1）1. 如图，矩形ABCD 中，E 是BC 上的点，AE ⊥DE ，BE ＝4，EC ＝1，求AB 的长．解：根据题意可以判断Rt △ABE ∽Rt △ECD ，则有AB BE ＝ECCD，可得AB ＝2. 2. 如图，在△ABC 和△DBE 中，AB DB ＝BC BE ＝AC DE ＝52，若△ABC 与△DBE 的周长之差为10 cm ，求△ABC 的周长．解：利用相似三角形的相似比等于周长比可得△ABC 的周长为25 cm.3. 在△ABC 中，D 、E 分别为AB 、AC 上的点，且DE∥BC，△ADE 的面积是2 cm 2，梯形DBCE 的面积为6 cm 2，求DE∶BC 的值．解：△ADE∽△ABC，利用面积比等于相似比的平方可得DE ∶BC ＝1∶2. 4. 如图，在△ABC 中，∠A ＝90°，正方形DEFG 的边长是6 cm ，且四个顶点都在△ABC 的各边上，CE ＝3 cm ，求BC 的长．解：∵ 四边形DEFG 是正方形，∴ ∠GDB ＝∠FEC＝90°，GD ＝DE ＝EF ＝6 cm.∵ ∠B＋∠C＝90°，∠B ＋∠BGD＝90°，∴ ∠C ＝∠BGD，∴ △BGD ∽△FCE ，∴ BD EF ＝GDEC，即BD＝EF·GD EC＝12 cm ，∴ BC ＝BD ＋DE ＋EC ＝21 cm.5. 如图，在ABCD 中，E 是DC 边的中点，AE 交BD 于O ，S △DOE ＝9 cm 2，求S △AOB .解：∵ 在ABCD 中 ，AB ∥DE ，∴ △AOB ∽△EOD ，∴ S △AOB S △DOE ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AB DE 2.∵ E 是CD 的中点，∴ DE ＝12CD ＝12AB ，则AB DE ＝2，∴ S △AOB S △DOE＝22＝4， ∴ S △AOB ＝4S △DOE ＝4×9＝36(cm)2.6. 如图，在△ABC 中，D 为BC 边上中点，延长BA 到E ，使AE ＝13EB ，连结DE ，交AC于F.求AF∶FC 的值．解：过D 点作DP∥AC(如图)，因为D 是BC 的中点，所以P 为AB 的中点，且DP ＝12AC.又AE ＝13EB ，所以AE ＝AP ，所以AF ＝12DP ＝14AC ，所以AF∶FC＝1∶3.7. 将三角形纸片ABC 按如图所示的方式折叠，使点B 落在边AC 上，记为点B′，折痕为EF.已知AB ＝AC ＝3，BC ＝4，若以点B′、F 、C 为顶点的三角形与△ABC 相似，求BF 的长．解：设BF ＝x.若△CFB′∽△CBA， 则CF CB ＝B′F AB ，即4－x 4＝x 3.∴ 12－3x ＝4x ，∴ x ＝127. 若△CFB′∽△CAB，则CF CA ＝B′F AB ，即4－x 3＝x3，得x ＝2.即BF ＝2或127.8. 如图，在△ABC 中，D 是AC 中点，E 是BD 三等分点，AE 的延长线交BC 于F.求S △BEFS 四边形DEFC的值．解：过D 点作DM∥AF 交BC 于M.因为DM ∥AF ，所以BF BM ＝BE BD ＝13.因为EF∥DM，所以S △BEFS △BDM＝19，即S △BDM ＝9S △BEF .又S △DMC S △BDM ＝23，即S △DMC ＝23S △BDM ＝6S △BEF ，所以S 四边形DEFC ＝14S △BEF ，因此S △BEF S 四边形DEFC ＝114.9. 如图所示，在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，F 为AB 上任意一点，CF 交AD 于点E.求证：AE·BF＝2DE ·AF.证明：过点D 作AB 的平行线DM 交AC 于点M ，交FC 于点N. 在△BCF 中，D 是BC 的中点，DN ∥BF ，∴ DN ＝12BF.∵ DN ∥AF ，∴ △AFE ∽△DNE. ∴ AE AF ＝DE DN. ∵ DN ＝12BF ，∴ AE AF ＝2DEBF，即AE·BF＝2DE·AF.10. 如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，延长BC 到D ，使CD ＝BC ，CE ⊥BD ，交AD 于E ，连结BE ，交AC 于点F.求证：AF ＝FC.证明：取BC 的中点H ，连结AH. ∵ AB ＝AC ，∴ AH ⊥BC. ∵ CE ⊥BD ，∴ AH ∥EC. ∵ CD ＝BC ，∴ CD ＝2CH.则DE ＝2AE.取ED 的中点M ，连结CM.则ME ＝AE. ∵ C 为BD 的中点，∴ CM ∥BE. 则F 为AC 的中点，即AF ＝FC.11. 如图，AB 是圆O 的直径，弦BD 、CA 的延长线相交于点E ，EF 垂直BA ，交BA 的延长线于点F.(1) 求证：∠DEA＝∠DFA；(2) 若∠EBA＝30°，EF ＝3，EA ＝2AC ，求AF 的长．(1) 证明：连结AD 、BC. 因为AB 是圆O 的直径，所以∠ADB＝∠ACB＝∠EFA＝90°， 故A 、D 、E 、F 四点共圆， 所以∠DEA＝∠DFA.(2) 解：在Rt △EFA 和Rt △BCA 中，∠EAF ＝∠CAB，所以△EFA∽△BCA，故EA AB ＝AFAC.设AF ＝a ，又EF ＝3，∠EBA ＝30°，所以BF ＝3，则AB ＝3－a ，AE 2＝AF 2＋EF 2＝a 2＋3.所以a(3－a)＝12(3＋a 2)，解得a ＝1.所以AF 的长为1.第2课时 圆的进一步认识(理科专用)1. (xx·南京、盐城期末)如图，AB 、CD 是半径为1的圆O 的两条弦，它们相交于AB的中点P ，若PC ＝98，OP ＝12，求PD 的长．解：因为P 为AB 中点，所以OP⊥AB，所以PB ＝r 2－OP 2＝32.因为PC·PD＝PA·PB＝PB 2＝34，由PC ＝98，得PD ＝23.2. 如图，圆O 上一点C 在直径AB 上的射影为D ，点D 在半径OC 上的射影为E.若AB ＝3AD ，求CEEO的值．解：设圆的半径为R ，则AD ＝AB 3＝23R ，OD ＝R －23R ＝13R.又OD 2＝OE·OC，所以OE ＝OD 2OC＝19R ，CE ＝R －19R ＝89R ，所以CEEO＝8.3. 如图，AB 为圆O 的直径，PA 为圆O 的切线，PB 与圆O 相交于D.若PA ＝3，PD ∶DB ＝9∶16，分别求PD 、AB 的值．解：由PD∶DB＝9∶16，可设PD ＝9x ，DB ＝16x.因为PA 为圆O 的切线，所以PA 2＝PD·PB，所以32＝9x·(9x＋16x)，化为x 2＝125，所以x ＝15.所以PD ＝9x ＝95，PB ＝25x ＝5.因为AB 为圆O 的直径，PA 为圆O 的切线，所以AB⊥PA.所以AB ＝PB 2－PA 2＝52－32＝4.4. (xx·苏北三市期末)如图，锐角△ABC 的内心为D ，过点A 作直线BD 的垂线，垂足为F ，点E 为内切圆D 与边AC 的切点．若∠C＝50°，求∠DEF 的度数．解：由圆D 与边AC 相切于点E ，得∠AED＝90°.因为DF⊥AF，得∠AFD＝90°，所以A 、D 、F 、E 四点共圆， 所以∠DEF＝∠DAF.又∠ADF＝∠ABD＋∠BAD＝12(∠ABC＋∠BAC)＝12(180°－∠C)＝90°－12∠C ，所以∠DEF＝∠DAF＝90°－∠ADF＝12∠C.由∠C＝50°，得∠DEF＝25°.5. 自圆O 外一点P 引切线与圆切于点A ，M 为PA 的中点，过M 引割线交圆于B 、C 两点．求证：∠MCP＝∠MPB.证明：∵ PA 与圆相切于A ，∴ MA 2＝MB·MC.又M 为PA 的中点，∴ PM ＝MA ，∴ PM 2＝MB·MC，∴ PM MC ＝MB PM.∵ ∠BMP ＝∠PMC，∴ △BMP ∽△PMC ，∴ ∠MCP ＝∠MPB.6. (xx·镇江期末)如图，已知AB 是圆O 的直径，圆O 交BC 于点D ，过点D 作圆O 的切线DE 交AC 于点E ，且DE⊥AC.求证：AC ＝2OD.证明：∵ DE 是圆O 的切线，∴ OD ⊥DE. 又DE⊥AC，∴ OD ∥AC.∵ O 是AB 的中点，∴ OD 是△ABC 的中位线，∴ OD ＝12AC ，即AC ＝2OD.7. (xx·南京、盐城一模)如图，△ABC 为圆的内接三角形，AB ＝AC ，BD 为圆的弦，且BD∥AC.过点A 作圆的切线与DB 的延长线交于点E ，AD 与BC 交于点F.(1) 求证：四边形ACBE 为平行四边形； (2) 若AE ＝6，BD ＝5，求线段CF 的长．(1) 证明：因为AE 与圆相切于点A ， 所以∠BAE＝∠ACB.因为AB ＝AC ，所以∠ABC＝∠ACB. 所以∠ABC＝∠BAE.所以AE∥BC.因为BD∥AC ，所以四边形ACBE 为平行四边形．(2) 解：因为AE 与圆相切于点A ，所以AE 2＝EB·(EB＋BD)，即62＝EB·(EB＋5)，解得BE ＝4.根据(1)有AC ＝BE ＝4，BC ＝AE ＝6.设CF ＝x ，由BD∥AC，得AC BD ＝CF BF ，即45＝x 6－x ，解得x ＝83，即CF ＝83.8. (xx·盐城二模)如图，AB 是圆O 的直径，点C 在圆O 上，延长BC 到D 使BC ＝CD ，过C 作圆O 的切线交AD 于E.若AB ＝10，ED ＝3，求BC 的长．解：∵ AB 是圆O 的直径且BC ＝CD ，∴ AB ＝AD ＝10. 连结CO ，∵ EC 为圆O 的切线，∴ EC ⊥CO. 记H 是AD 与圆O 的交点，连结BH ， ∴ EC ∥BH ，∴ HE ＝ED ＝3，∴ AH ＝4，∴ BD 2－62＝AB 2－42，∴ BD ＝230，∴ BC ＝30.9. 如图，AB 、CD 是圆的两条平行弦，BE ∥AC ，BE 交CD 于E 、交圆于F ，过A 点的切线交CD 的延长线于点P ，PC ＝ED ＝1，PA ＝2.(1) 求AC 的长； (2) 求证：BE ＝EF.(1) 解：∵ PA 2＝PC·PD，PA ＝2，PC ＝1，∴ PD ＝4. 又PC ＝ED ＝1，∴ CE ＝2.∵ ∠PAC ＝∠CBA，∠PCA ＝∠CAB，∴ △PAC ∽△CBA ，∴ PC AC ＝ACAB，∴ AC 2＝PC·AB＝2，∴ AC ＝ 2.(2) 证明：∵ BE＝AC ＝2，CE ＝2，而CE·ED＝BE·EF，∴ EF ＝2×12＝2，∴ EF＝BE.10. (xx·南京二模)已知圆O 的内接△ABC 中，D 为BC 上一点，且△ADC 为正三角形，点E 为BC 的延长线上一点，AE 为圆O 的切线，求证：CD 2＝BD·EC.证明：因为AE 为圆O 的切线，所以∠ABD＝∠CAE. 因为△ACD 为等边三角形，所以∠ADC＝∠ACD， 所以∠ADB＝∠ECA，所以△ABD∽△EAC.所以AD BD ＝ECCA，即AD·CA＝BD·EC.因为△ACD 为等边三角形， 所以AD ＝AC ＝CD ，所以CD 2＝BD·EC.11. 如图所示，AB 是圆O 的直径，G 为AB 延长线上的一点，GCD 是圆O 的割线，过点G 作AB 的垂线交AC 的延长线于点E 、交AD 的延长线于点F ，过G 作圆O 的切线，切点为H.求证：(1) C 、D 、F 、E 四点共圆；(2) GH 2＝GE·GF.证明：(1) 如图，连结BC.∵ AB 是圆O 的直径，∴ ∠ACB ＝90°. ∵ AG ⊥FG ，∴ ∠AGE ＝90°. 又∠EAG＝∠BAC， ∴ ∠ABC ＝∠AEG.又∠FDC＝∠ABC，∴ ∠FDC ＝∠AEG. ∴ ∠FDC ＋∠CEF＝180°. ∴ C 、D 、F 、E 四点共圆．(2) ∵ GH 为圆O 的切线，GCD 为割线，∴ GH 2＝GC·GD.由C 、D 、F 、E 四点共圆，得∠GCE＝∠AFE，∠GEC ＝∠GDF，∴ △GCE ∽△GFD.∴ GC GF ＝GEGD，即GC·GD＝GE·GF， ∴ GH 2＝GE·GF.$, 24558 5FEE 忮Z34381 864D 虍 29916 74DC 瓜30001 7531 由o35274 89CA 觊21071 524F 剏24196 5E84 庄36976 9070 遰。
高考数学一轮复习 几何证明选讲课件 湘教版选修4-1
4.(2013· 西安模拟)如图，在△ABC中，M、N分别是AB、BC的中点， AN、CM交于点O，那么△MON与△AOC面积的比是 .
【解析】∵M、N 分别是 AB、BC 中点，
1 故 MN= AC， 2
S MON MN 2 1 . ∴△MON∽△COA，∴ S MON AC 2 2
(3)相似三角形的性质 性质定理 ①相似三角形对应高的比、对应中 相似比 ； 线的比和对应角平分线的比都等于_______ 相似比 ； ②相似三角形周长的比等于________ 相似比的平方 ； ③相似三角形面积的比等于_______________ ④相似三角形外接圆(或内切圆)的直径比、周长 比等于相似比，外接圆(或内切圆)的面积比等于 相似比的平方 ． _______________
【解析】过点 D 作 DG∥AC 且交 BE 于点 G. 因为点 D 为 BC 的中点，所以 EC=2DG. 因为 AE=2CE，所以 从而
【答案】1∶4
5.如图，在△ABC 中，DE∥BC，EF∥CD，若 BC＝3，DE ＝2，DF ＝1，则 AB 的长为
【解析】 由 DE∥BC， EF∥CD， BC＝3，DE＝2. 又 DF＝1，故 AF＝2，∴AD＝3. 又 【答案】
9 2
AD 2 9 ，∴AB＝ . AB 3 2
AE AF DE AC AD BC
选修4-1 几何证明选讲
4-1.1 相似三角形的判定及 有关性质 4-1.2 直线与圆的位置关系
知识点
考纲下载
相似三角形
1．理解相似三角形的定义与性质，了解平行截割定 理． 2．会证明和应用直角三角形射影定理． 会证明和应用以下定理： 1．圆周角定理. 2．圆的切线的判定定理及性质定理. 3．相交弦定理. 4．圆内接四边形的性质定理与判定定理. 5．切割线定理.
高考数学总复习：选修4 1《几何证明选讲》1
逻辑不严密：在证明过 程中逻辑链条可能不严 密导致结论不成立或出 现漏洞。
忽视隐含条件：在几何 问题中有时会存在一些 隐含条件如果忽视这些 条件可能会导致证明过 程出错。
图形绘制错误：在解题 过程中如果图形绘制不 准确可能会导致证明过 程出现偏差或错误。
几何证明的拓展和提高
第五章
几何证明的进阶内容
掌握多种几何证明方法如反证法、归纳法等。 理解并运用各种几何定理和性质如相似三角形、余弦定理等。 提高逻辑推理能力能够根据已知条件进行合理的推断和证明。 培养空间想象能力能够理解并解决立体几何问题。
几何证明的数学思想
演绎推理：从 已知条件出发 按照严格的逻 辑规则推出结 论的思维方式。
归纳推理：从 大量具体事例 中概括出一般 原理的思维方
综合法：从已知条件出发经过推理逐步推导出结论的方法。 归纳法：从一些个别情况出发经过归纳总结出一般结论的方法。 反证法：通过否定结论来证明结论的方法。 演绎法：从一般到特殊的推理方法即从一般原理推导出特殊情况的结论。
几何证明的实践应用
第三章
几何证明在日常生活中的应用
建筑学：证明几何原理在建筑设计中的应用 物理学：解释物理现象和原理如力的合成与分解 计算机科学：算法设计和数据结构的基础 经济学：在决策分析和资源优化中的应用
常见题型：求 证题、证明题、
作图题等
几何证明的基本步骤
理解题意：明确题目给出的条件和 需要证明的结论
推导过程：按照证明方法逐步推导 得出结论
添加标题
添加标题
添加标题
添加标题
确定思路：根据题意和已知条件选 择合适的证明方法
检查结果：检查推导过程方案。
添加标题
几何证明在经济学中 的应用：在金融、统 计学、市场分析等领 域中几何证明可以用 来证明经济理论和模 型的正确性以及解释
高考数学一轮复习 几何证明选讲课件 文(选修4-1)
完整版ppt
10
4.直角三角形的射影定理 直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的 比例中项 ；两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边 的 比例中项 .
完整版ppt
11
问题探究2：射影定理的应用条件是什么？ 提示：必须在直角三角形内.
完整版ppt
12
5.圆周角定理 (1)圆周角定理：圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆 心角的 一半 . (2)圆心角定理：圆心角的度数等于 它所对弧的度数 . 推论1：同弧或等弧所对的圆周角 相等 ；同圆或等圆中， 相等的圆周角所对的弧也相等 . 推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是 直角 ；90°的圆周角 所对的弦是 直径 .
答案：A
完整版ppt
21
2．如图所示，已知圆 O 的直径 AB＝ 6，C 为圆 O 上一点， 且 BC＝ 2，过点 B 的圆 O 的切线交 AC 延长线于点 D，则 DA 等于( )
A．1 B．2 C. 6 D．3
完整版ppt
22
解析：∵AB 为直径，∴∠ACB＝90°，又 AB＝ 6，BC＝ 2， 得 AC＝2.BD 是圆 O 的切线，则 AB⊥BD，由射影定理得 BC2＝ AC·CD.故 CD＝1，所以 AD＝2＋1＝3.故选 D.
完整版ppt
9
(2)相似三角形的性质 性质定理：①相似三角形对应高的比、对应中线的比和对 应角平分线的比都等于 相似比 ； ②相似三角形周长的比等于 相似比 ； ③相似三角形面积的比等于 相似比的平方 ； ④相似三角形外接圆(或内切圆)的直径比、周长比等于相似 比，外接圆(或内切圆)的面积比等于 相似比的平方 .
完整版ppt
14
7.圆的切线的性质及判定定理
(1)性质 性质定理：圆的切线垂直于经过切点的 半径 . 推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必过切点 . 推论2：经过切点且垂直于切线的直线必过 圆心 .
高考数学一轮复习教学案：选修4-1几何证明选讲
2． 平行线分线段成比例定理 定理 三条平行线截两条直线，所得的 ________成比例．
推论 平行于三角形一边的直线截其他两边 ( 或两边的延长线 )所得的 ________成比例．
3． 相似三角形的判定及性质
(1)相似三角形的判定 定义 ______ 相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形．
相似三角形对应边的
比值叫做相似比 (或相似系数 )． 预备定理 平行于三角形一边的直线和其他两边
(或两边的延长线 )相交，所构成的三角
形与原三角形相似． 判定定理 1 对于任意两个三角形， 如果一个三角形的两个角与另一个三角形的 ______
对应相等，那么这两个三角形相似．简述为：两角对应相等，两三角形相似． 判定定理 2 对于任意两个三角形， 如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应
(1)B， C， D， E 四点共圆； (2)AB·AD＝ AC·AE.
一、平行线分线段成比例定理的应用
【例 1】 如图，在△ ABC 中， D 为 BC 中点， E 在 CA 上且 AE ＝2CE， AD ， BE 相交
于点
F
，求
AF FD
，
BF FE.
方法提炼 1．在解答与比例问题有关的题目时，可通过构造平行线，结合平行线分线段成比例定 理去证明． 2．作平行线的方法： (1) 利用中点作出中位线可得平行关系； (2)利用已知线段的比例关 系，作相关线段的平行线．解题中要注意观察图形特点，巧添辅助线，对解题可起到事半功 倍的效果． 提醒： 对于乘积式，有时需要转化为比例式，再借助于上述方法去解决． 请做演练巩固提升 3 二、射影定理的应用 【例 2】 如图，圆 O 的直径 AB＝ 10，弦 DE ⊥ AB，垂足为点 H ，且 AH＜ BH ，DH ＝ 4.
高中数学选修4-1《几何证明选讲》全套教案(55页)(经典)
一 平行线分线段成比例定理
教学目的： 1．使学生理解平行线分线段成比例定理及其初步证明； 2．使学生初步熟悉平行线分线段成比例定理的用途、用法； 3．通过定理的教学，培养学生的联想能力、概括能力。 教学重点：取得“猜想”的认识过程，以及论证思路的寻求过程。 教学难点：成比例的线段中，对应线段的确认。 教学用具：圆规、三角板、投影仪及投影胶片。 教学过程： （一）旧知识的复习 利用投影仪提出下列各题使学生解答。 1．求出下列各式中的 x：y。
（二）新知识的教学
1．提出问题，使学生思考。
在已学过的定理中，有没有包含过三角形一边的中点
与另一边平行的直线，必平分第三边，那么追问理由，如果答
不出，那么利用图 1（若 E 是 AB 中点，EF//BC，交 AC 于 F 点，
则 AF=FC）使学生观察，并予以分析而得出 AE AF 1 ， EB FC 1
已知：如图 6,AB=3,BC=5,DB=4.5，求 BF。
已知：如图 7,AB=3,BC=5,DF=10，求 DE。 已知：如图 8,AB=a，,BC=b，DF=c，求 EF。 5、例 2 讲解：(略） 分析：已知是给出了"上：下"的比的形式，而结论是求"上：全"，故考虑运用合
比性质。 三、小结：1、平行线分线段成比例定理的证明可通过平行线等分线段定理来证 明，平行线等分线段定理是平行线分线段成比例定理的特例； 2、在运用定理解题时，一定要注意“对应线段”，在确定左、右时，可以线段 的第一个端点来定左、右 四、作业
三条平行线 l1// l2 // l3 在直线 k1 、 k2 上截出线段 A1 A2 、 A2 A3 、 B1B2 、 B2 B3 ，如果
【师说系列】2021年高考数学三轮专题分项模拟 选修 系列选考质量检测试题 文（含解析）(1)
[选修4－1：几何证明选讲]一、填空题1．(2021·广东卷)如图，在矩形中ABCD 中，AB ＝3，BC ＝3，BE ⊥AC ，垂足为E ，那么ED ＝__________.解析：在Rt △ABC 中，AB ＝3，BC ＝3， ∴AC ＝32＋32＝23.∵AB2＝AE·AC， ∴AE ＝3223＝32.过E 作EF ⊥AD ，得：AEAC ＝EFCD. ∴3223＝EF 3，∴EF ＝34， 又∵EF ∥CD ，∴AFAD ＝AEAC，∴AF 3＝3223，∴AF ＝34. ∴FD ＝3－34＝94.在△EFD 中，DE ＝EF 2＋DF 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫342＋⎝ ⎛⎭⎪⎫942＝844＝212. 答案：2122．(2021·陕西卷)如图，AB 与CD 相交于点E ，过E 作BC 的平行线与AD 的延长线交于点P ，已知∠A ＝∠C ，PD ＝2DA ＝2，那么PE ＝__________. 解析：如图，∵PE ∥BC ， ∴∠PED ＝∠C ， 又∵∠A ＝∠C ，∴∠PED ＝∠A ， 又∵∠P 是公共角． ∴△PDE ∽△PEA.∴PEPA ＝PDPE ，∴PE2＝PA·PD＝3×2＝6. ∴PE ＝ 6. 答案：63．(2021·天津卷)如图，在圆内接梯形ABCD 中，AB ∥DC ，过点A 作圆的切线与CB 的延长线交于点E.假设AB ＝AD ＝5，BE ＝4，那么弦BD 的长为__________． 解析：∵AB ∥CD ，∴∠ABE ＝∠BCD ，∠2＝∠3， 又∵∠ABE ＝∠ADC ，∠1＝∠2， ∴∠ADC ＝∠BCD ， ∴BC ＝AD ＝5， 又AE 为切线，∴AE2＝EB·EC＝4×9＝36，∴AE ＝6. 又∠BAE ＝∠1，∠1＝∠2， ∴∠BAE ＝∠3，又∠DCB ＝∠ABE ， ∴△DCB ∽△ABE.∴DB AE ＝BC BE ，∴DB ＝6×54＝152. 答案：152二、解答题4．(2021·新课标全国卷Ⅰ)如图，直线AB 为圆的切线，切点为B ，点C 在圆上，∠ABC 的角平分线BE 交圆于点E ，DB 垂直BE 交圆于点D. (1)证明：DB ＝DC ； (2)设圆的半径为1，BC ＝3，延长CE 交AB 于点F ，求△BCF 外接圆的半径．解析：(1)连接DE ，交BC 为G ，由弦切角定理得，∠ABE ＝∠BCE ，BE ＝CE ，又因为DB ⊥BE ，因此DE 为直径，由勾股定理得DB ＝DC ，(2)由(1)，∠CDE ＝∠DBE ，DB ＝DC ，故DG 是BC 的中垂线，故BG ＝32，圆心为O ，连接BO ，那么∠BOG＝60°，∠ABE ＝∠BCE ＝∠CBE ＝30°，因此CF ⊥BF ，故外接圆半径为32.5．(2021·新课标全国卷Ⅱ)如图，CD 为△ABC 外接圆的切线，AB 的延长线交直线CD 于点D ，E ，F 别离为弦AB 与弦AC 上的点，且BC·AE＝DC·AF，B ，E ，F ，C 四点共圆． (1)证明：CA 是△ABC 外接圆的直径；(2)假设DB ＝BE ＝EA ，求过B ，E ，F ，C 四点的圆的面积与△ABC 外接圆面积的比值．解析：(1)因为CD 为△ABC 外接圆的切线，因此∠DCB ＝∠A ，由题设知BC FA ＝DCEA ，故△CDB ∽△AEF ，因此∠DBC＝∠EFA.因为B ，E ，F ，C 四点共圆，因此∠CFE ＝∠DBC ，故∠EFA ＝∠CFE ＝90°，因此∠CBA ＝90°，因此CA 是△ABC 外接圆的直径．(2)连结CF ，因为∠CBE ＝90°，因此过B ，E ，F ，C 四点的圆的直径为CE ，由DB ＝BE ，有CE ＝DC ，又BC2＝DB·BA＝2DB2，因此CA2＝4DB2＋BC2＝6DB2.而DC2＝DB·DA＝3DB2，故过B ，E ，F ，C 四点的圆的面积与△ABC 外接圆面积的比值为12.6．(2021·辽宁卷)如图，AB 为⊙O 直径，直线CD 与⊙O 相切于E ，AD 垂直CD 于D ，BC 垂直CD 于C ，EF 垂直AB 于F ，连接AE ，BE.证明： (1)∠FEB ＝∠CEB ； (2)EF2＝AD·BC.证明：(1)由直线CD 与⊙O 相切，得∠CEB ＝∠EAB. 由AB 为⊙O 的直径，得AE ⊥EB ，从而∠EAB ＋∠EBF ＝π2；又EF ⊥AB ，得∠FEB ＋∠EBF ＝π2，从而∠FEB ＝∠EAB.故∠FEB ＝∠CEB.(2)由BC ⊥CE ，EF ⊥AB ，∠FEB ＝∠CEB ，BE 是公共边， 得Rt △BCE ≌Rt △BFE ，因此BC ＝BF ， 类似可证：Rt △ADE ≌Rt △AFE ，得AD ＝AF. 又在Rt △AEB 中，EF ⊥AB ，故EF2＝AF·BF， 因此EF2＝AD·BC.[选修4－4：坐标系与参数方程] 一、填空题1．(2021·广东卷)已知曲线C 的极坐标方程ρ＝2cosθ，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴成立直角坐标系，那么曲线C 的参数方程为__________．解析：将极坐标化为直角坐标得：ρ2＝2ρ·cosθ. ∴x2＋y2＝2x ，即(x －1)2＋y2＝1. 令x －1＝cosθ，y ＝sinθ.得参数方程为：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cosθ，y ＝sinθ.答案：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cosθ，y ＝sinθ.2．(2021·湖南卷)在平面直角坐标系xOy 中，假设直线l1：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2s ＋1，y ＝s (s 为参数)和直线l2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝at ，y ＝2t －1(t为参数)平行，那么常数a 的值为__________．解析：利用消参法化l1，l2的方程为一样形式是：x －2y －2＝0,2x －ay －a ＝0，由l1∥l2可得－a －(－2)×2＝0，解得a ＝4. 答案：43．(2021·陕西卷)圆锥曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t2，y ＝2t ，(t 为参数)的核心坐标是__________．解析：化参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t2，y ＝2t 为一般方程为y2＝4x ，∴核心坐标为(1,0)． 答案：(1,0)4．直线⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2＋t y ＝－1－t (t 为参数)与曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cosαy ＝3sinα(α为参数)的交点个数为__________．解析：将直线化为一样方程为x ＋y －1＝0，曲线转化为一样方程为x2＋y2＝9，圆心(0,0)到直线的距离d ＝12＝22＜r ＝3，故直线与曲线的交点个数为2.答案：25．在直角坐标系xOy 中，已知曲线C1：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝t ＋1y ＝1－2t (t 为参数)与曲线C2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝asinθy ＝3cosθ(θ为参数，a ＞0)有一个公共点在x 轴上，那么a ＝__________.解析：曲线C1：y ＝3－2x 与x 轴的交点为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，此点也在曲线C2：x2a2＋y29＝1上，代入可得a ＝32.答案：326．已知抛物线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt2y ＝2pt (t 为参数)，其中p ＞0，核心为F ，准线为l.过抛物线上一点M 作l 的垂线，垂足为E.假设|EF|＝|MF|.点M 的横坐标为3，那么p ＝__________.解析：消参得抛物线方程为y2＝2px ， ∵|EF|＝|MF|＝|ME|，∴△MEF 为正三角形，那么|EM|＝2|DF|， 即3＋p2＝2p ，得p ＝2.答案：27．在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴成立极坐标系．已知射线θ＝π4与曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1y ＝t －12，(t 为参数)相交于A ，B 两点，那么线段AB 的中点的直角坐标为__________． 解析：曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝t －12化为直角坐标方程是y ＝(x －2)2，射线θ＝π4化为直角坐标方程是y ＝x(x≥0)．联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －22，y ＝x x≥0，消去y 得x2－5x ＋4＝0，解得x1＝1，x2＝4.因此y1＝1，y2＝4.故线段AB 的中点的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x1＋x22，y1＋y22，即⎝ ⎛⎭⎪⎫52，52. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫52，528．(坐标系与参数方程选做题)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C1与C2的参数方程别离为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ty ＝t(t 为参数)和⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cosθy ＝2sinθ(θ为参数)，那么曲线C1与C2的交点坐标为__________．解析：C1与C2的一般方程别离为：y ＝x 和x2＋y2＝2，联立方程解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，∴其交点为(1,1)．答案：(1,1)二、解答题9．(2021·新课标全国卷Ⅰ)已知曲线C1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋5cost ，y ＝5＋5sint ，(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴成立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝2sinθ. (1)把C1的参数方程化为极坐标方程； (2)求C1与C2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ≤2π)．解析：(1)因为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋5cost ，y ＝5＋5sint ，消去参数，得(x －4)2＋(y －5)2＝25即x2＋y2－8x －10y ＋16＝0，故C1极坐标方程为ρ2－8ρcosθ－10ρsinθ＋16＝0. (2)C2的一般方程为x2＋y2－2y ＝0，联立C1，C2得方程，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2，因此交点的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π2.10．(2021·新课标全国卷Ⅱ)已知动点P ，Q 都在曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cost ，y ＝2sint (t 为参数)上，对应参数别离为t ＝α与l ＝2α(0＜α＜2π)，M 为PQ 的中点． (1)求M 的轨迹的参数方程；(2)将M 到坐标原点的距离d 表示为α的函数，并判定M 的轨迹是不是过坐标原点．解析：(1)依题意有P(2cosα，2sinα)，Q(2cos2α，2sin2α)，因此M(cosα＋cosα，sinα＋sin2α)．M 的轨迹的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cosα＋cos2α，y ＝sinα＋sinα，(α为参数，0＜α＜2π)． (2)M 点到坐标原点的距离 d ＝x2＋y2＝2＋2cosα(0＜α＜2π)．当α＝π时，d ＝0，故M 的轨迹过坐标原点．11．(2021·辽宁卷)在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴成立极坐标系，圆C1，直线C2的极坐标方程别离为ρ＝4sinθ，ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2 2.(1)求C1与C2交点的极坐标；(2)设P 为C1的圆心，Q 为C1与C2交点连线的中点，已知直线PQ 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t3＋a ，y ＝b2t3＋1(t ∈R 为参数)，求a ，b 的值．解析：(1)圆C1的直角坐标方程为x2＋(y －2)2＝4， 直线C2的直角坐标方程为x ＋y －4＝0.解⎩⎪⎨⎪⎧ x2＋y －22＝4，x ＋y －4＝0.得⎩⎪⎨⎪⎧x1＝0，y1＝4.⎩⎪⎨⎪⎧x2＝2，y2＝2.因此C1与C2交点的极坐标别离为⎝ ⎛⎭⎪⎫4，π2，⎝⎛⎭⎪⎫22，π4.注：极坐标系下点的表示不唯一．(2)由(1)可得，P 点与Q 点的直角坐标别离为(0,2)，(1,3)． 故直线PQ 的直角坐标方程为x －y ＋2＝0， 由参数方程可得y ＝b 2x －ab2＋1，因此⎩⎪⎨⎪⎧b2＝1，－ab2＋1＝2，解得a ＝－1，b ＝2.12．在直角坐标系xOy 中，圆C1：x2＋y2＝4，圆C2：(x －2)2＋y2＝4.(1)在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，别离写出圆C1，C2的极坐标方程，并求出圆C1，C2的交点坐标(用极坐标表示)；(2)求圆C1与C2的公共弦的参数方程． 解析：(1)圆C1的极坐标方程为ρ＝2， 圆C2的极坐标方程为ρ＝4cosθ.解⎩⎪⎨⎪⎧ρ＝2ρ＝4cosθ得ρ＝2，θ＝±π3，故圆C1与圆C2交点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3，⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－π3.(2)方式一：由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcosθ，y ＝ρsinθ，得圆C1与C2交点的直线坐标别离为(1，3)，(1，－3)．故圆C1与C2的公共弦的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝t ，－3≤t≤ 3.⎝⎛⎭⎪⎪⎫或参数方程写成⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝y ，－3≤y≤3 方式二：将x ＝1代入⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcosθ，y ＝ρsinθ，得ρcosθ＝1，从而ρ＝1cosθ. 于是圆C1与C2的公共弦的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝tanθ，－π3≤θ≤π3. 13．在平面直角坐标系中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴成立极坐标系．已知直线l 上两点M ，N的极坐标别离为(2,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫233，π2，圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2cosθy ＝－3＋2sinθ(θ为参数)．(1)设P 为线段MN 的中点，求直线OP 的平面直角坐标方程； (2)判定直线l 与圆C 的位置关系．解析：(1)由题意知，M ，N 的平面直角坐标别离为(2,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，233.又P 为线段MN 的中点，从而点P 的平面直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1，33，故直线OP 的平面直角坐标方程为y ＝33x.(2)因为直线l 上两点M ，N 的平面直角坐标别离为(2,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，233，因此直线l 的平面直角坐标方程为3x ＋3y －23＝0.又圆C 的圆心坐标为(2，－3)，半径r ＝2， 圆心到直线l 的距离d ＝|23－33－23|3＋9＝32＜r ，故直线l 与圆C 相交． 14．已知曲线C1的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cosφy ＝3sinφ(φ为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴成立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是ρ＝2.正方形ABCD 的极点都在C2上，且A ，B ，C ，D 依逆时针顺序排列，点A的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3.(1)求点A ，B ，C ，D 的直角坐标；(2)设P 为C1上任意一点，求|PA|2＋|PB|2＋|PC|2＋|PD|2的取值范围． 解析：(1)由已知可得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos π3，2sin π3，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋π2，2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋π2，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋π，2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋π， D ⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋3π2，2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋3π2， 即A(1，3)，B(－3，1)，C(－1，－3)，D(3，1)．(2)设P(2cosφ，3sinφ)，令S ＝|PA|2＋|PB|2＋|PC|2＋|PD|2，那么S ＝16cos2φ＋36sin2φ＋16＝32＋20sin2φ. 因为0≤sin2φ≤1，因此S 的取值范围是[32,52]．[选修4－5：不等式选讲]一、填空题1．(2021·陕西卷)设a ，b ∈R ，|a －b|＞2，那么关于实数x 的不等式|x －a|＋|x －b|＞2的解集是__________． 解析：由数轴上两点间距离的几何意义，可知|x －a|＋|x －b|≥|a－b|＞2.∴不等式|x －a|＋|x －b|＞2的解集为(－∞，＋∞)．答案：(－∞，＋∞)2．假设存在实数x 使|x －a|＋|x －1|≤3成立，那么实数a 的取值范围是______________．解析：存在实数x 使不等式|x －a|＋|x －1|≤3成立，只要|x －a|＋|x －1|的最小值小于等于3即可，由于|x －a|＋|x －1|≥|(x－a)－(x －1)|＝|a －1|，故|a －1|≤3即可，解得－2≤a≤4.答案：－2≤a≤43．不等式|2x ＋1|－2|x －1|＞0的解集为__________．解析：令f(x)＝|2x ＋1|－2|x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧ －3，x≤－12，4x －1，－12＜x ＜1，3，x≥1.f(x)＝0的根为x ＝14，故不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪ x ＞14.答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＞14 二、解答题4．(2021·新课标全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝|2x －1|＋|2x ＋a|，g(x)＝x ＋3.(1)当a ＝－2时，求不等式f(x)＜g(x)的解集； (2)设a ＞－1，且当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－a 2，12时，f(x)≤g(x)，求a 的取值范围． 解析：当a ＝－2时，令y ＝|2x －1|＋|2x －2|－x －3＝⎩⎪⎨⎪⎧ －5x ，x ≤12，－x －2，12≤x≤1，3x －6，x ＞1做出函数图象可知，当x ∈(0,2)时，y ＜0，故原不等式的解集为{x|0＜x ＜2}； (2)依题意，原不等式化为1＋a≤x＋3，故x≥a－2对⎣⎢⎡⎭⎪⎫－a 2，12都成立，故－a 2≥a－2，故a≤43，故a 的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤－1，43. 5．(2021·新课标全国卷Ⅱ)设a ，b ，c 均为正数，且a ＋b ＋c ＝1.证明：(1)ab ＋bc ＋ca≤13； (2)a2b ＋b2c ＋c2a≥1. 证明：(1)由a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca，得a2＋b2＋c2≥ab＋bc ＋ca. 由题设得(a ＋b ＋c)2＝1，即a2＋b2＋c2＋2ab ＋2bc ＋2ca ＝1.因此3(ab ＋bc ＋ca)≤1，即ab ＋bc ＋ca≤13. (2)因为a2b ＋b≥2a，b2c ＋c≥2b，c2a＋a≥2c， 故a2b ＋b2c ＋c2a ＋(a ＋b ＋c)≥2(a＋b ＋c)，即a2b ＋b2c ＋c2a≥a＋b ＋c. 因此a2b ＋b2c ＋c2a≥1. 6．(2021·辽宁卷)已知函数f(x)＝|x －a|，其中a ＞1.(1)当a ＝2时，求不等式f(x)＝4－|x －4|的解集；(2)已知关于x 析不等式|f(2x ＋a)－2f(x)|≤2的解集为{x|1≤x≤2}，求a 的值．解析：(1)当a ＝2时，f(x)＋|x －4|＝⎩⎪⎨⎪⎧ －2x ＋6，x≤2，2，2＜x ＜4，2x －6，x≥4.当x≤2时，由f(x)≥4－|x －4|得－2x ＋6≥4，解得x≤1；当2＜x ＜4时，f(x)≥4－|x －4|无解；当x≥4时，由f(x)≥4－|x －4|得2x －6≥4，解得x≥5；因此f(x)≥4－|x －4|的解集为{x|x≤1或x≥5}．(2)记h(x)＝f(2x ＋a)－2f(x)，那么h(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧ －2a ，x≤0，4x －2a ，0＜x ＜a ，2a ，x≥a.由|h(x)|≤2，解得a －22≤x≤a ＋12. 又已知|h(x)|≤2的解集为{x|1≤x≤2}，因此⎩⎪⎨⎪⎧ a －12＝1，a ＋12＝2，于是a ＝3.7．已知函数f(x)＝m －|x －2|，m ∈R ，且f(x ＋2)≥0的解集为[－1,1]．(1)求m 的值；(2)假设a ，b ，c ∈R ，且1a ＋12b ＋13c＝m ，求证：a ＋2b ＋3c≥9. 解析：(1)因为f(x ＋2)＝m －|x|，f(x ＋2)≥0等价于|x|≤m，由|x|≤m 有解，得m≥0，且解集为{x|－m≤x≤m}．又f(x ＋2)≥0的解集为[－1,1]，故m ＝1.(2)由(1)知1a ＋12b ＋13c ＝1，又a ，b ，c ∈R ，由柯西不等式得a ＋2b ＋3c ＝(a ＋2b ＋3c)⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋12b ＋13c ≥⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a ·1a ＋2b ·12b ＋3c ·13c 2＝9.。
高考数学大一轮总复习 几何证明选讲 第二节 圆与直线、圆与四边形课件 文 北师大版选修4-1
2．圆的切线的判定和性质及弦切角定理 (1)切线的判定定理：经过半径的_外__端___并且__垂__直__于___这条半径的直
线是圆的切线。
(2)切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的_半__径___。 推论1：经过圆心且垂直于切线的直线经过__切__点___。 推论2：经过切点且垂直于切线的直线经过__圆__心____。 (3)切线长定理：过圆外一点作圆的两条切线，这两条切线长 _相__等___。 (4)弦切角定理：弦切角等于它所夹弧所对的___圆__周__角___；弦切角的度 数等于它所夹弧的度数的___一__半___。
(2)求线段AE的长。 【解】 解法一：连接BE，如图(1)所示，∠EAB＝60°＝∠CBA， 则Rt△ABE≌△Rt△BAC，所以AE＝BC＝3。
图(1)
图(2)
解法二：连接EC，OC，如图(2)所示，则由弦切角定理知，∠DCE＝ ∠ CAE ＝ 30° ， 又 ∠ DCA ＝ 60° ， 故 ∠ ECA ＝ 30° ， 又 因 为 ∠ CAB ＝ 30°，故∠ECA＝∠CAB，从而EC∥AO，
3题图 解析 由切割线定理，得PA2＝PC·PB。所以PC＝1。从而BC＝2，圆 O的半径R＝1，周长为2πR＝2π。
4．如图，AB、AC是⊙O的两条切线，切点分别为B、C，D是优弧上 的点，已知∠BAC＝80°，那么∠BDC＝_____5_0_°_。
4题图 解析 连接OB、OC，则OB⊥AB，OC⊥AC， ∴∠BOC＝180°－∠BAC＝100°。 ∴∠BDC＝∠BOC＝50°。
选修4－1 几何证明选讲
第二节 圆与直线、圆与四边形
基础知识 自主学习
热点命题 深度剖析
思想方法 感悟提升
最新考纲 1.会证明并应用圆周角定理、圆的切线的判定定理及性质 定理；2.会证明并应用相交弦定理、圆内接四边形的性质定理与判定定 理、切割线定理。
高考数学(全国通用)一轮总复习(文理科)配套课件：选修4-1 几何证明选讲 第一节
推论
平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.
选修4-1
第一节 相似三角形的判定及有关性质
主主干干知知识识回回顾顾
名师考点精讲
-5-
2.相似三角形的判定与性质
(1)相似三角形的判定定理
定理 内容
预备定 理
平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交,所构成的三角形与原三角形相似.
-14-
平行线分线段成比例定理的应用及解法 (1)直接计算或证明:先观察平行线组,再确定所截直线,进而确定比例线段以及比例式,注意合分比性质的应 用; (2)需要添加辅助线的计算或证明:辅助线一般是作平行线,要结合条件构造平行线组,再利用平行线分线段 成比例定理以及推论转化为比例式.
选修4-1
第一节 相似三角形的判定及有关性质
判定定 对于任意两个三角形,如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例,那么这两个三角形相似.简述为: 理 3 三边 对应成比例,两三角形相似.
(2)直角三角形相似的判定定理
定理
内容
判定定理 1
如果两个直角三角形有一个锐角对应相等,那么它们相似.
判定定理 2 判定定理 3
如果两个直角三角形的两条直角边对应成比例,那么它们相似.
=
������������ ������������
=
������������������������,
∴������������
������������
+
������������������������=1,
∴12������������1×������������
+
1
12������������������������
高考数学(文)一轮总复习课件：选修4-1几何证明选讲
2
4 长为 ．
3
32 解析：∵AF·BF＝EF·CF，解得 CF＝2，∴ ＝ ，即
4 BD
8 BD＝ .设 CD＝x，AD＝4x，∵BD2＝AD·CD，∴4x2
3
64
4
＝ ，即 x＝ .
9
3
题型分类 ·典例研析 题型1 ·相似三角形的判定及性质
(4)错误．弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角， 所夹的弧的度数等于该弧所对圆心角的度数，∴弦切 角所夹弧的度数等于弦切角度数的 2 倍．
(5)错误．三角形一定有外接圆，任意一个四边形 不一定有外接圆．
AD 2、如图，D，E 分别是△ABC 的边 AB，AC 上的点，DE∥BC 且DB
4 ＝2，那么△ADE 与四边形 DBCE 的面积比是 5．
基础梳理 1. 平行截割定理
(1)平行线等分线段定理及其推论： ①定理：如果一组 平行线 在一条直线上截得的线段 相等，那么 在其他直线上截得的线段也 相等． ②推论： a. 经过三角形一边的 中点 与另一边平行的直线必 平分 第三 边； b. 经过梯形一腰的 中点，且与底边平行的直线 平分 另一腰．
3. 直角三角形的射影定理
直角三角形斜边上的高是 两直角边 在斜边上射影的 比例中项；两直角边分别是它们在 斜边上射影与 斜边 的 比例中项．
4. 圆中有关的定理
(1)圆周角定理：圆周角的度数等于其所对弧的度数的 一半. (2)圆心角定理：圆心角的度数等于它所对弧的度数． (3)切线的判定与性质定理： ①切线的判定定理：过半径外端且与这条半径 垂直 的直线是圆的切线； ②切线的性质定理：圆的切线 垂直 于经过切点的半径．
最新-创新大课堂2021届高三数学文一轮复习课件：选修4-1 几何证明选讲 1节 精品
[解析]Βιβλιοθήκη AABE∥ ＝EEMD ∥DC⇒E 为 AD 中点，M 为 BC 的中点．
又 EF∥BC⇒EF＝MC＝12 cm，∴BC＝2MC＝24 cm.
[答案] 24
【考向互动探究】 考点一 平行线截割定理及应用 【例 1】 如图△ABC 中，D 为 BC 的中点，E 在 CA 上 且 AE＝2CE，AD，BE 交于 F，则FADF＝________，BEFF＝________.
选修4－1 几何证明(选讲) 第1节 相似三角形的判定及有关性质
◆考纲·了然于胸◆
1．了解平行线截割定理． 2．会证明并应用直角三角形射影定理．
【考点自主回扣】
[要点梳理] 1．平行线截割定理及应用 (1)平行线等分线段定理 如果一组平行线在一条直线上截得的线段__相__等__，那么在 其他直线上截得的线段__也__相__等__．
[方法点睛] 射影定理是直角三角形中的一个重要结论， 其实质就是三角形的相似．要注意对于直角三角形射影定理一 定成立，但满足该结论的三角形不一定是直角三角形，所以要 搞清楚定理中的条件和结论之间的关系，不能乱用．
即时突破 如图，在直角梯形 ABCD 中，上底 AD＝ 3， 下底 BC＝3 3，与两底垂直的腰 AB＝6，在 AB 上选取一点 P， 使△PAD 和△PBC 相似，则这样的点 P 有______________个．
对应线段都成比例；④相似三角形的内切圆的半径之比等于相
似比．
其中正确的是( )
A．①②
B．②③
C．③④