数的整除知识点总结

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整除知识点总结与练习

整除知识点总结与练习一、整除的定义整除是指对于两个整数a和b，如果a能够被b整除，即a除以b的结果是一个整数，则称a能够被b整除，记作b|a。

其中a称为被除数，b称为除数，整数的除法结果称为商。

例如，6÷3=2，6除以3的结果是2，因此6能够被3整除，即3|6。

整除的定义表明了整除的两个基本特点：1. 整数a能够被整数b整除的定义是a÷b的结果是一个整数。

2. 整除的概念是具有传递性的，即如果a能够被b整除，b能够被c整除，则a能够被c整除。

二、整除的判定在计算整除时，通常需要用到整除的判定方法。

整除的判定方法主要有以下几种：1. 除法判定法：即直接计算被除数除以除数的结果是否为整数。

2. 因数判定法：利用被除数和除数的因数来判断整除关系。

3. 余数判定法：如果a能够被b整除，那么a÷b的余数为0。

4. 分解质因数判定法：将被除数和除数分解质因数，如果被除数分解后能够完全包含除数分解质因数的情况，那么a能够被b整除。

下面通过一些实例来说明整除的判定方法：例1：判断24能否被6整除？方法一：除法判定法，直接计算24÷6=4，结果为整数，因此24能够被6整除。

方法二：因数判定法，24的因数包括1、2、3、4、6、8、12，其中6是24的因数，因此24能够被6整除。

方法三：余数判定法，24÷6=4余0，余数为0，因此24能够被6整除。

方法四：分解质因数判定法，24=2³×3，6=2×3，24的分解质因数包含6的分解质因数，因此24能够被6整除。

综上所述，24能够被6整除。

例2：判断35能否被5整除？方法一：除法判定法，35÷5=7，结果为整数，因此35能够被5整除。

方法二：因数判定法，35的因数包括1、5、7、35，其中5是35的因数，因此35能够被5整除。

方法三：余数判定法，35÷5=7余0，余数为0，因此35能够被5整除。

数的整除知识点总结

数的整除知识点总结数的整除是数论中的一个基本概念，也是初等数学中的重要内容。

它与因数、倍数和约数等概念密切相关，对于解题和推理都有着重要的作用。

下面将对数的整除进行详细总结。

一、定义：如果整数a能够被整数b整除，即a/b是整数，那么称a是b的倍数，b是a的因数。

可以用数学表达式a=b*k来表示，其中k是整数。

二、性质：1.任何一个整数都是它自身的倍数，也是它自身的因数，即a是a的倍数，a是a的因数。

2.任何一个正整数都是1的倍数，即对于任何整数a，都有a是1的倍数。

3.任何一个整数都是它自身的因数，即对于任何整数a，都有a是a的因数。

4.如果a是b的倍数，b是c的倍数，那么a也是c的倍数，即若a是b的倍数且b是c的倍数，则a是c的倍数。

5.如果a是b的倍数，b是a的倍数，那么a和b是互为倍数，即a是b的倍数且b是a的倍数，则a和b互为倍数。

6.如果a是b的因数，b是c的因数，那么a也是c的因数，即若a是b的因数且b是c的因数，则a是c的因数。

三、判断一个数能否整除另一个数的方法：1.因式分解法：将被除数和除数都分解成质因数的乘积形式，然后进行比较。

如果被除数的质因数包含除数的质因数，并且对应质因数的指数均大于等于相应的质因数的指数，则被除数能够整除除数。

2.试商法：用除数去除被除数，如果商是整数且余数为0，则被除数能够整除除数，否则不能整除。

四、整除的性质：1.整除关系具有传递性，即如果a能够整除b，b能够整除c，则a 能够整除c。

2.整除关系具有反对称性，即如果a能够整除b，b能够整除a，则a 和b相等或互为相反数。

3.整除关系具有自反性，即任何一个数都能整除它本身。

4.整除关系具有非传递性，即如果a能够整除b，b能够整除c，但a 不能整除c。

例如：2能整除4，4能整除8，但2不能整除8五、整数的混合运算与整除的关系：1.若a整除b，b整除c，则a整除c。

2. 若a整除b，b整除c，则a整除bc。

数的整除整除、因数和倍数

1 / 7第四讲数的整除整除、因数和倍数【知识点】一、整除的意义1、零和正整数统称为自然数。

正整数、零、负整数统称为整数。

2. 整数a 除以整数b ，如果除得的商是整数而余数为零，我们就说a 能被b 整除，或者说b 能整除a 。

用式子表示:如果 a ÷b=c(其中a 、b ，c 都为整数)称a 能被b 整除或b 能整除a 。

（区分两种表述）3. 整除的条件:1）除数，被除数都为整数2）被除数除以除数，商是整数而且余数为零。

二、因数和倍数1. 整数a 被整数b 整除,a 叫b 的倍数,b 叫a 的因数(也称为约数)2.注意：只有在整除的条件下，才有因数和倍数的概念。

倍数和因数是相互依存的，不能单独存在，这里包含两层意思：第一，讲倍数和因数时，只能说谁是谁的倍数，或者谁是谁的因数，不能说谁是倍数，谁是因数。

第二，两个整数存在倍数和因数关系是相互，如果a 是b 的倍数，那么b 一定是a 的因数。

一个数的因数的个数是有限的，一个数的最小的因数是1，最大的因数是它本身。

3.求一个数的因数的方法（1）.列乘法运算：根据因数的意义，有序的写出某数的所有两个数乘积的乘法算式，乘法算式中的因数就是该数的因数。

（2）.列除法运算：用此数除以任意数，所得商是整数且没有余数，这些除数和商都是该数的因数。

4.求一个数的倍数的方法求一个数的倍数，就是用这个数，依次与非零自然数相乘，所得之数就是这个数的倍数。

三、奇数和偶数1.整数中能被2整除的整数叫做偶数（2k），余下的整数都是奇数[（2k+1）或（2k-1）]2.奇数＋奇数＝偶数偶数＋偶数＝偶数奇数＋偶数＝奇数奇数－奇数＝偶数偶数－偶数＝偶数奇数－偶数＝奇数奇数×奇数＝奇数偶数×偶数＝偶数奇数×偶数＝偶数3. 能被2整除的数的特征：个位上的数是0，2，4，6，8能被5整除的数的特征：个位上的数是0，5能被10整除（既能被2整除又能被5整除）的数的特征：个位上的数是0能被3整除的数的特征：各位上的数字的和能被3整除能被9整除的数的特征：各位上的数字的和能被9整除【典型例题】2 / 73 / 7 一、整除例1. 什么是整数？什么是自然数？在8，－10，0，0.25，－50，73，100，－8.5中，正整数有，自然数有，整数有例2.最小的自然数是思考：非负整数，如小于3的非负整数有例 3.下列各组数中，第一个数能被第二个数整除的是 __________________________，第二个数能整除第一个数的是12和24；39和13；54和27；46和4；17和51；84和7例4. 12÷3=4，那么能被整除；能整除例5：小明认为2.5能被5整除。

数的整除知识点总结

一. 数的分类第一种分法 : 树状图韦恩图整数第二种分法整数第三种分法：正整数一些关于数的结论:1.0是最小的自然数,-1是最大的负整数,1是最小的正整数2.没有最大的整数,没有最小的负整数,没有最大的正整数3.正整数、负整数、整数的个数都是无限的二．整除1.整除定义（概念）：整数a 除以整数b ，如果除得的商是整数而余数为零，我们就说a 能被b 整除；或者说b 能整除a注意点：一定要看清楚谁被谁整除或谁整除谁，这里的a 相当于被除数，b 相当于除数2.整除的条件：1.除数、被除数都是整数2.被除数除以除数，商是整数而且余数为零注意点：区分整除与除尽：整除是特殊的除尽（如正方形是特殊的长方形一样），即a 能被b 整除,则a 一定能被b 除尽，反之则不一定（即a 能被b 除尽，则a 不一定能被b 整除）。

如4÷2=2, 4既能被2除尽，也能被2整除；4÷5=0.8, 4能被5除尽，却不能说4能被5整除三．因数与倍数1.因数与倍数的定义：整数a能被整数b整除，a 就叫做b的倍数，b就叫做a的因数（约数）。

注意点：1.因数和倍数是相互依存的，不能简单的说某个数是因数，某个数是倍数。

如： 6÷3=2，不能说6是倍数，3是因数；要说6是3的倍数，3是6的因数。

2.因数与倍数是建立在整除的基础上的，所以如4÷0.2=20，一般是不说4是0.2的倍数，0.2是4的因数。

2.因数与倍数的特点：一个整数的因数中最小的因数是1，最大的因数是它本身。

一个数的倍数中最小的倍数是这个数本身，没有最大的倍数。

因数的个数是有限的，都能一一列举出来，倍数的个数是无限的。

3.求一个数因数的方法：利用积与因数的关系一对一对找，找出哪两个数的乘积等于这个数，那么这两个数就是这个数的因数。

如16=1×16=2×8=4×4，那么16的因数就有1、2、4、8、16，计算时一定不要忘了1和这个数本身都是它的因数，注意按照一定的顺序以防遗漏。

数的整除知识点总结数的整除知识整理

数的整除知识点总结数的整除知识整理数的整除知识点总结如下：1. 除数和被除数：一个数被另一个数整除时，被除数称为整数，除数称为除数。

2. 整除关系：如果一个数a能被另一个数b整除，即a ÷ b = c，则称a能被b整除，或者说b能整除a，记作b｜a。

3. 余数：当一个数a被另一个数b整除时，如果除完后还有剩余部分，即a ÷ b = c 余 r（0 ≤ r < |b|），则r称为数a除以b的余数。

4. 因数：对于一个数a，如果存在一个数b，使得b能整除a，即a = b × c，则称b 是a的因数，c是a的倍数。

a的因数包括1和a本身。

5.倍数：对于一个数a，如果存在一个数b，使得a能整除b，即b = a × c，则称b 是a的倍数，c是a的因数。

a的倍数包括0和任意正负整数。

6.公约数：对于两个数a和b，如果存在一个数c，既能整除a又能整除b，即c｜a 且c｜b，则称c是a和b的公约数。

7.最大公约数：对于两个数a和b的公约数中，最大的一个公约数称为a和b的最大公约数，记作gcd(a, b)。

8.最小公倍数：对于两个数a和b的公倍数中，最小的一个公倍数称为a和b的最小公倍数，记作lcm(a, b)。

9.质数：一个大于1的自然数，除了1和它本身外，无法被其他自然数整除的数称为质数。

质数只有两个因数，即1和该数本身。

10.合数：一个自然数，除了1和它本身外，还有其他因数的数称为合数。

合数有多个因数。

11.互质：两个数的最大公约数为1时，称这两个数互质。

12.互质数性质：互质数的乘积等于它们的最小公倍数。

13.素数分解：将一个合数分解成质数的乘积的过程，这个过程叫做素数分解。

这些是数的整除的基本知识点。

数的整除知识点

数的整除知识点数的整除问题，容丰富，思维技巧性强。

它是小学数学中的重要课题，也是小学数学竞赛命题的容之一。

数的整除1.整除——因数和倍数例如：15÷3=5，63÷7=9一般地，如a、b、c为整数，b≠0，且a÷b=c，即整数a除以整除b（b不等于0），除得的商c正好是整数而没有余数（或者说余数是0），我们就说，a能被b整除（或者说b能整除a）。

记作b｜a.如果整数a能被整数b整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a 的因数。

例如：在上面算式中，15是3的倍数，3是15的因数；63是7的倍数，7是63的因数。

2.数的整除性质性质1：如果a、b都能被c整除，那么它们的和与差也能被c 整除。

即：如果c｜a，c｜b，那么c｜（a±b）。

例如：如果2｜10，2｜6，那么2｜（10＋6），并且2｜（10—6）。

性质2：如果b与c的积能整除a，那么b与c都能整除a.即：如果bc｜a，那么b｜a，c｜a。

性质3：如果b、c都能整除a，且b和c互质，那么b与c 的积能整除a。

即：如果b｜a，c｜a，且（b，c）=1，那么bc｜a。

例如：如果2｜28，7｜28，且（2，7）=1,那么（2×7）｜28。

性质4：如果c能整除b，b能整除a，那么c能整除a。

即：如果c｜b，b｜a，那么c｜a。

例如：如果3｜9，9｜27，那么3｜27。

3.数的整除特征①能被2整除的数的特征：个位数字是0、2、4、6、8的整数.“特征”包含两方面的意义：一方面，个位数字是偶数（包括0）的整数，必能被2整除；另一方面，能被2整除的数，其个位数字只能是偶数（包括0）.下面“特征”含义相似。

②能被5整除的数的特征：个位是0或5。

③能被3（或9）整除的数的特征：各个数位数字之和能被3（或9）整除。

④能被4（或25）整除的数的特征：末两位数能被4（或25）整除。

例如：1864=1800＋64，因为100是4与25的倍数，所以1800是4与25的倍数.又因为4｜64，所以1864能被4整除.但因为2564，所以1864不能被25整除.⑤能被8（或125）整除的数的特征：末三位数能被8（或125）整除。

数的整除知识点整理

数的整除知识点整理
一、基本概念和符号：
1、整除：如果一个整数a，除以一个自然数b，得到一个整数商c，而且没有余数，那么叫做a能被b整除或b能整除a，记作b|a。

2、常用符号：整除符号“|”，不能整除符号“ ”；因为符号“∵”，所以的符号“∴”；
二、整除判断方法：
1.能被2、5整除：末位上的数字能被2、5整除。

2.能被4、25整除：末两位的数字所组成的数能被4、25整除。

3.能被8、125整除：末三位的数字所组成的数能被8、125整除。

4.能被3、9整除：各个数位上数字的和能被3、9整除。

5.能被7整除：
①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成数之差能被7整除。

②逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的2倍后能被7整除。

6.能被11整除：
①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差能被11整除。

②奇数位上的数字和与偶数位数的数字和的差能被11整除。

③逐次去掉最后一位数字并减去末位数字后能被11整除。

7.能被13整除：
①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差能被13整除。

②逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的9倍后能被13整除。

三、整除的性质：
1.如果a、b能被c整除，那么（a+b）与（a-b）也能被c整除。

2.如果a能被b整除，c是整数，那么a乘以c也能被b整除。

3.如果a能被b整除，b又能被c整除，那么a也能被c整除。

4.如果a能被b、c整除，那么a也能被b和c的最小公倍数整除。

整除重点知识点总结

整除重点知识点总结一、整除的概念1. 整除的定义：如果一个整数a除另一个整数b（且b≠0）的商仍为整数，那么我们说a 能被b整除，记作b|a。

即$a\%b=0$2. 被除数、除数、商、余数：（1）被除数：被除数是指被除数的整数（2）除数：除数是指除数的整数（3）商：商是指商的整数（4）余数：当被除数能被除数整除时，商为整数，余数为零当被除数不能被除数整除时，商不为整数，余数不为零二、整除的性质1. 0的整除性：0是任何整数的倍数。

2. 正整数的整除性：（1）整数c能被整数a、b整数：若c既能被a整数，又能被b整数，则c能被a，b的最小交集整数整除。

（2）整除的传递性：若a能被b整数，b能被c整数，则a能被c整数。

3. 负整数的整除性：（1）整数c能被整数a整数：若c能被a整数，c能被-a、-b整数。

（2）整除的传递性：若a能被b整数，b能被c整数，则a能被c整数。

三、整除的判断方法1. 用倍数表示：若整数a能被整数b整数，则整数a是整数b的倍数（倍数是指数字b 的n倍，n是整数）。

2. 用因数表示：若整数a能被整数b整数，则整数a是整数b的因数（因数是指a能被整数b整数）。

3. 用除法表示：若整数a能被整数b整数，则整数a÷整数b=商。

若商是整数，则整数a 能被整数b整数。

四、整除的应用1. 整数的奇偶性判断：一个数能够被2整数，称为偶数；一个数不能被2整数，称为奇数。

2. 整数的哪些整除：（1）整数判断：整数5能被整数2整数，因为5÷2=2余1；整数3不能被整数2整数，因为3÷2=1余1。

（2）一元一次方程：整数代表数的值，整除代表数的比值。

五、整除的解题方法1. 整除的运算规则：整除的加减乘除法规则。

2. 整数的乘法和除法：整数的乘法、整数的除法。

3. 整数的乘法和除法法则：整数的乘法、整数的除法法则。

4. 整数的乘法和除法法则：整数的乘法、整数的除法法则。

解整分是整数中的一个重要知识点，通过综合上述知识点的学习，我们可以更好地应用整除知识解决实际问题，提高数学解题的能力。

中考数学整除知识点总结

中考数学整除知识点总结一、整除的定义在中学数学中，我们把两个整数a和b(a≠0)满足条件a÷b = c（c是整数），就称a能被b 整除，b能整除a，记作b | a。

另外，任意整数都能被1整除，0不能被任何数整除。

二、整除的性质1. 如果a能被b整除，b能被c整除，那么a能被c整除。

2. 如果a能被b整除，且b能被c整除，那么a能被c整除。

3. 如果a能被b整除，b≠0，那么a和b的绝对值之差能被b整除。

4. 如果a能被m整除，b能被m整除，那么a ± b（a和b同号）也能被m整除。

5. 如果a能够被b整除，而b不等于0，那么a的倍数中也能被b整除。

三、整除的运算1. 整除与乘法运算如果a能被b整除，且c≠0，那么a×c能被b×c整除。

2. 整除与除法运算如果a能被b整除，且c≠0，那么a÷c能被b÷c整除。

四、整除定理1. 整除定理一如果整数a能被整数b整除，那么a必能被b的所有因数整除。

2. 整除定理二如果整数a和b均为非零整数，则a能被b整除的充分必要条件是当且仅当b的所有质因数都是a的质因数时a能被b整除。

五、奇数与偶数整除的性质在奇数和偶数之间也有一些特殊的表现。

奇数与奇数相乘或相加、偶数与偶数相乘或相加、奇数与偶数相乘或相加，分析后都是奇数，而偶数与偶数相除或奇数与偶数相除就一定是偶数。

六、整除在数论中的应用整除在数论中有着非常重要的应用，比如素数、最大公因数和最小公倍数等问题都是基于整除概念来研究的。

（1）素数素数就是只能被1和自身整除的自然数，素数是数论中的基本概念。

（2）最大公因数最大公因数是指有多个数的一个共同因子中最大的一个数，它是整除概念在数论中的一个重要应用。

（3）最小公倍数最小公倍数是指一个自然数所有公倍数中，除1之外最小的一个数。

整除是数学中一个基础而又重要的概念，它贯穿于整个数学学科，涉及到了很多数学问题的解答。

数的整除知识点总结

数的整除知识点总结一、整除的概念。

1. 定义。

- 在整数除法中，如果商是整数而没有余数，我们就说被除数能被除数整除，或者说除数能整除被除数。

例如，15÷3 = 5，我们就说15能被3整除，或者说3能整除15。

2. 整除的表示方法。

- 若整数a除以非零整数b，商为整数，且余数为零，我们就说a能被b整除（或说b能整除a），记作ba。

二、数的整除特征。

1. 能被2整除的数的特征。

- 个位数字是0、2、4、6、8的整数能被2整除。

例如12、34、560等都能被2整除。

2. 能被3整除的数的特征。

- 一个数各位数字之和能被3整除，这个数就能被3整除。

例如123，各位数字之和为1 + 2+3 = 6，6能被3整除，所以123能被3整除。

3. 能被5整除的数的特征。

- 个位数字是0或5的整数能被5整除。

如10、15、205等都能被5整除。

4. 能被9整除的数的特征。

- 一个数各位数字之和能被9整除，这个数就能被9整除。

例如279，各位数字之和为2+7 + 9=18，18能被9整除，所以279能被9整除。

5. 能被11整除的数的特征。

- 把一个数由右边向左边数，将奇位上的数字与偶位上的数字分别加起来，再求它们的差，如果这个差是11的倍数（包括0），那么原来这个数就一定能被11整除。

例如132，奇位数字之和为1+2 = 3，偶位数字是3，它们的差为0，0是11的倍数，所以132能被11整除。

三、整除的性质。

1. 传递性。

- 如果ab且bc，那么ac。

例如，如果3能整除6，6能整除18，那么3能整除18。

2. 可加性。

- 如果ab且ac，那么a(b + c)。

例如，5能整除10，5能整除15，那么5能整除10 + 15=25。

3. 可减性。

- 如果ab且ac，那么a(b - c)。

例如，7能整除21，7能整除14，那么7能整除21-14 = 7。

数学整除知识点总结

数学整除知识点总结一、整除的基本概念1.1 整数的定义首先，我们需要了解一下整数的概念。

在数学中，整数是指包括正整数、负整数和零在内的所有整数，用…，-3，-2，-1，0，1，2，3，…来表示。

整数是一个非常宽泛的概念，其中包含了无穷尽的实数，因此整数之间的关系也有着非常复杂的性质。

1.2 整除的定义在整数之间，如果存在一个整数a，使得另一个整数b能够被a整除，那么我们就说a能够整除b，记作a|b。

即如果存在一个整数c，使得b=ac，那么我们就说a能够整除b。

此时，a称为除数，b称为被除数，c称为商。

另外，如果a不等于0，且存在一个整数c，使得b=ac，那么我们就说a能够整除b；如果a等于0，那么b等于0时，我们也说a能够整除b。

1.3 整数除法整数除法是整除概念的具体实现。

在整数除法中，我们需要用到除数、被除数、商以及余数等概念。

具体来说，对于整数a、b（a≠0）、r，如果整数b能够被整数a整除，即a|b，那么一定存在整数q使得b=aq；此时q称为商，r称为余数，并且0≤r<|a|。

1.4 整数的倍数我们知道，整数之间是存在整数除法的，一个整数能够整除另一个整数，那么它们之间是具有一定倍数关系的。

在数学中，如果一个整数a能够整除另一个整数b，也就是a|b，那么我们就说b是a的倍数，a是b的因数。

1.5 整除的运算规律在整数之间的整除运算中，有一些规律是需要引起我们的注意的。

首先，对于任意整数a，0能够整除a；其次，任意整数a，a都能够整除自己，即a能够整除a，且a|a。

以上就是整除的基本概念及其相关内容。

从这些内容中我们可以看到，整除是一个非常基础的概念，但是它对于数学的发展和应用有着非常重要的作用。

下面我们就来具体讨论一下整除的性质。

二、整除的性质整除的性质是整数之间的一种特殊关系，它具有一些特殊的性质。

下面我们将介绍一下整除的性质。

2.1 整数的连通性一个整数a能够整除另一个整数b，那么我们可以得到一个推论：对于任意整数a、b、c （a、b、c≠0），如果a能够整除b，b能够整除c，那么a一定能够整除c。

数的整除与倍数知识点总结

数的整除与倍数知识点总结整数运算是我们数学学习的基础，其中数的整除与倍数是重要的概念。

理解和掌握数的整除与倍数的概念和运算规律，对于解决数学问题和提高计算能力具有重要意义。

本文将重点总结数的整除和倍数的相关知识点，帮助读者加深对这一概念的理解。

一、数的整除1. 定义：对于整数a和b，如果存在整数q使得a = b × q，则称a能整除b，记作a|b。

其中，a称为除数，b称为被除数，q称为商。

2. 零的情况：任何非零整数a都能整除零，即a|0。

3. 一的情况：任何整数a都能整除1，即a|1。

4. 整除的性质：a) 如果a|b且b|c，则a|c（传递性）。

b) a|b且a|c，则a|(b ± c)。

c) a|b且a|c，则a|(mb ± nc)，其中m、n为任意整数。

5. 整除的判定定理：a) 末位数字法：一个整数能被2整除，当且仅当它的个位数是0、2、4、6、8。

b) 各位数字之和法：一个整数能被3整除，当且仅当它的各位数字之和能被3整除。

c) 末位为0或5法：一个整数能被5整除，当且仅当它的个位数是0或5。

d) 末位为0且前两位数能被4整除法：一个整数能被4整除，当且仅当它的末位和十位组成的两位数能被4整除。

e) 末位为0或者奇数位之和与偶数位之和之差能被11整除：一个整数能被11整除，当且仅当它的个位数是0或者奇数位之和与偶数位之和之差能被11整除。

二、数的倍数1. 定义：对于整数a和b，如果存在整数q使得b = a × q，则称b 是a的倍数，a称为因数。

2. 特殊倍数：a) 正整数a的倍数都是正整数。

b) 零是任何整数的倍数。

c) 一个整数是自身的倍数。

3. 最小公倍数：最小公倍数是指某两个数同时是另一个数的倍数的最小值。

4. 求最小公倍数的方法：a) 分解质因数法：将两个数分解质因数，取每个因数的最高次幂相乘即为最小公倍数。

b) 列表法：列出两个数的倍数，找出它们的公共倍数中最小的一个即为最小公倍数。

数的整除

数的整除一、知识点总结1、整除：一般地，如a、b、c为整数，b≠0，且a÷b=c，即整数a除以整除b（b不等于0），除得的商c正好是整数而没有余数（或者说余数是0），我们就说，a能被b整除（或者说b能整除a）。

记作b｜a.否则，称为a不能被b整除，记作b a.2、数的整除特征看末一位能被2整除的数：个位是0、2、4、6、8能被5整除的数：个位是0、5看末两位能被4整除的数：末两位能被4整除能被25整除的数：末两位能被25整除（00、25、50、75）看末三位能被8整除的数：末三位能被8整除能被125整除的数：末三位能被125整除（000、125、250、375、500、625、750、875）看各位之和能被3整除的数：各个数位上的数字之和是3的倍数能被9整除的数：各个数位上的数字之和是9的倍数3、数的整除性质如果b、c都能整除a，且b和c互质（即b与c谁也不能被谁整除），那么b与c的积能整除a。

例如：如果2｜28，7｜28，且2和7谁也不能被谁整除，那么（2×7）｜28。

（在高年级还学习能够被7、11、13等数整除的数的特征，以及其他几个数的整除性质。

在逐年比重增加的考点“数论”中，数的整除问题涉及广泛，常常成为解题关键，因此现在打好基础是非常重要的。

）二、复习题练习题1、在下面的数中，哪些能被4整除？哪些能被8整除？哪些能被9整除？234，789，7756，8865，3728，8064。

分析与解答能被4整除的数有7756，3728，8064；能被8整除的数有3728，8064；能被9整除的数有234，8865，8064。

2、判断3084能不能被12整除。

分析与解答3084的各位数字的和是3+0+8+4=15，15是3的倍数，3084的末两位数是84，84又是4的倍数，所以3084能被12整除。

检验：3084÷12=257，又如：判断4734能不能被12整除。

3、判断8715能不能被15整除。

数的整除与分解质因数知识点总结

数的整除与分解质因数知识点总结一、整除与倍数1.定义：整数a除以整数b（b≠0），如果得到的商是整数且没有余数，就说a能被b整除，或者说b能整除a。

2.倍数与约数：-如果数a能被数b整除，a是b的倍数，b是a的约数（或因数）。

-每个数的约数个数是有限的，其中最小的约数是1，最大的约数是它本身。

3.判断整除的规律：-个位上是0、2、4、6、8的数都能被2整除。

-个位上是0或5的数都能被5整除。

-一个数各位上的数字之和能被3整除，则这个数能被3整除。

-一个数各位数上的和能被9整除，则这个数能被9整除。

-末两位数能被4整除的数能被4整除，末两位数能被25整除的数能被25整除。

-末三位数能被8整除的数能被8整除，末三位数能被125整除的数能被125整除。

二、分解质因数1.定义：把一个合数用质数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。

2.步骤：-从最小的质数开始，依次判断能否整除给定的合数，若能整除则除，直到无法整除为止。

-重复以上步骤，直到最终得到的因数都是质数为止。

三、公约数与公倍数1.公约数：几个数共有的约数称为公约数。

2.最大公约数：几个数共有的约数中最大的一个称为最大公约数。

3.公倍数：几个数的公有倍数称为公倍数。

4.最小公倍数：几个数的公倍数中最小的一个称为最小公倍数。

四、互质数与素数1.互质数：互质数是只有1为它们的最大公约数的两个数。

2.素数（质数）：只有1和它本身两个约数的数称为素数或质数。

3.分解质因数：每个合数都可以用几个质数相乘的形式表示，这个过程叫做分解质因数。

数的整除知识点整理

数的整除知识点整理数的整除是数学中基础而重要的概念之一，常常涉及到算术基本定理、欧几里得算法、最大公因数等其他基本概念。

本文将对数的整除知识点做一个简要的整理和总结，帮助读者更好地掌握这一概念。

一、数的整除的定义在数学中，数的整除被定义为若存在整数q使得a=q*b，则b 被称为a的因数，a被称为b的倍数。

即b能够整除a。

例如，可以说9是3的倍数，因为存在一个整数q=3，使得9=3*3。

因此，3是9的因数，9是3的倍数。

需要注意的是，每个整数都能够被1和它自己整除，因此1和本身也是任何整数的因数。

二、整除的基本性质1. 除数不为0任何数都不能被0整除，即0没有因数，所以任何数除以0都是无意义的。

2. 唯一分解定理为了更好地理解整除，还需要知道数的分解定理。

唯一分解定理，也称为质因数分解定理，指出了任何大于1且不是素数的整数都能够唯一地分解成若干个质数的积。

例如，一个正整数20可以分解成2*2*5。

20的因数可以是1、2、4、5、10和20，而这些因数都是2和5的某种组合。

唯一分解定理是整除的基本性质，它保证了唯一性，即一组因数的乘积只能唯一地分解成若干个质数的积。

这个定理的证明常常采用归纳法的方法，其中用到了欧几里得算法等技巧。

3. 关于最小公倍数在整除中，还经常使用到最小公倍数的概念。

最小公倍数是指一个或多个整数的公共倍数中最小的那个，通常记为lcm(a,b)。

求最小公倍数的方法包括因数分解法、质因数分解法和倍数相减法等多种方法。

这些方法都采用了整除的基本性质，通过确定两个整数的公共因数和公共倍数，最终确定它们的最小公倍数。

例如，最小公倍数lcm(9,15)就是45，因为9和15的公共倍数有：45、90、135等，其中45是最小的。

三、深入了解整除的相关知识1. 余数和模在整除的基础上，还有进一步的概念需要了解，其中包括余数和模。

余数是指一个整数除以另一个整数所得到的余数，也称为“取余数”运算，其符号通常为“%”。

数的整除

【小升初奥数知识点讲解】数的整除
数的整除
一、基本概念和符号：
1、整除：如果一个整数a，除以一个自然数b，得到一个整数商c，而且没有余数，那么叫做a能被b整除或b能整除a，记作b|a。

2、常用符号：整除符号|，不能整除符号；因为符号∵，所以的符号；
二、整除判断方法：
1. 能被2、5整除：末位上的数字能被2、5整除。

2. 能被4、25整除：末两位的数字所组成的数能被4、25整除。

3. 能被8、125整除：末三位的数字所组成的数能被8、125整除。

4. 能被3、9整除：各个数位上数字的和能被3、9整除。

5. 能被7整除：
①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成数之差能被7整除。

②逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的2倍后能被7整除。

6. 能被11整除：
①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的
数之差能被11整除。

②奇数位上的数字和与偶数位数的数字和的差能被11整除。

③逐次去掉最后一位数字并减去末位数字后能被11整除。

7. 能被13整除：
①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的
数之差能被13整除。

②逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的9倍后能被13
整除。

三、整除的性质：
1. 如果a、b能被c整除，那么（a+b）与（a-b）也能被c 整除。

2. 如果a能被b整除，c是整数，那么a乘以c也能被b整除。

3. 如果a能被b整除，b又能被c整除，那么a也能被c整除。

4. 如果a能被b、c整除，那么a也能被b和c的最小公倍数整除。

数的整除知识点总结

整除知识点总结与练习

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数的整除 整除、因数和倍数

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