内切球和外接球问题课件

大圆--截面过球心，半径等于球半径； 小圆--截面不过球心
性质2: 球心和截面圆心的连线垂
直于截面．
性质3: 球心到截面的距离d与球
的半径R及截面的半径r 有下面的关
系:
A
r R2 d2
类型：内切球、棱切球、外接球
几何体相切：一个几何体各个面分别 与另一个几何体各个面相切。
几何体棱切：一个几何体各个面分 别与另一个几何体各条棱相切。
正方体的内切球
例1
将棱长为2的正方体木块削成一个体积最 大的球，则这个球的表面积为 4
直棱柱的外接球
例2
已已知知直直三三棱棱柱柱AABBCCA1AB11BC11C的1的六六个个顶顶点点都在都在 球球OO的的球球面面上上,,若若AABBBCBC 1,1,ABACBC12012,0, AAAA11 22 33，，则则球球OO的的表表面面积积为为
内接球、外接球问题
1．球的概念
•球的旋转定义
半圆以它的直径为旋转轴，旋转所 成的曲面叫做球面.球面所围成的几 何体叫做球体.
•球的集合定义
与定点的距离等于定长的点的集合,叫 做球面
与定点的距离等于或小于定长的 点的集合，叫做球体，简称“球”.
二 球的性质
性质1：用一个平面去截球，截面是圆面；
用一个平面去截球面， 截线是圆。
例7、在三棱锥中A-BCD
中,AB=CD=2,AD=BC=3,AC=BD=4，则三棱锥A-BCD外 接球的表面积 .
，
A
c
bC a
B D
思考题：例8、半径为R的球的外切圆柱(球与圆柱 的侧面、两底面都相切)的表面积为_6__R_2，体积 2__R_3_．
源自文库
• 结论1：正方体或长方体的外接球的球心其体对角 线的中点。
• 结论2：正棱柱的外接球的球心是上下底面中心的 连线的中点。
• 结论3：直三棱柱的外接球的球心是上下底面三角 形外心的连线的中点。
• 结论4：正棱锥的外接球的球心在其高上，具体位 置可通过计算找到。
• 结论5：若棱锥的顶点可构成共斜边的直角三角形， 则公共斜边的中点就是其外接球的球心。
O o'
答案4π
例5、一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直
于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，
且该六棱柱的体积为 ，底9 面周长为３，则这
个球的体积为
4。 8
3
补形成长方体
例6、如果三棱锥的三个侧面 两两垂直，它们的面积分别为 6、4、3，那么它的外接球的 表面积是29＿π.
a b
c
补形成长方体
几何体外接：一个几何体所有顶点都 在另一个几何体表面上。
正方体的内切球、棱切球、外接球
• 三、几何体的外接球与内切球问题：
• 1、外接球的问题： • 几何体外接球问题是立体几何中的难点和重要的
考点，此类问题实质是解决球的半径或确定球心0 的位置问题，其中球心的确定是关键。 • (1)由球的定义确定球心 • 在空间，如果一个定点与一个简单多面体的所有 顶点的距离都相等，那么这个定点就是该简单多 面体的外接球的球心。 • 由上述性质，可以得到确定简单多面体外接球的 球心的如下结论。
• （2）构造正方体或长方体确定球心
• 长方体或正方体的外接球的球心是在其体对角线的中点 处．以下是常见的、基本的几何体补成正方体或长方体的 途径与方法．
• 途径1：正四面体、三条侧棱两两垂直的正三棱锥、四个 面都是是直角三角形的三棱锥都分别可构造正方体．
• 途径2：同一个顶点上的三条棱两两垂直的四面体、相对 的棱相等的三棱锥都分别可构造长方体和正方体．
答案 16π
棱锥的外接球
例 3、正四棱锥的顶点都在同一球
面上．若该棱锥的高为 4，底面边
长为 2，则该球的表面积为( )
A．814π
B．16π
C．9π
D．274π
答案A
例4、
四棱锥 P ABCD 所有顶点都在同一球面上， 若PA 平面ABCD，AB BC，AD CD，PA BC CD 1，AB AD 2，求该球的表面积.
• 途径3：若已知棱锥含有线面垂直关系，则可将棱锥补成 长方体或正方体．
• 途径4：若三棱锥的三个侧面两两垂直，则可将三棱锥补 成长方体或正方体．
(3)由性质确定球心 利用球心与截面圆圆心的连线垂直于截面圆及球心与弦 中点的连线垂直于弦的性质，确定球心． 内切球的问题 对内切球有以下几点认识： 1、内切球球心到多面体各面的距离均相等，外接球球 心到多面体各顶点的距离均相等。 2、正多面体的内切球和外接球的球心重合。 3、正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上，但不重 合。 4、基本方法：构造三角形利用相似比和勾股定理。 5、体积分割是求内切球半径的通用做法。